Asteroiden DEMO...Asteroiden können auf zwei Arten geometrisch erzeugt werden: (1) als Rollkurve im...

Asteroiden

Text Nummer: 54115

Stand: 17. April 2016

Friedrich Buckel

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DEMO

54115 Asteroiden 2

Friedrich Buckel www.mathe-cd.de

Vorwort

Die Asteroide (Astroide, Sternkurve) ist ein dankbares Untersuchungsobjekt. Allerdings wird man bei der Durchsicht dieses Textes entdecken, dass die Anforderungen bei den Integralen weit über das Schulniveau hinausgeht. Vielleicht gerade interessant für den neugierigen Leser.

Methoden dazu findet man im Text 54011 Differentialgeometrie

Viel Spaß beim Stöbern.

Inhalt

1 Vorschau 3

2 Gleichungen der Asteroide 4

3 Die Asteroide ist ein Hypozykloide 5

4 Herleitungen der Parametergleichungen (2 Methoden) 7

4 Berechnung des Umfangs der Asteroide (2 Methoden) 9

5 Berechnung der Flächen der Asteroide 11

Extrem schwere Integrationsmethode

7 Geometrische Eigenschaften der Asteroide 13

8 Hier noch einige andere Asteroiden 16

Steinersche Hypozykloide 19

DEMO

54115 Asteroiden 3


1 Vorschau: Asteroide (Astroide, Sternkurve)

Mögliche Parametergleichungen: Abbildung mit a = 4:

3

3

a cos tx t für t 0 ; 2

a sin t

oder:

cos t cos (q 1)tx t R r r

sin t sin (q 1)t

Zur Abbildung gehört:

3 cos(t) cos 3tx t

3 sin t sin 3t

Koordinatengleichung: 2 2 23 3 3x ay

Weitere Beispiele: 2 cos(t) cos 2t

x t für t 0 ; 22 sin t sin 2t

4 cos(t) cos 4t


und

2,8 cos(t) cos 2,8tx t für t 0 ; 10

2.8 sin t sin 2,8t

Asteroiden können auf zwei Arten geometrisch erzeugt werden:

(1) als Rollkurve im Innern eines Kreises, daher heißt sie auch Hypozykloide,

(2) als Einhüllende einer gleitenden Strecke oder auch von bestimmten Ellipsenscharen.

Informationen:

Der Flächeninhalt der Asteroide beträgt 238A a , der Umfang ist U 6a .

Die Bogenlänge im Kurvenviertel 120 t ist 23

2s t a sin t .

Der Krümmungsradius ist 32t a sin 2t

Hinweis: ist der griechische Buchstabe „Rho“.

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54115 Asteroiden 4


2 Gleichungen der Asteroiden

Die Parametergleichung

3

3

a cos tx t für t 0 ; 2

a sin t

liefert für a = 4 diese Kurve:

3

3

4 cos tx t für t 0 ; 2

4 sin t

Stellt man die trigonometrischen Formeln

3sin 3t 3 sin t 4 sin t

3cos 3t 4 cos t 3 cos t

nach cos3(t) bzw. sin3(t) um, erhält man andere

Parametergleichungen.

3 cos(t) cos 3t


Umrechnung in eine implizite algebraische Gleichung:

Aus 3x 4 cos t und 3y 4 sin t

folgt: 3xcos t

4 3y

sin t4

Dann potenziert man beide Gleichungen mit 23 :

3

2233x

cos t4

3

2233y

sin t4

d. h. 2

23x

cos t4

2

23y

sin t4

Addieren: 2 2

2 23 3x y

cos t sin t 14 4

| 234

Ergibt: 2 2 23 3 3x 4y

Allgemein wird dann aus

3

3

a cos tx t

a sin t

die Gleichung

2 2 23 3 3x ay

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54115 Asteroiden 5


3 Die Asteroide ist eine Hypozykloide

Wenn sich der Leser bereits mit der Zykloide beschäftigt hat (Text 54101), dann kennt er Rollkurven.

Bei einer Zykloide rollt ein Kreis auf einer Geraden ab. Die Bahn, die dabei ein fester Punkt des

Kreisumfangs beschreibt, nennt man Rollkurve bzw. Zykloide. Jetzt lassen wir diesen Kreis nicht auf

einer Geraden, sondern im Innern eines großen Kreises (Basiskreis) abrollen.

Der innere Kreis hat den Radius r (hier 1).

Der äußere Kreis hat den Radius R q r (hier 4).

Wir betrachten für t = 0 den Punkt P 4 | 0 .

Der innere Kreis rollt nun nach oben.

Wir untersuchen zuerst die Position von P

nach 45O (t = 14 ). Durch die Rollbewegung

hat sich P in die Position Q verlagert. Der

Berührpunkt der beiden Kreise ist jetzt Q' .

Die Länge des Bogens PQ' kann so berechnet

werden: 14PQ' t r 4 . (Zur Erinnerung:

t ist der Winkel im Bogenmaß, und zu 45O ist das

Bogenmaß 14 .)

Der abgerollte Bogen auf dem kleinen Kreis ist der

Halbkreis Q'Q r 1 PQ' .

Nach dem Abrollen um t = 90O bzw. 12 ist der „wandernde“ Punkt P in der Position R angekommen.

Sehen wir uns noch die etwas schwierigere Position S an.

Ich habe S in die Position gesetzt, in der der Mittelpunktwinkel O 13PMS 120 beträgt.

Damit kann man die Koordinaten von S berechnen:

313 11 1

2 831 2333 1 31

3 82

4 44 cosx S 0,5 | 2,6

2,64 sin 4 34 3

Man kann der Täuschung erliegen, dass man vermutet, dass die Bogen PQ und PQ' gleich lang

sind oder PQR PQ'R . Dies stimmt jedoch nicht, wie die später folgende Berechnung der

Bogenlänge der Asteroide zeigt.

Ich nehme vorweg: Es gilt: U = 6a, bei a = 4 also U 24 .

Der Umfang des großen Kreises ist größer: grU 2 4 8 25,13 LE .

Für den Viertelbogen sind das also 6 LE bzw. 2 6,28 LE . Der Kreisbogen ist also um 4,5% länger.

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54115 Asteroiden 6


Wie oft dreht sich der kleine Kreis bei einem Umlauf im Basiskreis?

Bleiben wir beim gezeichneten Beispiel,

bei dem R = 4r ist. (R heißt oft auch a).

Beim Abrollen des kleinen Kreises wird der

große Kreis von P bis P‘ von innen berührt.

Der kleine Kreis hat sich genau dann einmal

gedreht, wenn dieser Bogen gleich groß ist, wie

der Umfang des kleinen Kreises. klU 2 r 2 .

Wie groß ist der Mittelpunktwinkel t des Kreissektors des

Basiskreises, dessen Bogen 2 ist?

Für den Bogen gilt die Verhältnisgleichung b t b 2 1

t 2 2U 2 U 2 4 2

.

Das ist aber gerade ein rechter Winkel.

Folgerung: Der kleine Kreis dreht sich bei seinem Umlauf in diesem Beispiel viermal.

Verallgemeinerung: Nun sei allgemein R q r . Dann ist der Umfang des großen Kreises q-mal so

groß wie der Umfang des kleinen inneren Kreises. Das heißt aber, dass der kleine Kreis q Abrollungen

macht, bis er wieder in der Ausgangslage PO angekommen ist. Ist also q eine natürliche Zahl, dann

schließt sich die Kurve nach einem Abrollvorgang. Wenn also R = 6r ist, dann schließt sich die

Bahnkurve des Punktes P nach der 6-maligen Rollbewegung eines Umlaufs.

Was passiert nun aber, wenn r = 3 cm und R = 13 cm betragen? Dann ist 133q . Dann muss der

kleine Kreis 3-mal umlaufen und dabei 13 Umdrehungen machen, dann schließt sich die Kurve

wieder. Man erkennt: Ist q eine positive rationale Zahl (Bruchzahl), dann erhält man nach einer

entsprechenden Umlaufzahl eine geschlossene Kurve. Ein Beispiel für „benötigte“ 5 Abrollungen

für eine geschlossene Kurve zeige ich auf Seite 16.

Nun eine theoretische Überlegung zur obigen Abbildung:

Stellen Sie sich vor, dass der kleine Kreis genau eine Abrollung gemacht hat (stimmt maßstäblich hier

nicht). Dann hat er sich dabei um seinen Mittelpunkt M um den Winkel gedreht. Und dabei

hat sich dieser Mittelpunkt M um den Winkel t um O gedreht. Dabei gilt: Ot 360 !

Andererseits gilt o360

qt . Setzt man dies ein, folgt:

O

O O O360 1 q 1360 360 1 360

q q q

, das ist also weniger als eine Umdrehung!

Da der kleine Kreis aber insgesamt q-mal abrollt, folgt für danach

O Oq 1q 360 q 1 360

q

(*)

Das heißt, dass er bei seinen q Abrollungen selbst nur q-1 Umdrehungen macht (denn er dreht sich

ja entgegengesetzt bei seinem Abrollen).

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54115 Asteroiden 7


4 Herleitung der Parametergleichungen

1. Methode.

Wir verwenden OP OM MP

. (***)

Zuerst OM

: Es gilt: Mx R r cos t

und: My R r sin t ,

also:

cos tOM R r

sin t

.

Auf der vorhergehenden Seite haben wir die

Gleichung Oq 1 360 (*)

hergeleitet. Sie gilt für einen vollen 360O-Umlauf.

Diese korrigieren wir nun. Wenn man beachtet,

dass einen entgegengesetzten Umlaufsinn wie

der Drehwinkel t hat, dann muss man schreiben: Abb. 4

OOq 1 360 1 q 360 .

Wenn man statt 360O nur eine Teilumdrehung um den Winkel t nimmt, lautet diese Formel:

q 1 t (**)

Dies benötigt man zur Berechnung des Vektors MP

.

Mittels Polarkoordinaten erhält man:

r cos (q 1)tr cosMP

r sin r sin (q 1)t

Beachtet man, dass sin sin und cos cos gilt, dann folgt:

cos (q 1)tr cosMP r

r sin sin (q 1)t

Jetzt setzen wir in (***) ein:

cos t cos (q 1)tOP OM MP R r r

sin t sin (q 1)t

.

Zurück zu der oben dargestellten Asteroide:

Dort war R = 4, r = 1, also q = 4. Dann folgt:

cos t cos 3tOP 3

sin t sin 3t

bzw.

3 cos(t) cos 3t

x t3 sin t sin 3t

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54115 Asteroiden 8


2. Methode.

P x | y ist der wandernde Punkt, dessen Koordinaten Abb. 5

gesucht sind. P hat sich beim Abrollen des kleinen

Kreises um den Winkel t von PO nach P bewegt.

Achtung: P kann wie hier auf dem kleinen abrollenden

Kreis liegen, dann liegt eine Asteroide vor. P kann aber

auch im Kreis oder außerhalb davon liegen. Dann liegt

eine verkürzte oder verlängerte Hypozykloide vor.

Ich habe den Abstand MP mit a bezeichnet. Im Falle einer

(normalen) Asteroide (und in der Abb.) ist a = r.

Diese Bögen sind gleich lang: OP A AP .

WISSEN: Für die Bogenlänge gilt ( im Bogenmaß) die Formel: b 2 r

bU 2 2

b r

Mit OP A R t und AP r folgt damit R

R t r tr

Berechnung von x: x OD OC. DC OC PB R r cos t a sin

PB erhält man im rechtwinkligen Dreieck MPB mit Hilfe des noch unbekannten Winkels .

Im Dreieck OCM ist der Winkel bei M: OMC t2

(Winkelsumme )

Daher folgt: OMC t t2 2

Also ist !R R R

1t t 1r r

t2 r 2

t2

Wir brauchen PBsin PB a sin

a und OC OM R r ,

Nebenrechnung: 1 2

R R Rsin sin 1 t sin 1 t cos 1 t

2 r 2 r r

,

wobei verwendet wurde (1) sin x sin x und (2) sin x cos x2

.

Also gilt: Rx R r cos t a cos 1 t

r

Berechnung von y: y PD MC MB mit MC R r sin t und MB a cos

Nebenrechnung: 3 4

R R Rcos cos 1 t cos 1 t sin 1 t

2 r 2 r r

wobei verwendet wurde (3) cos x cos x und (2) cos x sin x2

.

Also gilt: Ry R r sin t a sin 1 t

r

Oft verwendet man R

qr

, dann folgt:

cos t cos (q 1)tOP R r a

sin t sin (q 1)t

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54115 Asteroiden 9


5 Berechnung des Umfangs der Asteroide

1. Möglichkeit: Aus der impliziten Gleichung 2 2 23 3 3x ay von Seite 4 folgt:

2 2 23 3 3a xy | hoch 3

3

22 23 3a xy

Diese Relation enthält zwei Ersatzfunktionen:

3

2 2 23 3a xy

.

Ich wähle die Funktion mit dem positiven Vorzeichen, deren

Schaubild die beiden oberen Bögen sind.

Im Text 54011 wurde die Bogenlängenformel hergeleitet:

2

1

x2

x

s 1 y ' dx

Dazu benötigt man die Ableitung:

1 1

2 2 1 1 2 22 23 3 3 3 3 33 2

y ' x a x x x a x2 3

Einsetzen in die Formel:

2a a a

14

0 0 0

11 2 2 2 2 2 2 223 3 3 3 3 3 3 3U 1 x a x dx 1 x a x dx 1 a x 1 dx

a a

3 32 22

0 0 3

232 2 1 1 1 1 2

3 3 3 3 3 3 3

a

0

xa x dx a x dx a a a a

Also beträgt der Umfang: U 6a

Bei unserer gezeichneten Kurve war R = a = 4, also U 24 LE.

Vergleichen wir mit dem Umfang des großen Kreises: grU 2 4 8 25,13 LE .

Man sollte also nicht auf die Idee kommen und vermuten, dass ein Viertelbogen der Asteroide

ein Viertelkreisbogen ist!

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54115 Asteroiden 10


2. Möglichkeit: Aus der Parameterdarstellung:

Für „unsere“ Asteroide gilt:

3 2

3 2

4 cos t 12 cos t sin tx t x t

4 sin t 12 sin t cos t

Für die Bogenlänge gilt: 2

1

t2 2

t

s x y dt

Nebenrechnung: 2 22 2 2 2x y 12 cos t sin t 12 sin t cos t

4 2 4 2144 cos t sin t sin t cos t

2 2 2 2 2 2

1

144 cos t sin t cos t sin t 144 cos t sin t

Für einen Viertelbogen folgt daher:

/2 /2

2 214

0 0

U 144 cos t sin t dt 12 cos t sin t dt

(*)

WISSEN: Dieses Integral vereinfacht man mit partieller Integration:

u' v dt u v u v ' dt mit

u' cos t u sin t

v sin t v ' cos t

Also: /2 /2

/22

00 0

cos t sin t dt sin t sin t cos t dt

| +

/2

0

sin t cos t dt

/2

/22

00

2 cos t sin t dt sin t 1

/2

0

1cos t sin t dt

2

Schließlich nach (*)

1 14 2U 12 U 24 LE

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54115 Asteroiden 11


6 Berechnung der Fläche der Asteroide

Für Flächensegmente gilt : 2

1

t

t

A y t x t dt ... (Siehe Text 54011 Seite 46 ff.)

Ich berechne die Fläche zwischen einem Viertelbogen und den Koordinatenachsen.

Nun muss man beachten, dass die Funktion x(t) streng monoton wachsen

soll. Man muss also hier diesen Ansatz machen:

4

14

0

0 /2

/2 0

A f x dx y t x t dt y t x t dt

Denn zu x = 0 gehört die Spitze S 0 | 4 , die zu 12t gehört.

Es gilt:

3 2

3 2

4 cos t 12 cos t sin tx t x t

4 sin t 12 sin t cos t

Setzt man ein: 3 2y t 4 sin t und x t 12 cos t sin t

Dann folgt: /2 /2

3 2 3 214

0 0

A 4 sin t 12 cos t sin t dt 48 sin t cos t sin t dt

Mit 2 2cos t 1 sin t folgt:

/2

4 214

0

A 48 sin t (1 sin t ) dt

/2 /2 /2

4 6 4 6

0 0 0

21AA

48 (sin t sin t ) dt 48 sin t dt 48 sin t ) dt

(*)

Diese beiden sehr schwer zu berechnenden Integrale können nur mittels mehrfacher partieller Integration vereinfacht und berechnet werden. Dabei werden sie wie folgt auf andere Integrale zurückgeführt.

(1) Zuerst berechnet man: 2sin t dt mit der partiellen Integration

u ' v dx u v v ' u dx mit

u' sin t u cos t

v sin t v ' cos t

2

vu'

sin t dt sin t sin t dt 2sin t cos t cos t dt

Man kommt jetzt nur weiter, indem man die „Pythagoras-Gleichung“ 2 2sin t cos t 1

zur Anwendung bringt. Mit ihr kann man 2cos x ersetzen: 2 2cos t 1 sin t .

22sin t dt sin t co (1 sins t t )dt

2 2 2

t

1dtsin t dt sin t dt | sinsin t cos t t dt

2 12 2

2 1sin t dt2 sin t dt sin t c sin t cos ts t t to

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54115 Asteroiden 12


(2) Als nächstes berechnet man das Integral 4sin t dt mit partieller Integration:

4 3sin t dt sin t sin t dt 3 2

u' sin t u cos t

v sin t v ' 3 sin t cos t

4 3 2 2sin t dt sin t cos t 3 sin t cos t dt

4 3 2 2sin t dt sin t cos t 3 sin t 1 sin t dt

2

siehe oben

4 44 3 4 4sin t dt sin t cos t 3 3 sin t dt | 3 sin tin dts t dt

1 12

4 324 sin t dt sin t c so is t n t o3 c s t t

3 32 2

4 34 sin t dt sin t co sin o tt t s ts c | :4

4 3 3 314 8 8sin t dt sin t cos t sin t cos t t

(3) Nun folgt: 6 5sin t dt sin t sin t dt mit 5 4

u' sin t u cos t

v sin t v ' 5 sin t cos t

6 5 4 2sin t dt sin t cos t 5 sin t cos t dt

6 5 4 2sin t dt sin t cos t 5 sin t 1 sin t dt

6 5 4 6 6sin t dt sin t cos t 5 sin t dt 5 sin t dt | 5 sin t dt

6 45

aus 2

6 sin t dt sin t cos t sin t5 t d

3 3 314 8 8

6 5 sin t cos6 sin t dt sin t cos t sin t cos tt t5

35 15 158

58

64 sin t cos t6 sin t dt sin t co sin ts t cos t t | : 6

6 5 35 5 516 24 16 16sin t dt sin t cos t sin t cos t sin t cos t t

Für die Teilintegrale in (*) folgt unter Verwendung von 12sin 0 0 und cos 0

/2

/24 3 3 3 3 31 11 4 8 8 8 2 160

0

A sin t dt sin t cos t sin t cos t t

/2

/26 5 35 5 5 5 51 12 6 24 16 16 16 2 320

0

A sin t dt sin t cos t sin t cos t sin t cos t t

Aus (*) folgt: 11 2 1 2 1 24 A 48A 48A A 192 A 192A 192 A A

3 5 116 32 32A 192 192 6

Auf Seite 3 hatte ich angegeben, dass die Asteroidenfläche 238A a beträgt.

Setzt man hier a = 4 ein, folgt A 6 , was ich soeben berechnet hatte.

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54115 Asteroiden 13


7 Geometrische Eigenschaften der Asteroide

1 Die Stangenkonstruktion

Die Asteroide berührt mit ihren vier Spitzen

den Kreis mit dem Radius R (hier R = 4).

Also ist MA MB R . Dieselbe Länge hat

aber auch jeder Tangentenabschnitt zwischen

den Schnittpunkten der Tangente mit den

Koordinatenachsen: 1 2S S R .

Wenn man also die gezeichnete schräge Strecke

1 2S S („Stange“) abgleiten lässt, so dass sich

S1 auf der x-Achse nach rechts gegen A bewegt,

und S2 entlang der y-Achse gegen den Ursprung,

dann berührt diese Stange stets die Asteroide.

Beweis:

Es sei 1P x t | y t ein beliebiger Kurvenpunkt des Bogens AB mit . t 0

Es gilt

3 2

3 2

R cos t 3R cos t sin tx t x t

R sin t 3R sin t cos t

Tangentensteigung:

2

2

y t 3R sin t cos t sin ty ' t

x t cos t3R cos t sin t

Tangentengleichung in P1: y y t y ' t x x t

3 3sin t

y x R cos t R sin tcos t

3 3sin t sin t

y x Rcos t R sin tcos t cos t

2 3

21 sin t

sin ty x R sin t cos t R sin t

cos t

Tangente: 3sin t

y x R sin tcos t

R sin t 3R sin t

Schnittpunkt Sx der Tangente mit der x-Achse: Bedingung: y = 0:

sin t0 x R sin t

cos t

sin t cos t

x R sin t | (t 0)cos t sin t

x R cos t

Ergebnis: xS R cos t | 0

Schnittpunkt Sy der Tangente mit der y-Achse: yS 0 | R sin t

Länge der Strecke SxSy: 2 2 2 2 2 2L R cos t R sin t R cos t sin t R R ,

was zu beweisen war.

xS

yS

R

1P

DEMO

54115 Asteroiden 14


Ich habe mit dem CAS-Rechner CASIO ClassPad die

Tangentengleichungen zu einigen t-Werten berechnet und die

Tangenten dann mit MatheGrafix zeichnen lassen. Jetzt

erkennt man dieses Abrutschen der Strecke BM in die Lage MA.

Bei konstanter Streckenlänge R berührt sie stets die Asteroide.

In der Abbildung rechts sind sehr viele solche Strecken (Quelle: Mössner)

eingezeichnet. So ergibt sich quasi automatisch die Asteroide

als Begrenzungskurve. Dies nennt man auch die „Stangenkonstruktion“.

Hinweis: Auf der nächsten Seite folgt noch ein weiterer Beweis zur Stangenkonstruktion,

der allerdings fast Hochschulniveau hat.

2 Die Asteroide tritt auch als Hüllkurve einer Ellipsenschar auf

Siehe auch http://mathematik.bildung-rp.de/fileadmin/user_upload/mathematik.bildung-

rp.de/Sekundarstufe_II/MatheAG-SII/pdf/Garage.pdf

(Garagentor führt zur Asteroide).

(Quelle: Mössner)

DEMO

54115 Asteroiden 15


2. Beweis für diese Stangenkonstruktion (Herleitung der impliziten Gleichung)

Die Stange habe die Länge a. Die Achsenabschnittsgleichung der Stange

hat die Form: 1 1

x y1

x y

Wegen 11

xsin x a sin

a . Analog gilt 1y a cos .

Dies ergibt:

x y1

a sin a cos

| asin cos

x cos y sin a sin cos

Daraus definieren wir die Funktion F durch

F x,y, x cos y sin a sin cos

Jede einzelne Tangente ist Lösung der Gleichung F x,y, 0 .

Aus der kurzen Theorie im Text 54031 „Hüllkurven“ folgt, dass man die Gleichung der Hüllkurve als

Lösung dieses Gleichungssystems erhält:

F x,y, 0 (1)

dF x,y, 0 (2)

d

Die Ableitung der impliziten Funktion F nach lautet (x und y werden dabei als Konstante behandelt):

2dF x,y, x sin y cos a cos sin sin

d

2 2x sin y cos a cos sin

Das Gleichungssystem lautet damit

Zuerst: 2 2

x cos y sin a sin cos 0 (1)

x sin y cos a cos sin 0 (2)

| cos

| ( sin )

2 2

2 2 3

x cos y sin cos a sin cos (3)

x sin y cos sin a cos sin sin (4)

(3) + (4): 2 2 3 3x cos sin a s x a nin si

Dann: 2 2

x cos y sin a sin cos 0 (1)

x sin y cos a cos sin 0 (2)

| sin

| cos

2 2

2 3 2

x sin cos y sin a sin cos (5)

x sin cos y cos a cos sin cos (6)

2 2 3 3y sin cos ( a cos y a cos

Wir berechnen: 2/3 2/32/3 2/3 3 3x y a sin a cos

2/3 2 2/3 2 2/3 2 2a sin a cos a sin cos

Also gilt: 2/3 2/3 2/3x y a

Die Einhüllende ist somit die Asteroide.

DEMO

54115 Asteroiden 16


8 Hier noch einige andere Asteroiden:

2 cos(t) cos 2t


4 cos(t) cos 4tx t für t 0 ; 2

4 sin t sin 4t

Abb 10 Abb.11

2,8 cos(t) cos 2,8t

x t für t 0 ; 102.8 sin t sin 2,8t

Wie auf Seite 6 beschrieben, braucht der kleine Kreis mehr als einen Umlauf, wenn

Rq

r nicht ganzzahlig ist, damit sich die

Bahnkurve des Punktes P auf dem kleinen Kreis schließt. Hier sind es 5 Umläufe. Begründung: Dann ist der 5-fache Umfang des großen Kreises grU 5 2 2,8 28

Dann ist der Umfang des großen Kreises 3,8-mal so groß wie der Umfang des kleinen inneren Kreises. Das heißt aber, dass der kleine Kreis insgesamt 5-mal 3,8 Abrollungen macht, bis er wieder in der Abb. 12 Ausgangslage PO angekommen ist, also 19 Abrollungen, und die Bahnkurve hat sich geschlossen.

Die folgenden 4 Abbildungen zeigen die noch nicht geschlossene Kurve nach 1 bis 4 Abrollungen (Abb. 13 bis 16).

Bei den Zykloiden habe ich im gezeigt, dass man Variationen für die Kurve erhält, wenn man als „wandernden“ Punkt nicht einen Randpunkt des abrollenden Kreises nimmt, sondern einen, wer weiter innen bzw. weiter außen liegt. Dies kann man selbstverständlich auch bei den Hypozykloiden machen.

DEMO

54115 Asteroiden 17


Ihre Gleichungen sehen allgemein so aus:

cos t cos (q 1)tOP OM MP R r a

sin t sin (q 1)t

Oder wegen R = qr

cos t cos (q 1)tOP OM MP r (q 1) a

sin t sin (q 1)t

Dabei ist a der Radius der wandernden Punktes auf dem kleinen Kreis.

Das muss man sich natürlich ansehen. Ich zeige auf Seite 17 6 Hypozykloiden immer mit r = 1 aber

unterschiedlichen Radien R und verschiedenen Abständen a des wandernden Punktes vom

Mittelpunkt M‘ des kleinen Kreises.

(1) In Abb. 17 hat der wandernde Punkt den Abstand 13a r vom Mittelpunkt des abrollenden

Kreises. Es liegt demnach eine verkürzte Hypozykloide vor.

Gleichung:

1313

3 cos(t) cos 3tx t für t 0 ; 2

3 sin t sin 3t

(2) In Abb. 18 liegt eine verlängerte Hypozykloide vor, denn der wandernde Punkt hat den

Abstand a = 1,5 r vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises.

Gleichung: 3 cos(t) 1,5 cos 3t

x t für t 0 ; 23 sin t 1,5 sin 3t


Abstand a = 3 r vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises.

Gleichung: 3 cos(t) 3 cos 3t

x t für t 0 ; 23 sin t 3 sin 3t


Abstand a = 4 r vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises.

Gleichung: 8,6 cos(t) 4 cos 8,6t

x t für t 0 ; 108,6 sin t 4 sin 8,6t


Abstand a = 4 r vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises, aber R = 8r.


x t für t 0 ; 108,6 sin t 4 sin 8,6t


Abstand a = 4 r vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Hier ist R 9,6 r .


x t für t 0 ; 108,6 sin t 4 sin 8,6t

Statt verlängerte Zykloide sagt man auch Schleifenzykloide.

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54115 Asteroiden 18


Abb. 17 Abb 18

Abb 19 Abb 20

Abb. 21 Abb 22

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54115 Asteroiden 19


Interessant ist auch die Steinersche Hypozykloide, denn man kann sie auf zwei Arten erzeugen:

Abb. 23:

12

12

cos t 2 cos tx t

sin t 2 sin t

für t 0 ; 4

Hier ist 23r R ,

Abb. 24

2cos t cos 2tx t

2sin t sin 2t

für t 0 ; 2

Hier ist 13r R ,

Abb. 25

Verwendet man 12r R aber a = r,

ergibt sich ein Sonderfall:

Die „Hypozykloide“ entartet zum Kreisdurchmesser.

1,5cos t 1,5cos tx t

1,5sin t 1,5sin t

für t 0 ; 2

Abb. 26

Verwendet man 12r R aber a r, erhält man

eine Ellipse. Hier ist a = 1.

1,5cos t a cos tx t

1,5sin t a sin t

für t 0 ; 2

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Asteroiden DEMO...Asteroiden können auf zwei Arten geometrisch erzeugt werden: (1) als Rollkurve im...

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