Einführung in DSGE-Modelle und deren Lösung mit Hilfe von ... · dann ist ln 𝑡+1...

Einführung in DSGE-Modelle und deren

Lösung mit Hilfe von Dynare

Prof. Dr. Jochen Michaelis

Wintersemester 2015/2016

MAGKS - Makroökonomik Prof. Dr. Jochen Michaelis

Kapitel 2: log-Linearisierung

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2. Methodischer Exkurs: Log-Linearisieren

Zietz, Joachim (2008): ‚A Clarifying Note on Converting to Log-Deviations from the

Steady State‘, Economics Bulletin 3: 1-15.

Uhlig, Harald (1999): A Toolkit for Analyzing Nonlinear Dynamic Stochastic Models

Easily“, in: R. Marimon und A. Scott (Eds.); Computational Methods for the Study

of Dynamic Economics, Oxford University Press, S. 30-61.

oder: Homepage von Harald Uhlig

Ausgangspunkt:

Die meisten Makro-Modelle sind nicht-linear und haben keine exakte Lösung.

Beispiel: 𝑌 = 𝐶 + 𝐼 mit Konsumfunktion 𝐶 = 𝑌𝛼

𝑌 − 𝑌𝛼 = 𝐼

Nur Näherungslösungen für Y möglich!


Kapitel 2: log-Linearisierung

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Log-Linearisierung ist eine Methode für Bestimmung solcher Näherungslösungen

Kernidee (bzw. Annahme):

In der Nähe des Steady States ist das Modell näherungsweise linear in

logarithmierten Größen

Vorgehensweise:

Formuliere das Modell in (prozentualen) Abweichungen vom Gleichgewicht

Abweichungen sind lineare Funktionen der Modellparameter (first order

approximation)

Umwandlung eines nicht-linearen Modells in ein lineares System

Komplexitätsreduktion, Nutzung von Standardsoftware

Achtung:

Lineare Approximation nur in der Nähe des Gleichgewichts eine gute Approximation

Weiterentwicklung: second-order approximation

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Taylor-Approximation:

Taylor-Approximation n-ter Ordnung der Funktion 𝑓(𝑥) um einen Wert 𝑥0:

(2.1) 𝑇𝑛,𝑥0 𝑥 ≡𝑓(𝑥0)

0!+𝑓′ 𝑥0

1!𝑥 − 𝑥0 +

𝑓′′ 𝑥0

2!𝑥 − 𝑥0

2 +⋯+𝑓(𝑛) 𝑥0

𝑛!(𝑥 − 𝑥0)

𝑛

First-order approximation: 𝑇1,𝑥0 𝑥 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) 𝑥 − 𝑥0

Second-order approximation: 𝑇2,𝑥0 𝑥 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′(𝑥0)

2𝑥 − 𝑥0

2

Es gilt:

(2.2) 𝑓 𝑥 = 𝑇𝑛,𝑥0 𝑥 + 𝑅𝑛 mit 𝑅𝑛 als Restgröße (remainder)


)(xf

x

•

••

0x x

)(xf


Mehrere Variablen

Approximation der Funktion 𝑔(𝑥, 𝑦) um den Wert (𝑥0, 𝑦0)

First order TA:

(2.3) 𝑇1,𝑥0,𝑦0 𝑥, 𝑦 ≡ 𝑔(𝑥0, 𝑦0) + 𝑔𝑥 𝑥0, 𝑦0 ∙ 𝑥 − 𝑥0 + 𝑔𝑦 𝑥0, 𝑦0 ∙ 𝑦 − 𝑦0

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Definitionen

𝑋𝑡 = Variable (z.B. Output, Arbeitszeit)

𝑋 = Gleichgewichtswert (Steady State-Wert) der Variablen 𝑋𝑡

𝑥𝑡 = ln𝑋𝑡 = Logarithmus dieser Variable

𝑥 = 𝑙𝑛𝑋 = Logarithmus des Steady State

(2.4) 𝑥 𝑡 ≡ 𝑥𝑡 − 𝑥 = 𝑙𝑛𝑋𝑡 − 𝑙𝑛𝑋 log deviation of 𝑋𝑡 from its steady state 𝑋

𝑥 𝑡 ist (ungefähr) gleich der prozentualen Abweichung von 𝑋𝑡 vom Steady state 𝑋

Beispiel: Steady State = 100 aktueller Wert = 101

Prozentabweichung exakt: 101−100

100= 0.01 = 1%

Log-Differenz: ln 101 − ln 100 = 0.00995 = 0.995%

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First order TA der Variablen 𝑿𝒕 um den Steady State-Wert 𝑿 :

1. Formuliere 𝑋𝑡 um zu:

𝑋𝑡 = 𝑋 ∙𝑋𝑡

𝑋 = 𝑋 ∙ 𝑒

𝑙𝑛𝑋𝑡𝑋 = 𝑋 ∙ 𝑒𝑙𝑛 𝑋𝑡−𝑙𝑛𝑋 = 𝑋 ∙ 𝑒𝑥 𝑡

mit 𝑥 𝑡 ≡ 𝑙𝑛𝑋𝑡 − 𝑙𝑛𝑋 als prozentuale Abweichung von 𝑋𝑡 von seinem

Gleichgewichtswert 𝑋 .

2. FOTA für die Funktion 𝑒𝑥 𝑡 um den Gleichgewichtswert 𝑥 𝑡 = 0 ( 𝑋𝑡 = 𝑋 )

(2.5) 𝑒𝑥 𝑡 𝑓(𝑥)

≈ 𝑒0 𝑓(𝑎)

+ 𝑒0 𝑓′(𝑎)

(𝑥 𝑡 − 0)𝑥−𝑎

= 1 + 𝑥 𝑡

(2.6) 𝑋𝑡 ≈ 𝑋 ∙ (1 + 𝑥 𝑡)


Second order TA der Variablen 𝑿𝒕 um den Steady State-Wert 𝑿 :

1. 𝑋𝑡 = 𝑋 ∙ 𝑒𝑥 𝑡

2. SOTA für die Funktion 𝑒𝑥 𝑡 um den Gleichgewichtswert 𝑥 𝑡 = 0 ( 𝑋𝑡 = 𝑋 )

(2.7) 𝑒𝑥 𝑡 𝑓(𝑥)

≈ 𝑒0 𝑓 𝑥0

+ 𝑒0 𝑓′ 𝑥0

(𝑥 𝑡 − 0)𝑥−𝑥0

+1

2𝑒0 𝑓′′ 𝑥0

𝑥 𝑡 − 02

𝑥−𝑥02

= 1 + 𝑥 𝑡 +1

2𝑥 𝑡2

(2.8) 𝑋𝑡 = 𝑋 ∙ 1 + 𝑥 𝑡 +1

2𝑥 𝑡2

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Log-Linearisierung einer linearen Gleichung: 𝒀𝒕 = 𝑪𝒕 + 𝑮𝒕

Im Steady State gilt: 𝑌 = 𝐶 + 𝐺

Umformulierung der Gleichung in prozentualen Abweichungen vom StSt mittels FOTA

𝑌 ∙ 1 + 𝑦 𝑡 = 𝐶 ∙ 1 + 𝑐 𝑡 + 𝐺 ∙ (1 + 𝑔 𝑡)

𝑌 + 𝑌 𝑦 𝑡 = 𝐶 + 𝐶 𝑐 𝑡 + 𝐺 + 𝐺 𝑔 𝑡

Beachtung der Steady-State Bedingung 𝑌 = 𝐶 + 𝐺 und Division durch 𝑌 führt zu

(2.9) 𝑦 𝑡 = 𝜑𝑐𝑐 𝑡 + 𝜑𝑔𝑔 𝑡

mit Konsumquote 𝜑𝑐 =𝐶

𝑌 und Staatsquote 𝜑𝑔 =

𝐺

𝑌 im Steady State

Ergebnis immer noch linear, aber jetzt formuliert in prozentualen Abweichungen vom StSt


Log-Linearisierung einer nicht-linearen Gleichung: 𝒀𝒕 = 𝑨𝒕 ∙ 𝑵𝒕𝜷

Steady State: 𝑌 = 𝐴 ∙ 𝑁 𝛽 bzw. ln 𝑌 = 𝑙𝑛 𝐴 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁

Logarithmiere die Ausgangsgleichung:

𝑙𝑛 𝑌𝑡 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛𝑁𝑡

𝑙𝑛(𝑌 𝑌𝑡

𝑌 ) = 𝑙𝑛(𝐴

𝐴𝑡

𝐴 ) + 𝛽 𝑙𝑛(𝑁

𝑁𝑡

𝑁 )

𝑙𝑛(𝑌 𝑒𝑦 𝑡) = 𝑙𝑛(𝐴 𝑒𝑎 𝑡) + 𝛽 𝑙𝑛(𝑁 𝑒𝑛 𝑡)

𝑙𝑛 𝑌 + 𝑦 𝑡 = 𝑙𝑛 𝐴 + 𝑎 𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛𝑁 + 𝛽𝑛 𝑡

(2.10) 𝑦 𝑡 = 𝑎 𝑡 + 𝛽𝑛 𝑡

log-linearisierte Form ist jetzt linear


Ein „schnellerer“ Weg:

Logarithmiere Ausgangsgleichung:

𝑙𝑛 𝑌𝑡 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 + 𝛽 𝑙𝑛𝑁𝑡

Subtrahiere logarithmierte Steady-State Relation

𝑙𝑛 𝑌𝑡 − 𝑙𝑛𝑌 = 𝑙𝑛 𝐴𝑡 − 𝑙𝑛𝐴 + 𝛽 𝑙𝑛 𝑁𝑡 − 𝛽 𝑙𝑛𝑁

(2.10) 𝑦 𝑡 = 𝑎 𝑡 + 𝛽𝑛 𝑡

Aber:

Dieser Weg ist für first-order TA möglich, nicht aber für second-order TA!

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Problemfall: Gleichung mit Erwartungswerten

Euler-Gleichung für optimalen intertemporalen Konsum

(2.11) 𝐸𝑡(𝐶𝑡+1)𝜎= 𝛽(1 + 𝑖𝑡)

𝑃𝑡

𝐸𝑡𝑃𝑡+1(𝐶𝑡)𝜎

Logarithmieren:

(2.12) ln 𝐸𝑡(𝐶𝑡+1)𝜎 = ln𝛽 + ln 1 + 𝑖𝑡 + ln𝑃𝑡 − ln𝐸𝑡𝑃𝑡+1 + ln(𝐶𝑡)

𝜎

Achtung: ln 𝐸𝑡𝑥𝑡+1 ≠ 𝐸𝑡(ln 𝑥𝑡+1)

Hier: ln{𝐸𝑡[ 𝐶𝑡+1𝜎]} ≠ 𝐸𝑡[𝑙𝑛 𝐶𝑡+1

𝜎] und 𝑙𝑛𝐸𝑡𝑃𝑡+1 ≠ 𝐸𝑡(𝑙𝑛𝑃𝑡+1)


Jensen‘sche Ungleichung: 𝑙𝑛𝐸𝑡𝑥𝑡+1 > 𝐸𝑡(𝑙𝑛𝑥𝑡+1)

1ln tx

1tx

•

••

1tt xE

)ln( 1tt xE

1

•

)(ln 1tt xE


Annahme:

𝑥𝑡+1 sei lognormal-verteilt, also 𝑥𝑡+1~ ln𝑁𝑉(𝜇, 𝜎2)

dann ist ln 𝑥𝑡+1 normal-verteilt mit Erwartungswert 𝜇; ln 𝑥𝑡+1~𝑁𝑉(𝜇, 𝜎2)

Erwartungswert einer lognormal-verteilten Variable: 𝐸𝑡𝑥𝑡+1 = 𝑒𝜇+0,5𝜎2

Logarithmus der lognormal-verteilten Variable:

ln(𝐸𝑡𝑥𝑡+1) = ln 𝑒𝜇+0,5𝜎2 = 𝜇 + 0,5𝜎2

Erwartungswert der normal-verteilten Variable ln 𝑥𝑡+1: 𝐸𝑡 ln 𝑥𝑡+1 = 𝜇


Es resultiert:

ln 𝐸𝑡𝑥𝑡+1 − 𝐸𝑡 ln 𝑥𝑡+1 = 𝜇 + 0,5𝜎2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Varianzen sind zeitinvariant; sie fallen also weg, wenn Abweichungen von einem

Steady State betrachtet werden. Daher werden die Konstanten von vornherein

weggelassen, d.h. log-Linearisierung „im Erwartungswert“ ist zulässig!!

Anwendung bei Euler-Gleichung:

ln{𝐸𝑡[ 𝐶𝑡+1𝜎]} = 𝐸𝑡[𝑙𝑛 𝐶𝑡+1

𝜎] und 𝑙𝑛(𝐸𝑡𝑃𝑡+1) = 𝐸𝑡𝑙𝑛𝑃𝑡+1

Einsetzen in (2.12):

(2.13) 𝜎𝐸𝑡ln𝐶𝑡+1 = 𝑙𝑛𝛽 + l𝑛 1 + 𝑖𝑡 + 𝑙𝑛𝑃𝑡 + 𝜎𝑙𝑛𝐶𝑡 − 𝐸𝑡𝑙𝑛𝑃𝑡+1


Für Nominalzins gilt: ln(1 + 𝑖𝑡) ≅ 𝑖𝑡

Für erwartete Inflationsrate gilt: 𝐸𝑡𝜋𝑡+1 = 𝐸𝑡 𝑃𝑡+1− 𝑃𝑡

𝑃𝑡= 𝐸𝑡 𝑃𝑡+1

𝑃𝑡− 1

1 + 𝐸𝑡𝜋𝑡+1 = 𝐸𝑡 𝑃𝑡+1 𝑃𝑡

ln( 1 + 𝐸𝑡𝜋𝑡+1) = ln 𝐸𝑡 𝑃𝑡+1− ln 𝑃𝑡 ≅ 𝐸𝑡𝜋𝑡+1

Einsetzen in (2.13):

𝜎𝐸𝑡ln𝐶𝑡+1 = 𝑙𝑛𝛽 + 𝑖𝑡 − (𝐸𝑡𝑙𝑛𝑃𝑡+1 − 𝑙𝑛𝑃𝑡) + 𝜎𝑙𝑛𝐶𝑡

𝜎𝐸𝑡ln𝐶𝑡+1 = 𝑙𝑛𝛽 + 𝑖𝑡 − 𝐸𝑡𝜋𝑡+1 + 𝜎𝑙𝑛𝐶𝑡

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Im Steady State gilt:

𝜎𝐸𝑡ln𝐶 = 𝑙𝑛𝛽 + 𝑖 − 𝐸𝑡𝜋 =0

+ 𝜎𝑙𝑛𝐶

Für die Abweichung vom Steady State resultiert die

Log-linearisierte Euler-Gleichung

(2.14) 𝑐 𝑡 = 𝐸𝑡𝑐 𝑡+1 −1

𝜎(𝑖 𝑡 − 𝐸𝑡𝜋𝑡+1)

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Schwachpunkte der Technik der log-Linearisierung

Approximation gilt nur für kleine Abweichungen vom Steady State, d.h. große

Schocks werden nicht adäquat abgebildet

(Problem: kann Finanzkrise 2007ff. mit DSGE diskutiert werden??!)

Es werden nur Erwartungswerte einer Zufallsvariablen betrachtet, spielt die

Varianz eine Rolle wie bei Risikoüberlegungen, ist log-Lin. nicht geeignet

Ausweg in Neu-Keynesianischer Makro: Second-order Taylor-Approximation, vgl.

Benigno und Woodford, Journal of Economic Theory (2012)

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