Aufgaben zur e-Funktion 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion (Abitur 2000 AII). 1.1 Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion f und bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. 1.2 Zeigen Sie, dass gilt und bestimmen Sie damit die Gleichung der

Asymptote des Graphen der Funktion f. 1.3 Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f. (Mögliches Teilergebnis: ) 1.4 Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten des Graphen der Funktion f und geben Sie die Koordinaten seiner Wendepunkte an. 1.5 Zeigen Sie, dass die Ableitungsfunktion f´ im Intervall [0;1] genau eine Nullstelle besitzt. 1.6 Die Ableitungsfunktion f´ besitzt genau zwei Nullstellen (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Information und unter Verwendung bereits vorliegender Ergebnisse die relativen Extrema der Funktion f. Geben Sie die Koordinaten der dazugehörigen Punkte auf zwei Nachkommastellen gerundet an. 1.7 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mit Hilfe aller bisherigen Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem im Bereich -2 ≤ x ≤ 2. Berechnen Sie für die Zeichnung zusätzlich den Funktionswert f(2), und tragen Sie auch die Asymptote des Graphen der Funktion f ein. Verwenden Sie für die Zeichnung eine eigene Seite mit dem Koordinatenursprung in der Seitenmitte und dem Maßstab 1 LE = 2cm. 1.8 Der Graph der Funktion f, seine Asymptote und die Gerade mit der Gleichung x = 1 begrenzen ein endliches Flächenstück. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung von Teilaufgabe 1.7 und berechnen Sie seine Flächenmaßzahl. Hinweis: Verwenden Sie zur Integration die erste Ableitungsfunktion der Funktion . 2.0 Gegeben ist die reelle Funktion (Abitur 2001 AII). 2.1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für und für und geben Sie Lage und Art der Nullstelle der Funktion f an. 2.2 Bestimmen Sie für die Funktion f die maximalen Monotonieintervalle und geben Sie die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen der Funktion f an. 2.3 Skizzieren Sie unter Berücksichtigung nur der bisher vorliegenden Ergebnisse den prinzipiellen Verlauf des Graphen von f. Geben Sie sodann die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x) = a in Abhängigkeit von an.

f(x) = 2x − 2x ⋅e1−x2

mit x ∈R

limx→+∞

(2x ⋅e1−x2

) = 0

f′′(x) = 4x ⋅(3− 2x2 ) ⋅e1−x2

g(x) = e1−x2

x ∈R

f(x) = x3 ⋅e−x mit Df = R

x→ +∞ x→−∞

a ∈R

3.0 Gegeben ist die reelle Funktion mit der Definitionsmenge Dg = R (Abitur 2004 AI). 3.1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte g(x) für , berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion g mit den Koordinatenachsen und bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion g. 3.2 Die folgende Abbildung zeigt den Querschnitt einer Staumauer. Das grau dargestellte Flächenstück ist achsensymmetrisch zur y-Achse und wird unter anderem vom Graphen der Funktion g und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzt. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. Runden Sie ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

4.0 Gegeben ist die reelle Funktion in der Definitionsmenge Df = R (Abitur 2005 AI). 4.1 Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für . 4.2 Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f keine relativen Extremalpunkte, jedoch einen Terrassenpunkt und einen weiteren Wendepunkt aufweist. Bestimmen Sie auch die Koordinaten dieser Punkte. (mögliches Teilergebnis: ) 4.3 Zeichnen Sie unter Verwendung schon bekannter Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graph der Funktion f für -0,5 ≤ x ≤ 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm

g(x) = e4−x −1

x →∞

f(x) = (x2 +1) ⋅e−x+1

x→ +∞ und für x→ -∞

f′(x) = (−x2 + 2x −1) ⋅e−x+1

5.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit . Gf sei der Graph der Funktion f. 5.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten und Art der Extrempunkte von Gf. 5.2 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von Gf. 5.3 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für . 5.4 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen Gf der Funktion f im Bereich -9 ≤ x ≤ 2 in ein kartesisches Koordinatensystem ein. 6.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit . Gf sei der Graph der Funktion f. 6.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten und Art der Extrempunkte von Gf. 6.2 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von Gf. 6.3 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für . 6.4 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen Gf der Funktion f in ein kartesisches Koordinatensystem ein. 7.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit . Gf sei der Graph der Funktion f. 7.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von f sowie die Koordinaten und Art der Extrempunkte von Gf. 7.2 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von Gf. 7.3 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) für . 7.4 Zeichnen Sie mithilfe der bisherigen Ergebnisse den Graphen Gf der Funktion f in ein kartesisches Koordinatensystem ein.

f(x) = (x2 − 2,25)e0,5x mit Df = !

x→ ±∞

f(x) = 6x2e−2x+1 mit Df = !

x→ ±∞

f(x) = −e2x + 4ex mit Df = !

x→ ±∞

8 Ordnen Sie der Funktionsgleichung den richtigen Graphen zu und begründen Sie Ihre Auswahl (ohne Hilfsmittel).

a) f(x) = 3ex b) f(x) = −ex2

+ 4 c) f(x) = 2xe−x

d) f(x) = (x + 2)2 e−x e) f(x) = e−0,5x f) 3e−0,25x2

Lösungen 1.1

1.2

1.3

1.4

Symmetrieverhalten:

f(-x)=2(-x)-2(-x) ⋅e1-(-x)2

= −2x + 2x ⋅e1−x2

= −f(x)⇒ der Graph von f ist punktsymmetrisch zum UrsprungNullstellen: f(x)=0

⇒ 2x − 2x ⋅e1−x2

= 2x(1− e1−x2

) = 0 ⇒ x1 = 0

1− e1−x2

= 0 ⇒ e1−x2

= 1 ⇒1− x2 = 0 ⇒ x2 = −1 x3 = 1

limx→+∞

(2x ⋅e1−x2

) = limx→+∞

2xex2−1

=L `Hospital

limx→+∞

2ex2−1 ⋅2x

= 0

Die Gerade y=2x ist eine schiefe Asymptote des Graphen von f, da

limx→+∞

(2x − f(x)) = limx→+∞

(2x ⋅e1−x2

) = 0

f′(x) = 2 − (2 ⋅e1−x2

+ 2x ⋅e1−x2

⋅(−2x)) = 2 − 2 ⋅e1−x2

+ 4x2 ⋅e1−x2

f′′(x) = −2 ⋅e1−x2

⋅(−2x)+ (8x ⋅e1−x2

+ 4x2 ⋅e1−x2

⋅(−2x)) = 4x ⋅e1−x2

(1+ 2 − 2x2 ) =

4x ⋅e1−x2

(3− 2x2 )

f′′(x) = 0 ⇒ x1 = 0 3− 2x2 = 0 ⇒ x2 = − 32 x3 =

32

Vorzeichenuntersuchung von f′′(x): e1-x2

ist immer positivVorzeichenverteilung von 4x ⋅(3-2x2 ) :

⇒ Der Graph von f ist linksgekrümmt in -∞;- 32

⎤

⎦⎥

⎤

⎦⎥ sowie in 0; 3

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⇒ Der Graph von f ist rechtsgekrümmt in - 32 ;0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ sowie in 3

2 ;∞⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

⇒ x1 = 0, x2 = - 32 und x3 =

32 sind Wendestellen

y-Koordinaten: f(0)=0 WP1(0/0); f(- 32 ) ≈ −0,96 WP2 (−1,22;−0,96)

WP3(1,22 / 0,96) wegen Punktsymmetrie zum Ursprung

1.5

1.7

1.8

1.9

f′(0) = 2 − 2e < 0 f′(1) = 2 − 2 + 4 > 0da f′(x) stetig ist, hat f′(x) nach Zwischenwertsatzim Intervall [0;1] mindestens eine Nullstelle;f ist im Intervall [0;1] linksgekrümmt (siehe Teilaufgabe d))⇒ f′ ist im Intervall [0;1] streng monoton zunehmend⇒ f′ besitzt im Intervall [0;1] genau eine Nullstelle

Nach Aufgabe f) gilt f′(0,51)=0 und nach Teilaufgabe d) gilt f′′(0,51)>0⇒ x ≈ 0,51 ist Tiefpunkt f(0,51) ≈ -1,12 ⇒ TP(0,51/-1,12)⇒ HP(-0,51/1,12) wegen Punktsymmetrie zum Ursprung

f(2) ≈ 3,80

g′(x) = e1−x2

⋅(−2x) ⇒ e1−x2

ist Stammfunktion von -2x ⋅e1−x2

⇒ A = (2x − f(x))dx =0

1

∫ (2x ⋅e1−x2

)dx =0

1

∫ −e1−x2⎡⎣ ⎤⎦0

1= −e0 − (−e1) = e1 −1≈1,72

2.1

2.2

2.3

limx→+∞

(x3 ⋅e−x ) = limx→+∞

x3

ex =L `Hospital

limx→+∞

3x2

ex =L `Hospital

limx→+∞

6xex =

L `Hospital

limx→+∞

6ex = 0

limx→−∞

(x3 ⋅e−x ) existiert nicht ⇒ f(x)→ -∞ für x→ -∞

Nullstelle: f(x)=0 ⇒ x3 = 0 ⇒ x = 0 (dreifache Nullstelle)

f′(x) = 3x2 ⋅e−x + x3 ⋅e−x ⋅(−1) = x2 ⋅e−x (3− x)f′(x) = 0 ⇒ x2 ⋅e−x (3− x) = 0 ⇒ x1 = 0 x2 = 3Vorzeichenuntersuchung von f′(x): e-x ist immer positivVorzeichenverteilung von x2 ⋅(3− x) :

⇒ f ist streng monoton wachsend in -∞;3] ] und f ist streng monoton fallend in 3;∞[ [⇒ x = 3 ist HP f(3)=27 ⋅e-3 ≈1,344 ⇒ HP(3;1,344)

a ≤ 0 : genau eine Lösung

0<a< 27e3 : zwei Lösungen

a= 27e3 : genau eine Lösung

a> 27e3 :keine Lösung

3.1

3.2

4.1

limx→+∞

(e4−x −1) = −1

limx→−∞

(e4−x −1) existiert nicht ⇒ g(x)→ +∞ für x→ -∞

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:x-Achse: e4−x −1= 0 ⇒ e4−x = 1 ⇒ 4 − x = 0 ⇒ x = 4 ⇒ Sx (4 / 0)y-Achse: y=e4−0 −1= e4 −1 ⇒ Sy (0 / e4 −1)Monotonieverhalten: g′(x)=0g′(x)=e4−x ⋅(−1) ⇒ g′(x) ist für alle x ∈R negativ⇒ g ist streng monoton abnehmend in ganz R

Schnittstelle berechnen: g(x)=10⇒ e4−x −1= 10 ⇒ e4−x = 11 ⇒ 4 − x = ln11 ⇒ x = 4 − ln11Die Fläche im 1. Quadranten setzt sich zusammen aus einem Rechteck mit der

Maßzahl 10 ⋅(4-ln11) und einem Flächenstück mit der Maßzahl g(x)dx.4-ln11

4

∫

g(x)dx4-ln11

4

∫ = (e4−x −1)dx = −e4−x − x⎡⎣ ⎤⎦4−ln11

4= (−e0 − 4)− (−eln11 − 4 + ln11) =

4-ln11

4

∫−5 +11+ 4 − ln11= 10 − ln11⇒ A = 2 ⋅10 ⋅(4-ln11)+2 ⋅(10 − ln11) = 100 − 22ln11≈ 47,25

limx→+∞

[(x2 +1) ⋅e−x+1] = limx→+∞

x2 +1ex−1 =

L `Hospitallimx→+∞

2xex−1 = lim

x→+∞

2ex−1 = 0

limx→−∞

[(x2 +1) ⋅e−x+1] existiert nicht ⇒ f(x)→ +∞ für x→ -∞

4.2

f′(x) = 2x ⋅e−x+1 + (x2 +1) ⋅e−x+1 ⋅(−1) = e−x+1(2x − x2 −1) =e−x+1 ⋅(−1) ⋅(x2 − 2x +1) = e−x+1 ⋅(−1) ⋅(x −1)2

f′(x) = 0 ⇒ e−x+1 ⋅(−1) ⋅(x −1)2 = 0 ⇒ (x −1)2 = 0 ⇒ x = 1Vorzeichenuntersuchung von f′(x): e−x+1 ⋅(−1) ist für alle x ∈R negativSkizze von (x −1)2 :

⇒ f ist streng monoton fallend in ganz R und besitzt deshalb keinen relativen Extrempunkt⇒ x=1 ist doppelte Nullstelle von f′(x), d.h. einfache Nullstelle von f′′(x) ⇒Vorzeichenwechsel von f′′(x) bei x=1 ⇒ TEP bei x=1Wendepunkte: f′′(x)=0f′′(x)=(-2x+2) ⋅e-x+1 + (−x2 + 2x −1) ⋅e-x+1 ⋅(−1) = e-x+1(−2x + 2 + x2 − 2x +1) =e-x+1(x2 − 4x + 3) ⇒ x2 − 4x + 3 = 0 ⇒ (x −1)(x − 3) = 0 ⇒ x1 = 1 x2 = 3Vorzeichenuntersuchung von f′′(x): e-x+1 ist immer positivSkizze von x2 − 4x + 3 :

⇒ bei x=1 und x=3 wechselt jeweils das Vorzeichen von f′′(x)⇒ Wendepunkte bei x=1 und x=3 (x=1 ist sogar Terrassenpunkt)f(1)=2 ⇒ TEP(1/2) f(3)=10e-2 ⇒ WP(3 /10e-2 )

4.3 x -0,5 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 5,60 2,72 2 1,84 1,35 0,85 0,48 0,25

5.1

5.2

Nullstellen : f(x) = 0 ⇒ x2 − 2,25 = 0 (e0,5x immer positiv)⇒ x1 = −1,5 x2 = 1,5

Extrema :f´(x) = 2xe0,5x + (x2 − 2,25)e0,5x ⋅0,5 = e0,5x (0,5x2 + 2x −1,125)f´(x) = 0 ⇒ 0,5x2 + 2x −1,125 = 0 ⇒ x1 = −4,5 x2 = 0,5Skizze von f´: e0,5x immer positivSkizze von 0,5x2 + 2x −1,125 :

⇒ x1 = −4,5 HOP HOP(−4,5 /1,90) x2 = 0,5 TIP TIP(0,5 / −2,57)

f´´(x) = e0,5x ⋅0,5 ⋅(x2 + 2x −1,125)+ e0,5x (2x + 2) = e0,5x (0,5x2 + 2x +1,4375)f´´(x) = 0 ⇒ 0,5x2 + 2x +1,4375 = 0 (da e0,5x immer positiv)⇒ x1 = −7,20 x2 = −0,80Skizze von f´´: e0,5x immer positivSkizze von 0,5x2 + 2x +1,4375 :

⇒ x1 = −7,20 WP WP(−7,20 /1,35) x2 = −0,80 WP WP(−0,80 / −1,08)

5.3

5.4

6.1

x→−∞ : (x2 − 2,25)e0,5x → 0 (weil e − Funktion überwiegt)x→∞ : (x2 − 2,25)e0,5x →∞

Nullstellen : f(x) = 0 ⇒ x2 = 0 (e−2x+1 immer positiv)⇒ x = 0

Extrema :f´(x) = 12xe−2x+1 + 6x2e−2x+1 ⋅(−2) = 12xe−2x+1(1− x)f´(x) = 0 ⇒ 6x(1− x) = 0 ⇒ x1 = 0 x2 = 1Skizze von f´: e−2x+1 immer positivSkizze von 0,5x2 + 2x −1,125 :

⇒ x1 = 0 TIP TIP(0 / 0,52) x2 = 1 HOP HOP(1/ 2,21)

6.2

6.3

6.4

f´(x) = 12e−2x+1 ⋅(x − x2 )f´´(x) = 12e−2x+1 ⋅(−2)(x − x2 )+12e−2x+1 ⋅(1− 2x) == 12e−2x+1(2x2 − 4x +1)f´´(x) = 0 ⇒ 2x2 − 4x +1= 0 (da 12e−2x+1 immer positiv)⇒ x1 = 1,71 x2 = 0,29Skizze von f´´: 12e−2x+1 immer positivSkizze von 2x2 − 4x +1:

⇒ x1 = 1,71 WP WP(1,71 /1,56) x2 = 0,29 WP WP(0,29 / 0,77)

x→−∞ : 6x2e−2x+1 →∞

x→∞ : 6x2e−2x+1 → 0 (weil e − Funktion überwiegt)

7.1

7.2

7.3

7.4

8

Nullstellen : f(x) = ex (−ex + 4) f(x) = 0 ⇒−ex + 4 = 0 (ex immer positiv)⇒ ex = 4 ⇒ x = ln(4)

Extrema :f´(x) = ex (−ex + 4)+ ex ⋅(−ex ) = ex (−2ex + 4)f´(x) = 0 ⇒−2ex + 4 = 0 ⇒ ex = 2 ⇒ x = ln(2)Skizze von f´: ex immer positivSkizze von − 2ex + 4 :

⇒ x = ln(2) HOP HOP(0,69 / 4)

f´´(x) = ex (−2ex + 4)+ ex ⋅(−2ex ) = ex (−4ex + 4)f´´(x) = 0 ⇒−4ex + 4 = 0 (da ex immer positiv)⇒ ex = 1 ⇒ x = 0Skizze von f´´: ex immer positivSkizze von − 4ex + 4 :

⇒x = 0 WP WP(0 / 3)

x→−∞ : − e2x + 4ex = ex (−ex + 4)→ 0x→∞ : ex (−ex + 4)→−∞

a) 1 b) 6 c) 3 d) 5 e) 4 f) 2