Auch gemischt quadratischen Gleichungen der Form ( x + d )² = c können gelöst werden,indem man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel zieht

Beispiel: ( x + 5 )² = 64

Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen

( x + 5 )² = 64 Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und beachten, dass es zwei Lösungen geben kann. 864

5x)5x( 2

x + 5 = + 8 x1 + 5 = + 8 | -5

x1 = + 3 x2 + 5 = - 8 | -5

x2 = - 13

L = { 3 ; -13 }

Mithilfe von Äquivalenzumformungendie beiden Lösungen berechnen.

Der Lösungsweg ist aufwendiger, wenn in einer gemischt quadratischen Gleichungkeine binomische Formel vorkommt:

Beispiel: x² + 2x – 15 = 0Bevor man hier auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kann, muss man die quadratische Ergänzung durchführen.

Diese Gleichungen enthält einen Teil einer binomischen Formelx² + 2x – 15 = 0

Den fehlenden Teil der binomischen Formel kann man ergänzen.

Der fehlende Teil der binomischen Formel in diesem Beispiel ist 1.Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung die 1.x² + 2x – 15 = 0 | +1x² + 2x +1 – 15 = +1

Und notieren die binomischen Formel in Klammern.(x + 1)² – 15 = +1

Wenn wir jetzt noch auf beiden Seiten 15 addieren, können wir die Wurzel ziehen

Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen

(x + 1)² – 15 = +1 | +15

(x + 1)² = +16

Die quadratische Ergänzung bei gemischt quadratischen Gleichungen

(x + 1)² = 16 |√

Jetzt können wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen und bedenken, dass eine quadratische Gleichung immer zwei, eine oder keineLösung(en) haben kann.

(x + 1)² = 16

x1 + 1 = + 4 | -1x1 = + 3

x2 + 1 = - 4 | -1x2 = - 5

L = { 3 ; -5}Probe für x1 = 3x² + 2x – 15 = 0

3² + 2∙3 – 15 = 09 + 6 – 15 = 0

Probe für x2 = -5x² + 2x – 15 = 0

-5² + 2∙(-5) – 15 = 025 – 10 – 15 = 0

Dieses Lösungsverfahren ist die Grundlage für die Lösungsformel (Mitternachtsformel)