3 Lineare und quadratische Funktionen · 2004-11-06 · °c 2003, Thomas Barmetler Mathematik FOS,...

c© 2003, Thomas Barmetler MathematikFOS, 11. Jahrgangsstufe (technisch)

3 Lineare und quadratische Funktionen

3.1 Lineare Funktion

Eine Funktion der Art f :7→ mx + t, x ∈ D heißt lineare Funktion (m und tsind reelle Zahlen)

Man kann die Funktionsgleichung auf zwei verschiedene Arten angeben:

• Explizite Form:

y = mx + t oder f(x) = mx + t

• Implizite Form:

ax + by + c = 0, wobei: m = −a

b, t = −c

b, b 6= 0

Der Steigungsfaktor m ist definiert als der Tangens des Neigungswinkels α.

- x

6

y

©©©©©©©©©©©©

qqqqqqqqqqqqqqq

x2

qqqqqqqq

x1

¾ -∆x

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qy2

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qy1

6?∆y

α

Neigungswinkel α einer Geraden

Der Neigungswinkel α ist aus den Katheten im Steigungsdreieck zu berech-nen. Dazu muss der Quotient aus den Differenzen der y-Werte und der x-Wertegebildet werden.

m = tanα =y2 − y1

x2 − x1

Im naturwissenschaftlichen Bereich wird eine Differenz ublicherweise durch dengriechischen Buchstaben Delta ∆ ausgedruckt. Damit erhalt man:

m = tanα =∆y

∆x

Da hier ein Bruch (Quotient) aus zwei Differenzen gebildet wird, nennt man∆y∆x einen Differenzenquotient (siehe auch Seite 96).

26


3.1.1 Ermittlung des Graphen einer linearen Funktion bzw. derFunktionsgleichung

1. Gegeben sind zwei Punkte P1(x1, y1) und P2(x2, y2)Ermittlung des Graphen:

• P1 und P2 im Koordinatensystem eintragen

• Gerade durch P1 und P2 zeichnen

Ermittlung der Funktionsgleichung:

y =f(x2)− f(x1)

x2 − x1· (x− x1) + f(x1)

2. Gegeben ist die FunktionsgleichungErmittlung des Graphen:

• Beliebigen x1-Wert aus D auswahlen und zugehorigen y1-Wert be-rechnen.

• Beliebigen x2-Wert aus D auswahlen und zugehorigen y2-Wert be-rechnen.

• Weiter wie unter (1) beschrieben.

3. Gegeben sei ein Punkt P (x1, y1) und die Steigung mErmittlung des Graphen:

• Punkt P ins Koordinatensystem eintragen

• Vom Punkt P tragt man eine Strecke [PA] der Lange 1 nach rechts,parallel zur x-Achse, an.

• Am Ende der Einheitsstrecke [PA] tragt man im rechten Winkel dieStrecke [AB] der Lange |m| an. Dies geschieht fur m > 0 nach oben,fur m < 0 nach unten.

• Nun kann die Gerade durch P und B eingezeichnet werden.

Ermittlung der Funktionsgleichung:

y = m · (x− x1) + y1

3.1.2 Geradenschar

Wird in der linearen Funktion fur die Steigung m kein fester Wert vorgegeben,dann beschreibt der Funktionsterm eine unendliche Anzahl von Geraden.

Diese haben alle den gleichen y-Abschnitt, jedoch unterschiedliche Steigun-gen.

Alle Geraden, die durch einen solchen Funktionsterm beschrieben werdennennt man ein Geradenbuschel.

27


Ist dagegen die Steigung fest vorgegeben, aber der y-Abschnitt variabel, sospricht man von einem parallelen Geradenbundel, oder einer Parallelen-schar.

--4 -2 2 4 6

x

6

-4

-2

2

4

6

y

m = 0©©©©©©

©©©©©©

m = 0.5

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡

m = 1

AA

AA

AA

A

AAAAAAAA

m = −2

Geradenbuschel: y = mx + 1

--4 -2 2 4 6

x

6

-4

-2

2

4

6

y

t= 2 12 −1 −2.5

Parallelenschar: y = 1, 5x + t

28


3.2 Lineare Gleichungen

Gegeben sei eine lineare Funktion f : x 7→ 2, 5x + 3, 5 , x ∈ R. Schreibt mandie Funktion in expliziter Form an, so erhalt man y = 2, 5x + 3, 5.

Man erkennt leicht, dass es zwei ganz herausragende Punkte gibt:

• x = 0Schnittpunkt des Graphen Gf mit der y-Achse (”y-Abschnitt“).

• y = 0Schnittpunkt des Graphen Gf mit der x-Achse (”Abszisse“ oder ”Null-stelle“ der Funktion).

Um die Abszisse einer linearen Funktion zu berechnen muss folgender, all-gemeiner Ansatz gewahlt werden:

ax + b = 0

Eine Gleichung mit der Definitionsmenge D ⊆ G heißt linear (oder erstenGrades), wenn sie sich durch die Form a ·x+b = 0 mit a, b ∈ R darstellen lasst.

Beispiele:

• Gleichung mit Klammern:

5 · (2− x) = 3 · (5x + 8)10− 5x = 15x + 24

20x + 14 = 020x = −14

x = −0, 7

→ L = {−0, 7}

• Gleichung mit Parameter:

a · x + 7 = 7 · xax− 7x + 7 = 0

(a− 7) · x + 7 = 0

x = − 7a− 7

→ 1. Fall: a 6= 7 → L ={− 7

a−7

}

→ 2. Fall: a = 7 → L = { } = Ø

29


• Gleichung mit rationalem Koeffizienten:

23· (x− 4) + x = 4

23x− 8

3+ x = 4

(23

+ 1)

x− 203

= 0

53x =

203

x = 4

→ L = {4}

• Textangabe:Bei einem Rechteck verhalten sich die Langen der Seiten wie 5 : 2. DerUmfang des Rechtecks betragt 35 cm. Welche Maße hat das Rechteck?

→ Die Lange der kurzen Seite wird mit a bezeichnet.

(52a + a

)· 2 = 35

5a + 2a− 35 = 07a− 35 = 0

a = 5

→ Die kurze Seite des Rechtecks ist a = 5 cm,die lange Seite b = 5

2a = 12, 5 cm lang.

3.3 Lineare Ungleichungen

Die Aussageform y ≥ −0, 5x+0, 5 lasst sich in die lineare Funktion x = −0, 5x+0, 5 und die Relation y > −0, 5x + 0, 5 zerlegen.

Der Graph der linearen Funktion ist die Gerade g mit dem y-Abschnitt 0,5und der Abszisse 1.

Der Graph der Relation ist die Halbebene H, die oberhalb der Geraden g

30


liegt. Alle darin enthaltenen Punkte erfullen die Bedingung der Relation.

- x1

6y

1HHHHHHHHHHg

Graph der Funktion

- x1

6y

1HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

H

Graph der Relation

Setzt man in der Relation y = 0, so wird aus der Relation eine lineareUngleichung: 0 > −0, 5x + 0, 5.

Die Losungsmenge lasst sich gut anhand des Graphen bestimmen. Fur alle x-Werte, die rechts von der Abszisse x = 1 der Funktion liegen, ist die Ungleichung0 > −0, 5x + 0, 5 erfullt. Deshalb lautet die Losungsmenge L = {x|x > 1}.

Eine Ungleichung mit der Definitionsmenge D ⊆ G heisst linear oder erstenGrades, wenn sie in der Form ax + b > 0 oder ax + b < 0 mit a, b ∈ R unda 6= 0 darstellbar ist.

Tips fur die Praxis

• Werden Ungleichungen umgestellt, so muss bei einer Multiplikation odereiner Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umge-dreht werden!

• Werden Ungleichungen mit einem Parameter multipliziert bzw. durch die-sen dividiert, so muss eine Fallunterscheidung durchgefuhrt werden, da derParameter positiv, oder negativ sein kann.

• Doppelungleichungen werden stets in zwei einzelne Ungleichungen zer-legt. Diese werden getrennt voneinander berechnet, und dann dieLosungsmengen wieder vereinigt.

Beispiel 1:

−3x < 10

x > −103

→ L ={

x|x > −103

}

31


Beispiel 2:

x

−2+ 8 > 7

x

−2> −1

x < 2

→ L = {x|x < 2}

Beispiel 3:0, 75x− 0, 5 < 3x + 1 < −1, 25x + 5

34x− 1

2 < 3x + 1 3x + 1 < −54x + 5

−94x < 3

2174 x < 4

x > −23 x < 16

17

→ L ={

x| − 23

< x <1617

}

Beispiel 4:−2x + 3 ≤ 0, 25x− 0, 25 ≤ 2x + 1

−2x + 3 ≤ 0, 25x− 0, 25 0, 25x− 0, 25 ≤ 2x + 1−2, 25 ≤ 2, 75 −1, 75 ≤ 1, 25

x ≥ 119 x ≥ 5

7

→ L ={

x|x ≥ 119

}

Die Bedingung aus der rechten Ungleichung x ≥ 57 ist mit der Losungsmenge

automatisch mit abgedeckt, da 119 > 5

7 .

Beispiel 5:3x + 0, 5 > 5x− 3 > x + 4, 5

3x + 0, 5 > 5x− 3 5x− 3 > x + 4, 5−2x > −3, 5 4x > 7, 5

x < 74 x > 15

8

→ L = { }

Der Wert von x kann nicht gleichzeitig großer als 158 und kleiner als 7

4 sein.

32


3.4 Quadratische Funktion

Normalparabel

Funktionsterm: y = x2

→ Koeffizienten:a = 1 b = 0 c = 0

→ Scheitel der Parabel ist Tiefpunkt: S(0; 0)−2 −1 1 2

1

2

3

4......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Stauchung und Streckung

Funktionsterm: y = a · x2

→ Koeffizienten:sig(a) = 1 ∧ |a| < 1 (Stauchung)sig(a) = 1 ∧ |a| > 1 (Streckung)b = 0, c = 0

→ Scheitel der Parabel ist Tiefpunkt: S(0; 0) −2 −1 1 2

1

2

3

4......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a = 1

...................................................................................................................................................................................... a = 1

3

..........................

..............a = 2

Stauchung, Streckung und Spiegelung an x-Achse

Funktionsterm: y = a · x2

→ Koeffizienten:sig(a) = −1 ∧ |a| < 1 (Stauchung und Spiegelung)sig(a) = −1 ∧ |a| > 1 (Streckung und Spiegelung)b = 0, c = 0

→ Scheitel der Parabel ist Hochpunkt: S(0; 0)

−2 −1 1 2

−4

−3

−2

−1

.....................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a = −1

..............................................................................

........................................................................................................ a = −13

...................................

.....

a = −2

Verschiebung der Parabel langs der y-Achse

Funktionsterm: y = a · x2 + c

→ Koeffizienten:b = 0c > 0 (Verschiebung nach oben)c < 0 (Verschiebung nach unten)

→ Scheitel der Parabel ist fur:- a > 0 ein Tiefpunkt: S(0; c)- a < 0 ein Hochpunkt: S(0; c)

−2 −1 1 2

−2

−1

1

2

3

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = 1c = 0.............

..............................................................................................................................................................

a = 1c = 1

............

...............

a = −1c = −1

33


Verschiebung der Parabel langs der x-Achse

Funktionsterm: y = a · (x− xS)2

→ Koeffizienten:xS > 0 (Verschiebung nach rechts)xS = 0 (Achsensymmetrisch zur y-Achse)xS < 0 (Verschiebung nach links)

→ Scheitel der Parabel ist fur:- a > 0 ein Tiefpunkt: S(xS ; 0)- a < 0 ein Hochpunkt: S(xS ; 0)

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−3 −2 −1 1 2 3

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a = 1

xS = 0.........................................................................................................................................................................

...........................................................................................

a = 2xS = 1, 5

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

a = −1xS = −1, 5

Beispiele:

Geben Sie den Funktionsterm einer Parabel mit folgenden Eigenschaften an:

1. Normalparabel nach oben geoffnet, um drei nach rechts verschoben

2. Um den Faktor zwei gestreckte Normalparabel, nach unten geoffnet,32 nach oben verschoben.

3. Normalparabel um den Faktor 4 gestaucht, zwei nach links und 1 nachoben verschoben.

4. Normalparabel mit Hochpunkt HP (3; 1).

Losungen zu den Beispielen:

1. y = (x− 3)2

2. y = −2x2 + 32

3. y = 14 [x− (−2)]2 − 1

4. y = (−1) · (x− 3)2 + 1

34


3.4.1 Die allgemeine Form

Nimmt man die Losung des letzten Beispiels und multipliziert dieses aus, soerhalt man:

y = (−1) · (x− 3)2 + 1y = (−1) · (x2 + 6x− 9) + 1y = (−1)︸︷︷︸

a

·x2 + 6︸︷︷︸b

·x + (−8)︸︷︷︸c

Eine Funktion der Form f : x 7→ ax2 + bx + c heißt quadratische Funktion,wobei a, b, c ∈ R ∧ a 6= 0

In der allgemeinen Form ax2+bx+c = y einer quadratischen Funktion heißtax2 quadratisches Glied, bx nennt man lineares Glied und c wird als konstantesGlied oder Absolutglied bezeichnet.

3.4.2 Die Scheitelform

Um aus der allgemeinen Form der quadratischen Funktion den Scheitel einerParabel zu erhalten geht man folgendermaßen vor:

f(x)= ax2 + bx + c

a ausklammern f(x)= a · [x2 + bax + c

a

]

quadrat. erganzen f(x)= a ·[x2 + b

ax +(

b2a

)2 − (b2a

)2+ c

a

]

binom. Formel f(x)= a ·[(

x + b2a

)2 − (b2a

)2+ c

a

]

Hauptnenner f(x)= a ·[(

x + b2a

)2+ 4ac−b2

4a2

]

Klammer auflosen f(x)= a · (x + b2a

)2+ 4ac−b2

4a

Mit − b2a = xS und 4ac−b2

4a = c erhalt man die bereits bekannte Form derquadratischen Funktion y = a · (x− xS)2 + c. Dies nennt man die Scheitelformder quadratischen Funktion.

Die Gleichung f(x) = a · (x−xS)2 +c heißt Scheitelgleichung der quadratischenFunktionen, deren Graphen den Scheitel S(xS ; c) haben.

3.4.3 Parabel durch drei Punkte

Gegeben seien drei Punkte A(−1; 33), B(0; 19) und C(1; 9).

35


Gesucht ist die Funktion einer Parabel in der allgemeinen und in der Schei-telform, welche diese drei Punkte beinhaltet.

→ Allgemeine Form der Parabelgleichung: y = ax2 + bx + c

aus Punkt A: (I) 33 = a · (−1)2 + b · (−1) + caus Punkt B: (II) 19 = a · 02 + b · 0 + caus Punkt C: (III) 9 = a · 12 + b · 1 + c

aus (III): c = 19 ♣♣ in (I): 33 = a− b + 19

a=14 + b ♦♣ und ♦ in (III): 9 = (14 + b) + b + 19

9= 33 + 2bb =−12 ♥

♥ in ♦ a=14 + (−12)a=2

→ allgemeine Form: y = 2 · x2 − 12 · x + 19

y = 2 · [x2 − 6x + 9, 5]y = 2 · [x2 − 6x + 32 − 32 + 9, 5]y = 2 · [(x− 3)2 + 0, 5]y = 2 · (x− 3)2 + 1

→ Scheitelform: y = 2 · (x− 3)2 + 1

3.4.4 Tangente an eine Parabel

Gegeben seien die Funktion einer Parabel und ein beliebiger Punkt (dieser kann,muss jedoch nicht Element des Parabelgraphen sein).

Gesucht ist die Gleichung einer Tangente an die Parabel, welche auch durchden gegebenen Punkt verlauft.

Geg: Parabel y = 2(x− 3)2 + 2 und Punkt P (7; 26).

→ Allgemeine Form der Geradengleichung:

y =mx + t26=m · 7 + t

→ t =26− 7m

→ Geradenbuschel durch Punkt P: y = mx + (26− 7m)

36


Der Beruhrpunkt ist sowohl ein Element der Tangente, als auch der Parabel.Deshalb konnen die beiden Funktionen gleich gesetzt werden:

2x2 − 12x + 20 = mx + 26− 7m

2x2 − 12x−mx− 6 + 7m = 02x2 − (12 + m)x− 6 + 7m = 0

Ein Beruhrpunkt liegt vor, wenn diese Gleichung nur eine Losung hat (sonstschneidet die Gerade die Parabel, und es gibt zwei Losungen, bzw. die Geradelauft an der Parabel vorbei womit es keine Losung gibt). Die Diskriminante derLosungsformel muss also Null sein.

D = b2 − 4ac

0 = (−12−m)2 − 4 · 2 · (−6 + 7m)0 = 144 + 24m + m2 + 48− 56m

0 = m2 − 32m + 192

m1/2 =32±

√(−32)2 − 4 · 1 · 192

2 · 1m1/2 =

32± 162

m1 = 24 m2 = 8→ g1(x) = 24x + (26− 7 · 24) → g2(x) = 8x + (26− 7 · 8)

g1(x) = 24x− 142 Tangenten g2(x) = 8x− 30

BP1(9; 74) Beruhrpunkte BP2(5; 10)

3.4.5 Umkehrfunktion quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen sind in D nicht umkehrbar. Wenn allerdings der De-finitionsbereich der quadratischen Funktion so eingeschrankt wird, dass die Zu-ordnungsvorschrift injektiv (siehe Kapitel 2.3 Seite 17) wird, dann ist die Um-kehrung moglich!

Vorgehensweise:

• Schritt 1: Quadratische Funktion nach x umstellen.→ Man erhalt eine quadratische Gleichung fur x.

ax2 + bx + c = y ↔ ax2 + bx + c− y = 0

• Schritt 2: Ansetzen der Losungsformel.

x1/2 =−b±

√b2 − 4a · (c− y)

2a

37


• Schritt 3: Entscheiden, ob in der Losungsformel das Plus-, oder dasMinuszeichen gultig ist. Dies hangt vom Definitionsbereich Df fur x ab.

• Schritt 4: Variable vertauschen und neuen Definitionsbereich Df−1 an-geben.

f−1(x) : y =−b +

√b2 − 4a · (c− x)

2aDf−1 = Wf

oder

f−1(x) : y =−b−

√b2 − 4a · (c− x)

2aDf−1 = Wf

Beispiele:

• y = x2 + 4x− 3 D = R+0

Schritt 1: x2 + 4x− (3 + y) = 0

Schritt 2: x1/2 = −4±√

42+4·1·(3+y)

2·1 = −2±√7 + y

Schritt 3: Da x nur Werte aus R+0 annehmen darf,

muss das Pluszeichen gelten.

Schritt 4: y = −2 +√

7 + x Df−1 = Wf = [−3; +∞[

• y = −2(x + 3)2 + 1 D = [−2;+∞[

Schritt 1: −2x2 − 12x− 17− y = 0

Schritt 2: x1/2 = −(−12)±√

(−12)2−4·(−2)·(−17−y)

2·(−2) = −3± 12

√2− 2y

Schritt 3: Da x großtenteils nur positive Werte annehmen darf,muss das Pluszeichen gelten.

Schritt 4: y = −3 + 12

√2− 2x Df−1 = Wf =]−∞;−1]

• y = −12(x− 2)2 − 4 D =]−∞;−2]

Schritt 1: −12x2 + 2x− 6− y = 0

Schritt 2: x1/2 =−2±

√22−4·(− 1

2)·(−6−y)

2·(− 12)

= 2±√−8− 2y

Schritt 3: Da x nur negative Werte annehmen darf,muss das Minuszeichen gelten.

Schritt 4: y = 2−√−8− 2x Df−1 = Wf =]−∞;−12]

38


Ubungsaufgaben

1. Beschreiben Sie in Worten wie der Graph folgender Funktionen aussieht.

(a) y = −5(x + 3)2 + 2

(b) y = 97 · x2 − 4

(c) 0, 5x2 − y + 3 = 0

(d) x− 4x = y

x

2. Bestimmen Sie das absolute Maximum und das absolute Minimum beifolgenden Funktionen

(a) y = 4x2 + 2x− 6 x ∈ [−1; 5]

(b) y = −19x2 − 27x + 1 x ∈ [0; 3]

3. Eine Parabel verlauft durch die Punkte A(0|1), B(3|52) und C(4|5).

(a) Geben Sie die Funktionsgleichung der Parabel an.

(b) In welchem Bereich der x-Achse sind die Funktionswerte großer 32?

(c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels der Parabel.

(d) Zeichnen Sie den Graphen der Parabel und kontrollieren Sie IhreErgebnisse.

4. Formen Sie die Gleichung y = 2·(x−3)2+2 in die allgemeine quadratischeForm um.

5. Geben Sie die Koordinaten des Scheitels der Funktion f(x) = 7x2−14x−7an.

6. Fur welche x-Werte sind die Funktionswerte der Parabel y = 2x2 + 2kleiner als 3?

7. Eine Parabel verlauft durch die Punkte A(−2|−11), B(1|−2) und C(2|−15). Geben Sie die Gleichung der Parabel in der allgemeinen quadratischenForm und in der Scheitelform an.

39


Losungen

1. (a) - Nach unten geoffnet (Faktor vor der Klammer ist negativ)- Gestreckt (Betrag des Faktors vor der Klammer ist großer als 1)- Scheitel liegt bei S(−3|2)

(b) - Nach oben geoffnet (Faktor vor dem x2 ist positiv)- Gestreckt (Betrag des Faktors vor dem x2 ist großer als 1)- Scheitel liegt bei S(0| − 4)

(c) Kann umgestellt werden → y = 0, 5x2 + 3- Nach oben geoffnet (Faktor vor dem x2 ist positiv)- Gestaucht (Betrag des Faktors vor dem x2 ist kleiner als 1)- Scheitel liegt bei S(0|3)

(d) Kann umgestellt werden → y = x2 − 4- Nach oben geoffnet (Faktor vor dem x2 ist positiv)- Normalparabel (Betrag des Faktors vor dem x2 ist gleich 1)- Scheitel liegt bei S(0| − 4)

2. (a)

y = 4 ·[x2 +

12x− 3

2

]

y = 4 ·[x2 +

12x +

(14

)2

−(

14

)2

− 32

]

y = 4 ·(

x +14

)2

− 254

→ Aus Angabe: Parabel ist nach oben geoffnet.→ Scheitel ist TP: S(−1

4 | − 254 )

→ Absolutes Maximum am Rand des Definitionsbereichs: HP (5|104)

(b)

y = −19· [x2 + 243x− 9

]

y = −19· [x2 + 243x + (121, 5)2 − (121, 5)2 − 9

]

y = −19· (x + 121, 5)2 + 1641, 25

→ Aus Angabe: Parabel ist nach unten geoffnet.→ Scheitel S(−121, 5|1641, 25) liegt außerhalb des Definitionsbe-reichs.→ Maximum und Minimum mussen an den Definitionsgrenzen lie-gen:

Absolutes Minimum: TP (3| − 81)Absolutes Maximum: HP (0|1)

40


3. (a) allgemeine Form der quadratischen Gleichung: y = ax2 + bx + c

→ aus Punkt A: 1= a · 02 + b · 0 + c→ aus Punkt B: 5

2 = a · 32 + b · 3− c→ aus Punkt C: 5 = a · 42 + b · 4 + c

Lost man dieses Gleichungssystem (mogliche Verfahren: Einsetzver-fahren, Gaussches Eliminationsverfahren, Additionsverfahren) so erhaltman:

a =12

b = −1 c = 1

→ Funktionsgleichung der Parabel: y =12x2 − x + 1

(b) → Zunachst uberlegt man, fur welche x-Werte die Funktionswertegleich 3

2 sind:

32

=12x2 − x + 1

0 =12x2 − x− 1

2

→ x1/2 =1±

√(−1)2 − 4 · 1

2 · (−12)

2 · 12

= 1±√

2

Die Parabel ist nach oben geoffnet, und besitzt an den Stellen x =1 +

√2 sowie x = 1−√2 jeweils den Funktionswert y = 3

2 .

→ y ist großer als 32 fur x1 < 1−

√2 und x2 > 1 +

√2.

(c)

y =12x2 − x + 1

y =12· [x2 − 2x + 2

]

y =12· [x2 − 2x + (−1)2 − (−1)2 + 2

]

y =12· (x− 1)2 +

12

→ Der Scheitel der Parabel liegt bei: S

(1|1

2

)

41


(d)

−2 −1 1 2 3 4

1

2

3

4

5........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. y = 2x2 − 12x + 20

5. gegeben y = 7x2 − 14x− 7Faktor vor x2 ausklammern y = 7 · [x2 − 2x− 1]quadratisch erganzen y = 7 · [x2 − 2x + (1)2 − (1)2 − 1]binomische Formel anwenden y = 7 · [(x− 1)2 − 2]Zusammenfassen y = 7 · (x− 1)2 − 14

6. Ansatz 3 = 2x2 + 2nach x auflosen x = ±√0, 5→ D. h. bei x = ±√0, 5 betragt der zugehorige y-Wert des Graphen 3.Die Parabel ist nach oben geoffnet. Deshalb sind alle Funktionswerte derParabel fur −√0, 5 < x <

√0, 5 kleiner als 3.

7. (I) Aus Punkt A −11 = a · (−2)2 +b · (−2) +c(II) Aus Punkt B −2 = a · 12 +b · 1 +c(III) Aus Punkt C −15 = a · (2)2 +b · (2) +c

Gaußsches Eliminationsverfahren:

4 −2 1 −111 1 1 −24 2 1 −15

→4 −2 1 −110 −6 −3 −30 −4 0 4

→4 −2 1 −110 −6 −3 −30 0 −3 −9

Aus letzter Zeile: −3 · c = −9 → c = 3Aus mittlerer Zeile: −6b− 3 · 3 = −3 → b = −1Aus erster Zeile: 4a− 2 · (−1) + 3 = −11 → a = −4

⇒ y = −4x2 − 1x + 3⇒ y = −4 · (x + 1

8

)2 + 4916

42


3.5 Quadratische Gleichungen

Soll der Schnittpunkt einer Parabel mit der x-Achse berechnet werden, so kannes allein aus der Anschauung bereits mehrere Losungsmoglichkeiten geben:

• Keine Losung:- der Scheitel liegt oberhalb der x-Achse; die Parabel ist nach oben geoffnet- der Scheitel liegt unterhalb der x-Achse; die Parabel ist nach untengeoffnet

• Eine Losung:- der Scheitel der Parabel liegt genau auf der x-Achse; es ist egal ob diesenach oben oder unten geoffnet ist.

• Zwei Losungen:- der Scheitel liegt oberhalb der x-Achse; die Parabel ist nach untengeoffnet- der Scheitel liegt unterhalb der x-Achse; die Parabel ist nach obengeoffnet

Um nun die Nullstellen der quadratischen Funktion, also den Schnittpunktdes Graphen mit der x-Achse, zu berechnen, kann man sich uberlegen, dass andiesen Punkten die y-Koordinate auf jeden Fall Null sein muss.

Eine Gleichung mit der Definitionsmenge D ⊆ G heißt quadratisch oder zweitenGrades, wenn sie auf die Form ax2 + bx + c = 0 mit a, b, c ∈ R ∧ a 6= 0gebracht werden kann. Man nennt dies die Hauptform.

Diese quadratische Gleichung lasst sich durch quadratische Erganzung losen:

0= ax2 + bx + c

durch a teilen 0 =x2 + bax + c

a

quadrat. erganzen 0 =(x + b

2a

)2 − b2

4a2 + ca

Hauptnenner 0 =(x + b

2a

)2 − b2−4ac4a2

Gleichung umstellen(x + b

2a

)2= b2−4ac

4a2

Wurzel ziehen x + b2a =±

√b2−4ac

4a2

nach x auflosen x=− b2a ±

√b2−4ac

4a2

Losungsformel x= −b±√b2−4ac2a

Wie bereits oben erwahnt kann es hierbei keine, eine oder zwei Losungengeben. Dies hangt vom Wert unter der Wurzel, der Diskriminante D = b2−4acab.

43


• Keine Losung: D < 0 → Es musste die Wurzel aus einer negativenZahl gezogen werden!

• Eine Losung: D = 0 → Das Plus-Minus hat keine Bedeutung mehr,da der Wert Null einmal zum −b addiert, und einmal davon subtrahiertwurde.

• Zwei Losungen D > 0 → Nun kommt das Plus-Minus Zeichen zurGeltung.

Zerlegung in Linearfaktoren

Jede quadratische Gleichung kann in die so genannte Normalform x2+px+q = 0gebracht werden.

Zwischen den Losungen der quadratischen Gleichung und ihren Koeffizien-ten p und q gilt dann stets ein fester Zusammenhang:

Satz von VietaHat die quadratische Gleichung x2 +px+q = 0 die Losungen x1 und x2, so gilt:

x1 + x2 = −p und x1 · x2 = q

Damit kann die quadratische Gleichung umgeformt werden:

x2 + px + q = 0

p und q ersetzen x2 − (x1 + x2)x + (x1 · x2)= 0

Klammern ausmultiplizieren x2 − x1x− x2x + x1 · x2 = 0

x und x2 ausklammern x · (x− x1)− x2 · (x− x1)= 0

(x− x1) ausklammern (x− x1) · (x− x2)= 0

→ x2 + px + q = (x− x1) · (x− x2)

Mit Hilfe der Losungen x1 und x2 kann demnach die als Summe dargestellteNormalform der quadratischen Gleichung in ein Produkt zerlegt werden. Da dieVariable x in beiden Faktoren jeweils nur mit der Potenz 1 vorkommt, heißensowohl (x− x1), als auch (x− x2) Linearfaktoren.

44


Beispiele

• Stellen Sie die quadratische Gleichung x2 + 9x− 10 = 0 als Produkt dar.

x1/2 =−b±√b2 − 4ac

2a

x1/2 =−9±

√92 − 4 · 1 · (−10)

2 · 1x1/2 = −4, 5± 5, 5

→ (x− 1) · (x + 10) = 0

• Eine Losung der quadratischen Gleichung 3x2 − 9x + 6 = 0 lautet x1 = 2Geben Sie die Linearfaktoren der Gleichung an.

→ Gleichung in Normalform bringen: x2 − 3x + 2 = 0→ Satz von Vieta anwenden:

x1 + x2 =−p oder x1 · x2 = q2 + x2 =3 2 · x2 = q

x2 =1 x2 =1

→ Linearfaktoren: (x− 2) und (x1 − 1)

• Zerlegen Sie die quadratische Gleichung 2x2 − 6m · x + 8 = 0 in Linear-faktoren.

x1/2 =−b±√b2 − 4ac

2a

x1/2 =−(−6m)±

√(−6m)2 − 4 · 2 · 82 · 2

x1/2 =6m±√36m2 − 64

4

→ Fallunterscheidung wird notwendig, da Parameter in Diskriminante.

Fall 1: 36m2 − 64 < 0 → m < 43

Diskriminante ist kleiner Null → keine Losung → L = { }Zerlegung in Linearfaktoren ist nicht moglich

Fall 2: 36m2 − 64 = 0 → m = 43

Diskriminante ist gleich Null → eine Losung → x1 = x2 = 2Zerlegung in Linearfaktoren: (x− 2) · (x− 2) = (x− 2)2

45


Fall 3: 36m2 − 64 > 0 → m > 43

Diskriminante ist großer Null → zwei Losungen

x1 =32m +

√2, 25m2 − 4

x2 =32m−

√2, 25m2 − 4

Zerlegung in Linearfaktoren:

(x−x1)·(x−x2) =(

x− 32m−

√2, 25m2 − 4

)·(

x− 32m +

√2, 25m2 − 4

)

3.6 Quadratische Ungleichungen

Eine Ungleichung uber der Definitionsmenge D ⊆ G heißt quadratisch oderzweiten Grades, wenn sie die Form ax2 + bx + c < 0 bzw. ax2 + bx + c > 0 (mita 6= 0) hat.

Losung durch Fallunterscheidung:Ein Produkt ist stets dann großer Null, wenn beide Faktoren großer, oderbeide Faktoren kleiner Null sind.

a · b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

Beispiele:

• (x− 2) · (x− 4) > 0Fallunterscheidung:Fall 1: x− 2 > 0 ∧ x− 4 > 0

x > 2 ∧ x > 4L1 = {x|x > 4}

Fall 2: x− 2 < 0 ∧ x− 4 < 0x < 2 ∧ x < 4L2 = {x|x < 2}

Vereinigung der Teillosungen:

L = L1 ∪ L2 = {x|x < 2 ∧ x > 4} = R\[2; 4]

• (x + 52) · (x− 3

2) ≤ 0Fallunterscheidung:Fall 1: x + 5

2 ≤ 0 ∧ x− 32 ≥ 0

x ≤ −52 ∧ x ≥ 3

2

46


L1 = { }

Fall 2: x + 52 ≥ 0 ∧ x− 3

2 ≤ 0x ≥ −5

2 ∧ x ≤ 32

L2 =[−5

2 ; 32

]

Vereinigung der Teillosungen:

L = L1 ∪ L2 =[−5

2;32

]

47


Ubungsaufgaben

1. Aufgaben zu LinearfaktorenSiehe auch Beispiele im Buch S. 84Zerlegen Sie folgende quadratische Terme in Linearfaktoren:

(a) T (x) = x2 + x− 6

(b) T (x) = 25x2 − 9

(c) T (x) = 6x2 − 13x− 5

(d) T (x) = −20x2 + 14x− 2

(e) T (x) = 10x2 − 3x− 4

2. Aufgaben zu DiskriminanteSiehe auch Beispiel im Buch S. 82 obenBestimmen Sie die Werte des Parameters k ∈ R\{0}, fur die die Glei-chungen zwei, genau eine bzw. keine Losungen haben.

(a) 2x2 + 4x− 3k = 0

(b) kx2 + 6x + 1 = 0

(c) 4x2 + 3kx− k2 = 0

(d) kx2 − x + 13 = 0

3. Aufgaben zu quadratischen UngleichungenSiehe auch Beispiele im Buch S. 91fLosen Sie folgende Ungleichungen, indem Sie den quadratischen Term inLinearfaktoren zerlegen.

(a) x2 − 14x + 24 > 0

(b) 14x2 + 3

2x− 10 ≥ 0

(c) −x2 + 193 x− 2 < 0

(d) 14x2 + 5x + 18, 75 ≤ 0

Losen Sie folgende Ungleichungen mit Hilfe einer Vorzeichentabelle.

(a) x2 − 3x + 2 > 0

(b) x2 + 2x− 35 > 0

(c) x2 − x + 5 ≤ 0

(d) x2 − 10x + 21 < 0

4. Aufgaben zu UmkehrfunktionenSiehe auch Beispiel im Buch S. 97Berechnen Sie die Umkehrfunktionen f−1 folgender Funktionen f , gebenSie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion an, und zeichnen Sie je-weils die Graphen von f und f−1 in ein gemeinsames Koordinatensystem.

(a) f : x 7→ 2x2 x ∈ R+0

48


(b) f : x 7→ −0, 5x2 x ∈ R−0

(c) f : x 7→ x2 x ∈ [1; 2, 5]

(d) f : x 7→ x2 − 2x x ∈ [1; +∞[

(e) f : x 7→ 2x2 − 1 x ∈ R+0

(f) f : x 7→ −x2 + 2 x ∈ R−

(g) f : x 7→ 4x2 + 4x + 1 x ∈ ]−∞;−12

[

(h) f : x 7→ x2 − 2x + 1 x ∈ [1;+∞[

(i) f : x 7→ −x2 − 2x + 1 x ∈ [−1;+∞[

(j) f : x 7→ 12

√x x ∈ R+

0

(k) f : x 7→ 2√

x + 1 x ∈ R+0

(l) f : x 7→ √x + 1− 1 x ∈ [−1;+∞[

(m) f : x 7→ 45

√x− 1− 1, 5 x ∈ [1; +∞[

Losungen

1. (a) x1/2 = −1±√

(12−4·1·(−6)

2·1 → T (x) = (x− 2)(x + 3)

(b) x1/2 = ±√

925 → T (x) =

(x− 3

5

) (x + 3

5

)

(c) x1/2 = −(−13)±√

((−13)2−4·6·(−5)

2·6 → T (x) = (x−2, 5)(x + 1

3

)

(d) x1/2 = −14±√

(142−4·(−20)·(−2)

2·(−20) → T (x) =(x− 1

5

) (x− 1

2

)

(e) x1/2 = −(−3)±√

((−3)2−4·10·(−4)

2·10 → T (x) =(x− 4

5

) (x + 1

2

)

2. (a) Diskriminante: D = 42 − 4 · 2 · (−3k)Keine Losung fur: D < 0 ↔ k < −2

3Eine Losung fur: D = 0 ↔ k = −2

3Zwei Losungen fur: D > 0 ↔ k > −2

3

(b) Diskriminante: D = 62 − 4 · k · 1Keine Losung fur: D < 0 ↔ k > 9Eine Losung fur: D = 0 ↔ k = 9Zwei Losungen fur: D > 0 ↔ k < 9

49


(c) Diskriminante: D = (3k)2 − 4 · 4 · (−k2)Keine Losung fur: D < 0 ↔ nicht moglichEine Losung fur: D = 0 ↔ k = 0Zwei Losungen fur: D > 0 ↔ k ∈ R\{0}

(d) Diskriminante: D = (−1)2 − 4 · k4 · 13

Keine Losung fur: D < 0 ↔ k > 34

Eine Losung fur: D = 0 ↔ k = 34

Zwei Losungen fur: D > 0 ↔ k < 34

3. (a) Quadratische Gleichung mit Linearfaktoren: (x− 12)(x− 2) > 0x− 12 > 0 ∧ x− 2 > 0 oder x− 12 < 0 ∧ x− 2 < 0→ L = R\[2; 12]

(b) Quadratische Gleichung mit Linearfaktoren: (x− 4)(x + 10) ≥ 0x− 4 ≥ 0 ∧ x + 10 ≥ 0 oder x− 4 ≤ 0 ∧ x + 10 ≤ 0→ L = R\[−10; 4]

(c) Quadratische Gleichung mit Linearfaktoren:(x− 1

3

)(x− 6) > 0

x− 13 > 0 ∧ x− 6 > 0 oder x− 1

3 < 0 ∧ x− 6 < 0→ L = R\ [−1

3 ; 6]

(d) Quadratische Gleichung mit Linearfaktoren: (x + 5)(x + 15) ≤ 0x + 5 ≥ 0 ∧ x + 15 ≤ 0 oder x + 5 ≤ 0 ∧ x + 15 ≥ 0→ L = [−15;−5]

(a) Nullstellen: x1/2 = −(−3)±√

(−3)2−4·1·22·1

Parabel ist nach oben geoffnet

x −∞ 1 2 +∞sgn(y) +1 0 −1 0 +1

→ L = R\[1; 2]

(b) Nullstellen: x1/2 = −2±√

22−4·1·(−35)

2·1Parabel ist nach oben geoffnet

x −∞ −7 5 +∞sgn(y) +1 0 −1 0 +1

→ L = R\[−7; 5]

(c) Nullstellen: x1/2 = −(−1)±√

(−1)2−4·1·52·1

→ Diskriminante ist kleiner Null, d. h. es gibt keine Nullstelle.Da Parabel nach oben geoffnet ist gibt es damit auch keinen Wertkleiner als Null.

→ L = { }

(d) Nullstellen: x1/2 = −(−10)±√

(−10)2−4·1·21

2·1Parabel ist nach oben geoffnet

50


x −∞ 3 7 +∞sgn(y) +1 0 −1 0 +1

→ L = {x|3 < x < 7}

4. (a) f−1 : x 7→ √x2 x ∈ R+

0

(b) f−1 : x 7→ −√−2x x ∈ R−0

(c) f−1 : x 7→ √x x ∈ [1; 6, 25]

(d) f−1 : x 7→ 1 +√

1 + y x ∈ [−1;+∞[

(e) f−1 : x 7→√

0, 5(x− 1) x ∈ −1;+∞[

(f) f−1 : x 7→ −√−(x− 2) x ∈]−∞; 2[

(g) f−1 : x 7→ −12 − 1

2

√x x ∈]0;∞[

(h) f−1 : x 7→ 1 +√

x x ∈ [0;∞[

(i) f−1 : x 7→ −1 +√

2− x x ∈]−∞; 2[

(j) f−1 : x 7→ 4x2 x ∈ R+0

(k) f−1 : x 7→ 14(x− 1)2 x ∈ [1;+∞[

(l) f−1 : x 7→ (x + 1)2 − 1 x ∈ [−1;+∞[

(m) f−1 : x 7→ 2516

(x + 3

2

)2 + 1 x ∈ [−1, 5;+∞[

51


Quadratische FunktionenKreuzwortratsel

1 2 3

4

5

7

8

Waagrecht2 In welche Richtung ist eine Normalpa-rabel geoffnet?5 Wie nennt man bei einer nach obengeoffneten Parabel den Punkt mit demkleinsten y-Wert?7 Jede Parabel hat einen hochsten, bzw.einen tiefsten Punkt. Wie wird dieserallgemein bezeichnet?8 Welchen y-Wert hat der Scheitel bei derquadratischen Funktion y = 4x2 + 9?

Senkrecht1 Wie nennt man den Schnittpunkt einesGraphen mit der x-Achse?3 Welchen Wert hat die x-Koordinate desScheitels der quadratischen Funktiony = 3(x− 1)2 + 5?4 Das quadratische Glied einer quadrati-schen Funktion wird mit einem Wert klei-ner eins multipliziert. Was geschieht mitder Kurve (Substantiv angeben)?6 Wie lautet der mathematische Fachbe-griff fur

”Zuordnungsvorschrift“?

52



A1

O2

B E3

N

B S4

I

S T5

I E F P U N K T

Z A U S

I U N

S C K

S7

C H E I T E L

E U I

N O

G N8

E U N

Waagrecht2 In welche Richtung ist eine Normalpa-rabel geoffnet?5 Wie nennt man bei einer nach obengeoffneten Parabel den Punkt mit demkleinsten y-Wert?7 Jede Parabel hat einen hochsten, bzw.einen tiefsten Punkt. Wie wird dieserallgemein bezeichnet?8 Welchen y-Wert hat der Scheitel bei derquadratischen Funktion y = 4x2 + 9?

Senkrecht1 Wie nennt man den Schnittpunkt einesGraphen mit der x-Achse?3 Welchen Wert hat die x-Koordinate desScheitels der quadratischen Funktiony = 3(x− 1)2 + 5?4 Das quadratische Glied einer quadrati-schen Funktion wird mit einem Wert klei-ner eins multipliziert. Was geschieht mitder Kurve (Substantiv angeben)?6 Wie lautet der mathematische Fachbe-griff fur

”Zuordnungsvorschrift“?

53



P1

R O2

D U K T P3

V4

B V5

I E T A

S6

C H E I T E L F O R M R

R N A

S T B

S8

T R E C K U N9

G A10

B S11

Z I S S E

N12

H O T E L

O I D13

R E I A F

R U14

N T E N M U P

M B A S15

C U

A16

B S O L U T G L I E D H N17

E U N

L N F C U K

P S18

G H19

O C H P U N K T

A C R S G

R H F20

M

A E U

B S21

I E B E N

E T N

L22

I N E A R F A K T O R E N

L

55


Quadratische FunktionenKreuzwortratsel - Angaben

Waagrecht1 Im Term ax2 + bx + c ist eine Parabeldurch eine Summe ausgedruckt. Wie kannman die Parabel noch angeben?

5 Eine quadratische Gleichungx2 + px + q = 0 hat die Losungenx1 und x2. Nach wem wurde der Zusam-menhang x1 + x2 = −p und x1 · x2 = qbenannt?

6 Wie muss die Funktion einer Parabelgegeben sein damit die Koordinaten desScheitels direkt abzulesen sind?

8 Was bewirkt der Faktor a in derFunktion y = a(x − xS)2 + yS falls ergroßer als 1 ist?

10 Wie nennt man den Schnittpunkt einesGraphen mit der x-Achse?

13 Um wieviel Einheiten ist die Parabely = 2(x− 3)2 + 1 nach rechts verschoben?

14 In welche Richtung ist der Graph derFunktion f(x) = −4x2 +4x+4 geoffnet?

16 Geben Sie eine andere Bezeichnung furdas konstante Glied einer quadratischenFunktion an. 17 Welchen y-Wert hat derScheitel bei der quadratischen Funktiony = 4x2 + 9?

19 Wie nennt man den Punkt einesGraphen mit dem großten x-Wert?

21 Wie lautet die y-Koordinate derParabel f(x) = −3(x + 4)2 + 7?

22 Eine quadratische Gleichungx2 + px + q = 0 kann auch als Pro-dukt dargestellt werden. Wie nennt mandie Faktoren?

Senkrecht

2 In welche Richtung ist eine Normalpa-rabel geoffnet?

3 Wie nennt man den Graph einerquadratischen Funktion?

4 Was bewirkt das konstante Glied in derFunktion y = 2x2 + 3?

7 Geben Sie die Bezeichnung fur denPunkt eines Graphen mit dem kleinsteny-Wert an.

9 Die Funktion einer Parabel ist mity = ax2 + bx + c angegeben. Wie bezeich-net man diese Form?

11 Die quadratische Funktion f(x) = x2

wird mit dem Faktor 0, 25 multipliziert.Was ist die Folge?

12 Wie nennt man den Graphen derFunktion y = x2?

15 Um welchen Faktor wird die Parabelf(x) = 6(x− 3)2 − 5 gestreckt?

18 Jede Parabel mit D=R hat einenhochsten oder einen tiefsten Punkt. Wienennt man diesen?

20 Um wieviel Einheiten muss die Parabely = x2 − 1 nach rechts verschoben werdendamit ihr Scheitel deckungsgleich mit demTiefpunkt der Parabel f(x) = 2x2 + 4liegt?

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3 Lineare und quadratische Funktionen · 2004-11-06 · °c 2003, Thomas Barmetler Mathematik FOS,...

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