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Mathematik macht Freu(n)de AS – Lineare Funktionen

AUFGABENSAMMLUNG – LINEARE FUNKTIONEN

Inhaltsverzeichnis

1. Funktionsgleichung und Funktionsgraph 12. Lagebeziehungen 73. Lineare Modelle – Anwendungsbeispiele 84. SRDP-Aufgaben 15

1. Funktionsgleichung und Funktionsgraph

1.1. Berechne jeweils die Nullstelle und den Fixwert der gegebenen linearen Funktionen.Erstelle jeweils eine Gleichung der zugehörigen Umkehrfunktion.

a) f(x) = 2 · x− 3

b) f(x) = −3 · x+ 6

c) f(x) = 14 · x+ 3

d) f(x) = −32 · x+ 9

1.2. Erstelle jeweils eine Gleichung derjenigen linearen Funktion, die durch den Koordinatenursprungund den gegebenen Punkt verläuft.

a) P = (4 | 6)

b) Q = (12 | 3)

c) R = (−1 | −7)

d) S = (2,5 | −7,5)

1.3. Erstelle jeweils eine Gleichung derjenigen linearen Funktion, die mit der gegebenen Steigungdurch den gegebenen Punkt verläuft.

a) P = (4 | 6), k = 1

b) Q = (3 | 1), k = 2

c) R = (4 | −2), k = −3

d) S = (−3 | −5), k = 53

1.4. Erstelle jeweils eine Gleichung derjenigen linearen Funktion, die durch die gegebenen Punkteverläuft.

a) A = (1 | 1), B = (3 | 5)

b) A = (−2 | 4), B = (2 | 2)

c) A = (−3 | 2), B = (6 | 8)

d) A = (−1 | −1,5), B = (3 | −7,5)

Datum: 7. Oktober 2019.

1


1.5. Erstelle jeweils eine Gleichung derjenigen linearen Funktion, die durch den gegebenen Punkt Rverläuft und parallel zur Geraden g durch die Punkte A und B ist.

a) A = (2 | −4), B = (2 | 0), R = (1 | 1)

b) A = (2 | 1), B = (4 | 6), R = (3 | −1)

c) A = (4 | 6), B = (8 | 0), R = (5 | 7)

d) A = (−1 | 3), B = (2 | −3), R = (0 | −1)

1.6. Berechne jeweils die Nullstelle der gegeben linearen Funktion und gib diese in der Formf(x) = k · (x− xN) an.

a) f(x) = 2 · x− 6

b) f(x) = −3 · x− 6

c) f(x) = 12 · x− 1

d) f(x) = −32 · x+ 2

3

1.7. Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktion, die normal auf die Gerade durch die Punk-te A und B steht und durch den Punkt C verläuft.

a) A = (−1 | 2), B = (3 | 6), C = (3 | 1)

b) A = (1 | 1), B = (−1 | 5), C = (3 | 3)

c) A = (−2 | 5), B = (2 | −1), C = (−1 | 2)

d) A = (3 | 7), B = (−2 | −2), C = (0 | 2)

2


1.8. Stelle in den gegebenen Koordinatensystemen jeweils die Graphen der gegebenen Funktionenund ihrer Umkehrfunktion dar.

a) f(x) = x− 5

b) f(x) = 13 · x− 2

c) f(x) = −0,5 · x− 3

d) f(x) = 7− x

3


1.9. Entscheide bei den folgenden Aussagen jeweils, ob es sich um eine zutreffende oder eine nichtzutreffende Aussage handelt.

Aussage zutreffend nicht zutreffendEs gibt lineare Funktionen, die mehrere Nullstellen besitzen. 2 2

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. 2 2

Jede Gerade in der Ebene lässt sich durch eine lineare Funktionbeschreiben.

2 2

Lineare Funktionen besitzen immer mindestens eine Nullstelle. 2 2

Für lineare Funktionen gilt stets: f(2 · x) = 2 · f(x) 2 2

Lineare Funktionen f mit f(x) = k · x + d und k > 0 sindstreng monoton steigend.

2 2

Lineare Funktionen f mit f(x) = k · x + d und d < 0 sindstreng monoton fallend.

2 2

Lineare Funktionen sind immer umkehrbar. 2 2

1.10. Überprüfe jeweils rechnerisch, ob die gegebenen 3 Punkte auf einer Geraden liegen.

a) P = (0,5 | −3), Q = (3 | 2), R = (0,25 | −3,5)b) P = (2,3 | 5), Q = (−1 | 3), R = (−2,4 | 4)c) P = (−1 | −0,5), Q = (1 | 1), R = (3 | 3,5)d) P = (5 | 3), Q = (−1 | −1), R =

(4 | 7

3

)

1.11. Verwende jeweils eine Skizze, um die folgenden Aufgaben zu bearbeiten.

a) f mit f(x) = k · x+ d hat keine Nullstelle.

Kreuze jeweils an, ob es sich um eine zutref-fende oder nicht zutreffende Aussage handelt.

Aussage zutreffend nicht zutreffendk = 0 und d = 0 2 2

k = 0 und d 6= 0 2 2

k 6= 0 und d = 0 2 2

k 6= 0 und d 6= 0 2 2

b) Für f mit f(x) = k · x+ d gilt: f(3) = f(8).

Kreuze jeweils an, ob es sich um eine zutref-fende oder nicht zutreffende Aussage handelt.

Aussage zutreffend nicht zutreffendk = 0 und d ∈ R 2 2

k < 0 und d ∈ R 2 2

k > 0 und d = 0 2 2

k = 3 und d = 8 2 2

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c) f mit f(x) = k · x+ d hat die Nullstelle N = (−5 | 0).

Kreuze jeweils an, ob es sich um eine möglicheoder unmögliche Bedingung handelt.

Bedingung möglich unmöglichk > 0 und d > 0 2 2

k > 0 und d < 0 2 2

k < 0 und d > 0 2 2

k < 3 und d < 0 2 2

d) f hat die Gleichung f(x) = 5 · x+ d.Kreuze jeweils an, ob es sich um eine zutreffende oder nicht zutreffende Aussage handelt.

Aussage zutreffend nicht zutreffendf besitzt für d > 0 eine Nullstelle mit positiver x-Koordinate. 2 2

f besitzt für d < 0 eine Nullstelle mit positiver x-Koordinate. 2 2

f besitzt für d > 0 eine Nullstelle mit negativer x-Koordinate. 2 2

f besitzt für d < 0 eine Nullstelle mit negativer x-Koordinate. 2 2

e) Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit f(x) = k · x+ d.Kreuze jeweils an, ob es sich um eine zutreffende oder nicht zutreffende Aussage handelt.

Aussage zutreffend nicht zutreffendk · d = 0 2 2

k · d > 0 2 2

k · d < 0 2 2

k = 0 und d = 0 2 2

1.12. Zeige, dass alle linearen Funktionen f mit f(x) = k ·x+d und k = d dieselbe Nullstelle haben.

1.13. Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = k · x+ d und k · d > 0.

a) Begründe, warum diese Funktion eine Nullstelle besitzt.b) Argumentiere, dass für diese Nullstelle gilt: N = (a | 0) mit a ∈ R−.

1.14. Wir verraten dir eine Information über eine lineare Funktion f mit f(x) = k · x+ d.Kannst du damit den Wert von k und/oder d sicher bestimmen?

a) Es gibt eine Zahl u mit f(−u) = −f(u).b) Es gibt zwei verschiedene Zahlen u und v mit f(u) = u und f(v) = v.c) Es gibt eine Zahl u und eine Zahl c 6= 1 mit f(c · u) = c · f(u).

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1.1a)N=(1,5|0),F=(3|3),f?(x)=0,5·x+1,5

b)N=(2|0),F=(1,5|1,5),f?(x)=−1

3·x+2c)N=(−12|0),F=(4|4),f

?(x)=4·x−12

d)N=(6|0),F=(3,6|3,6),f?(x)=−2

3·x+61.2a)f(x)=1,5·xb)f(x)=1

4·xc)f(x)=7·xd)f(x)=−3·x1.3a)f(x)=x+2b)f(x)=2·x−5c)f(x)=−3·x+10d)f(x)=5

3·x1.4a)f(x)=2·x−1b)f(x)=−0,5·x+3c)f(x)=2

3·x+4d)f(x)=−1,5·x−31.5a)f(x)=xb)f(x)=5

2·x−6c)f(x)=−0,5·x+0,5d)f(x)=−2·x−1

1.6a)xN=3;f(x)=2·(x−3)b)xN=−2;f(x)=−3·(x+2c)xN=2;f(x)=12·(x−2)

d)xN=49;f(x)=−3

2·(x−49

1.7a)f(x)=−x+4b)f(x)=12·x+2

3c)f(x)=23·x+8

3)d)f(x)=−x+21.8

a)

b)

c)

d)

1.9zutreffend,zutreffend,nichtzutreffend,nichtzutreffend,nichtzutreffend,zutreffend,nichtzutreffend,nichtzutreffend1.10a)Ja:f(x)=2·x−4b)Neinc)Neind)Ja:f(x)=2

3·x−13

1.11a)nichtzutreffend,zutreffend,nichtzutreffend,nichtzutreffendb)zutreffend,nichtzutreffend,nichtzutreffend,nichtzutreffendc)möglich,unmöglich,unmöglich,möglichd)nichtzutreffend,zutreffend,zutreffend,nichtzutreffende)nichtzutreffend,nichtzutreffend,zutreffend,nichtzutreffend

1.12f(x)=0=⇒k·x+k=0=⇒x=−1DieNullstelleeinerlinearenFunktionmitk=distalsoN1=(−1|0).

1.13a)Dak6=0ist,hatdieFunktioneineNullstelle:f(x)=0=⇒k·x+d=0=⇒x=−dk

b)k·d>0kannauf2verschiedeneArtenerfülltsein:k>0undd>0oderk<0undd<0.InbeidenFällengilt:x=−

dk∈R−.

1.14a)f(−u)=−f(u)=⇒k·(−u)+d=−(k·u+d)=⇒d=0.DerWertvonkistnichteindeutig,z.B.f(x)=xundf(x)=2·xsindbeidemöglich.

b)DerGraphverläuftdurchdiePunkte(u|u)und(v|v).DieSteigungderlinearenFunktionistalsok=v−uv−u=1.

Ausk·u+d=ufolgt:u+d=u=⇒d=0c)f(c·u)=c·f(u)=⇒k·c·u+d=c·(k·u+d)=⇒d=c·d=⇒d·(c−1)=0=⇒d=0

DerWertvonkistnichteindeutig,z.B.f(x)=xundf(x)=2·xsindbeidemöglich.6


2. Lagebeziehungen

2.1. Die Gleichungen zweier linearer Funktionen f und g sind gegeben.Begründe (ohne eine Berechnung der möglichen Schnittpunkte durchzuführen), welche der drei mög-lichen Lagebeziehungen – schneidend, parallel oder identisch – vorliegt.

a) f(x) = 3 · x+ 5, g(x) = 2 · x− 3

b) f(x) = −23 · x+ 1

4 , g(x) = −23 · x− 4

c) f(x) = 0,5 · x+ 14 , g(x) = 1

2 · x+ 0,25

d) f(x) = −15 · x+ 8, g(x) = −0,2 · x− 3

e) f(x) = 0,1 · x+ 1, g(x) = 110 · x+ 1

f) f(x) = 2 · x+ 5, g(x) = −2 · x+ 5

g) Vervollständige die nachstehende Abbildung für zwei allgemeine lineare Funktionen f mit f(x) =kf · x+ df und g mit g(x) = kg · x+ dg:

2.2. Berechne jeweils die Schnittpunkte der gegebenen linearen Funktionen.

a) f(x) = 12 · x−

32 , g(x) = −1

4 · x+ 1

b) f(x) = −34 · x+ 1,3, g(x) = −0,75 · x+ 13

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c) f(x) = 72 · x− 4, g(x) = −2 · x

d) f(x) = 3 · x, g(x) = 3 · x− 4

2.1a)Schneidend,weildieFunktionenunterschiedlicheSteigungenhaben.b)Parallel,weildieFunktionenbeigleichenSteigungenunterschiedlicheOrdinatenabschnittehaben.c)Identisch,weilsowohldieSteigungen,alsauchdieOrdinatenabschnittederFunktionengleichsind.d)Parallel,weildieFunktionenbeigleichenSteigungenunterschiedlicheOrdinatenabschnittehaben.e)Identisch,weilsowohldieSteigungen,alsauchdieOrdinatenabschnittederFunktionengleichsind.f)Schneidend,weildieFunktionenunterschiedlicheSteigungenhaben.(DerSchnittpunktlautetübrigens(0|5),weil

diebeidenFunktionendengleichenOrdinatenabschnitt5besitzen.)

g)

2.2a)S=(103|1

6)b)DadiebeidenFunktionenidentischsind,sindallePunkteamGraphenSchnittpunkte.

S={(x|y)∈R2|y=−0,75·x+1,3}c)S=(8

11|1611)

d)DadiebeidenFunktionenparallelsind,gibteskeineSchnittpunkte.

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3. Lineare Modelle – Anwendungsbeispiele

3.1. Beurteile jeweils, ob es sich um ein lineares Modell handelt. Ermittle im Falle eines linearenModells auch die zugehörige Steigung k und den Ordinatenabschnitt d.

a) Ein Wasserbehälter wird durch einen konstanten Zufluss gefüllt.Zu Beginn (t = 0) sind 20 m3 Wasser enthalten, und es fließen in 3 Stunden 12 m3 Wasser hinzu.V (t) beschreibt die im Behälter enthaltene Wassermenge in Kubikmeter zur Zeit t in Stunden.

V ist linear: 2 ja 2 nein k = d =

b) u(a) beschreibt den Umfang eines Quadrats mit der Seitenlänge a.

u ist linear: 2 ja 2 nein k = d =

c) Gemäß der Grundgleichung der klassischen Mechanik ist die auf einen Körper mit der Masse meinwirkende Kraft F direkt proportional zur Beschleunigung a des Körpers. F

a= m

F (a) beschreibt (bei konstanter Masse m) die Kraft in Abhängigkeit von der Beschleunigung.

F ist linear: 2 ja 2 nein k = d =

d) A(r) beschreibt den Flächeninhalt eines Kreises in Abhängigkeit von seinem Radius r.

A ist linear: 2 ja 2 nein k = d =

e) A(h) beschreibt den Flächeninhalt eines Trapezes mit den Parallelseiten a und c in Abhängigkeitvon der Höhe h.

A ist linear: 2 ja 2 nein k = d =

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3.2. Allerlei Mittel zum Abnehmen, sowie Diätbücher und Anleitungen, wie man am besten schlankbleibt finden heutzutage reißenden Absatz. Sind die behaupteten Effekte allerdings auch haltbar?

Überschüssige Energie wird im menschlichen Körper als Fett gespeichert, wobei 1 kg Fett rund9000 Kilokalorien (kcal) hat. Eine Frau mit einer Masse von 60 kg und vorwiegend sitzender Tä-tigkeit nimmt über die Nahrung täglich rund 2000 kcal zu sich.

a) Ermittle, wie viele Kilokalorien sie sich also theoretisch mit einer absoluten Nulldiät in einerWoche einsparen könnte.

Da der menschliche Körper mit einem ausgeklügelten Schutzsystem für Hungerperioden ausgestattetist und im Ernstfall bald auf Sparflamme schaltet, verbraucht die Frau in einer Woche nicht mehrals etwa 10 000 kcal. Der tägliche Energiebedarf des Körpers von 2000 kcal nimmt dabei im Laufe derWoche näherungsweise konstant ab, und beträgt dabei am letzten Tag der Nulldiät-Woche nur nochetwa 1000 kcal.

b) Stelle die Entwicklung des täglichen Energiebedarfs der Frau in dieser Woche im nachstehendenKoordinatensystem dar und gib auch die zugehörige Funktionsgleichung an.

c) Ermittle, welche Menge an Fett die Frau bei dieser einwöchigen Nulldiät also tatsächlich innerhalbdieser Woche verlieren kann.

d) Beschreibe, was passiert, wenn man nach einer solchen Radikaldiät wieder normal zu essen be-ginnt?

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3.3. In einem einfachen Modell geht man davon aus, dass eine Kerze gleichmäßig abbrennt.Ihre Höhe h(t) in cm hängt also linear von der Brenndauer t in Stunden ab.

a) Skizziere im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der zugehörigen Funktion h.

Nimm dabei an, dass die Kerze zum Zeitpunktt = 0 erstmalig angezündet wird, und im dar-gestellten Bereich (ohne Pause) vollständig ab-brennt.

b) Beschreibe die Bedeutung der Steigung, und die Bedeutung des Ordinatenabschnitts dieser Funk-tion im gegebenen Sachzusammenhang.

c) Interpretiere die folgenden mathematischen Darstellungen im gegebenen Sachzusammenhang.1) h(18) = 12,52) Zwischen t1 und t2 ist h konstant.3) h(9)− h(17) = 44) h(48) = 05) h(0) = 216) h(43) = 0 und h(t) > 0 für 0 ≤ t < 437) h(t2)− h(t1) = 0

3.4. Im Folgenden werden die Kerzenhöhen zweier Kerzen K1 und K2 in Abhängigkeit von der Zeitnach dem Entzünden durch ihre Abbrennfunktionen beschrieben.

K1: h(t) = 48− 3 · tK2: h(t) = 32− t

t . . . Zeit nach dem Entzünden in Stundenh(t) . . . Kerzenhöhe h zur Zeit t in cm

a) Gib an, welche der beiden Kerzen vor dem Entzünden höher war. Begründe deine Entscheidung.

b) Welche der beiden Kerzen brennt schneller ab? Begründe deine Entscheidung.

c) Die beiden Kerzen werden zum Zeitpunkt t = 0 erstmalig und gleichzeitig entzündet.Berechne wie lang es dauert, bis die beiden Kerzen gleich hoch sind.

d) Die beiden Kerzen werden zum Zeitpunkt t = 0 erstmalig und gleichzeitig entzündet.Berechne, wann der Längenunterschied der beiden Kerzen 9 cm beträgt.

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3.5. Interpretiere jeweils die Parameter k und d, sowie die Nullstelle der jeweiligen linearen Funktionim gegebenen Sachzusammenhang.

a) Ein Wasserbecken wird linear ausgepumpt, das heißt die im Becken befindliche Wassermengelässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben durch: V (t) = k · t+ d.

b) Ein Körper K bewegt sich linear auf einen Punkt P zu, das heißt seine Distanz zum Punkt Plässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben durch: D(t) = k · t+ d.

c) Ein Musikdownloadportal bietet den Tarif Linear an, das heißt die Kosten in Abhängigkeit vonder Anzahl x der gekauften Musiktitel lassen sich beschreiben durch: K(x) = k · x+ d.

3.6. Ein Körper K bewegt sich in der Umgebung eines Punktes P , wobei die Distanzfunktion D, dieden Abstand zwischen K und P zur Zeit t angibt, linear ist: D(t) = k · t+ d.

a) Interpretiere die in der folgenden Tabelle jeweils angegebene Eigenschaft der Funktion D im Hin-blick auf die Bewegung vonK. Alle Zeitangaben sind in Sekunden, alle Längenangaben in Metern.

Eigenschaft von D Interpretation

D ist homogen K befindet sich zur Zeit t = 0 im Punkt P .

D ist monoton fallend

D ist konstant

k = −2 und d = 5

D ist nicht homogen

D ist streng monotonsteigend

k = 3

D(0) = 4

D(t+ 1)−D(t) = 10

D hat eine Nullstelle beit = 44

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b) Interpretiere nun umgekehrt die jeweils über die Bewegung von K angegebene Information alsentsprechende Eigenschaft der Funktion D.

Eigenschaft von D Interpretation

k = 8 K entfernt sich von P mit 8 m/s.

K umkreist P im Abstand von 13 m.

K ist zum Zeitpunkt t = 11 genau 23 m von P entfernt.

K startet zur Zeit t = 0 im Punkt P mit der Geschwindigkeitv = 3 m/s.

K befindet sich zur Zeit t = 0 nicht im Punkt P .

K nähert sich dem Punkt P nicht an.

K bleibt stets in gleicher Distanz zu P .

K erreicht den Punkt P zur Zeit t = 12.

3.7. In der vergangenen Nacht hat es bis in die Morgenstunden immer wieder geregnet.Das nachstehende Diagramm zeigt die Höhe des Wasserstandes in einem zylinderförmigen Messgefäß(V = r2 · π · h) mit Radius r = 12 cm in Abhängigkeit von der Zeit nach Mitternacht.

a) In welchen Zeiträumen hat es geregnet? In welchenZeiträumen hat es nicht geregnet?

b) Wie viele Liter Wasser befanden sich um 3:00 Uhr imMessgerät?

c) Um wie viele Zentimeter ist der Wasserstand im Gefäßzwischen 02:30 Uhr und 07:00 Uhr gestiegen?

d) Wann waren zum ersten Mal mehr als 2 Liter im Mess-gefäß?

e) Erstelle eine Funktionsgleichung für den oben dargestellten Verlauf des Wasserstandes.

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3.5a)k...Auspumpgeschwindigkeit,d...AnfangsmengeimBecken,Nullstelle...Auspumpzeitb)k...AnnäherungsgeschwindigkeitdesKörpersK,d...AnfangsentfernungvonKzuP,Nullstelle...Zeit,dieK

benötigt,umPzuerreichenc)k...PreisproMusiktitel,d...Fixkosten,Nullstelle...nichtsinnvollinterpretierbar

3.6a)

EigenschaftvonDInterpretationDisthomogenKbefindetsichzurZeitt=0imPunktP.DistmonotonfallendKentferntsichnichtvonP.DistkonstantKbleibtstetsingleicherDistanzzuP.k=−2undd=5KistzurZeitt=0genau5mvonPentferntundnähertsichdem

PunktPmitderGeschwindigkeitv=2m/san.DistnichthomogenKbefindetsichzurZeitt=0nichtinP.DiststrengmonotonsteigendKentferntsichvonP.k=3KentferntsichvonPmitderGeschwindigkeitv=3m/s.D(0)=4ZurZeitt=0istKgenau4mvonPentfernt.D(t+1)−D(t)=10KentferntsichvonPmitderGeschwindigkeitv=10m/s.DhateineNullstellebeit=44KbefindetsichzurZeitt=44imPunktP.

b)

EigenschaftvonDInterpretationk=8KentferntsichvonPmit8m/s.D(t)=13Distkonstant;d=13

KumkreistPimAbstandvon13m.

D(11)=23KistzumZeitpunktt=11genau23mvonPentfernt.D(t)=3·tKstartetzurZeitt=0imPunktPmitderGeschwindigkeitv=3m/s.DistnichthomogenKbefindetsichzurZeitt=0nichtimPunktP.DistmonotonsteigendKnähertsichdemPunktPnichtan.DistkonstantKverharrtrelativzuPinRuhe.DhatdieNullstellebeit=12KerreichtdenPunktPzurZeitt=12.

3.7a)Geregnethatesvon02:00Uhrbis04:00Uhr(etwasstärker)undvon06:00Uhrbis07:00Uhr(etwasschwächer).IndenübrigenZeiträumenhatesnichtgeregnet.

b)V=r2·π·h=⇒V=1,22·π·0,3≈1,36dm3

Esbefandensichalsoetwa1,36LiterWasserimRegenmesser.c)DerWasserstandistum3cmgestiegen.d)2=1,22·π·h=⇒h=0,44dm

2LiterentsprechenalsoeinemWasserstandvonrund4,4cm,unddieserwurdekurzvor04:00Uhrerreicht.

e)h(t)=

1für0≤t≤2

2·t−3für2≤t≤4

5für4≤t≤6

t−1für6≤t≤7

6für7≤t≤10

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3.1a)linearmitk=4undd=20b)linearmitk=4undd=0c)linearmitk=mundd=0d)nichtlineare)linearmitk=

a+c2undd=0

3.2a)Theoretischkannsie14000kcaleinsparen.

b)f(t)=2000−142,8...·tmit0≤t≤7

c)Maximalmöglichistrund1kgFett.d)Beginntmanwiedernormalzuessen(2000kcalproTag)undliegtderEnergiebedarfnachderNulldiät-Woche

nurnochbei1000kcalproTag,sonimmtmannachderDiätsogarschnellerzu,alsmandavorabgenommenhat.

3.3a)

b)DieSteigungistdieAbnahmederKerzenhöheincmproStunde,derOrdinatenabschnittistdieanfänglicheKerzenhöheincm.

c)1)Nach18StundenBrennzeitistdieKerzenoch12,5cmgroß.2)ZwischendenZeitpunktent1undt2branntedieKerzenicht.3)DieKerzenhöhehatin8StundenBrenndauer(zwischendenZeitpunkten17und9)um4cmabgenommen.4)Nach48StundenistdieKerzevollständigabgebrannt.5)DieKerzeistzuBeginn21cmhoch.6)Nach43StundenistdieKerzeerstmaligabgebrannt.(FüralleZeitpunktedavorhatdieKerzenocheine

positiveHöhe.)7)EsbestehtzwischendenZeitpunktent1undt2keinUnterschiedinderKerzenhöhe.(DieKerzebranntealso

nicht.)3.4a)DieKerzeK1warzuBeginngrößer.Begründung:DieAnfangshöhelässtsichmith(0)berechnen,undbeträgt

somitfürK148cmundfürK2nur32cm.b)DieKerzeK1brenntschnellerab.Begründung:DieAbbrenngeschwindigkeitlässtsichanhandderSteigungder

Funktionbestimmen,undbeträgtsomitfürK13cm/hundfürK2nur1cm/h.c)48−3·t=32−t=⇒t=8undh(8)=24

Nach8StundensinddieKerzengleichhoch(24cm).d)(32−t)−(48−3·t)=9=⇒t=12,5

K1:h(12,5)=10,5undK2:h(12,5)=19,5DerGrößenunterschied9cmergibtsichbeieinerBrennzeitvon12,5Stunden.(48−3·t)−(32−t)=9=⇒t=3,5K1:h(3,5)=28,5undK2:h(3,5)=37,5DerGrößenunterschied9cmergibtsichauchbeieinerBrennzeitvon3,5Stunden.

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4. SRDP-Aufgaben

4.1. Ein Wasserauffanggefäß hat die Form zweier übereinandergestellter gleichhoher Zylinder. Es wird durch einen konstanten Zufluss von 1 Liter pro Sekunde befüllt.

Der nebenstehende Graph der Funk-tion h beschreibt die Füllhöhe des Ge-fäßes in Abhängigkeit von der Zeit.

Es stehen 2 Gefäße entsprechend der nebenste-henden Abbildung zur Auswahl (Gefäß B ent-spricht dem „umgedrehten“ Gefäß A).

a) Der oben stehende Graph gibt die Füllhöhe h eines der beiden Gefäße richtig wieder.– Begründen Sie, warum das Gefäß B zum angegebenen Graphen passt.

b) Das Gefäß A wird mit demselben konstanten Zufluss bis zu einer Höhe von 5 dm befüllt.Die Funktion h beschreibt die Füllhöhe des Gefäßes in Abhängigkeit von der Zeit.t . . . Zeit in Sekunden (s)h(t) . . . Füllhöhe zur Zeit t in Dezimetern (dm)– Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion in das unten stehende Koordinatensystem ein.

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https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=341&file=Fuellstandmessung_*.pdf


4.2. Ein Wiener Konditormeister bietet unterschiedliche Torten an.Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der nachgefragten Menge (= Anzahl der Tortenstücke,die die Konsumentinnen und Konsumenten kaufen würden) wird durch die sogenannte Preisfunktionder Nachfrage festgelegt.

Der Graph der Preisfunktion der Nachfrage g fürNusstortenstücke ist in der nebenstehenden Abbil-dung dargestellt.– Ermitteln Sie die Steigung der Funktion g.– Lesen Sie denjenigen Preis ab, bei dem gemäßdiesem Modell niemand mehr bereit ist, einNusstortenstück zu kaufen.

4.3. Die Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten auf der Brenner-autobahn kann für den Zeitraum 2000 bis 2007 durch die lineare Regressionsfunktion f beschriebenwerden:

f(t) = 617 · t+ 28 017

t . . . Zeit in Jahren mit t = 0 im Jahr 2000f(t) . . . Anzahl der durchschnittlichen täglichen KFZ-Fahrten zur Zeit t

– Interpretieren Sie die Bedeutung des Koeffizienten 617 in diesem Sachzusammenhang.

4.1ImIntervall[0;8]steigtderFüllstandschnelleralsimIntervall[8;16].BeieinerkleinenQuerschnittsflächesteigtderFüllstandschneller.FolglichwirdbeidemdargestelltenFüllprozesszuerstderZylindermitderkleinerenQuerschnitts-flächebefüllt,alsoGefäßB.

4.2Steigung:−150

BeieinemPreisvone6proStückistgemäßdemModellniemandmehrbereit,einNusstortenstückzukaufen.4.3k=617entsprichtderjährlichenZunahmederdurchschnittlichentäglichenKFZ-FahrtenaufderBrennerautobahn,

d.h.proJahrsteigtdieAnzahlum617.

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