Aufbau eines Bragg-Lasersystems fur Koh arenzun...

Aufbau eines Bragg-Lasersystems

fur Koharenzuntersuchungen

an Spinor-Bose-Einstein Kondensaten

Thomas Garl

Diplomarbeit

Institut fur Laserphysik

Universitat Hamburg

Hamburg, Oktober 2004

Referent: Prof. Dr. K. Sengstock

Koreferent: Prof. Dr. W. Neuhauser

Zusammenfassung

Die vorliegende Diplomarbeit wurde am Institut fur Laserphysik der Universitat Ham-

burg durchgefuhrt. Das dort befindliche 87Rb-Experiment dient der Untersuchung von

Spinor-Bose-Einstein-Kondensaten.

In dieser Arbeit wurde ein Bragg-Lasersystem geplant und in das Experiment

integriert, mit dem ein Interferometer fur Spinor-BECs realisiert werden konnte. Zu

diesem Zweck wurde ein gitterstabilisierter Diodenlaser aufgebaut, dessen Frequenz

relativ zu den optischen Ubergangen von Rubidium mit Hilfe einer elektronischen

Regelung in Kombination mit einer dopplerfreien Sattigungsspektroskopie eingestellt

werden konnte. Fur die Bragg-Beugung von Atomen benotigt man zwei Laserstrah-

len, deren Frequenzverstimmung sich im kHz-Bereich kontrollieren lasst. Dies wur-

de durch Aufspalten des Laserstrahls und anschließende Frequenzverschiebung mit

akusto-optischen Modulatoren erreicht.

Mit dem System wurde Bragg-Streuung der kondensierten Rubidium-Atome bis

in die dritte Ordnung demonstriert. Außerdem konnte anhand der Messung von Rabi-

Oszillationen und der Demonstration eines π2-π2-Interferometers gezeigt werden, dass

das System sich hervorragend fur die geplanten interferometrischen Messungen der

raumlichen Koharenzeigenschaften von Spinor-Kondensaten eignet.

Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit lag in der Verbesserung der Auflosung

der Detektionsoptik. Dies erweist sich als notwendig, da die bei der Interferenz zweier

BECs auftretenden Strukturen weit unterhalb der vorherigen minimalen Auflosung

liegen. Dazu wurde ein Linsensystem geplant und realisiert, durch dessen experi-

mentelle Implementation eine Auflosung von 3, 6 µm erzielt und diese somit um

einen Faktor funf verbessert werden konnte. Dies wurde anhand von Abbildung eines

Auflosungsdias gemessen und durch die Detektion von Kondensaten in der Magnet-

falle uberpruft.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Theoretische Grundlagen 5

2.1 Bose-Einstein Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 BEC mit Spinfreiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Bragg-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen am Kristallgitter . . . . 9

2.2.2 Impulsubertrage durch stimulierte Raman-Prozesse . . . . . . 10

2.2.3 Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle . . 11

2.2.4 Bragg-Beugung von Atomen an einer sich bewegenden opti-

schen Stehwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.5 Bragg-Beugung hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.6 Bragg-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.7 Rabi-Oszillationen bei der Bragg-Beugung . . . . . . . . . . . 19

2.2.8 Bragg-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Experimenteller Aufbau 25

3.1 Das BEC-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Aufbau der Detektionsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Das Prinzip der Absorptionsmessung . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Aufbau des Linsensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3 Charakterisierung der Detektionsoptik . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.4 Implementierung der Detektionsoptik . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.1 Gitterstabilisierter Diodenlaser . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1.1 Eigenschaften von Laserdioden . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1.2 Stabilisierung der Laserdiode . . . . . . . . . . . . . 39

v

vi INHALTSVERZEICHNIS

3.3.1.3 Aufbau und Justage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Sattigungsspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.3 Frequenzverschiebung mit akusto-optischen Modulatoren . . . 45

3.3.4 Aufbau des Bragg-Laserssystems . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems 51

4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf die Signalqualitat . . . . 51

4.2 Schwebungsmessung der Bragg-Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Demonstration der Bragg-Beugung erster und hoherer Ordnung . . . 60

4.4 Rabi-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Das π2-π2-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Ausblick 69

Literaturverzeichnis 71

Danksagung 77

Kapitel 1

Einleitung

Seitdem die Bose-Einstein-Kondensation (BEC) in verdunnten atomaren Gasen 1995

erstmalig experimentell realisiert wurde, hat die Untersuchung der kalten Quanten-

gase wahrend der letzten Jahre eine beachtliche Vielfalt an Ergebnissen hervorge-

bracht. Die beim Phasenubergang zum BEC auftretende makroskopische Besetzung

des Grundzustandes erlaubt nicht nur die Untersuchung grundlegender quantenme-

chanischer Fragestellungen, sie bietet auch eine Vielzahl vollig neuer physikalischer

Anwendungsperspektiven.

Die Vorhersage der Bose-Einstein-Kondensation erfolgte im Jahre 1925 von Ein-

stein [1], der unter Verwendung von de Broglies Konzept der Wellennatur von mas-

sebehafteten Teilchen [2] die Bose-Statistik fur Photonen [3] auf Teilchen mit Masse

anwendete. Dabei stellte er fest, dass wenn bei konstanter Temperatur die Teilchen-

zahl eines idealen Gases erhoht wird, ab einem gewissen Punkt die Verteilung nicht

mehr alle Teilchen aufnehmen kann, und somit die ubrigen Atome den Grundzustand

bevolkern mussen. Senkt man bei konstanter Teilchenzahl die Temperatur immer

weiter ab, so kann man sich anschaulich vorstellen, dass sich die Wellenpakete der in

einem Potential gefangenen Atome immer mehr ausdehnen, bis sie uberlappen und

so quasi gezwungen werden, den gleichen Zustand zu besetzen. Dieses Verhalten kann

nur bei Bosonen, also Teilchen mit ganzzahligem Spin, beobachtet werden.

Da zum Erreichen der Bose-Einstein-Kondensation in verdunnten atomaren Gasen

Temperaturen im Bereich von einigen hundert Nanokelvin erreicht werden mussen,

ist die experimentelle Realisierung mit großen technischen Schwierigkeiten verbunden

und konnte erst 70 Jahre nach der theoretischen Vorhersage erreicht werden. Dennoch

fand die Theorie schon 1938 zur Erklarung der Suprafluiditat von 4He Anwendung

[4], bei der auch das bis heute verwendete Konzept der makroskopischen Wellenfunk-

tion eingefuhrt wurde. Es folgten viele weitere Arbeiten, die zum Verstandnis von

1

2 Kapitel 1 Einleitung

supraflussigem Helium beitrugen und einen Großteil der theoretischen Grundlagen

der Bose-Einstein-Kondensation in homogenen Systemen beschrieben.

Allerdings war es erst mit Hilfe der Laserkuhlung ab Ende der 80er-Jahre moglich,

eine große Anzahl von Atomen auf Temperaturen von wenigen hundert Mikrokelvin

abzukuhlen und zu fangen. Fur die Entwicklung dieser Technik wurde 1997 der No-

belpreis an S. Chu [5], C. Cohen-Tannoudji [6] und W. D. Phillips [7] verliehen. Auf-

grund ihrer atomaren Eigenschaften eignen sich Alkalimetalle besonders gut fur die

Laserkuhlung. So gelang es im Jahr 1995 schließlich, die Bose-Einstein-Kondensation

mit den Elementen Rubidium [8], Lithium[9] und Natrium [10] zu erreichen. Dafur

wurden die Atome mit Hilfe der Laserkuhlung und der anschließenden evaporativen

Kuhlung, die ursprunglich fur spin-polarisierten Wasserstoff entwickelt wurde [11], auf

eine Temperatur unterhalb der kritischen Temperatur Tc abgekuhlt. Fur die Realisa-

tion der Bose-Einstein-Kondensation und die ersten fundamentalen Untersuchungen

an ihnen wurde der Nobelpreis 2001 an E. Cornell, W. Ketterle und C. Wieman verlie-

hen, wodurch die Wichtigkeit dieses neuen Forschungsfeldes der Physik unterstrichen

wurde.

Im Bereich der einkomponentigen Kondensate sind neben der Erforschung der

Grundeigenschaften (z. B. dem Phasenubergang) mittlerweile zahlreiche weiterfuhren-

de Experimente durchgefuhrt worden. Es wurden Anregungen von Kondensaten,

beispielsweise Solitonen [12] oder Vortices [13], sowie die Interferenz [14] und die

Koharenz [15] von BECs untersucht, um nur einige Aspekte zu nennen. Ein weiterer

Ansatz ist die Erforschung der Physik von BECs in komplexen Fallengeometrien wie

optischen Gittern [16], in denen zum Beispiel der Mott-Isolator-Ubergang beobachtet

werden konnte.

Ein faszinierendes Teilgebiet der Erforschung von ultrakalten Quantengasen ist

die Untersuchung von mehrkomponentigen BECs, die die Physik der Kondensate um

einen Freiheitsgrad erweitern. Hier sind insbesondere solche mit Spinfreiheitsgrad,

so genannte Spinor-Kondensate zu nennen. Durch das Speichern der Atome in einer

optischen Dipolfalle [17] ist es durch das (nahezu) Spin-unabhangige Fallenpotential

moglich, Atome in den 2F +1 verschiedenen mF -Unterzustanden zum Hyperfeinspin

F zu fangen und deren Eigenschaften zu untersuchen. Kondensate im Hyperfeinzu-

stand F = 1 wurden als Erstes in der Gruppe von W. Ketterle an 23Na untersucht,

wobei eine polare (anti-ferromagnetische) Wechselwirkung bestatigt und die Bildung

von Spindomanen [18] beobachtet wurde.

Funfkomponentige Kondensate im Hyperfeinzustand F = 2 wurden erstmalig am

Hamburger BEC-Experiment detailliert mit 87Rb untersucht, wobei sowohl die Spin-

zusammensetzung des Grundzustandes bestimmt als auch die Spindynamik analysiert

3

wurde [19]. Des Weiteren wurden Experimente zu F=1-Kondensaten von 87Rb durch-

gefuhrt, bei denen ein neuer experimenteller Zugang zur Bose-Einstein-Kondensation

bei nahezu konstanter Temperatur [20] sowie der Effekt der thermodynamisch getrie-

benen Spinausrichtung [21] untersucht wurden.

Die vorliegende Diplomarbeit befasst sich mit der Planung und dem Aufbau ei-

nes Bragg-Lasersystems, mit dem am bereits bestehenden Experiment weiterfuhrende

Untersuchungen zum Verstandnis von Spinor-BECs durchgefuhrt werden sollen. Hier

sind insbesondere atominterferometrische Messungen zu nennen, mit denen die Spin-

dynamik, deren Zeitabhangigkeit in unserer Arbeitsgruppe bereits untersucht wurde,

auch raumlich aufgelost werden soll. Dazu soll die (Phasen)-Koharenz von raumlich

separierten Komponenten innerhalb eines Kondensats bestimmt werden, in dem durch

ein sogenanntes”

π2

-π2-Interferometer“ getrennte und wieder uberlagerte Kondensate

auf ihre Interferenzstruktur untersucht werden. Da dazu sehr kleine Abstande (im

Bereich von einigen µm) aufgelost werden mussen, wurde im Rahmen dieser Arbeit

zusatzlich eine Detektionsoptik geplant und realisiert, die die Auflosung des beste-

henden Detektionssystems verbessern sollte.

Die Arbeit ist wie folgt gegliedert: Zunachst werden im folgenden Kapitel 2 die

theoretischen Grundlagen von Spinor-BECs kurz zusammengefasst sowie die Theo-

rie zur Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle sowie zur Bragg-

Interferometrie ausfuhrlich diskutiert.

Kapitel 3 wird nach einem Uberblick uber den bestehenden experimentellen Auf-

bau die im Rahmen dieser Arbeit realisierte Detektionsoptik beschrieben und cha-

rakterisiert. Es folgt eine ausfuhrliche Beschreibung des aufgebauten Lasersystems.

Im vierten Kapitel werden die Messungen prasentiert, die im Vorfeld zur Planung

des Lasersystems durchgefuhrt wurden, sowie die Charakterisierungsmessungen des

fertig implementierten Systems beschrieben und ausgewertet. Außerdem werden erste

Resultate zur Demonstration eines”

π2

-π2

-Interferometers“ vorgestellt, die belegen,

dass das realisierte Bragg-Lasersystem fur die weiteren geplanten interferometrischen

Messungen hervorragend geeignet ist.

Im letzten Kapitel werden abschließend Moglichkeiten vorgeschlagen, die den im

Rahmen dieser Arbeit fertiggestellten Aufbau weiter verbessern konnten und ein Aus-

blick auf zukunftige Optionen zu weiterfuhrenden Messungen gegeben.

4 Kapitel 1 Einleitung

Kapitel 2

Theoretische Grundlagen

2.1 Bose-Einstein Kondensation

2.1.1 Grundlagen

Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein quantenstatistisches Phanomen und bezeich-

net die makroskopische Besetzung des Grundzustandes in einem bosonischen En-

semble unterhalb einer kritischen Temperatur Tc. Der Grund fur das Auftreten der

Kondensation ist die dieser Teilchenklasse zugrunde liegende Verteilungsfunktion [22]

N(εi) =1

exp(

εi−µkBT

− 1) , (2.1)

wobei Ni die mittlere Besetzung des Zustandes mit der Energie εi, µ das chemische

Potential und kB die Boltzmannkonstante bezeichnen. In der großkanonischen Be-

schreibung ist das chemische Potential eine Funktion der mittleren Teilchenzahl N

und der Temperatur T , es ist durch die Randbedingung

N =∑

i

N(εi) (2.2)

die die Gesamtteilchenzahl N beschreibt, festgelegt.

Eine anschauliche Interpretation der Bose-Einstein-Kondensation kann durch Be-

trachten der Phasenraumdichte erlangt werden. Diese beschreibt die Anzahl der Teil-

chen im Volumen eines Quaders, dessen Seitenlange der thermischen de-Broglie- Wel-

lenlange λdB(T ) =√

2πh2/(mkBT ) entspricht. Die makroskopische Besetzung des

Grundzustandes beginnt, wenn ein verdunntes Gas aus Bosonen eine Phasenraum-

dichte von

nλ3dB = 2, 612 (2.3)

5

6 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen

erreicht. Anschaulich bedeutet dies, dass der mittlere Abstand der Atome in den

Bereich der thermischen de-Broglie-Wellenlange kommt und sich somit die Wellen-

funktionen der einzelnen Bosonen uberlappen.

Im Falle schwach wechselwirkender Teilchen in einem zusatzlichen externen Fal-

lenpotential ergeben sich einige Veranderungen gegenuber dem homogenen wech-

selwirkungsfreien Fall. Dennoch lasst sich das Verhalten aller Atome durch eine

Wellenfunktion beschreiben, die in guter Naherung dem Produkt der Einteilchen-

Wellenfunktionen entspricht. Die Zeitentwicklung dieser Wellenfunktion wird durch

die Gross-Pitaevskii-Gleichung [22]

ih∂

∂tΨ(~r, t) =

(

− h2∇2

2m+ Vext(~r) + g|Ψ(~r, t)|2

)

Ψ(~r, t) (2.4)

beschrieben, in welcher Vext das zeitlich konstante Fallenpotential bezeichnet. Der

nichtlineare Term g|Ψ(~r, t)|2 beschreibt in der so genannten mean-field-Naherung die

Wechselwirkung der Atome untereinander. Die mean-field-Energie ist ein zusatzliches

Potential, das ein Atom durch die Anwesenheit aller anderen Teilchen erfahrt, die am

Ort ~r die Dichte |Ψ(~r)|2 erzeugen.

Der Parameter

g =4πh2as

m(2.5)

ist durch die s-Wellen-Streulange as charakterisiert. Diese ist im Falle von 87Rb po-

sitiv, es liegt somit eine repulsive Wechselwirkung vor. In diesem Fall werden die

Atome nach Ausschalten des externen Fallenpotentials voneinander wegbeschleunigt,

die mean-field-Energie wandelt sich in kinetische Energie um (mean-field-Expansion)

[23]. Die durch die interatomare Wechselwirkung verursachte Nichtlinearitat wird in

Experimenten ausgenutzt, um beispielsweise Solitonen oder Vortices in verdunnten

atomaren Gasen zu realisieren.

Aus Gleichung 2.4 ergibt sich mit dem Separationsansatz Ψ(~r, t) = ϕ(~r)·exp(−iµt/h)

die zeitunabhangige Gross-Pitaevskii-Gleichung:

µϕ(~r) =

(

− h2∇2

2m+ Vext(~r) + g|Ψ(~r)|2

)

ϕ(~r) (2.6)

Die Losung der Gross-Pitaevskii Gleichung lasst sich als

ϕ(~r) =√

Neiφ (2.7)

schreiben. In die Wellenfunktion ϕ der kondensierten Phase geht also die Teilchenzahl

N und die Phase φ ein. Fur die Teilchendichte n gilt:

n = |ϕ(~r)|2 (2.8)

2.1 Bose-Einstein Kondensation 7

Gleichung 2.7 verdeutlicht, dass eine feste Phase uber das ganze Kondensat existiert,

es kann also jeder Teil des Kondensats mit jedem anderen Teil interferieren.

2.1.2 BEC mit Spinfreiheitsgrad

Fangt man atomare Gase in Magnetfallen mit zeitlich konstantem Magnetfeld, so ist

die Verfugbarkeit verschiedener Hyperfeinzustande dadurch limitiert, dass die gefan-

genen Atome in so genannten weak-field seeking states verbleiben mussen, das heißt

solche Zustande, in denen dass Produkt gF ·mF aus Lande -Faktor und Magnetquan-

tenzahl positiv ist. Der Grund dafur ist, dass es kein dreidimensionales Maximum sta-

tischer Magnetfelder im freien Raum geben kann, was aus den Maxwell-Gleichungen

folgt. Das fuhrt bei 87Rb dazu, dass es sich im Fall von F = 1 nur im Hyperfein-

zustand mF = 1 und im Fall von F = 2 nur in den Hyperfeinzustanden mF = −1

und mF = −2 fangen lasst. Die experimentell in Magnetfallen erzeugten Kondensate

bestehen deshalb in der Regel nur aus einer Spinkomponente und werden dann durch

eine skalare Wellenfunktion ϕ(~r) beschrieben.

Werden die Atome in einem Potential gefangen, welches fur alle Spinkomponenten

denselben Einschluss bietet, z. B. im Potential einer weit von der Resonanz verstimm-

ten optischen Dipolfalle, stellt der Spin einen Freiheitsgrad fur das Kondensat dar.

Es muss daher anstatt durch die einkomponentige Wellenfunktion ϕ(~r) durch einen

Vektor

~ϕ(~r) =

ϕ+1(~r)

ϕ0(~r)

ϕ−1(~r)

(2.9)

im Hyperfeinspinraum beschrieben werden und wird Spinor-BEC genannt. Hier ist

der Fall mit Gesamtspin F=1 dargestellt, die einzelnen Komponenten des Vektors

stehen fur die Zustande mit mF = −1, 0 und +1. Die Anzahl der Komponenten

hangt vom Hyperfeinzustand F der Atome ab und betragt 2F + 1.

Die zeitabhangige Gross-Pitaevskii-Gleichung fur Spinor-BECs mit F = 1 lautet

[24]:

ih∂

∂t~ϕ(~r, t) =

(

− h2∇2

2m+ Vext(~r) + g0n(~r, t) + g2Sα~ϕ(~r, t)~ϕ∗(~r, t)Sα

)

~ϕ(~r, t) .

(2.10)

In dieser Gleichung stehen Sα fur die Pauli-Spinmatritzen, die Parameter gi beschrei-

ben die Wechselwirkungsprozesse, g0 nur Prozesse ohne Anderung der Spinzusam-

mensetzung und g2 auch jene, bei denen sich die Zusammensetzung der einzelnen

Spins andert.


Spinor Bose-Einstein Kondensate unterscheiden sich von anderen mehrkomponenti-

gen Kondensaten, wie z. B. Mischungen aus Atomen in den Hyperfeinzustanden |F =

2, mF = 2〉 und |F = 1, mF = −1〉 [25] darin, dass die Amplituden der Komponen-

ten zeitlich variieren konnen. Die Urache hierfur liegt in den moglichen spinandernden

Stoßen, beispielsweise |mF = 0〉 + |mF = 0〉 ⇐⇒ |mF = +1〉 + |mF = −1〉 .

Diese so genannte Spindynamik ist ein faszinierender Teilbereich der Erforschung

von mehrkomponentigen Kondensaten. Bei den am hiesigen BEC-Experiment durch-

gefuhrten Messungen zeigten sich abhangig von der praparierten Anfangszusammen-

setzung der Spinkomponenten verschiedene Phanomene der Spindynamik, unter ande-

rem Oszillationen der Population der einzenlnen Spinkomponenten auf verschiedenen

Zeitskalen (im Bereich von ms fur F=2 und fur F=1 im Bereich von Sekunden, siehe

hierzu auch [19]).

Eine weitere interessante Fragestellung im Bereich der Spinor-Kondensate ist die

nach der Spinzusammensetzung des Grundzustandes. Hier gibt es bei 87Rb abhangig

vom Hyperfeinzustand grundlegende Unterschiede. Fur Kondensate mit F=1 wurde

ferromagnetisches Verhalten vorrausgesagt [26] und in zwei Arbeitsgruppen gemes-

sen [19][27]. Im Hyperfeinzustand F=2 zeigt sich ein polares (anti-ferromagnetisches)

Verhalten [19]. Allerdings konnte dieser Zustand bei den bei der Messung vorhande-

nen experimentellen Parametern auch der Grundzustand der zyklischen Phase sein,

die somit nicht ausgeschlossen werden kann.

Die Frage nach der Koharenz und der raumlichen Entwicklung der Spindynamik

soll Gegenstand zukunftiger Experimente sein. Dabei ist besonders die Untersuchung

der Mischbarkeit von Spinkomponenten und deren raumlichen Entmischung sowie ei-

ner moglichen Domanenbildung interessant. Mit Hilfe eines Atominterferometers kann

die Koharenz zwischen einzelnen Spinkomponenten untersucht und somit Erkennt-

nisse zu diesen Fragen gewonnen werden. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde zu

diesem Zweck ein Lasersystem realisiert, mit dem man durch Bragg-Streuung von

Atomen interferometrische Messungen durchfuhren kann. Die theoretischen Grund-

lagen dazu werden in den folgenden Abschnitten diskutiert.

2.2 Bragg-Beugung

Die Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen an Kristallen wurde erstmalig 1912 von

W.H. Bragg und seinem Sohn W.L. Bragg demonstriert [28] und 1915 mit dem No-

belpreis honoriert. In dieser Diplomarbeit geht es um das komplementare Analogon

dazu, die Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle, welche experi-

mentell erstmals 1987 realisiert wurde [29]. Die theoretischen Grundlagen dazu sollen

2.2 Bragg-Beugung 9

im Folgenden nach einer kurzen Beschreibung der Bragg-Beugung an Kristallen dar-

gestellt werden.

2.2.1 Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen am Kristallgitter

ϑ

1.Ordnung 0.Ordnung

d

d · cos ϑ

Abbildung 2.1: Bragg-Beugung von Rontgenstrahlen am Kristallgitter

In einer periodischen Anordnung von Teilchen findet man neben den in Abbil-

dung 2.1 eingezeichneten horizontalen und verikalen Ebenen auch noch weitere von

den Gitterpunkten aufgespannte Ebenen, die schrag zu diesen stehen, auf denen je-

doch der Abstand der einzelnen Teilchen zueinander großer ist. Parallel zu diesen so

genannten Netzebenen existieren weitere Netzebenen, deren Abstand zueinander im

Allgemeinen verschieden von den Gitterkonstanten ist. Fallt paralleles Rontgenlicht

auf eine Netzebene, wirkt jedes daraufliegende Teilchen als Streuzentrum und emit-

tiert eine Sekundarwelle. Dasselbe passiert auf den benachbarten Netzebenen, da auf

dem Abstand d die Rontgenwelle nur sehr wenig absorbiert wird. All diese von den

Teilchen ausgehenden Sekundarwellen setzen sich dem Huygensschen Prinzip folgend

zu einer neuen reflektierten Welle zusammen und interferieren miteinander. Die Wel-

len interferieren nur konstruktiv miteinander, wenn fur den Winkel, unter dem das

Rontgenlicht eingestrahlt wird, gilt:

2d · cos ϑ = nλ (n = 1, 2, 3, ...) (2.11)

Gleichung 2.11 wird Bragg-Bedingung genannt, aufgrund der Vielzahl verschiedener

Netzebenen ist sie bei gegebener Wellenlange λ nur fur wenige Winkel ϑ exakt erfullt.


2.2.2 Impulsubertrage durch stimulierte Raman-Prozesse

hδ

0

|g〉

|e〉

E

virtuelles

Niveau

stimulierte

Emission

Pump-

Laser

Probe-

Laser

hωpu

|g ′〉

E|e〉

E|e〉 − ∆

hωpr

Abbildung 2.2: Schematische Darstellung des stimulierten Ramanprozesses

Der stimulierte Ramanprozess (siehe Abbildung 2.2) ist ein Zwei-Photonen-Prozess,

bei dem durch die Wechselwirkung von Licht mit Atomen ein Impulsubertrag auf diese

stattfindet. Dazu werden die Atome von zwei Laserstrahlen beleuchtet, die im Fol-

genden als Pump- und Probelaserstrahl bezeichnet werden. Der Pumplaserstrahl hat

eine Frequenz ωpu und der Probelaserstrahl eine Frequenz ωpr, wobei ωpu − ωpr = δ

und δ sehr klein gegen ωpr beziehungsweise ωpu ist. Die Laser sind gegenuber dem

Ubergang |g〉 ⇒ |e〉 um eine Frequenz ∆ verstimmt, so dass dieser Ubergang sehr

unwahrscheinlich ist.

Beim stimulierten Raman-Prozess geht das Atom durch Absorption eines Photons

aus dem Pump-Laserstrahl und anschließende stimulierte Emission in Richtung des

Probe-Laserstrahls von |g〉 uber ein virtuelles Niveau nach |g ′〉 uber. Dabei nimmt

es den Impuls des Pump-Photons auf und erhalt einen Ruckstoßimpuls durch die

stimulierte Emission, woraus ein effektiver Ruckstossimpuls ~pR resultiert, der vom

Winkel zwischen Pump- und Probestrahl abhangig ist (siehe dazu Kapitel 2.2.4).

Die beiden Impulszustande |g〉 und |g ′〉 sind also uber diesen Zwei-Photonen-Prozess

gekoppelt. Es handelt sich hierbei um einen koharenten Prozess, da die spontane

Emission stark unterdruckt ist.

2.2 Bragg-Beugung 11

2.2.3 Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Licht-

welle

ϑ

λdB = h/p

Atome

dLicht

ϑ ϑ

px

−px

px

pR = −2px = 2hk

x

Abbildung 2.3: Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle: Die Wel-

lenbauche der Stehwelle sind durch die dicken, die Knoten durch die dunnen gestri-

chelten Linien gekennzeichnet.

Bei der Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle (siehe Abbil-

dung 2.3) findet ein Prozess statt, der analog zu dem in Kapitel 2.2.1 beschriebe-

nen ist. Die Anzahl der hintereinander liegenden Gitterebenen bei der Beugung von

Rontgenstrahlen wird bei der Beugung von Atomen durch die Wechselwirkungszeit

tww zwischen stehender Lichtwelle und Atomen ersetzt. Ist die Wechselwirkungszeit

groß, werden die Atome nur in eine Richtung gebeugt.

Der Impulstransfer pR der Atome in Abwesenheit spontaner Emission resultiert

aus der Wechselwirkung zwischen dem induzierten Dipolmoment des Atoms mit dem

Feldgradienten des stehenden Lichtfeldes. Man kann den stattfindenden Prozess als

stimulierten Raman-Prozess auffassen (wobei es sich um den”Grenzfall“ mit δ = 0

handelt), bei dem das Atom uber Absorption und induzierte Emission zwei Photo-

nen zwischen den gegenlaufigen Laserstrahlen austauscht. Dadurch erfolgt ein Im-

pulsubertrag in diskreten Einheiten von 2hk in Richtung des k-Vektors (x-Richtung

in der Abbildung) der stehenden Lichtwelle. Interpretiert man den Prozess als Beu-

gung einer atomaren de-Broglie-Welle mit der Wellenlange λdB = h/p an einem In-

tensitatsgitter mit der Periodizitat dLicht = λLicht/2, lautet die Bragg-Bedingung in


Analogie zu Gleichung 2.11:

2dLicht · cos ϑ = nλdB (n = 1, 2, 3, ...) (2.12)

2.2.4 Bragg-Beugung von Atomen an einer sich bewegenden

optischen Stehwelle

Bisher wurde in Analogie zur Bragg-Beugung von Rontgenlicht an einem Kristall die

Bragg-Beugung von Atomen an einer stehenden Lichtwelle betrachtet, die aus zwei

uberlagerten, gegenlaufigen Laserstrahlen mit gleicher Frequenz resultiert. Modifiziert

man diese”konventionelle“ Feldgeometrie, indem man das Feld der Stehwelle durch

gegenlaufige Wellen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen ersetzt (was einer Trans-

formation in ein bewegtes Bezugssystem entspricht, siehe weiter unten), so lasst sich

die Bragg-Beugung von Atomen ebenfalls als stimulierter Raman-Prozess betrachten

[30]. Hierbei sind der anfangliche und der nach dem Beugungsprozess vorliegende

Impulszustand wieder durch den Raman-Prozess gekoppelt. Dieses wird anhand von

Abbildung 2.4 verdeutlicht.

ωω + δ

ϑ

Kondensat

Pump-LaserProbe-Laser

E

p0 pR

|g〉

|e〉

hδ

virtuelles

Niveau

Abbildung 2.4: Schematische Darstellung der Bragg-Beugung durch Pump- und

Probe-Laser mit unterschiedlicher Frequenz

Das Licht des Probe-Lasers habe die Frequenz ω, das des Pump-Lasers ω + δ. Um

die Betrachtung zu vereinfachen, sei die Geschwindigkeit der Atome gleich null und

der Winkel ϑ zwischen Pump- und Probe-Laserstrahl 180. Beim Beugungsprozess


absorbiert ein Atom ein Photon aus dem Pump-Laser und emittiert ein Photon in

Richtung des Probe-Lasers, so dass es einen Ruckstoßimpuls von insgesamt ~pR = 2h~k

in Richtung des Probe-Lasers erhalt. Dieser Impulsubertrag kennzeichnet die Bragg-

Streuung 1. Ordnung. Der Vektor ~k bezeichnet hierbei den Wellenvektor mit dem

Betrag k = 2π/λ, wobei λ fur die Wellenlange des Lichts steht. Bei dieser Betrach-

tung ist auf eine Unterscheidung des Betrages der Wellenvektoren von Pump- und

Probelaser kpu und kpr verzichtet worden, da die absoluten Frequenzen der beiden La-

serstrahlen im Bereich von 1014 Hz liegen, die Verstimmung δ dagegen ublicherweise

einige Kiloherz betragt.

Fur den Energieubertrag auf das ruhende Atom der Masse m gilt:

∆E =p2

R

2m=

(2hk)2

2m= hδ . (2.13)

Damit bei der Bragg-Streuung erster Ordnung Energie- und Impulserhaltung erfullt

sind, muss bei ruhenden Atomen nach Gleichung 2.13 eine bestimmte Frequenzdif-

ferenz δ eingestellt werden. Bei der Bragg-Beugung gibt es eine gewisse Energie-

unscharfe, die sich aus zwei verschiedenen Teilen zusammensetzt. Zum einen ist das

die Fourierbreite von δ im Frequenzspektrum, die aus der Heisenbergschen Unscharfe-

relation resultiert und in Kapitel 2.2.6 ausfuhrlich diskutiert wird. Zum anderen gibt

es eine”Leistungsverbreiterung“ in der Großenordnung der Rabi-Frequenz, welche in

Kapitel 2.2.7 beschrieben wird. Aus der Energieunscharfe folgt direkt eine Impuls-

verbreiterung, das heißt Gleichung 2.13 ist fur einen Impulsbereich ∆p um p = 0

erfullt.

Die obige Energie-Impuls-Beziehung fur die Bragg-Beugung kann auch auf eine

andere Art und Weise hergeleitet werden. Dazu geht man in ein mit der Geschwin-

digkeit v bewegtes Bezugssystem uber. Die Atome im diesem Bezugssystem”sehen“

die Frequenzen ω1 und ω2 der beiden Laserstrahlen dopplerverschoben und es gilt

ω ′

1 = ω1

(

1 +v

c

)

ω ′

2 = ω2

(

1 − v

c

)

,

wobei c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Bei einer bestimmten Geschwindigkeit

v0 verschieben sich die Frequenzen der Laser so, dass die im ruhenden Bezugsys-

tem laufende Welle eine stehende Welle im bewegten Bezugssystem ist. Fur diese

Geschwindigkeit gilt:

ω ′

1 = ω ′

2 =⇒ v0 = c · ω2 − ω1

ω1 + ω2

Setzt man ω1 = ω und ω2 = ω + δ, so lasst sich die obige Gleichung als

v0 = c · δ

2ω + δ


schreiben und fur die dopplerverschobene Frequenz ω ′

1 ergibt sich:

ω ′

1 =2ω(ω + δ)

2ω + δ

Die Atome, die im Laborsystem die Geschwindigkeit v = 0 haben, haben im bewegten

Bezugssystem eine Geschwindigkeit v0 in Richtung der Laserstrahlen, woraus die de-

Broglie-Wellenlange λdB = h/(mv0) resultiert. Die Bragg-Bedingung fur die Bragg-

Beugung in die erste Ordnung (Gleichung 2.12 mit n = 1) wird wegen cos ϑ = 1 zu

λdB = λLicht, wobei λLicht wieder fur die Wellenlange des Lichts steht. Somit ergibt

sich unter Verwendung der obigen Beziehungen fur v0 und ω ′

1:

λdB =h

mc· 2ω + δ

δ!= 2πc · 2ω + δ

2ω(ω + δ)= λLicht

⇐⇒ h

mc2=

δ

2ω2(

1 + δω

)

Da die Frequenz ω im Bereich von 1014 Hz liegt, die Frequenzdifferenz δ aber nur

die Großenordnung kHz hat, kann man δ/ω in der obigen Gleichung rechts in guter

Naherung vernachlassigen und es ergibt sich fur δ:

hδ =2h2

mc2· ω2 =

(2hk)2

2m= ∆E (2.14)

Somit erhalt man durch diese Herleitung mit Gleichung 2.14 wieder die gleiche Re-

sonanzbedingung.

Als nachstes soll der Einfluss des Winkels ϑ zwischen Pump- und Probe-Laserstrahl

mit einbezogen werden. Ist ϑ kleiner als 180, so andert sich der Betrag des auf das

Atom ubertragenen Ruckstoßimpulses ~pR. Dieses wird anhand von Abbildung 2.5

verdeutlicht:

Das Atom erhalt einen Impuls mit dem Betrag pPump = hk in Richtung des Pump-

Laserstahls und nimmt danach einen Ruckstoßimpuls durch Emission eines Photons

pProbe = hk auf, der der Richtung des Probe-Laserstrahles entgegengesetzt ist. Dieses

fuhrt zu einem effektiven Ruckstoßimpuls pR = 2hk ·sin (ϑ/2), so dass die Bedingung

∆E =p2

R

2m=

(2hk · sin (ϑ/2))2

2m= hδ(ϑ) (2.15)

fur die Frequenzverstimmung δ der beiden Lasertrahlen in Abhangigkeit vom Win-

kel ϑ zwischen den Strahlen gelten muss, um der Energie- und Impulserhaltung zu


px

ϑ

2

pR

py

p Pum

p=

hk ϑ

2

pProbe=

hk

Abbildung 2.5: Einfluss des Winkels ϑ auf den Ruckstoßimpuls ~pR

genugen. Impuls- und Energieubertrag sind also fur ϑ = 180 am großten und konnen

stufenlos durch Veranderung des Winkels zwischen Pump- und Probelaser verandert

werden. Vertauscht man Pump- und Probelaser, was in diesem Bild der Wahl eines

negativen Winkels entspricht, so andert sich auch das Vorzeichen von sin(ϑ/2), der

Impulsubertrag findet also in die entgegengesetzte Richtung statt.

Bei den bisherigen Uberlegungen wurde angenommen, dass die Atome, die ge-

beugt werden,”sich nicht bewegen“. In einem Bose-Einstein Kondensat ist jedoch ei-

ne Impulsverteilung vorhanden, und die Bragg-Lichtpulse werden eingestrahlt, nach-

dem das Kondensat nach einigen Millisekunden time of flight (siehe dazu Kapitel

3.1) expandiert ist. Die Annahme, dass die Geschwindigkeit der Atome gleich null

ist, ist also nicht gultig. Gleichung 2.15 soll nun so verandert werden, dass sie die-

sem Umstand Rechnung tragt. Es ist offensichtlich, dass die Komponente der Ge-

schwindigkeit v senkrecht zum Impulsubertrag den Prozess der Bragg-Beugung nicht

beeinflusst. Daher ist es ausreichend, die Geschwindigkeitskomponente in Richtung

des Impulsubertrages zu betrachten. Der durch den Raman-Prozess auf das Atom

ubertragene Impuls bleibt von der Geschwindigkeit des Atoms unberuhrt. Der Gesam-

timpuls nach dem Streuprozess dagegen setzt sich zusammen aus dem Ruckstoßimpuls

pR = 2hk · sin (ϑ/2) und dem aus der Anfangsgeschwindigkeit v des Atoms resul-

tierenden Impuls P0. Da die Energie quadratisch vom Impuls abhangt und sich der

Gesamtimpuls gegenuber dem vorher betrachteten Fall mit v = 0 verandert hat, muss

sich die Frequenzdifferenz δ zwischen den beiden Laserstrahlen ebenfalls verandern,

damit Energieerhaltung gewahrleistet ist. Daraus ergibt sich folgender Zusammen-


E

p0 pR + p0

|g〉

|e〉

hδ

virtuelles

Niveau

p0

E2

E1

Abbildung 2.6: Bragg-Beugung von sich bewegenden Atomen

hang (siehe hierzu Abbildung 2.6):

∆E = E2 − E1 =(pR + p0)

2 − p20

2m=

(mv + 2hk · sin (ϑ/2))2 − (mv)2

2m= hδ(ϑ, v)

(2.16)

Fur die Frequenzdifferenz folgt daraus:

δ(ϑ, v) =2hk2 sin2 (ϑ/2)

m− 2kv · sin (ϑ/2) (2.17)

Die zwischen Pump- und Probelaser einzustellende Verstimmung in Abhangigkeit

vom der Anfangsgeschwindigkeit v der Atome und dem Winkel ϑ zwischen den La-

serstrahlen wird durch Gleichung 2.17 beschrieben.

2.2.5 Bragg-Beugung hoherer Ordnung

Bisher wurde ausschließlich die Bragg-Beugung erster Ordnung betrachtet, die durch

einen stimulierten Raman-Prozess mit Austausch von zwei Photonen zu einem Im-

pulsubertrag von 2hk fuhrt. Es ist jedoch auch moglich, hohere Ordnungen der Bragg-

Beugung anzuregen. Dieses geschieht durch einen stimulierten Raman-Prozess n-ter

Ordnung, bei dem 2n Photonen zwischen Pump- und Probelaser ausgetauscht wer-

den.


E

p0 pR

|g〉

|e〉

nhδ

npR

h∆3

h∆2

h∆2n−1

h∆1

Abbildung 2.7: Bragg-Beugung n-ter Ordnung

Das Atom verbleibt auch bei diesem Prozess im Grundzustand, es wird aber uber

2n− 1 virtuelle Niveaus ein neuer Impulszustand angeregt. Die Bragg-Beugung n-ter

Ordnung wird im Energie-Impuls-Diagramm in Abbildung 2.7 dargestellt. Der Im-

pulsubertrag ist n mal so groß wie bei der Bragg-Beugung 1. Ordnung, also pR =

nhk · sin(ϑ/2). Fur die zwischen den beiden Laserstrahlen einzustellende Frequenz-

differenz fur die Bragg-Beugung n-ter Ordnung gilt somit:

∆E =(npR)2

2m=

(2nhk · sin(ϑ/2))2

2m= nhδ (2.18)

δ =2nhk2 · sin2(ϑ/2)

2m. (2.19)

Die Gleichungen 2.18 und 2.19 sind gultig fur Atome, deren Anfangsgeschwindigkeit

gleich null ist. Fur Atome mit einer Anfangsgeschwindigkeit v und einem daraus

resultierenden Anfangsimpuls p0 gilt folgender Zusammenhang:

∆E =(npR + p0)

2 − p20

2m=

(mv + 2nhk · sin (ϑ/2))2 − (mv)2

2m= nhδ (2.20)

δ =2nhk2 sin2 (ϑ/2)

m− 2kv · sin (ϑ/2) . (2.21)

Es ist also prinzipiell moglich, die Bragg-Beugung mit einer beliebigen Anzahl von

gleich vielen Pump- und Probe-Photonen stattfinden zu lassen, dafur muss die Ver-

stimmung in Abhangigkeit von Anfangsgeschwindigkeit der Atome und Winkel zwi-

schen den Laserstrahlen nach Gleichung 2.21 gewahlt werden. Allerdings sinkt mit


zunehmender Ordnung die Wahrscheinlichkeit einer Anregung, da die Anzahl der

virtuellen Niveaus, uber die der Prozess stattfindet, steigt.

2.2.6 Bragg-Spektroskopie

Wie in Kapitel 2.2.4 und 2.2.5 beschrieben, konnen mit Hilfe der Bragg-Beugung

verschiedene Geschwindigkeitskomponenten aus einem Ensemble kalter Atome aus-

gekoppelt werden. Diesen Effekt der Geschwindigkeitsselektivitat bezeichnet man als

Bragg-Spektroskopie. Man kann ihn ausnutzen, um beispielsweise die mean-field-

Energie und die Impulsunscharfe eines Bose-Einstein Kondensates [31] oder Phasen-

Fluktuationen in BECs [32] [33] spektroskopisch zu messen. Gleichung 2.21 beschreibt

die dafur notwendige von der Anfangsgeschwindigkeit abhangige Frequenzdifferenz

zwischen Pump- und Probe-Laser. In diesem Abschnitt soll der Einfluss der Wechsel-

wirkungszeit der Atome mit dem Lichtfeld betrachtet werden.

Die fur den Vorgang der Bragg-Beugung relevante Energieunscharfe ist nach der

Heisenbergschen Unscharferelation durch die Wechselwirkungszeit, also die Dauer des

Bragg-Pulses gegeben:

∆E · tww = h∆δ · tww ≥ h/2 (2.22)

Hier wurde fur die Energieunscharfe das Symbol ∆E benutzt, um diese von der

Energiedifferenz ∆E zwischen Pump und Probe-Lasertrahl zu unterscheiden. Aus

der Energieverbreiterung folgt wegen ∆E = ∆p2

2mdirekt eine Impulsverbreiterung und

somit eine Geschwindigkeitsverbreiterung fur den Prozess der Bragg- Beugung. Durch

eine endliche Einstrahldauer tww erfullt man also die Resonanzbedingung fur einen

Impulsbereich ∆p. Um diesen Impulsbereich abschatzen zu konnen, ist es von Interes-

se, wie die spektrale Verteilung der Intensitat bei einstellbarer Frequenzdifferenz aus-

sieht. Das Spektrum der Relativfrequenzen erhalt man durch Fourier-Transformation

des Lasersignals in den Frequenzraum. Im Falle des im Rahmen dieser Diplomarbeit

erstellten Aufbaus war es durch die Verwendung von akusto-optischen Modulatoren

(siehe dazu Kapitel 3.3.3) moglich, die Laser extrem schnell zu schalten, so dass man

als Intensitatsprofil einen Rechteckpuls annehmen kann. Dadurch ergibt sich das fol-

gende Spektrum fur die Differenzfrequenzen der Laserstrahlen

I(ω) = I0 ·sin2((ω − δ) · tww/2)

((ω − δ) · tww/2)2, (2.23)

wobei δ wieder die Frequenzdifferenz zwischen den Laserstrahlen bezeichnet. Die Ein-

strahldauer tww gibt also die Frequenzbreite fur die Frequenzdifferenz an, aus Glei-

chung 2.23 folgt fur die FWHM-Breite ∆δ2π

= 0, 9. Der Impulsbereich ∆p lasst sich


nun bestimmen, wenn man die Resonanzbedingung der Bragg-Streuung

(p0 + pR)2

2m− p2

0

2m= ∆E = hδ

nach

p0(δ) =mhδ

pR− 1

2p2

R

umstellt und die sich aus der Pulsdauer ergebende Frequenzbreite

∆δ = 0, 9 · 2π

twwin ∆p0 =

∂p0(δ)

∂δ

∣

∣

∣

∣

∣

δ0

· ∆δ

einsetzt:

∆p0 =mh∆δ

pR(2.24)

Der Impuls pR steht dabei fur den”allgemeinen“ Ruckstoßimpuls der Bragg-Beugung

n-ter Ordnung: pR = nhk · sin(ϑ/2). Je langer man also die Bragg-Laser eintrahlt,

desto kleiner ist der Impuls- und somit auch der Geschwindigkeitsbereich, fur den die

Resonanzbedingung erfullt ist.

Anhand der Lange der Einstrahldauer und der damit verbundenen Breite des

Spektrums der Differenzfrequenz ∆δ lassen sich verschiedene Regimes der Streuung

unterscheiden: Fur sehr kurze Einstrahldauern kann das Frequenzspektrum so breit

sein, dass Beugung in mehrere Beugungsordnungen gleichzeitig stattfinden kann. Die-

ses Regime wird Raman-Nath- oder auch Kapitza-Dirac-Regime genannt [34] und ent-

spricht der Beugung an einem dunnen Gitter. Die Bragg-Beugunsversuche in dieser

Diplomarbeit finden im Bragg-Regime statt, und zwar mit einer Wechselwirkungs-

zeit, die eine Beugung des gesamten Impulsspektrums eines Kondensats ermoglicht.

Geht man zu langeren Einstrahlzeiten uber, werden einzelne Geschwindigkeitskom-

ponenten selektiv gebeugt, und man kann Bragg-Spektroskopie betreiben.

2.2.7 Rabi-Oszillationen bei der Bragg-Beugung

Fuhrt man die Bragg-Beugung an einem Bose-Einstein Kondensat durch, so ist es

fur die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Beugung relevant, ob sich die Atome

gegenseitig beeinflussen oder nicht. Durch Ausschalten des Fallenpotentials und die

damit verbundene Umwandlung von mean-field-Energie in kinetische Energie kann

man aufgrund der repulsiven Wechselwirkung bei 87Rb erreichen, dass die Atome nach

wenigen ms einen ausreichend großen Abstand voneinander haben, um sich nicht


mehr gegenseitig zu beeinflussen. Das BEC wird durch eine effektive Einteilchen-

Wellenfunktion beschrieben, man kann jedoch den Anteil der gebeugten Atome ange-

ben, in dem man die Anregungswahrscheinlichkeit fur jedes Atom”separat“ berech-

net. Diese Wahrscheinlichkeit hangt von verschiedenen Parametern ab: Zum einen ist

dieses die Intensitat I des Laserfeldes und die Wechselwirkungszeit tww der Atome

mit diesem Feld, zum anderen die Verstimmung ∆ der Laserfrequenz gegenuber der

Resonanz und die Relativfrequenz δ der beiden Bragg-Laserstrahlen.

Bei der Bragg-Beugung werden die beiden Impulszustande |g〉 ≡ |p = 0hk〉 und

|g ′〉 ≡ |p = nhk〉 durch die Laserstrahlung miteinander gekoppelt. Wird nun einer

der Parameter Wechselwirkungszeit oder Laserintensitat vergroßert, so gehen immer

mehr Atome von |g〉 nach |g ′〉 uber, bis schließlich alle Atome Bragg-gebeugt sind.

Wird das Laserfeld dann noch langer eingestrahlt, beziehungsweise die Intensitat wei-

ter vergroßert, werden die Atome wieder in die 0. Ordnung ( |g〉 ) zuruckgepumpt.

Bei diesem Vorgang handelt es sich um eine Rabi-Oszillation, er wird durch die Rabi-

Frequenz Ωn charakterisiert. Diese Oszillation kann dazu genutzt werden, durch Va-

riation der Einstrahldauer den Anteil der ausgekoppelten Atome zu steuern, was fur

die Realisierung von Atominterferometern mit Hilfe der Bragg-Beugung von Bedeu-

tung ist (siehe dazu Kapitel 2.2.8).

Fur die Rabi-Frequenz der Bragg-Beugung 1. Ordnung gilt der folgende Zusam-

menhang [35]:

Ω1 =Ω0,Pump · Ω0,P robe

2∆. (2.25)

Hierbei bezeichnet ∆ die Verstimmung gegen die Resonanz, Ω0,Pump und Ω0,P robe sind

die resonanten Rabi-Frequenzen der Bragg-Strahlen, welche sich wiederum mit

Ω20 =

Γ2

2· I

Isat

(2.26)

berechnen lassen. Dabei steht Γ fur die Linienbreite des Ubergangs, Isat fur die

Sattigungsintensitat und I fur die Laserintensitat.

Fur die Anregungswahrscheinlichkeit fur die Bragg-Beugung n-ter Ordnung gilt

[36]:

Pn(t) = sin2

(

Ωn · tww

2

)

(2.27)

mit

Ωn =Ω2n

0

22n−1∆1∆2 . . . ∆2n−1

(2.28)

Dabei bezeichnet Ω0 die Ein-Photonen-Rabi-Frequenz und tww die Einstrahldauer der

Bragg-Laserstrahlen. Es wurde zur Vereinfachung angenommen, dass beide Laser die


gleiche Intensitat haben, was mit dem im Rahmen dieser Diplomarbeit aufgebauten

Bragg-Lasersystem auch realisierbar ist. Bei der Bragg-Reflexion n-ter Ordnung gibt

es 2n − 1 virtuelle Niveaus, deren Verstimmung gegenuber dem angeregten Zustand

mit ∆m bezeichnet ist (siehe auch Abbildung 2.7). Wenn man ∆ δ vorraussetzt,

gilt naherungsweise fur ungerade m ∆1 = ∆3 = . . . = ∆ und fur gerade m ∆m =

(n2 − (n − m)2)δ, so dass fur die Rabi-Frequenz fur eine beliebige Beugungsordnung

n gilt:

Ωn(t) =[Ω0(t)]

2n

24n−3[(n − 1) ! ]2∆nδn−1. (2.29)

Die obigen Gleichungen sind unter der Annahme hergeleitet, dass die Verstimmung

∆ groß ist, so dass man durch adiabatische Elimination ein effektives Zwei-Niveau-

System betrachten kann. Des weiteren wurde davon ausgegangen, dass die Relativfre-

quenz δ zwischen Pump- und Probelaser genau die Resonanzbedingung 2.13 erfullt.

Liegt jedoch eine von δ abweichende Relativfrequenz δ + ε vor, so vergroßert sich die

effektive Rabi-Frequenz und die maximale Anregungswahrscheinlichkeit wird kleiner

als eins. Fur den Fall der Beugung in die erste Ordnung gilt dann [37]:

Pn(t) =(

Ω1

Ωeff

)2

sin2

(

Ωeff · tww

2

)

(2.30)

mit

Ωeff =√

ε2 + Ω 21 . (2.31)

Man kann also auch Atome in die erste Ordnung beugen, wenn die Frequenzdifferenz

zwischen den Bragg-Strahlen nicht genau dem Wert δ entspricht. Die FWHM-Breite

dieser Resonanz betragt das doppelte der Rabi-Frequenz Ω1, da diese von der ein-

gestrahlten Intensitat abhangt, kann dieser Sachverhalt als Leistungsverbreiterung

aufgefasst werden.

Die Fourierbreite von δ im Frequenzspektrum ist eine zusatzliche Breite, die mit

der oben beschriebenen konkurriert. Allerdings nimmt diese mit zunehmender Wech-

selwirkungszeit tww ab, so dass dann nur noch die oben beschriebene durch die Rabi-

Frequenz charakterisierte Breite eine Rolle spielt.

2.2.8 Bragg-Interferometrie

Mit der Erzeugung von Bose-Einstein-Kondensaten in verdunnten Alkaligasen war

man zum ersten Mal in der Lage, koharente Materiewellen zu erzeugen. Dadurch

wurden Experimente mit Atom-Lasern [38][39][40], die in Analogie zum optischen

Laser stehen, ermoglicht. Zur Untersuchung von BECs ist von besonderem Interesse,


Abbildung 2.8: schematische Darstellung des Mach-Zehnder-Interferometers

Interferometer fur diese Materiewellen zu verwirklichen. Dafur benotigt man wie bei

einem optischen Interferometer Strahlteiler und Spiegel, mit denen man die raumliche

Ausbreitung der Welle steuern kann, ohne dabei ihre Koharenz zu zerstoren. Mit Hilfe

der Bragg Beugung ist es moglich, die Atome so zu beeinflussen, dass Interferometrie

mit Bose-Einstein-Kondensaten betrieben werden kann.

Wie im vorigen Kapitel beschrieben, sind bei der Bragg-Beugung zwei Impuls-

zustande durch ein Lichtfeld gekoppelt und es findet eine Rabi-Oszillation der Be-

setzungen dieser beiden Zustande statt. Man kann also durch die richtige Wahl der

Intensitat und der Einstrahldauer dieses Lichtfeldes einen beliebigen Anteil von Ato-

men aus der nullten Ordnung in die erste Ordnung der Bragg-Beugung transferieren

und umgekehrt. So lasst sich ein Strahlteiler durch einen π2

- Puls und ein Spiegel

durch einen π - Puls realisieren. Diese lassen sich in verschiedener Weise zu Ato-

minterferometern kombinieren. Beim Mach-Zehnder-Interferometer [35] wird das aus

dem Fallenpotential entlassene und durch die Gravitation beschleunigte Kondensat

durch einen π2

- Puls aufgespalten. Nach einer gewissen Entwicklungszeit t1 wird ein π -

Puls eingestrahlt, der die Atome aus der ersten Ordnung abstoppt und auf die aus der

nullte Ordnung einen Impuls ubertragt. Nach einer weiteren Entwicklungszeit t2 wird

wiederum ein π2

- Puls eingestrahlt, durch den die uberlappenden Atome aus beiden

Armen miteinander interferieren. Je nach Phase der interferierenden Atome werden

sie in die unterschiedlichen Ordnungen gebeugt. Das Mach-Zehnder-Interferometer


Abbildung 2.9: schematische Darstellung des π2

- π2

- Interferometers

ist in Abbildung 2.8 dargestellt.

Eine weitere Moglichkeit fur ein Atominterferometer stellt das π2

- π2

- Interfero-

meter dar, welches in Abbildung 2.9 schematisch dargestellt ist. Es bietet gegenuber

dem Mach-Zehnder-Interferometer zum einen den Vorteil, dass nur zwei anstatt drei

Bragg-Pulsen eingestrahlt werden mussen und zum anderen, dass das Interferometer

aufgrund der kurzeren Durchlaufzeit nicht so anfallig fur Schwankungen der Laser-

phase ist.

Das Kondensat wird durch einen π2

- Puls in zwei Teile aufgespalten und nach

einer Entwicklungszeit tB wird ein zweiter π2

- Puls eingestrahlt. Im Falle der Bragg-

Beugung 1. Ordnung haben sich die beiden Wellenpakete wahrend dieser Zeit um die

Strecke ∆x = (2hk/m)·tB voneinander entfernt und werden durch den zweiten Bragg-

Puls als teilweise uberlappende Atomwolken in beide Ausgange des Interferometers

rekombiniert. Daraus resultiert ein Interferenzmuster, welches von der Seperation der

beiden Teile des Kondensats ∆x und somit von der Zeit tB zwischen den Laserpulsen

abhangt.

Dieser Zusammenhang lasst sich folgendermaßen verstehen [41]: Durch die mean-

field-Abstoßung liegt eine parabolische Dichteverteilung der Atome in der harmoni-

schen Falle vor. Die mean-field-Energie Umf ist proportional zu dieser Dichtevertei-

lung, deshalb ist, wenn das Fallenpotential ausgeschaltet wird und sie sich in kine-

tische Energie umwandelt, die ortliche Beschleunigung v ∝ ∇Umf linear vom Ort


abhangig. Aus diesem Grund bleibt die parabolische Dichteverteilung erhalten und

es liegt eine Geschwindigkeitsverteilung vor, die wiederum linear abhangig vom Ort

ist:

v(x) = α(t) · x .

Der Geschwindigkeitsgradient ist dabei gegeben durch α(t) = λ(t)/λ(t) mit dem

Parameter λ(t), der die Große des Kondensats relativ zu seiner Große in der Fal-

le beschreibt und in [42] definiert ist. Die Geschwindigkeitsdifferenz zweier Atome

aus den sich uberlappenden Ensembles ist also nicht vom Ort, sondern nur von der

Entfernung ∆x und der Zeit abhangig:

∆v = α(t) · ∆x .

Das Interferenzmuster lasst sich also durch die Interferenz zweier ebener Materiewel-

len mit einer Relativgeschwindigkeit ∆v erklaren, und es gilt fur den Abstand der

Interferenzstreifen:

d =h

m ∆v=

h

m α(t) ∆x(2.32)

Mit dem π2-π2-Interferometer lassen sich Koharenzeigenschaften von BECs uber die ge-

samte Ausdehnung studieren. Besonders interessant ist die Frage nach der raumlichen

Koharenz der Spinor-BECs, die am hiesigen Experiment mit Spinorkondensaten aus

der Diplofalle interferometrisch untersucht werden soll.

Kapitel 3

Experimenteller Aufbau

Das in dieser Diplomarbeit beschriebene Bragg-Lasersystem wurde am 87Rb-BEC-

Experiment in Hamburg aufgebaut. Da mittlerweile mehrere Arbeitsgruppen welt-

weit Bose-Einstein-Kondensate erforschen, sind einige der im Experiment verwende-

ten Techniken zu”Standardtechniken“ geworden. Diese sollen in diesem Kapitel daher

nur kurz beschrieben werden, wie etwa der Aufbau und die verwendeten Mechanismen

zur Kuhlung und Speicherung der Atome. Die im Rahmen dieser Arbeit konstruier-

te Detektionsoptik und das Lasersystem zur Bragg-Beugung von Rubidiumatomen

werden anschließend detailliert beschrieben.

3.1 Das BEC-Experiment

Da zum Erreichen der Quantenentartung sehr tiefe Temperaturen notig sind, vergin-

gen 70 Jahre zwischen der theoretischen Voraussage und der experimentellen Reali-

sierung der Bose-Einstein-Kondensation. Aus Gleichung 2.3 folgt, dass die kritische

Temperatur bei einem verdunnten Gas aus Rubidiumatomen mit einer Dichte von et-

wa 10−14cm−3 bei ungefahr 400nK liegen muss. Zum Erreichen dieser niedrigen Tem-

peraturen wurden im vorliegenden Experiment verschiedene Techniken zur Kuhlung

der Atome kombiniert.

Eine Seitenansicht der Apparatur, mit der die Kondensate erzeugt werden, ist in

Abbildung 3.1 zu sehen. Sie ist in [43] und [44] ausfuhrlich beschrieben. Der zentrale

Teil des Aufbaus sind zwei Glaszellen, die uber eine differentielle Pumpstufe, zwei

Graphitrohrchen mit jeweils 6mm Innendurchmesser, verbunden sind. In der oberen

Glaszelle befinden sich so genannte Dispenser, uber die die Rubidiumatome freige-

setzt werden. Dort herrscht ein Druck von etwa 10−9 mbar. In der unteren Glaszelle

25

26 Kapitel 3 Experimenteller Aufbau

2D−MOT

Strahlprofil 1cm*5cm

Rb−Atome

Licht 780 nm

Spulen

Rb−Dispenser

MOT&Magnetfalle

Vakuumpumpen

ø2,2cm

Abbildung 3.1: Schematische Seitenansicht des experimentellen Aufbaus

werden die Atome bis zum Phasenubergang abgekuhlt und die Experimente mit ih-

nen durchgefuhrt. Damit wahrenddessen nicht ein Großteil der Atome durch Stoße

mit dem Hintergrundgas verloren geht, wird dort ein Ultrahochvakuum mit einem

Druck von etwa 10−11 mbar benotigt.

Das zur Kuhlung der Atome benotigte Laserlicht wird mit Halbleiterlasern er-

zeugt, die mit Hilfe dopplerfreier FM-Spektroskopie [45] auf atomare Ubergange von

Rubidium stabilisiert werden. Das Licht wird mit Hilfe von single-mode-Fasern zum

Experiment gefuhrt, was neben dem Erreichen einer raumlichen Trennung von La-

sersystem und Experiment den Vorteil von sauberen Modenprofilen und der leicht zu

realisiernden Einstellmoglichkeit der Polarisation uber so genannte Polarisationswip-

pen bietet. Um die benotigte Lichtleistung fur die dreidimensionale magneto-optische

Falle zu erreichen, wird ein tapered amplifier [46] als Verstarkermedium eingesetzt.

Die Atome werden mittels Laserkuhlung [7] [47] in magneto-optischen Fallen

(MOT) gekuhlt und gefangen. Dabei werden Dopplereffekt und Zeemaneffekt aus-

genutzt, um auf die sich bewegenden Atome Impulse zu ubertragen und sie abzu-

bremsen und somit zu kuhlen. In der oberen Glaszelle wird eine zweidimensionale

magneto-optische Falle (2D-MOT) eingesetzt, um einen Strahl kalter Rubidiumato-

me zu erzeugen [48] [49]. Sie ist durch vier Laserstrahlen mit einer Gesamtleistung

von 40 - 80 mW und einem 1/e2 - Durchmesser von 1 cm × 5 cm in der horizonta-

len Ebene und ein zweidimensionales Quadrupolfeld mit einem Feldgradienten von

3.1 Das BEC-Experiment 27

18 G/cm realisiert. Mit einem so genannten pushing-Strahl werden die Atome durch

die differentielle Pumpstufe in die untere Glaszelle beschleunigt. Aus diesem Atom-

strahl werden in einer dreidimensionalen MOT wahrend einer Ladezeit von 10 - 30 s

ungefahr 1010 Atome gefangen und gekuhlt. Die 3D-MOT wird mit sechs Laserstrah-

len mit 1/e2- Durchmesser von 22 mm und einem Magnetfeldgradienten von 18 G/cm

betrieben, die Temperatur der gefangenen Atome betragt etwa 150 µK.

Anschließend wird die Atomwolke durch eine optische Melasse sub-Doppler-ge-

kuhlt. Der nachste Schritt ist das Umladen des Ensembles in die Magnetfalle. Im vor-

liegenden Experiment ist eine Falle aufgebaut worden, die der 4-Dee-Magnetfalle [50]

ahnlich ist. Die Apparatur kann wahlweise Kondensate in den Hyperfeinzustanden

F=1 und F=2 erzeugen, im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden allerdings aus-

schließlich Messungen an F=1-Kondensaten durchgefuhrt. In diesem Fall wird das

Ensemble vor dem Umladen in die Magnetfalle durch einen mit dem Ubergang |F =

1〉 =⇒ |F ′ = 2〉 resonanten Laserstrahl von F=2 nach F=1 umgepumpt. Die anschlie-

ßende evaporative Kuhlung [11] geschieht durch Einstrahlen einer Radiofrequenz,

welche mit drei linearen Rampen innerhalb von 25 s abgesenkt wird; sie erhoht die

Phasenraumdichte bis kurz vor den Phasenubergang zum BEC. Wahrend der Eva-

poration verlasst ein Großteil der Atome die Magnetfalle, so dass noch ungefahr 106

Atome ubrigbleiben.

Als Nachstes wird die Dipolfalle zugeschaltet. Das Dipolpotential, welches die

Atome unanghanig von ihrem mf -Zustand halten kann, wird durch einen Nd-YAG-

Laser bereitgestellt, der bei einer Wellenlange von 1064 nm eine Leistung von 500mW

hinter der Glasfaser liefert. Die Atome kondensieren in die Dipolfalle, da die kriti-

sche Temperatur im modifizierten Potential von Magnetfalle und Dipolfalle hoher

ist. Nach dem Ausschalten der Magnetfalle wird mit Hilfe der adiabatischen Pas-

sage [51] die Spinpraparation des atomaren Ensembles vorgenommen. Dabei werden

mit RF-Sweeps Ubergange zwischen Zeeman-Niveaus induziert, so dass eine beliebige

Zusammensetzung aus mf -Unterzustanden prapariert werden kann. Nach einer gewis-

sen Entwicklungszeit wird die Dipolfalle ausgeschaltet, so dass die Atome durch die

Gravitation beschleunigt werden und nach unten fallen. Gleichzeitig findet die mean-

field-Expansion statt, wobei sich das Kondensat ausdehnt. Die einzelnen Spinkom-

ponenten werden durch Anlegen eines Stern-Gerlach-Magnetfeldgradienten separiert

und die sich ergebene raumliche Verteilung der Atome mit einer CCD-Kamera als

Absorptionsmessung detektiert. Die Zeit zwischen Ausschalten des Fallenpotentials

und der Detektion wird als time-of-flight (TOF) bezeichnet.


3.2 Aufbau der Detektionsoptik

Um die bei der Bragg-Interferometrie entstehenden Interferenzmuster auflosen zu

konnen, muss das Detektionssystem in der Lage sein, sehr kleine Strukturen abzubil-

den. Die zu erwartende Breite der Interferenzstreifen bei der Bragg-Beugung liegt im

Bereich von einigen µm, daher ist es wunschenswert, eine Auflosung zu erreichen, die

unter diesen Werten liegt. Im Rahmen dieser Arbeit wurde deshalb das von Sebas-

tian van Staa entwickelte Detektionssystem [52] um ein Linsensystem erweitert, mit

dem Kondensate mit einer Vergroßerung von bis zu 1:3,75 abgebildet werden konnen.

Im folgenden Abschnitt soll nach einem kurzen Uberblick uber das Prinzip der Ab-

sorptionsmessung die zu diesem Zweck entworfene Detektionsoptik beschrieben und

charakterisiert werden.

3.2.1 Das Prinzip der Absorptionsmessung

Die Absorptionsmessung ist eine Detektionsmethode, bei der die Atome mit Laser-

licht angestrahlt werden und der Schattenwurf auf einen CCD-Chip abgebildet wird.

Das Licht ist mit dem |F = 2〉 =⇒ |F ′ = 3〉 Ubergang von 87Rb resonant, bei hohen

Dichten kann allerdings auch eine leichte Verstimmung genutzt werden, um zu verhin-

dern, dass die Atomwolke im Zentrum optisch dicht ist und die raumliche Verteilung

verzerrt wiedergegeben wird. Durch das Einstrahlen eines resonanten Lasers wird das

Bose-Einstein-Kondensat zerstort; es handelt sich bei der Absorptionsmessung also

um eine destruktive Methode der Detektion.

Das Laserlicht, welches im vorliegenden Experiment zum Beleuchten der Ato-

me benutzt wird, stammt von einem extended cavity Diodenlaser, der mit Hilfe der

dopplerfreien Sattigungsspektroskopie [53] frequenzstabilisiert wird. Uber eine single-

mode-Faser wird das Licht zum Experiment gefuhrt, auf eine Strahltaille von 24 mm

aufgeweitet und kollimiert. Der Schattenwurf der Atome wird auf einen CCD-Chip1

mit 2184 × 1472 Pixeln bei einer Pixelgroße von 6, 8 µm × 6, 8 µm abgebildet.

Unter der Annahme, dass die z-Achse die Ausbreitungsrichtung des Detektions-

lichtes ist und es in derselben (x,y)-Koordinate die Atomwolke verlasst, in der es

eingetreten ist (thin-lens-approximation), werden durch die Wechselwirkung mit den

Atomen die Intensitat und die Phase verandert [54]:

E = E0 t eiΦ , (3.1)

wobei t den Transmissionskoeffizienten und Φ die Phasenverschiebung bezeichnet.

1SenSys:3200E

3.2 Aufbau der Detektionsoptik 29

Diese Großen hangen vom Produkt der Spaltendichte n =∫

n · dz, dem resonanten

Streuquerschnitt σ0 = 6πλ2 und der Verstimmung in halben Linienbreiten δ = ω−ω0

Γ/2

ab:

t = eD/2 = exp(

− nσ0

2· 1

1 + δ2

)

(3.2)

Φ = −δD/2 = − nσ0

2· 1

1 + δ2. (3.3)

In diesen Gleichungen bezeichnet D = nσ0

1+δ2 die optische Dichte. Da die Photosensoren

einer CCD-Kamera nicht phasensensitiv sind, zeigt ein Absorptionsbild lediglich die

raumliche Variation von t2.

Um den Einfluss von Streulicht sowie die Modulation der Intensitat des Detekti-

onslasers in der x-y-Ebene, die durch das Gaußsche Strahlprofil und Interferenz and

der Glaszelle hervorgerufen wird, zu berucksichtigen, werden bei jedem Detektions-

vorgang drei Bilder aufgenommen: Als Erstes das eigentliche Absorptionsbild F1 der

Atome bei eingeschaltetem Detektionslaser, dann ein Bild F2 mit eingeschaltetem

Detektionlaser ohne Atome und als Letztes ein Dunkelbild F3 mit ausgeschaltetem

Detektionslicht. Die auf einen Pixel abgebildete Intensitat lasst sich somit in folgender

Weise normieren:

T (x, y) =F1(x, y) − F3(x, y)

F2(x, y) − F3(x, y)= t2 = e−D . (3.4)

Die quantitative Analyse der auf diese Weise aufgenommenen Bilder ist in [44] und

[54] dargestellt.

3.2.2 Aufbau des Linsensystems

Das im Rahmen dieser Arbeit konstruierte Linsensystem bietet drei mogliche Ab-

bildungsverhaltnisse, eine 1:1-Abbildung und zwei unterschiedliche Vergroßerungen,

1:2,17 und 1:3,75. Realisiert wurde dieses durch die Verwendung von achromatischen

Linsen verschiedener Brennweiten. Die der Atomwolke nachste Linse L1 hat eine

Brennweite von f1 = 120 mm und einen Durchmesser von d = 40 mm, die Linse L2 ist

im Falle der 1:1-Abbildung eine baugleiche Linse, kann aber gegen Linsen mit Brenn-

weiten von f2 = 260 mm (d = 50 mm) oder f2 = 450 mm (d=40mm) ausgetauscht

werden. Der Abstand l zwischen den Hauptebenen der Linsen betragt 10 mm.

Da das Detektionslicht ein gaußsches Strahlprofil aufweist, kann der Strahlengang

durch das Linsensystem im Rahmen der klassichen geometrischen Optik nicht exakt

dargestellt werden. Die klassische Linsengleichung

1

g+

1

b=

1

f.


L1

f1 f2

CCD

l

Glaszelle

BEC

L2

Abbildung 3.2: Schematische Ansicht des Strahlengangs durch das Linsensystem

bei der f die Brennweite einer Linse, g die Gegenstandsweite und b die Bildweite be-

schreibt, kann in einer vereinfachten Darstellung der Gaußschen Strahlenoptik unter

der Annahme paraxialer Bedingungen als

1

g + z2R/(b − f)

+1

b=

1

f.

dargestellt werden, wobei zR den Rayleigh-range beschreibt, die Strecke um die sich

die Strahltaille eines Gaußschen Laserstrahls um den Faktor√

2 aufgeweitet hat.

In erster Naherung kann das Linsensystem jedoch mit der klassischen Optik be-

schrieben werden, der Strahlengang ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Man sieht von

links kommend das parallele Detektionslicht, welches teilweise mit den Atomen aus

dem Kondensat wechselwirkt und teilweise unbeeinflusst (unter Vernachlassigung des

Einflusses der Glaszelle) auf das Linsensystem trifft. Das von den Atomen gestreute

Licht trifft auf die Linse L1, verlauft zwischen L1 und L2 parallel und wird durch L2

auf den CCD-Chip fokussiert. Dies ist allerdings nur der Fall, falls der Abstand zwi-

schen den Atomen und der ersten Linse sowie zwischen der zweiten Linse und dem

CCD-Chip den Brennweiten der jeweiligen Linsen entspricht. Der Abstand l zwi-

schen L1 und L2 ist fur eine scharfe Abbildung irrelevant, da er nur den Strahlengang

des ungestreuten Lichts beeinflusst. Dieses wird jedoch durch die Normierung (Glei-

chung 3.4) herausgerechnet, weshalb der Abstand l kurz (etwa 10 mm) im Vergleich

zu den Brennweiten der Linsen gewahlt wurde. So ergibt sich im Vergleich mit ande-

ren Detektionsmethoden, wie zum Beispiel der Phasenkontrastabbildung, bei der der

Abstand l ublicherweise der Summe der beiden Brennweiten l = f1 + f2 entspricht,

der Vorteil, dass man Platz auf dem Experimentiertisch sparen kann.

Wichtige Voraussetzungen fur den Einsatz der Detektionsoptik im Labor sind

zum einen, dass die verschiedenen Abbildungsverhaltnisse leicht zu wechseln sind,


zum anderen, dass die Hohe der Detektionsachse verstellbar ist, um Messungen mit

verschieden langen Zeiten zwischen Ausschalten des Fallenpotentials und Detektion

realisieren zu konnen. Im Falle der 3,75 -fachen Vergroßerung muss die CCD-Kamera

mehr als 45 cm hinter der ersten Linse aufgestellt werden, deshalb wurde auf eine

durchgehende optische Bank, auf der Linsenhalter und die Kamera befestigt sind,

verzichtet. Stattdessen wurde ein Konzept gewahlt, bei dem eine Halterung fur die

beiden Linsen und die Kamera auf zwei getrennten, baugleichen Hubtischen2 mon-

tiert wurden. Diese Hubtische sind im Bereich von +5 mm bis -25 mm verstellbar.

Die Halterung fur die beiden Linsen ist auf einem Verschiebetisch3 montiert, damit

die Abbildung auf dem CCD-Chip scharf gestellt werden kann. Die Linse L2 ist in-

nerhalb weniger Minuten austauschbar. Um den Abstand zwischen dieser Linse und

der Kamera schnell anzupassen, wurden auf dem Experimentiertisch Anlegekanten

montiert, so dass beide Voraussetzungen fur die einfache Handhabung der Detekti-

onsoptik erfullt sind.

3.2.3 Charakterisierung der Detektionsoptik

Zur Bestimmung des maximalen theoretischen Auflosungsvermogens des Linsensys-

tems kann das so genannte Rayleigh-Kriterium herangezogen werden. Dabei wird an-

genommen, dass zwei getrennte punktformige Quellen noch augeflost werden konnen,

wenn sich die Airy-Scheiben, die zentralen hellen Regionen des Fraunhofer-Beugungs-

musters, welches durch die Abbildung durch eine gleichmaßigige Beleuchtung einer

Apertur entsteht, nicht uberlappen. Fur den Durchmesser d der Airy-Scheibe gilt

[55]:

d = 2, 44 · λ · f/# . (3.5)

Dabei steht λ fur die Wellenlange des Lichts und f/# fur die f-Zahl der ersten

Linse. Die f-Zahl ist der Quotient aus der Brennweite und der Apertur der Linse,

durch eine kleinere Brennweite oder eine großere Apertur kann also ein kleinerer

Abstand zwischen zwei punktformigen Quellen aufgelost werden. Wenn die beiden

Airy-Scheiben so nahe zusammen sind, dass sie sich gerade nicht uberlappen, ist das

Rayleigh-Kriterium immer noch erfullt. Dann gilt fur die minimal auflosbare Distanz

s zwischen zwei Punkten:

s = 1, 22 · λ · f/# . (3.6)

2Owis HV1003Owis MT45


a) b)

c) d)

Abbildung 3.3: Fotos des Auflosungsdias: a) zeigt die 1:1-Abbildung, b) die Ver-

großerung von 1:2,17 und c) die Vergroßerung von 1:3,75. Diese drei Bilder sind

zweifach vergroßert dargestellt, um die Strukturen besser erkennen zu konnen. Die

Bilder b) und c) wurden zusatzlich in Helligkeit und Kontrast nachtraglich angepasst.

In Bild d) ist ein großerer Ausschnitt des Auflosungsdias abgebildet. Zusatzlich ist

zu bemerken, dass die Bilder durch den Druck unscharfer erscheinen, als sie wirklich

sind, so dass auf dem Papier nicht die gleichen Strukturen sichtbar sind wie bei der

Auswertung am Computer


Das Rayleigh-Kriterium findet trotz der Tatsache, dass es etwas willkurlich4 erscheint,

immer wieder Anwendung in der Optik und soll wegen seiner Einfachheit auch hier

benutzt werden. Die Linse L1 hat eine Brennweite von 120 mm bei einem Durchmesser

von 40mm, sie hat also die f-Zahl 3. Somit ergibt sich aus Gleichung (3.6) mit der

Wellenlange λ = 780 nm des Detektionslichtes ein Wert von s = 2, 8 µm.

Zur Messung der tatsachlichen Auflosung wurde ein so genanntes Auflosungsdia

verwendet. Dabei handelt es sich um eine Glasplatte, die mit periodischen Struktu-

ren in horizontaler und vertikaler Ausrichtung beschichtet ist, welche Abstande im

Bereich von einigen mm bis hin zu wenigen µm aufweisen. Dieses Dia wurde mit

dem Licht einer Gluhlampe mit aufgesetzter Diffusionsscheibe beleuchtet, und die

Abbildung des Dias durch das Linsensystem mit der im Experiment eingesetzten

CCD-Kamera fotografiert. Dabei wurde die Abbildung durch sukzessives Verstellen

des Verschiebetisches, auf dem die Linsen montiert sind, moglichst scharf gestellt.

Beim Justieren stellte sich heraus, dass die Qualitat der Abbildung sehr stark da-

von abhangt, ob die Linsen und die Kamera exakt zur optischen Achse ausgerichtet

sind. Kleinste Abweichungen des rechten Winkels zwischen CCD-Chip und optischer

Achse fuhrten dazu, dass die Bilder unscharf wurden und man nicht die maximale

Auflosung erzielen konnte.

Abbildung 3.3 zeigt die Aufnahmen des Auflosungsdias fur die verschiedenen Ab-

bildungsverhaltnisse. Die Liniengruppen mit der kleinsten gerade noch auflosbaren

Periodizitat sind mit einem Pfeil gekennzeichnet. Im Falle der 1:1-Abbildung (a) sind

in der Liniengruppe 5-5 noch Streifen zu erkennen, die schwarzen Linien haben einen

Abstand von s1:1 = 8, 8 µm. Mit einer Vergroßerung von 1:2,17 (b) kann die Linien-

gruppe 6-3 aufgelost werden, was einer Distanz von s1:2,17 = 6, 2 µm entspricht. Im

Fall der 3,75-fachen Vergroßerung (c) kann man gerade noch die Streifen der Linien-

gruppe 6-6 auflosen, was einem Linienabstand von s1:3,75 = 4, 4 µm entspricht.

Die theoretisch mit Hilfe des Raileigh-Kriteriums berechnete Auflosung wird also

selbst bei einer Vergroßerung von 1:3,75 nicht ganz erreicht. Darum gilt es zu untersu-

chen, ob die Pixelgroße der CCD-Kamera die Auflosung unter Umstanden verringert.

Dazu ist die Abbildung von periodischen Strukturen auf einem CCD-Chip in Ab-

bildung 3.4 dargestellt. Man sieht ein vertikales Streifenmuster mit der Periodizitat

2s, welches auf quadratischen Pixeln der Große dp abgebildet ist. Entspricht der Ab-

stand der schwarzen Streifen der Pixelgroße (s = dp, Fall a) im Bild oben links), so

kann es im ungunstigsten Fall sein, dass gar keine periodische Struktur detektiert

4Mit Lord Rayleighs eigenen Worten:”Die Regel ist praktisch, weil sie so einfach ist. Sie ist auch

genugend genau, wenn man die Tatsache berucksichtigt, dass wir notwendigerweise nicht genau

sagen konnen, was mit Auflosung genau gemeint ist.“


dp

a) s = dp

d) s = 2 · dp

b) s = 1, 5 · dp

c) s = 1, 5 · dp

Abbildung 3.4: Abbildung von periodischen Strukturen auf dem CCD-Chip

wird, da alle Pixel die gleiche Anzahl von Photonen aufnehmen. Dieses ist jedoch

ein Grenzfall, in allen anderen Fallen sollte zumindest eine Modulation der Helligkeit

der Pixel auftreten, auf die der Schatten eines Streifens fallt. Bei einer Streifenbreite

von s = 1, 5 · dp kann man in allen Fallen davon ausgehen, dass man eine deutli-

che Modulation des Intensitatssignals sehen kann (vgl. b und c). Allerdings ist nicht

zwangslaufig sichergestellt, dass unabhanging von der horizontalen Verschiebung des

Streifenmusters immer mindestens ein Pixel zwischen den schwarzen Streifen beleuch-

tet wird und”weiß “ bleibt, und man somit einen maximalen Kontrast erhalt. Das ist

erst der Fall, wenn die Breite der Streifen und der Abstande dazwischen mindestens

dem zweifachen der Pixelgroße entspricht (Fall d in Abbildung 3.4).

Mit diesem Kriterium kann man eine Untergrenze fur die Auflosung angeben, die

durch die Pixelgroße bestimmt wird. Wenn man s = 1, 5 · dp als minimalen Streifen-

abstand definiert, erhalt man bei einer 1:1-Abbildung eine mit dem CCD-Chip theo-

retisch minimal aufzulosende Struktur von spixel = 10, 2 µm. Bei einer Vergroßerung

von 1:2,17 ist spixel = 4, 7 µm und bei einer Vergroßerung von 1:3,75 kann man noch

Strukturen im Abstand von spixel = 2, 7 µm auflosen. Bei der 1:1-Abbildung ist also

die durch die Pixelgroße begrenzte Auflosung großer als die tatsachlich gemessene,

was darauf schließen lasst, dass der oben definierte minimale Streifenabstand in der

Realitat unter dem 1,5-fachen der Pixelgroße liegt. Bei den anderen Abbildungs-

verhaltnissen haben die pixelbegrenzten Auflosungen die gleiche Großenordnung wie

die gemessene, sie liegen jedoch etwas darunter, so dass man insgesamt davon aus-

gehen kann, dass beim vorliegenden Detektionssystem die Große der Pixel auf dem

CCD-Chip die Auflosung limitiert. Die Ergebnisse der obigen Messungen und Uber-


Abbildungsmaßstab stheor./µm spixel/µm sdia/µm

1:1 2,8 10,2 8,8

1:2,17 2,8 4,7 6,2

1:3,75 2,8 2,7 3,6

Tabelle 3.1: Ergebnisse des Tests der Detektionsoptik in Abhangigkeit des Abbil-

dungsmaßstabes: stheor. bezeichnet den mit dem Rayleigh-Kriterium berechneten mi-

nimal auflosbaren Abstand zweier Punkte, sdia den minimal auflosbare Streifenab-

stand auf dem Auflosungsdia und spixel die durch die Pixelgroße begrenzte minimal

auflosbare Streifenbreite.

legungen sind in Tabelle 3.1 zusammengefasst.

Eine weitere deutliche, jedoch schwer quantifizierbare Verschlechterung der Auflo-

sung wird durch Linsenfehler und die Anordnung der Linsen zueinander verursacht.

Fur die Qualitat der Abbildung ist es sehr wichtig, dass die Hauptebenen der Linsen

sehr gut parallel zueinander ausgerichtet sind. Das ist trotz großter Sorgfalt bei der

Herstellung der Linsenhalter nicht unbedingt gegeben. Weiterhin bleibt zu vermu-

ten, dass beim Aufbau der Optik nicht die optimale Ausrichtung der Komponenten

des Detektionssystems an der optischen Achse erreicht werden konnte, und somit

die beim Testen der Apparatur festgestellte Abhangigkeit der Auflosung von dieser

Ausrichtung zum Tragen kam.

Insgesamt kann jedoch festgestellt werden, dass die Implemetierung des neuen

Linsensystems die Auflosung im ausreichenden Maße (3, 6 µm im Verlgeich zu 17, 4 µm

mit dem alten Linsensystem) verbessert hat.

3.2.4 Implementierung der Detektionsoptik

Um die Abbildungsqualitat unter den Bedingungen zu testen, die im Experiment

herrschen, wurden nach der Implementierung der Detektionsoptik in das Experiment

Bilder von F=2 Kondensaten in der Magnetfalle erstellt. Die theoretisch zu erwarte-

tende radiale Ausdehnung der Atomwolken soll mit den durch die Messung erhaltenen

Werten verglichen werden. Um diese Breite zu bestimmen, muss der Radius des El-

lipsoides berechnet werden, den die Atome im harmonischen Potential formen. In der

Thomas-Fermi-Naherung hat das Dichteprofil die Form einer nach unten geoffneten

Parabel, die am klassischen Umkehrpunkt verschwindet. Die Radien in den verschie-

denen Raumrichtungen hangen von den jeweiligen Fallenfrequenzen folgendermaßen


ab [56]:

Ri = aho

(

15Na

aho

)

15

· ωho

ωi. (3.7)

Dabei bezeichnet aho =√

h/mωho die Oszillatorlange, die sich aus dem geometischen

Mittel ωho = (ωρ2ωz)

1/3 der Fallenfrequenzen berechnet, N die Teilchenzahl und ωi

die Fallenfrequenz in Raumrichtung i. Setzt man die zur Zeit der Messung gultigen

Fallenfrequenzen ωρ = 2π · 337 Hz und ωz = 2π · 11, 2 Hz ein, so erhalt man fur eine

Teilchenzahl von N = 106 Atomen einen Radius von Rρ = 3, 23 · 10−6 m. Nimmt man

eine Teilchenzahl von N = 5 · 105 an, so ergibt sich Rρ = 2, 81 · 10−6 m.

Vor der Detektion konnten sich die Kondensate noch wahrend einer 100 µs an-

dauernden Expansionszeit ttof ausdehnen. Die Ausdehnung in Abhangigkeit von ttofwird durch folgende Formel beschrieben [42]

Rρ(t) = Rρ(0) ·√

1 + τ 2 , (3.8)

wobei die Zeitentwicklung durch den dimensionslosen Parameter τ = ωρttof charakte-

risiert wird. Fur eine Expansionszeit von 100 µs ergibt sich Rρ(100 µs) = Rρ(0) ·1, 02.

Das Kondensat dehnt sich also um einen vernachlassigbaren Faktor aus und man

kann insgesamt von einer Breite Rρ ≈ 3 µm ausgehen.

Durch Beugung des Detektionslichtes wird auch diese Breite beim Abbilden durch

das Linsensystem vergoßert. Zur Abschatzung der Verbreiterung kann wieder das

Rayleigh-Kriterium benutzt werden. Wenn man davon ausgeht, dass die Bildpunkte,

die auf dem außersten Rand des Kondensats liegen, gemaß Gleichung 3.5 gebeugt

werden, so wird die Gesamtbreite des Kondensats um insgesamt einen Durchmesser

der Airy-Scheibe verbreitert. Der Radius der Airy-Scheibe betragt bei der verwende-

ten Apertur 2, 8 µm, so dass man insgesamt von einem durch Beugung verbreiterten

Radius von Rρ ≈ 6 µm ausgehen kann.

Die von den Kondensaten in der Magnetfalle erstellten Bilder sind in Abbildung

3.5 zu sehen. Die Gesamtbreite des Kondensats in der 1:1 -Abbildung betragt 3 Pi-

xel, der Radius Rρ liegt also bei 10, 2 µm. Im Falle der 1:2,16 -Abbildung ist das

Kondensat 4 Pixel breit, was unter Berucksichtigung der Vergroßerung einem Radius

von 6, 3 µm entspricht. Fur die 3,75 -fache Vergroßerung ergibt sich eine Breite von

9 Pixeln und somit ein Radius von 8, 2 µm. Die auf diese Weise gemessenen Radien

liegen also alle in der Großenordnung des theoretisch ermittelten. Die im Vergleich

mit dem theoretischen Wert großere Breite bei der 1:1-Abbildung lasst sich durch

die im Vergleich zu den anderen Abbildungen starkere Limitierung der Auflosung

durch die Pixelgroße erklaren (siehe auch Tabelle 3.1). Im Fall der 1:3,75-Abbildung

3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems 37

Abbildung 3.5: BECs aus der Magnetfalle nach 100 µs Expansionszeit, mit den Ab-

bildungsverhaltnissen 1 : 1, 1 : 2, 17 und 1 : 3, 75 (v.l.n.r.) aufgenommen

ist zusatzlich zu bemerken, dass das Bild mit einer hoheren Lichtintensitat erstellt

wurde, was zu einer zusatzlichen Expansion des Kondensats fuhrt, so dass man insge-

samt von einer zufriedenstellenden Ubereinstimmung zwischen den gemessenen und

den theoretisch berechneten Breiten sprechen kann.

3.3 Aufbau des Bragg-Lasersystems

Um Bragg-Beugung von Rubidium-Atomen betreiben zu konnen, braucht man zwei

Laserstrahlen, die eine einstellbare Frequenzdifferenz δ zueinander haben. Dabei kommt

es mehr auf die Genauigkeit dieser Frequenzdifferenz als auf die Genauigkeit der ab-

soluten Frequenz der beiden Strahlen an. Dennoch sind eine geringe Linienbreite des

verwendeten Laserlichts und eine Durchstimmbarkeit des Lasers Voraussetzung fur

den Betrieb des Bragg-Lasersystems. Die fur die Kuhlung und Speicherung und somit

auch fur die Bragg-Beugung von Rubidium-Atomen relevanten optischen Ubergange

liegen bei einer Wellenlange von λ = 780 nm. Daher konnen preiswerte Diodenlaser

benutzt werden, um das Licht zur Manipulation der Atome zu erzeugen. Im Folgenden

sollen sowohl Aufbau und Frequenzstabilisierung des Diodenlasers als auch die Me-


thode zum Erreichen einer definierten Frequenzdiffernz zwischen den Laserstrahlen

mit Hilfe von akusto-optischen Modulatoren beschrieben werden.

3.3.1 Gitterstabilisierter Diodenlaser

3.3.1.1 Eigenschaften von Laserdioden

Das Kernstuck des im Rahmen dieser Arbeit realisierten Bragg-Lasers ist eine Laser-

diode, wie sie beispielsweise auch in CD-Spielern angewendet wird. Auf die prinzipielle

Funktionsweise dieser Laserdioden soll hier nicht eingegangen werden, da diese in der

Literatur ausgiebig behandelt wird (z. B. in [57]). Die fur das Experiment relevanten

Eigenschaften sollen jedoch kurz beschrieben werden.

Die Frequenz ν des von einer Laserdiode emittierten Lichts ist abhangig von der

Resonatorlange L der Diode und von der Energiedifferenz E der beiden Niveaus zwi-

schen denen stimulierte Emission stattfindet. Es mussen daher die beiden folgenden

Bedingungen gleichzeitig erfullt sein [58]:

ν =mc

2nL, (3.9)

ν =E

h. (3.10)

In diesen Gleichungen ist m eine ganze Zahl, n der Brechungsindex des Mediums

im Resonator, c die Lichtgeschwindigkeit und h das Plancksche Wirkungsquantum.

Aufgrund der Energiebreite, die aus der Heisenbergschen Unscharferelation fur E

folgt, ist die erste Gleichung die restriktivere, da die zweite Gleichung die Frequenz ν

nur innerhalb eines Frequenzintervalls ∆ν ∼ 1∆t

bestimmt, wobei ∆t die Lebensdauer

des angeregten Zustands bezeichnet.

Gleichung 3.9 zeigt, dass die Frequenz und somit auch die Wellenlange des Laser-

lichts sowohl vom Brechungsindex des Verstarkermediums als auch von der Resona-

torlange abhangen. Die Resonatorlange andert sich bei Variation der Temperatur, eine

Anderung der Stromstarke des Diodenstroms ruft sowohl eine Temperaturanderung

als auch eine Anderung des Brechungsindex hervor, der von der Ladungstragerdichte

ahbanging ist. Es kann also durch Anderung dieser beiden Großen erreicht eine Durch-

stimmbarkeit der Wellenlange des Diodenlasers uber einen gewissen Bereich werden.

Eine weitere bedeutende Große neben der absoluten Frequenz des Lasers ist die

spektrale Linienbreite. Ein wichtiger Beitrag zu dieser Breite ist die Linienverbrei-

terung durch spontane Emission, welche durch das Shawlow-Townes-Limit gegeben

ist:

∆ν = c2 · hν0

2π· (1 − R)2

PL2. (3.11)


Hierbei bezeichnet hν0 die mittlere Photonenenergie, R die Reflektivitat des Aus-

koppelspiegels und P die Ausgangsleistung, c steht wieder fur die Lichtgeschwindig-

keit und L fur die Resonatorlange. Eine fur Halbleiterlaser typische Großenordnung

der Linienverbreiterung durch spontane Emission liegt bei ∼ 10 MHz, die gesam-

te Linienbreite wird durch zusatzliche Verbreiterungsmechanismen wie zum Beispiel

Fluktuationen des Brechungsindex n durch den Pumpstrom verursacht und hat fur

Laserdioden eine Große von ∼ 100 MHz.

3.3.1.2 Stabilisierung der Laserdiode

Durch Verwendung eines zusatzlichen außeren Resonatorspiegels ist es moglich, so-

wohl die Durchstimmbarkeit des Lasers zu verbessern und seine Wellenlange zu stabi-

lisieren als auch die Linienbreite zu reduzieren. Der externe Resonator kann durch ein

Beugungsgitter realisiert werden, das in den kollimierten Laserstrahl gesetzt wird, was

gegenuber einem halbdurchlassigen Spiegel als externem Resonator den Vorteil hat,

dass durch den Gitterwinkel eine grobe Wellenlangenselektion moglich ist. Die Aus-

richtung des Gitters ist derart, dass die nullte Ordnung als Ausgangsstrahl genutzt

wird und die minus erste Ordnung zuruck in die Laserdiode reflektiert wird. Diese

Anordnung wird als Littrow-Anordnung bezeichnet und ist in Abb. 3.6 dargestellt.

Die Resonatorlange L liegt nun im Bereich von einigen cm, wahrend sie bei ei-

L

Laserdiode

Kollimator

-1. Ordnung

0. Ordnung

GitternormaleGitter

Piezo-

Element

Abbildung 3.6: Gitterstabilisierter Laser in der Littrow-Anordnung


ner Laserdiode ohne externen Resonator im mm-Bereich liegt. Des Weiteren kann

durch Wahl eines geeigneten Gitters die Reflektivitat R erhoht werden. Diese beiden

Faktoren fuhren nach Gleichung 3.11 zu einer kleineren Frequenzbreite im Shawlow-

Townes Limit. Außerdem ist aus Gleichung 3.9 ersichtlich, dass durch die großere

Resonatorlange der Modenabstand des Lasers kleiner wird. Einen weiteren Vorteil

bietet die Moglichkeit, das Gitter auf einem Piezokristall zu montieren, wodurch sich

die Lange des Resonators verandern und sich der Laser uber einen Bereich von einigen

GHz kontinuierlich durchstimmen lasst.

Ein Nachteil der Anordnung mit externem Resonator ist jedoch der Verlust an

nutzbarer Laserleistung. Der Grund dafur ist, dass eine bestimmte optische Leis-

tungsdichte innerhalb der Laserdiode nicht uberschritten werden darf, da diese sonst

zerstort wurde. Der durch das Gitter in die Diode zuruckreflektierte Strahl erhoht je-

doch diese Leistungsdichte, ohne dass dabei die ausgekoppelte Leistung erhoht wird,

so dass diese insgesamt niedriger liegt als bei einer Diode ohne Gitter als externen

Resonator.

3.3.1.3 Aufbau und Justage

Ein Foto des zur Erzeugung der Bragg-Laserstrahlen verwendeten Masterlasers ist

in Abbildung 3.7 zu sehen. Eine AlGaAs-Laserdiode5 ist auf einem Aluminiumsockel

befestigt. Um die Temperatur der Diode moglichst konstant zu halten, ist die Alumi-

niumbasis auf einem Peltierelement montiert, uber das mit Hilfe eines Thermistors

und eines Temperaturreglers die Betriebstemperatur auf einem einstellbaren Sollwert

gehalten werden kann. Die Temperatur, bei der der Laser zufriedenstellend lauft,

liegt beim vorliegenden Aufbau bei 22C. Da das aus der Laserdiode austretende

Licht aufgrund von Beugungseffekten stark divergent ist, muss eine Kollimatorlinse

angebracht werden. Diese wurde mit Hilfe von Verschiebetischen in die richtige Posi-

tion gebracht und dann mit einer Schraubhalterung fixiert, so dass eine permanente

Kollimierung des Laserstrahls gewahrleistet ist.

Das Beugungsgitter6 ist auf ein Piezoelement aufgeklebt, das in einem Spiegel-

halter montiert ist. Um die Anordnung vor externen Storungen wie zum Beispiel

Luftzug zu schutzen, wird sie in einem Aluminiumgehause untergebracht, aus dem

der Laserstrahl durch ein antireflexbeschichtetes Fenster austreten kann.

Zur Justage des Gitters muss dieses so in den Strahlengang gesetzt werden, dass

die minus erste Ordnung wieder in die Diode zuruckreflektiert wird. Dazu werden

5Mitsubishi, ML 601J34-0, 80mW @ 780nm6sog. blazed-grating, 1800 Linien/mm


Abbildung 3.7: Foto des aufgebauten Master-Lasers

zunachst der austretende und der vom Gitter reflektierte Strahl uberlagert. Die Fein-

justage wird bei einer Stromstarke durchgefuhrt, bei der sich die Laserdiode knapp

unter der Laserschwelle befindet. Verkippt man nun das Gitter uber die Verstell-

schrauben des Spiegelhalters, so zeigt das Uberschreiten der Laserschwelle an, dass der

reflektierte Strahl in die Diode zuruckgekoppelt wird. Eine optimale Ruckkopplung

ist erreicht, wenn die Stromstarke am Punkt der Laserschwelle minimal ist.

Die gewunschte Wellenlange des Lasers kann nun uber die horizontale Verkippung

des Gitters eingestellt werden, da sie uber λ = 2d sin φ mit dem Winkel φ zwischen

Laserstrahl und Gitter und der Gitterkonstanten d zusammenhangt. Dazu wird der

Laser in eine Glasfaser eingekoppelt und die Wellenlange mit einem Wavelengthme-

ter 7 gemessen. Auf diese Weise kann die gewunschte Wellenlange von λ = 780, 24 nm

so genau eingestellt werden, dass man damit Sattigungspektroskopie der D2 -Linie

von 87Rb betreiben kann.

3.3.2 Sattigungsspektroskopie

In der Spektroskopie unterscheidet man zwischen zwei verschiedenen Verbreiterungs-

mechanismen atomarer Spektrallininen, den homogenen Verbreiterungsmechanismen,

zu denen die naturliche Linienverbereiterung und die Druckverbreiterung zahlen,

7High Finesse WS/6-UV


und den inhomogenen Verbreiterungsmechanismen wie der Dopplerverbreiterung. Die

naturliche Linienbreite wird wie die anderen homogenen Verbreiterungsmechanismen

auch durch eine Lorentz-Funktion beschrieben, ihre Halbwertsbreite ∆ν hangt von

der Lebensdauer τ des zugehorigen Ubergangs ab [57]:

∆ν =1

2πτ. (3.12)

Daraus ergeben sich typische naturliche Linienbreiten der Dipolubergange von Ato-

men und Molekulen im sichtbaren Spektralbereich von etwa 10 MHz. Die Druckver-

breiterung von Spektrallinien eines atomaren Gases entsteht durch Stoße zwischen

den Atomen. Sie kann durch Anderung des Drucks in einer Dampfzelle kontrolliert

werden und hat typische Halbwertsbreiten von 5 bis 10 MHz. Uberlagert werden die-

se Verbreiterungsmechanismen durch die Dopplerverbreiterung, aufgrund derer die

Lininenbreiten eines atomaren Gases viel großer sind als die Linienbreiten, die durch

die homogenen Verbreiterungsmechanismen verursacht werden.

Die Doppler-Verbreiterung von Spektrallinien resultiert aus der Geschwindigkeits-

verteilung der Atome eines Gases, welche im thermischen Gleichgewicht die Boltz-

mannverteilung ist. Aufgrund des Dopplereffekts hangt die Emissions- und Absorbti-

onswahrscheinlichkeit fur Photonen aus einem Laserstrahl der Frequenz νLaser von der

Geschwindigkeitskomponente vz des absorbierenden Atoms in Richtung des Lasers ab.

Im Ruhesystem des bewegten Atoms erscheint die Laserfrequenz dopplerverschoben

zu

ν ′

Laser = νLaser

(

1 +vz

c

)

. (3.13)

Bewegen sich die Atome in Richtung des Laserstrahls, so”sehen“ sie den Laserstrahl

durch die Dopplerverschiebung langwelliger, bewegen sie sich entgegengesetzt zu den

Photonen, ist deren Wellenlange im Ruhesystem der Atome kleiner als νLaser. Die

absorbierte Lichtintensitat ist also von der Geschwindigkeitsverteilung der Atome

abhangig und hat die Form einer Gaußkurve mit der Halbwertsbreite (FWHM)

∆νDoppler =νLaser

c

√

8kT ln 2

m, (3.14)

wobei c die Lichtgeschwindigkeit, k die Boltzmannkonstante, T die Temperatur und

m die Masse der Atome bezeichnet. In einer Gaszelle ist die Dopplerverbreiterung in

der Regel der dominierende Verbreiterungsmechanismus, ∆νDoppler liegt oft im Bereich

von einigen 100 MHz. Die Spektrallinie ist daher weitgehend gaußformig, man erhalt

aufgrund der anderen Verbreiterungsmechanismen allerdings insgesamt eine Faltung


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ïñð

òó

Abbildung 3.8: Darstellung der dopplerfreien Sattigungsspektroskopie

aus homogenen Lorentzprofilen mit dem inhomogenen Gaußprofil, welches Voigtprofil

genannt wird.

Mit Hilfe der Sattigungsspektroskopie kann man die Doppler-Verbreiterung der

Spektrallinien umgehen. Dazu betrachtet man zunachst ein Atom eines atomaren Ga-

ses mit der Geschwindigkeit vz. Die Absorption eines Photons aus einem Laserstrahl,


der im Folgenden Pumpstrahl genannt werden soll, ist nur dann wahrscheinlich, wenn

die dopplerverschobene Frequenz ν ′

Laser innerhalb der homogenen Breite des optischen

Ubergangs ν0 des Atoms liegt:

|ν ′

Laser − ν0| < ∆νhomogen

Das bedeutet, dass zur Absorption nur die Atome beitragen konnen, die eine Ge-

schwindigkeit vz haben, welche in einem Intervall ∆νz = ±∆νhomogen

ν0· c um vz =

(νLaser − ν0)c

νLaserliegt. Das fuhrt dazu, dass bei den Atomen der Geschwindigkeits-

klasse vz die Besetzungsdichte des absorbierenden Niveaus verringert und die des an-

geregten Niveaus vergroßert wird. Dadurch entsteht ein so genanntes Bennet-Loch,

ein lokales Minimum der Besetzungsverteilung der Atome des absorbierenden Ni-

veaus an der Stelle vz. Der optische Ubergang wird somit bei ausreichender Intensitat

Ipump = Isat gesattigt und der Absorptionskoeffizient fur diese Geschwindigkeitsklasse

von Atomen verringert sich.

Benutzt man nun einen zweiten Laserstrahl, den so genannten Abfragestrahl, den

man antikollinear zum Pumpstrahl in das Medium einstrahlt, kann man diese selek-

tive Sattigung dazu verwenden, ein dopplerfreies Absorptionsspektrum zu erhalten.

Eine solche Anordnung ist in Abbildung 3.8 a) dargestellt. Wenn die Frequenz der

Laser nicht resonant mit dem atomaren Ubergang bei ν0 ist, sattigt der Pumpstrahl

den optischen Ubergang selektiv bei der Geschwindigkeitsklasse vz und der Abfra-

gestrahl fragt die Geschwindigkeitsklasse −vz ab (siehe dazu Abbildung 3.8.b). Ist

jedoch die Frequenz der Laser gleich der Resonanzfrequenz des optischen Ubergangs

νLaser = ν0, so gibt es eine Wechselwirkung von Pump- und Abfragestrahl mit Ato-

men derselben Geschwindigkeitsklasse, und der Abfragestrahl erfahrt aufgrund der

vom Pumpstrahl bewirkten Sattigung eine verringerte Absorption (Abbildung 3.8 c).

Wird die Laserfrequenz uber die dopplerverbreiterte Resonanz durchgestimmt, er-

gibt sich als Absorptionsfunktion A(νLaser) ein dopplerverbreitertes Profil mit einem

schmalen Einbruch bei νLaser = ν0, dem so genannten Lamb-Dip. Die Halbwertsbreite

des Lamb-Dips wird bei idealen Bedingungen durch die naturliche Linienbreite des

Ubergangs bestimmt und berechnet sich dann nach Gleichung 3.12. Betrachtet man

anstatt der Absorptionsfunktion die Transmission in Abhangigkeit der Laserfrequenz,

so zeigen sich die Lamb-Dips als lokale Maxima, und die Halbwertsbreite entspricht

der Breite der Lamb-Dips des Absorptionssignals.

Zusatzlich zu den Lamb-Dips auf den optischen Ubergangen gibt es in einem

Sattigungsspektrum weitere Subdopplerstrukturen, die so genannten Crossover-Dips.

Die Voraussetzungen fur deren Auftreten sind zum einen, dass es zwei oder mehrere

optische Ubergange gibt, deren Dopplerprofile sich uberlappen und zum anderen, dass


diese Ubergange ein gemeinsames unteres oder oberes Niveau haben. Fur Rubidium

ist nur der letztere Fall relevant, diese Konfiguration ist in Abbildung 3.9 dargestellt.

Hat der Pumpstrahl eine Frequenz νLaser = (ν1 + ν2)/2 werden die Atome auf dem

Ubergang ν1 gesattigt, fur deren Geschwindigkeit vz gilt:

v1 = νLaser

(

1 − vz

c

)

=ν1 + ν2

2

(

1 − vz

c

)

⇐⇒ vz =c

v1 + v2

(ν2 − ν1)

Der Abfragestrahl fragt wegen der Bedingung νLaser = (ν1 + ν2)/2 die Atome dersel-

ben Geschwindigkeitsklasse vz auf dem Ubergang mit der Frequenz ν2 ab. Dadurch

erhalt man zusatzlich zu den Sattigungssignalen bei der Geschwindigkeit vz = 0 ein

Crossover-Signal, dessen Frequenz genau in der Mitte zwischen den Frequenzen der

beteiligten Ubergange liegt.

ν1

ν2

νLaser =ν1 + ν2

2

gemeinsamer Grund-

zustand

Abbildung 3.9: Crossover-Resonanz-Konfiguration fur Rubidium

3.3.3 Frequenzverschiebung mit akusto-optischen Modulato-

ren

Um eine einstellbare Frequenzverschiebung zwischen den beiden Laserstrahlen und

kurze Pulszeiten des Bragg-Lasers realisieren zu konnen, wurden im vorliegenden

Laseraufbau akusto-optische Modulatoren (AOMs) eingesetzt. Die Funktionsweise

dieser Bauteile wird anhand von Abbildung 3.10 verdeutlicht. Das Kernstuck eines

AOMs ist ein Kristall mit einem Brechungsindex n, durch den eine hochfrequen-

te Schallwelle mit der Frequenz νs (im Bereich um 100MHz) geschickt wird. Diese


ν

einfallender

Laserstrahl

ν

1. Ordnung

reflektierter

Laserstrahl

ν + νs

0. OrdnungSchallwelle νs

λs

ϑ

Abbildung 3.10: Zur Funktionweise von akusto-optischen Modulatoren

Schallwelle verursacht eine periodische Veranderung der Dichte und somit des Bre-

chungsindex. Ein eintretender Laserstrahl kann nun an diesem”Gitter“ mit der Git-

terkonstante d = λs/2 aufgrund von Bragg-Streuung reflektiert werden, wenn fur

den Eintrittswinkel ϑ die Bragg-Bedingung mλ = 2λs · cos ϑ erfullt ist, wobei λ die

Wellenlange des Laserlichts bezeichnet und m eine ganze Zahl ist und fur die Beu-

gungsordnung steht. Findet eine Beugung in die m-te Ordnung statt, nimmt der

Laserstrahl m Phononen mit der Frequenz νs auf, was dazu fuhrt, dass die Frequenz

ν des eingestrahlten Lasers zur Frequenz ν ′ = ν + m · νs hin verschoben wird.

Diese Tatsache wird im vorliegenden Aufbau ausgenutzt, um Bragg-Laserstrahlen

mit einer genau einstellbaren Frequenzdifferenz zu realisieren. Ein Laserstrahl mit der

Frequenz ν0 wird in zwei Strahlen aufgespalten. Nun werden beiden Strahlen mit je

einem AOM unterschiedliche Frequenzen aufgepragt. Dazu wird die erste Beugungs-

ordnung benutzt, was gleichzeitig den Vorteil bietet, dass man den Laserstrahl so

durch An- und Abschalten des Hochfrequenzsignals sehr schnell schalten kann.

Um die Hochfrequenz-Signale zu erzeugen, wurde eine Anordnung aus einem

einfachen VCO und einem Frequenzgenerator benutzt, wie sie in Abbildung 3.11

zu sehen ist. Der AOM-Treiber (VCO) erzeugt ein Signal mit einer Frequenz von

νVCO = 70 MHz, welches von einem Power-Splitter auf zwei Zweige verteilt wird.

Mit einem hochgenauen DDS-Frequenzgenerator8, der einen Referenzausgang mit

fester Frequenz von νRef = 10 MHz und einen Ausgang mit wahlbarer Frequenz

νSync bis in den MHz-Bereich hat, werden nun zwei Signale mit Frequenzdifferenz

∆ν = δ/2π = νSync − νRef (wobei δ die Kreisfrequenzdifferenz aus Gleichung 2.13

ist) erzeugt und mit den beiden Signalen des AOM-Treibers gemischt. Das Frequenz-

sprektrum der dadurch entstandenen Signale enthalt nun vor allem die Frequenzen

ν± = νVCO ± νRef beziehungsweise ν± = νVCO ± νSync. Mit einem Hochpass-Filter9

8Stanford Research Systems DS3459Mini-Circuits BHP-100


VCOPower-

splitter

Ref. Out 10MHz

Sync. Out 10MHz+δ/2π

Hochpass Amp.1 Amp.2

Hochpass Amp.1 Amp.2

AOM

AOM

FG

Mischer

Mischer

Abbildung 3.11: Ansteuerung der AOMs

mit einer 3-dB-Grenzfrequenz von 82 MHz wird das Signal so bearbeitet, dass die

kleinere Frequenz unterdruckt wird. Um die vom den AOMs benotigte Leistung zur

Verfugung zu stellen, werden die Signale aus beiden Zweigen noch mit jeweils zwei

Verstarkern10 verstarkt. So wird erreicht, dass der eine AOM mit einer Frequenz von

circa 80 MHz und der andere mit einer Frequenz von circa 80 MHz+δ/2π betrieben

wird, wobei δ sehr genau gegeben ist.

3.3.4 Aufbau des Bragg-Laserssystems

Der schematische Aufbau des im Rahmen dieser Diplomarbeit realisierten Bragg-

Lasersystems ist in Abbildung 3.12 dargestellt. Das Licht des gitterstabilisierten

Diodenlasers durchlauft zunachst eine optische Diode, die verhindern soll, dass ein

teilweise reflektierter Laserstrahl (z. B. von der Oberflache der Glasfaser) zuruck

in die Laserdiode gekoppelt wird und somit Storungen verursacht oder die Diode

zerstort. Mit Hilfe eines Strahlteilers wird ein kleiner Teil der Laserleistung in den

Spektroskopiezweig ausgekoppelt. Der Laserstrahl durchlauft im Doppelpass die Rb-

Dampfzelle, das λ/4-Plattchen sorgt dafur, dass der Strahl auf dem Ruckweg den

Strahlteilerwurfel ohne abgelenkt zu werden passiert und auf eine Photodiode ge-

lenkt werden kann, die das Signal fur die Sattigungsspektroskopie liefert.

Zur Frequenzkontrolle wird der Masterlaser mit einer so genannten Lockbox pe-

riodisch uber bis zu 3 GHz durchgestimmt. Dazu liefert die Lockbox eine Sagezahn-

spannung mit einer Frequenz von etwa 100 Hz, die gleichzeitig den Diodenstrom und

10Amp.1: Mini-Circuits ZAD-2, Amp.2: MTS MLV447-097


Master

optische

Diode

λ/4

λ/2

λ/2

λ/2

Strahlteiler-

Wurfel

Photo-

diode

Polarisationswippen

AOM

BEC

AOM

Faser

single-mode-

Rb-

Dampf-zelle

Faser-

koppler

Faser-

koppler

Glaszelle

Abbildung 3.12: Schematischer Aufbau des Bragg-Lasersystems

die externe Resonatorlange uber das Piezoelement moduliert. Bei der richtigen Ein-

stellung dieser Laserparameter erhalt man ein dopplerfreies Spektrum wie es in Ab-

bildung 3.13 dargestellt ist. Zum Betrieb des Bragg-Lasers kann man die Offsetspan-

nung der Lockbox so einstellen, dass die Frequenz an der gewunschten Stelle liegt

und dann die Modulation der Frequenz ausschalten. Fur die Messungen dieser Di-

plomarbeit wurde die Frequenz des Masterlasers so eingestellt, dass sie zwischen den

Crossoverdips CO 2, 4 und CO 3, 4 des Ubergangs |F = 3〉 =⇒ |F ′〉 von 85Rb lag, was

einer Verstimmung von 1, 05 GHz vom Kuhlubergang entspricht.

Die Kombination aus λ/2-Plattchen und Strahlteilerwurfel hinter dem Strahltei-

ler, die den Laserstrahl fur die Spektroskopie abspaltet, dient der Intensitatsregulie-

rung fur die beiden Bragg-Laserstrahlen. Der Laserstrahl wird in eine single-mode-

Faser eingekoppelt, die Polarisation kann uber die Polarisationswippen [59], die wie

eine Kombination aus λ/4-, λ/2- und wieder λ/4-Plattchen wirken, eingestellt wer-

den, so dass nach dem Auskoppeln aus der Faser der Laserstrahl mit dem Polarisa-

tionstrahlteilerwurfel in zwei Strahlen gleicher Intensitat aufgespalten werden kann.

Danach durchlaufen die Strahlen jeweils einen AOM11, wobei die erste Beugungs-

ordnung fur den weiteren Strahlverlauf verwendet wird und die 0. Beugungsordnung

durch eine Blende geblockt wird. Die AOMs werden wie in Kapitel 3.3.3 dargestellt

11Crystal Technology, Modell 3080-125


Frequenz

transm

itti

erte

Inte

nsi

tat

/bel

.E

inh.

85Rb

87Rb

CO 2, 4 CO 3, 4

|F = 3〉 =⇒ |F ′〉

|F = 2〉 =⇒ |F ′〉

⇒ F = 4

F = 3

Abbildung 3.13: Dopplerfreies Sattigungsspektrum: Gekennzeichnet sind die

Crossover-Dips, zwischen die die Frequenz des Masterlasers gesetzt wurde, und der

Ubergang |F = 3〉 ⇒ |F = 4〉. Die Ubergange |F = 3〉 ⇒ |F = 2〉 und |F = 3〉 ⇒|F = 3〉 liegen links von den Crossover-Dips und sind in diesem Spektrum nicht zu

erkennen.

bei verschiedenen Frequenzen betrieben. Zusatzlich zur Frequenzschiebung werden

sie zum schnellen Ein- und Ausschalten der Bragg-Laserstrahlen benutzt. Aufgrund

der experimentellen Anordnung war es nicht moglich, die beiden Strahlen so zu posi-

tionieren, dass sie unter einem Winkel von 180 auf die Atome treffen. Der maximal

mogliche und realisierte Winkel ist 174.

Bevor das Lasersystem auf die oben beschriebene Weise realisiert wurde, sind

verschiedene Uberlegungen und Messungen im Hinblick auf eine gute Signalqualitat

gemacht worden, die zusammen mit den Messungen zur Charakterisierung des Sys-

tems im folgenden Kapitel detailliert erlautert und beschrieben werden. Dabei wurde

vor allem der Einfluss einer Glasfaser im Strahlengang des Lasersystems untersucht

und verschiedene Konzepte der Realisierung miteinander verglichen.

Insgesamt lasst sich sagen, dass ein zuverlassiger und stabiler Aufbau realisiert

wurde, der die fur die Zukunft vorgesehenen Untersuchungen zur Koharenz von

Spinor-BECs ermoglicht und eine gute Ausgangsbasis fur weitere Experimente in

diesem Feld der Forschung darstellt.

Kapitel 4

Charakterisierung und

Anwendungen des

Bragg-Lasersystems

Im Folgenden werden die Messungen vorgestellt, die unterschiedliche Konzepte zum

Aufbau der Bragg-Systemkomponenten charakterisieren und bewerten. Hier wurde

vor allem der bestmogliche Einsatz der Glasfaser, durch die das Laserlicht zum Ex-

periment gefuhrt wird im Hinblick auf die Signalqualitat gepruft. Anschließend wer-

den die Messungen zur Charakterisierung des implementierten Aufbaus beschrieben.

Außerdem werden Messungen zu einem mit dem Bragg-Laser realisierten Atominter-

ferometer diskutiert, mit dem am vorliegenden Experiment erstmalig Spinor-BECs

untersucht werden sollen.

4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf

die Signalqualitat

Im Rahmen der Planung des Lasersystems zur Bragg-Streuung von BECs wurden

vier verschiedene Varianten des Aufbaus entwickelt. Diese wurden im Hinblick auf

ihre Eignung untersucht und miteinander verglichen, wobei als Bewertungskriteri-

en vor allem die Signalqualitat aber auch die Praktikabilitat des jeweiligen Aufbaus

berucksichtigt wurden. Es stellte sich heraus, dass die Signalqualitat im entscheiden-

den Maße davon abhangt, ob eine Glasfaser Teil des Aufbaus ist und an welcher Stelle

im Strahlengang das Licht in diese Faser eingekoppelt wird.

Die verschiedenen Aufbauten sind in Abbildung 4.1 dargestellt. Alle vier ha-

51

52 Kapitel 4 Charakterisierung und Anwendungen des Bragg-Lasersystems

AOM

Photo-

diode

AOM AOM

AOM

Faser-

koppler

Aufbau 1 Aufbau 2 Aufbau 3 Aufbau 4

Abbildung 4.1: Schematische Ansicht der vier Aufbauten zum Test des Einflusses

von Glasfasern. In dieser Abbildung sind aus Grunden der Ubersichtlichkeit die λ/2-

Plattchen und diverse Spiegel nicht mit eingezeichnet, auch wurde die 1. Beugungs-

ordnung des AOM benutzt, was in dieser Darstellung nicht zum Ausdruck kommt.

ben gemeinsam, dass das Laserlicht vom gitterstabilisierten Diodenlaser stammt,

dessen Frequenz relativ zu den optischen Ubergangen im Rubidium mit Hilfe der

Sattigungsspektroskopie einstellbar ist, so wie in Kapitel 3 beschrieben. Weiterhin

haben alle Aufbauten die Gemeinsamkeit, dass der Laserstrahl mit einem Polarisa-

tionsstrahlteiler zunachst in zwei Strahlen aufgespalten wird und danach einer der

beiden Strahlen mit einem AOM um etwa 80 MHz in der Frequenz verschoben wird.

Dann werden die beiden Strahlen uberlagert, das daraus resultierende Schwebungssig-

nal mit einer schnellen Photodiode detektiert und mit einem Spektrum-Analysator1

analysiert. Dadurch, dass nur einer der beiden Strahlen einen AOM durchlauft und

die Laserstrahlen somit eine Frequenzdifferenz von 80 MHz haben, herrschen zwar

nicht die gleichen Bedingungen wie sie im endgultigen Bragg-Laser benotigt werden,

die Bedingungen sind jedoch durchaus vergleichbar und man kann beipielsweise die

Auswirkungen der Reihenfolge von Glasfaser und AOM studieren und eventuelle die

Signalqualitat beeintrachtigende Faktoren von vornherein ausschließen. Die Unter-

schiede der vier Aufbauten bestehen in der Strahlfuhrung.

Aufbau 1 besteht aus zwei freilaufenden Laserstrahlen. Diese Konfiguration si-

1Rohde & Schwarz, FSP 9 kHz...13, 6 GHz

4.1 Untersuchung des Einflusses von Fasern auf die Signalqualitat 53

muliert einen Bragg-Laser, bei dem die beiden Strahlen nur uber Spiegel frei auf die

Atome gelenkt werden. Diese Variante des Aufbaus wurde a priori ausgeschlossen,

da der Laser zur Erzeugung des Lichtes fur die Bragg-Streuung weder in der Nahe

der Vakuumapparatur stehen sollte, noch die Laserstrahlen uber weite Strecken frei

auf dem Experimentiertisch laufen sollten. Das auf diese Weise gewonnene Schwe-

bungssignal stellt jedoch eine gute Basis zum Vergleich mit den anderen Aufbauten

dar.

Im zweiten Aufbau wurde der Strahl, der durch den AOM lauft, wie in Aufbau 1

freilaufend realisiert, der zweite Strahl wurde in eine 10 m lange single-mode-Faser

eingekoppelt, wieder ausgekoppelt und mit dem ersten Strahl uberlagert. In dieser

Anordnung wurde eine mogliche Realisierung des Bragg-Lasersystems simuliert, bei

der beide Strahlen durch je eine Glasfaser zum Experiment gefuhrt werden. Obwohl

einer der Strahlen freilaufend ist, lassen sich eventuelle Storungen, die durch die Glas-

faser zum Beispiel auf die Phase des Lichtes aufgepragt werden konnten, studieren, da

diese bei Benutzung von zwei Glasfasern entkoppelt sind und somit auch auftreten,

wenn nur ein Strahl durch eine Faser gefuhrt wird.

Aufbau 3 ist dem ersten sehr ahnlich mit dem Unterschied, dass der Strahl nach

der Uberlagerung nicht direkt auf die Photodiode gelenkt, sondern in eine Faser ein-

gekoppelt wird und erst nach der Auskopplung mit der Photodiode detektiert wird.

Da die beiden einzelnen Bragg-Laserstrahlen orthogonal zueinander polarisiert sind,

konnen sie nach dem Auskoppeln aus der Faser mit einem Polarisationsstrahlteiler

wieder getrennt werden. Wurde man diese Konfiguration fur den Bragg-Laser benut-

zen, so hatte dies den Vorteil, dass in der Nahe der Vakuumapparatur nur wenige

optische Komponenten platziert werden mussten, was die Realisierung erleichtern

wurde.

In Aufbau 4 wird schließlich der Laserstrahl erst durch eine Faser geschickt, dann

wird er aufgespalten und einer der beiden Strahlen lauft durch den AOM, bevor beide

wieder uberlagert und auf die Photodiode gelenkt werden. Diese Variante hatte im

Vergleich zu Aufbau 3 den Nachteil, dass man mehr Komponenten des Lasersystems

in direkter Nahe des Experiments aufbauen musste.

In Abbildung 4.2 sind die mit dem Spektrum-Analysator aufgenommenen Fre-

quenzspektren der Schwebungssignale von Aufbau 1 und 2 zu sehen. In allen Graphen

dieses Kapitels wurde das Maximum mit der Differenzfrequenz auf 0 dB normiert.

Wahrend der Messungen waren alle Netzgerate, Laborrechner, Pumpen und sonsti-

gen Gerate, die einen Gerauschpegel im Labor erzeugen, in Betrieb, um dem realen

Experimentzyklus entsprechende Rahmenbedingungen zu erzeugen. Man sieht in allen

Spektren deutlich das Maximum bei 80 MHz, der Frequenz, mit der der AOM betrie-


-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-40 -20 0 20 40-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-40 -20 0 20 40

-100

-80

-60

-40

-20

0

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/MHz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/MHz

-100

-80

-60

-40

-20

0

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/MHz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/MHz

a)

c)

b)

d)

Abbildung 4.2: Vergleich der Schwebungssignale von Aufbau 1 (links) und Aufbau 2

(rechts). Die mittleren Maxima haben eine Frequnz von 80 MHz. Die Spektren a und

b wurden mit einer Auflosungsbandbreite von 1 MHz uber eine Frequenzspanne von

100 MHz, c und d mit einer Auflosungsbandbreite von 10 kHz uber eine Frequenz-

spanne von 1 MHz aufgenommen.

ben wird. Im Graphen von Aufbau 2 (Abbildung 4.2 b) sieht man auf der Flanke einige

”Spikes“, die nicht statisch sind, sondern von rechts nach links durch das Spektrum

laufen. Dieser Effekt zeigte sich auch beim Messen mit einer Auflosungsbandbreite von

10kHz (Abbildung 4.2 d) dadurch, dass das im Vergleich zum Aufbau 1 stark erhohte

Rauschen ebenfalls sprunghaft an- und abstieg. Dieser unerwunschte Effekt war nur

bei Aufbau 2 zu beobachten, somit ist er darauf zuruckzufuhren, dass einer der bei-

den Strahlen durch eine Glasfaser gefuhrt wurde. Zusatzlich zu diesem Effekt war auf

dem Signal der Sattigungsspektroskopie im Aufbau 2 eine deutliche Modulation zu

erkennen, die durch Reflexionen vom Faserende zuruck in die Laserdiode verursacht

wurde und selbst durch den Einsatz eines zusatzlichen zweiten optischen Isolators

nicht ausreichend vermindert werden konnte. Ob die oben beschriebenen Storungen


-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-40 -20 0 20 40

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/MHz

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-40 -20 0 20 40

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/MHz

-100

-80

-60

-40

-20

0

-4 -2 0 2 4

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/kHz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/kHz

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-40 -20 0 20 40-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-40 -20 0 20 40

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/Hz

-100

-80

-60

-40

-20

0

-4 -2 0 2 4

Frequenz/Hz

a) b)

d)

f)e)

c)

Abbildung 4.3: Vergleich der Schwebungssignale von Aufbau 3 (links) und

Aufbau 4 (rechts). Die Center-Frequenz betragt bei allen Spektren 80 MHz.

Auflosungsbandbreiten von oben nach unten: 1 MHz, 100 Hz, 1 Hz. Frequenzspannen

von oben nach unten: 100 MHz, 10 kHz 100 Hz

des Schwebungssignals auch auf diese Reflexionen zuruckzufuhren sind, konnte nicht

endgultig ermittelt werden. Auch durch einen Austausch mit einer anderen gleichwer-

tigen Glasfaser wurde keine Verbesserung des Signals erzielt. Aufgrunddessen wurde


von einer Konfiguration des Bragg-Lasers, bei der beide Strahlen jeweils durch eine

Glasfaser direkt zum Experiment gefuhrt werden, abgesehen.

Die Spektren von Aufbau 3 und 4 sind in Abbildung 4.3 dargestellt. In den Mess-

kurven a und b mit einer Spanne von 100 MHz und einer Auflosungsbandbreite von

1 MHz kann man bis auf ein unterschiedliches Signal-Rausch-Verhaltnis, das auf ei-

ne unterschiedlich gute Uberlagerung der beiden Laserstrahlen vor der Photodiode

zuruckzufuhren ist, keine Unterschiede in der Signalqualitat erkennen. Die Breite der

Maxima in beiden Messkurven ist gleich, da sie durch die am Spektrum-Analysator

eingestellte Auflosungsbandbreite begrenzt ist. Durch die logarithmische Darstellung

entsteht in den Graphen c und d der Eindruck, dass das Maximum des Signals von

Aufbau 3 eine großere spektrale Breite hat, was jedoch nicht der Fall ist (siehe hierzu

Abbiludng 4.4). Jedoch gab es in diesem Signal ein sprunghaftes An- und Absteigen

des Rauschens, welches in Abbildung 4.3.c durch insgesamt drei zu verschiedenen Zei-

ten aufgenommene Messkurven verdeutlicht wird. Vergleicht man die Abbildungen e

und f, so sieht man, dass sich bei Aufbau 3 das zentrale Maximum bei etwa −25 dB

verbreitert, wahrend das bei Aufbau 4 erst bei etwa −40 dB der Fall ist. Insgesamt lag

hier also die bessere Signalqualitat vor. Aufgrunddessen wurde fur den endgultigen

Aufbau die Variante 4 gewahlt und das Aufteilen der Strahlen und ihre anschließende

Frequenzverschiebung durch die AOMs hinter der Glasfaser realisiert.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-4 -2 0 2 4

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/kHz

Sch

web

ungss

ignal/

mW

Frequenz/Hz

Aufbau 1

Aufbau 2

Aufbau 3

Aufbau 4

Abbildung 4.4: Links: Spektren aller vier Aufbauten bei einer Auflosungsbandbreite

von 1 Hz. Rechts: Einfluss von akustischen Storungen auf das Schwebungssignal

(Auflosungsbandbreite: 100 Hz, Frequenzspanne: 10 kHz)

Auf der linken Seite von Abbildung 4.4 sind Signale aller vier Aufbauten aus

Messungen mit einer Auflosungsbandbreite vom 1 Hz in ein Koordinatensystem ein-

getragen. Die Skala des Schwebungssignals ist hier linear. Man kann erkennen, dass


trotz der unterschiedlichen Strahlenfuhrung in den Aufbauten keine Verbreiterung

des Maximums bei 80 MHz zu erkennen ist. Die Breite der Maxima ist in allen Fallen

gleich (etwa 1 Hz FWHM), sie ist also durch die Auflosungsbandbreite des Spektrum-

Analysators bestimmt. Ob die Verbreiterung von der Art und Weise abhangt, wie man

die Strahlen vor dem Uberlagern fuhrt, konnte also nicht bestimmt werden.

Die rechte Seite von Abbbildung 4.4 zeigt den Einfluss von außeren Storungen

auf das Schwebungssignal. Es zeigte sich, dass die Messung extrem empfindlich auf

Vibrationen und selbst akustische Storungen wie Sprechen reagiert. Die rote Kurve

zeigt eine Schwebung, die mit dem Aufbau 1 unter den oben beschriebenen Bedin-

gungen aufgenommen wurde. Die blaue Kurve wurde gemessen, wahrend in der Nahe

der Apparatur gepfiffen wurde. Die durch Schallwellen auf die Optik ubertragenen

mechanischen Schwingungen erzeugten die Nebenmaxima im Frequenzspektrum des

Schwebungssignals. Ahnliche Storungen ließen sich durch leichtes Klopfen auf den

Experimentiertisch hervorrufen.

Der Einfluss von Umgebungsgerauschen auf die Signalqualitat wird im folgen-

den Abschnitt noch einmal mit dem in das Experiment implementierten Lasersystem

untersucht. Die durch die akustischen Schwingungen auf die Spiegel ubertragenen

Vibrationen sind eine Ursache fur eine Frequenzverbreiterung des zentralen Maxi-

mums im Spektrum, die mit der oben beschriebenen Methode nicht gemessen wer-

den konnte. Allgemeinener lasst sich formulieren, dass eine Modulation der opti-

schen Weglange eine der Ursachen fur die Frequenzverbreiterung ist. Bei freilaufenden

Strahlen kann dies durch die oben beschriebenen Vibrationen der optischen Kompo-

nenten durch Schall verursacht werden. Denkbar sind hier auch eventuelle thermische

Drifts beispielsweise der Spiegelhalter, die aber im Bereich von weniger als einem

Hertz liegen sollten und somit vernachlassigbar sind. Bei durch Glasfasern gefuhrten

Strahlen konnen ebenfalls akustische und thermische Effekte dazu fuhren, dass es zu

Anderungen des Brechungsindex in der Faser kommt und somit Storungen auf das

Lichtsignal aufgepragt werden.

Zusammenfassend lasst sich sagen, dass die sorgfaltige Planung und die vor dem

Aufbau durchgefuhrten Messungen einen entscheidenen Anteil daran haben, dass die

Signalqualitat ausreichend gut ist, um die mit dem Bragg-Laser geplanten Anwen-

dungen realisieren zu konnen.


4.2 Schwebungsmessung der Bragg-Laserstrahlen

Nachdem die im vorigen Kapitel beschriebenen Messungen durchgefuhrt und ausge-

wertet waren, wurde der endgultige Aufbau des Bragg-Lasers realisiert. Dieser ist in

Kapitel 3.3.4 beschrieben und dort in Abbildung 3.12 dargestellt. Aufgrund der Er-

gebnisse der Messungen wurde ein System nach dem Prinzip von Aufbau 4 realisiert,

bei dem das Licht des Master-Lasers durch eine Glasfaser in die Nahe der Vaku-

umapparatur gefuhrt wird, die Aufspaltung in zwei Strahlen und die anschließende

Frequenzverschiebung durch die beiden AOMs aber erst hinter der Faser stattfin-

det. Um das realisierte Bragg-Lasersystem zu charakterisieren, wurde eine Messung

des Schwebungssignals der beiden bereits auf die Glaszelle justierten Laserstrahlen

durchgefuhrt. Dazu wurde einer der beiden Strahlen mit Hilfe von zusatzlichen Spie-

geln und einem Polarisationsstrahlteilerwurfel mit dem anderen uberlagert und das

Schwebungssignal wie bei den Messungungen des vorigen Kapitels mit Hilfe einer

Photodiode detektiert. Allerdings kam hier zur Spektralanalyse ein Audio-Analyzer2

zum Einsatz, da als Differenzfrequenz der Laserstrahlen in diesem Fall δ = 2π·3, 5 kHz

gewahlt wurde.

Die Spektren sind in Abbildung 4.5 zu sehen. Auf der linken Seite sieht man

Messkurven, die aufgenommen wurden, wahrend das BEC-Experiment mit allen da-

zu benotigten Geraten lief, wodurch ein konstanter Gerauschpegel im Labor vorhan-

den war. Die rechte Seite der Abbildung zeigt Spektren, die aufgenommen wurden

ohne dass all diese Gerate angeschaltet waren. Außerdem wurde wahrend dieser Mes-

sungen ein sich uber dem optischen Tisch befindliches Reinluftzufuhrgerat (eine so

genannte Flowbox ) ausgeschaltet. Bei allen Graphen wurde das Maximum mit der

Differenzfrequenz auf 0 dB normiert.

In den Graphen a und b sieht man neben diesem Maximum weitere Anteile im

Frequenzspektrum des Schwebungssignals, vor allem im Abstand von etwa 300 Hz

links und rechts davon, aber auch mehrere Maxima im Anstand von einigen kHz.

Bei den Messungen, die ohne laufendes Experiment gemacht wurden, sind die Sei-

tenbander um einige dB schwacher, was auch bei einem Vergleich der Spektren c und

d deutlich zu erkennen ist. Hier sind vor allem die Seitenbander im Abstand von

circa 300 Hz zur Differenzfrequenz deutlicher zu sehen. In den Spektren e und f sind

noch Nebenmaxima im Abstand von 120 Hz zu sehen, außerdem wird hier die Ver-

breiterung des Maximums bei der eingestellten Differenzfrequenz durch den Einfluss

der Umgebungsgerausche deutlich. Die Linienbreite, die in Graph f 0, 1 Hz (FWHM)

betragt, wird dadurch verdoppelt.

2Rohde & Schwarz Audio Analyzer DC 110kHz UPL

4.2 Schwebungsmessung der Bragg-Laserstrahlen 59

Frequenz/kHz

-100

-80

-60

-40

-20

0

-2 0 2 4 6 8 10-2 0 2 4 6 8 10

-100

-80

-60

-40

-20

0

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/kHz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

-1 -0.5 0 0.5 1-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

-1 -0.5 0 0.5 1

Frequenz/kHz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

-100

-80

-60

-40

-20

0

-150 -100 -50 0 50 100 150-100

-80

-60

-40

-20

0

-150 -100 -50 0 50 100 150

Frequenz/Hz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/Hz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

Frequenz/kHz

Sch

web

ungss

ignal/

dB

m

a) b)

d)

f)e)

c)

Abbildung 4.5: Signale der Schwebungsmessung: Auf der linken Seite sind die Mes-

sungen unter Experimentbedingungen zu sehen, die Messkurven auf der rechten Seite

wurden ohne akustische Storungen (siehe Text) erstellt. Die Center-Frequenz betragt

bei allen Spektren 3, 5 kHz. Frequenzspannen von oben nach unten: 14, 4 kHz, 2, 8 kHz

320 Hz


Zusammenfassend lasst sich feststellen, dass zwar potentiell storende Signale im Fre-

quenzspektrum der Schwebung auszumachen sind, diese aber um fast 30 dB unter-

druckt sind, so dass man von einer zufriedenstellenden Signalqualitat sprechen kann.

Der realisierte Aufbau bietet also ausreichend gute Bedingungen, um zusammen mit

der bereits bestehenden experimentellen Anordnung Bragg-Beugung von BECs zu

untersuchen.

4.3 Demonstration der Bragg-Beugung erster und

hoherer Ordnung

Da der Bragg-Laser zur Untersuchung von BECs mit Spinfreiheitsgrad eingesetzt wer-

den soll, mussen die Kondensate in einem optischen Dipolpotential prapariert werden.

Die ersten Testmessungen mit dem fertig implementierten System wurden dennoch

an F=1-Kondensaten durchgefuhrt, die in der Magnetfalle prapariert wurden, da da-

zu im Experimentzyklus ein Schritt weniger benotigt wird. Nach Ausschalten des

magnetischen Fallenpotentials folgte eine Entwicklungszeit von t1 = 4 ms, in der sich

ein Großteil der mean-field-Energie in kinetische Energie umwandeln konnte. Um die

Resonanz der Frequenzdifferenz δ zwischen den Bragg-Laserstrahlen moglichst ge-

nau zu bestimmen, wurde nach dieser Entwicklungszeit ein Bragg-Puls der Dauer

t2 = 500 µs eingestrahlt und δ von Messung zu Messung bei gleichbleibender Inten-

sitat im Bereich von 11 kHz bis 18 kHz variiert. Je naher δ an der Resonanzfrequenz

war, desto mehr Atome wurden in die erste Ordnung gebeugt, so dass anhand der

Absorptionsbilder die Resonanzfrequenz ausreichend genau bestimmt werden konnte.

Es zeigte sich, dass bei δ = 2π · 14, 9 kHz die meisten Atome in die erste Ordnung

gebeugt wurden. Nach Gleichung 2.14 gilt fur δ:

δ =p2

R

h · 2m =(2hk · sin (ϑ/2))2

h · 2m (4.1)

Setzt man in diese Gleichung k = 2π/780, 24 nm und die atomare Masse von 87Rb

m = 1, 443 · 10−25 kg ein, so ergibt sich δ = 2π · 15, 04 kHz. Die gemessene und die

theoretisch berechnete Resonanzfrequenz unterscheiden sich also um weniger als ein

Prozent.

In Abbildung 4.6 sind Absorptionsbilder von Messungen an Kondensaten abge-

bildet, die im Hyperfeinzustand |F = 1, mf = 0〉 in der Dipolfalle prapariert wurden.

Hier wurde der Bragg-Puls nach einer Entwicklungszeit von von t1 = 5.5 ms nach dem

Ausschalten des Dipolpotentials eingestrahlt. Die Deteketion der Atomwolken folgte

4.3 Demonstration der Bragg-Beugung erster und hoherer Ordnung 61

nach einer TOF von insgesamt 39 ms, die Pulsdauer und die Intensitat der Laserstrah-

len wurde jeweils so eingestellt, dass etwa die Halfte der Atome in die gewunschte

Ordnung gebeugt wurde. Abbildung 4.6 a zeigt die Bragg-Beugung erster Ordnung,

die Pulsdauer betrug 80 µs bei einer Intensitat von etwa 60 W/m2. Ein Absorpti-

onsbild nach einem Bragg-Puls, der bevorzugt in die zweite Ordnung beugte, ist in

Abbildung 4.6 b zu sehen, hier war die Pulsdauer 400 µs lang und I ≈ 600 W/m2.

Abbildung 4.6 c zeigt ein Bild, bei dem die Atome mit einer Pulsdauer von 250 µs bei

einer Intensitat von etwa 1200 W/m2 bevorzugt in die dritte Ordnung gebeugt wur-

den. Die Differenzfrequenzen betrugen je nach Ordnung das n-fache von 14, 9 kHz, so

wie es Gleichung 2.18 beschreibt. Man kann anhand der Abbildungen gut erkennen,

dass bei Beugung in die n-te Ordnung der Impuls pR = n · hk · sin(ϑ/2) ubertragen

wird. Da bei allen Abbildungen zwischen Einstrahlen des Bragg-Pulses und Detektion

die gleiche TOF gewahlt wurde, wachsen die Abstande zwischen den gebeugten und

den nicht gebeugten Atomen linear mit der Ordnung.

Sowohl bei der Beugung in die zweite Ordnung als auch bei der Beugung in die

dritte Ordnung wurden Atome in die niedrigeren Ordnungen und in die minus erste

Ordnung gebeugt. Diesen Sachverhalt kann man anhand von Abbildung 2.7 erklaren.

Bei der Beugung in die zweite Ordnung betrug die eingestellte Frequenzdifferenz

δ = 2π · 29, 8 kHz. Anstatt des gewunschten Vier-Photonen-Prozesses mit einem Im-

pulsubertrag von 2 ·pR kann auch ein Zwei-Photonen-Prozess stattfinden, da die Ver-

stimmung ∆2 zwischen dem virtuellen Niveau und dem Niveau der ersten Ordnung

der Bragg-Streuung nur etwa 15 kHz betragt und somit eine gewisse Wahrscheinlich-

keit fur die Anregung in dieses Niveau vorhanden ist. Die Verstimmung fur das Niveau

der minus ersten Ordnung betragt etwa 30 kHz, so dass auch die Anregung in diese

Ordnung moglich ist. Dadurch, dass im Vergleich zur Bragg-Beugung in die erste

Ordnung die zehnfache Intensitat eingetrahlt wurde, ist das Auftreten von Atomen

in den niedrigeren Beugungsordnungen verstandlich. Das Gleiche gilt fur die Bragg-

Beugung in die dritte Ordnung, die mit einer Frequenzdifferenz von δ = 2π ·44, 7 kHz

angeregt wurde. Hier betragen die Verstimmungen ∆2 und ∆4 jeweils etwa 30 kHz,

die Verstimmung fur die minus erste Ordnung betragt ungefahr 60 kHz, so dass auch

diese Anregungen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besitzen.

Des weiteren spielt die Frequenzverbreiterung durch die Pulslange eine Rolle. Das

Frequenzspektrum des Bragg-Lasers wird durch eine sinc2-Funktion im Frequenzraum

beschrieben (siehe Kapitel 2.2.6), die Breite betragt bei einer Pulslange von einigen

Hundert µs einige kHz und hat somit eine ahnliche Großenordnung wie die oben

erwahnten Verstimmungen. Außerdem konnen Nebenmaxima im Frequenzspektrum

des Lasers die Anregungen in die niedrigeren Ordnungen verursacht haben.


0. -1.1.2.3.

c)

b)

a)

Abbildung 4.6: Bragg-Beugung erster, zweiter und dritter Ordnung

In Bild b ist zu erkennen, dass mehr Atome in die minus erste Ordnung als in die

erste Ordnung gebeugt wurden, obwohl die Verstimmung fur die minus erste Ordnung

großer ist. Das liegt daran, dass sich die Rabi-Frequenzen der einzelnen Ordnungen

unterscheiden. Dieser Sachverhalt außerte sich auch darin, dass durch geringfugige

Anderung der Pulslange eine annahernd gleiche Verteilung auf die nullte und die

bevorzugte zweite Ordnung erreicht werden konnte, die Anzahl der Atome in den

”unerwunschten“ Ordnungen dabei aber variierte.

Eine Bragg-Beugung in eine hohere Ordnung als die dritte konnte im Rahmen

dieser Messung trotz einiger Versuche mit verschiedenen Parametern nicht erreicht

werden. Der limitierende Faktor ist dabei hochstwahrscheinlich die Intensitat der

Bragg-Laserstrahlen, die bei der Beugung in die dritte Ordnung schon nahe der ma-

ximal moglichen war. Fur die eigentliche Anwendung des Lasersystems als Bragg-

4.4 Rabi-Oszillationen 63

Interferometer sind die hoheren Ordnungen allerdings nicht relevant, da zur Bragg-

Interferometrie die Bragg-Beugung erster Ordnung einzgesetzt werden soll, die im

folgenden Kapitel naher untersucht wird.

4.4 Rabi-Oszillationen

Wenn man mit dem Bragg-Lasersystem Interferometrie betreiben mochte, muss man

in der Lage sein, moglichst genaue π-Pulse beziehungsweise π2-Pulse einzustrahlen.

Um dieses zu uberprufen und die Leistungsfahigkeit des Systems zu testen, wurde

eine Rabi-Oszillation (siehe Kapitel 2.2.7) in Abhangigkeit der Pulsdauer vermessen,

wobei alle sonstigen Parameter unverandert blieben. Dazu wurden wieder in der Di-

polfalle Kondensate im Hyperfeinzustand |F = 1, mf = 0〉 prapariert, die nach dem

Ausschalten des Dipolpotentials fur eine Zeit von t1 = 5.5 ms fallengelassen wurden.

Danach wurde ein Bragg-Puls der Dauer tww im Bereich von 0 µs bis 800 µs einge-

strahlt, der unterschiedliche Anteile der Kondensate in die erste Ordnung beugte.

Nach einer weiteren Zeit von t2 = 33, 5 ms − tww wurde die sich ergebene raumliche

Verteilung der Atome detektiert, so dass sich insgesamt eine TOF von 39 ms ergab.

Auf den so erzeugten Bildern sieht man je nach Dauer des Bragg-Pulses verschie-

dene Verteilungen der Atome auf die nullte und die erste Ordnung, die Teilchenzahlen

in den beiden Ordnungen wurden mit dem in [44] beschriebenen Verfahren bestimmt.

Dazu wird an die Spaltensummen der beiden Kondensate und der thermischen Wol-

ken je eine bimodale Verteilung angefittet und die Teilchenzahl durch Integration

berechnet. Ein Beispiel fur eine mit dem CCD-Chip gemessene Dichteverteilung und

die daran angefitteten Kurven ist in Abbildung 4.7 zu sehen. Die durch diese Fits

ermittelten Anteile der gebeugten Atome sind in Abbildung 4.8 gegen die Pulsdau-

er aufgetragen. Da nach Formel 2.27 fur den Anteil bei der Bragg-Beugung erster

Ordnung die Beziehung

P (t) = sin2

(

Ω1 · tww

2

)

gilt, wurde an die Messwerte eine sin2-Funktion angefittet, wobei eine exponentielle

Dampfung angenommen wurde, da mit steigender Pulsdauer aufgrund der Geschwin-

digkeitsselektivitat immer weniger Atome in die erste Ordnung gebeugt werden. Der

Verlauf der Messpunkte ist in guter Ubereinstimmung mit dieser Funktion, ledig-

lich zwischen 240 µs und 400 µs liegen die Punkte nicht genau auf der Kurve. Diese

Abweichungen sind hochstwahrscheinlich auf ein Driften des Masterlasers und ein

damit verbundenes Driften der Verstimmung ∆ zuruckzufuhren, das wahrend der

Messung auftrat und nur in unregelmaßigen Abstanden korrigiert wurde. Der Fit


Ort / bel. Einh.

Spalt

ensu

mm

e/

bel

.E

inh.

Abbildung 4.7: Beipsiel fur einen Fit zur Teilchenzahlbestimmung. Die Bragg-

Pulsdauer bei dieser Messung betrug 60 µs. Die dunkelblaue Kurve stellt die gemes-

sene Spaltensumme dar, die gebeugten Atome bilden das linke Maximum. Die roten

Kurven sind die an die Kondensate angefitten Parabeln, und die hellblauen Kurven

die an die thermischen Wolken angefitteten Gaußfunktionen.

ergab eine Rabi-Periode von T = (355 ± 1) µs und eine Dampfungskonstante von

texp = (10, 7 ± 7, 5) ms. Mit Hilfe der Gleichungen 2.25 und 2.26 kann man die theo-

retisch zu erwartende Rabi-Periode T folgendermaßen berechnen:

T =2π

Ω1

=2π · 2∆

Ω20

=8π∆

Γ2· Isat

I

Setzt man die naturliche Linienbreite von Γ = 2π · 6.065 MHz und die Verstimmung

des Bragg-Lasers vom Ruckpumpubergang von ∆ = 2π · 5, 75 GHz ein, so erhalt man

T = 625 µs · Isat/I. Vor der Messung wurde die Intensitat I der Bragg-Laserstrahlen

zu 60 W/m2 bestimmt, so dass sich als theoretischer Wert eine Rabi-Periode von

T = 164 µs ergab, welche in der Großenordnung der durch den Fit bestimmten Periode

liegt. Ein Grund fur die große Abweichung vom theoretischen zum gemessenen Wert

konnte das gaußformige Strahlprofil der Laserstrahlen sein, durch das die Intensitat,

mit der die Atome bestrahlt werden, von der Position innerhalb dieses Strahlprofils

abhangt.

Zusammenfassend lasst sich sagen, dass es mit dem realisierten Bragg-Lasersystem

moglich ist, einen beliebigen Anteil von Atomen in die erste Ordnung auszukoppeln

und somit ein Interferometer fur BECs zu realisieren.

4.5 Das π2-π2-Interferometer 65

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500 600 700

Pulsdauer/µs

Ante

ilder

geb

eugte

nA

tom

e

Fitkurve

Messpunkte

Abbildung 4.8: Rabi-Oszillation bei der Bragg-Beugung 1. Ordnung. In der Abbil-

dung oben sieht man den Anteil der gebeugten Atome gegen die Beleuchtungsdauer

aufgetragen, unten sind einige der Bilder gezeigt, aus denen die Messwerte durch Fits

bestimmt wurden.

4.5 Das π2-

π2-Interferometer

Die Messungen zur Demonstration des π2-π2-Interferometers wurden ebenfalls an Kon-

densaten im Hyperfeinzustand |F = 1, mf = 0〉 durchgefuhrt, die fur diese Messungen

in der Dipolfalle prapariert wurden. 5, 5 ms nach Ausschalten des Dipolpotentials

wurde der erste π2-Puls eingestrahlt, der eine Dauer von t1 = 80 µs hatte. Nach

einer einer Zeit tB, die von 0, 5 ms bis 5, 5 ms variierte, wurde der zweite π2-Puls

fur eine Zeit t2 eingestrahlt. Die Atome bewegen sich aufgrund der Gravitation in

der Zeit zwischen den Bragg-Pulsen durch das gaußformige Strahlprofil der Bragg-

Laserstrahlen hindurch, so dass die Intensitat vom Ort innerhalb dieses Stahlprofils


abhangig ist. Es zeigte sich, dass mit zunehmendem zeitlichen Abstand tB zwischen

den beiden Pulsen die Pulsdauer t2 des zweiten Bragg-Pulses verlangert werden muss-

te, damit ein π2-Puls vorlag, so dass man davon ausgehen kann, dass sich die Atome

an einen Ort niedrigerer Intensitat bewegten. Die Zeit t2 betrug dadurch zwischen

100 µs und 180 µs. Nach den beiden Bragg-Pulsen folgte noch eine weitere TOF der

Lange t3 = 33, 5 ms − (t1 + t2 + tB), so dass die Zeit zwischen dem Ausschalten des

Dipolpotentials und der Detektion wie bei den Messungen im vorigen Kapitel wieder

39 ms betrug.

d)

b)

d)

f)

a)

c)

e)

Abbildung 4.9: Interferenz zwischen Bose-Einstein Kondensaten im π2-π2-

Interferometer

4.5 Das π2-π2-Interferometer 67

Einige der auf diese Weise erstellten Bilder sind in Abbildung 4.8 dargestellt. Die

Zeit tB in Bild a) betragt 2 ms, sie wurde von Bild zu Bild um 0, 5 ms erhoht. Man

kann auf den Bildern deutlich erkennen,dass sich der Abstand d der Interferenzstreifen

mit zunehmender Dauer zwischen den π2-Pulsen verringert. Nach Gleichung 2.32 gilt

fur d:

d =h

m∆xα(t)(4.2)

Um diesen Zusammenhang zu uberprufen, wurde der Abstand der Interferenzrin-

ge graphisch bestimmt, indem der Pixelabstand auf dem Bild der CCD-Kamera

ausgezahlt wurde. Diese Methode ist sehr grob und ungenau und sollte bei einer

umfangreicheren Meßreihe durch eine genauere Auswertung ersetzt werden, bei der

die Abstande mit Hilfe von Fits bestimmt werden. In den Messungen mit 0,5 ms<

tb <1,5 ms konnte d nicht auf die angegebene Weise bestimmt werden, da die Inter-

ferenzstreifen nicht kontrastreich genug waren.

Die gemessenen Abstande sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. Die Werte von d

fallen fur steigende Werte von tB, und es lasst sich feststellen, dass sich die Messwerte

qualitativ so verhalten, wie durch die Theorie vorausgesagt.

Bild a) b) c) d) e) f)

tb/ ms 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

d/ Pixel 8,6 8,0 7,7 7,3 7,0 6,0

Tabelle 4.1: Abstande d der Inteferenzstreifen in Abhangigkeit der Zeit tB zwischen

den π2-Pulsen

Die Moglichkeit, mit dem aufgebauten System Bragg-Interferometrie von BECs

zu realisieren, wurde mit dieser ersten Messreihe demonstriert. Um die Dauer einesπ2-Pulses uber die gesamte Lange des Interferometers konstant zu halten, sollten die

Laserstrahlen mit zwei Linsen unterschiedlicher Brennweiten aufgeweitet und die In-

tensitat der Strahlen erhoht werden. Diese Maßnahme wurde die Leistungsfahigkeit

des Systems weiter verbessern und kann in Zukunft relativ leicht implementiert wer-

den.

Kapitel 5

Ausblick

Das im Rahmen dieser Diplomarbeit realisierte Bragg-Lasersystem bietet eine hervor-

ragende Ausgangsbasis zur Durchfuhrung interferometrischer Messungen an Spinor-

BECs. Die im vorigen Kapitel dargestellte Messung mit dem π2-π2-Interferometer zeigt,

dass die Uberlagerung vorher durch Bragg-Pulse getrennter BECs ein deutliches In-

terferenzmuster erzeugt.

Trotz des sehr zufriedenstellenden Ergebnisses gibt es noch Moglichkeiten, die

Leistungsfahigkeit des Systems zu verbessern und seine Handhabung zu vereinfachen.

Zum einen ist dies die bereits erwahnte Aufweitung der Bragg-Strahlen mit Hilfe

eines Teleskopaufbaus, die dazu fuhren wurde, dass die Intensitat uber eine großere

Fallstrecke der Kondensate konstant bliebe. Zum anderen konnte der Master-Laser

durch eine FM-Spektroskopie oder eine andere Technik gelockt werden, die ein Driften

seiner Frequenz uber einen langeren Zeitraum verhindern konnte.

Fur eine quantitative Auswertung der bei der Bragg-Interferometrie aufgenom-

menen Absorptionsbilder sollte die Implementierung eines Fit-Algorithmus erfolgen,

der die Entstehung der Interferenzstreifen und deren absolute Position bei der Aus-

wertung der Absorptionsbilder berucksichtigt. Man kann davon ausgehen, dass die

geplanten interferometrischen Messungen gute Ergebnisse produzieren werden. Die

Frage nach der Koharenz der mehrkomponentigen Wellenfunktion, vor allem der

Koharenz zwischen den einzelnen Komponenten sollte dadurch beantwortet werden

konnen. Insbesondere raumliche Aspekte wie die Koharenz von Kondensaten nach

einer Phasentrennung oder der moglichen Bildung von Spindomonen konnen in Zu-

kunft atominterferometrisch studiert werden, indem der Kontrast in Abhangigkeit

des Abstandes zwischen den uberlagerten Kondensaten untersucht wird.

Ein nachster Schritt wird der fur die nahe Zukunft geplante Einbau eines sich

momentan in der Herstellung befindlichen Detektionsobjektivs sein, dessen 10-fache

69

70 Kapitel 5 Ausblick

Vergroßerung die Auflosung nochmals maßgeblich verbessern wird. Im Zuge des-

sen wird die Moglichkeit der Phasenkontrastabbildung gegeben sein, mit der ei-

ne zerstorungsfreie Detektion der BECs durchfuhrbar ist. Dadurch konnen in-situ-

Messungen zur Entwicklung von Kondensaten in der optischen Dipolfalle durch-

gefuhrt werden, was ein weites Spektrum neuer Moglichkeiten zur Erforschung der

Spinor-BECs bietet.

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Danksagung

An dieser Stelle mochte ich all jenen Personen meinen Dank aussprechen, die zum

Gelingen dieser Diplomarbeit beigetragen haben und die mich wahrend meiner Zeit

am Institut fur Laserphysik unterstutzt und begleitet haben.

Ein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Klaus Sengstock fur die Moglichkeit, meine Di-

plomarbeit auf diesem faszinierenden Forschungsgebiet anfertigen zu konnen sowie

fur die stets gute Betreuung und Unterstutzung in dieser Zeit.

Bei Dr. Kai Bongs bedanke ich mich herzlich fur zahlreiche nutzliche Anregungen,

die meiner Arbeit sehr zugute kamen, seine Hilfe im Labor und sein Interesse am

Fortgang des Aufbaus und der Messungen.

Ganz besonders bedanken mochte ich mich bei”meinen“ Doktoranden Christoph Be-

cker und Jochen Kronjager. Sie fuhrten mich hervorragend in die Arbeit im Labor ein,

waren stets bereit zu Gesprachen uber die Theorie und die Praxis des Experiments

und zu Themen abseits der Physik und waren mir beim Aufbau des Experiments

eine große Hilfe. Außerdem opferten sie manchen Abend, um mich bei Messungen zu

unterstutzen und sorgten durch ihre Art fur ein angenehmes und frohliches Arbeits-

klima nicht nur im Labor.

Den ehemaligen Doktoranden am BEC-Experiment, Michael Erhard und Holger Schmal-

johann, mochte ich ebenfalls fur tatkraftige Unterstutzung und zahlreiche Hilfestel-

lungen danken.

77

Mein besonderer Dank gilt auch Silke Ospelkaus-Schwarzer und Christian Ospelkaus,

von deren Erfahrung im experimentellen Bereich sowie deren Wissen ich so man-

ches Mal profitieren konnte. Auch das Vorstrecken und Entleihen von Elektronik und

anderen Dingen, wodurch mein Vorankommen erheblich beschleunigt wurde, sowie

zahlreiche Hilfen bei diversen Linux-Problemen sollen hier nicht unerwahnt bleiben.

Ich mochte mich auch bei Victoria Romano bedanken, die mir auf stets freundli-

che und frohliche Art des Ofteren burokratische Arbeit abgenommen hat und an die

ich mich in organisatorischen Dingen wenden konnte.

Herzlich bedanken mochte ich mich auch bei allen anderen aus unserem Team fur

das ausgezeichnete Arbeitsklima und ihre Unterstutzung. Es sind hier besonders zu

nennen Anika Vogel, Stefan Vorrath, Marlon Nakat, Oliver Wille, Martin Brinkmann,

Manuel Succo, Dr. Quiang Gu und Malte Schmidt, dem ich zusatzlich fur seine Un-

terstutzung beim Aufbau der Elektronik und zahlreiche Hilfen bei LATEX danke, sowie

die ehemaligen Diplomanden Hosnieh Safaei, Ralf Dinter und Jurgen Fuchs.

Stellvertretend fur alle Mitarbeiter der feinmechanischen Werkstatten mochte ich

mich bei Stephan Fleig, Frank Jonas und Stephan Garbers fur die exzellente und

schnelle Umsetzung meiner Konstruktionszeichnungen bedanken. Des Weiteren be-

danke ich mich bei Reinhard Mielck fur die Anfertigung diverser unverzichtbarer

Dinge fur den Aufbau des Experiments.

Herrn Prof. Dr. W. Neuhauser mochte ich fur die freundliche Ubernahme des Zweit-

gutachtens danken.

Nicht zuletzt mochte ich mich ganz besonders bei meinen Eltern bedanken, die mich

im Studium und wahrend dieser Arbeit stets liebevoll und geduldig unterstutzt ha-

ben, sowie bei meinen Schwestern und bei allen Freunden, ohne deren Verstandnis

und Unterstutzung diese Arbeit nicht moglich gewesen ware.

Erklarung

Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbststandig und nur mit Zuhilfenah-

me der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt zu haben.

Ich bin mit einer spateren Ausleihe meiner Diplomarbeit einverstanden.

Hamburg, den 31. Oktober 2004

Thomas Garl

Aufbau eines Bragg-Lasersystems fur Koh arenzun...

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