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Aufgabe 5.3Duale Simplexverfahren

Knut Krause Thomas Siwczyk Stefan Tittel

Technische Universität Dortmund

Fakultät für Informatik

Algorithmen und Datenstrukturen15. Januar 2009

Knut Krause, Thomas Siwczyk, Stefan Tittel Duale Simplexverfahren

Aufgabenstellung und MotivationErläuterung und Beispiel

Gliederung

1 Aufgabenstellung und Motivation

2 Erläuterung und BeispielAllgemeines VorgehenTableau-MethodeRevidierte Simplex-Methode



Aufgabenstellung

Erläutern Sie das duale Simplexverfahren (Tableau-Methode undrevidierte Simplex-Methode) und veranschaulichen Sie dasVerfahren anhand eines Beispiels.



Motivation

Lösung eines LPs, welches weder in kanonischer Form vorliegt,noch leicht in diese transformiert werden kann

Beispiel

max F(x1, x2) = 2x1 + x2

s. t. x1 + x2 ≥ 83x1 + x2 ≥ 12x1 + x2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0

Erweiterung eines LPs, zu dem eine optimale Lösung besteht,die nach der Erweiterung des LPs keine Lösung mehr ist



Allgemeines VorgehenTableau-MethodeRevidierte Simplex-Methode

Gliederung






Überblick

finde zulässige (nicht notwendigerweise optimale) Basislösungfür das Problem

übergib diese Basislösung an primalen Simplex

falls Start mit dual zulässiger1 Lösung, so ist erste primalzulässige Basislösung zugleich optimal

Schritt 1 und 2 (Wahl von Pivotzeile und Pivotspalte) andersals beim primalen Algorithmus

Schritt 3 (Tableautransformation/Matrizenrechnung) identischzum primalen Algorithmus

1alle Eintragungen in der F-Zeile ≥ 0




Umwandlung des Ausgangsproblems

Umformung des Ausgangsproblems in kanonische Form mitSchlupfvariablen, aber negative bi zulässig

Beispiel – der kanonischen Form zugrundeliegendes LGS

F = 2x1 + x2

x3 = x1 + x2 − 8x4 = 3x1 + x2 − 12x5 = −x1 − x2 + 10




Start-Tableau/-Matrix

für Tableau-Methode:

x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3 −1 −1 1 −8x4 −3 −1 1 −12x5 1 1 1 10

F −2 −1 0 0 0 0

für revidierte Simplex-Methode:

−1 −1 1 0 0 0 −8−3 −1 0 1 0 0 −121 1 0 0 1 0 10−2 −1 0 0 0 1 0




Wahl der Pivotzeile

Voraussetzung

Basislösung eines LPs (muss nicht zulässig sein); aktuelleEintragungen im Simplextableau seien mit a′ĳ , b

′

i , c′

j bezeichnet

1 gibt es kein b′i < 0: zulässige Basislösung liegt vor ⇒ Abbruch

2 sonst: wähle Zeile s mit kleinstem b′s als Pivotzeile (beimehreren mit gleichem kleinsten Wert wähle beliebige)




Wahl der Pivotspalte

1 gibt es kein a′sj < 0 in Pivotzeile s: Problem hat keinezulässige Basislösung ⇒ Abbruch des gesamten Verfahrens

2 ansonsten wähle Spalte t mit

c ′ta′st

= max{ c ′j

a′sj

∣

∣

∣ j = 1, . . . , n mit a′st < 0}

als Pivotspalte

Anmerkung

Beim primalen Simplex wird zuerst die Pivotspalte, dann diePivotzeile ausgewählt, beim dualen ist es andersherum.




Gliederung






Beispiel – Tableau 1

x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3 −1 − 1 1 −8x4 − 3 − 1 1 − 12x5 1 1 1 10

F −2 − 1 0 0 0 0

1 Test: Basis-Lösung zulässig? Nein: x3 = −8 und x4 = −12!

2 bi = −12 ist minimal, Zeile 2 wird Pivotzeile

3c′

1

a′21

= −2−3

= 23

undc′

2

a′22

= −1−1

= 1⇒ Spalte 2 wird Pivotspalte

4 a′22 wird Pivotelement

Jetzt: Transformation (wie beim primalen Simplex)!





x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3 2 1 −1 4x2 3 1 −1 12x5 − 2 − 1 1 − 2

F 1 0 0 −1 0 12

1 Test: Basis-Lösung zulässig? Nein: x5 = −2!

2 bi = −2 ist minimal, Zeile 3 wird Pivotzeile

3 a′31 ist einzige Auswahlmöglichkeit, Spalte 1 wird Pivotspalte

4 a′31 wird Pivotelement

Jetzt: Transformation (wie beim primalen Simplex)!





x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3 1 1 2

x2 1 12

32

9

x1 1 −12−

12

1

F 0 0 0 −12

12

11

1 Test: Basis-Lösung zulässig? Ja! Nun primaler Simplex:

x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3 1 1 2x4 2 1 3 18x1 1 1 1 10

F 0 1 0 0 2 20

Optimal: x1 = 10, x3 = 2, x4 = 18, x2 = x5 = 0,F = 20




Gliederung






A1

−1 −1 1 0 0 0 −8

−3 −1 0 1 0 0 −12

1 1 0 0 1 0 10

−2 −1 0 0 0 1 0

x1 x2 x3 x4 x5 F bi

B1

−1 1 0 0

−1 0 0 0

1 0 1 0

−1 0 0 1

x2 x3 x5 F

x2

x3

x5

F

B−11

0 −1 0 0

1 −1 0 0

0 1 1 0

0 −1 0 1

x2 x3 x5 F

x2

x3

x5

F




A1 · B−11

3 1 0 −1 0 0 12

2 0 1 −1 0 0 4

−2 0 0 1 1 0 −2

1 0 0 −1 0 1 12

x1 x2 x3 x4 x5 F bi

B2

3 1 0 0

2 0 1 0

−2 0 0 0

1 0 0 1

x1 x2 x3 F

x1

x2

x3

F

B−12

0 0 − 12

0

1 0 32

0

0 1 1 0

0 0 12

1

x1 x2 x3 F

x1

x2

x3

F




A2 · B−12

1 0 0 − 12− 1

20 1

0 1 0 12

32

0 9

0 0 1 1 1 0 2

0 0 0 − 12

12

1 11

x1 x2 x3 x4 x5 F bi

Lösung ist gültige primale Basislösung

Algorithmusstop


Literatur

Literatur

Wolfgang Domschke und Andreas Drexl.Einführung in Operations Research.Springer, Berlin [u.a.], 2005.


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