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Aufgaben & Lösungen

Kompaktkurs Physik

Dozent: Dr. Lothar Groesch E-Mail: Lothar.Groesch@gmail.com

Anleitung und Hinweise zum Lösen von Aufgaben

2 Bei der Lösung von Physikaufgaben ist es wichtig, immer nach demselben Schema = Rezept vorzugehen. Folgende Vorgehensweise wird empfohlen:

1. Analysieren Sie den häufig komplexen Aufgabentext auf physikalische Stichworte wie Bewegung, Kraft, Arbeit, Energie, Impuls, Stoß, etc.

2. Analysieren Sie die Begriffe weiter, z.B. welche Art von Bewegung (gleichförmig, beschleunigt, Dreh-, Kreis- …?), welche Kräfte (Schwerkraft, Hangabtrieb, Reibung …?), welche Form von Arbeit / Energie (Lageenergie, Reibungsarbeit …?), etc.

3. Machen Sie eine Skizze mit den gegebenen & gesuchten Größen, und ergänzen Sie diese entsprechend, z.B. Kräftezerlegung bei der schiefen Ebene.

4. Machen Sie eine Liste der gegebenen und gesuchten Größen, und rechnen Sie diese in SI-Einheiten um.

5. Suchen Sie auf Basis der gefundenen Stichworte die entsprechenden Formeln in der Formelsammlung, z.B. beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit, Zentrifugalkraft, Energieerhaltung, Impulserhaltung.

6. Setzen Sie die gegebenen Größen in die Formeln ein: Haben Sie so viele Gleichungen wie Unbekannte? Ansonsten müssen Sie überlegen, welche physikalische Bedingung bzw. Formel Sie noch verwenden könnten?

7. Nun können Sie die Gleichungen algebraisch lösen, z.B. bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und diese in die andere Gleichung einsetzten. Rechnen Sie Zwischenwerte aus – das vereinfacht die Gleichungen.

8. Verwenden Sie bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlen Zehnerpotenzen. Unterteilen Sie die Ergebnisberechnung in drei Teile: Zahlenergebnis, Zehnerpotenzen, Einheiten.

9. Wenn Sie die Zahlenwerte in SI-Einheiten in die Lösungsformeln eingesetzt haben, erhalten Sie das Ergebnis automatisch in der richtigen SI-Einheit.

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MECHANIK STATIK: ŰBUNGSAUFGABEN # 1: Woran erkennt man im Kräftepolygon dass Gleichgewicht herrscht?

# 2: Eine 5 N schwere Lampe hängt an einem Seil. Es hängt 20 cm durch - die Befestigungen sind 4 m entfernt. Wie groß sind die Zugkräfte wenn der Aufhängepunkt a) mittig ist, b) das Seil im Verhältnis 1:3 teilt?

# 3: Ein 1 m langer Stab ist am unteren Ende gelenkig an einer Wand befestigt. An seinem oberen Ende das waagrecht über ein 50 cm langes Seil mit der Wand verbunden ist, hängt ein Gewicht von 103 N. Welche Kraft wirkt im Stab, und welche im Seil (Betrag und Richtung)?

# 4: Auf einer schiefen Ebene (30°) wird ein Rad (2 kg) durch ein Seil am Abrollen gehindert. Mit welcher Kraft zieht das Rad am Seil, wenn dieses a) in Richtung der schiefen Ebene, b) horizontal, c) senkrecht nach oben, d) unter 45° zur Horizontalen verläuft? Mit welcher Kraft drück das Rad jeweils auf die schiefe Ebene? Keine Reibung!

# 5: Berechnen Sie die Kräfte in der Aufhängeschnur eines 10 N schweren Bildes wenn die beiden Ösen 40 cm voneinander entfernt sind und die Schnur um 10 cm durchhängt?

# 6: Ein symmetrischer Keil (Rücken 4 cm, Seiten 24 cm) wird mit 1 kN, die senkrecht auf seinen Rücken wirkt, in einen Baumstamm getrieben. Welche Kräfte wirken die beiden Keilseiten auf das Holz aus?

# 7: Eine 4 m lange Leiter (5 kg) lehnt gegen eine Wand, ihre Füße sind 1,5 m von der Wand entfernt. In ihrer Mitte steht ein Mann (75 kg). Wie groß muss die Haftreibungskraft zwischen Leiter und Boden sein damit sie nicht abrutscht?

# 8: Der Arm einer Balkenwaage wird durch den Auflagepunkt im Verhältnis 1:4 geteilt. Welche Masse liegt in der Waagschale wenn zum Austarieren 1,2 kg notwendig sind (zwei Lösungen)?

# 9: Um einen auf Füßen stehenden 20 kN schweren Tresor anzuheben, wird ein Rohr unter einem Winkel von ca. 30° unter den Tresor geschoben und auf einem dicht beim Tresor auf dem Fußboden liegenden Klotz gelagert. Wie lang muss das Rohr sein wenn seine Berührungspunkte mit dem Tresor und dem Lagerpunkt 15 cm auseinander liegen und eine Person die Stange am anderen Ende mit einer Kraft von 1,5 kN nach unten drückt?

#10: Zum Lösen der Radmuttern ist eine Kraft von 500 N und ein Hebelarm von 80 cm notwendig. Mit welcher Kraft wurden sie zuvor mit einem 40 cm langen Schraubschlüssels angezogen?

#11: An einem mittig gelagerten und 1 m langen Hebelarm hängen auf der einen Seite die Gewichte 2, 5 und 3 N in den Abständen 10, 40 und 50 cm. Welches Gewicht muss am anderen Ende der Stange hängen damit diese im Gleich- gewicht ist? Wie hoch ist die Kraft im Lager?

#12: Berechnen Sie den Schwerpunkt des Kohlendioxidmoleküls (CO): Atommasse Sauerstoff (O) = 16, Atommasse Kohlenstoff (C) = 12, 112,8 pm Abstand zwischen C und O-Atom.

#13: Berechnen Sie den Schwerpunkt des Wassermoleküls (H2O): Atommasse Sauerstoff (O) = 16, Atommasse Wasserstoff (H) = 1, je 95,84 pm Abstand zwischen O und H Atom, 104,45° zwischen den beiden OH-Achsen.

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MECHANIK STATIK: LÖSUNGEN

# 1: Kräftepolygon geschlossen: Spitze des letzten Kraftvektors endet am Beginn des ersten Kraftvektors.

# 2: a) tan α = 0,2 / 2 = 0,1 => α = 5,71°; F1 = F2 = (1/2 * 5 N) / sin(5,712°) = 25,1 N b) tan α = 0,2 / 1 = 0,2 => α = 11,31°; tan ß = 0,2 / 3 = 0,0667 => ß = 3,81° F1 * sin α + F2 * sin ß = FG; F1 * cos α = F2 * cos ß; => F2 = F1 * cos α / cos ß F1 = FG / (sin α + sin ß * cos α / cos ß) = 5 N / (0,196 + 0,0664 * 0,981 / 0,998) = 19,16 N; F2 = 18,83 N

# 3: sin α = d / l = 0,5 => α = 30°; FD = FG / cos α = 1000 / 0,866 = 1154,73 N; FZ = FG * tan α = 577,35 N

# 4: a) FZug = FH = FG * sin(30°) = 2 kg * 9,81 m/s2 * 0,5 = 9,8 N; FDruck = FG * cos(30°) = 2 kg * 9,81 m/s2 * 0,866 = 17 N b) FZug = FH / cos(30°) = FG * tan(30°) = 11,2 N; FDruck = FG * cos(30°) + FZug * sin(30°) = 17 N + 5,6 N = 22,6 N c) FZug = FG; FDruck = 0 d) FZug = FH / cos(15°) = FG * sin(30°) / cos(15°) = 10,2 N; FDruck = 17 N - FZug * sin(15°) = 17 N – 2,6 = 14,4 N

# 5: tan α = 10 / 20 = 0,5 => α = 26,6°; F1 = F2 = (1/2 * 10 N) / sin(26,6°) = 2,24 N

# 6: sin α = ½ * 4 / 24 = 0,0833; FSpal = ½ * FKeil / sin α = 500 / 0,0833 = 6000 N # 7: cos α = 1,5 / 4 = 0,375 => α = 68°; FReib = FG / tan α = 80 kg * 9,81 m/s2 / 2,47 = 317,47 N => μ = 0,405

# 8: x * F = 4 * x * 1,2 => F1 = 4,8 kg; x * 1,2 = 4 * x * F => F2 = 0,3 kg

# 9: 20 kN * 15 cm = (l – 15 cm) * 1,5 kN = l = 185 cm

# 10: Fx * 40 cm = 500 N * 80 cm => Fx = 1 kN

# 11: 2 N * 10 cm + 5 N * 40 cm + 3 N * 50 cm = F * 50 cm => F = 74 N

# 12: 12 * xS = 16 * (112,8 pm – xS) => xS = 64,46 pm von C entfernt

# 13: 16 * xS = 2 * 1 * (95,84 pm * cos(104,5/2) – xS) => xS = 6,52 pm von O entfernt

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MECHANIK

KINEMATIK: ŰBUNGSAUFGABEN zu LINEARE BEWEGUNGEN # 1: Ein Zug fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 72 km/h. Eine Stunde später startet ein zweiter Zug von demselben Bahnhof und fährt konstant mit 108 km/h. Wann hat er den ersten Zug eingeholt?

# 2: Zwei Autos starten von unterschiedlichen Standorten zu einem gemeinsamen Ziel. Fahrzeug A startet um 10 Uhr und kommt nach 360 km Fahrt um 14 Uhr an. Wann muss Fahrzeug B losfahren, um nach 300 km Fahrt mit einer um 10 km/h höheren Durchschnittsgeschwindigkeit zum selben Zeitpunkt anzukommen?

# 3: Ein Wagen beschleunigt mit 0,1 m/s2 aus der Ruhe. Welchen Weg hat er nach 20 s zurückgelegt? Wie groß ist dann seine Geschwindigkeit? Wie weit bewegt er sich in den nächsten 5 s ohne die Beschleunigung?

# 4: Ein Zug beschleunigt aus der Ruhe in 10 s auf 36 km/h. Wie groß war seine Beschleunigung und sein Weg?

# 5: Ein Fahrzeug soll aus der Ruhe in 12 s 133 m zurücklegen. Wie groß muß die Beschleunigung sein, welche Geschwindigkeit hat es dann erreicht?

# 6: Ein Fahrzeug soll aus der Ruhe nach 20 m eine Geschwindigkeit von 108 km/h erreichen. Wie lange dauert dies? Wie groß ist seine Beschleunigung?

# 7: Ein Fahrzeug beschleunigt in 10 s von 80 auf 140 km/h, danach bremst es in 5 s wieder auf 80 km/h ab. Welchen Weg legt es dabei jeweils zurück?

# 8: Ein Formel 1 Rennwagen bremst aus 360 km/h in 3,5 s auf 108 km/h. Wie hoch ist die mittlere Verzögerung, und welchen Weg legt er dabei zurück?

# 9: Von einer Brücke lässt man einen Stein fallen. Eine Sekunde später wird ein zweiter Stein hinterhergeworfen. Beide schlagen gleichzeitig auf der 45 m tiefen Wasseroberfläche auf. Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit des zweiten Steins? Skizzieren Sie für beide Steine den Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Verlauf.

# 10: Ein Basketballspieler springt 76 cm senkrecht nach oben. Wie viel Zeit verbringt er in den obersten 15 cm?

# 11: Ein Heißluftballon steigt mit 12 m/s senkrecht nach oben. 80 m über dem Erdboden wird ein kleiner Sandsack abgeworfen. Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit landet er auf dem Erdboden?

# 12: Sie fahren mit 72 km/h auf die Autobahn. 200 m hinter Ihnen nähert sich ein Pkw mit 108 km/h. Wie stark müssen Sie beschleunigen damit ein Abstand von 40 m zwischen den beiden Fahrzeugen nicht unterschritten wird? # 13: Sie fahren mit 120 km/h und entdecken in ca. 50 m Entfernung eine Radarfalle. Wie lange dauert das Abbremsen mit 5 m/s2 auf 100 km/h? Reicht dies um vor der Radarfalle diese Geschwindigkeit zu erreichen? Wie lange darf die Reaktionszeit dann maximal sein?

# 14: Ein PKW (5 m lang) folgt einem mit 72 km/h vorausfahrenden LKW (20 m lang) in 36 m Abstand. Als die Gegen- fahrbahn frei ist, überholt er indem er mit 5 m/s2 beschleunigt und 36 m vor dem LKW wieder rechts einschert. Wie lange dauert der Überholvorgang (Überholzeit)? Welche Strecke legt der PKW dabei zurück (Überholweg)?

# 15: Im Euro-NCAP Frontalcrash prallt ein Auto mit 64 km/h gegen die deformierbare Barriere, wobei diese um 140 mm und das Auto um 500 mm verformt wird. Wie hoch ist die mittlere Fahrzeugverzögerung in g, sowie die Crashdauer in ms? Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit prallt der Kopf eines nicht angegurteten Insassen gegen die von seiner Ausgangsposition 500 mm entfernte Frontscheibe?

# 16: Nach welcher Zeit und welchem Weg wird im freien Fall die Schallgeschwindigkeit (340 m/s) erreicht?

# 17: Ein Reifentest besteht aus einer Vollbremsung aus 100 km/h. Die schlechtesten Reifen ergeben 78 m Bremsweg, die besten 58 m. Wie groß ist die jeweils konstante Bremsverzögerung? Wie schnell ist das Auto mit den schlechtesten Reifen an der Stelle wo das Auto mit den besten Reifen bereits stand?

# 18: Ein Läufer läuft 100 m in 12 s. Auf den ersten 25 m beschleunigt er, die restlichen 75 m ist seine Geschwindigkeit konstant. Wie groß ist seine Beschleunigung, welche Geschwindigkeit erreicht er und wann?

Weitere Aufgaben: graphische Lösungen

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MECHANIK

KINEMATIK: LÖSUNGEN zu LINEARE BEWEGUNGEN

# 1: Gleichförmige Bewegung: s1 = 20 m/s * t1; s2 = 30 * t2; s1 = s2; t2 = t1 – 1 h; t1 = 3 h; t2 = 2 h

# 2: Gleichförmige Bewegung: v1 = 360 km / 4 h = 90 km/h; t2 = 300 km / (100 km/h) = 3 h => 11 Uhr

# 3: Beschleunigung aus Ruhe: s = ½ * 0,1 m/s2 * 202 = 20 m; v = 0,1 m/s2 * 20 = 2 m/s Gleichförmige Bewegung: s = 2 m/s * 5 s = 10 m

# 4: Beschleunigung aus Ruhe: a = (10 m/s) / 10 s = 1 m/s2; s = ½ * 1 m/s2 * 100 s = 50 m

# 5: Beschleunigung aus Ruhe: a = 2 * 133 m / (12 s)2 = 1,85 m/s2; v = 1,85 m/s2 * 12 s = 22,17 m/s

# 6: Beschleunigung aus Ruhe: 30 m/s = a * t => t = 30 / a; 20 m = ½ * a * 900 / a2 => a = 22,56 m/s2; t = 1,33 s

# 7: Beschleunigung von 22,22 m/s auf 38,89 m/s: a = (38,38 m/s – 22,22 m/s) / 10 s = 1,67 m/s2; s = 22,22 m/s * 10 s + ½ * 1,67 m/s2 * (10 s)2 = 305,72 m Abbremsen von 38,89 m/s auf 22,22 m/s: a = (38,38 m/s – 22,22 m/s) / 5 s = 3,34 m/s2; s = 38,89 m/s * 5 s – ½ * 1,67 m/s2 * (5 s)2 = 152,7 m

# 8: Verzögern von 100 m/s auf 30 m/s: a = (100 - 30) m/s / 3,5 s = 20 m/s2; s = 100 m/s * 3,5 s – ½ * 20 * 3,52 = 337,75 m

# 9: Stein A = Freier Fall: 45 m = ½ * 9,81 m/s2 * tA2 => tA = 3,03 s; tB = tA – 1 s = 2,03 s

Stein B = Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit: 45 m = v0 * 2,03 s + ½ * 9,81 m/s2 * (2,03 s)2 => v0 = 12,21 m/s

# 10: Lotrechter Wurf – Umkehrpunkt: 0 = v0 – 9,81 m/s2 * t => v0 = 9,81 * t; 0,76 m = 9,81 m/s2 * t2 – ½ * 9,81 m/s2 * t2 => Steigzeit tS = 0,39 s; v0 = 3,86 m/s; Obere 15 cm: 0,61 m = 3,86 m/s * t – ½ * 9,81 m/s2 * t2 => t = (3,86 ± 1,71) / 9,81 => Δt = (2 * 1,71) / 9,81 = 0,35 s

# 11: Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit nach oben: 80 m = -12 m/s * t + ½ * 9,81 m/s2 * t2; t = (12 ± 41,4) / 9,81 = 5,44 s; v = -12 m/s + 9,81 m/s2 * (5,44 s)2 = 41,4 m/s

# 12: PKW1 = gleichförmige Bewegung: s1 = 30 m/s * t; PKW2 = Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit.: v2 = 20 m/s + a * t; s2 = 20 m/s * t + ½ * a * t2 + 200 m Kürzester Abstand s2 – s1 = 40 m bei v1 = v2 => a = (10 m/s) / t; 40 m = 20 m/s * t + ½ * a * t2 + 200 m - 30 m/s * t ½ * (10/t) * t2 – 10 * t + 160 = 0 => t = 32 s; a = 0,31; a = 0,31 m/s2

# 13: Abbremsen von 33,33 m/s auf 27,78 m/s: t = (5,55 m/s) / (5 m/s2) = 1,11 s; s = 33,33 * 1,11 – ½ * 5 * 1,112 = 34 m Reaktionsweg = gleichförmige Bewegung: t = 14 m / (33,33 m/s) = 0,48 s

# 14: LKW – gleichförmige Bewegung: sLKW = 20 m/s * t PKW – Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit: vPKW = 20 m/s + 5 m/s2 * t; sPKW = 20 m/s * t + ½ * 5 * t2 Űberholweg: sPKW = sLKW + 2 * 36 m + 20 m + 5 m => 97 m = ½ * 5 * t2 => t = 6,23 s; sPKW = 221,6 m

# 15: Fahrzeug: Abbremsen zum Stillstand: a = (17,78 m/s) / t; sFZG = 0,64 m = 17,78 * t - ½ * (17,78 / t) * t2 => t = 0,072 s = 72 ms; a = 246,9 m / s2 = 25,2 g; Insasse: gleichförmige Bewegung: sINS = 17,78 * t; Relativweg Insasse im Fahrzeug: Δs = sINS - sFZG = ½ * 246,9 m/s2 * t2 = 0,5 m => t = 0,064 s; Relativgeschwindigkeit Insasse im Fahrzeug: Δv = vFZG – vINS = 249,6 * 0,064 = 15,8 m/s = 56,9 km/h

# 16: 340 m/s = 9,81 m/s2 * t => t = 34,66 s; s = ½ * 9,81 m/s2 * (33,74 s)2 = 5892 m = 5,9 km

# 17: v = 27,77 – a * t = 0 => t = 27,22 / a; s = 27,77 * t – ½ * a * t2 = 27,222 / (2 * a) => a = 27,772 / (2 * s); aMin = 4,946 m / s2; aMax = 6,652 m/s2 s = 27,77 * t – ½ * 4,946 * t2 = 58 => t = 2,787 s; v = 27,77 m/s – 4,946 m/s2 * 2,787 s = 13,99 m/s = 50,4 km/h

# 18: Beschleunigte Bewegung: s1 = ½ * v1 * t1 = 25; gleichförmige Bewegung: s2 = (12 – t1) * v1 = 75 => v1 = 50 / t1; => 600 – 50 * t1 = 75 * t1 => t1 = 4,8 s; v1 = 12,5 m/s; a = v1 / t = 2,60 m/s2

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MECHANIK

KINEMATIK: ŰBUNGSAUFGABEN zu ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN # 1: Ein Boot fährt in zwei Minuten mit 36 km/h 900 m flussaufwärts. Wie hoch ist die Flussgeschwindigkeit? Wie lange benötigt es für den Rückweg? Wie groß ist jeweils die absolute Geschwindigkeit des Bootes?

# 2: Ein Boot fährt mit 36 km/h senkrecht zur Strömung über einen 200 m breiten Fluss. Wie weit wird es abgetrieben, wenn das Wasser mit 7,2 km/h fließt? Unter welchem Winkel zu Flussufer müsste es fahren wenn es nicht abgetrieben werden soll?

# 3: Sie durchschwimmen einen 100 m breiten, mit 9 km/h fließenden Fluss auf dem kürzesten Weg. Wie groß muss der Winkel zum Ufer sein wenn sie mit 18 km/h schwimmen? Wann kommen Sie am gegenüber liegenden Ufer an?

# 4: Eine Kugel wird waagrecht mit 600 m/s abgeschossen. Um wie viel fällt sie in der ersten und in der 3. Sekunde? Um wie viel ist sie gefallen wenn sie 6 km waagrecht geflogen ist?

# 5: Durch ein waagrechtes Rohr strömt Wasser mit 10 m/s und trifft unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen in den Schöpfeimer eines Wasserrades. Bestimmen Sie die Position des Eimers.

# 6: 1,6 m über dem Boden wird eine Kugel waagrecht abgestoßen und fliegt in waagrechter Richtung 8 m weit. Wie lange war sie unterwegs? Mit welcher Geschwindigkeit wurde sie abgeworfen? Unter welchem Winkel und mit welcher Geschwindigkeit trifft sie am Boden auf?

# 7: Ein Skispringen fliegt mit 108 km/h vom waagrechten Schanzentisch. Der am vorderen Ende des Schanzentisches beginnende Landehang ist um 45° nach unten geneigt. Wie lange und wie weit fliegt der Springer (Strecke Absprung bis Landepunkt)? Mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel zum Hang landet er?

# 8: Eine kleine Kugel wird unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen mit 30 m/s abgeschossen. An welchem Ort befindet sich die Kugel nach 2 Sekunden? Bestimmen Sie dort den Geschwindigkeitsvektor. Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Kugel den Scheitelpunkt der Wurfbahn? Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

# 9: Vom Punkt A wird eine Kugel mit 90 m/s unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen abgeschossen. Mit welcher Geschwindigkeit muss eine zweite Kugel vertikal von einem 50 m entfernten höhengleichen Punkt B abgeschossen werden, damit sich die beiden Kugeln treffen?

#10: Ein Auto fährt über eine um 30° geneigte Rampe und landet auf dem 30 m entfernten und 7 m hohen Dach eines Hauses. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr das Auto über die Rampe? Zu welchem Zeitpunkt und unter welchem Winkel zur Horizontalen landet es?

#11: Wie weit fliegt ein Golfball (ohne Luftwiderstand) wenn er mit 180 km/h unter einem Neigungswinkel von 30º abgeschlagen wird und der Landepunkt 10 m höher liegt als der Abschlag?

#12: Ein Athlet stößt die Kugel aus 1,6 m Höhe mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s und unter einem Winkel von 30 ° nach oben. Wie weit fliegt sie? Unter welchem Winkel trifft sie auf? Welche maximale Höhe erreicht sie?

#13: Ein Ball wird im Zug aus 2 m Höhe fallengelassen während dieser eine Vollbremsung mit 0,5 g durchführt. Wo kommt der Ball auf gegenüber dem Ort wo er losgelassen wurde?

#14: Eine Kugel rollt eine schiefe Ebene hinab (30°), verlässt diese mit 20 m/s und fällt dann auf den 5 m tieferen Boden. Wann und in welcher Entfernung trifft sie auf – mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel?

#15: Wie groβ muss die Anfangsgeschwindigkeit sein, damit ein waagrecht geworfener Körper nach 5 s Flugzeit unter einem Winkel von 60° zur Horizontalen landet? Bestimmen Sie die Koordinaten des Landepunktes.

#17: Eine Rakete wird aus der Ruhe unter 60° mit 50 m/s2 beschleunigt. Nach 10 s ist der Treibstoff verbraucht. Welche Position hat sie dann? Welche maximale Höhe erreicht sie, und wo landet sie auf dem Boden?

#16: Eine Rakete startet mit 200 m/s unter 60°. In der Höhe h0 senkrecht darüber wird eine Sekunde später eine zweite Rakete waagrecht mit v0 abgefeuert. Wie sind h0 und v0 zu wählen, damit sie die erste Rakete in deren Scheitel trifft?

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MECHANIK

KINEMATIK: LÖSUNGEN zu ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN

# 1: sAuf = (vB – vF) * t => 900 m = (10 – vF) m/s * 120 s => vF = 2,5 m/s; sAb = (vB + vF) * t => t = 900 / 12,5 = 72 s

# 2: 200 m = 10 m/s * t => t = 20 s; s = 2 m/s * 20 s = 40 m; cos φ = 2/10 => φ = 78,5°; vR = 36 * sin(78,5) = 35,3 m/s

# 3: cos φ = 9/18 => φ = 60°; vS = 4 * sin(60) = 3,46 m/s => t = 100 m /(3,46 m/s) = 28,9 s

# 4: Waagrechter Wurf: sy (1 s) = ½ * 9,81 * 1 = 4,9 m; sy (2 s) = ½ * 9,81 * 4 = 19,62 m; sy (3 s) = ½ * 9,81 * 9 = 44,15 m Δs = s3 – s2 = 24,53 m; t = 6000 / 600 = 10 s => sy = ½ * 9,81 (m/s2) * 100 s2 = 491 m

# 5: tan(60) = g * t / 10 => t = 1,76 s; sy = ½ * 9,81 * 1,762 = 15,22 m; sx = 10 * 1,76 = 17,60 m

# 6: 1,6 m = ½ * 9,81 m/s2 * t2 => t = 0,57 s => v0 = 8 m / 0,57 s = 14,04 m/s; vy = 9,81 m/s2 * 0,57 s = 5,59 m/s tan φ = 5,59 / 14,04 = 0,3984 => φ = 21,72 °; v = √ (5,592 + 14,032) = 15,1 m/s

# 7: tan(45) = sy / sx = (½ * 9,81 * t2) / (v0 * t) => t = (2 * 30 m/s) / (9,81 m/s2) = 6,12 s; sx = sy = 30 m/s * 6,12 s = 183,5 m vy = (9,81 m/s2) * 6,12 s = 60 m/s; tan φ = vy / vx = 2 => φ = 63,4°; ß = 63,4 – 45 = 18,4°; v = √ (302 + 602) = 67,1 m/s

# 8: sx = 30 m/s * cos(60) * 2 s = 30 m; sy = 30 m/s * sin(60) * 2 s - ½ * 9,81 m/s2 * 4 s2 = 32,4 m; vx = 30 m/s * cos(60) = 15 m/s; vy = 30 m/s * sin(60) – 9,81 m/s2 * 2 s = 6,4 m/s; tan φ = 6,4/15 = 0,425 => φ = 23° v = √ (152 + 6,42) = 16,3 m/s; Scheitel vy = 0 = 30 * sin(60) – 9,81 * t => t = 26/9,81 = 2,65 s => sx = 30 * cos(60) * 2,65 = 39,8 m; sy = 30 * sin(60) * 2,65 – ½ * 9,81 * 2,652 = 34,4 m

# 9: Kugel A = schiefer Wurf: vx = 90 m/s * cos(60) = 45 m/s; sx = 45 * t = 50 m => t = 1,11 s vy = 90 * sin(60) – 9,81 * t; sy = 90 * sin(60) * t – ½ * 9,81 * t2 = 86,6 – 6,1 = 80,5 m Kugel B = lotrechter Wurf: sy = v0 * t = ½ * 9,81 * t2 = 80,5 m => v0 = (80,5 + 6,1) / 1,11 = 78 m/s

# 10: Schiefer Wurf: sx = v0 * cos(30) * t = 30 m => t = 30 / (0,866 * v0); sy = v0 * sin(30) * t – ½ * 9,81 * t2 = 7 m => 7 = 0,5 * 34,64 – ½ * 9,81 * 34,642 / v0

2 => v02 = 5886,3 / 10,32 => v0 = 23,88 m/s = 86 km/h

# 11: Schiefer Wurf: vx = 50 m/s * cos(30) = 43,3 m; sx = 43,3 * t vy = 50 * sin(30) – 9,81 * t; sy = 25 * t – ½ * 9,81 * t2 = 10 m => ½ * 9,81 * t2 – 25 * t + 10 = 0 => t = (25 ± √ (625 – 2 * 9,81 * 10)) / 9,81 = (25 ± 20,7) / 9,81 = 4,66 s => sx = 43,3 * 4,66 = 201,8 m

# 12: Schiefer Wurf: vx = 10 m/s * cos(30) = 8,66 m; sx = 8,66 * t; vy = 10 * sin(30) – 9,81 * t = 5 – 9,81 * t; sy = 5 * t – ½ * 9,81 * t2 = - 1,6 m => ½ * 9,81 * t2 – 5 * t - 1,6 = 0 => t = (5 ± √ (25 – 2 * 9,81 * 1,6)) / 9,81 = (5 ± 7,51) / 9,81 = 1,28 s sx = 8,66 m/s * 1,28 s = 11,09 m; vy = - 7,56 m/s; tan φ = - 7,56/8,66 => φ = -41,1° Scheitel vy = 0 = 5 – 9,81 * t => t = 0,51 s => sy = 5 * 0,51 – ½ * 9,81 * 0,512 = 1,28 m; hy = 2,88 m

# 13: Ball: sy = ½ * 9,81 * t2 = 2 m => t = 0,64 s; sx = v0 * t = v0 * 0,64 Zug: sx = v0 * t – ½ * 0,5 * 9,81 * t2; Δs = sB – sZ = v0 * 0,64 – v0 * 0,64 + ½ * 0,5 * 9,81 * 0,642 = 4 m

# 14: sx = 20 m/s * cos(30) * t; vy = 20 m/s * sin(30) + 9,81 m/s2 * t; sy = 20 m/s * sin(30) * t + ½ * 9,81 m/s2 * t2 = 5 m; t = 0,42 s; sx = 7,28 m

# 15: tan φ = vy / vx = g * t / v0 =>. v0 = g * t / tan φ = 9,81 * 5 / 1,73 = 28,35 m/s; sx = 28,35 m/s * 5 = 141,76 m; sy = ½ * 9,81 * 25 = 122,63 m

# 16: 1. Teil: beschleunigte Bewegung sowohl in x- als auch in y-Richtung; 2. Teil: schiefer Wurf aus Endposition Teil 1; vx = 50 m/s2 * cos(60) = 25 * t; sx = ½ * 50 * cos(60) * t2 = 12,5 * t2; nach 10 s: vx = 250 m/s; sx = 1250 m; vy = (50 – 9,81) m/s2 * sin(60) = 34,81 * t; sy = ½ * 34,81 * t2 = 17,41 * t2; nach 10 s: vy = 348,1 m/s; sy = 1741 m; tan φ = vy / vx = 348,1 / 250 = 1,3924; => φ = 54,31°; vx = 250 m/s * cos(54,31) = 145,85 m/s; sx = 145,85 * t + 1250; vy = 348,1 * sin(54,31) – 9,81 * t = 281,72 - 9,81 * t; sy = 281,72 * t - ½ * 9,81 * t2+ 1741 = 0

# 17: R1: schiefer Wurf: s1x = 100 * t; s1y = 173,21 * t – ½ * 9,81 * t2; v1y = 0 => S ( 1766 m / 1529,14 m); R2: waagrechter Wurf aus h0 durch S: s2x= v0 * t; s2y = h0 – ½ * 9,81 * t2; s1x = s2x => v0 = 100 m/s; s1y = s2y => h0 = 173,21 * t; durch S (1766 / 1529,14): => h0 = 3058,89 m

MECHANIK

9 KINEMATIK: ŰBUNGSAUFGABEN zu DREHBEWEGUNGEN # 1: Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit für den Sekundenzeiger, Minutenzeiger und Stundenzeiger einer Uhr.

# 2: Die Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr hat die Geschwindigkeit 1,5 mm/s. Wie lang ist der Zeiger?

# 3: Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Erde um die Erdachse? Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert sie um die Sonne? Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Mondes um die Erde? Wie schnell dreht sich ein Punkt am Äquator (Erdradius = 6370 km)? Mit welcher mittleren Geschwindigkeit bewegt sich die Erde um die Sonne (Entfernung Erde / Sonne 8,3 Lichtminuten)? Wie hoch ist mittlere Bahngeschwindigkeiten des Mondes (Entfernung Erde / Mond 384.000 km)?

# 4: Wie hoch ist die zusätzliche Geschwindigkeit, die eine in Richtung der Erdrotation startenden Rakete in Peenmünde (geographische Breite 54°) erhält?

# 5: Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit einer Festplatte bei 7200 U / min am 4,5 cm entfernten Rand?

# 6: Wie oft drehen sich die 28 Zoll Räder eines Fahrrades während einer 12 km langen Fahrt? Wie hoch sind die Umlaufzeit und Winkelgeschwindigkeit wenn die Fahrt eine dreiviertel Stunde dauert?

# 7: Eine Ultrazentrifuge erreicht 23940 Umdrehungen pro Minute bei einem Radius von 10 cm. Welchen Weg legt ein Teilchen in 1 ms zurück?

# 8: Ein Rad sich mit 4 s-1drehendes Rad wird 5 Sekunden lang mit 2 s-2 beschleunigt. Wie schnell dreht es sich danach, und wie viele Umdrehungen hat es bis dahin ausgeführt?

# 9: Das Rad eines Autos (30 cm Radius) dreht sich mit 10 Umdrehungen pro Sekunde. Bei gleichmäßigem sanften Abbremsen dauert es 30 Sekunden bis das Auto steht. Wie oft dreht sich das Rad bis dahin? Mit welcher Winkelbeschleunigung wird es abgebremst? Wie groß ist der Anhalteweg, und wie groß war die anfängliche Bahngeschwindigkeit des Autos?

#10: Auf eisglatter Straße Fahrbahn gerät ein Auto mit 108 km/h ins Schleudern und dreht sich in 3,14 s zweimal im Uhrzeigersinn um den sich geradlinig weiterbewegenden Schwerpunkt. Durch Reibung wird die Translation mit 1,5 m/s2, die Rotation mit 0,2 rad/s2 abgebremst. Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung kommen beide Bewegungen zur Ruhe? Wie oft hat sich das Auto dabei gedreht, und wie ist seine Endposition?

#11: Ein Elektromotor läuft mit der Drehzahl von 1400 min-1. Nach dem Abschalten wird er mit konstanter Winkelverzögerung abgebremst und bleibt nach 50 Umdrehungen stehen. Wie lange benötigt er für eine Umdrehung vor dem Abschalten? Wie lange dauert der Bremsvorgang, und wie groß ist die Winkelverzögerung?

#12: Ein Zug beschleunigt auf einem Kreisbogen mit 2 km Radius innerhalb von 1200 m von 30 auf 100 km/h. Wie lange dauert dies, und wie hoch ist seine tangentiale Beschleunigung? Wie hoch ist jeweils zu Beginn und am Ende des Beschleunigungsvorgangs die Zentripetalbeschleunigung? Welchen Winkel bildet die resultierende Beschleunigung mit der Tangente an die Kreisbahn?

#14: Auf einer Scheibe (2 m Radius) ist ein Punkt markiert, der sich bei t = 0 auf der x-Achse befindet. Die Scheibe wird mit 0,01 rad / s2 in Rotation um den Mittelpunkt versetzt. Welche lineare Geschwindigkeit hat der Punkt wenn er die y-Achse erreicht?

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MECHANIK

KINEMATIK: LÖSUNGEN zu DREHBEWEGUNGEN

# 1: Thr = 12 h = 43200 s; Tmin = 60 min = 3600 s; Tsec = 1 min = 60 s; ω = 2 * π / T => ωhr = 1,45 * 10-4 s-1; ωmin = 1,75 * 10-3 s-1; ωsec = 0,105 s-1

# 2: r = v / ω = (1,5 * 10-3 m/s) / (1,75 * 10-3 s-1) = 0,857 m = 85,7 c

# 3: TÄr = 24 h = 86400 s; ωÄq = 7,27 * 10-5 rad-1; vÄr = 6,37 * 106 m * 7,27 * 10-5 rad-1 = 463,1 m/s TE/S = 1 J = 3,15 * 107 s => ωE/S = 1,99 * 10-7 s-1; vE/S = 8,3 * 60 s * 3 * 108 m/s * 1,99 * 10-7 s-1 = 2,98 * 104 m/s TM/E = 30 T = 2,59 * 106 s => ωM/E = 2,42 * 10-6 s-1; vM/E = 3,89 * 105 m * 2,42 * 10-6 s-1 = 0,94 m/s

# 4: vPM = vÄr * cos(54) = 6,37 * 106 m * 7,27 * 10-5 rad-1 * 0,59 = 273,2 m/s

# 5: n = 120 s-1; ω = 2 * π * n = 753,9 s-1; v = 4,5 * 10-2 m * 753,9 s-1 = 33,92 m/s = 122 km/h

# 6: U = π * 28 * 2,54 * 10-2 m = 2,23 m; N = 12 * 103 / 2,23 = 5381,2; v = 12000 m / 2700 s = 4,44 m/s; ω = 4,44 s-1 / (0,356 m) = 12,48 s-1; n = 12,48 / (2 * π) = 1,99 s-1; t = 0,5 s

# 7: n = 399 s-1; ω = 2 * π * 399 = 2506,8 s-1; v = 0,1 m * 2506,8 s-1 = 250,7 m/s; s = 205,7 m/s * 0,001 s = 0,25 m = 25 cm

# 8: ω = 2 * π * 4 s-1 + 2 s-2 * 5 s = 35,1 s-1; φ = 2 * π * 4 s-1 * 5 s + ½ * 2 s-2 * 25 s2 = 150,7; N = 150,7 / (2 * π) = 24

# 9: 0 = 2 * π * 10 s-1 – α * 30 s => α = 2,1 s-2; φ = 2 * π * 10 s-1 * 30 s - ½ * 2,1 s-2 * 900 s2 = 940; N = 149,6

# 10: Translation: t1 = (30 m/s) / (1,5 m/s2) = 20 s; s = 30 m/s * 20 s – ½ * 1,5 m/s2 * 400 s2 = 300 m Rotation: ω = 2 * π / (3,14/2 s) = 4 s-1; t2 = 4 s-1 / 0,2 s-2 = 20 s; φ = 4 s-1 * 20 – ½ * 0,2 s-2 * 400 s2 = 40; N = 6,33; ß = 0,33 * 180 = 59,4°

# 11: T = 1 / (1400/60) = 0,043 s; ω = 2 * π * 1400 / 60 = 146,6 s-1; φ = 2 * π * 50 = 314,1 rad 0 = 146,6 – α * t => α = 146,6 / t; 314,1 = 146,6 * t – ½ * (146,6 / t) * t2 => t = 314,1 * 2 / 146,6 = 4,3 s; α = 34,1 s-2

# 12: Translation: 100/3,6 = 30/3,6 + a * t => a = 19,44 / t; 1200 = 30/3,6 * t + ½ * (19,44 / t) * t2 =>. t = 66,5 s; a = 0,29 s az1 = (30/3,6)2 / 2000 = 0,035 m / s2; az2 = (100/3,6)2 / 2000 = 0,39 m / s2; tan ß1 = 0,035/0,29; tan ß2 = 0,39/0,29 ß1 = 6,9°; ß2 = 53,4°

# 14: π/2 = ½ * 0,01 * t2 => t = 17,7 s; ω = 0,01 s-2 * 17,7 s = 0,18 s-1; v = 2 m * 0,18 s-1 = 0,36 m/s

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MECHANIK

DYNAMIK: ŰBUNGENSAUFGABEN zum NEWTON’SCHES GRUNDGESETZ # 1: Mit welcher Kraft wird ein Schlitten mit der Masse 80 kg in 5 Sekunden von 0 auf 36 km/h beschleunigt?

# 2: Ein Körper wird mit einer Kraft von 10 N mit 0,1 m / s2 beschleunigt. Wie groß ist seine Masse?

# 3: Beim Aufprall eines Fahrzeuges der Masse 2 t auf eine starre Barriere wirkt eine mittlere Verformungskraft von 360 kN. Wie hoch ist die mittlere Fahrzeugverzögerung?

# 4: Ein Proton mit der Masse 1.67 * 10-27 kg soll in 1 ns aus der Ruhe auf 108000 km/h beschleunigt werden. Welche Kraft ist dazu erforderlich?

# 5: Welchen Wert zeigt die Waage für eine 75 kg Person an, wenn der Aufzug mit 0,2 m/s2 nach oben bzw. mit 0,3 m/s2 nach unten beschleunigt?

# 6: An den beiden Enden eines über eine Umlenkrolle laufenden Seils hängen die Massen 200 g und 700 g. Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung in Bewegung? Wie hoch ist die Seilkraft?

#7: Ein Aufzug (1,5 t) wird aus der Ruhe auf 2 m Weg auf die Geschwindigkeit von 3 m/s (a) nach oben, (b) nach unten beschleunigt. Wie groß ist dabei die Zugkraft im Seil?

# 8: Eine Last wird an einem Seil hochgezogen. In Ruhestellung zeigt ein Kraftmesser 80 kN an. Die zulässige Höchstbelastung des Seils ist 105 N. Welche maximale Beschleunigung ist beim Anheben der Last erlaubt?

# 9: Ein Wagen mit einer Seilwinde steht mit angezogener Bremse auf einem Tisch (Haftreibzahl 0,9). Das Seil läuft über Umlenkrolle und hält eine Last (200 g). Wie groß muss die Wagenmasse mindestens sein wenn die Seilwinde die Last mit konstanter Geschwindigkeit bzw. mit einer Beschleunigung von 3 m/s2 anheben soll?

# 10: Welche Reibzahl zwischen Fahrbahn und Reifen ist erforderlich damit ein Auto (1500 kg) eine Beschleunigung von 3 m/s2 a) auf horizontaler Straße b) bei 20 % Steigung bzw. Gefälle erreichen kann? Welche Kraft ist dazu nötig?

# 11: An einem Faden hängt eine 200 g Masse. Sie ist mit einem über eine Umlenkrolle laufenden Faden mit einem auf einem Tisch stehenden Wagen (100 g) verbunden. Wie hoch ist bei Rollreibungskraft (µ = 0,1) die Beschleunigung, sowie der in 5 s zurückgelegte Weg?

#12: Ein Körper haftet auf einer schiefen Ebene mit µH = 0,3. Der Neigung wird erhöht. Bei welchem Winkel φ beginnt der Körper zu rutschen? Mit welcher Beschleunigung rutscht er wenn der Gleitreibungskoeffizient µG = 0,1 ist?

#13: Mit welcher Kraft muss ein Wagen (2 kg) auf einer 2 m langen schiefen Ebene (30°) unter Rollreibung (µ = 0,1) aus der Ruhe bergauf / bergab beschleunigt werden und am Ende eine Geschwindigkeit von 6 m/s zu erreichen?

#14: Eine Aufzugskabine hat die Masse 1200 kg, die Masse des Gegengewichts ist 1100 kg. In der Kabine befindet sich eine Person (75 kg). Mit welcher Beschleunigung fiele die Kabine (reibungsfrei) wenn die Bremse versagt? Nach einer Fallhöhe von 15 m wird die Kabine durch Federn nach 20 cm Bremsweg zum Stillstand gebracht. Welche mittlere Bremskraft spürt die Person in den Beinen?

#15: Im Crashtest wird ein Auto (1500 kg) aus dem Stand in 20 s geradlinig auf 54 km/h beschleunigt, und dann an einer Barriere mit einer mittleren Kraft von 300 kN verformt. Wie hoch ist die beschleunigende Kraft? Wie groß ist die Fahrzeugverzögerung an der Barriere? Wie lange dauert der Crash, um wie viel wird das Fahrzeug deformiert?

#16: Ein Körper (7 kg) auf einer um 30° geneigten schiefen Ebene ist mit einem Faden über eine Umlenkrolle mit einem Körper (2 kg) verbunden. Mit welcher Beschleunigung setzt sich die Anordnung unter Reibung (µ = 0,1) in Bewegung? Beantworte Sie die Frage wenn die beiden Massen vertauscht werden.

# 17: Ein Wagen (m3) steht reibungsfrei auf einem Tisch. An beiden Seiten hängt jeweils eine Masse (m1, m2) an einem Faden, dir über Umlenkrollen mit dem Wagen verbunden sind. Welche Beschleunigung erfährt das System?

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MECHANIK

DYNAMIK: LÖSUNGEN zum NEWTON’SCHES GRUNDGESETZ

# 1: a = (10 m/s) / 5 s = 2 m/s2; F = 0,08 kg * 2 m/s2 = 0,16 N

# 2: m = 10 N / 0,1 kg = 100 N

# 3: a = 360000 N / 2000 kg = 180 m/s2 = 18,4 g

# 4: a = (30000 m/s) / (10-9 s) = 3 * 1013 m/s2; F = 1,67 * 10-27 kg * 3 * 1013 m/s2 = 5,0 * 1014 N

# 5: Fauf = 75 kg * (9,81 + 0,2) m/s2 = 750,75 N; mauf = (750,75 N) / (9,81 m/s2) = 76,53 kg Fauf = 75 kg * (9,81 - 0,3) m/s2 = 713,25 N; mauf = (713,25 N) / (9,81 m/s2) = 72,71 kg

# 6: ((0,7 – 0,2) kg * 9,81 m/s2) / (0,7 + 0,2) kg = 5,45 m/s2; FSeil = 0,7 kg * 9,81 m/s2 – 0,7 * 5,45 m/s2 = 0,2 kg * 9,81 m/s2 + 0,2 * 5,45 m/s2 = 3,05 N

# 7: a = (3 m/s)2 / 2 * 2 m = 2,25 m/s2 => Fauf/ab = 1500 kg * (9,81 ± 2,25) m/s2 = 18090 N (auf); 11340 N (ab)

# 8: mL = 80000N / 9,81 m/s2 = 8155 kg; 100000 N = 8155 kg * (9,81 + a) m/s2 => a = 20000 N / 8155 kg = 2,45 m/s2

# 9: a = 0: 0,9 * mW * 9,81 m/s2 = 0,2 * 9,81 m/s2 => mW = 0,2 kg / 0,9 = 0,22 kg a = 3 m/s2: 0,9 * mW * 9,81 m/s2 = 0,2 * (9,81 + 3) m/s2 => mW = 2,56 N / (0,9 * 9,81 m/s2) = 0,29 kg

# 10: m * a = μH * m * g => μH = 3 m/s2 / 9,81 m/s2 = 0,31; F = 1500 kg * 3 m/s2 = 4500 N; tan α = 0,3 => α = 11,3° m * a ± m * g * sin(11,3) = μH * m * g * cos(11,3) => μH = (3 ± 9,81 * 0,20) / (9,81 * 0,98) = 0,62 (auf); 0,11 (ab)

# 11: a = (0,2 kg * 9,81 m/s2 - 0,1 * 0,1 kg * 9,81 m/s2) / ((0,1 + 0,2)) kg = 6,21 m/s2; s = ½ * 6,21 m/s2 * 25 s2 = 77,7 m

# 12: m * g * sin α = μH * m * g * cos α => tan α = μH = 0,3 => α = 16,7°; a = 9,81 m/s2 * (0,29 – 0,1 * 0,96) = 1,9 m/s2

# 13: a = (6 m/s)2 / 4 m = 9 m/s2; F = 2 kg * 9 m/s2 + 2 kg * 9,81 m/s2 * (0,1 * cos(30) ± sin(30)) = 29,5 N (auf); 9,4 N (ab)

# 14: a = (1275 – 1100) kg * 9,81 m/s2 / 1375 kg = 1,25 m/s2; v = √ (2 * 1,25 m/s2 * 15 m) = 6,12 m/s; a = (6,12 m/s)2 / 2 * 0,2 m = 93,64 m/s2; F = 75 kg * 93,64 m/s2 = 7023 N

# 15: a = 15 m/s / 20 s = 0,75 m/s2; F = 1500 kg * 0,75 m/s2 = 1125 N; a = 300000 N / 1500 kg = 200 m/s2 = 20,4 g t = 15 m/s / 200 m/s2 = 0,075 s = 75 ms; s = ½ * 200 * 0,0752 = 0,56 m

# 16: abwärts: a = (7 kg * (sin(30) - 0,1 * cos(30) – 2 kg) * 9,81 m/s2 /9 kg = 0,97 m/s2 aufwärts: a = (7 kg – 2 kg * (sin(30) + 0,1 * cos(30)) * 9,81 m/s2 / 9 kg = 6,35 m/s2

# 17: a = (m1 – m2) / (m1 + m2 + m3)

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MECHANIK

DYNAMIK: ŰBUNGSAUFGABEN zu IMPULSSATZ # 1: Auf einer ebenen Unterlage liegt eine Kugel der Masse 2 kg die parallel zur Unterlage mit einem Hammer angeschlagen wird. Die Kontaktzeit ist 5 ms, und die mittlere Kraft beträgt 100 N. Wie groß sind die Geschwindigkeit und der Impuls nach dem Stoß? Wie hoch ist die mittlere Beschleunigung während des Stoßes?

# 2: Eine unbekannte Kraft wirkt 3 s lang auf eine Masse von 200 g, sodass dieser aus der Ruhe auf 4 m/s beschleunigt wird. Wie groß sind die Impulszunahme und Kraft?

# 3: Aus einer Düse strömen je Sekunde 10 g Wasser mit 2 m/s waagrecht aus. Welchen Rückstoß erfährt das Gefäß wenn in ihm das Wasser praktisch in Ruhe ist?

# 4: Beim Abbrennen einer Spielzeugrakete werden in 5 s 100 g Substanz ausgestoßen. Wie hoch muss deren Ausströmgeschwindigkeit sein um eine Schubkraft von 5 N zu erzeugen?

# 5: Eine Rakete stößt in 100 ms 5 kg Verbrennungsgase mit 5 km/s ab. Welche Schubkraft entwickelt sie? Mit welcher Beschleunigung hebt sie senkrecht ab wenn sie ab wenn ihre Masse 10 t ist. Wie lange dauert die Verbrennung des Treibsatzes von 5 t?

# 6: Eine Kugel (8 g) wird mit 800 m/s aus dem Lauf eines Gewehres (5 kg) geschossen. Wie groß ist die Rückstoß- geschwindigkeit des Gewehres? Welchen Kraftstoß muss der Schütze aushalten? Wie groß ist die Kraft wenn er den Rückstoß in 100 ms abfängt? Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Oberkörper des Schützen (40 kg) zurück?

# 7: Welche mittlere Kraft erfährt eine mit 54 km/h senkrecht gegen die Wand rollende Kugel (150 g) wenn sie mit 80 % ihrer Auftreffgeschwindigkeit zurückprallt (Stoßdauer 10 ms)?

# 8: Eine Kugel (100 g) prallt mit 108 km/h gegen eine Betonwand und von dort mit 72 km/h senkrecht zurück. Welche Kraft übt sie dabei auf die Wand aus wenn die Kontaktzeit 10 ms beträgt?

# 9: Eine Kugel (20 g) trifft mit 1080 km/h auf einen verankerten Holzklotz. Welche Kraft erfährt dieser in 10 ms, wenn a) die Kugel steckenbleibt, b) sie den Holzklotz mit 360 km/h durchschlägt, c) sie vom Holzklotz mit 540 km/h zurückprallt?

# 10: Ein Maschinengewehr feuert pro Sekunde 6 Geschosse mit je 25 g Masse und 800 m/s ab. Die Kugeln bleiben in einem fest in der Erde verankerten Holzklotz stecken. Welche mittlere Kraft wird auf den Holzklotz ausgeübt? Welche Rückstoßkraft muss der Schütze aushalten? Was ändert sich wenn die Kugeln einem Zehntel ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit senkrecht vom Holzklotz zurückspringen?

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MECHANIK

DYNAMIK : LÖSUNGEN zu IMPULSSATZ

# 1: v = 100 N * 5 * 10-3 s / 2 kg = 0,25 m/s; p = 2 kg * 0,25 m/s = 0,5 m*kg/s; a = 100 N / 2 kg = 50 m/s2

# 2: a = (4 m/s) / 3 s = 1,33 m/s2; p = 0,2 kg * 4 m/s = 0,8 m*kg/s; F = 0,2 kg * 1,33 m/s2 = 0,267 N

# 3: p = 0,01 kg * 2 m/s = 0,02 m*kg/s

# 4: v = 5 N * 5 s / 0,1 kg = 250 m/s

# 5: F = 5 kg * 5000 m/s / 0,1 s = 250000 N; aSchub = 250000 N / 10000 kg = 25 m/s2 => avertikal = 15,19 m/s2 t = 5000 kg / (50 kg/s) = 100 s

# 6: p = 0,008 kg * 800 m/s = 6,4 m*kg/s; vGewehr = 6,4 m*kg/s / 5 kg = 1,28 m/s; F = 6,4 m*kg/s / 0,1 s = 64 N; vSchütze = 6,4 m*kg/s / 40 kg = 0,18 m/s

# 7: Δv = 10 m/s – (-8 m/s) = 27 m/s; Δp = 0,15 kg * 27 m/s = 4,05 m*kg/s; F = 4,05 m*kg/s / 0,01 s = 405 N

# 8: Δv = 30 m/s – (-20 m/s) = 50 m/s; F = (0,1 kg * 50 m/s) / 0,1 s = 50 N

# 9: Δv1 = 300 m/s; F1 = 100 * 0,02 kg * 300 m/s = 600 N; Δv2 = 300 m/s – 100 m/s) = 200 m/s; F2 = 100 * 0,02 kg * 200 m/s = 400 N; Δv3 = 300 m/s – (-150 m/s) = 450 m/s; F3 = 100 * 0,02 kg * 450 m/s = 900 N

# 10: F1 = 800 m/s * 0,15 kg = 120 N; p = 0,15 kg * 800 m/s = 120 m*kg/s; F2 = 0,15 kg * (800 m/s – (-80 m/s)) = 132 m*kg/s

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MECHANIK

DYNAMIK: ŰBUNGSAUFGABEN zu KREISBEWEGUNGEN # 1: Ein Stein (200 g) wird mit zunehmender Geschwindigkeit an einer 50 cm langen Schnur in einem horizontalen Kreis geschleudert. Bei welcher Drehzahl reißt sie, wenn sie maximal 30 N aushält? Mit welcher Geschwindigkeit fliegt dann der Stein horizontal?

# 2: Auf einer waagrechten, sich um die vertikale Achse drehende Scheibe liegt ein Gummipfropfen 20 cm von der Achse entfernt. Bei welcher Drehzahl fliegt er tangential weg wenn die Haftreibungszahl 0,8 ist?

# 3: Eine Milchkanne wird in einem vertikalen Kreis mit Radius 1 m geschwungen. Wie groß muss die Drehzahl sein damit im obersten Punkt die Milch nicht ausläuft?

# 4: Welche Geschwindigkeit darf ein Auto in einer ebenen Kurve mit 100 m Radius und der Haftreibungszahl 0,8 höchstens fahren, um nicht ins Rutschen zu geraten? Mit welcher Kraft würde es dann bei einer Gleitreibungs- zahl von 0,1 rutschen?

# 5: In einem Rotor mit 4 m Durchmesser werden die Personen so stark an die Wand gepresst dass sie hängen bleiben wenn man den Boden wegzieht. Wie schnell muss sie sich mindestens drehen wenn die Haftreibungszahl 0,6 ist? Mit welcher Kraft wird eine Person (75 kg) gegen die Wand gepresst?

# 6: Ab welcher Drehzahl könnte die Achse des Rotors mit 7 m Durchmesser horizontal gelegt werden ohne dass die Personen im höchsten Punkt herabfallen? Welche Kraft wirkt dann auf eine 75 kg schwere Person im tiefsten Punkt?

# 7: Wie schnell muss sich die Trommel einer Wäscheschleuder mit 30 cm Radius mindestens drehen? Welche Kraft wirkt bei 4800 Umdrehungen pro Minute auf ein Wasserteilchen von 1 g?

# 8: Um welchen Winkel muss sich ein Radfahrer gegen die Vertikale neigen, wenn er mit 36 km/h auf einem Kreisbogen mit 20 m Radius fährt? Wie groß muss dann die Haftreibungszahl sein damit das Rad nicht seitlich wegrutscht?

# 9: Wie stark muss die äußere Schiene überhöht sein wenn ein Zug mit 180 km/h eine Kurve mit 1,5 km Radius durchfährt und die Zugreisenden keinerlei Querkräfte spüren (Spurweite 1,435 m)?

#10: Ein Zug durchfährt mit 108 km/h eine Kurve mit 500 m Radius. Um welchen Winkel neigt sich ein im Inneren aufgehängtes Lot gegen die Vertikale?

#11: Eine Ultrazentrifuge dreht sich mit 80000 Umdrehungen pro Minute. Wie hoch ist die Beschleunigung der zu zentrifugierenden Substanz im Abstand 7 cm von der Drehachse? Welche Kraft wirkt auf ein Teilchen von 20 mg?

#12: Die 1,5 m über dem Boden befindlichen Sessel eines ruhenden Kettenkarussells sind 5 m von ihrem Aufhängepunkt entfernt, dessen Abstand von der Drehachse 2 m ist. Welche Umdrehungszahl hat das Karussell wenn die Passagiere um 2,5 m angehoben werden? Wie lange dauert ein Umlauf? In welchen Abstand von der Drehachse bewegen sich dann die Passagiere, wie groß ist ihre Umlaufgeschwindigkeit? Welche Beschleunigung wirkt auf die Mitfahrer?

#13: Beim Schleudern bewegt sich die Wäsche auf einer Kreisbahn mit 42 cm Durchmesser. Wie schnell muss sich die Trommel mindestens drehen? Wie groß sind bei 1400 Umdrehungen pro Minute Umlaufdauer und Geschwindigkeit der Wäschestücke? Welche Kraft wirkt dabei auf die Wäschestücke?

#14: Ein Auto fährt über eine Kuppe mit einem Radius von 50 m. Wie schnell muss es fahren, damit es im obersten Punkt abhebt? Anschlieβend durchfährt es eine Senke mit 50 m Radius. Welche maximale Kraft wirkt auf die Insassen?

#15: Berechnen Sie das Gewicht einer Person mit 100 kg Masse auf der Erdoberfläche als Funktion des Breitengrades. Wie hoch ist es am Nordpol, am Äquator, und bei 60° Breite?

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MECHANIK

DYNAMIK: LÖSUNGEN zu KREISBEWEGUNGEN

# 1: FS = Fz; 30 N = 0,2 kg * 0,5 m * 4 * π2 * n2 => n = √ (30 / (0,2 * 4 * π2 * 0,5) = 2,76 s-1 ; v = 0,5 m * 2 * π * 2,76 s-1 = 8,66 m/s

# 2: FR = Fz; 0,8 * 9,81 m/s2 = 0,2 m * 4 * π2 * n2 => n = √ (0,8 * 9,81 / (0,2 * 4 * π2) = 1 s-1

# 3: FG = Fz; 9,81 m/s2 = 4 * π2 * n2 * 1 m => n = √ 9,81 / (4 * π2) = 0,5 s-1

# 4: FR = Fz; v2/ 100 m = 0,8 * 9,81 m/s2 => v = √ (0,8 * 9,81 * 100) = 28 m/s = 101 km/h

# 5: FR = FG; FR = μ * Fz; 0,6 * 2 m * 4 * π2 * n2 = 9,81 m/s2 => n = √ (9,81 / (0,6 * 2 * 4 * π2) = 0,46 s-1

F = 75 kg * 2 m * 4 * π2 * (0,46 s-1)2 = 1226 N

# 6: FR = Fz; 9,81 m/s2 = 3,5 m * 4 * π2 * n2 => n = √ 9,81 / (3,5 * 4 * π2) = 0,27 s-1

# 7: FR = Fz; 9,81 m/s2 = 0,3 m * 4 * π2 * n2 => n = √ 9,81 / (0,3 * 4 * π2) = 1,07 s-1; F = 0,001 kg * 0,3 m * 4 * π2 * (4800/60 s-1)2 = 75,8 N

# 8: tan α = Fz / FG = (10 m/s)2 / (20 m * 9,81 m/s2) = 0,5096 => α = 27°; FR = Fz => μ = (10 m/s)2 / (20 m * 9,81 m/s2) = (10 m/s) /

# 9: tan α = Fz / FG = (180 / (3,6 m/s))2 / (1500 m * 9,81 m/s2) = 0,17 => α = 9,6°; tan(9,6) = h / 1,435 m=> h = 24,4 cm

# 10: tan α = Fz / FG = (30 m/s)2 / (500 m * 9,81 m/s2) = 0,183 => α = 10,4°

# 11: a = 4 * π2 * (80000/60 s-1)2 * 0,07 m = 4,91 * 106 m/s2; F = 2 * 10-5 kg * 4,91 * 106 m/s2 = 98,2 N

# 12: cos α = (l - h) / l = (5 – 2,5) m / 5 m = 0,5 => α = 60°; sin(60) = R / 5 => R = 4,33 m tan(60) = Fz / FG = (2 + R) 4 * π2 * n2 / 9,81 => n = √ (tan(60) * 9,81 m/s2) / ((2 + 4,33) m * 4 * π2 )) = 0,26 s-1

# 13: az > g => 0,21 * 4 * π2 > 9,81 => n > √ (9,81/8,29 = 1,09 s-1; ω = 2 * π * 1400/60 = 146,6 s-1 v = 0,21 * 146,6 = 30,8 m/s; az = 0,21 * 146,62 = 451,3 m/s2 # 14: FG = Fz; 9,81 m/s2 = v2 / r => v = √ (9,81 * 50) = 22,15 m/s = 79,73 km/h; F = 2 * FG

# 15: Zentrifugalkraft Erdrotation Fz = m * r * 4 * π2 / T2 mit r = R * cos φ Abstand zur Erdachse Komponente senkrecht zur Erdoberfläche wirkt Gewicht entgegen: FG‘ = FG – Fz * cos φ = m * (g – (cos φ)2 * R * 4 * π2 / T2); Nordpol φ = 90° => cos 90 = 0; Äquator φ = 0 => cos 0 = 1; φ = 60° => cos 60 = 0,5

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MECHANIK

ŰBUNGSAUFGABEN zu GRAVITATION: # 1: Berechnen Sie die Gravitationskraft von 1 kg Masse auf der Erdoberfläche (Erdmasse mE= 5.98 * 1024 kg, Erdradius RE = 6370 km) und 10000 km darüber. In welcher Entfernung von der Erdoberfläche hat es ¼ des Gewichts auf der Erdoberfläche?

# 2: Wo liegt der schwerefreie Punkt zwischen Erde und Mond (Abstand Erde/Mond = 384420 km, Mondmasse = 1/81 Erdmasse)?

# 3: Der mittlere Abstand des Jupitermondes Jo zum Jupiter ist 4,2 * 105 km, seine Umlaufzeit ist 1 d, 18 h, 28 min. Berechnen Sie die Jupitermasse.

# 4: Die beiden Komponenten des Doppelsterns α-Centauri haben die Massen 2,11 * 1030 kg und 1,79 * 1030 kg. Der Abstand der Sternmittelpunkte ist 3,48 * 109 km. Berechnen Sie die Abstände von der gemeinsamen Drehachse, sowie die Umlaufzeit der beiden Sterne.

# 5: Wie viel wiegt ein auf der Erdoberfläche 75 kg schwerer Mensch auf der Mondoberfläche (Mondmasse = 1/81 Erdmasse, Monddurchmesser = 0,27 Erddurchmesser)?

# 6: Welche Geschwindigkeit und Umlaufzeit hat ein 6370 km über der Erdoberfläche um die Erde kreisender Satellit?

# 7: Bestimmen Sie die Sonnenmasse aus dem Erdbahnhalbmesser (149600000 km) und der Dauer eines Jahres.

# 8: Welche Höhe muss ein Satellit haben, wenn er über einem bestimmten Punkt des Äquators still zu stehen scheint?

# 9: Welche Mindestgeschwindigkeit muss ein Satellit beim Abschuss von der Erde haben um den Mond zu erreichen?

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MECHANIK

LÖSUNGEN zu GRAVITATION: # 1: FO = 6,67 * 10-11 m2/kg * s2 * 5,98 * 1024 / (6,37 * 106)2 = 9,83 N FG = 6,67 * 10-11 m2/kg * s2 * 5,98 * 1024 / (1,637 * 104)2 = 1,49 N r = √ (4 * 6,67 * 10-11 m2/kg * s2 * 5,98 * 1024 / 9,81 m/s2 = 12752,9 km => 6382,9 km über der Erdoberfläche

# 2: G * m * ME / x2 = G * m * MM / (a – x)2 => ME * (a – x)2 = 1/81 * ME * x2 => 80 * x2 – 126 * a * x + 81 a2 = 0 x = 0,9 * a = 345978 km zum Erdmittelpunkt

# 3: FG = FZ => G * m * MJ / r2 = m * 4 * π2 * r / T2 => MJ = 4 * π2 * r3 / (G * T2) = 4 * π2 * (4,2 * 108 m)3 / (6,67 * 10-11 m2/kg * s2 * (1,5288 * 104 s)2 = 1,88 * 1027 kg

# 4: m1 * r1 = m2 * r2 und r1 + r2 = r => r2 = m1 * r / (m1 + m2) = 1,88 * 1012 m FG = FZ => G * m1 * m2 / r2 = m1 * 4 * π2 * r1 / T2 => T = √ (4 * π2 * r3 / (G * (m1 + m2)) = 80,1 Jahre

# 5: FMond = G * m * MMond / RMond2 = {G * m * MErde / 81} / (0,27 * RErde)2 = m * g / 5,905 = 12,7 kg

# 6: T = √ {4 * π2 * (2 * RE)3 / (G * ME)} = 1,009858 * 1011 s = 280,516 h = 11,689 Tage

# 7: MS = 4 * π2 * r3 / (G * T2) = 4 * π2 * (1,496 * 1011)3 / {6,67 * 10-11 * (365 * 24 * 3600)2} = 1,99 * 1030 kg

# 8: FG = FZ => G * m * ME / r2 = m * 4 * π2 * r / T2; T = 24 h = 86400 s => r = 3√ (6,67 * 10-11 m2/kg * s2 * 5,98 * 1024 * (8,64 * 104 s)2 = 42252 km => h = 35882 km

# 9: Er muss den schwerefreien Punkt zwischen Erde und Mond erreichen (s. Aufgabe # 2): R0 = 3,45978 * 108 m EKin + EPot (RE) = EPot (R0); EKin = ½ * m * v0

2; EPot (RE) = -G * m * ME / RE; EPot (R0) = -G * m * ME / R0 => v = 11,09 km/s

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MECHANIK ŰBUNGSAUFGABEN zu ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG # 1: Wie hoch kann ein Segelflugzeug (ohne jegliche Verluste) steigen wenn es mit 360 km/h von der Startbahn abhebt und am Ende des Steigflugs noch mit 108 km/h horizontal gleiten soll?

# 2: Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der eine Masse von 10 kg am Boden ankommt, wenn sie in 5 m Höhe (a) aus der Ruhe losgelassen, (b) mit 36 km/h senkrecht nach oben, (c) nach unten, (d) waagrecht geworfen wird.

# 3: Eine Aufzugskabine hat die Masse 1200 kg, die Masse des Gegengewichts ist 1100 kg. In der Kabine befindet sich eine Person der Masse 75 kg. Welche Arbeit ist notwendig um die Person in die 20. Etage (50 m) zu befördern?

# 4: Wie groß ist der Bremsweg eines Autos aus 144 km/h auf 54 km/h bei einem Reibungskoeffizienten von 0,8?

# 5: Welche Arbeit ist notwendig, um ein Auto (1,5 t) auf waagrechter Straße a) reibungsfrei, b) unter Rollreibung (µ = 0,1) in 2 Sekunden von 72 km/h auf 108 km/h zu beschleunigen?

# 6: Wie schnell ist ein Auto am Ende eines 150 m langen Gefälles (10 %), wenn es mit 18 km/h startet und mit Rollreibung (μ = 0,05) hinunter rollt?

# 7: Wie schnell ist ein mit 108 km/h startendes Auto am Ende einer 150 m langen Steigung (10 %), wenn es a) reibungsfrei, b) mit Rollreibung (μ = 0,05), c) mit im Schnee durchdrehenden Rädern (μ = 0,1) hinauffährt?

# 8: Eine an einem 2 m langen Faden aufgehängte Masse (500 g) wird um 60° ausgelenkt. Welche Arbeit ist dazu notwendig? Welche maximale Geschwindigkeit und wo erreicht sie nach dem Loslassen? Um wie viel wird dort beim Aufprall eine tangential angeordnete Feder (c = 5 N/mm) zusammengedrückt?

# 9: Ein Auto (1500 kg) fährt mit konstanter Geschwindigkeit (108 km/h) eine 1 km lange 10 % Steigung hinauf (Rollreibungszahl = 0,015). Welche Motorleistung ist dazu erforderlich? Wie viel Benzin wird dabei verbraucht (33 MJ/l Energieinhalt, 50 % Wirkungsgrad)?

# 10: Die Kugel einer Pistole (50 g) steigt 3 km senkrecht nach oben? Wie hoch war die Anfangsgeschwindigkeit?

# 11: Eine um 10 cm eingedrückte Feder hat die Richtgröße von 1000 N/m. Wie hoch schleudert sie eine 50 g Masse beim Entspannen senkrecht nach oben? Wie groß war die Abschussgeschwindigkeit?

# 12: Ein Auto (1500 kg) prallt mit 54 km/h gegen eine Barriere. Aus welcher Höhe müsste es herabfallen um dieselbe Verformungsenergie zu bekommen? Um wie viel würde eine Feder (Richtgröße 600 kN/m) zusammengedrückt?

# 13: Ein Radfahrer kommt mit 36 km/h an einen Abhang, an dem er, ohne zu bremsen, 5 m an Höhe verliert. Dann prallt er auf ein Hindernis. Aus welcher Höhe hätte er frei fallen müssen um mit derselben Geschwindigkeit aufzutreffen? Wie hoch ist die Aufprallgeschwindigkeit?

# 14: Die zwei Pufferfedern eines Eisenbahnwaggons (10 t) werden um 10 cm zusammengedrückt wenn er mit 7,2 km/h auf ein festes Hindernis prallt. Wie groß ist die Richtgröße der Federn?

# 15: Welche Leistung ist erforderlich um ein Auto (1200 kg) in 6 s aus dem Stand auf 108 km/h zu beschleunigen? In welcher Zeit beschleunigt ein 150 kW starkes Auto aus der Ruhe auf 108 km/h (50 % Wirkungsgrad)? Wie hoch ist die Reibungszahl wenn der Bremsweg aus 216 km/h zum Stillstand 120 m ist?

# 16: Aus welcher Höhe muss eine punktförmige Kugel starten damit sie sich im obersten Punkt einer Loopingbahn nicht von der Bahn löst? Wie schnell ist sie dann im untersten Bahnpunkt?

# 17: Auf einer Walze mit Radius r gleitet reibungsfrei ein kleiner Körper. Bei welchem Winkel springt er tangential ab wenn er im obersten Punkt mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit startet?

# 18: Ein Zug beschleunigt (760 t) beschleunigt aus der Ruhe in 2,5 Minuten auf 216 km/h. Die Rollreibungszahl ist 0,01. Wie groß ist Beschleunigung sowie die beschleunigende Kraft? Welche Energie und Antriebsleistung müssen die Motoren dazu liefern? Welche Leistung ist erforderlich wenn der Zug danach mit konstanter Geschwindigkeit fährt?

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MECHANIK LÖSUNGEN zu ARBEIT, ENERGIE, LEISTUNG

# 1: ½ * m * (100 m/s)2 = ½ * m * (30 m/s)2 + m * 9,81 m/s2 * h => h = ½ (1002 – 302) / 9,81 = 463,8 m

# 2: ½ * m * v12 + m * g * h = ½ * m * v2

2 => a) v2 = √ (2 * 9,81 m/s2 * 5 m) = 9,91 m/s; b - d) v2 = 14,07 m/s

# 3: W = (1200 + 75) kg * 50 m – 1100 kg * 50 m = 85837,5 J

# 4: ½ * m * (40 m/s)2 = 0,8 * m * 9,81 m/s2 * s + ½ * m * (15 m/s)2 => s = (1600 – 225) / (2 * 0,8 * 9,81) = 87,60 m

# 5: a = (30 m/s – 20 m/s) / 2 s + 0,1 * 9,81 m/s2 = 5,98 m/s2 => s = 20 m/s * 2 s + ½ * 5,81 m/s2 * 4 s = 51,96 m W = ½ * 1500 kg * (900 – 400) m2/s2 + 0,1 * 1500 kg * 9,81 m/s2 * 51,96 m = 451459 J

# 6: tan α = 0,1 => α = 5,7°; h = 150 m * sin(5,7) = 14,8 m; FN = m * 9,81 * cos(5,7) = 9,76 * m ½ * m * (5 m/s)2 + m * 9,81 m/s2 * 15 m = ½ * m * v2

2 + 0,05 * 9,76 * m * 150 m => v2 = 13,15 m/s

# 7: tan α = 0,1 => α = 5,7°; h = 150 m * sin(5,7) = 15 m; ½ * m * (30 m/s)2 = m * 9,81 m/s2 * 15 m + ½ * m * v2 => v = √ (900 - 2 * 9,81 m/s2 * 15 m) = 24,61 m/s ½ * m * (30 m/s)2 = m * 9,81 m/s2 * 15 m + ½ * m * v2 + 0,05 * m * 9,81 m/s2 * cos(5,7) * 150 m => v = 20,92 m/s ½ * m * (30 m/s)2 + 0,1 * m * 9,81 m/s2 * cos(5,7) * 150 m = m * 9,81 m/s2 * 15 m + ½ * m * v2 => v = 32,25 m/s

# 8: cos(60) = (l – h) / l => h = 1 m; W = 0,5 kg * 9,81 m/s2 * 1 m = 4,9 J = ½ * 0,5* v2 => v = √ (2 * 4,9/0,5) = 4,43 m/s ½ * 5000 N/m * x2 = 4,9 J => x = √ ((2 * 4,9 J) / (5000 N/m)) = 0,044 m = 4,4 cm

# 9: tan α = 0,1 => α = 5,7°; h = 1000 m * sin(5,7) = 99,31 m; t = 1000 m / 30 m/s = 33,33 s W = (1500 kg * 9,81 m/s2 * 99,31 m + 0,015 * 1500 kg * 9,81 m/s2 * cos(5,7) * 1000 m) = 1607761 J P = 1607 kJ / 33,33 s = 48,72 kW; V = 2 * 1607761 J / 33000000 J/l = 0,01 l

# 10: v = √ (2 * 9,81 m/s2 * 3000 m) = 242,6 m

# 11: ½ * 1000 N/m * (0,1 m)2 = 0,05 kg * 9,81 m/s2 * (0,1 m + h) => h = 10,1 m; ½ * 0,05 kg * v2 = 0,05 kg * 9,81 m/s2 * 10,0 m => v = √ (2 * 9,81 m/s2 * 10 m) = 14 m/s

# 12: h = (15 m/s)2 / (2 * 9,81 m/s2) = 11,5 m; ½ * 600000 N/m * x2 = ½ * 1500 kg * (15 m/s)2 => x = 0,75 m

# 13: h = 5 m + (10 m/s)2 / (2 * 9,81 m/s2) = 10,1 m; v = 10 m/s + 2 * 9,81 m/s2 * 5 m = 19,91 m/s

# 14: 2 * 1/2 * k * (0,1 m)2 = ½ * 10000 kg * (2 m/s)2 => k = 2 * 106 N/m

# 15: W = ½ * 1200 kg * (30 m/s)2 = 540 kJ => P = 540 kJ / 6 s = 90 kW; t = (½ * 1200 kg * (30 m/s)2) / 75 kW = 7,2 s ½ * 1200 kg * (60 m/s)2 = μ * 1200 kg * 9,81 m/s2 * 120 m => μ = 1,53

# 16: v02 = g * r; Δh = v0

2 / (2 * g) = r/2; h = r/2 + 2 * r = 5/2 * r; ½ * v12 = ½ * v0

2 + g * 2*r = 3 * g * r => v1 = √ (6 * g * r)

# 17: v2 / r > g * cos φ; ½ * v2 = g * Δh; cos φ = (r – Δh) / r => Δh = r * (1 – cos φ) => 2 * g * r * (1 – cos φ) > r * g * cos φ => cos φ < 2/3 => φ < 48,2°

# 18: aT = 60 m/s / (2,5 * 60 s) = 0,4 m/s2; aR = 0,01 * 9,81; a = 0,4981 m/s2; s = ½ * 0,4981 * 1502 = 5603,63 m; F = 760 * 103 kg * 0,4981 m/s2 = 378,56 kN; W = ½ * 760 * 103 kg * (60 m/s)2 + 0,01 * 760 * 103 kg * 9,81 m/s2 * 5603,63 m = 1,79 * 109 J P1 = 1,79 * 109 J / (2,5 * 60 s) = 119,33 MW; P2 = 0,01 + 760 * 103 * 9,81 * 60 = 4,47 MW

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MECHANIK

ŰBUNGSAUFGABEN zu IMPULSERHALTUNG, STÖSSE # 1: Zwei Kugeln (5 kg, 10 kg) stoßen mit 8 bzw. 5 m/s aufeinander und kleben danach zusammen. Welche Geschwindigkeit haben sie wenn sie sich (a) aufeinander zu bewegen, (b) in dieselbe Richtung bewegen?

# 2: Ein Eisenbahnwaggon (24 t) kuppelt mit 10,8 km/h an einen zweiten Waggon (20 t) der sich mit 3,6 km/h bewegt. Wie groß ist die gemeinsame Endgeschwindigkeit wenn sich die Waggons (a) aufeinander zubewegen, (b) in dieselbe Richtung bewegen? Wie viel % der Energie geht jeweils verloren?

# 3: Eine horizontal fliegende Kugel (10 g) bleibt in einem an einem 2 m langen Faden hängenden Sandsack (10 kg) Stecken, der infolgedessen um 30 cm horizontal ausgelenkt wird. Welche Geschwindigkeit hatte das Geschoss? Wie viel % der Anfangsenergie gingen dabei verloren?

# 4: Durch einen Defekt werden in einem Ventil zwei Körper mit 120 g und 300 g durch die plötzlich entspannte Feder in entgegengesetzter Richtung aus ihrer Führung hinausgeworfen. Die Feder gibt dabei eine Energie von 5 J ab. Mit welcher Geschwindigkeit verlassen die beiden Körper die Führungen?

# 5: Eine Kugel (80 g) wird mit 360 km/h horizontal in einen Klotz (4 kg) geschossen und bleibt dort stecken. Wie weit bewegt sich der Klotz danach horizontal (Reibungszahl = 0,2)?

# 6: Eine Kugel (80 g) wird mit 720 km/h auf einen Holzklotz (5 kg) geschossen und durchschlägt diesen mit einem Energieverlust von 80 %. Wie groß sind die Geschwindigkeiten von Kugel und Klotz unmittelbar danach?

# 7: Ein Auto (1500 kg) prallt auf ein mit 54 km/h vorausfahrendes Auto (2 t). Nach 100 m Rutschen kommen die beiden Ineinander verhakten Fahrzeuge zum Stillstand, wobei nur das auffahrende Fahrzeug bremst (μ = 0,6). Wie groß war die Geschwindigkeit der beiden Fahrzeuge nach dem Zusammenstoß sowie die des auffahrenden Autos?

# 8: Eine Kugel (m = 3,54 g) fliegt horizontal mit v0 in Richtung zweier auf einer Tischoberfläche in 20 cm Abstand ruhender Klötze. Die Kugel durchdringt den 1. Klotz (m = 1,22 kg) und bleibt im 2. Klotz stecken (m = 1,78 kg). Klotz 1 rutscht um 10 cm, Klotz 2 um 56 cm (μ = 0,2). Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Klötze unmittelbar nach dem Stoß? Mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf den 2. Klotz? Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel?

# 9: Ein Wagen (25 kg) bewegt sich reibungsfrei mit 10 m/s. Im Wagen ist eine Feder (c = 1000 N/cm) um 5 cm gespannt, an die ein zweiter Wagen (5 kg) gekoppelt ist. Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit zwischen dem großen und kleinen Wagen nach dem Lösen der Spannvorrichtung (2 Lösungen)?

#10: Ein mit 30 m/s fliegender Ball wird von einem hochspringenden Torhüter (75 kg) gefangen. Welchen Impuls erhält dieser? Mit welcher Geschwindigkeit fliegt der Torwart rückwärts? Welche Kraft erfährt er wenn er den Ball innerhalb 1/100 s abfängt?

#11: In einer horizontalen Rinne bewegen sich zwei Körper reibungsfrei in derselben Richtung. Der schnellere (2 kg, 6 m/s) kuppelt an den langsameren (3 kg, 1 m/s) an, der auf seiner Rückseite eine Feder (c = 3000 N/m) trägt. Um welche Strecke wird die Feder dabei maximal zusammengedrückt?

#12: Ein Geschoss (20 g) trifft mit 216 km/h auf einen an einer Schnur aufgehängten Holzklotz (1 kg). Nachdem die Kugel aus dem Klotz ausgetreten ist, hat das Pendel die Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie schnell ist das Geschoss nach dem Durchschlagen des Klotzes?

#13: Fahrzeug A (1400 kg) prallt auf ein stehendes Fahrzeug B (1100 kg). Nach dem Zusammenstoß rutscht Fz. A 6,1 m, Fz. B 8,2 m (Reibzahl 0,13). Welche Geschwindigkeiten hatten die beiden Autos jeweils nach dem Stoß, wie schnell fuhr Fz. A vor dem Aufprall, wie hoch ist der gesamte Energieverlust beim Zusammenstoß? # 14: Ein mit v0 fliegender Körper zerplatzt in 2 Teile, deren Massen sich wie 1:3 verhalten. Die Geschwindigkeit des leichten Körpers beträgt 3 * v0 und ist senkrecht zu v0. Wie groß ist die Geschwindigkeit des schweren Bruchstücks?

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MECHANIK

LÖSUNGEN zu IMPULSERHALTUNG, STÖSSE

# 1: 5 kg * 8 m/s ± 10 kg * 5 m/s = 15 kg * vn => vn = (40 ± 50) / 15 = 6 m/s; -0,67 m/s

# 2: 24 * 103 kg * 3 m/s ± 20 * 103 kg * 1 m/s = 44 * 103 kg * vn => vn = (72 ± 20) / 44 = 2,09 m/s; 1,18 m/s ΔE/E = 1 – En/Ev = 1 – (½ * 24 * 103 kg * 9 m2/s2 + ½ * 20 * 103 kg * 1 m2/s2) / (½ * 44 * 103 kg * vn

2) = 15 %; 73 %

# 3: sin φ = 0,3/2 = 0,15 => φ = 8,6°; h = 2 * (1 – cos (8,6)) = 0,0224 m; vn = √ (2 * 9,81 m/s2 * 0,0224 = 0,66 m/s 0,01 kg * vv = 10,01 kg * 0,66 m/s => vv = 660,67 m/s ΔE/E = 1 – En/Ev = 1 – (½ * 10,01 kg * (0,66 m/s)2) /(½ * 0,01 kg * (660,67 m/s)2) = 100 %

# 4: 0,12 * v1 – 0,3 * v2 = 0 => v1 = 2,5 * v2; ½ * 0,12 * v12 + ½ * 0,3 * v2

2 = 5 = 0,525 * v22 => v2 = 3,1 m/s; v1 = 7,7 m/s

# 5: 0,08 kg * 100 m/s = 4,008 kg * v => v = 1,96 m/s; s = (1,96 m/s)2 / (2 * 0,2 * 9,81 m/s2) = 0,98 m

# 6: 0,08 kg * 200 m/s = 0,08 kg * u1 + 5 kg * u2 => u1 = 12,5 * (16 – 5 * u2) = 200 – 62,5 * u2 0,2 * ½ * 0,08 kg * (200 m/s)2 = ½ * 0,08 kg * u1

2 + ½ * 5 kg * u22 => 158,75 * u2

2 – 1000 * u2 + 1280 = 0 u2 = 1,28 m/s; u1 = 120 m/s

# 7: 1500 kg * v1 + 2000 kg * 15 m/s = 3500 kg * u => v1 = (3500 * u – 30000) / 1500 ½ * 3500 kg * u2 = 0,6 * 1500 kg * 9,81 m/s2 * 100 m => u = 22,46 m/s = 80,9 km/h => v1 = 32,41 m/s = 116,7 km/h

# 8: u2 = √ (2 * 0,2 * 9,81 m/s2 * 0,1 m) = 0,62 m/s; u3 = √ (2 * 0,2 * 9,81 m/s2 * 0,56 m) = 1,48 m/s 1. Stoß: 0,00354 kg * v1 = 0,00354 kg * u1 + 1,22 kg * 0,62 m/s => v1 = (0,00354 * u1 + 0,7564) / 0,00354 2. Stoß: 0,00354 kg * u1 = 1,78354 kg * 1,48 m/s => * u1 = 745,65 m/s => v1 = 959,29 m/s

# 9: (25 kg + 5 kg) * 10 m/s = 5 * u1 + 25 * u2 => u1 = 60 – 5 * u2; ½ * (25 kg + 5 kg) * 100 m2 / s2 + ½ * 104 N/m * 25 * 10-4 m = ½ * 5 * u1

2 + ½ * 25 * u22

30 * u22 – 600 * u2 + 2950 = 0 => u2 = 8,71 m/s, u1 = 16,5 m/s, Δu = 7,74 m/s

# 10: 0,45 kg * 30 m/s = 75,45 kg * u => u = 0,18 m/s; F = 75 kg * 0,18 m/s / 0,01 s = 18 N

# 11: 2 kg * 6 m/s + 3 kg * 1 m/s = 5 kg * u => u = 3 m/s; ½ * 2 kg * 36 m2/s2 + ½ * 3 kg * 1 m2/s2 = ½ * 5 kg * 9 m2/s2 + ½ * 3000 N/m * x2 => x = 0,1 m

# 12: 0,02 kg * 60 m/s = 1 kg * 2 m/s + 0,02 kg * u1 => u1 = 20 m/s

# 13: u1 = √ (2 * 0,13 * 9,81 m/s2 * 6,1 m) = 3,94 m/s; u2 = √ (2 * 0,13 * 9,81 m/s2 * 8,2 m) = 4,57 m/s 1400 kg * v1 = 1400 kg * 3,94 m/s + 1100 kg * 4,57 m/s => v1 = 7,52 m/s ΔE/E = 1 – En/Ev = 1 – (½ * 1400 * (3,94 m/s)2 + ½ * 1100 * (4,57 m/s)2) / (½ * 1400 * (7,52 m/s)2 = 1 – 0,56 = 44 %

# 14: x-Richtung: 4 * m * v0 = 3 * m * v2x => v2x = 4/3 * v0; y-Richtung: m * 3 * v0 = 3 * m * v2y; > v2y = 1/3 * 3 * v0 = v0 v2 = v0 *√ (16/9 + 1) = 5/3 * v0; tan α = v0 / (4/3 * v0) = 0,75 => α = 41°

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MATHEMATISCHER ANHANG

ŰBUNGEN zu VEKTOREN: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Zerlegung von Vektoren:

# 1: Zeichnen Sie die Vektoren a = {1, 2, -3}, b = {-1, 1, -1}, c = {0, 3, -3}, d = {5, 45°}, e = {4, 120°}, f = {5, 230°} # 2: Formen Sie folgende Vektoren von Polar- in kartesische Koordinaten um, bzw. umgekehrt: a = {5, 45°}, b = {4, 120°}, c = {3, 210°}, d = {4, 330°}, e = {1, -3}, f = {-1, 2}, g = {0, -3}, h = {-1, -3}, f = {0, 2} # 3: Bilden Sie graphisch und rechnerisch die Summe der 3 Vektoren a = {-1, 3, 1}, b = {3, -2, 3}, c = {-2, -1, -4} # 4: Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die Differenz der Vektoren a = {1, 3, -4} und b = {-2, 4, -1} # 5: Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch den Vektor c, sodass a + b + c = 0, mit a = {-2, 3, -1}, b= {-1, -2, 3} # 6: Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch den Vektor k * a, mit a = {4, 2, -1} und k = 1,5; 0,6; -2; -0,5; 0 # 7: Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch die kartesischen Koordinaten des Vektors a = {5, 30°) # 8: Zerlegen Sie graphisch den Vektor a = {0, -5} in zwei zueinander senkrechte Vektoren b und c, mit a = {3, 150°} # 9: Ermitteln Sie graphisch und rechnerisch den zu a = {3, -1} orthogonalen Vektor b

ŰBUNGEN zu EINHEITEN: Rechnen Sie in SI-Einheiten um:

Beispiel: 1 km / h = 1000 m / 3600 s = 1/3,6 m/s):

1 mm / Tag = 1 km / Tag = 1 Lichtjahr = Lichtweg pro Jahr = 1 nm / mm2 = 1 kW * h = 1 mW * min = 1 MeV = 1 mg / cm3 = 1 N / mm2 = 1 kN / cm2 = 1 kN / dm2 = 1 kN / cm2 =

1 g / mm3 = 1 t / l = 1g / dm3 = 1 mPa * cm3 =

Berechnen Sie für folgende physikalische Größen die SI-Einheit:

Beispiel: Arbeit = Kraft * Weg; [W] = [F] * [s] = N * m [Impuls p] = [m * v] = [Kinetische Energie] = [m * v2] = [Federkonstante D] = [F / s] = [Kinetische Energie] = [D * s2] = [Viskosität η] = [F * s / (A * v)] = [Leistung P] = [U * I] = [Energie W] = [Q * U2] = [Kapazität C] = [Q / U] = [Ohm’scher Widerstand R] = [U / I] = [Magnetische Induktion B] = [F / (I * s)] = [Spez. Widerstand ρ] = [R * A / s] =

ŰBUNGEN zu POTENZEN und WURZELN: Beispiel: √(107 * 10-12 / 10) = √107-12-1 = √10-6 = 10-3 √(10-7 * 10-12 / 102) = √(1021 * 102) / 3√ (105 *10-3) = (1030 * 1016) / 1018 * 1010)2 = 3√(1030 * 10-11 / 1000) = √(350000 * 70000 / 0,0004) = √(0,003 * 0,000025 / 600000) = 0,1 MB * 20 GB / 0,1 kB = (3√107 * 10-11 / 10)¾ =