Aplicaci on del Algebra Lineal a la deducci on de ...

Aplicacion del Algebra Lineal a la deduccion de propiedadesde la Sucesion de Fibonacci.

Vıctor Juan Hernandez Del Toro

Trabajo de gradoPara optar al tıtulo de matematico

AsesorJulio Cesar Hernandez Arzusa

Universidad de CartagenaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Matematicas

Cartagena de Indias D. T. y C.

Marzo de 2011

Dedico este trabajo a la memoria de un gran amigo,Rafael Alberto Escobar Rodriguez.

Doy gracias a Dios por haberme permitido alcanzar este logro,a mis padres, mi familia por su apoyo incondicional, y

a todos los amigos que me apoyaron de un modo u otro.

Indice general

Introduccion IV

1. Conceptos Preliminares 11.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Otros simbolos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Sucesion de Fibonacci 52.1. Formulas de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Matriz con elementos de una sucesion de Fibonacci . . . . . . . . . . . . 112.3. Propiedades con el M.C.D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Observaciones 17

Bibliografıa 18

iii

Introduccion

El algebra es una de las ramas de la matematica que tiene mas aplicabilidad a otras areasde la misma matematica. En este trabajo se muestra una aplicacion del algebra basicaa las propiedades de una de las sucesiones de mayor importancia de la matematica,la sucesion de Fibonacci. Se llama sucesion de Fibonacci a la sucesion definida por laformula de recurrencia Fn+2 = aFn+1 + bFn donde a, b son numeros reales fijos, y F0 = 0y F1 = 1. Posteriormente se define un espacio C(a, b), b 6= 0 que consta de todas lassucesiones con formula de recurrencia An+2 = aAn+1 + bAn, donde a, b son reales fijosy A0, A1 son complejos dados. Tambien se definen los operadores Λ : C∞ −→ C∞ como(Λ(A))n = An+1 y Ωk : C∞ −→ C∞ como (Ωk(A))n = Ank, donde k = 1, 2, 3, ... y C∞ esel espacio de todas las sucesiones con valor complejos, que seran de suma importanciaen el trabajo. Del Operador Λ se deducira:

[0 1b a

]k=

[bFk−1 FkbFk Fk+1

].

Este resultado es consecuencia de la representacion matricial del operador Λ en la baseE,F de C(a, b), donde E0 = 1, E1 = 1 y F0 = 0, F1 = 1. Si se igualan los determi-nantes de estas matrices se tiene que (−1)kbk = bFk−1Fk+1 − bF 2

k . Para hallar formulasexplıcitas de las sucesiones de C(a, b) se encuentran las coordenadas de A ∈ C(a, b) enE,F. El resto de propiedades seran deducidas a partir de Ωk.

iv

Capıtulo 1

Conceptos Preliminares

En este capıtulo se establecen algunas definiciones y notaciones basicas, necesarias parala comprension de este trabajo.

1.1. Espacios Vectoriales

Definicion 1. Sea V un conjunto no vacıo y F un campo. Se consideran dos opera-ciones, una entre elementos de V , que se simboliza por + y una entre un elemento deV y uno de F que se simboliza por ·, que gozan de las siguentes propiedades:

Para x, y, z ∈ V y α, β ∈ F se cumple:

i. x+ y ∈ V , α · x ∈ V .

ii. x+ y = y + x.

iii. (x+ y) + z = x+ (y + z), (αβ) · x = α · (β · x).

iv. α · (x+ y) = α · x+ α · y, (α + β) · x = α · x+ β · x.

v. Existe un elemento en V que se simboliza por 0 tal que para todo x ∈ V se tieneque x+ 0 = x.

1

CAPITULO 1. CONCEPTOS PRELIMINARES 2

vi. Para cada x ∈ V existe un elemento de V , que se simboliza por −x, tal quex+ (−x) = 0.

vii. Para el 1 ∈ F se tiene que 1 · x = x.

Se dice entonces que V es un Espacio V ectorial sobre el Campo F .

Definicion 2. Sea W ⊆ V , W 6= φ, donde V es un Espacio Vectorial sobre el CampoF. Si W con las operaciones heredadas de V es un Espacio Vectorial sobre F , entoncesse dice que W es un Subespacio Vectorial de V .

Teorema 1. Sea V un Espacio Vectorial sobre el Campo F. Sea W ⊆ V , W 6= φ. Wes Subespacio de V si y solo si α · x+ β · y ∈ W para todo x, y ∈ W y todo α, β ∈ F .

Definicion 3. Sea V un Espacio Vectorial sobre un Campo F . Una Combinacion Linealde elementos de V es una expresion de la forma α1 · x1 + α2 · x2 + · · ·+ αn · xn, dondelos xi ∈ V y αi ∈ F , para i = 1, 2, ..., n.

Definicion 4. Sea V un Espacio Vectorial. Un conjunto de vectores x1, x2, ..., xn deV , se dice que es Linealmente Independiente si α1 ·x1 +α2 ·x2 + · · ·+αn ·xn = 0 implicaque αi = 0 (i = 1, 2, ..., n), donde los αi son elementos del Campo.

Definicion 5. Sea V un Espacio Vectorial sobre el Campo F y φ 6= M ⊆ V . Seax1, x2, ..., xn un conjunto de vectores de M . Se dice que M es generado por x1, x2, ..., xnsi todo elemento de M se puede escribir como Combinacion Lineal de elementos dex1, x2, ..., xn.

Definicion 6. Sea V un Espacio Vectorial sobre el campo F . A un conjunto de vectoresx1, x2, ..., xn Linealmente Independientes de V se le dice que es una Base para V sigenera a V .

Teorema 2. Todas las Bases de un Espacio Vectorial tienen el mismo numero de ele-mentos.


Un Espacio Vectorial tiene dimension n si tiene una Base de n elementos.

NOTA: De ahora en adelante el producto α · x, donde α es escalar y x es vector, se de-nota αx. El lector debe estar en capacidad de diferenciarlo del producto definido entreelementos del Campo.

1.2. Transformaciones Lineales

Definicion 7. Sean V y S dos Espacios Vectoriales sobre el mismo Campo F . Unatransformacion lineal de V en S es una funcion T de V en S tal que T (αx + βy) =αT (x) + βT (y), para todo α, β en F y todo x, y en V .

Definicion 8. Si V es un espacio vectorial sobre el Campo F , un Operador lineal esuna transformacion lineal de V en V .

Definicion 9. Sea T : V 7−→ S una Transformacion Lineal. El conjunto x ∈ V |T (x) = 0 se llama el Kernel de T y se simboliza por Ker(T ).

Teorema 3. Si T : V 7−→ S es una Transformacion Lineal, entonces Ker(T ) es unSubespacio Vectorial de V.

1.3. Valores propios

Definicion 10. Sea T : V 7−→ S una Transformacio Lineal. Un escalar λ se le llama unV alor Propio o Autovalor de T si existe un elemento x no nulo de V tal que T (x) = λx.Al elemento x se le llama V ector propio de T y al escalar λ Valor propio asociado a x.

Teorema 4. Sea T : V 7−→ S una Transformacio Lineal y x1, x2, ..., xn vectores propiosde T y λ1, λ2, ..., λn los Autovalores correspondientes asociados. Si dichos Autovaloresson distintos, entonces x1, x2, ..., xn es Linealmente Independientes.

1.4. Otros simbolos y propiedades

Se simboliza el Maximo Comun Divisor de dos numeros enteros no nulos m y n porM.C.D(m,n).


Teorema 5. M.C.D(tn, tm) = t ·M.C.D(n,m) donde t es un entero positivo.

Teorema 6. Si m y n son enteros tales que M.C.D(m,n) = k,entonces existen dosenteros r y s unicos tales que rm+ sn = k.

Definicion 11. Sean m,n dos enteros, y p un numero entero primo positivo. Se diceque m es equivalente modulo p a n si m− n es divisible por p,se nota por [m] ≡ [n].

NOTA: Recuerde que [mn] = [m][n] y [m+ n] = [m] + [n].

Capıtulo 2

Sucesion de Fibonacci

Definicion 12. Una sucesion de Fibonacci, es una sucesion F , cuya formula de recu-rrencia esta dada por Fn+2 = aFn+1 + bFn, donde F0 = 0, F1 = 1 y a, b son reales, b 6= 0.

Se denota C(a, b), donde b 6= 0, como el conjunto de todas las sucesiones con formulade recurrencia An+2 = aAn+1+bAn donde A0 y A1 son complejos dados y a, b son reales.

Ejemplo 1. En C(4, 2) la Sucesion de Fibonacci es 0, 1, 2, 10, 44, ....

Ejemplo 2. En C(−2, 2) la Sucesion de Fibonacci es 0, 1,−2, 6,−16, ....

Ejemplo 3. En C(5, 5) la Sucesion de Fibonacci es 0, 1, 5, 30, 175, ....

Ejemplo 4. En C(11,−10) la Sucesion de Fibonacci es 0, 1, 11, 111, ....

Ejemplo 5. En C(2, 1) la Sucesion de Fibonacci es la sucesion de Pell 0, 1, 2, 5, 12, 29, ....

Ejemplo 6. En C(3,−2) la Sucesion de Fibonacci es 0, 1, 3, 7, 15, 31, ....

Se denota C∞ como el Espacio Vectorial de todas las sucesiones complejas sobre C, cuyasuma de vectores sera la suma usual de sucesiones y la multiplicacion de un vector porun escalar sera la multiplicacion usual de una sucesion por un complejo.

Sean A,B ∈ C∞ tales que A = B. De la definicion de igualdad de sucesiones se tieneque An+1 = Bn+1 y Ank = Bnk, para k entero positivo.

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CAPITULO 2. SUCESION DE FIBONACCI 6

Este hecho permite establecer la siguiente definicion.

Definicion 13. Se definen funciones como:

i. Λ : C∞ −→ C∞ por (Λ(A))n = An+1.

ii. Ωk : C∞ −→ C∞ por (Ωk(A))n = Ank, donde k = 1, 2, 3, ....

La siguiente proposicion muestra que las funciones anteriormente definidas son Opera-dores Lineales.

Proposicion 1. Las funciones Λ y Ωk son Operadores Lineales sobre C∞.

Demostracion. Sean A,B ∈ C∞ y α, β ∈ C. Entonces:

i. Λ es un Operador Lineal. En efecto:

(Λ(αA+ βB))n = (αA+ βB)n+1

= αAn+1 + βBn+1

= α(Λ(A))n + β(Λ(B))n

= (αΛ(A) + βΛ(B))n.

Esto prueba que Λ(αA+ βB) = αΛ(A) + βΛ(B).

ii. Ωk es un Operador Lineal. En efecto:


(Ωk(αA+ βB))n = (αA+ βB)nk

= αAnk + βBnk

= α(Ωk(A))n + β(Ωk(B))n

= (αΩk(A) + βΩk(B))n.

Esto prueba que Ωk(αA+ βB) = αΩk(A) + βΩk(B).

Proposicion 2. C(a, b) es Subespacio Vectorial de C∞.

Demostracion. A ∈ C(a, b) si y solo si An+2 = aAn+1+bAn , esto es An+2−aAn+1−bAn =0, lo que a su vez es:

(Λ2(A))n − a(Λ(A))n − bAn = 0

(Λ2(A)− aΛ(A)− bA)n = 0

((Λ2 − aΛ− b)(A))n = 0.

Esto muestra que (Λ2 − aΛ− b)(A) = 0, es decir que C(a, b) es el Kernel del OperadorΛ2 − aΛ− b y por tanto Subespacio de C∞.

NOTA: Se simboliza la compuesta ΛΛ por Λ2.

Proposicion 3. El subespacio C(a, b) tienen dimension dos.


Demostracion. Sean F,E ∈ C(a, b) donde F0 = 0, F1 = 1 y E0 = 1, E1 = 0. El conjuntoE,F forma una base para C(a, b). En efecto:Es facil ver que estos elementos son linealmente independientes, pues, si αF + βE = 0,entonces αF0 + βE0 = 0 asi α · 0 + β · 1 = β = 0. Tambien αF1 + βE1 = 0, de igualmodo tenemos que α · 1 + β · 0 = α = 0.

A continuacion se demuestra que A ∈ C(a, b) implica A = A0E + A1F . Este hecho seprueba por induccion. A0 = A0 · 1 + A1 · 0 = A0E0 + A1F0. Asumase que se cumpleAk = A0Ek + A1Fk para k ≤ n. Entonces:

An+1 = aAn + bAn−1 = a(A0En + A1Fn) + b(A0En−1 + A1Fn−1)

= A0(aEn + bEn−1) + A1(aFn + bFn−1)

= A0En+1 + A1Fn+1.

2.1. Formulas de Binet

En esta seccion se encuentran formulas explicitas para las sucesiones de C(a, b). Sea B,Bn = λn . Observe que (Λ(B))n = Bn+1 = λ ·λn, esto es, Λ(B) = λB. Esto muestra queuna sucesion geometrica es un Vector Propio de Λ. Ahora se buscan condiciones paraque una sucesion geometrica pertenezca a C(a, b). Si esta sucesion pertenece al Kernelde Λ2 − aΛ− b entonces pertenece al espacio C(a, b). Por tanto

(Λ2 − aΛ− b)(B) = 0

(Λ2(B))n − aΛ(B)n − bBn = 0

λn+2 − aλn − bλn = 0

λ2 − aλ− b = 0.


El hecho b 6= 0 excluye el caso λ 6= 0, pues si λ = 0 en la ecuacion entoces b = 0contradiciendo b 6= 0. Todo se reduce a resolver la ecuacion λ2 − aλ− b = 0.

Si λ y µ son soluciones distintas de esta ecuacion, entonces E,B es una base paraC(a, b), donde En = µn, Bn = λn. Es decir, si A ∈ C(a, b), entonces existen constantescλ, cµ tales que An = cλλ

n + cµµn. Para determinar las constantes cλ, cµ se hace uso de

A0 = cλ + cµ y A1 = cλλ+ cµµ, resolviendo tenemos que

cλ =A1 − µA0

λ− µ

cµ =λA0 − A1

λ− µ.

Si λ = µ, entonces E,B, donde En = nλn y Bn = λn, es una Base para C(a, b).E,B es Linealmente Independiente. En efecto; Si cE+dB = 0 entonces cE0+dB0 = 0luego d = 0, por la forma como se define E y B, ademas cE1 + 0B1 = 0 lo cual implicaque cλ = 0, ası c = 0 , pues λ 6= 0.Para terminar la prueba, bastarıa probar que las sucesiones estan en C(a, b).

B esta en C(a, b) ya que

λ2 − aλ− b = 0

λn+2 − aλn+1 − bλn = 0

(Λ2(B))n − a(Λ(B))n − bBn = 0

((Λ2 − aΛ− b)(B))n = 0

(Λ2 − aΛ− b)(B) = 0.

E esta en C(a, b) ya que


(Λ2(E))n − a(Λ(E))n − bEn = (n+ 2)λn+2 − a(n+ 1)λn+1 − bnλn

= (n+ 2)λ2 − a(n+ 1)λ− bn

= nλ2 + 2λ2 − anλ− aλ− bn

= n(λ2 − aλ− b) + λ(2λ− a)

= 0.

Recuerde que si λ y µ son raices de x2 − ax− b entonces λ+ µ = a y λµ = −b, en estecaso λ = µ, ası 2λ = a esto es 2λ− a = 0.

Si A ∈ C(a, b), entonces A = cE+dB luego An = cnλn+dλn = (cn+d)λn. En particularA0 = d y A1 = (c+ d)λ despejando c se obtiene que:

c =A1 − λA0

λ.

Observe que el discriminante de la ecuacion x2 − ax − b es a2 + 4b y si este es nulo, laecuacion tendra dos raices λ, µ iguales, y si es no nulo tendra dos raices λ, µ distintas.

La formula de Binet para una sucesion A ∈ C(a, b) viene dada por

An =A1 − µA0

λ− µλn +

λA0 − A1

λ− µµn

si a2 + 4b 6= 0.

An =A1 − λA0

λ(nλn) + A0λ

n

si a2 + 4b = 0.


2.2. Matriz con elementos de una sucesion de Fi-

bonacci

El conjunto E,F donde F0 = 0, F1 = 1 y E0 = 1, E1 = 0, es una Base para C(a, b),b 6= 0, por la Proposicion 3. Para encontrar la representacion matricial de Λ en esta Basese necesita demostrar que Λ(E) = bF lo cual es En+1 = bFn. El resultado se prueba porinduccion. Si n = 0 entonces E1 = 0 = bF0. Suponganse que se cumple Ek+1 = bFk parak ≤ n− 1. Entonces En+1 = aEn + bEn−1 = abFn−1 + b2Fn−2 = b(aFn−1 + bFn−2) = bFn.Demostrar que Λ(F ) = E + aF equivale a probar que Fn+1 = En + aFn.

Si n = 0 entonces F1 = 1 + 0 = E0 + aF0.

Supongase Fk+1 = Ek + aFk para k ≤ n− 1.

Fn+1 = aFn + bFn−1

= a(En−1 + aFn−1) + b(En−2 + aFn−2)

= (aEn−1 + bEn−2) + a(aFn−1 + bFn−2)

= En + aFn.

En resumen, se mostro que Λ(E) = bF y Λ(F ) = E + aF . Este resultado muestraque Λ(E),Λ(F ) ∈ C(a, b) y por tanto para un elemento A ∈ C(a, b) se tiene queΛ(A) ∈ C(a, b), es decir, Λ es invariante por C(a, b), por tanto, se puede considerarΛ : C(a, b) −→ C(a, b).

La representacion matricial de este Operador con respecto a esta Base es:

M =

[0 1b a

].

Ahora, si se multiplica una matriz 2 × 2 por los elementos[1 0

]Ty[0 1

]Tse tiene

como resultado:

[c de f

] [10

]=

[ce

]y

[c de f

] [01

]=

[df

](∗)


las columnas de la matriz 2 × 2. La Proposicion 3 demuestra que cualquier elementoA ∈ C(a, b) se puede expresar en la Base E,F como A = A0E + A1F en particularE = 1 · E + 0 · F y F = 0 · E + 1 · F , es decir, las coordenadas de E y F en esta Base,

respectivamente son[1 0

]Ty[0 1

]T. Con esto se puede observar que las coordenadas

de un elemento de C(a, b) son sus valores iniciales.

La sucesion Λk(E) tendra como valores iniciales Ek, Ek+1, y por tanto la coordenadas

en la Base E,F son[Ek Ek+1

]T. De igual manera la sucesion Λk(F ) tiene como va-

lores iniciales Fk, Fk+1, y por tanto la coordenadas en la Base E,F son[Fk Fk+1

]T.

Los valores iniciales de F son F0, F1, los de Λ(F ) son F1, F2, los de Λ2(F ) son F2, F3,los de Λ3(F ) son F3, F4. En general los valores iniciales de Λk(F ) son Fk, Fk+1. Entonces:

[0 1b a

]k [10

]=

[EkEk+1

]y

[0 1b a

]k [01

]=

[FkFk+1

]

Por (∗) se tiene que:

[0 1b a

]k=

[Ek FkEk+1 Fk+1

].

Del hecho En+1 = bFn y lo anterior se deduce :

[0 1b a

]k=

[bFk−1 FkbFk Fk+1

].

El determinante de la matriz que esta a la izquierda de la igualdad es (−b)k y el de laderecha bFk−1Fk+1−bF 2

k , igualando los determinantes se tiene (−b)k = bFk−1Fk+1−bF 2k ,

que equivale a (−1)kbk−1 = Fk−1Fk+1 − F 2k .

2.3. Propiedades con el M.C.D

En esta seccion se considera la sucesion de Fibonacci, F , en el espacio C(a, b) ,b 6= 0,con a2 + 4b 6= 0 y a,b enteros para garantizar que Fn sea entero para todo entero no


negativo n. El objetivo de esta seccion es demostrar el siguiente hecho:

Sea F ∈ C(a, b), la sucesion de Fibonacci donde a y b son primos relativos. Si m,n sonenteros tales que M.C.D(m,n) = k entonces M.C.D(Fn, Fm) = Fk.

NOTA 1Usando la formula de Binet para a2 + 4b 6= 0 con valores iniciales F0 = 0 y F1 = 1 seobtiene una formula explicita para esta sucesion.

Fn =1

λ− µλn − 1

λ− µµn.

Donde λ y µ son raices distintas de x2 − ax− b y por tanto λ+ µ = a y −(λµ) = b.

NOTA 2Si A ∈ C(a, b), entonces An = cλλ

n + cµµn, luego

(Ωk(A))n = cλΩk(λn) + cµΩk(µ

n)

= cλλnk + cµµ

kn

= cλ(λk)n + cµ(µk)n,

es decir λk y µk son raices de un polinomio de la forma x2 − ax− b y por tantoΩk(A) ∈ C(a, b) donde a = λk + µk y b = −µk · λk = −(λµ)k = −(−b)k. Se puede decirentonces que:

Ωk : C(a, b) 7−→ C(λk + µk,−(−b)k).

Se seguira notando λk + µk por a y −(−b)k por b.

NOTA 3Se escribe E(a,b), F (a,b) para referirse a la Base de C(a, b) que muestra la Proposicion 3.


NOTA 4bFk−1 + Fk+1 = a. En efecto;

bFk−1 + Fk+1 = bλk−1 − µk−1

λ− µ+λk+1 − µk+1

λ− µ

=bλk−1 − bµk−1 + λk+1 − µk+1

λ− µ

=−(λµ)λk−1 + (λµ)µk−1 + λk+1 − µk+1

λ− µ

=−µλk + λµk + λk+1 − µk+1

λ− µ

=λk+1 − µλk + λµk − µk+1

λ− µ

=λk(λ− µ) + µk(λ− µ)

λ− µ

= λk + µk

= a.

A continuacion se demuestran proposiciones que ayudaran a llegar a el objetivo principalde la seccion. Supongase a y b primos relativos.

Proposicion 4. Fk es divisor de Fnk para n ≥ 1.

Demostracion. De la nota 2 se tiene que Ωk(F ) ∈ C(a, b). Recuerde que las coordenadas

de un elemento A ∈ C(a, b) en la Base ordenada E(a,b), F (a,b) estan dadas por[A0 A1

](proposicion 3). Si se aplica este hecho a Ωk(F ), se tiene (Ωk(F ))n = Fkn y por tanto las

coordenadas en esta Base para este elemento son[0 Fk

],de donde Ωk(F ) = FkF

(a,b).Ası

(Ωk(F ))n = Fnk = FkF(a,b)n .


Proposicion 5. Fn y b son primos relativos para n ≥ 1.

Demostracion. Sea p un divisor primo de b. Como a y b son primos relativos entonces pno es divisor de a. De la formula de recurrencia Fn+2 = aFn+1 + bFn tenemos que[Fn+2] ≡ [aFn+1] (Modulo p) es decir que [Fn] ≡ [F1][a

n−1] para n ≥ 1. Es facil probareste hecho por induccion. Para n = 1 se tiene trivialmente que [F1] ≡ [F1][a

1−1] = [F1].Supongase que se cumple para n. Entonces [Fn+1] ≡ [aFn] ≡ [a(F1a

n−1)] = [anF1] =[an][F1].Con esto se deduce que Fn no es equivalente (Modulo p) a 0 ya que p no dividea a y por tanto p no divide a Fn. Esto muestra que Fn y b son primos relativos paran ≥ 1.

Proposicion 6. Si A ∈ C(a, b) , y si p es un divisor comun primo de Ak y Ak+1, perono es divisor de b, entonces p es divisor de An para todo n ≥ 1.

Demostracion. Sea k ≥ 1. LuegoAk+1 = aAk+bAk−1 de dondeAk+1−aAk = bAk−1.Comop es divisor comun primo de Ak y Ak+1 entonces divide a bAk−1, ası que p divide a Ak−1,ya que no divide a b. De manera analoga Ak = aAk−1+bAk−2 y p divide a Ak y Ak−1 perono a b entonces p divide a Ak−2. Siguiendo este procedimiento Ak−1 = aAk−2 + bAk−3 ycomo p divide a Ak−2 y Ak−1 pero no a b, entonces divide a Ak−3. Haciendo k−pasos sellega a que A0 y A1 son divisibles por p. El siguiente paso es demostrar por induccionque p divide a An para todo n ≥ 1. En efecto: Para n = 1 se cumple, pues se mostro an-teriormente. Supongase que p divide a Am para todo m ≤ n. Veamos que p divide aAn+1. Por la formula de recurrencia se tiene que An+1 = aAn + bAn−1, por la hipotesisde induccion se obtiene que p divide tanto a An y An−1, por tanto divide a An+1 queera lo que se queria mostrar.

Proposicion 7. Si h y k son numeros enteros positivos primos relativos, entonces Fhy Fk son primos relativos.

Demostracion. Si h o k es 1 el resultado es trivial, ya que F1 = 1. Supongase h 6= ky mayores que 1. La prueba se hace por contradiccion. Sea p un divisor primo de Fhy Fk. Por la Proposicion 5 se tiene que Fh es primo relativo con b, por tanto p nopuede ser divisor de b. Como h y k son primos relativos, entonces el M.C.D(h, k) = 1,luego existen enteros s y r tales que rh + sk = 1. Observe que r y s poseen signosdiferentes. Si s o r fuera nulo, sin perdida de generalidad r = 0 se tiene que sk = 1 dedonde k = s = 1 lo que contradice lo anteriormente supuesto. Si r es positivo entoncessk = 1 − rh ≤ 0, es decir, s es negativo porque k es positivo y s es no nulo. Si r es


negativo entonces sk = 1− rh ≥ 0, es decir, s es positivo porque k es positivo y s es nonulo. En cualquiera de los caso s y r poseen signos distintos. Sin perdida de generalidad,supongase r negativo. Sea t = −r, esto es sk − th = 1, lo cual dice que sk y th sonenteros consecutivos. De la Proposicion 4 se tiene que Fsk es divisible por Fk y de manerasimilar Fth es divisible por Fh. Como p es un divisor primo comun de Fh y Fk entonces,tambien es un divisor primo comun a Fsk y Fth, ademas anteriormente se probo que pno divide a b y como consecuencia de la Proposicion anterior, p es divisor de Fn paratodo n ≥ 1, lo cual es absurdo, ya que p serıa un divisor primo de F1 = 1.

Proposicion 8. a y b definidos en la nota 4 son primos relativos.

Demostracion. Asumase lo contrario. Sea p un divisor primo comun a a y b. Entoncesp es divisor de b, ya que b = −(−b)k. De la Nota 4 se tiene que a = bFk−1 + Fk+1, esdecir, a− bFk−1 = Fk+1 por tanto p es divisor de Fk+1. En resumen, se demostro que pes un divisor primo de b y Fk+1, lo que contradice la Propocision 5.

Teorema 7. Sea F ∈ C(a, b), la sucesion de Fibonacci donde a y b son primos relativos.Entonces si m,n son enteros tales que M.C.D(m,n) = k entonces M.C.D(Fn, Fm) = Fk.

Demostracion. Sea s =m

ky t =

n

k. Los enteros s y t son primos relativos. En efec-

to; sk = m y tk = n. Ahora k = M.C.D(m,n) = M.C.D(sk, tk) = k · M.C.D(s, t)ası M.C.D(s, t) = 1. Sea A = Ωk(F ), recuerde que a y b son primos relativos por laProposicion 8.

La Proposicion 4 muestra que A = FkF(a,b). De esto se deduce que Aj es multiplo

de Fk, para todo j ≥ 0, en particular Fk es divisor de As = (Ωk(F ))s = Fks = Fm

y At = (Ωk(F ))t = Fkt = Fn. Esto es Fn = At = FkF(a,b)t y Fm = As = FkF

(a,b)s .

Ası Fm

Fk= F

(a,b)s y Fn

Fk= F

(a,b)t son primos relativos por la Proposicion 7. Ahora:

M.C.D(Fm, Fn) = M.C.D(FkF(a,b)s , FkF

(a,b)t )

= Fk ·M.C.D(F (a,b)s , F

(a,b)t )

= Fk · 1 = Fk.

Observaciones

1. La condicion b 6= 0 en la Definicion 12 es de suma importancia, pues si b = 0entonces la sucesion de Fibonacci se convierte en la sucesion nula y no podrıa serparte de la Base de C(a, b) mostrada en la Proposicion 3.

2. Varias de las propiedades de la Sucesion de Fibonacci que aparecen en el traba-jo pueden ser demostradas mediante otros metodos, por ejemplo, la igualdad dematrices y la formula que aparecen en la seccion 2.2 pueden ser probadas porinduccion matematica.

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Bibliografıa

[1] Dan Kalman, Robert Mena. “The Fibonacci Numbers”. Mathematics MagazineVol.76 .N0.3 (2003).

[2] Kenneth Hoffman, Ray Kunze.Linear Algebra. Prentice Hall, inc., 1971.

[3] Karlheinz Spindler.Abstract Algebra with Applications Vol.I: Vector Spaces andGroups.Marcel Dekker,Inc. 1994.

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