Aufgaben zum Vorkurs Mathematik f ur Natur- und ... · Aufgaben zum Vorkurs Mathematik f ur Natur-...

Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften

Ubungen zu ”Mengen”

Aufgabe 1:

Geben Sie folgende Mengen durch Aufzahlen ihrer Elemente an:A = {x ∈ N0 | 0 < x < 4, 8}B = {t ∈ N0 | t ist Teiler von 24}C = {z ∈ Z | z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 21}D = {x ∈ R | x2 − 1 = 0}E = {x ∈ R | (x − 1)2 = 0}F = {x ∈ R | x + 8 = 9}

Aufgabe 2:

Schreiben Sie als Aufzahlung

(i) {k | −2 ≤ k ≤ 4, k ∈ Z}

(ii) {(2k + 1)2 | k ∈ N0}

(iii) {n | n2 < 5, n ∈ Z}

Aufgabe 3:

Schreiben Sie mit Hilfe einer definierenden Eigenschaft

(i) {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

(ii) {5, 10, 15, 20, . . .}

(iii) {1, 4, 9, 16, 25 . . .}

(iv) {1, 4, 9, 16, 25}

(v) {1,1

2,

1

3,

1

4, . . .}

Aufgabe 4:

Gegeben seien die Mengen A = {0, 1, 2} und B = {1, 2, 3}.Bilden Sie die folgenden Mengen:

(i) A ∩ B

(ii) A ∪ B

(iii) A \ B und B \ A

1

Aufgabe 5:

Gegeben sei die Grundmenge M = {x ∈ Z| − 5 ≤ x ≤ 7} sowie die Mengen A = {−1, 0, 1, 2},B = {2, 3, 4, 5} und C = {0, 2, 6}.Fuhren Sie die folgenden Mengenoperationen durch:

(i) A ∩ B

(ii) A ∩ Cc

(iii) (A ∩ Bc) ∪ B

(iv) Ac ∪ B

(v) A ∪ C

(vi) B ∪ C

(vii) (A ∪ B) ∪ C

(viii) (A ∩ B) ∩ C

(ix) Ac ∩ B

(x) (Ac ∩ Bc) ∪ Cc

(xi) ((A ∩ B) ∪ C)c

Aufgabe 6:

Prufen Sie, ob folgende Mengenformeln gultig sind (Benutzen Sie Mengendiagramme zur Veranschau-

lichung)

(i) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B

(ii) (A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∪ C)

(iii) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)

Aufgabe 7:

Sei C ⊂ A und C ⊂ B.

(i) Ist dann C ⊂ A ∩ B?

(ii) Ist dann C ⊂ A ∪ B?

(iii) Ist C = A ∩ B moglich?

(iv) Ist das immer der Fall?

Aufgabe 8∗:

Gegeben sind die vier Mengen

A = {1, 2} , B = {{1}, {2}} , C = {{1}, {1, 2}} , D = {{1}, {2}, {1, 2}}

Diskutieren Sie die Gultigkeit folgender Beziehungen:(i) A = B , (ii) A ⊆ B , (iii) A ⊂ C , (iv) A ∈ C , (v) A ⊂ D

(vi) B ⊂ C , (vii) B ⊂ D , (viii) B ∈ D , (ix) A ∈ D

2

Aufgabe 9∗:

Beweisen Sie folgende Mengenformeln:(i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Aufgabe 10∗:

Beweisen Sie, dass die eine der folgenden Mengenformeln immer richtig, die andere manchmal falsch

ist:(i) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C

(ii) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C

Aufgabe 11∗:

Richtig oder falsch?

(i) (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B × C)

(ii) (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B × C)

Aufgabe 12∗:

Veranschaulichen Sie die Mengen jeweils an einer Skizze

(i) (A ∪ B)× N = (A× N) ∪ (B × N)

(ii) (A ∪ B)× (M ∪ N)

(iii) (A ∩ B)× (M ∩ N)

3


Ubungen zu ”Zahlen”

Aufgabe 1:

Stellen Sie die folgenden Summen in Kurzschreibform dar:

(i) 12 + 14 + 16 + ...+ 138

(ii) 1 + 4 + 9 + 16 + ...+ 144

(iii) 1 + 6 + 11 + ...+ 116

(iv) 1− 2 + 4− 8 + ...+ 1024

Aufgabe 2:

Stellen Sie die folgenden Produkte in Kurzschreibform dar:

(i) 3 · 5 · 7 · ... · 31

(ii) 11 · 14 · 17 · ... · 98

(iii) 1 · 8 · 27 · 64 · ... · 1000000

(iv) 5 · 9 · 13 · ... mit insgesamt 8 Faktoren

Aufgabe 3:

Berechnen Sie:

(i)4∑k=1

(k + 2k2)

(ii)5∏n=3

(n2 − 16)

(iii)5∑k=2

(2k + 1)

(iv)5∑k=2

2k + 1

(v)5∏n=2

(1n+ 1)

Aufgabe 4:

Schreiben Sie die folgenden Summen aus:

(i)n∑k=1

(3k + 2)

1

(ii)5∑

k=−53,

(iii)n∑k=1

2k −n−2∑k=−1

2k+1

(iv)n∑k=0

(−1)kx2k

Aufgabe 5:

Benutzen Sie die Potenzrechenregeln, um den Ausdruck zu vereinfachen:

(i)26 · 5m − 5m

5m+2, (ii)

(15x2y−3)−4

(25x3y−6)−2

(iii)an + 2an−1

an−2 + 2an−3, (iv)

(a2b

cd3

)3:

(ab2

c2d2

)4

Aufgabe 6:

Bestimmen Sie die Losungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Erganzung):

(i) x2 + 6x + 5 = 0, (ii) x2 + 6x + 9 = 0, (iii) x2 + 6x + 13 = 0

(iv) x(x − 2) = 3, (v) x2 − 5x + 6 = 0, (vi) x2 − 3x + 3 = x − 1

Aufgabe 7∗:

Zerlegen Sie den quadratischen Ausdruck in ein Produkt von Linearfaktoren:

(i) x2 − 8x + 15 , (ii) 4t2 − 4t + 1 , (iii) 18u2 − 9u + 1

Aufgabe 8∗:

Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes 9993 = (1000− 1)3 und 10014.

2


Ubungen zu ”Ordnung und Betrag”

Aufgabe 1:

Losen Sie folgende Ungleichungen, indem Sie Aquivalenzen wie”a · b = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0 “,

oder”a · b > 0⇔ . . . “, oder

”a · b < 0⇔ . . . “ usw. ausnutzen:

(i) x + 5 > 2

(ii) 2x − 2 < 3x + 4

(iii) (x − 1)(x − 3) > 0

(iv)x − 1

x − 3> 0

(v) x3 + 5x2 ≥ 0

(vi) x2 − 4x < 0

(vii)2x

3x + 4≥ 0

Aufgabe 2:

Losen Sie folgende Ungleichungen durch Fallunterscheidung oder durch Umformung in Ungleichungen;

auf welche x ∈ R muss hierfur eingeschrankt werden?

(i)2x − 5

x − 4> 1

(ii)3

x − 5<

2

x + 3

(iii)x + 3

x≥

x

x + 3

Aufgabe 3:

Formen Sie in betragsfreie Ausdrucke um, indem Sie Fallunterscheidungen verwenden

(i) |x + 4|

(ii) |2x − 7|

(iii) 2 + |2− x |x

(iv) a − |a − |a||

(v)a + b + |a − b|

2

1

Aufgabe 4:

Deuten Sie die auftretenden Betrage geometrisch als Abstande von Punkten auf der Zahlengeraden,

und bestimmen Sie so die Losung der Gleichung bzw. Ungleichung:

(i) |x − 3| = 8 ; |x + 3| = 8 ; |x | ≤ 5 ; |x − 3| < 8 ; |x + 3| > 8 ; x2 > 9 (⇔ |x | > 3)

(ii) |x + 1| = |x − 1| ; |x − 1|+ |x − 2| > 1 ; |x − 1|+ |x − 2| = 1 ; |x − 1|+ |x + 1| < 2

(iii) Formen Sie zuerst so um, dass der Koeffizient bei x gleich 1 ist und Sie einen Ausdruck der

Form |x − a| erhalten: |3− 5x | = 2 ; |4− 2x | < 3 ; 5− 2|x − 3| ≤ 6.

Aufgabe 5:

Losen Sie die folgenden Betragsgleichungen:

(i) |2x + 5| = 7

(ii) x + |x − 1| = 3

(iii) |3x − 6|+ 2x = 10

(iv) 2x − |3− x | = 18

(v) 2x + |2x + 4| = −4

Aufgabe 6∗:

Bestimmen Sie die Losungsmengen der Ungleichungen

(i) |x | − |x − 4|+ |x − 6| < 5

(ii) x2 + 4x + 3 < |x2 + 4x + 3|

(iii)|x3 − 125|

1 + |x3 + 111| > 0

Aufgabe 7∗:

Bestimmen Sie die Losungsmenge von1

x + 1− x ≤ −

1

2.

2


Ubungen zu ”Abbildungen und Funktionen”

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie den den maximalen Definitionsbereich der Funktion f , deren Zuordnungsvorschrift

f (x) gegeben ist durch:

i)√

1− x2 ii)√

1−√

1− x2 iii)√

1− x +√x − 2

iv)√

3|1− x | v)1

|x − 1| +|x |x + 2

Aufgabe 2:

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f , wenn f (x) gegeben ist durch:

(i) a) |x | b) |x − 1| c) |x + 1| d) |x |+ 1

(ii) a)1

xb)

1

|x | c)1

x + 1d)

1

x+ 1

(iii) ||x | − 1|

(iv)|x2 − 9|x − 3

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Achsen, wenn f (x) gegeben ist durch:

i)x2 − 1

x2 + 1ii)

1

1 + x2iii) x2(2x + 1)

Aufgabe 4:

Fuhren Sie folgende Polynomdivisionen durch:

(i) (x2 + 4x + 4) : (x + 2)

(ii) (x3 − 6x2 + 11x − 6) : (x − 1)

(iii*) (4x3 − 3x + 1) : (x + 1)

(iv*) (x3 − x + 1) : (x2 − 1)

Aufgabe 5:

Bestimmen Sie alle Nullstellen von p(x) = x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6.

Aufgabe 6:

Gegeben seien die Funktionen f (x) = 4x + 9, g(x) = −4x + 13

sowie h(x) = ex . Bilden Sie die

zusammgengesetzten Funktionen

(i) (f ◦ g)(x)

(ii) (f ◦ h)(x)

1

(iii) (g ◦ h)(x)

(iv) (h ◦ g)(x)

(v) (h ◦ h)(x)

Aufgabe 7:

(i) Sei die Funktion f : R \ {2} → R gegeben durch: f (x) =1 + x

2− x

Bilden Sie: f (3t) , f (x − 1) , f (1

x)

(ii) Bilden Sie die zusammengesetzten Funktionen f (g(x)) und g(f (x)):

a) f (x) =√x2 + 1 , g(x) =

x

x − 1

b) f (x) = x2 , g(x) = 2x − 1

Geben Sie jeweils den Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion an.

Aufgabe 8:

Welche der Funktionen f : D → R ist streng monoton (und besitzt daher eine Umkehrfunktion)?

(i) f (x) = x + x2 mit

a) D = {x |0 ≤ x ≤ 3}b) D = {x | − 1 ≤ x ≤ 3}

(ii) f (x) =1

x2mit

a) D = {x |x > 0}b) D = R \ {0}

Aufgabe 9∗:

(i) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von

f : R \ {2} → R , f (x) =1

2− x

(ii) Sei f : [−52,∞[→ R definiert durch f (x) = 1− (2x + 5)3

a) Geben Sie an, in welcher Weise f aus welchen Funktionen zusammengesetzt ist

b) Zeigen Sie, dass f streng monoton ist. Untersuchen Sie dazu die Funktionen, aus denen f

nach a) zusammengesetzt ist.

c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f .

2


Ubungen zu ”Trigonometrie”

Aufgabe 1:

Bogen und Gradmaß

(i) Geben Sie das Bogenmaß des Winkels α vom Gradmaß 135◦ an.

(ii) Geben Sie das Gradmaß des Winkels α vom Bogenmaß 5 an.

(iii) Geben Sie Grad- und Bogenmaß des Winkels α an, der aus einem Kreis mit Radius r = 3 einen

Bogen der Lange 5 herausschneidet.

Aufgabe 2:

cos x und sin x sind als die Koordinaten des Punktes Px auf dem Einheitskreis definiert (vgl. Skript);

daher: cos2 x + sin2 x = 1.

(i) Bestimmen Sie cos x und sin x fur (1) x =1

2π, (2) x =

3

2π, (3) π und (4) 2π.

(ii) Begrunden Sie (am Einheitskreis):

sin(π

2− x)

= cos x , cos(π

2− x)

= sin x

sin(π − x) = sin x , cos(π − x) = − cos x

Aufgabe 3:

Skizzieren Sie den Graphen der Funktion uber einem geeigneten Intervall und diskutieren Sie die

Wirkung der Koeffizienten und der additiven Konstanten:

f1(x) = sin x , f2(x) = 2 sin x , f3(x) = −2 sin x

f4(x) = sin(2x) , f5(x) = sin

(1

2x

)f6(x) = sin

(x +

π

2

), f7(x) = sin

(x −

π

2

).

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie alle x mit sin x =1

2

Aufgabe 5:

Gerade und ungerade Funktionen:

Zeigen Sie (beweisen Sie):

(i) Falls f : R→ R und g : R→ R gerade Funktionen sind, dann sind f + g und f g auch gerade.

(ii) Falls f : R → R und g : R → R ungerade Funktionen sind, dann ist f + g ungerade und f g

gerade.

Schreiben Sie hierzu zunachst auf, was”

f bzw. g ist gerade“bedeutet.

1

Aufgabe 6∗:

Beziehungen zwischen sin, cos, tan, cot. Vereinfachen Sie:

(i) cos x + sin x tan x

(ii)1

1 + tan x+

1

1 + cot x.

Aufgabe 7∗:

Anwendung der Additionstheoreme fur cos und sin:

(i) Berechnen Sie cosπ

3und sin

π

3:

cosπ

6, sin

π

6, cos

2π

3, sin

2π

3

(ii) Zeigen Sie, daß fur x, y ∈ R gilt:

sin x + sin y = 2 sinx + y

2cos

x − y2

(iii) Vereinfachen Sie:√

1 + cos x ·√

1− cos x

Aufgabe 8∗:

Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

(i) Vereinfachen Sie den Ausdruck sin(arcsin x+arccos x), und zeigen Sie damit, dass fur alle x ∈ Rmit |x | ≤ 1 gilt:

arcsin x + arccos x =π

2.

(ii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion

f :

[0,

√π

2

[→ R mit f (x) =

1

3tan x2.

2


Ubungen zu ”Differenzierbarkeit”

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die 1. Ableitungen der folgenden Funktionen:

(i) f (x) = 4x3 + 12x − 3

(ii) f (x) = 4ex + 2

(iii) f (x) = 3 sin(x)

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die 1. Ableitungen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Produkt- und Quotienten-

regel:

(i) f (x) = (3x + 7x5) · cos(x)

(ii) f (x) = x2 · ex

(iii) f (x) = cos(x)ex−1

(iv) f (x) = x+√9x2+2x5x4

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie die 1. Ableitungen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel:

(i) f (x) = (3x7 − 4x)3

(ii) f (x) = sin((x + 7)2)

(iii) f (x) = e2x+3

Aufgabe 4:

Bilden Sie die ersten vier Ableitungen der Funktion f : [0, 2π)→ [−1, 1], mit f (x) = sin(x)

Aufgabe 5:

(i) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen der Funktion

f : R→ R mit f (x) = 3x2 − 2x

in x0 = 12

(also im Punkt (12, f (1

2)) ), und geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen

in (12, f (1

2)) an.

(ii) f : R→ R ist gegeben durch:

f (x) = x3 − 6x2 + 8x

(1) Bestimmen Sie x0 ∈ R so, dass der Graph von f in (x0, f (x0)) die Steigung −1 hat.

1

(2) Bestimmen Sie x0 ∈ R so, dass die Gerade y = −x die Tangente an den Graphen von f

im Punkt (x0, f (x0)) ist.

Aufgabe 6:

Berechnen Sie die Ableitung vonx2√x3

oder von x2√x3, indem Sie

(i) direkt die Differentiationsregeln anwenden,

(ii) erst mit Hilfe der Potenzregeln vereinfachen, und dann die erforderliche Differentiationsregel

benutzen.

Aufgabe 7:

Vereinfachen Sie (falls moglich) folgende Funktionsausdrucke zuerst mit Hilfe der Potenzregeln, und

berechnen Sie dann die Ableitung:

(i)3√x2 (ii)

3√x2 + 1 (iii) 3

√(x + 1)2 (iv)

3

√1

x2

(v)1

x + 1(vi)

1

(x + 1)2(vii)

1√1 + x

(viii) 5√

3x(x − 1)7

Aufgabe 8:

Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

(i) x√x + 1 (ii)

x

x − 1(iii) tan x − cot x (iv)

x√4− x

(v) arcsin x arccos x (vi) sin[sin(sin x)] (vii) x arcsin x +√

1− x2

(viii)1√

1 + x2(x +√

1 + x2) (Achtung! etwas schwierig) (ix) arctan

1 + x

1− x

Vereinfachen Sie die Ableitungen, wenn es moglich ist.

Aufgabe 9:

Berechnen Sie die Ableitung von f ◦ g einmal, indem Sie zunachst aufmultiplizieren, und einmal mit

der Kettenregel:

f (x) = x2, g(x) = x +1

x

2


Ubungen zu ”Anwendungen der Differentialrechnung”

Aufgabe 1:

Sei n ∈ N. Wie lautet die n-te Ableitung von

(i)x

1− x

(ii) sin 2x

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie in Abhangigkeit von a ∈ R die relativen Extrema von f (x) = x4 + ax2.

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die relativen Extrema von f (x) = x4 − 8x2 + 16.

Aufgabe 4:

Was ist der maximale Flacheninhalt eines Rechtecks mit dem Umfang 1?

Aufgabe 5:

Gegeben sei die Funktion f (x) = −x2 + 4x , P (u | v) sei ein Punkt auf dem Graphen der Funktion f

mit 0 ≤ u ≤ 3. Der Urpsrung, der Punkt P sowie der Punkt N(u | 0) bilden ein Dreieck. Welchesn

Flacheninhalt kann hat dieses Dreieck maximal?

Aufgabe 6:

Sei f (x) =1

2+

x

x2 + 1. Bestimmen Sie Extrema und Krummungsverhalten des Graphen von f

Aufgabe 7:

Bestimmen Sie die Nullstellen und lokale Extrema von

(i) f : R→ R, x 7→ sin(x2),

(ii) g :]0,∞[→ R, x 7→ sin(1/x),

und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen.

Aufgabe 8∗:

Es sei f : [a, b] → R eine n-mal differenzierbare Funktion mit n + 1 Nullstellen. Zeigen Sie mit Hilfe

des Mittelwertsatzes, dass mindestens ein y ∈]a, b[ mit f (n)(y) = 0 existiert.

1


Ubungen zu ”Integralrechnung”

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:

(i) f (x) = x4 + 4x2 − 16

(ii) f (x) = 4 sin(x)

(iii) f (x) = 5x

Aufgabe 2:

Gegeben sei die Funktion f (x) = 6√x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f , deren Graph

durch den Punkt P (1 | 0) verlauft.

Aufgabe 3:

Bestimmen Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen, indem Sie ggf. die”einfachen Regeln“

benutzen:

(i)1

(x + 1)2,

4

(x − 3)5 ,1√x + 2

,1√2x + 5

(ii) sin(x + 2) , cos(3x − 1)

(iii)1

1 + x2,

1

1 + (x − 2)2 ,1√1− x2

,1√

1− (x − 1)21

4 + x2,

1√9− x2

,1

4 + (x − 2)2 ,1√

9− (x − 1)2

Aufgabe 4:

Berechnen Sie die Integrale durch partielle Integration. Sie konnen benutzen, dass (ln x)′ = 1xund

(ex)′ = ex ist.

(i)∫xex dx

(ii)∫x ln x dx

(iii)∫x2 cos x dx

(iv)∫arctan x dx

(v)∫x arctan x dx

Aufgabe 5:

Berechnen Sie durch Substitution:

(i)

∫1

(3x + 2)2dx ,

∫(x + 1)n dx ,

∫(x2 + 7)8x dx

1

(ii)

∫cos5 x sin x dx ,

∫sin(ax) dx ,

∫cos(ax) dx

(iii)

∫sin(ax + b) dx ,

∫sin3 x dx

∫x2√x3 + 2

dx

(iv)

∫sin x

(3 + cos x)2dx ,

∫1

9x2 + 4dx

Aufgabe 6:

Benutzen Sie die Formel

∫f ′(x)

f (x)dx = ln |f (x)|+ C, um folgende Integrale zu berechnen:

(i)

∫tan x dx

(ii)

∫2

3x − 5 dx

(iii)

∫2x

x2 + 3dx

Aufgabe 5∗:

Berechnen Sie das bestimmte Integral:

(i)

2∫−1

x2√1 + x3 dx, (ii)

π∫0

x cos x dx,

(iii)

√π∫

0

2x cos(x2) dx, (iv)

0∫−1

x√x + 1 dx.

Aufgabe 6∗:

Berechnen Sie folgendes Integral, indem Sie den Integranden zuerst in eine Summe zerlegen, so dass

ein Summand ln, der andere arctan liefert:

(i)

∫x + 1

(x + 3)2 + 1dx

(ii)

∫3x + 1

x2 + 4dx

2


Ubungen zu ”Logarithmus- und Exponentialfunktion”

Aufgabe 1:

Logarithmus- und Exponentialfunktion differenzieren.

(i) Beachten Sie, dass es manchmal zweckmaßig ist, einen Ausdruck zuerst mit Hilfe der Eigen-

schaften von ln zu vereinfachen, und erst dann zu differenzieren:

Bestimmen Sie die Ableitung, wenn f (x) gegeben ist durch:

(a) ln(1 + x2) (b) ln√

1 + x2 (c) ln(ln x) (d) ln(x2 ln x) (e) x [sin(ln x) − cos(ln x)]

(f)1

4lnx2 − 1

x2 + 1(g) ln

3√x5

(ii) Bestimmen Sie die Ableitung, wenn f (x) gegeben ist durch:

(a) e−x (b) e3x−1 (c) esin x (d) e1x (e) e3x cos 2x (f) x2e−x (g) ln(x2e−x)

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) 2x (b) x x (c) x xx

(d) sin xarctan x

Hinweis: ab = eb·ln a.

Aufgabe 3:

Partielle Integration:

(i)∫x ln xdx

(ii)∫

ln xdx

(iii)∫x2exdx

(iv)∫ex cos xdx

Aufgabe 4:

Finden Sie eine geeignete Substitution:

∫(ex − 2)ex

ex + 1dx

Aufgabe 5∗:

Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion f (x) = x√x .

1


Ubungen zu ”Lineare Gleichungssysteme”

Aufgabe 1:

2x1 −x2 = 1

−7x1 +3, 5x2 = 7

Aufgabe 2:

3x1 −2x2 = −1−x1 +3x2 = 5

2x1 +x2 = 4

Aufgabe 3:

2x1 +x2 +x3 = 6

2x1 −2x2 = 6

x1 +x3 = 5

Aufgabe 4:

x1 +3x2 −5x3 +4x4 = 1

2x1 +3x2 −4x3 +4x4 = 1

3x1 +2x2 −x3 −2x4 = −4x1 +4x2 −7x3 +6x4 = 2

Aufgabe 5∗:

3x1 −2x2 = −1−x1 +3x2 = 5

x1 +4x2 = 2

Aufgabe 6∗:

−x1 +x2 x3 = −4x1 +x2 +2x3 = 3

2x1 +x2 +3x3 = 7

Aufgabe 7∗:

−x1 +x2 = 0

x1 +x2 +2x3 = 2

2x1 +x2 +3x3 = 3

1


Ubungen zu ”Vektoren”

Aufgabe 1:

Drucken Sie fur ein Parallelogramm ABCD mit−→AB = ~a und

−→AD = ~b die Vektoren

−→AC,−→CB,−−→BD mit

Hilfe von ~a und ~b aus.

Aufgabe 2:

Gegeben seien die Vektoren ~a =

112

; ~b = 3−11

, ~c =−133

. Prufen Sie die drei Vektoren auflineare Abhangigkeit.

Aufgabe 3:

Man entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhangig sind:

(i) (3,√7,−5)T , (0, 0, 0)T in R3,

(ii) (1, 2, 3)T , (4, 5, 6)T in R3,

(iii) (1, α)T , (α, 4)T in R2 (α ∈ R fest),

(iv) (√7)T , (3

√5)T in R1.

Aufgabe 4:

Stellen Sie (falls moglich) ~a als Linearkombination von ~b, ~c und ~d dar.

(i) ~a =

123

, ~b =101

, ~c = 10−1

und ~d =010

(ii) ~a =

123

, ~b =201

, ~c = 0−10

und ~d =402

(iii) ~a =

123

, ~b =240

, ~c =001

und ~d =−1−22

Aufgabe 5∗:

Beweisen Sie: Verbindet man die Mittelpunkte der benachbarten Seiten eines beliebigen Vierecks in

der Ebene miteinander, so erhalt man ein Parallelogramm.

Aufgabe 6∗:

~a,~b seien Vektoren, die nicht beide Null sind. Diskutieren Sie Bedingungen fur das Bestehen folgender

Beziehungen:

(a) |~a + ~b| = |~a|+ |~b| , (b) |~a + ~b| = |~a| − |~b| ,

(c) |~a + ~b| > |~a|+ |~b| , (d) |~a + ~b| < |~a|+ |~b| ,

(e) |~a + ~b| = |~a| , (f) |~a + ~b| = 0

1


Ubungen zu ”Skalar- und Vektorprodukt”

Aufgabe 1:

Sei α der Winkel bei A in dem Dreieck 4ABC mit

A = (2,−1, 1)T , B = (1,−3,−5)T , C = (3,−4,−4)T

Bestimmen Sie cosα (nicht berechnen).

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie einen Vektor ~x , der linear abhangig von

110

und011

ist, senkrecht steht auf101

und die Lange 1 hat.

Aufgabe 3:

Wo liegen alle Vektoren, die mit einem festen Vektor ~a 6= 0 ein festes Skalarprodukt haben?

Aufgabe 4:

Berechnen Sie

(i) Das Kreuzprodukt

102

× 3211

.

(ii) Das Kreuzprodukt

231

× 0411

.Aufgabe 5:

Geben Sie alle Losungen von ~x × ~a = ~b an fur

(i) ~a =

101

, ~b =010

(ii) ~a =

101

, ~b =011

1

Ubungen zu ”Geraden und Ebenen”

Aufgabe 1:

(i) Geben Sie die Parameterdarstellung an

a) der Geraden durch die Punkte P = (1, 2)T , Q = (−2, 5)T

b) der Geraden mit der Gleichung y = −x + 3c) der Strecke von A = (−1, 2)T nach B = (3, 1)T

(ii) Welche der Geraden mit den Parameterdarstellungen

g1 : x =

14−115

+ t−64, 5−9

, g2 : x =

46, 50

+ t 4−36

g3 : x =

694

+ t−304

, g4 : x =

3−610

+ t−618

sind parallel?

(iii) Liegen die drei Punkte A = (2, 2, 3)T , B = (−2, 3, 1)T , C = (−6, 4, 1)T auf einer Geraden?Diskutieren Sie verschiedene Moglichkeiten, dies zu prufen.

Aufgabe 2:

(i) Liegen die vier Punkte

A = (0, 2, 2)T , B = (2, 0,−1)T , C = (3, 4, 0)T , D = (0,−1, 1)T

in einer Ebene?

(ii) Geben Sie die Normalenform der Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise an, wenn die

Ebene die Gleichung 2x − y + 2z = 12 hat.

(iii) Durch folgende Gleichungen sind vier Ebenen gegeben:

e1 : x + 2y − 2z = 5 , e2 : 3x − 6y + 3z = 2 , e3 2x + y + 2z = −1 , e3 : x − 2y + z = 7

Stellen Sie fest, welche der Ebenen parallel bzw. senkrecht zueinander sind.

Aufgabe 3:

(i) Welche Punktmenge beschreibt die Gleichung x + y = 3

a) in der Ebene,

b) im Raum?

2

(ii) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden ~x =

3−38

+ λ−130

und der Ebene ~x =

211

+ µ−101

+ ν 2−12

,indem Sie die Ebene zunachst in Normalenform bringen.

Aufgabe 4:

Haben die Geraden mit den Parameterdarstellungen

~x =

694

+ t−304

, ~x =

3−610

+ s−618

einen Schnittpunkt?

3


Ubungen zu ”Komplexe Zahlen”

Aufgabe 1:

Berechnen Sie i2, i3, i4, i5, . . .. Was fallt auf? Berechnen Sie weiter i3 − i4, i3(i + i6), i + i2 + i3.

Aufgabe 2:

Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in ihrer”Normalform“ a + bi dar und zeichen Sie die

Zahlen in die komplexe Ebene ein:

(a*) (1 + 2i)4 , (b) (3 + 2i)2 + (7− 3i)(−2 + i) ,

(c)2 + 6i

3− 5i , (d)1

1− i ,

(e)3 + 2i

(1− 2i)(3 + i) , (f)(6− 3i)(2 + 4i)

3− 4i ,

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die komplexe Zahl z , die Losung folgender Gleichung ist:

(i) (1 + 3i)z + 3 + i = z ,

(ii)1− iz1 + iz

=1 + i

1− i ,

(iii)

(−3 + 11i3− i +

−11 + 10i1− 4i

)z = 24− 10i

Aufgabe 4:

Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten der folgenden komplexen Zahlen, und zeichnen Sie die

Zahlen als Punkte in die komplexe Zahlenebene ein:

(a) i3 + i4 , (b) 3i , (c) (3 + 2i) · (2− 3i) , (d) (1 + 2i) · (1− 2i) ,

(e)5− 5i2 + i

, (f)1

i, (g)

1− iz1 + iz

=1 + i

1− i ,

Aufgabe 5:

Losen Sie durch quadratische Erganzung die quadratische Gleichung:

(i) z2 − 4z + 7 = 0 ,

(ii) z2 − 2αz + α2 + β2 = 0

1

Ubungen zu ”Komplexe Polarkoordinaten”

Aufgabe 1:(a) |z | = 2 , (b) |z − 2i | = 1 , (c) |z + 2| = 1 ,

(d) |z + 2| < 1 , (e) |z + 1− i | ≥ 1 ,

Aufgabe 2:

Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten fur z1 = 2i und z2 = −1 + i die Werte w1 = z21 ,

w2 = z1 · z2 und w3 = z82 .

Aufgabe 3∗:

Tragen Sie die Zahlen z als Punkte in die komplexe Ebene ein, und geben Sie den Betrag, das Argu-

ment und die Polarkoordinatendarstellung an:

(a) z = −3 , (b) z = −3i , (c) z = 1− i , (d) z = −1 + i ,

(e) z = |1 + i |

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