Aufgaben zur Flächenberechnung

1. Gegeben ist die Funktion f: .

Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche, die begrenzt ist durch den Graphen von f, die x- Achse und die vertikalen Geraden x = -1 und x = 3.

2. Gegeben ist die Funktion f: .

Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die begrenzt ist durch die x-Achse, die y-Achse und die Gerade x = 4 .

3. Gegeben ist die Funktion f: .

Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche A, die im Intervall [-3;2] zwischen den Graphen der

Funktion f und der Funktion g: liegt.

4. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f und g im Intervall I.

a) und I = [-2;3]

b) und I = [-1;3]

5. Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen den Graphen von f(x) = sin x und g(x) = cos x im Intervall I = [0;π].

6. Gegeben ist die Funktion .

Bestimmen Sie den Wert von a so, dass die Maßzahl der Fläche, die von Gf und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, 9 FE beträgt. 7. Gegeben sind die Funktionen . Ermitteln Sie den Wert von a so, dass die beiden Graphen eine Fläche mit dem Maß 16 FE einschließen.

f(x) = 14 x3 − x

f(x) = 13x3 − x2 − x + 3

f(x) = 12 x3 + 12 x

2 − 2x

g(x) = 12 x2

f(x) = 2 − 12 x2 g(x) = 8 − 2x2

f(x) = 12 x2(x2 −1) g(x) = x3 − x

fa (x) = 12 x − a mit a ∈R

f(x) = x3 − ax und g(x) = −f(x) mit a ∈R+

8 Ordnen Sie begründet den drei Funktionen f (Graphen der mittleren Reihe) jeweils eine Stammfunktion F (Graphen der oberen Reihe) sowie die ersten Ableitung f´ (Graphen der unteren Reihe) zu.

9 Übertragen Sie den Graphen von f in Ihr Heft. Skizzieren Sie in das gleiche Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion f´ und der Stammfunktion F. Es gilt: .

P(0 / 0)∈GF

10.0 Betrachten Sie den untenstehenden Graphen GF einer Stammfunktion F von f. Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.

10.1 f(-3) < 0. 10.2 f hat genau drei Nullstellen. 10.3 f hat genau zwei Extremstellen. 10.4 Gf liegt in allen vier Quadranten. 11 Einem Bauunternehmen wird das abgebildete Bauland zu einem Preis von 195000 € angeboten. Der durchschnittliche Quadratmeterpreis liegt derzeit bei 50 €.

Ermitteln Sie, ob dem Bauunternehmer ein faires Angebot unterbreitet wurde, wenn die Grenzlinie zwischen der Grundstücksfläche und der Wasseroberfläche entlang der Randfunktion f mit verläuft.

f(x) = 0,01x2 −1,2x + 86

12 Das abgebildete Logo soll auf 10000 Turnschuhe gedruckt werden. Die Dichte der

aufgetragenen Farbe ist und die Dicke der Farbschicht beträgt 0,5 mm.

Ein Liter Farbe kostet 53,99 €. Madita soll die Kosten für die benötigte Farbe bestimmen und modelliert das Logo mithilfe quadratischer Funktionen. Helfen Sie Madita bei der Rechnung, indem Sie der Abbildung geeignete Werte entnehmen.

ρ = 0,75 gcm3

Lösungen 1.

2.

Berechnung der Nullstellen ergibt: x = 3 und ;

Stammfunktion

F(x) = 116 x

4 − 12 x2

A = f(x)dx−1

0

∫ + f(x)dx0

2

∫ + f(x)dx2

3

∫

= 716 +1+

2516 = 3

x = ± 3

F(x) = 112 x

4 − 13x3 − 12 x

2 + 3x

A = f(x)dx0

3

∫ + f(x)dx3

3

∫ + f(x)dx3

4

∫ =

= (2 3 − 34 )+ (2 3 − 3)+ (1,75) ≈ 4,95

3.

4a)

4b)

5.

Schnittstellen berechnen:

6.

Erläuterung, warum der Wert des bestimmten Integrals für alle a negativ ist:

sinx = cosx ⇒ x = π4 + kπ k ∈Z

Im Intervall [0;π ] liegt nur x=π4

A = (g(x)− f(x))dx +0

π4

∫ (f(x)− g(x))dx =π4

π

∫ (cosx − sinx)dx +0

π4

∫ (sinx − cosx)dx =π4

π

∫

sinx + cosx[ ]0π4 + −cosx − sinx[ ]π

4

π =

[(sinπ4 + cosπ4 )− (sin0 + cos0)]+ [(−cosπ − sinπ )− (−cosπ4 − sinπ4 )] =

[( 22 + 2

2 )− (0 +1)]+ [(−(−1)− 0)− (−22 − 2

2 )] = [ 2 −1]+ [1+ 2] = 2 2

Bestimmung der Nullstelle von f:12 x − a = 0 ⇒ x = 2a

⇒ (12 x − a)dx = [ 1

4 x2 − ax]02a = (

0

2a

∫14 ⋅(2a)2 − a ⋅2a)− 0 = a2 − 2a2 = −a2

⇒ A = a2 ⇒ a2 = 9 ⇒ a1 = −3 a2 = 3

7.

8.

9a)

9b)

Schnittstellen bestimmen: f(x)=g(x)x3 − ax = −x3 + ax ⇒ 2x3 − 2ax = 0 ⇒ 2x(x2 − a) = 0

⇒ x1 = 0 x2 = − a x3 = a

⇒ (2x3 − 2ax)dx = [12 x4 − ax2 ]− a

0 = 0 − (12 a2 − a2 ) =

− a

0

∫12 a2

⇒ (2x3 − 2ax)dx = [12 x4 − ax2 ]0

a = (12 a2 − a2 )− 0 = −

0

a

∫12 a2

⇒ A = 12 a2 + 1

2 a2 = a2

⇒ a2 = 16 (a1 = −4) (da a ∈R+ ) a2 = 4

f : a F : 3 f´: 4f : b F :1 f´: 6f : c F : 2 f´: 5

9c)

10.1 Wahr, da F an der Stelle -3 monoton fallend ist. 10.2 Wahr, da F drei Stellen mit waagrechter Tangente haben. 10.3 Falsch, da F drei Wendestellen und damit f drei Extrempunkte hat. 10.4 Wahr, da F im Intervall [-4,1;1,3] monoton fallend und außerhalb monoton steigend ist.

11.

12.

A1 = 30 ⋅20 = 600 = A2

A3 =12 ⋅30 ⋅30 = 450

A4 + A5 = (0,01x2 −1,2x + 86)dx60

100

∫ = 1300 x3 − 0,6x2 + 86x⎡

⎣⎢⎤⎦⎥60

100

≈ 2213,33

⇒ Agesamt = 600 + 600 + 450 + 2213,33 = 3863,33 m2

Kosten : 3863,33⋅50 = 193166,65Das Kaufangebot ist fair.

p1(x) = −0,1(x −1)2 + 2,6 = −0,1x2 + 0,2x + 2,5p2(x) = −0,1x2 + 2,5−0,1x2 + 0,2x + 2,5 = 0 ⇒ x1 = 6,1 x2 = −4,1−0,1x2 + 2,5 = 0 ⇒ x1 = −5 x2 = 5

A = (−0,1x2 + 0,2x + 2,5)dx − (−0,1x2 + 2,5)dx =0

5

∫0

6,1

∫

= − 130 x3 + 0,1x2 + 2,5x⎡

⎣⎢⎤⎦⎥0

6,1

− − 130 x3 + 2,5x⎡

⎣⎢⎤⎦⎥0

5

= 11,405 − 8,333 = 3,072

Kosten : 10000 ⋅3,072 ⋅0,05 ⋅0,05399 = 82,93€