Aufgabe WirbetrachtendieFunktion · HM II - Gruppe 2 Pr¨asenz ¨ubungen 02.05.16 Aufgabe2.1....

HM II - Gruppe 2 Prasenzubungen 22.04.16

Aufgabe 1.1.Wir betrachten die Funktion

f(x) :=

4n2(x− n) , n ≤ x ≤ n+ 1

2n2 , n ∈ N

−4n2(x− n−1

n2 ) , n+ 1

2n2 ≤ x ≤ n+ 1

n2 , n ∈ N

0 , sonst

aus der letzten Ubung.

Zeichne den Graphen von f auf dem Intervall [1, 4]!Bestimme fur n = 1, 2, 3 die Integrale

∫

n+1

n2

n

f(x) dx.

Uberlege ausgehend davon, wie sich das Integral

∫

∞

0

f(x) dx

verhalt und beziehe Deine Beobachtungen auf Aufgabe 52c von Blatt 13!

Matthias Schulte Technische Universitat Dortmund


Aufgabe 2.1.Zeige, dass die harmonische Reihe

∞∑k=1

1

k(2.1)

divergiert!

Hinweis: Zeige per Induktion, dass die folgende Abschatzung gilt und folgere daraus dieDivergenz:

2m∑

k=1

1

k≥ 1 +

m

2fur m ∈ N0. (2.2)

Aufgabe 2.2.Folgere aus Aufgabe 2.1, dass das uneigentliche Integral

∫∞

0

| sin x |

xdx (2.3)

divergent ist!



Aufgabe 3.1.Konvergieren die folgenden Reihen?

(a)a∞∑

k=1

k4

2k(3.1)

(b)a∞∑

k=1

(

2 + (−1)k

4

)k

(3.2)

(c)a∞∑

k=1

(−1)k ·1

k!(3.3)

Aufgabe 3.2.Zeige, dass

∞∑

k=1

1

k2(3.4)

konvergiert, ohne ein Konvergenzkriterium aus der Vorlesung zu benutzen!

Hinweis: Zeige, dass die Folge der Partialsummen beschrankt ist.

Aufgabe 3.3.Es sei (ak) eine Folge mit ak > 0 fur alle k ∈ N. Zudem sei die Folge

(

ak+1

ak

)

beschrankt.

Zeige, dass dann gilt

lim sup k√ak ≤ lim sup

ak+1

ak. (3.5)

Wer ein Feedback zu seiner Bearbeitung haben mochte, kann die Aufgaben

immer auch in der Ubung abgeben. Es gibt hierfur keine Bonuspunkte und

diese Aufgaben ersetzen auch nicht die Bearbeitung der regularen Aufgaben.


Technische Universitat Dortmund Dortmund, 18. Mai 2016Matthias Schulte

Prasenzubungen zur Hoheren Mathematik II (P, MP, ET, IT, I-I)Blatt 4, SoSe 16

Aufgabe 4.1.Es sei f(x) = ax fur a > 0.

i. Zeige, dass fur die n-te Ableitung von f gilt:

f (n)(x) = logn a · ax. (4.1)

ii. Entwickle die Funktion f in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x0 = 0 undbestimme deren Konvergenzradius!

Hinweis zu i.: Zeige die Aussage mit vollstandiger Induktion.

Aufgabe 4.2 (Wiederholung zur linearen Algebra).Wir betrachten den Raum aller Polynome maximal dritten Grades

V := Pol3(R) := {ax3 + bx2 + cx+ d : a, b, c, d ∈ R}. (4.2)

i. Begrunde, dass durch

BV := {xi : i = 0, 1, 2, 3} (4.3)

eine Basis von V gegeben ist!

ii. Uberprufe, ob BV bezuglich des Skalarprodukts

〈p(x), q(x)〉 =

∫ 1

0

p(x)q(x) dx (4.4)

eine Orthogonalbasis ist!

iii. Gegeben sei die Abbildung

F : V → Pol2(R), F (p(x)) = p′(x) (4.5)

mit Pol2(R) := {ax2 + bx+ c : a, b, c ∈ R}.Zeige, dass F linear ist!

iv. Ist Pol2(R) ein Untervektorraum von Pol3(R)? Begrunde kurz!

Wer ein Feedback zu seiner Bearbeitung haben mochte, kann die Aufgaben immer

auch am Anfang der Ubung abgeben. Es gibt hierfur keine Bonuspunkte und diese

Aufgaben ersetzen auch nicht die Bearbeitung der regularen Aufgaben.



Aufgabe 5.1.Es sei

F : V := R3→ W := R

2, ~x 7→

(

x1 + x2

x2 + x3

)

(5.1)

eine lineare Abbildung. Fur die beiden Raume V,W seien Basen B und C gegeben durch

B =

110

,

101

,

011

bzw. C =

{(

10

)

,

(

11

)}

. (5.2)

Bestimme MB,C(f)!

Aufgabe 5.2.Es sei M ∈ R

3×3 mit

M =

1 2 34 5 67 8 9

. (5.3)

Bestimme detM und berechne N(M)! Bestimme anschließend den Rang von M , ohne dieZeilenstufenform von M zu benutzen!






Aufgabe 6.1.Es sei F eine lineare Abbildung mit

F : Pol4(R) → Pol4(R), p 7→d

dxp, (6.1)

wobei Pol4(R) ={∑

4

i=0αix

i : αi ∈ R ∀ i}

.

Bestimme die Jordannormalform von F !Hinweis: Hier muss nicht viel gerechnet werden.

Aufgabe 6.2.Es sei A ∈ R

3×3 gegeben durch

A =

2 1 21 2 21 1 3

. (6.2)

Bestimme alle Eigenwerte der Matrix A und gib zum kleinsten Eigenwert auch den Eigenrauman!Kontrolle: P (A) = −λ3 + 7λ2 − 11λ+ 5.





Prasenzubungen zur Hoheren Mathematik II (P, MP, ET, IT, I-I)Reupload Blatt 6, SoSe 16

Aufgabe 6.1.Es sei A ∈ R

3×3 gegeben durch

A =

2 1 21 2 21 1 3

. (6.1)

Bestimme alle Eigenwerte der Matrix A und gib zum kleinsten Eigenwert auch den Eigenrauman!Kontrolle: P (A) = −λ3 + 7λ2 − 11λ+ 5.

Aufgabe 6.2.Es sei A eine reelle (n× n)-Matrix und λ ein Eigenwert von A mit zugehorigem Eigenvektor ~v.Zeige:λ2 ist Eigenwert von A2 mit zugehorigem Eigenvektor ~v!

Aufgabe 6.3.Es sei V := C mit der Abbildung

F : V → V, z 7→ z. (6.2)

Zudem seien zwei Basen von V gegeben durch

B = {1, i} bzw. C = {4, 2i}. (6.3)

Bestimme MB,B(F ), MB,C(F ) und MC,C(F )! Berechne anschließend das Produkt

MB,B(F ) ·MB,C(F ) ·MC,C(F )! (6.4)

Was fallt auf?

Aufgabe 6.4.Bestimme zur Funktion

f : (0,∞) → R, x 7→ log x (6.5)

das Taylorpolynom zweiten Grades an der Entwicklungsstelle x0 = 1!Diese Aufgabe wird nicht in der Ubung besprochen.

Kontrollergebnis: T 1

2(f)(x) = −0.5x2 + 2x− 1.5.

Fragen oder Unklarheiten konnen jederzeit nach der Ubung besprochen werden.


Aufgabe 6.5.Erstelle eine Ubersicht zu allen wichtigen Begriffen, die in der Vorlesung zum Thema Matrizenund Lineare Algebra behandelt wurden! Dies kann Definitionen, Satze und Rechenverfahrenumfassen, aber auch alles andere, was Dir zu diesem Thema wichtig vorkommt.Diese Aufgabe wird nicht in der Ubung besprochen. Fragen oder Unklarheiten konnen jederzeit

nach der Ubung besprochen werden.




Technische Universitat Dortmund Dortmund, 06. Juni 2016Matthias Schulte


Aufgabe 7.1.Es seien A,B ∈ R

n×n ahnlich. Zeige, dass dann gilt

χA(λ) = χB(λ)! (7.1)

Was bedeutet dies fur die Eigenwerte ahnlicher Matrizen?

Aufgabe 7.2.

a. Zeige: Die Matrix M =

(

0 1−1 0

)

besitzt in R keine Jordannormalform.

b. Bestimme die Jordannormalform der Matrix N mit

N =

−1 2 30 1 −10 0 42

. (7.2)

Hinweis: Hier muss nicht viel gerechnet werden.

Aufgabe 7.3.Es sei F eine lineare Abbildung mit

F : R4[x] → R4[x], p 7→d

dxp. (7.3)

Bestimme die Jordannormalform von F !Hinweis: Hier muss (wieder) nicht viel gerechnet werden.


Aufgabe 7.4 (Aufhanger fur die Sprechstunde).Berechne die Jordannormalform der folgenden Matrix aus R4×4!

A =

5 −2 −5 3−5 1 2 −18 −4 −9 67 −6 −13 9

(7.4)

Diese Aufgabe ist mein Themenvorschlag fur die Sprechstunde / Wiederholung. Sie wird nichtin der Ubung besprochen, jedoch werden zu dieser Aufgaben Losungen veroffentlicht.

Aufgabe 7.5 (Selbsttest Lineare Algebra).Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?

a. Jede reelle (komplexe?) quadratische Matrix besitzt eine Jordannormalform.

b. Wenn die Jordannormalform einer Matrix existiert, so ist diese eindeutig bis auf Vertau-schung der Jordanblocke.

c. Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom inLinearfaktoren zerfallt.

d. Zwei Matrizen A,B heißen ahnlich, wenn es eine symmetrische Matrix S gibt mit B =SAS−1.

e. Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen hangen nicht von der Wahl der Basis ab.

f. Zur Berechnung einer Darstellungsmatrix MA,B(f) stellt man die Bilder von A unter fals Linearkombinationen von B dar und schreibt die dazugehorigen Koordinatenvektorenin die Zeilen der Darstellungsmatrix.

Diese Aufgabe wird nicht in der Ubung besprochen. Fragen und Unklarheiten konnen jederzeitnach der Ubung, in der Sprechstunde oder per Mail geklart werden.





a a a a Losung zur SprechstundeBlatt 7, Aufgabe 4, SoSe 16

Gesucht ist die Jordannormalform der Matrix

A =

5 −2 −5 3−5 1 2 −18 −4 −9 67 −6 −13 9

. (7.1)

Wir bestimmen zunachst das charakteristische Polynom der Matrix A:

χA(λ) = λ4− 6λ3 + 13λ2

− 12λ+ 4 = (λ− 1)2 · (λ− 2)2 (7.2)

Folglich sind die Eigenwerte von A gegeben durch λ1,2 = 1 und λ3,4 = 2.

λ1,2 = 1:Wir bestimmen den Eigenraum von A zum Eigenwert 1 mit dem Ansatz E(A, 1) = N(A− E)und erhalten

E(A, 1) =

101117

,

0124

. (7.3)

Wegen alg (1) = 2 = dimE(A, 1) ist dies auch der Hauptraum zu λ1,2:

E(A, 1) = V (A, 1). (7.4)

λ3,4 = 2:Wir bestimmen wieder den Eigenraum von A diesmal zum Eigenwert 2 mit dem AnsatzE(A, 2) = N(A− 2E) und erhalten auf diese Weise:

E(A, 2) = N

1 0 0 −10 1 0 20 0 1 −20 0 0 0

=

1−221

. (7.5)

Wegen dimE(A, 2) = 1 < 2 = alg (2) mussen wir nun den nachst hoheren Kern berechnen.Dazu ist

(A− 2E)2 =

0 −2 −3 2−1 9 14 −9−2 −4 −5 4−4 2 5 −2

. (7.6)


Daraus folgt nun

N(A− 2E)2 =

1−320

,

−12−2−1

. (7.7)

Somit ist jetzt dimN(A− 2E)2 = 2 = alg (2) und somit

N(A− 2E)2 = V (A, 2). (7.8)

⇒ Es gibt zwei Jordankasten zum Eigenwert 1 der Lange 1.⇒ Es gibt einen Jordankasten zum Eigenwert 2 der Lange 2.Damit folgt

J = S−1AS =

1 0 0 00 1 0 00 0 2 10 0 0 2

(7.9)

mit der Jordanbasis

JA =

101117

,

0124

,

−12−21

,

1−320

. (7.10)



Aufgabe 8.1.Es sei V = R

4 mit der Basis

B = (b1, b2, b3, b4) =

1100

,

1010

,

1110

,

1111

. (8.1)

und S das Standardskalarprodukt auf V .Bestimme die Grammatrix GB(S) wie in 41.3 a) definiert!

Aufgabe 8.2.Gegeben ist die Differenzialgleichung

(1 + x) · y′ = α · y, α ∈ R, (8.2)

und die Funktion t(x) = (1 + x)α.Zeige, dass t die DGL erfullt!Zusatz: Lose die DGL selbst und uberprufe so die Wahl von t!Hinweis: Sollte bis zum 13.06. das Thema DGLs noch nicht in der VL drangekommen sein,kann diese Aufgabe entweder nach hinten geschoben oder schon einmal vorbereitend besprochenwerden - je nachdem, wie viel Zeit in der Ubung bleibt.

Aufgabe 8.3 (Aufhanger fur die Sprechstunde).Es seien a, b, c ∈ N mit

(I) a3 − b3 − c3 = 3abc und (II) a2 = 2(b+ c). (8.3)

Gib alle Tupel (a, b, c) an, die (I) und (II) erfullen!

Hinweis : Diese Aufgabe hat nicht direkt etwas mit dem aktuellen Thema zu tun, sondernist eine kleine Wiederholung zum logischen Schlussfolgern.Diese Aufgabe ist mein Themenvorschlag fur die Sprechstunde / Wiederholung. Sie wird nichtin der Ubung besprochen, jedoch werden zu dieser Aufgabe Losungen veroffentlicht.






Gesucht sind alle Tupel (a, b, c) naturlicher Zahlen mitI: a3 − b3 − c3 = 3abc undII: a2 = 2(b+ c).

Behauptung:L = {(2, 1, 1)} ist die Losungsmenge des obigen (nichtlinearen) Gleichungssystems.

Beweis.

Wegen a, b, c ∈ N folgt 3abc > 0.⇒ a3 > b3 und a3 > c3.⇒ a > b und a > c.

Addiert man diese beiden Ungleichungen, so erhalt man

2a > b+ c.

Multiplizieren dieser Ungleichung mit 2 liefert

4a > 2(b+ c)II= a2 ⇔ 4a > a2.

Wegen a ∈ N gilt dies fur a = 1, a = 2 und a = 3 (⋆).

Es ist 2(b+ c) gerade. ⇒ a2 ist gerade.Ware a ungerade, so auch a2. ⇒ a ist gerade.(⋆)⇒ a = 2.

Damit ergibt sich mit II die Gleichung

4 = 2(b+ c) ⇔ 2 = b+ cb,c∈N⇔ b = c = 1.

⇒ Behauptung.

Hinweis: Diese Aufgabe ist den Problems of the week der Trinity University in San Antonioentnommen. Link: https://inside.trinity.edu/mathematics/problem-week, Problem 15(Stand: 14.06.2016).

https://inside.trinity.edu/mathematics/problem-week



Aufgabe 9.1.Lose folgende Anfangswertprobleme! (x := x(t), x := x(t) usw.)

a.a x = et−x, x(0) = 1. (9.1)

b.a x = ex · sin t, x(0) = 0. (9.2)

c.a x = (x+ 1) · sin t, x(π

2

)

= 4. (9.3)

Aufgabe 9.2.Es sei F : C7

→ C7 linear mit Darstellungsmatrix A. Es gelte

χA(λ) = (λ− 1)2 · (λ+ i)4 · (λ− i+ 3). (9.4)

Sei J eine Jordannormalform von A. Wie viele verschiedene Moglichkeiten gibt es fur J?Gib fur jede diese Moglichkeiten die Matrix J bzw. deren Jordanblocke explizit an!

Aufgabe 9.3 (Aufhanger fur die Sprechstunde).Die nachfolgende Aufgabe stammt aus dem Buch

”Mathematik fur Ingenieure - Klausur- und Ubungsaufgaben“ von Lothar Papula.

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer beschleunigten Masse unter Berucksichtigung der Reibung.Eine Masse wird mit einer konstanten Kraft beschleunigt und unterliegt einer der Geschwindigkeitv proportionalen Reibungskraft. Die Bewegung dieser Masse genuge der Differenzialgleichung

10 · v + v = 40 mit v(0) = 10. (9.5)

Wie lautet das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v = v(t) und welche Endgeschwindigkeit vE erreicht dieMasse?

Diese Aufgabe ist mein Themenvorschlag fur die Sprechstunde / Wiederholung. Sie wird nicht inder Ubung besprochen, jedoch werden zu dieser Aufgabe Losungen veroffentlicht.

Wer ein Feedback zu seiner Bearbeitung haben mochte, kann die Aufgaben immer auch

am Anfang der Ubung abgeben. Es gibt hierfur keine Bonuspunkte und diese Aufgaben

ersetzen auch nicht die Bearbeitung der regularen Aufgaben.



Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz einer beschleunigten Masse unter Berucksichtigung der Reibung.Eine Masse wird mit einer konstanten Kraft beschleunigt und unterliegt einer der Geschwin-digkeit v proportionalen Reibungskraft. Die Bewegung dieser Masse genuge der Differenzial-gleichung

10 · v + v = 40 mit v(0) = 10.

Wie lautet das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz v = v(t) und welche Endgeschwindigkeit vE er-reicht die Masse?

Losung:Wir bestimmen die Losung des obigen Anfangswertproblems durch Separation der Variablen:

10 · v + v = 40 ⇔ 10 ·dv

dt= 40− v ⇔

dv

40− v=

dt

10⇔

dv

v − 40= −

dt

10.

Integrieren liefert

log |v − 40| = −0.1t+ c ⇔ |v − 40| = e−0.1t · ec.

Den oben entstandenen Betrag losen wir durch Erganzen einer reellen Konstanten auf:

⇒ v − 40 = C · e−0.1t ⇔ v = C · e−0.1t + 40, C ∈ R.

Einsetzen der Anfangsbedingung v(0) = 0 liefert C = −30.Als Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz ergibt sich somit:

v(t) = 40− 30e−0.1t.

Aus physikalischen Grunden schranken wir t auf das Intervall [0,∞) ein.

Fur die Endgeschwindigkeit bildet man nun den Limes fur t → ∞ uber v(t) und erhalt

limt→∞

(

40− 30e−0.1t)

= 40 =: vE.

Hinweis fur die, die in der Sprechstunde da waren:Unsere erste Losung (die mit Vorzeichenfehler ;D) war großtenteils richtig, allerdings haben wirbeim Integrieren ein Vorzeichen verschlampt. Daher der Fehler im Ergebnis.

Allgemeine Bemerkung:

Dieses Beispiel illustriert, dass man physikalische Fragestellungen (wenn in diesem Beispiel auchsehr einfacher Bauart) komplett innermathematisch losen kann. Man muss am Ende ”nur”dieErgebnisse auf das vorgegebene Problem bzw. Modell ruckbeziehen.



Aufgabe 10.1.Bestimme die allgemeine Losung der inhomogenenen Differenzialgleichung

x− 2x+ x = (1 + t)et. (10.1)

Aufgabe 10.2.Die logistische Differenzialgleichung lautet

x = ax− bx2. (10.2)

Wir betrachten im Folgenden eine solche Differenzialgleichung fur a = b = 1 (⋆).Uberzeuge Dich davon, dass dies eine Bernoulli’sche Differenzialgleichung ist und lose dann fur (⋆)das Anfangswertproblem x(0) = 2!

Aufgabe 10.3 (Aufhanger fur die Sprechstunde).Zeige:Ist xp eine partikulare Losung einer linearen DGL 1. Ordnung und Lh die Losungsmenge der zu-gehorigen homogenen DGL, so ist L = xp + Lh die Losungsmenge der ursprunglichen DGL.

Diese Aufgabe ist mein Themenvorschlag fur die Sprechstunde / Wiederholung. Sie wird nicht inder Ubung besprochen, jedoch werden zu dieser Aufgabe Losungen veroffentlicht.






Zu zeigen:Ist xp eine partikulare Losung einer linearen DGL 1. Ordnung und Lh die Losungsmenge derzugehorigen homogenen DGL, so ist L = xp + Lh die Losungsmenge der ursprunglichen DGL.

Beweis.

Wir zeigen die Gleichheit beider Mengen, indem wir beide Mengeninklusionen zeigen.

”⊆”:Sei x ∈ L eine Losung von

x(t) + a(t)x(t) = s(t). (⋆)

Da xp als partikulare Losung ebenfalls eine Losung von (⋆) ist, gilt fur x− xp:

(x− xp) + a(t)(x− xp) = x+ a(t)x− (xp + a(t)x) = s(t)− s(t) = 0.

Somit ist x− xp eine Losung von (⋆) und es ist x− xp ∈ Lh.Schreibe nun x = x+ (x− xp) ∈ xp + Lh. Damit ist diese Inklusion gezeigt.

”⊇”:Sei nun xp + xh ∈ xp + Lh mit einer Losung xh ∈ Lh. Betrachte nun

(xp + xh) + a(t)(xp + xh) = xp + a(t)xp + xh + a(t)x = s(t) + 0 = s(t).

Hieraus folgt, dass xp + xh die inhomogene DGL lost, also ist xp + xh ∈ L, was zu zeigen war.

⇒ Behauptung.

Technische Universitat Dortmund Dortmund, 04. Juli 2016Matthias Schulte


Aufgabe 11.1.Bestimme die allgemeine Losung des DGL-Systems

x = Ax mit A =

1 1 11 1 11 1 1

! (11.1)

Aufgabe 11.2.Sei

K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = r2} (11.2)

ein Kreis um den Ursprung mit Radius r ∈ R.Zeige mittels einer geeigneten Parametrisierung, dass fur den Umfang von K gilt:

UK = 2π · r.

Aufgabe 11.3 (Aufhanger fur die Sprechstunde).Sei

γ : [0, 2π] → R2, γ(t) = (cos t, sin t)T (11.3)

eine Kurve und

v : R2 → R2, v(x, y) = (−y, x)T (11.4)

ein Vektorfeld! Berechne∮

γ

v ds.

Diese Aufgabe ist mein Themenvorschlag fur die Sprechstunde / Wiederholung. Sie wird nicht in derUbung besprochen, jedoch werden zu dieser Aufgabe Losungen veroffentlicht.






Sei γ : [0, 2π] → R2, γ(t) = (cos t, sin t)T eine Kurve und v : R2

→ R2, v(x, y) = (−y, x)T ein

Vektorfeld! Berechne∮

γ

v ds.

Vorbemerkung: Diese Aufgabe ist zum aktuellen Zeitpunkt noch nicht relevant, da dieses The-ma in der VL noch nicht dran gewesen ist. Daher kann die Besprechung dieser Aufgabe alskleine vorgreifende Einheit interpretiert werden.

Die Berechnung des geschlossenen Kurvenintegrals gelingt formelmaßig wie folgt:

∮

γ

v ds =

∫

2π

0

v(γ(t))T · γ(t) dt

=

∫

2π

0

v(cos t, sin t)T ·

(

− sin tcos t

)

dt

=

∫

2π

0

(− sin t, cos t)T ·

(

− sin tcos t

)

dt

=

∫

2π

0

(sin2 t+ cos2 t) dt

=

∫

2π

0

1 dt = 2π.



Aufgabe 12.1.Begrunde die Konvergenz folgender unendlicher Reihe und bestimme den Reihenwert!

∞∑

k=2

(

3

2

)k

·πk−2

(k − 2)!· ik (12.1)

Aufgabe 12.2.Gegeben sei die Menge

D := {(x, y) ∈ R2 : |y| = x2} ⊂ R

2. (12.2)

Zeichne D, gib an, ob D offen bzw. abgeschlossen ist und bestimme den Rand, den Abschluss unddas Innere von D!

Aufgabe 12.3.Lose die Differenzialgleichung

x = (t− x)2 + 1 (12.3)

mit einer geeigneten Substitution!Diese Aufgabe ist mein Themenvorschlag fur die Sprechstunde / Wiederholung. Sie wird nicht in derUbung besprochen, jedoch werden zu dieser Aufgabe Losungen veroffentlicht.






Lose die Differenzialgleichung

x = (t− x)2 + 1

mit einer geeigneten Substitution!

Die Substitution u := t − x ⇔ x = t − u liefert mit x = 1 − u die folgende DGl mit ge-trennten Variablen:

−u = u2⇔ −

du

dt= u

2⇔ −

du

u2= 1dt ⇔

du

u2= −1dt

Integrieren auf beiden Seiten liefert:

−1

u= −t+ c ⇔

1

u= t− c ⇔ u =

1

t− c, c ∈ R.

Rucksubstitution von u = t− x:

t− x =1

t− c⇔ x = t−

1

t− c, c ∈ R.



Aufgabe 13.1.Berechne∫

2x− 1

(x+ 2)2(x− 1)dx. (13.1)

Aufgabe 13.2.Formuliere noch offene Fragen zur Vorlesung und stelle sie am Montag! Die Losungen erarbeiten wirdann zusammen in der Ubung.

Es gibt auf diesem Blatt keine Sprechstundenaufgabe mehr, da es am 18.07 auch keine Sprechstunde

mehr gibt. Bei Fragen konnt ihr euch einfach per Mail 1 melden oder die Fragen in der Klausurvor-

bereitung am 25.07 stellen, deren Besuch selbstverstandlich rein optional ist. 2

Viel Erfolg in der Klausur!

[email protected]

2Mehr Informationen wie immer auf der Homepage.

[email protected]

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