Vorlesung 3b Der Erwartungswert - math.uni-frankfurt.deismi/wakolbinger/teaching/Elesto07/... · X...

Vorlesung 3b

Der Erwartungswert:

Wiederholung, Ausblick, Beispiele.

1

Der

Erwartungswert

Der

Erwartungswert

X

Der

Erwartungswert

Xeine Zufallsgroße

Der

Erwartungswert

Xeine Zufallsgroße

EX

Der

Erwartungswert

Xeine Zufallsgroße

EXeine Zahl

EX :=∑

x P{X = x}

EX :=∑

x P{X = x}

EXISTENZ

EX :=∑

x P{X = x}

EXISTENZ

∞ − ∞: sinnlos

EX :=∑

x P{X = x}

EXISTENZ


Also entweder∑

x>0 x P{X = x} < ∞

EX :=∑

x P{X = x}

EXISTENZ


Also entweder∑

x>0 x P{X = x} < ∞

oder∑

x<0 x P{X = x} > −∞

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

BEISPIEL

0 1 2 3

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Eine faire Munze wird dreimal geworfen.

0 1 2 3

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 0}= P{ZZZ} = 18

0 1 2 3

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 0} = P{ZZZ}= 18

0 1 2 3

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 0} = P{ZZZ} = 18

0 1 2 3

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 0} = P{ZZZ} = 18

0 1 2 3

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 1}= P{KZZ, ZKZ,ZZK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 1} = P{KZZ,ZKZ, ZZK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 1} = P{KZZ, ZKZ,ZZK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 1} = P{KZZ, ZKZ,ZZK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 2}= P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 2} = P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 2} = P{KKZ, KZK, ZKK} = 3 · 18

0 1 2 3

18

38

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 3}= P{KKK} = 18

0 1 2 3

18

38

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 3} = P{KKK}= 18

0 1 2 3

18

38

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 3} = P{KKK} = 18

0 1 2 3

18

38

38

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P{X = 3} = P{KKK} = 18

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

EX = ?

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

EX :=∑

x P{X = x}

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

EX = 0 · 18

+ 1 · 38

+ 2 · 38

+ 3 · 18= 12

8= 1.5

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

EX = 0 · 18

+ 1 · 38

+ 2 · 38

+ 3 · 18

= 128

= 1.5

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

EX 6= erwarteter Wert

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Was denn?

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Wie erlebt man den Erwartungswert?

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Durch wiederholtes Werfen der drei Munzen

0 1 2 3

18

38

38

18

x = Anzahl Kopf

P{X

=x}

12345678912345678980 Wiederholungen: X1, X2, ..., X80123456789123456789

0 20 40 60 80

01

23

n

Xn

123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789

0 20 40 60 80

01

23

n

Xn

123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789

0 200 400 600 800

01

23

n

Xn

123456789123456789Mn := (X1 + X2 + ... + Xn) /n123456789123456789

0 2000 4000 6000 8000

01

23

n

Xn

123456789123456789123456789Mn → EX123456789123456789123456789

0 2000 4000 6000 8000

01

23

n

Xn

123456789123456789123456789Warum?123456789123456789123456789

0 2000 4000 6000 8000

01

23

n

Xn

123456789123456789123456789Mn =∑

x #{x}/n123456789123456789123456789

0 2000 4000 6000 8000

01

23

n

Xn

123456789123456789123456789Mn =∑

x #{x}/n →∑

x P{X = x}123456789123456789123456789

0 2000 4000 6000 8000

01

23

n

Xn

DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN


Sei X eine Zufallsgroße mit Erwartungswert EX.



Seien X1, X2, ... unabhangige Kopien von X.




Dann gilt




Dann gilt

X1+...+Xnn → EX




Dann gilt

X1+...+Xnn → EX

Zu klaren




Dann gilt

X1+...+Xnn → EX

Zu klaren1. Was heißt

”unabhangig “?




Dann gilt

X1+...+Xnn → EX

Zu klaren1. Was heißt

”unabhangig “?

2. Was heißt”

→ “?

Zwei Vorstellungen von EX


1. Gewichtetes Mittel

der moglichen Werte:




EX :=∑

xP{X = x}




EX :=∑

xP{X = x}

2. Langzeitmittelwert

bei unabhangigen Wiederholungen:




EX :=∑

xP{X = x}

2. Langzeitmittelwert

bei unabhangigen Wiederholungen:

EX = limn→∞X1+...+Xn

n

BEISPIEL A

BEISPIEL A

Zeitpunkt des ersten Erfolgs

BEISPIEL A


Ein Versuch hat zwei Ausgange:

BEISPIEL A



P{X = 1} = p > 0 Erfolg

BEISPIEL A



P{X = 1} = p > 0 Erfolg

P{X = 0} = q := 1 − p < 1 Misserfolg

BEISPIEL A



P{X = 1} = p > 0 Erfolg

P{X = 0} = q := 1 − p < 1 Misserfolg

Der Versuch wird wiederholt durchgefuhrt:

BEISPIEL A



P{X = 1} = p > 0 Erfolg

P{X = 0} = q := 1 − p < 1 Misserfolg

Der Versuch wird wiederholt durchgefuhrt:

X1, X2, X3, ...

Sei T der Zeitpunkt des ersten Erfolgs:


T := inf{ t | Xt = 1}


T := inf{ t | Xt = 1}

Wann tritt

im Schnitt

der erste Erfolg ein?


T := inf{ t | Xt = 1}

Wann tritt

im Schnitt

der erste Erfolg ein?

ET = ?

Die Verteilung von T :


P{T = 1}= P{E} = p


P{T = 1} = P{E}= p


P{T = 1} = P{E} = p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2}= P{ME} = qp


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME}= qp


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3}= P{MME} = q2p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME}= q2p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME} = q2p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME} = q2p

P{T = k}= P{M...ME} = qk−1p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME} = q2p

P{T = k} = P{M...ME}= qk−1p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME} = q2p

P{T = k} = P{M...ME} = qk−1p


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME} = q2p

P{T = k} = P{M...ME} = qk−1p

Ist es sicher,

dass der Erfolg

irgendwann mal eintritt?


P{T = 1} = P{E} = p

P{T = 2} = P{ME} = qp

P{T = 3} = P{MME} = q2p

P{T = k} = P{M...ME} = qk−1p

Ist es sicher,

dass der Erfolg

irgendwann mal eintritt?

P{T < ∞} = 1?

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...

P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...

P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...

P{T < ∞} = p(1 + q + q2 + q3 + ...)

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...

P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...

P{T < ∞} = p(1 + q + q2 + q3 + ...)

P{T < ∞} =p

1 − q

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + P{T = 4} + ...

P{T < ∞} = p + qp + q2p + q3p + ...

P{T < ∞} = p(1 + q + q2 + q3 + ...)

P{T < ∞} =p

1 − qP{T < ∞} = 1

P{T < ∞} = 1 ?

P{T < ∞} = 1 ?

Kurzer:

P{T < ∞} = 1 ?

Kurzer:

P{T > k}= P{M...M}= qk → 0

P{T < ∞} = 1 ?

Kurzer:

P{T > k} = P{M...M}= qk → 0

P{T < ∞} = 1 ?

Kurzer:

P{T > k} = P{M...M} = qk→ 0

P{T < ∞} = 1 ?

Kurzer:

P{T > k} = P{M...M} = qk → 0

ET = ?

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET =∑

k qk−1 p

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET =∑

k qk−1 p

ET = p∑

kqk−1

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET =∑

k qk−1 p

ET = p∑

kqk−1

ET = pd

dq

∑qk

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET =∑

k qk−1 p

ET = p∑

kqk−1

ET = pd

dq

∑qk

ET = pd

dq

(

1

1 − q

)

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET =∑

k qk−1 p

ET = p∑

kqk−1

ET = pd

dq

∑qk

ET = pd

dq

(

1

1 − q

)

ET = p1

(1 − q)2

ET = ?

ET =∑

kP{T = k}

ET =∑

k qk−1 p

ET = p∑

kqk−1

ET = pd

dq

∑qk

ET = pd

dq

(

1

1 − q

)

ET = p1

(1 − q)2

ET = 1p

ERSTE HERLEITUNG

ERSTE HERLEITUNG

ET =∑

k P{T = k}

ERSTE HERLEITUNG

ET =∑

k P{T = k}

ZWEITE HERLEITUNG

ERSTE HERLEITUNG

ET =∑

k P{T = k}

ZWEITE HERLEITUNG

ET = lim T1+...+Tmm

n Versuche (n >> 1)

n Versuche (n >> 1)

MMMEMMMMEMMMMMMMEMMMMMMMEMMMMMEMMMMMMEMM

n Versuche (n >> 1)


T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...

n Versuche (n >> 1)


T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...

m = np(1 + o(1))

n Versuche (n >> 1)


T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...

m = np(1 + o(1))

T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))

n Versuche (n >> 1)


T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...

m = np(1 + o(1))

T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))

(T1 + ... + Tm)/m = (n/(np))(1 + o(1))

n Versuche (n >> 1)


T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...

m = np(1 + o(1))

T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))

(T1 + ... + Tm)/m = (n/(np))(1 + o(1))

= (1/p)(1 + o(1))

n Versuche (n >> 1)


T1 = 4 T2 = 5 T3 = 8 ...

m = np(1 + o(1))

T1 + ... + Tm = n(1 + o(1))

(T1 + ... + Tm)/m = (n/(np))(1 + o(1))

= (1/p)(1 + o(1))

ET = 1/p

BEISPIEL B

BEISPIEL B

Wartezeiten bei variablen Erfolgschancen

BEISPIEL B


X1, X2, X3, ... unabhangige Versuche

BEISPIEL B



P{X1 = 1} = 12

BEISPIEL B



P{X1 = 1} = 12

P{X2 = 1} = 13

BEISPIEL B



P{X1 = 1} = 12

P{X2 = 1} = 13

P{X3 = 1} = 14

BEISPIEL B



P{X1 = 1} = 12

P{X2 = 1} = 13

P{X3 = 1} = 14

P{Xt = 1} = 1t+1

BEISPIEL B



P{X1 = 1} = 12

P{X2 = 1} = 13

P{X3 = 1} = 14

P{Xt = 1} = 1t+1

T = Zeitpunkt des ersten Erfolges:

BEISPIEL B



P{X1 = 1} = 12

P{X2 = 1} = 13

P{X3 = 1} = 14

P{Xt = 1} = 1t+1

T = Zeitpunkt des ersten Erfolges:

T := inf{t | Xt = 1}

Wie ist T verteilt?

Wie ist T verteilt?

P{T = 1} = P{E} = 12

Wie ist T verteilt?

P{T = 1} = P{E} = 12

P{T = 2} = P{ME} = 12

13

Wie ist T verteilt?

P{T = 1} = P{E} = 12

P{T = 2} = P{ME} = 12

13

P{T = 3} = P{MME} = 12

23

14 = 1

314

Wie ist T verteilt?

P{T = 1} = P{E} = 12

P{T = 2} = P{ME} = 12

13

P{T = 3} = P{MME} = 12

23

14 = 1

314

P{T = 4} = P{MMME} = 12

23

34

15 = 1

415

Wie ist T verteilt?

P{T = 1} = P{E} = 12

P{T = 2} = P{ME} = 12

13

P{T = 3} = P{MME} = 12

23

14 = 1

314

P{T = 4} = P{MMME} = 12

23

34

15 = 1

415

P{T = t} = 1t

1t+1

Wie ist T verteilt?

P{T = 1} = P{E} = 12

P{T = 2} = P{ME} = 12

13

P{T = 3} = P{MME} = 12

23

14 = 1

314

P{T = 4} = P{MMME} = 12

23

34

15 = 1

415

P{T = t} = 1t

1t+1

P{T = t} = 1t − 1

t+1

Wie lang im Schnitt muss man

auf den ersten Erfolg warten?



ET = ?



ET = ?

Kommt er uberhaupt,

der erste Erfolg?



ET = ?

Kommt er uberhaupt,

der erste Erfolg?

P{T < ∞} = 1?

P{T ≤ k} → 1?

P{T ≤ k} → 1?

P{T ≤ k}

P{T ≤ k} → 1?

P{T ≤ k}

=

P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}

P{T ≤ k} → 1?

P{T ≤ k}

=

P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}

=

(1 − 12) + (1

2 − 13) + (1

3 − 14) + ... + (1

k − 1k+1)

P{T ≤ k} → 1?

P{T ≤ k}

=

P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}

=

(1 − 12) + (1

2 − 13) + (1

3 − 14) + ... + (1

k − 1k+1)

=

1 − 1k+1

P{T ≤ k} → 1?

P{T ≤ k}

=

P{T = 1} + P{T = 2} + P{T = 3} + ... + P{T = k}

=

(1 − 12) + (1

2 − 13) + (1

3 − 14) + ... + (1

k − 1k+1)

=

1 − 1k+1

P{T < ∞} = 1

Der Erfolg kommt sicher.


Aber wann?


Aber wann?

ET = ?


Aber wann?

ET = ?

ET =∑

t P{T = t}


Aber wann?

ET = ?

ET =∑

t P{T = t}

ET =∑

t 1t

1t+1


Aber wann?

ET = ?

ET =∑

t P{T = t}

ET =∑

t 1t

1t+1

ET =∑ 1

t+1


Aber wann?

ET = ?

ET =∑

t P{T = t}

ET =∑

t 1t

1t+1

ET =∑ 1

t+1

ET = ∞


Aber wann?

ET = ?

ET =∑

t P{T = t}

ET =∑

t 1t

1t+1

ET =∑ 1

t+1

ET = ∞

Der Erfolg kommt sicher


Aber wann?

ET = ?

ET =∑

t P{T = t}

ET =∑

t 1t

1t+1

ET =∑ 1

t+1

ET = ∞

Der Erfolg kommt sicher

aber manchmal muss man lange warten.

Additivitat

Wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts:


Additivitat


Additivitat

E(X + Y) = EX + EY


Additivitat

E(X + Y) = EX + EY

1n((X1 + Y1) + ... + (Xn + Yn))


Additivitat

E(X + Y) = EX + EY

1n((X1 + Y1) + ... + (Xn + Yn))

= 1n(X1 + ... + Xn) + 1

n(Y1 + ... + Yn)


Additivitat

E(X + Y) = EX + EY

1n((X1 + Y1) + ... + (Xn + Yn))

= 1n(X1 + ... + Xn) + 1

n(Y1 + ... + Yn)

→ EX + EY

BEISPIEL 1

BEISPIEL 1

Hypergeometrische Verteilung

BEISPIEL 1


Eine Urne enthalt r rote und b blaue Kugeln.

BEISPIEL 1



ooooooooooooo r = 8 b = 5

BEISPIEL 1




Aus der Urne werden ohne Zurucklegen n Kugeln gezogen.

BEISPIEL 1





ooooooooo n = 9

BEISPIEL 1





ooooooooo n = 9

R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln

BEISPIEL 1





ooooooooo n = 9

R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln

ER = ?

Verteilung von R

Verteilung von R

P{R = k} = ?

Verteilung von R

P{R = k} = ?

P{R = k} =

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

Verteilung von R

P{R = k} = ?

P{R = k} =

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

ER =∑

k k

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

Verteilung von R

P{R = k} = ?

P{R = k} =

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

ER =∑

k k

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

Es geht so.

Verteilung von R

P{R = k} = ?

P{R = k} =

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

ER =∑

k k

(

r

k

)(

b

n − k

)

/

(

r + b

n

)

Es geht so.Aber es geht auch einfacher.

R = K1 + K2 + ... + Kn

R = K1 + K2 + ... + Kn

Ki = 1 falls i-te Kugel rot Ki = 0 falls i-te Kugel blau

R = K1 + K2 + ... + Kn



P{Ki = 1} = ?

R = K1 + K2 + ... + Kn



P{Ki = 1} = rr+b

R = K1 + K2 + ... + Kn



P{Ki = 1} = rr+b

EKi = rr+b

R = K1 + K2 + ... + Kn



P{Ki = 1} = rr+b

EKi = rr+b

ER = EK1 + EK2 + ... + EKn

R = K1 + K2 + ... + Kn



P{Ki = 1} = rr+b

EKi = rr+b

ER = EK1 + EK2 + ... + EKn

ER = nrr+b

BEISPIEL 2

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf

M := (Z1, Z2, ..., Zn) Munzwurfreihe der Lange n

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf


P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf


P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p

Run: ein Teilblock maximaler Lange: 0....0 oder 1....1

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf


P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p


R := Anzahl Runs in M

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf


P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p



00000000 R = 1

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf


P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p



00000000 R = 1

11100011 R = 3

BEISPIEL 2

Runs beim Munzwurf


P{Zi = 1} = p P{Zi = 0} = q := 1 − p



00000000 R = 1

11100011 R = 3

10101010 R = 8

Ai := 1 falls Zi Anfang eines Runs


Ai := 0 sonst12345678901234567


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An

A1 ≡ 1


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An

A1 ≡ 1

{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An

A1 ≡ 1

{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)

P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An

A1 ≡ 1

{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)

P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)

EAi = 2pq (i > 1)


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An

A1 ≡ 1

{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)

P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)

EAi = 2pq (i > 1)

ER = EA1 + EA2 + EA3 + ... + EAn


Ai := 0 sonst12345678901234567

R = A1 + A2 + ... + An

A1 ≡ 1

{Ai = 1} = {(Zi−1, Zi) = (0, 1) oder (1, 0)} (i > 1)

P{Ai = 1} = qp + pq (i > 1)

EAi = 2pq (i > 1)

ER = EA1 + EA2 + EA3 + ... + EAn

ER = 1 + 2pq(n − 1)

BEISPIEL 3

BEISPIEL 3

Das Geburtstagproblem

BEISPIEL 3


Eine Urne enthalt Kugeln mit Nummern 1, 2, ..., r.

BEISPIEL 3



n-mal wird eine Kugel aus der Urne gezogen und zuruckgelegt:

BEISPIEL 3




X1, X2, ...Xn

BEISPIEL 3




X1, X2, ...Xn

Kollision

BEISPIEL 3




X1, X2, ...Xn

Kollision

(i < j) : Xi = Xj

BEISPIEL 3




X1, X2, ...Xn

Kollision

(i < j) : Xi = Xj

K := Anzahl Kollisionen

BEISPIEL 3




X1, X2, ...Xn

Kollision

(i < j) : Xi = Xj


K :=∑

i<j I{Xi=Xj}.

BEISPIEL 3




X1, X2, ...Xn

Kollision

(i < j) : Xi = Xj


K :=∑

i<j I{Xi=Xj}.

EK = ?

K :=∑

i<j I{Xi=Xj}

K :=∑

i<j I{Xi=Xj}

EK =∑

i<j EI{Xi=Xj}

K :=∑

i<j I{Xi=Xj}

EK =∑

i<j EI{Xi=Xj}

EK =∑

i<j P{Xi = Xj}

K :=∑

i<j I{Xi=Xj}

EK =∑

i<j EI{Xi=Xj}

EK =∑

i<j P{Xi = Xj}

EK =∑

i<j1r

K :=∑

i<j I{Xi=Xj}

EK =∑

i<j EI{Xi=Xj}

EK =∑

i<j P{Xi = Xj}

EK =∑

i<j1r

EK =

(

n

2

)

/ r

1

2

r = 365 n = 2

1

2

1 Paar

r = 365 n = 2

1

2

1 Paar

EK = 1 / 365 = 0.0027

r = 365 n = 2

1

2

3

r = 365 n = 3

1

2

3

3 Paare

r = 365 n = 3

1

2

3

3 Paare

EK = 3 / 365 = 0.0082

r = 365 n = 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

r = 365 n = 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

45 Paare

r = 365 n = 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

45 Paare

EK = 45 / 365 = 0.1233

r = 365 n = 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

r = 365 n = 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

190 Paare

r = 365 n = 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

190 Paare

EK = 190 / 365 = 0.521

r = 365 n = 20

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

r = 365 n = 30

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

435 Paare

r = 365 n = 30

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

435 Paare

EK = 435 / 365 = 1.1918

r = 365 n = 30

Zusammenfassung

1.

Was ist der Erwartungswert?

1.


EX =∑

xP{X = x}

1.


EX =∑

xP{X = x}

und

EX = lim X1+...+Xnn

2.

Wie rechnet man EX am besten?

2.


Oft dadurch,

dass man X als Summe schreibt:

2.


Oft dadurch,


X = Y1 + ... + Yn

2.


Oft dadurch,


X = Y1 + ... + Yn

EX = EY1 + ... + EYn

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