MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

amanda@fcav.unesp.br

INTEGRAL DEFINIDA

DEFINIÇÃO.

Sejam (𝑎 =)𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) as extremidades desses subintervalos, e

sejam 𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗ pontos amostrais arbitrários nesses subintervalos, de

forma que 𝑥𝑖∗ esteja no i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Então a integral

definida de f de a a b é:

𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑖∗ ∆𝑥

𝑛

𝑖=1

desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas

de pontos amostrais. Se ele existir, dizemos que 𝑓 é integrável em 𝑎, 𝑏 .

Se 𝑓 é uma função contínua definida em

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, dividimos o intervalo 𝑎, 𝑏 em n

subintervalos de comprimentos iguais:

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛

INTEGRAL DEFINIDA

OBSERVAÇÃO 1. O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é

denominado sinal de integral.

• Ele é um 𝑆 alongado e foi assim escolhido porque uma integral é

um limite de somas.

• Na notação

𝒇(𝒙) é chamado integrando;

𝒂 e 𝒃 são ditos limites de integração, sendo 𝒂 o limite

inferior e 𝒃 o limite superior.

𝒅𝒙 indica que a variável dependente é 𝑥.

• O procedimento de calcular a integral é chamado integração.

𝒇(𝒙)𝒃

𝒂

𝒅𝒙

INTEGRAL DEFINIDA

OBSERVAÇÃO 2. A integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 é um número; ela

não depende de 𝑥.

• Podemos usar qualquer letra para substituir sem alterar o valor da

integral:

𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑏

𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑟)𝑏

𝑎

𝑑𝑟

INTEGRAL DEFINIDA

OBSERVAÇÃO 3. A soma 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑛

𝑖=1 é chamada soma de Riemann, em

homenagem ao matemático Bernhard Riemann (1826-1866).

• Assim, a definição de integral definida de uma função integrável pode ser

aproximada com qualquer grau de precisão desejado por uma soma de

Riemann.

• Sabemos que se 𝑓 for positiva, então a soma de

Riemann pode ser interpretada como uma soma de

áreas de retângulos aproximantes.

• A integral definida pode ser interpretada como a área

sob a curva de a até b.

INTEGRAL DEFINIDA • Se 𝑓 assumir valores positivos e negativos, então a

soma de Riemann é a soma das áreas dos

retângulos que estão acima do eixo 𝑥 e do oposto

das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo

𝑥 (as áreas dos retângulos azuis menos as áreas

dos retângulos amarelos).

• Quando tomamos o limite dessas somas de Riemann,

obtemos a situação ao lado. Uma integral definida

pode ser interpretada como área resultante, isto é, a

diferença das áreas: ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2𝑏

𝑎

onde 𝐴1 é a área da região acima do eixo 𝑥 e

abaixo do gráfico de 𝑓 𝑥 , e 𝐴2 é a área da

região abaixo do eixo 𝑥 e acima do gráfico de 𝑓.

INTEGRAL DEFINIDA

Propriedades da Integral Definida

Quando definimos a integral definida , implicitamente assumimos

que 𝑎 < 𝑏.

• A definição dessa integral como o limite das somas de Riemann faz

sentido mesmo que 𝑎 > 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 .

Se 𝒂 < 𝒃, então ∆𝒙 =𝒃−𝒂

𝟐 e

com 𝑥 𝑖 =1

2𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖 =ponto médio de 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 .

Se 𝒂 > 𝒃, então ∆𝒙 =𝒂−𝒃

𝟐= −

(𝒃−𝒂)

𝟐 e

Se 𝒂 = 𝒃, então ∆𝒙 =𝒂−𝒂

𝟐= 𝟎 e

𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝒇(𝒙)𝒂

𝒂

𝒅𝒙 = 𝟎

𝒇(𝒙)𝒃

𝒂

𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝒇 𝒙 𝒊 ∆𝒙

𝒏

𝒊=𝟏

𝒇(𝒙)𝒂

𝒃

𝒅𝒙 = − 𝒇(𝒙)𝒃

𝒂

𝒅𝒙

INTEGRAL DEFINIDA

Propriedade 1. Considere 𝑐 uma constante real fixa, então:

𝑐𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑐 𝑏 − 𝑎

Exemplo: Considere 𝑐 = 3 no intervalo 𝟏, 𝟓 , então:

3𝟓

𝟏

𝑑𝑥 = 3 𝟓 − 𝟏 = 3 4 = 12

𝑦 = 3

𝑥

𝑦

Note que temos um retângulo de

base 5 − 1 = 4 e altura 3, logo:

𝐴 = 𝑏 ∙ 𝑕 = 4 ∗ 3 = 12

INTEGRAL DEFINIDA

Propriedade 2. Sejam 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 funções integráveis em 𝑎, 𝑏 ,

então:

𝒇 𝒙 ± 𝒈 𝒙𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝒇 𝒙𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Exemplo: Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 no intervalo 𝟎, 𝟏 ,

então:

𝒙𝟐 + 𝒙𝟏

𝟎

𝑑𝑥 = 𝒙𝟐𝟏

𝟎

𝑑𝑥 + 𝑥𝟏

𝟎

𝑑𝑥

𝒙𝟐

𝒙

𝒙𝟐 + 𝑥

𝑥

𝑦

INTEGRAL DEFINIDA

Propriedade 3. Considere 𝑐 uma constante real fixa e 𝑓 𝑥 uma

função integrável em 𝑎, 𝑏 , então:

𝒄 𝒇 𝒙𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝒄 𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Exemplo: Determine a integral abaixo no intervalo 𝟎, 𝟏 ,

conderando ∫ 𝒙𝟐𝟏

𝟎𝑑𝑥 =

1

3

𝟑𝑥2𝟏

𝟎

𝑑𝑥 = 𝟑 𝒙𝟐𝟏

𝟎

𝑑𝑥 = 𝟑 ⋅1

3= 1 𝒙𝟐

𝟑𝒙𝟐

𝑥

𝑦

INTEGRAL DEFINIDA

Propriedade 4. Considere 𝑓 𝑥 uma função integrável em 𝑎, 𝑏 e

𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , então:

𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥𝑐

𝑎

𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥𝑏

𝑐

𝑑𝑥

Exemplo: Sabe-se que ∫ 𝑓 𝑥𝟏𝟎

𝟎𝑑𝑥 = 17 e ∫ 𝑓 𝑥

𝟖

𝟎𝑑𝑥 = 12 ,

determine ∫ 𝑓 𝑥𝟏𝟎

𝟖𝑑𝑥

𝑓 𝑥𝟏𝟎

𝟎

𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥𝟖

𝟎

𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥𝟏𝟎

𝟖

𝑑𝑥 ⟹ 17 = 12 + 𝑓 𝑥𝟏𝟎

𝟖

𝑑𝑥

∴ 𝑓 𝑥𝟏𝟎

𝟖

𝑑𝑥 = 17 − 12 = 5

INTEGRAL DEFINIDA

Exercício1. Use as propriedades de integral para calcular

∫ (4 + 6𝑥2)1

0𝑑𝑥, considerando ∫ 𝒙𝟐𝟏

𝟎𝑑𝑥 =

1

3

Solução.

𝟒 + 𝟔𝑥2𝟏

𝟎

𝑑𝑥𝑃2= 𝟒

𝟏

𝟎

𝑑𝑥 + 𝟔𝑥2𝟏

𝟎

𝑑𝑥

𝑃3= 𝟒 𝑑𝑥

𝟏

𝟎

+ 𝟔 𝑥2𝟏

𝟎

𝑑𝑥

𝑃1= 𝟒 𝟏 − 𝟎 + 𝟔

1

3= 4 + 2 = 6

INTEGRAL DEFINIDA

Propriedades Comparativas (PC)

PC1. Se 𝑓 𝑥 ≥ 0 para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então

PC2. Se 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então

PC3. Considere 𝑚 e 𝑀 constantes reais fixas. Se 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 para

𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , então

𝑚𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑀𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑚 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Exemplo: Use a propriedade PC3 para estimar o valor de

∫ 𝑒−𝑥21

0𝑑𝑥, sabendo que 𝑒−1 ≅ 0,3679.

Solução. Note que 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥2, então para

• 𝑥 = 0, 𝑓 0 = 𝑒−02= 1 = 𝑀 (máximo absoluto em 0,1 )

• 𝑥 = 1, 𝑓 1 = 𝑒−12= 𝑒−1 = 0,3679 = 𝑚 (mínimo absoluto em 0,1 )

Utilizando a propriedade PC3 no intervalo 0,1 temos que:

𝑚 1 − 0 ≤ 𝑓 𝑥1

0

𝑑𝑥 ≤ 𝑀(1 − 0)

0,3679 1 − 0 ≤ 𝑒−𝑥21

0

𝑑𝑥 ≤ 1(1 − 0)

0,3679 ≤ 𝑒−𝑥21

0

𝑑𝑥 ≤ 1

INTEGRAL DEFINIDA

Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 (TFC1)

Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 , então a função 𝐹 é definida por

𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡𝑥

0

𝑑𝑡, 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏

é contínua em 𝑎, 𝑏 , derivável em 𝑎, 𝑏 e 𝐹’ 𝑥 = 𝑓 𝑥 .

Exemplo. Encontre a derivada da função 𝐹 𝑥 = ∫ 1 + 𝑡2𝑥

0𝑑𝑡

Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥2 é contínua, utilizando TFC1

temos que:

𝐹’ 𝑥 = 1 + 𝑥2

INTEGRAL DEFINIDA

Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 (TFC2)

Se 𝑓 for contínua em 𝑎, 𝑏 , então

𝑓 𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ,

sendo 𝐹(𝑥) uma primitiva de 𝑓(𝑥), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Exemplo. Calcule ∫ 𝑒𝑥3

1𝑑𝑥

Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 é contínua em 1, 3 e uma

primitiva de 𝑓 𝑥 é 𝐹′ 𝑥 = 𝑒𝑥, então:

𝑒𝑥3

1

𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 1

3= 𝐹 3 − 𝐹 1 = 𝑒3 − 𝑒

INTEGRAL DEFINIDA

Exercício 2. Encontre a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1.

Solução. Note que:

• a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é contínua em 0, 1

• uma primitiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é 𝐹 𝑥 =𝑥3

3

Assim, a área sob a parábola 𝑦 = 𝑥2 de 0 até 1 utilizando o TFC2 é:

𝑥21

0

𝑑𝑥 =𝑥3

3 0

1

= 𝐹 1 − 𝐹 0 =13

3−

03

3=

1

3

INTEGRAL DEFINIDA

Exercício 3. Determine ∫𝑑𝑥

𝑥

6

3

SOLUÇÃO:

• Note que a função 𝑓 𝑥 =1

𝑥 é contínua em 3 , 6 , pelo

TFC temos que:

1

𝑥

6

3

𝑑𝑥 = ln 𝑥 3

6= ln 6 − ln 3

= ln6

3= ln 2

𝑦

𝑥

𝑥

𝑦

INTEGRAL DEFINIDA Exercício 4. O que está errado com esse cálculo?

1

𝑥2

3

−1

𝑑𝑥 =𝑥−1

−1 −1

3

= −1

3− 1 = −

4

3

Solução.

1

𝑥2

3

−1

𝑑𝑥 = 𝑥−23

−1

𝑑𝑥 =𝑥−2+1

−2 + 1 −1

3

=𝑥−1

−1 −1

3

= −𝑥−1 −1

3

= − 3−1 − −1 −1 = −1

3+ 1 = −

1

3− 1 = −

4

3

Note que:

1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 mas ∫ 𝑓 𝑥 < 03

−1, logo não atende a Propriedade PC1.

2. O TFC aplica-se a funções contínuas e ele não poder ser aplicado, pois

temos uma descontinuidade da função 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 no intervalo −1, 3 .

Portanto não é possível determinar a integral ∫1

𝑥2

3

−1𝑑𝑥.

INTEGRAL DEFINIDA Exercício de Aplicação. Calcule o centro de massa de uma

placa semicircular de raio 𝑟, sabendo que o centro de massa

da placa está localizado no ponto

𝒙 =1

𝐴 𝑥𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 𝑒 𝑦 =1

2𝐴 𝑓 𝑥 2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

SOLUÇÃO. Note que:

𝑓 𝑥 = 𝑟2 − 𝑥2, 𝑎 = −𝑟, 𝑏 = 𝑟 e 𝐴 =1

2𝜋𝑟2

INTEGRAL DEFINIDA SOLUÇÃO.𝑓 𝑥 = 𝑟2 − 𝑥2, 𝑎 = −𝑟, 𝑏 = 𝑟 e 𝐴 =

1

2𝜋𝑟2

O centro de massa deve estar sobre o eixo y, assim:

𝒙 = 0

𝑦 =1

2𝐴 𝑓 𝑥 2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 =1

212

𝜋𝑟2 𝑟2 − 𝑥2

2𝑟

−𝑟

𝑑𝑥 =

=2

21

2𝜋𝑟2

∫ 𝑟2 − 𝑥22𝑟

0𝑑𝑥 =

2

𝜋𝑟2 ∫ 𝑟2 − 𝑥2𝑟

0𝑑𝑥 =

=2

𝜋𝑟2 𝑟2 ∫ 𝑑𝑥𝑟

−𝑟− ∫ 𝑥2𝑑𝑥

𝑟

−𝑟=

2

𝜋𝑟2 𝑟2𝑥 −𝑥3

3 0

𝑟

=

=2

𝜋𝑟2 𝑟2𝑟 −𝑟3

3− 𝑟20 −

03

3=

2

𝜋𝑟2 𝑟3 −𝑟3

3=

2

𝜋𝑟2

2𝑟3

3=

4𝑟

3𝜋

Logos, o centro de massa está localizado no ponto 0,4𝑟

3𝜋