DOWNLOAD - Persen Verlag · Im vorliegenden Download finden Sie inklusive Trainingsaufgaben für...

Brigitte Penzenstadler

Ergänzungsmaterial Quadratische Funktionen 9/10Aufgaben für den inklusiven Unterricht ergänzend zum Mathetraining in 3 Kompetenzstufen Band 2

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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Band 2: Geometrie, Lineare Funktionen und Gleichungen, Quadratische Funktionen und Gleichungen, Stochastik

Mathetraining Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht

https://www.persen.de/bestnr/20094DA3?utm_source=internetdateien&utm_medium=web&utm_campaign=internetdateien_web_20094DA3

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2© Persen Verlag

Vorwort

1

Liebe Kolleginnen und Kollegen,

sicher rechnen zu können, gehört zu den elementaren Fähigkeiten. Im Mathematikunterricht der 9./10. Jahrgangsstufe wird auf den Grundlagen der 7./8. Klasse aufgebaut und die Basis für den weiteren schulischen und beruflichen Erfolg aller Schüler1 gelegt.

Daher ist es wichtig, elementare mathematische Kompetenzen zu schulen, denn nicht alle Schü-ler bringen die gleichen Grundvoraussetzungen mit.

Dieser Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht zum Titel „Mathetraining in 3 Kompetenz-stufen – 9./10. Klasse“ (Band 2) wurde bewusst überschaubar gehalten. Die Arbeitsblätter eig-nen sich sowohl als separate Trainingseinheiten für Schüler mit Unterstützungsbedarf, als auch als Einstieg oder Warming-up für leistungsstärkere Heranwachsende.

Um so gut wie möglich allen Bedürfnissen in einem heterogenen Klassenverband gerecht zu werden, bietet der Titel „Mathetraining in 3 Kompetenzstufen – 9./10. Klasse“ (Band 2) dazu pas-sende ergänzende Übungen in drei unterschiedlichen Schwierigkeitsstufen an.

1 Grundsätzliches

Im vorliegenden Download finden Sie inklusive Trainingsaufgaben für den Themenbereich Quadratische Funktionen. Die kleinschrittigen, abwechslungsreichen und anschaulichen Kopiervorlagen bieten den leistungsschwächeren Schülern – evtl. auch mit sonderpädagogi-schem Förderbedarf – die Möglichkeit, bessere Ergebnisse zu erzielen.

Durch kontinuierliches und in der Regel konkret-handlungsorientiertes Üben werden die mathematischen Fertigkeiten sukzessive gefestigt und verbessert. Die wechselnden Aufgaben-formen sind übersichtlich strukturiert und lassen sich sofort einsetzen. Somit ist eine gezielte individuelle Förderung von lernschwachen Schülern auch im inklusiven Klassenverband ohne großen Mehraufwand von Seiten der Lehrkraft möglich.

Die Kopiervorlagen sind lehrwerksunabhängig und lassen sich weitgehend selbstständig bearbeiten. Zudem tragen spielerische Aktivitäten dazu bei, Spaß am Umgang mit der Mathe-matik zu vermitteln und die Leistungsbereitschaft zu fördern.

2 Didaktische und methodische Kommentare

Die vorliegenden Materialien wurden so konzipiert, dass die Schüler dort abgeholt werden kön-nen, wo sie gerade stehen. Die bisher in der Schule und in der Alltagswelt gemachten mathema-tischen Erfahrungen werden aufgegriffen, geübt, vertieft und erweitert.

Im Vordergrund steht dabei ein anwendungs- und teilweise handlungsorientierter Unterricht. Ziel ist es, den Schülern Einsicht in mathematisches Handeln zu vermitteln und eigenständig sinnvolle Rechenstrategien zu entwickeln. Dies gelingt besonders gut, wenn das Ausprobie-ren, Tätigwerden und Entdecken im Mittelpunkt stehen.

Für rechenschwächere Schüler ist es wichtig, dass alle mathematischen Inhalte zu Beginn konkret dargestellt werden. Dies erfolgt beispielsweise durch das Bauen von geometrischen Körpermodellen oder das Legen der Kombinationen von Speisenfolgen.

Das konkrete Handeln wird anschließend von mentalen Operationen abgelöst, indem zum Beispiel die Öffnungsrichtung von Parabeln oder der Unterschied von Grund- und Mantelfläche in Gedanken erkannt wird. Gerade lernschwächere Schüler befinden sich lange in diesen eben

1 Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von Schülern in der verallgemeinernden Form. Selbstver-ständlich sind auch alle Schülerinnen gemeint.


Vorwort

2

beschriebenen Phasen. Die Zeit dafür muss ihnen aber unbedingt gegeben werden, da sich zu schnelles Abstrahieren als kontraproduktiv erweist. Außerdem vermittelt die kleinschrittige Vor-gehensweise den Heranwachsenden Erfolgserlebnisse und motiviert sie ungemein.

Wurde das konkrete und mentale Operieren hinreichend gefestigt, kann die visuelle Unterstüt-zung weggelassen werden. Es folgen nun Übungen, die ausschließlich vorstellungsmäßig, ohne visuelle und handlungsorientierte Unterstützung, zu absolvieren sind und das Automatisieren der mathematischen Fähigkeiten in den Mittelpunkt stellen.

Auch der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben steigert sich sukzessive. Die Arbeitsblätter sind klar und übersichtlich strukturiert. Unnötige Informationen, die von den eigentlichen Aufgaben-stellungen ablenken, wurden weggelassen.

Sämtliche Arbeitsblätter sind fett gedruckt und mit Symbolen versehen, damit sich die Lernen-den leichter zurechtzufinden.

Die Symbole bedeuten:

schau genau und konzentriere dich

notiere / schreibe auf

werde tätig

schneide aus

arbeite mit einem Partner zusammen, besprich dich mit ihm

Wichtig ist es, beim Üben mehrere Wahrnehmungskanäle (visuell, handelnd, akustisch) und die emotionale Komponente durch spielerischen Umgang mit der Mathematik zu nutzen. Auch wechselnde Sozialformen wie die individualisierte Einzelarbeit oder themenzentrier-tes Arbeiten mit dem Partner oder der Gruppe finden im inklusiven Unterricht ihre Berechti-gung. Um stetige individuelle Förderung zu ermöglichen, ist es notwendig, offene Arbeitswei-sen wie Wochenplanarbeit, Freiarbeit oder Stationenlernen einzuüben, aber auch Phasen der regelmäßigen Wiederholung, des Übens und des Zeitlassens einzuplanen.Eine zeitnahe Kontrolle und Rückmeldung an die Schüler stärken deren Sicherheit und Ver-trauen in das eigene Leistungsvermögen.Lösungsblätter zu allen Aufgaben im Anschluss erleichtern zudem die Kontrolle, die auch von den Schülern selbst übernommen werden kann, und unterstützen Sie als Lehrkraft bei Ihrer täg-lichen Unterrichtsvorbereitung.

3 Angestrebte mathematische Kompetenzen in den einzelnen Bereichen

Mithilfe der Arbeitsblätter werden grundlegende mathematische Kompetenzen bei den Schülern der 9./10. Jahrgangsstufe angestrebt. Die Aufgabenformate sind so konzipiert, dass die Heran-wachsenden bei deren Bearbeitung unter Beweis stellen, ob sie die nachfolgend beschriebenen Kompetenzen erworben haben. Dabei darf jedoch die Abstimmung auf die individuellen Bedürf-nisse und Fähigkeiten der einzelnen Schüler nicht außer Acht gelassen werden.


Vorwort

3

Quadratische Funktionen und Gleichungen

# 1., 2. und 3. binomische Formel vervollständigen

# binomische Formeln erkennen # nach oben geöffnete Normalparabel mithil-fe einer Parabelschablone einzeichnen

# nach unten geöffnete Normalparabel mithil-fe einer Parabelschablone einzeichnen

# Öffnungsrichtung einer Normalparabel an-hand der Wertetabelle bzw. des Graphen bestimmen

# Scheitelpunkt einer gezeichneten Normal-parabel ablesen

# Scheitelpunkt und die dazugehörige Schei-telpunktgleichung erkennen und verbinden

# quadratische Gleichungen mithilfe der Lösungsformel lösen

# Funktionsgleichung von Parabeln anhand einer schrittweisen Anleitung ermitteln

# Schnittpunkt zweier Funktionen bestimmen

Weitere, dreifach differenzierte Aufgaben finden Sie im Band „Mathetraining in 3 Kompetenz-stufen – 9./10. Klasse“ (Band 2).

Ich wünsche Ihnen viel Erfolg beim Training der mathematischen Kompetenzen Ihrer Schüler.


6Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2

© Persen Verlag



448


Brigitte Penzenstadler: Mathetraining – Ergänzungsband für den inklusiven Unterricht – Band 2 © Persen Verlag

1. binomische Formel

Vervollständige die 1. binomische Formel.

1. (c + d)2 =

2. (f + g)2 =

3. (x + y)2 =

4. (w + z)2 =

5. (l + m)2 =

6. (r + s)2 =

7. (h + i)2 =

8. e2 + 2ef + f2 =

9. g2 + 2gh + h2 =

10. y2 + 2yz + z2 =

11. w2 + 2wx + x2 =

12. s2 + 2st + t2 =

13. u2 + 2uv + v2 =

14. q2 + 2qr + r2 =

Merke: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2



549





1. (c – d)2 =

2. (f – g)2 =

3. (x – y)2 =

4. (w – z)2 =

5. (l – m)2 =

6. (r – s)2 =

7. (h – i)2 =

8. e2 – 2ef + f2 =

9. g2 – 2gh + h2 =

10. y2 – 2yz + z2 =

11. w2 – 2wx + x2 =

12. s2 – 2st + t2 =

13. u2 – 2uv + v2 =

14. q2 – 2qr + r2 =

Merke: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2



650





1. (x + y) (x – y) =

2. (c + d) (c – d) =

3. (e + f) (e – f) =

4. (w + z) (w – z) =

5. (h + i) (h – i) =

6. (k + l) (k – l) =

7. (n + o) (n – o) =

8. r2 – s2 =

9. t2 – u2 =

10. p2 – m2 =

11. a2 – c2 =

12. m2 – n2 =

13. p2 – q2 =

14. b2 – c2 =

Merke: (a + b) · (a – b) = a2 – b2



751



Binomische Formeln erkennen

Um welche binomische Formel handelt es sich? Notiere.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

x2 – y2 = (x + y) (x – y)

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

(c + d) (c – d) = c2 – d2

(c + d)2 = c2 + 2cd + d2

f2 + 2fg + g2 = (f + g)2

f2 – g2 = (f + g) (f – g)

l2 – 2lm + m2 = (l – m)2 =

(l + m)2 = l2 + 2lm + m2

(h – i)2 = h2 – 2hi + i2

Merke: 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2



852



Nach oben geöffnete Normalparabel

Zeichne die Werte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Koordinaten mithilfe einer Parabelschablone.

y =x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

Merke: Normalparabel nach oben geöffnet: y = x2 Eine Normalparabel hat den Scheitelpunkt S (0|0).



953



Nach unten geöffnete Normalparabel

Zeichne die Werte in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Koordinaten mithilfe einer Parabelschablone.

y = -x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

Merke: Normalparabel nach unten geöffnet: y = -x2 Eine Normalparabel hat den Scheitelpunkt S (0|0).



1054



Öffnung einer Normalparabel bestimmen

Ist die Normalparabel nach oben oder unten geöffnet? Notiere.

y = x2

x -1 0 1

y 1 0 1

x -1 0 1

y -1 0 -1 y = -x2

Merke: Normalparabel nach unten geöffnet: y = -x2 Normalparabel nach oben geöffnet: y = x2



1155



Scheitelpunkt einer Normalparabel ablesen

Wie lautet der Scheitelpunkt der Parabel? Notiere ihn.

Merke: Ist die Normalparabel entlang der x-Achse um xs-Einheiten und entlang der y-Achse um ys-Einheiten verschoben, lautet die Scheitel-punktgleichung: y = ( x – xs)2 + ys

Man kann hier den Scheitelpunkt der Parabel sofort ablesen: S (xs|ys)



1256



Scheitelpunkt und Scheitelpunktgleichung verbinden

Beispiele: y = (x – 1)2 + 1 S (1|1)

y = (x + 1)2 – 1 S (-1|-1)

Verbinde die Scheitelpunktgleichung mit dem Scheitelpunkt der Parabel.

Merke: Scheitelpunktgleichung: y = ( x – xs)2 + ys. Man kann hier den Scheitelpunkt der Parabel sofort ablesen: S (xs|ys)

y = (x – 2)2 + 1

y = (x – 4)2 – 1

y = (x + 4)2 – 1

y = (x + 2)2 + 1

y = (x – 3)2 – 2

y = (x – 1)2 – 4

y = (x + 3)2 + 2

y = (x – 1)2 + 4

y = (x – 2)2 – 3

S (4|-1)

S (-2|1)

S (2|1)

S (-4|-1)

S (-3|2)

S (3|-2)

S (2|-3)

S (1|-4)

S (1|4) y = (x + 2)2 + 3

S (-2|3)



1357



Quadratische Gleichungen lösen

Beispiel: x2 + 4x + 3 = 0 p = 4; q = 3

x1/2 = - 42

± ( )4 –2

2

3

x1/2 = -2 ± 1 x1/2 = -2 ± 1 x1 = -1; x2 = -3

Löse die quadratischen Gleichungen mithilfe der Lösungsformel wie im Beispiel.

x2 + 5x + 6 = 0 x2 + 8x + 7 = 0

x2 + 6x + 8 = 0 x2 + 6x + 5 = 0

Lösungen: -1 -1 -2 -2 -3 -4 -5 -7

Lösungsformel: x1/2 = p p- ± – q2 2

2



1458



Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln I

Ermittle die Funktionsgleichung mithilfe der obigen Vorgehensweise. A (0|3); B (3|3)

Lösung: y = x2 – 3x + 3

A (1|4) und B (–2|1) liegen auf einer nach oben geöffneten Parabel. Die Funktionsgleichung wird folgendermaßen ermittelt: y = x2 + px + q 4 = 12 + 1p + q Setze die Koordinaten des ersten Punktes 3 = p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = 3 – p ein und löse nach q auf. 1 = (-2)2 – 2p + q Setze die Koordinaten des zweiten Punktes 1 = 4 – 2p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = -3 + 2p ein und löse nach q auf. -3 + 2p = 3 – p Setze beide Gleichungen gleich (q = q) 2p = 6 – p und berechne p. p = 2 q = 3 – 2 Setze p in eine der beiden Gleichungen ein q = 1 und berechne q. y = x2 + 2x + 1 Setze die beiden Werte für p und q in die Funktionsgleichung ein.



1559



Funktionsgleichungen von Parabeln ermitteln II

Ermittle die Funktionsgleichung mithilfe der obigen Vorgehensweise. A (3|10); B (8|5)

Lösung: x2 – 12x + 37

A (1|4) und B (-2|1) liegen auf einer nach oben geöffneten Parabel. Die Funktionsgleichung wird folgendermaßen ermittelt: y = x2 + px + q 4 = 12 + 1p + q Setze die Koordinaten des ersten Punktes 3 = p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = 3 – p ein und löse nach q auf. 1 = (-2)2 – 2p + q Setze die Koordinaten des zweiten Punktes 1 = 4 – 2p + q in die Normalform der Funktionsgleichung q = –3 + 2p ein und löse nach q auf. -3 + 2p = 3 – p Setze beide Gleichungen gleich (q = q) 2p = 6 – p und berechne p. p = 2 q = 3 – 2 Setze p in eine der beiden Gleichungen ein q = 1 und berechne q. y = x2 + 2x + 1 Setze die beiden Werte für p und q in die Funktionsgleichung ein.



1660



Schnittpunkte von Funktionen bestimmen Beispiel: y1 = x2 ∧ y2 = x2 – 4x + 5

y1 = y2 Setze beide Gleichungen gleich. x2 = x2 – 4x + 5 |–x2 0 = –4x + 5 Berechne x. 4x = 5 |: 4 x = 1,25 y1 = x2 Setze in eine der beiden Gleichungen den y = 1,252 berechneten x-Wert ein. y = 1,5625 Berechne y. S (1,25|1,56) Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts S (x|y).

Berechne den Schnittpunkt mithilfe der obigen Beschreibung.

y1 = x2 + 2x – 1 ∧ y2 = x2 – 4x + 5

Lösung: S (1|2)


Lösungen

17

47

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7.

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Lösungen

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1.

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2.

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g)2 =

3.

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4.

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5.

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6.

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s)2 =

7.

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i)2 =

8.

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f2 =

9.

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12. s

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2.

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3.

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4.

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5.

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6.

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7.

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8.

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(m +

n) (

m –

n)

(p +

q) (

p –

q)

(b +

c) (

b –

c)


Lösungen

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51

Qua

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2 + 2

xy +

y2

x2 –

y2 =

(x +

y) (

x –

y)

(x

– y

)2 = x

2 – 2

xy +

y2

(c

+ d

) (c

– d)

= c

2 – d

2

(c

+ d

)2 = c

2 + 2

cd +

d2

f2 +

2fg

+ g

2 = (f

+ g

)2

f2 –

g2 =

(f +

g) (

f – g

)

l2 –

2lm

+ m

2 = (l

– m

)2 =

(l

+ m

)2 = l2 +

2lm

+ m

2

(h

– i)

2 = h

2 – 2

hi +

i2

Mer

ke:

1. b

inom

isch

e Fo

rmel

: (a

+ b)

2 = a

2 + 2

ab +

b2

2. b

inom

isch

e Fo

rmel

: (a

– b)

2 = a

2 – 2

ab +

b2

3. b

inom

isch

e Fo

rmel

: (a

+ b)

· (a

– b

) = a

2 – b

2

1. b

inom

isch

e Fo

rmel

3. b

inom

isch

e Fo

rmel

2. b

inom

isch

e Fo

rme l

3. b

inom

isch

e Fo

rmel

1. b

inom

isch

e Fo

rme l

1. b

inom

isch

e Fo

rmel

3. b

inom

isch

e Fo

rmel

2. b

inom

isch

e Fo

rme l

1. b

inom

isch

e Fo

rmel

2. b

inom

isch

e Fo

rmel

52

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Nac

h ob

en g

eöff

nete

Nor

mal

para

bel

Zeic

hn

e d

ie W

erte

in d

as

Ko

ord

ina

ten

syst

em e

in. V

erb

ind

e d

ie

Ko

ord

ina

ten

mit

hilf

e ei

ner

Pa

rab

elsc

ha

blo

ne.

y

=x2

x

-3

-2

-1

0 1

2 3

y 9

4 1

0 1

4 9

Mer

ke:

Nor

mal

para

bel n

ach

oben

geö

ffne

t: y

= x

2 Ei

ne N

orm

alpa

rabe

l hat

den

Sch

eite

lpun

kt

S (0

|0).


Lösungen

20

53

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g Nac

h un

ten

geöf

fnet

e N

orm

alpa

rabe

l

Zeic

hn

e d

ie W

erte

in d

as

Ko

ord

ina

ten

syst

em e

in. V

erb

ind

e d

ie

Ko

ord

ina

ten

mit

hilf

e ei

ner

Pa

rab

elsc

ha

blo

ne.

y

= -x

2

x

-3

-2

-1

0 1

2 3

y -9

-4

-1

0

-1

-4

-9

Mer

ke:

Nor

mal

para

bel n

ach

unte

n ge

öffn

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y =

-x2

Eine

Nor

mal

para

bel h

at d

en S

chei

telp

unkt

S

(0|0

).

54

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Öff

nung

ein

er N

orm

alpa

rabe

l bes

tim

men

Ist d

ie N

orm

alp

ara

bel

na

ch o

ben

od

er u

nte

n g

eöff

net

? N

oti

ere.

y

= x2

x

-1

0 1

y 1

0 1

x -1

0

1

y -1

0

-1

y =

-x2

Mer

ke:

Nor

mal

para

bel n

ach

unte

n ge

öffn

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y =

-x2

Nor

mal

para

bel n

ach

oben

geö

ffne

t: y

= x

2

nach

obe

n ge

öffn

ete

Nor

mal

para

bel

nach

obe

n ge

öffn

ete

Nor

mal

para

bel

nach

unt

en g

eöffn

ete

Nor

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para

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nach

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en g

eöffn

ete

Nor

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para

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nach

unt

en g

eöffn

ete

Nor

mal

para

bel

nach

obe

n ge

öffn

ete

Nor

mal

para

bel


Lösungen

21

55

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Sche

itel

punk

t ein

er N

orm

alpa

rabe

l abl

esen

Wie

lau

tet d

er S

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telp

un

kt d

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ara

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? N

oti

ere

ihn

.

Mer

ke:

Ist d

ie N

orm

alpa

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l ent

lang

der

x-A

chse

um

xs-

Einh

eite

n un

d en

tlan

g de

r y-A

chse

um

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-Ein

heit

en v

ersc

hobe

n, la

utet

die

Sch

eite

l-pu

nktg

leic

hung

: y =

( x

– x s

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s

Man

kan

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er d

en S

chei

telp

unkt

der

Par

abel

so

fort

abl

esen

: S (x

s|ys)

S (-

1|1)

S

(2|2

)

S (0

|5)

S (2

|-4)

56

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Sche

itel

punk

t und

Sc

heit

elpu

nktg

leic

hung

ver

bind

en

Beis

piel

e:

y =

(x –

1)2 +

1

S

(1|1

)

y =

(x +

1)2 –

1

S

(-1|

-1)

Ver

bin

de

die

Sch

eite

lpu

nkt

gle

ich

un

g m

it d

em S

chei

telp

un

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er

Pa

rab

el.

Mer

ke:

Sche

itel

punk

tgle

ichu

ng: y

= (

x –

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ys.

Man

kan

n hi

er d

en S

chei

telp

unkt

der

Par

abel

so

fort

abl

esen

: S (x

s|ys)

y =

(x –

2)2 +

1

y =

(x –

4)2 –

1

y =

(x +

4)2 –

1

y =

(x +

2)2 +

1

y =

(x –

3)2 –

2

y =

(x –

1)2 –

4

y =

(x +

3)2 +

2

y =

(x –

1)2 +

4

y =

(x –

2)2 –

3

S (4

|-1)

S (-

2|1)

S (2

|1)

S (-

4|-1

)

S (-

3|2)

S (3

|-2)

S (2

|-3)

S (1

|-4)

S (1

|4)

y =

(x +

2)2 +

3

S (-

2|3)


Lösungen

22

57

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Qua

drat

isch

e Gl

eich

unge

n lö

sen

Beis

piel

: x2 +

4x

+ 3

= 0

p

= 4;

q =

3

x 1/2 =

-4 2

±

()4–

2

2

3

x 1/2 =

-2 ±

1

x 1/

2 = -2

± 1

x 1 =

-1; x

2 = -3

Lö

se d

ie q

ua

dra

tisc

hen

Gle

ich

un

gen

mit

hilf

e d

er L

ösu

ng

sfo

rmel

wie

im

Bei

spie

l.

x2 +

5x

+ 6

= 0

x2 + 8

x +

7 =

0

x2 +

6x

+ 8

= 0

x2 + 6

x +

5 =

0

Lösu

ngen

:

-1

-1

-2

-

2

-3

-4

-5

-

7

Lösu

ngsf

orm

el:

x 1/2

=

pp

- ±

–

q2

2

2

p =

5; q

= 6

x 1/2 =

-2,5

± 0

,5

x 1 = -3

x 2 = -2

x 1/2 =

-5 2

±

()5–

62

2

p =

8 ; q

= 7

x 1/2 =

-4 ±

3

x 1 = -7

x 2 = -1

x 1/2 =

-8 2

±

()8–

72

2

p =

6 ; q

= 8

x 1/2 =

-3 ±

1

x 1 = -4

x 2 = -2

x 1/2 =

-6 2

±

()6–

82

2

p =

6 ; q

= 5

x 1/2 =

-3 ±

2

x 1 = -5

x 2 = -1

x 1/2 =

-6 2

±

()6–

52

2

58

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Funk

tion

sgle

ichu

ngen

von

Pa

rabe

ln e

rmit

teln

I

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ittl

e d

ie F

un

ktio

nsg

leic

hu

ng

mit

hilf

e d

er o

big

en V

org

ehen

swei

se.

A (0

|3);

B (3

|3)

Lö

sung

: y

= x

2 – 3

x +

3

A (1

|4) u

nd B

(–2|

1) li

egen

auf

ein

er n

ach

oben

geö

ffne

ten

Para

bel.

D

ie F

unkt

ions

glei

chun

g w

ird

folg

ende

rmaß

en e

rmit

telt

: y

= x2 +

px

+ q

4 =

12 + 1

p +

q Se

tze

die

Koo

rdin

aten

des

ers

ten

Punk

tes

3

= p

+ q

in d

ie N

orm

alfo

rm d

er F

unkt

ions

glei

chun

g

q =

3 –

p ei

n un

d lö

se n

ach

q au

f. 1

= (-

2)2 –

2p

+ q

Setz

e di

e K

oord

inat

en d

es z

wei

ten

Punk

tes

1

= 4

– 2p

+ q

in

die

Nor

mal

form

der

Fun

ktio

nsgl

eich

ung

q

= -3

+ 2

p ei

n un

d lö

se n

ach

q au

f. -3

+ 2

p =

3 –

p Se

tze

beid

e Gl

eich

unge

n gl

eich

(q =

q)

2p =

6 –

p

und

bere

chne

p.

p =

2 q

= 3

– 2

Setz

e p

in e

ine

der b

eide

n Gl

eich

unge

n ei

n q

= 1

und

bere

chne

q.

y =

x2 + 2

x +

1 Se

tze

die

beid

en W

erte

für p

und

q in

die

Funk

tion

sgle

ichu

ng e

in.

y =

x2 + p

x +

q 3

= 02 +

0p

+ q

q =

3

3 =

32 + 3

p +

q -6

– 3

p =

q q

= q

3 =

-6 –

3p

9 =

-3p

p =

-3

q =

-6 –

3p

q =

-6 –

3 (-

3)

q =

3 y

= x2 –

3x

+3


Lösungen

23

59

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Funk

tion

sgle

ichu

ngen

von

Pa

rabe

ln e

rmit

teln

II

Erm

ittl

e d

ie F

un

ktio

nsg

leic

hu

ng

mit

hilf

e d

er o

big

en V

org

ehen

swei

se.

A (3

|10)

; B (8

|5)

Lösu

ng:

x2 –

12x

+ 3

7

A (1

|4) u

nd B

(-2|

1) li

egen

auf

ein

er n

ach

oben

geö

ffne

ten

Para

bel.

D

ie F

unkt

ions

glei

chun

g w

ird

folg

ende

rmaß

en e

rmit

telt

: y

= x2 +

px

+ q

4 =

12 + 1

p +

q Se

tze

die

Koo

rdin

aten

des

ers

ten

Punk

tes

3

= p

+ q

in d

ie N

orm

alfo

rm d

er F

unkt

ions

glei

chun

g

q =

3 –

p ei

n un

d lö

se n

ach

q au

f. 1

= (-

2)2 –

2p

+ q

Setz

e di

e K

oord

inat

en d

es z

wei

ten

Punk

tes

1

= 4

– 2p

+ q

in

die

Nor

mal

form

der

Fun

ktio

nsgl

eich

ung

q

= –3

+ 2

p ei

n un

d lö

se n

ach

q au

f. -3

+ 2

p =

3 –

p Se

tze

beid

e Gl

eich

unge

n gl

eich

(q =

q)

2p =

6 –

p

und

bere

chne

p.

p =

2 q

= 3

– 2

Setz

e p

in e

ine

der b

eide

n Gl

eich

unge

n ei

n q

= 1

und

bere

chne

q.

y =

x2 + 2

x +

1 Se

tze

die

beid

en W

erte

für p

und

q in

die

Funk

tion

sgle

ichu

ng e

in.

y =

x2 + p

x +

q 10

= 3

2 + 3

p +

q

q =

1 –

3p

5 =

82 + 8

p +

q

-59

– 8

p =

q

q =

q

1 –

3p =

-59

– 8p

60 =

-5p

p =

-12

q =

1 –

3 (-

12)

q =

1 +

36

q =

37

y =

x2 – 1

2x +

37

60

Qua

drat

isch

e Fu

nkti

onen

und

Gle

ichu

ngen

Brig

itte

Pen

zens

tadl

er: M

athe

trai

ning

– E

rgän

zung

sban

d fü

r de

n in

klus

iven

Unt

erric

ht –

Ban

d 2

© P

erse

n V

erla

g

Schn

ittp

unkt

e vo

n Fu

nkti

onen

bes

tim

men

Be

ispi

el:

y 1 = x

2 ∧

y 2 = x

2 – 4

x +

5 y 1 =

y2

Set

ze b

eid

e G

leic

hu

ng

en g

leic

h.

x2 = x

2 – 4

x +

5 |–

x2 0

= –4

x +

5 B

erec

hn

e x.

4x

= 5

|:

4 x

= 1,

25

y 1 = x

2 S

etze

in e

ine

der

bei

den

Gle

ich

un

gen

den

y

= 1,

252

ber

ech

net

en x

-Wer

t ein

. y

= 1,

5625

B

erec

hn

e y.

S

(1,2

5|1,

56)

Bes

tim

me

die

Ko

ord

ina

ten

des

Sch

nit

tpu

nkt

s S

(x|y

).

Ber

ech

ne

den

Sch

nit

tpu

nkt

mit

hilf

e d

er o

big

en B

esch

reib

un

g.

y 1 = x

2 + 2

x –

1

∧ y 2 =

x2 –

4x

+ 5

Lösu

ng:

S (1

|2)

y 1 = y

2

x2 + 2

x –

1 =

x2 – 4

x +

5

2x –

1 =

-4x

+ 5

6x –

1 =

5

6x =

6

x =

1

y =

12 + 2

· 1

– 1

y =

1 +

2 –

1

y =

2

S (1

|2)

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Covergrafik: Oliver Wetterauer Piktogramme: Stift: Marion El-Khalafawi; Ausrufeichen, Partner, Schere: Julia Flasche; Hand: Barbara Gerth; Augen: Alex KellySatz: Typographie & Computer, Krefeld

Bestellnr.: 20094DA3

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