Vorkurs Mathematik f ur Ingenieure - mechanik.uni-bremen… · Universit at Bremen, Am Biologischen...

Fachbereich 4 Produktionstechnik Maschinenbau & Verfahrenstechnik

bime

Vorkurs ”Mathematik fur Ingenieure”im WiSe 2014/15

Soren Boettcher

bime – Bremer Institut fur Strukturmechanik und Produktionsanlagen

7. Oktober 2014

S. Boettcher 1 / 22

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Inhaltsverzeichnis

1 Organisatorisches

2 Arithmetik

3 Trigonometrie

4 Gleichungen

5 Funktionen

6 Differentialrechnung

7 Integralrechnung

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Zu meiner Person

Dr. rer. nat. Soren BoettcherTechnische Mechanik/Strukturmechanik

bime – Bremer Institut fur Strukturmechanik und ProduktionsanlagenUniversitat Bremen, Am Biologischen Garten 2, 28359 Bremen

Buro Gebaude IW3 – Raum 1220

Telefon 0421 218–64686

E-Mail [email protected]

www http://www.bime.dehttp://www.mechanik.uni-bremen.dehttp://www.math.uni-bremen.de/zetem

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Zum Vorkurs

Termin 29.09.2014 – 09.10.2014

Ablauf Vorlesung vormittags, Ubung nachmittags

Zielgruppe Produktionstechnik, Systems Engineering,Wirtschaftsingenieurwesen Produktionstechnik

Ziel Verstandnis- und Wissensluckenim mathematischen Grundlagenwissenzum Studienbeginn schließen

www http://www.mechanik.uni-bremen.de/vorkurs.html

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Zeitplan

MO DI MI DO DI MI DO

29.09. 30.09. 01.10. 02.10. 07.10. 08.10. 09.10.

V08-10 08-10 08-10 08-10 09-11 10-12 11-13

alle HS 2010 GW1 H0070 HS 2010 HS 1010 MZH 1380 HS 2010 MZH 1380

U

14-16 14-16 14-16 14-16 13:30-15:30 13-15 14-16

Gruppe 1 IW3 0330 IW3 0330 IW3 0330 IW3 0330 SFG 1030 IW3 0330 IW3 0330

Gruppe 2 IW3 0390 IW3 0390 IW3 0390 IW3 0390 FZB 0240 IW3 0390 IW3 0390

Gruppe 3 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2020 SFG 2010 SFG 2020


Gruppe 5 SFG 1020 SFG 1020 SFG 1020 SFG 1020 SFG 1020 FZB 0240 FZB 0240


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Lageplan

Autobahn-AnschlussHB-Horn/Lehe

31

31

Kleine Wümme

Auto

bahn

zubr

inger

U

niver

sität

Linz

er S

tr.

Hochschulring

Robert- Hooke-Straße

Am

Bio

l. G

arte

n

Wilh

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Celsiusstr.

Fahrenheitstr.

J.-Watt-Str.

L

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Str.

Tönj

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Bib

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Hochschulring

E-S

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Spittaler Str.

Universitätsallee

Gra

zer S

tr.

Otto

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llee

Kremser Str.

Caroline-

Herschel-Str.

Mary-Somerville-Str.

Anne- C

onway-Str.

Emmy-Noether-Str.

Wie

ner

S

traße

Hildegard-von-Bingen-Str.Karl-Ferdinand-Braun-Straße

Lise

-Mei

tner

-Stra

ße

Barbara-McClintock-Str.

Mary- A

stel- Straße

Achterstraße

Achterstraße

Achterstraße

Achterstraße

Universitätsallee

Kuh

grab

enw

egK

uhgr

aben

weg

Uni

vers

itätsa

llee

ACB

Innenstadt

Horn

Findorff /Walle

Stadtwald

Campingplatz

Richtung:HH, H, OSRichtung:

BRHV

Mensasee

4

3

2

1

© Universität Bremen Stand: 23.05.2014

A B C D E

Kleingärten

6 2821 3122

6 3121

6 2821 3122

2231

22 28

28

22 28 6 21

6 21

22

6

21

Haltestelle

StraßenbahnBuslinie

= Gebäude in Planung

Bremer Forum

Container

IFAM

WiWi

BEGO BioG IW3 BIBA

ZARM

TAB AIBHGW

KPKSporthalle Horn

IFAM

MPI

FH I/II

BITZ

ZMT

GW1

MST

NW1

CeVis

FVG ZHG

UFT

EZ OEG

BH

NW2NW2

SZL

GEO

AkademieMensa

ZB

SuUB

BIAS IWT

IW

RSGSpH SpT

GW2

MZH

GH StH

SFG

VWG

B o u l e v a r d

LFM

SH

FZB

GW1 HS

HS

LMT

Seekamp

WING

MARUMODP

PTB

DFKI

ISL

Cartesium

Sportplätze

unicom

Universum®Science Center Bremen

Atlantic Hotel Universum

Cognium

FUCHSGruppeGH-L

KITA

Achter

Uni-Bad

Siemens

Studenten-wohnheim

Fallturm

Turm derLüfte

SchauBox

BIMAQ

LION

Hotel“Munte am Stadtwald”

Neurobiologie

FH III

KITATechnol.park

GalileoResidenz

Mar

um II

DLR

Internationale Schule

7 ThingsHotel

Studentenhaus“The Fizz”

oas

oas

DFKI

NMR

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Literatur

Bucher

Bosch, Bruckenkurs Mathematik, Oldenbourg

Erven/Erven/Horwick, Vorkurs Mathematik, Oldenbourg

Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, Vieweg

Marti/Groger, Bruckenkurs Mathematik, Peikert Verlag

Schafer/Georgi/Trippler, Mathematik-Vorkurs, B.G. Teubner

Schirotzek/Scholz, Starthilfe Mathematik, B.G. Teubner

van de Craats/Bosch, Grundwissen Mathematik, Springer

. . .

Online Mathematik Bruckenkurs

http://www.om-bridge.de/omb/public/index.html

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Literatur

Aufgabensammlungen

Postel, Aufgabensammlung zur Ubung und Wiederholung:Mathematik Broschure, Schroedel, 2011

Jonczyk/Schneider, Aufgabensammlung Mathematik:Sekundarstufe II: Analysis Taschenbuch, Schroedel, Nachdruck 1999

Buck/Gailun/Mendler, Aufgabensammlung Mathematik:Sekundarstufe II: Lineare Algebra Taschenbuch, Schroedel,Nachdruck 2000

. . .

Internet

Bibliothek

. . .

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Bezeichnungen

Summenzeichen

n∑k=1

ak = a1 + a2 + a3 + . . . + an

Produktzeichen

n∏k=1

ak = a1 · a2 · a3 · . . . · an

Absolutbetrag

|a| =

{+ a fur a ≥ 0

− a fur a < 0

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Grundlegende RechenregelnPunktrechnung vor Strichrechnung

a + b · c = a + (b · c)

a− b : c = a− (b : c)

Potenzrechnung vor Punktrechnung

a · b2 = a ·(b2)

Es gilt also ab2 6= (ab)2.

Beispiele

a : b2 − 3 · 23 =

4 · 53 − 7 · 42 =

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Grundgesetze der Addition und MultiplikationKommutativgesetz

a + b = b + a

a · b = b · aAssoziativgesetz

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · cDistributivgesetz

a · (b + c) = a · b + a · c(a + b) · c = a · c + b · c

Neutrales Element

a + 0 = 0 + a = a

1 · a = a · 1 = a




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Grundregeln der KlammerrechnungWichtige Regeln der Klammerrechnung

+ (a + b) = a + b

− (a + b) = −a− b

− (a− b) = −a + b

Vorzeichenregeln

+ (a + b) = a + b

− (a + b) = −a− b

Beispiele

(3 + 5− 2) + (5 + 8) =

(4 + 7)− (−6 + 3− 8) =

3a− (4b + 2c − 6d) + (3a− 5c)− (6a + 3b − d) =




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Grundregeln der KlammerrechnungMultiplikation und Division mit Klammern

a · (b + c) = ab + ac

(a− b) : c = a : c − b : c

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

(a− b)(c − d) = ac − ad − bc + bd

Es gilt also (a · b) · c 6= ac · bc und (a + b)2 6= a2 + b2.

Klammern auflosen

a (b + c(d + e)) = a (b + cd + ce) = ab + acd + ace

Beispiele

(x + 2)(x − 5)− (x − 3)(x − 7) =

5(x − 2(x − y − 3y − 6x − 3y) + 2y) =




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Binomische Formeln

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)(a− b) = a2 − b2

Bilder: Mikue – Lizenz: Creative Commons by-sa 3.0 de




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Binomischer LehrsatzFakultaten

0! = 1

k! = 1 · . . . · k fur jede positive ganze Zahl k

Binomialkoeffizienten (n

k

)=

n!

k!(n − k)!

Binomischer Lehrsatz

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

Beispiele

(2x − 5y)2 =

(3x + 4y)(3x − 4y) =




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Bruchrechnung

Definition

m

n= m : n, n 6= 0

mn – Bruch (Quotient), m – Zahler (Dividend), n – Nenner (Divisor)

Begriffe

Echte Bruche: m < n Unechte Bruche: m > n

Stammbruche: m = 1 Gemischte Bruche ��

Kehrwert

1mn

=n

m




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BruchrechnungErweitern und Kurzen

a

b=

a · cb · c

=ac

bc, b, c 6= 0

a

b=

a : c

b : c, b, c 6= 0

Hinweis

Vorzeichen von Zahler und Nenner stets beachten!

Niemals aus Summen kurzen!

Beispiele

a · b + c

a,

a

a · b + c; Kurzen nicht moglich!

Abera · b + a · c

a · d=

a · (b + c)

a · d=

b + c

d




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Addition und SubtraktionGleichnamige Bruche

a

c± b

c=

a± b

c, c 6= 0

Ungleichnamige Bruche

a

c± b

d=

i · a± j · bk

, c , d 6= 0

k ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), schlimmstenfallsk = c · d , i = d , j = c . GgT und kgV kann man uber diePrimfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen, z.B.:

3528 = 23 · 32 · 72

3780 = 22 · 33 · 51 · 71 ; ggT(3528, 3780) = 22 · 32 · 71 = 252




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Multiplikation und Division

Fur b, c , d 6= 0

a

b· cd

=a · cb · d

=ac

bd

a · bc

=a · bc

=ab

c

a

b:c

d=

a

b· dc

=a · db · c

=ad

bc

a :b

c= a · d

c=

a · cb

=ac

b

a

b: c =

a

b· 1

c=

a

b · c=

a

bc

Beispiele

a2 − 1

2b· 12b

ac − c=

22ax2y2

27brs2:

66x2y

18r2s=




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Ungleichungen∗(a = b oder a < b oder a > b)

Eigenschaften

a ≤ a (Reflexivitat)

a ≤ b und b ≤ c =⇒ a ≤ c (Transitivitat)

a ≤ b und b ≤ a =⇒ a = b (Antisymmetrie)

Rechenregeln

a < b ⇐⇒ b > a

a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c

a ≤ b und c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d

a ≤ b, c ≥ 0 =⇒ ac ≤ bc

a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc (a < b =⇒ −a > −b)

a ≤ b =⇒ 1a ≥

1b




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Losungen der Beispielaufgaben

Seite 10 ab2 − 24 338

Seite 12 19 22 −7b − 7c − 7d

Seite 13 7x − 31 55x + 80y

Seite 15 4x2 − 20xy + 25y2 9x2 − 16y2

Seite 19 6(a+1)c

2ary9bs




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Kontakt

bime | Universitat BremenFachbereich 4 – ProduktionstechnikFachgebiet 15 – Technische Mechanik/

StrukturmechanikAm Biologischen Garten 228359 Bremen

Dr. rer. nat. Soren Boettcher

Telefon 0421 218–64686E-Mail [email protected] http://www.bime.de




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