Erwartungswert und Varianz I

download Erwartungswert und Varianz I

of 24

  • date post

    25-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    41
  • download

    0

Embed Size (px)

description

Erwartungswert und Varianz I. Der endliche Fall. Erwartungswert. Varianz. Erwartungswert und Varianz II. Der diskrete unendliche Fall. Dabei nehmen wir an, dass. Erwartungswert. Varianz. Erwartungswert und Varianz III. Der stetige Fall. f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte . - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Erwartungswert und Varianz I

  • Erwartungswert und Varianz IDer endliche FallErwartungswertVarianz

  • Der diskrete unendliche FallDabei nehmen wir an, dassErwartungswertVarianzErwartungswert und Varianz II

  • Der stetige Fallf ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dassErwartungswertVarianzErwartungswert und Varianz III

  • Gegeben seien n ZufallsvariablenDann gilt immer:Wenn giltdann hat man auchGleichheit von Bienaym

  • Ein Tetraeder wird dreimal geworfen.Auf den 4 Flchen des Tetraeders sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4 aufgetragen. Jede Seite erscheint mit der gleichen Wahrscheinlichkeit.Die Zufallsvariable X gebe die Differenzzwischen der Summe der Augenzahlen der beiden ersten Wrfe und der Augen-zahl des dritten Wurfes an.Wir gro sind Erwartungswert undVarianz von X?123

  • Die Binomialverteilung

  • ErwartungswertVarianz

  • Die Poisson-Verteilung

  • ErwartungswertVarianz

  • II. Wahrscheinlichkeitstheorie

    1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsrume1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten

    2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsrume2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhngigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit

    3. Zufallsvariablen3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

  • InsekteneierN : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legtM : Anzahl der Eier, die sich entwickelnN - M : Anzahl der Eier, die unentwickeltbleibenAnnahmenDie Wahrscheinlichkeit, dass dasInsekt genau n Eier legt, betrgtd. h. Jedes Ei entwickelt sich mit dergleichen Wahrscheinlichkeit pDie Eier beeinflussen sich nichtin ihrer Entwicklung

  • Dann gilt:123

  • Beispiele Poisson-verteilterZufallsvariablenAnzahl der pro Zeiteinheitabgestrahlten Teilchen einesradioaktiven PrparatsAnzahl der pro Zeiteinheitan einer Tankstelletankenden PKWAnzahl der Sechser pro Ausspielung im LottoAnzahl der pro Jahr voneiner Versicherung zuregulierenden SchadensflleAnzahl der innerhalbeines Tagesgeborenen Kinder

  • Bckerei BrselX : Anzahl der Kunden in der Bckerei Brsel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhrn : Anzahl der betrachteten HaushalteAnnahmenDie Wahrscheinlichkeit p, dassein Haushalt zu der Zeit bei Brseleinkauft, ist bei allen HaushaltengleichDie Haushalte entscheiden unab-hngig voneinander, ob sie bei Brsel einkaufen oder nicht

  • Dann gilt:d. h.

  • Nun wird die Anzahl n der betrachtetenHaushalte vergrert.Die Einkaufswahrscheinlichkeitp hnge dabei so von n ab, dass gilt:Dann konvergiert die Verteilung von X gegeneine Poisson-Verteilung.Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich:

  • Die Normalverteilung(Gau-Verteilung)(Gausche Glockenkurve)

  • DichteVerteilungVerteilungsfunktion

  • ErwartungswertVarianz

  • Der Zentrale Grenzwertsatz

  • Simulationunter http://illusion.fel.tno.nl/erwin/cenlim/cenlim.html

  • Tafel fr die Verteilungsfunktionbei Normalverteilung

  • BeispielGewicht von pfelnGewicht von pfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen AnbaugebietSchtzer von

  • Wichtige Eigenschaft der NormalverteilungFr unabhngige normalverteilteZufallsvariablen X und Y hat man