18200 Exponentialfunktionen 1 - mathe-cd.de 5-10/18... · Die Lösungen der Trainingsaufgaben...

Exponentialfunktionen Grundlagen

Teil 1

Grundeigenschaften

Behandlung ohne Ableitungen

Ein Trainingsheft für Klasse 10

Datei Nr. 18200

Stand 12. März 2017

Friedrich Buckel

INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

www.mathe-cd.schule

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18200 Exponentialfunktionen Einführung 2

Friedrich Buckel www.mathe-cd.schule

Inhalt

§ 1 Einfache Exponentialfunktionen 4

1.1 Grundlagen 4

Schaubilder einiger Exponentialfunktionen 4

1.2 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen 5

Verschiebung in y-Richtung 5

xy 2 2 , xy 2 2 , xy 3 a 5

Verschiebung in x-Richtung 6

x 3y 2 , x 3y 2 6

Spiegelung an der y-Achse 7

xy 2 , x 3y 2 , x 3y 2 7

Weitere Beispiele: 8

x 2y 3 4 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 8

x 212y 1

und x 2y 2 1 9

Spiegelung an der x-Achse 10

xy 2 , xy 2 3 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 10

xy 5 4 (Schnittpunkt mit der x-Achse) 11

Trainingsaufgaben 1 11

Trainingsaufgaben 2 12

1.3 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen zur Basis e 13

xy e , x 2y e , x 2y e , xy e 2 , xy e 2 13

xy e , x 2y e , x 2y e , x 2y e 2 14

xy 4 e , xy 3 e 15

1.4 Zusammenfassung und Übersicht 16

§ 2 Gestreckte Exponentialfunktionen 18

2.1 Streckung in y-Richtung 18

Streckung der Exponentialkurven xy 2 2 , x12y 2 18

xy 4 2 , xy 2 3 . x 1,37y 4 19

xy 20 1,2 , xy 30 0,8 , xy 50 1 0,05 20

2.2 Streckung in x-Richtung 3xy 2 und x/2y 3 20

2.3 Trainingsaufgaben 3 bis 6 22

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§ 3 Nullstellen von Exponentialfunktionen – Schnittpunkte mit der x-Achse 23

3.1 Berechnung von Nullstellen = Lösen von Exponentialgleichungen 23

Typ 1 (Lösen durch Exponentenvergleich) 23

Typ 2 (Lösen durch Logarithmieren) 25

3.2 Trainingsaufgaben 7 und 8 27

§ 4 Asymptoten von Exponentialkurven 28

§ 5 Aufstellen von Kurvengleichungen 30

5.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen 30

5.2 Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich 34

5.3 Trainingsaufgaben 9 bis 12 37

5.4 Identifikation der Gleichung aus dem Schaubild 38

Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve 38

11 Beispiele 38

Trainingsaufgabe 13 44

§ 6 Zusammenstellung der Trainingsaufgaben 45 – 50

Die Lösungen der Trainingsaufgaben bilden ein eigenes „Heft“ mit der Nummer 18201

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§ 1 Einfache Exponentialfunktionen

1.1 Grundlagen

Als Exponentialfunktionen bezeichnet man Funktionen mit einer positiven Zahl als Basis und der

Variablen x im Exponenten. Die einfachste Grundform ist somit xf(x) a= , etwa xf(x) 2= .

Schaubilder einiger „solcher“ Exponentialfunktionen:

Man beobachtet, dass die Funktionen für positive x umso stärker wachsen, je größer die Basis a ist.

In der Oberstufe führt man eine interessante aber nicht einfache Berechnung für die Steigung der

Tangente im Punkt ( )Q 0 | 1 durch, durch den alle diese Kurven gehen. Die Kurve, die dort die

Steigung 1 hat, hat als Basis eine Zahl 2,71828…. , die man die Eulersche Zahl e nennt.

Sie ist die wichtigste aller Exponentialfunktionen: f(x) = ex.

Kompliziertere Funktionsterme sehen beispielsweise so aus:

x 1 x 1 xf x 2 2 2 2 2 , xx

1f x 3

3

, 1 12 2

x xxf x 2 2 2

x110

f x 5 , 2t 8f(t) 1,04 -= xf x x e

xf x e 2x 1 2x

x

e 1f x

3 e

usw.

( ) xf x 1,5=

( ) xf x e=

( ) xf x 3=

( ) xf x 4=

( ) xf x 5=

( ) xf x 2=

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1.2 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen

Verschiebungen und Streckungen

Beispiel 1 ( ) xf x 2=

Die Funktion geht durch ( )Q 0 | 1 und hat für x

den Grenzwert 0: x

xlim 02-¥

= .

Für x gilt: f x , was man neuerdings oft so

schreibt: x

xlim 2

(obwohl die Schreibweise „ “ eigentlich

sinnlos ist.). Dies soll lediglich aussagen, dass f für x

keinen (endlichen) Grenzwert hat.

Die Kurve hat also die negative x-Achse als waagrechte Asymptote.

Definitionsbereich: D R (Man kann alle reellen Zahlen einsetzen.)

Wertmenge: W R (Denn es gibt keine nicht positiven Funktionswerte, daher

schneidet das Schaubild auch nicht die x-Achse. Man merke sich: x2 0 für alle x.

Verschiebung der Kurve y = ax in y-Richtung:

Beispiel 2 ( ) xf x 2 2= + Jetzt wurde y = 2x um 2 nach oben verschoben.

Daher wird die Gerade y = 2 zur waagerechten Asymptote.

Definitionsbereich: D R

Wertmenge: 2 , W

Beispiel 3 ( ) xf x 2 2= - Jetzt wurde y = 2x um 2 nach unten verschoben.

Daher wird die Gerade y = -2 zur waagerechten Asymptote.


Wertmenge: 2 , W

Beispiel 4 ( ) xf x 3 a= +

Diese Gleichung stellt eine Schar von Exponentialfunktionen dar.

Für a = 0 erhält man die Funktion, deren Schaubild die negative

x-Achse als waagerechte Asymptote hat und durch Q 0 |1 geht.

Für a = 5 erhält man die Funktion, deren Schaubild ganz oben liegt,

also aus dem soeben genannten durch Verschiebung um 5 in

y-Richtung entsteht, für a = -3 erhält man die Verschiebung um

3 nach unten zur untersten abgebildeten Kurve usw.

xy 2 2

xy 2 2

xy 2

Q

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Verschiebung der Kurve y = ax in x-Richtung:

Beispiel 5 ( ) x 3f x 2 -=

Verschiebt man die Kurve mit der Gleichung xy 2 um 3 nach rechts, dann entsteht eine

Kurve mit der Gleichung x 3y 2 -= . Manche meinen, dass es doch x 3y 2 heißen müsste.

Die Erklärung dazu liefern Punktproben:

(a) Auf der „Urkurve“ xy 2 liegt der Punkt Q 0 | 1 , denn für x = 0 folgt Oy 2 1 .

(b) Verschiebt man Q um 3 nach rechts (wie die Kurve), dann ist sein Bildpunkt Q' 3 | 1 .

(c) Ob nun Q’ zur Kurve x 3y 2 -= oder zur Kurve x 3y 2 gehört, findet man so heraus:

Einsetzen von x’ = 3 in x 3y 2 -= ergibt: 3 3 0y ' 2 2 1 .

Einsetzen von x’ = 3 in x 3y 2 += ergibt: 3 3 6y ' 2 2 64 .

Man erkennt, dass Q’ offenbar auf der Kurve x 3y 2 -= liegt.

Ergebnis: Verschiebt man xy 2 um 3 nach rechts, hat die Bildkurve die Gleichung x 3y 2 -= .

Beispiel 6 ( ) x 3f x 2 += Verschiebt man die Kurve mit der Gleichung xy 2 um 3 nach links, dann hat die Bildkurve

die Gleichung x 3y 2 += . Man kann dies wie in Beispiel 5 dadurch überprüfen, dass man

Q 0 | 1 auch um 3 nach links verschiebt zu Q * 3 | 1 . Er liegt auf der Kurve x 3y 2 += ,

was die Punktprobe zeigt: Einsetzen von x* = -3 in x 3y 2 += ergibt: 3 3 0y* 2 2 1 .

Die Abbildung zeigt die Überlegungen zu

den Beispielen 5 und 6.

Zur den Bezeichnungen:

Ich habe Q nach rechts verschoben und

den Bildpunkt von Q mit Q’ bezeichnet.

Die Verwendung desselben Buchstabens

soll die Zusammengehörigkeit andeuten.

Den Bildpunkt von Q bei Verschiebung

nach links habe ich aus dem gleichen

Grund Q* genannt. Das muss aber nicht so sein!

Eigenschaften:

Alle drei Funktionen haben für x den Grenzwert 0: x a

xlim 2 0-

-¥= .

d. h. die negative x-Achse (Gleichung y = 0) ist waagrechte Asymptote der Schaubilder.

Definitionsbereich: D R (Menge der zulässigen x-Werte)

Wertmenge: W R (Menge der entstehenden y-Werte)

Für x gilt: f x : x

xlim 2

. (d. h. es gibt keinen Grenzwert!)

33

x 3y 2 x 3y 2

Q Q'Q *

33

xy 2

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Spiegelung an der y-Achse:

Beispiel 7 ( ) x2f x -=

Das Schaubild dieser Funktion entsteht aus xy 2 durch

Spiegelung an der y-Achse, denn es wird x durch –x ersetzt.

Für den „Aha-Effekt“ setze man P 3 | 8 in xy 2 ein.

Das Spiegelbild von P ist T 3 | 8 , und T liegt auf xy 2 :

Setzt man xT = -3 ein, folgt 3 3Ty 2 2 8

!

Weil xy 2 die negative x-Achse als waagrechte Asymptote hat, besitzt ihr Spiegelbild, also

xy 2 , die positive x-Achse als waagrechte Asymptote, und es gilt x

xlim 2 0-

¥= .

Die Kurve geht durch den Punkt Q 0 | 1 . Er liegt auf der Spiegelachse.

Beispiel 8 ( ) ( )x 3 x 3f x 2 2- - - += = und ( ) ( )x 3 x 3f x 2 2- + - -= =

In den Beispielen 5 und 6 konnte man erkennen, dass x 3y 2 durch Verschiebung um 3

nach rechts entsteht und x 3y 2 durch Verschiebung um 3 nach links.

Jetzt muss man im Exponenten das Minuszeichen ausklammern, um dieselbe Folgerung

ziehen zu können, denn die Ausgangskurve hat die Gleichung xy 2 .

Ersetzt man x durch x – 3, dann geht xy 2 über in x 3 x 3y 2 2 . Und es liegt

wieder eine Verschiebung nach rechts vor.

Ersetzt man x durch x + 3, dann geht xy 2 über in x 3 x 3y 2 2 . Und es liegt

wieder eine Verschiebung nach links vor.

Man kann wie zuvor auch die

Punkte Q, P und R einsetzen

und dann feststellen, zu welchen

Kurvengleichungen sie “passen“.

Alle diese Funktionen haben als Definitionsbereich D R und als Wertmenge W R .

Für x gegen Unendlich besitzen sie den Grenzwert 0: x a

xlim 2 0

.

Ihre Schaubilder haben daher die positive x-Achse als waagerechte Asymptote.

xy 2

xy 2

(x 3)y 2

(x 3)

y 2

xy 2

33

DEMO



Beispiel 9: x 2f x 3 4

Wir analysieren die Funktionsgleichung bzw. die Kurvengleichung x 2y 3 4 .

Grundgleichung ist xy 3 . Diese Kurve wird zweimal verschoben.

Zuerst in x-Richtung, und zwar um 2 nach links, was man dem Exponenten x + 2 entnimmt.

Dann folgt eine Verschiebung in y-Richtung, genauer um 4 nach unten.

Zur Sprechweise: Manche sagen dazu: Verschiebung in die negative x-Richtung um 2 oder

Verschiebung in x-Richtung um -2, bzw. Verschiebung in die negative y-Richtung um 4 oder

in y-Richtung um -4. Dies ist Definitionssache. Wichtig ist nur, dass klar ist, was man meint.

Hinweis:

Um sicher zu gehen, ob man richtig überlegt hat, kann man

wie immer eine Stelle einsetzen und den zugehörigen

Kurvenpunkt berechnen: So ergibt z. B. x = -1 den Wert

1 2 1f 1 3 4 3 4 1 C 1| 1 .

Die Abbildung zeigt wie aus A durch die Verschiebung

um – 2 in x-Richtung B entsteht und daraus durch

Verschiebung um – 4 in y-Richtung C entsteht.

Eigenschaften der Funktion:


Wertebereich: 4 ; W

Verhalten im Unendlichen: x 2

xlim 3 4 4

, x 2

xlim 3 4

.

Eigenschaften des Schaubilds:

Waagerechte Asymptote für x : y 4

Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen, kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse berechnen. Seine x-Koordinate nennt man die Nullstelle:

Bedingung: y 0

d. h. x 23 4 0

4 addieren: x 23 4

Logarithmieren: x 2log 3 log 4

3. Logarithmenregel: x 2 log 3 log 4

Durch log 3 dividieren: Nlog 4 log 4log3 log3x 2 | 2 x 2 0,74

Schnittpunkt mit der x-Achse: S 0,74 | 0 .

xy 3x 2

y 3

x 2y 3 4

2

4

Die Funktion hat den Grenzwert- 4, das Schaubild die waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = -4. DEMO



Beispiel 10: x 212f x 1

Aus der Kurve x12y

wird durch Verschiebung

um 2 in x-Richtung: x 212y

und daraus durch Verschiebung

um 1 in y-Richtung: x 212y 1

Eigenschaften der Funktion:


Wertebereich: 1; W

Verhalten im Unendlichen: x 212x

lim 1 1

, x 21

2xlim 1

.



Die Kurve schneidet die x-Achse nicht.

Beispiel 11: x 2f x 2 1

Vergleicht man dieses Schaubild mit dem aus

Beispiel 10, dann scheint dieselbe Kurve vorzuliegen.

Dies darf man aber nicht nur der Anschauung entnehmen.

Beweis:

Aus der Potenzrechnung folgt:

x 2x 2 x 21 x 212 2 2 2

Der Vorteil liegt ganz klar bei der Funktion mit der Basis 2, denn bei ihr lassen sich Werte schneller im Kopf berechnen:

x 212f x 1

: 11 1

2 2f 3 1 1 1,5

2 212f 0 1 2 1 4 1 5

usw.

x 2f x 2 1 : 3 2 1 12f 3 2 1 2 1 1 1,5

2f 0 2 1 4 1 5

MERKE: Jede Exponentialfunktion, deren Basis ein Stammbruch ist, lässt sich durch eine ganzzahlige Basis darstellen:

Beispiele: x 1x 1 x 11 x 113f x 3 3 3

xx x1 x14f x 4 4 4

x 4x 4 x 41 x 4110f x 10 10 10

x12y

x 212y 1

Brüche deren Zähler 1 ist, heißen Stammbrüche: 1 1 12 3 4, , , ...

Die Funktion hat den Grenzwert 1, das Schaubild die waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 1.

x 2y 2 1

y 1

DEMO



Spiegelung an der x-Achse

Spiegelt man einen Punkt 1 1 1P x | y an der x-Achse,

dann ist sein Spiegelbild 1 1 1Q x | y .

Für eine Kurve gilt analoges:

Spiegelt man die Kurve K: xy 2 an der x-Achse, gehört zum

gleichen x ein y mit umgekehrtem Vorzeichen: xy 2 .

Funktionseigenschaften:


Wertebereich: ;0 W

Verhalten im Unendlichen: x

xlim 2 0

, x

xlim 2

.


Waagerechte Asymptote für x : y 0 (Negative x-Achse).

Beispiel 12: xf x 2 3

Die Kurve von oben wurde um drei nach oben verschoben:



Wertebereich: ;3 W


xlim 2 3 3

x

xlim 2 3

.


Waagerechte Asymptote für x : y 3 .

Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse berechnen. Diese Stelle auf der x-Achse nennt man die Nullstelle:

Bedingung: y 0

d. h. x2 3 0

x2 3

Logarithmieren: xlog 2 log 3

3. Logarithmenregel: x log 2 log 3

Durch log 2 dividieren: Nlog3log2x 1,58


(Siehe Abbildung).

xy 2

xy 2 3

3

xy 2

xy 2

1P 2 | 4

1Q 2 | -4

DEMO



Beispiel 14: xf x 5 4

Zuerst versuchen wir durch eine Abbildungskette das

Schaubild zu bestimmen.

Grundkurve ist: xy 4 .

Gespiegelt an der y-Achse: xy 4

Gespiegelt an der x-Achse: xy 4

Um 5 in y-Richtung verschoben: xy 4 5



Wertebereich: ;5 W


xlim 5 4 5

x

xlim 5 4



Wer schon gelernt hat, mit Logarithmen zu rechnen kann hier noch den Schnittpunkt der Kurve mit der x-Achse berechnen. Diese Stelle auf der x-Achse nennt man die Nullstelle:

Bedingung: y 0

d. h. x5 4 0

x5 4


3. Logarithmenregel: x log 4 log 5

Durch log 2 dividieren: N Nlog5log 4x x 1,16


(Siehe Abbildung).

Trainingsaufgaben 1

Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 14, durch welche

Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind.

Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte für das Schaubild.

Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse:

a) x 3f x 3 2 b) xf x 2 4 c) xf x 4

d) x 113f x 2

e) xf x 2,5 4 f) x 2f x 12 3

xy 4xy 4

xy 4

xy 4 5

xy 2

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Trainingsaufgaben 2

Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu.

x1f x 3 2 x

2f x 2 3 x 23f x 2

x 24f (x) 3 2 x 2

5f x 3 3 x 26f x 2 2

K4

K5 K6

K1

K2

K3

DEMO



1.3 Untersuchung einfacher Exponentialfunktionen zur Basis e

Beispiel 1 ( ) xf x e=

Die Funktion geht durch ( )Q 0 | 1 und hat für x gegen den Grenzwert 0: x

xlim e 0-¥

= .

Die Kurve hat also die negative x-Achse als waagrechte Asymptote.

Beispiel 2 ( ) x 2f x e -=

Das Schaubild ist die um 2 nach rechts verschobene Kurve y = ex .

Denn an der Stelle 0 erhält man den Wert e-2, der sonst bei x = –2 gefunden wird.

Dies zeigt die Verschiebung um 2 nach rechts.

Beispiel 3 ( ) x 2f x e +=

Hier wurde y = ex um 2 nach links verschoben, denn bei 0 erhält man e2, was sonst erst

bei x = 2 auftritt.

Beispiel 4 ( ) xf x e 2= + Jetzt wurde y = ex um 2 nach oben verschoben.

Daher wird die Gerade y = 2 zur waagerechten Asymptote.

Beispiel 5 ( ) xf x e 2= - Jetzt wurde y = ex um 2 nach unten verschoben.

Daher wird die Gerade y = -2 zur waagerechten Asymptote.

Alle diese Kurven haben

für x eine waagerechte

Asymptote.

xy e=x 2

y e+=

x 2y e

-=x

y e 2= +

xy e 2= -

DEMO



Beispiel 6 ( ) xf x e-=

Das Schaubild entsteht aus y = ex durch Spiegelung an der y-Achse.

Daher hat es die positive x-Achse als waagerechte Asymptote und es gilt x

nlim e 0-

¥= .

Beispiel 7 ( ) ( )x 2 x 2f x e e- - - += =

Man muss das Minuszeichen ausklammern. Dann erkennt man aus x+2 die Verschiebung um

2 nach links! Dabei ändert sich natürlich die waagerechte Asymptote (x-Achse) nicht.

Beispiel 8 ( ) ( )x 2 x 2f x e e- + - -= =

Man muss das Minuszeichen ausklammern. Dann erkennt man aus x-2 die Verschiebung um

2 nach rechts! Dabei ändert sich natürlich die waagerechte Asymptote (x-Achse) nicht.

Beispiel 9 ( ) ( )x 2 x 2f x e 2 e 2- - - += - = -

Jetzt wurde die Kurve aus Beispiel 7 noch um 2 nach unten verschoben.

Das Schaubild erhält dadurch die waagerechte Asymptote y = -2.

xf x e

x 2f x e

x 2

f x e

x 2f x e 2

DEMO



Beispiel 10 ( ) xf x 4 e= -

Da ex für x -¥ gegen 0 geht, nähert sich die Kurve nach links von unten der Geraden

y = 4 (die somit waagrechte Asymptote ist).

Nach rechts entfernt sie sich immer weiter von ihr und krümmt sich nach unten, weil ja ex

zunimmt.

Beispiel 11 ( ) xf x 3 e-= -

Analog zu (10) nähert sich diese Kurve von unten der Geraden y = 3, aber jetzt nach rechts,

denn e-x wird 0 für x gegen Unendlich. Daher schreibt man x

x xlim f x lim 3 e 3

.

xf(x) 4 e= -

xf(x) 3 e-= -

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1.4 Zusammenfassung und Übersicht

(1) Die Schaubilder der Funktionen xf x a mit einer Basis a > 1 haben einen ähnlichen

Verlauf, wie dieses Schaubild zeigt:

Man berechnet einige Punkte mittels Wertetafel und zeichnet sie ein. Mit rot sind die Punkte zu x = 1

eingetragen: 1 11,5 1,5, 2 2 usw. Mit blau sind die Punkte zu x = 2 markiert: 2 21,5 2,25, 2 4

usw. Im negativen Bereich wird die Kopfrechnung schwieriger: 1 122 0,5 , 2

21 1

422 0,25

Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Es sei jetzt a > 1)

(1) Alle Kurven y = ax gehen durch Q 0 | 1 , weil ao = 1 ist.

(2) ax sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge W R .

(3) Für x gehen die Werte gegen 0,

also ist die negative x-Achse waagrechte Asymptote.

(4) Diese Funktionen wachsen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets

größer, was man so beschreiben kann: Wenn x1 > x2 ist, dann ist auch 1 2x xa > a

(5) Für x gehen die Werte gegen Unendlich.

(6) Die Kurven habe alle Linkskrümmung.

( ) xf x 1,5=

( ) xf x e=

( ) xf x 3=

( ) xf x 4=

( ) xf x 5=

( ) xf x 2=

Punktezu x 1

Punktezu x 2

x

Die Zahl e heißt Eulersche Zahl.

Es ist e 2,71828.

Die Kurve y=e hat in Q 0 | 1 die

Tangentensteigung m = 1.

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(2) Die Schaubilder der Funktionen xf x a mit einer Basis 0 < a < 1 haben diesen Verlauf:

Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Jetzt sei 0 < a < 1.

(1) Die Kurven y = ax gehen alle durch Q 0 | 1 , weil ao = 1 ist.

(2) ax sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge W R .

(3) Für x gehen die Werte gegen 0,

also ist die positive x-Achse waagrechte Asymptote.

(4) Diese Funktionen fallen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets

kleiner. D. h. wenn x1 > x2 ist, dann ist 1 2x x<a a

(5) Für x gehen die Werte gegen Unendlich.

(6) Die Kurven habe alle Linkskrümmung.

(7) Spiegelt man die Kurve xy = a an der y-Achse, wird x durch –x ersetzt und es entsteht

die Kurve -xy = a .

x1,5( ) ( ) xx x32

3 2 1,5- -= =

x2( )xx x120,5 2-= =

x3( )x -x13 = 3

( ) xf x 1 1 !!!= =

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§ 2 Gestreckte Exponentialkurven

Hinweis: Wer Abbildungen von Kurven (dazu gehören Verschiebungen, Spiegelungen und

Streckungen) mit Abbildungsgleichungen durchführen soll, sollte dies im Text 21100 ansehen.

2.1 Streckung in y-Richtung

Die Gleichung xy k a stellt eine Exponentialkurve dar, die mit dem Faktor k aus xy a in y-Richtung gestreckt worden ist.

Beispiel 1

Links wird y = 2x mit dem Faktor 2 gestreckt. Rechts werden die Punkte der Kurve xy 2

Aus A 1| 2 wird durch Verdopplung der um -1 in x-Richtung verschoben Aus A 1| 2 .

y-Koordinate A ' 1| 4 , und aus B 2 | 4 wird wird A ' 0 | 2 , und aus B 2 | 4 wird B' 0 | 4 .

B' 2 | 8 . Die blauen und roten Pfeile stellen die Man erkennt, dass diese Verschiebung zur

y-Koordinaten dieser beiden Punkte dar. gleichen Bildkurve führt wie die Streckung.

Der blaue ist jeweils doppelt so lang als der rote. Allerdings mit verschiedenen Bildpunkten.

Die Kurve als Ganzes ist jedoch dieselbe!

Erkenntnis: Die durch Streckung in y-Richtung mit k 2 erzeugte Kurve xy 2 2

kann man auch durch Verschiebung in x-Richtung erzeugen.

Dahinter steht als mathematischer Grund das Potenzgesetz, wonach gilt: x 1 x 1 x2 2 2 2 2

Beispiel 2

Streckung der Exponentialkurve xy 2 in y-Richtung

mit dem Faktor 12k . Es entsteht die Kurve x1

2y 2 .

Die Potenzregel liefert: x

x x 112 1

2y 2 2

2 .

Daher erkennt man, dass dieselbe Kurve auch durch

Verschiebung von xy 2 in x-Richtung um 1 entsteht.

1

12

xy 2

xy 2 2

xy 2

x 1y 2

DEMO



Beispiel 3

Wir strecken die Kurve xy 2 mit dem Faktor k = 4

und erhalten xy 4 2 .

Umformung durch Potenzrechnung:

2 xx 2 x 2 x x 2 x 2y 4 2 2 2 2 2 2 2

Man erinnere sich: Weil im Exponenten –x steht,

muss man das Minuszeichen ausklammern.

In -(x-2) sagt uns die – 2, dass um 2 nach rechts

verschoben wird!

Beispiel 3

Wir strecken die Kurve xy 3 mit dem Faktor k = 2.

Welche Verschiebung in x-Richtung erzeugt dieselbe

Bildkurve?

Die Bildkurve „heißt“ xy 2 3 .

Wenn sie durch eine Verschiebung entstehen soll,

lautet ihre Gleichung x vy 3

Durch Gleichsetzen erhält man:

x v x3 2 3

Umformen: x v x3 3 2 3

Für Gleichheit muss gelten: v3 2

Logarithmieren: vlog 3 log 2

Umformen: v log 3 log 2

log 2

v 0,63log 3

Ergebnis: x 0,63 xy 3 2 3

Das heißt: Eine Verschiebung der Kurve xy 3 um etwa 0,63 ergibt dieselbe Kurve, wie wenn

man sie in y-Richtung um den Faktor 2 streckt.

Beispiel 4

Die Kurve x 1,37y 4 ist gegeben. Mit welchem Faktor müsste man xy 4 strecken, um die selbe

Kurve zu erhalten?

Lösung:

, also ist 1,37k 4 0,15 x 1,37 x 1,37 x4 4 4 4 k

4

2

xy 2

x 2x 2xy 4 2 2 2

xy 3

xy 2 3

x 0,63y 3

DEMO



Noch einige Kurven mit etwas anderem Aussehen:

Beispiel 15 ( ) xf x 20 1,2= ⋅

Wichtiger Wert ist: 0f(x) 20 1,2 20= ⋅ = , denn 1,2O = 1.

Beispiel 16 ( ) xf x 40 0,8= ⋅

Wichtiger Wert ist: Of(0) 40 8,8 40= ⋅ = , denn 0,8O = 1.

Beispiel 17 ( ) xxf 50 (1 0,05 )= ⋅ -

Wichtiger Wert ist: ( ) ( )0f(0) 50 1 0,05 50 1 1 50 0 0= ⋅ - = - = =⋅ ⋅ .

Diese drei Funktionen sind typische „Wachstumsfunktionen“:

(15) beschreibt exponentielles Wachstum,

(16) beschreibt exponentielle Abnahme und

(17) beschreibt beschränktes Wachstum (dabei geht sozusagen der Platz aus).

Und der wichtige Wert f(0) gibt den Startwert an, also den Wert, den die sich verändernde Größe zum Zeitpunkt x = 0 hat. Dies ergibt den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Dies wird später behandelt.

( ) xf x 20 1,2= ⋅

( ) xf x 40 0,8= ⋅

( ) ( )xf x 50 1 0,05= -DEMO



2.2 Streckung in x-Richtung.

Der Vollständigkeit halber hier eine kurze Anmerkung dazu.

Beispiel 1: Die Kurve 3xy 2 entsteht aus xy 2

durch „Streckung“ in x-Richtung mit dem

Streckfaktor 13k .

In der Abbildung ist dies durch zwei Pfeile veranschaulicht:

Die Strecke CB wird „gestreckt“ auf ein Drittel, also entsteht

die Strecke CA. Der blaue Pfeil ist nur ein Drittel mal so lang

wie der rote Pfeil.

Merke: Als Streckfaktor kommt der Kehrwert des

Faktors vor x in Frage.

axy b entsteht also auch aus xy b durch Streckung

in x-Richtung mit dem Streckfaktor 1ak .

Beispiel 2: Die Kurve x/2y 3 entsteht aus xy 3

durch Streckung in x-Richtung mit dem

Streckfaktor k 2 , denn 2 ist der Kehrwert von 12 .

In der Abbildung ist dies durch zwei Pfeile veranschaulicht:

Die Strecke CA wird „gestreckt“ auf das Doppelte, also entsteht

die Strecke CB. Der blaue Pfeil ist doppelt so lang wie der

rote Pfeil.

Merke: Funktionen mit Gleichungen der Form axf x c b oder ax cf x b haben

Schaubilder, die (auch) in x-Richtung gestreckt sind.

Der Streckfaktor ist 1a .

Hier muss man sehr aufpassen, denn in bxy 2 a ist a der Faktor von x, aber sein

Kehrwert ist der Streckfaktor: x1bk . Damit werden die x-Koordinaten der

Punkte multipliziert, während der Faktor nur in der Gleichung eine Rolle spielt.

3xy 2

xy 2

xy 3

x/2y 3

DEMO



2.3 Trainingsaufgaben

3. Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch

eine Verschiebung oder durch eine Streckung erhalten kann.

a) x 5y 2 b) x 3y 2 c) x 4y 2

d) x 2,5y 3 e) x 1,8y e f) x 3y 4

4. Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch

eine Streckung oder durch eine Verschiebung erhalten kann.

a) xy 4 2 b) x14y 2 c) x1

3y 9

d) x19y 3 e) xy 5 2 f) xy 400 10

5. Wir haben gesehen, dass man bei Exponentialkurven eine Streckung auch durch eine

Verschiebung ersetzen kann und umgekehrt. In den folgenden Gleichungen ist sowohl

ein Streckfaktor vorhanden, wie auch ein Verschiebungssummand.

Stelle aus diesen Gleichungen je zwei andere Formen her, die entweder nur einen

Streckfaktor aufweisen oder nur einen Verschiebungssummanden.

a) x 5y 2 2 b) x 1y 9 3 c) x 312y 4

d) x 112y 2 e) x 2y 3 4 f) x 4y 4e

6. Berechne einige Funktionswerte und zeichne dann das Schaubild. Gib den Streckfaktor

an. In welcher Richtung wird gestreckt?

a) x/2y f x 2 b) x/2f x 4 2 c) 2x 4y 2

d) 2xy e 4 e) x/2f x 2 5 f) 2xy f x 2 6 DEMO



§ 3 Nullstellen von Exponentialfunktionen Schnittpunkte mit der x-Achse von Exponentialkurven

3.1 Berechnung von Nullstellen = Lösen von Exponentialgleichungen

Mehr zu diesem Thema findet man im Text 12880

Gleichungen vom Typ 1

Beispiel 1 xf x 2 4

Nullstellenbedingung: f x 0

Exponentialgleichung: x2 4 0

x isolieren: x2 4

MERKMAL: Die Zahl auf der rechten Seite lässt sich als Potenz mit der gleichen Basis wie links darstellen.

Es ist 24 2 : x 22 2

Exponenten vergleichen: x 2 .

Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist xN = 2.

Das Schaubild schneidet die x-Achse in N 2 | 0 .

Beispiel 2 x 12f x 4


Exponentialgleichung: x 124 0

x isolieren: x 124

MERKMAL: Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich als Potenz mit der gleichen Basis darstellen.

Gemeinsame Basis ist 2: x2 12 2

Potenzregel: 2x 12 2

Exponenten vergleichen: 12x x2 1 .

Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist 1N 2x

Das Schaubild schneidet die x-Achse in 12N | 0 .

N

DEMO



Beispiel 3 x 2f x 3 9


Exponentialgleichung: x 23 9 0

x isolieren: x 23 9


Gemeinsame Basis ist 3: x 2 23 3

Exponenten vergleichen: x 2 2 x 4 .

Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist Nx 4





x isolieren: x 18 4


Gemeinsame Basis ist 2: x 13 22 2

Potenzregel: 2 x 13 3 2x 22 2 2 2

Exponenten vergleichen: 122x 2 3 2x 1 x .

Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist 1N 2x .

Das Schaubild schneidet die x-Achse in 12N | 0 .

Beispiel 5 x/2f x 5 0,2


Exponentialgleichung: x/25 0,2 0

x isolieren: x/25 0,2


Gemeinsame Basis ist 5: x/2 1155 5

Exponenten vergleichen: x x2 21 1 x 2 .

Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist Nx 2 .


Nicht verwechseln!DEMO



Gleichungen vom Typ 2

Diesen Abschnitt kann man nur dann verstehen, wenn man bereits

das Rechnen mit Logarithmen gelernt hat!

Beispiel 6 xf x 2 3



x isolieren: x2 3

MERKMAL: Die Zahlen auf beiden Seiten lassen sich nicht als bekannte Potenz mit der gleichen Basis darstellen.

Logarithmieren: xlog2 log3 (gemeint ist der Log. zur Basis 10)

WISSEN: Die 3. Logarithmusregel lautet: xb blog a x log a .

Man wendet sie auf die linke Seite der Gleichung an.

Damit gelingt es, die Unbekannte x aus dem Exponenten

herauszulösen und vor den Logarithmus zu schreiben!

3. Logarithmusregel: x log 2 log 3 | : log 2

log 3

x 1,58log 2

TR:

Ergebnis: Die Nullstelle der Funktion ist Nx 1,58

Das Schaubild schneidet die x-Achse in N 1,58 | 0 .

Beispiel 7 xf x 4 5



x isolieren: x4 5

Weil man die beiden Seiten nicht günstig durch eine gemeinsame Basis

darstellen kann, logarithmiert man die Gleichung.


3. Logarithmengesetz: x log 4 log 5 | : (- log 4)

log5

x 1,16log4



DEMO






x isolieren: x 23 6




3. Logarithmengesetz: x 2 log 3 log 6 | : log 3

log6

x 2 1,63log3

x 3,63






x isolieren: x 3 x 32 5 2 5




3. Logarithmengesetz: x 3 log 2 log 5 | : log 2

log5

x 3 2,32log2

x 5,32

x 5,32



Zusammenfassung:

Für diese einfachen Gleichungen gibt es zwei Methoden.

(1) Lassen sich die linke und die rechte Seite der Gleichung durch eine

gemeinsame Basis darstellen, dann hilft Exponentenvergleich.

(2) Gelingt das nicht, wird die Gleichung logarithmiert, weil man dann

die Unbekannte aus dem Exponenten heraus bekommt.

DEMO




7. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Empfehlung: Mache es so ausführlich wie zuvor gezeigt.

a) x 1f x 3 27 b) xf x 2 8

c) x 3f x 4 8 d) 2xf x 5 5

e) 3x 1f x 2 4 f) xf x 4 32

g) x14f x 32 h) 3xf x 8 16

8. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Empfehlung: Mache es so ausführlich wie zuvor gezeigt.

a) xf x 4 3 b) xf x 2 1

c) x 3f x 5 10 d) 2xf x 5 12

e) 3x 1f x 2 15 f) x 2f x 4 9

g) x14f x 3 h) 3x 2f x 8 10

DEMO



§ 4 Asymptoten von Exponentialkurven

Die folgenden vier Abbildungen zeigen unverschobene Exponentialfunktionen.

In Abb. 1 sehen wir die Kurven mit der Gleichung xy a mit a > 1, rechts daneben die Kurven, die

daraus durch Spiegelung an der y-Achse entstehen. Sie haben die Gleichung xy a mit a > 1.

Hinweis: Durch Umformen erhält man xx 1

ay a . Wenn a > 1 ist, dann ist 1a0 1 , so dass

man die Gleichungen in Abb. 2 auch so schreiben kann: xy a mit 0 < a < 1.

xf x a mit a 1 xf x a mit 0 a 1

bzw. xf x a mit a 1

xlim f x 0

d. h. Die negative x-Achse xlim f x 0

d. h. Die positive x-Achse

ist waagerechte Asymptote. ist waagerechte Asymptote.

Daran ändert sich auch nichts,, wenn man diese Kurven an der x-Achse spiegelt:

xf x a mit a 1 xf x a mit 0 a 1

bzw. xf x a mit a 1

xlim f x 0

d. h. Die negative x-Achse xlim f x 0

d. h. Die positive x-Achse

ist waagerechte Asymptote. Ist waagerechte Asymptote.

( ) xf x 1,5=

( ) xf x e=

( ) xf x 3=

( ) xf x 4=

( ) xf x 5=

( ) xf x 2=

Abb. 1

( ) ( )xx 15

x

f x 5

0,2

-= =

=

( ) ( )xx 12

x

f x 2

0,5

-= =

=

Abb. 2

( ) xf x 5= -

( ) xf x 2= -

Abb. 3

( ) x xf x 5 0,2-= - = -

( ) x xf x 2 0,5-= - = -

Abb. 4DEMO



Das Verhalten dieser vier Grundtypen ist wichtig, und man sollte es sofort aufschreiben können.

Wichtig ist dabei auch die Schreibweise mit „limes“.

Anwendung für verschobene Exponentialkurven:

Beispiel 1: xy 2 3

xy 2 hat die negative x-Achse als waagrechte Asymptote,

denn x

xlim 2 0

. Die gegebene Kurve entsteht aus dieser

durch Verschiebung um -3 in y-Richtung. Daher ist ihre

waagerechte Asymptote: y 3

Beispiel 2: x 1y 2,5 1

Diese Kurve entsteht aus xy 2,5 durch Verschiebung

um -1 in x-Richtung (denn im Exponent steht –x-1 bzw.

-(x+1)) und um 1 in y-Richtung.

Wegen x

xlim 2,5 0

hat xy 2,5 die (positive) x-Achse

als waagerechte Asymptote und die gegebene Kurve daher

die Gerade y = 1 (für x ).

Beispiel 3: x 2y 3 4

Diese Kurve entsteht aus xy 3 durch Verschiebung

um 2 in x-Richtung (denn im Exponent steht x-2) und

um 4 in y-Richtung.

Wegen x

xlim 3 0

hat xy 3 die (negative) x-Achse



Beispiel 4: xy 4 6

Diese Kurve entsteht aus xy 4 durch Verschiebung

um 6 in y-Richtung.

Wegen x

xlim 4 0

hat xy 4 die (positive) x-Achse



y 3

xy 2 3

DEMO



§ 5 Aufstellen von Gleichungen aus Punkten

5.1 Kurvengleichungen aus Schaubildern erstellen

Zur Aufstellung der Gleichung einer Exponentialkurve des Typs xy a q benötigt man zwei

Punkte. Hier die beste Methode dazu:

Beispiel 1

Die Kurve mit der Gleichung xy a q geht durch die Punkte ( )A 0 | 4 und ( )B 4 | 16 .

Berechne a und q.

Lösung Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung xy a q= ⋅ ein:

( )A 0 | 4 eingesetzt: 04 a q= ⋅ (1)

( )B 4 | 16 eingesetzt: 416 a q= ⋅ (2)

Auswertung:

Aus (1) folgt wegen q0 = 1 sofort a 4

Setzt man dies in (2) ein, folgt: 416 4 q

4q 4

12

4 24 24q 4 2 2 2 2 !!!

Da man nur positive Zahlen als Basis verwendet, lautet das Ergebnis q 1,41» .

Ergebnis: xy 4 1,41= ⋅

Hierzu das Schaubild:

A

BDEMO



Beispiel 2

Die Kurve mit der Gleichung xy a q geht durch die Punkte ( )A 3 | 40 und ( )B 6 | 60 .

Berechne a und q.

Lösung

Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung xy a q= ⋅ ein:

( )A 3 | 40 eingesetzt: 340 a q= ⋅ (1)

( )B 6 | 60 eingesetzt: 660 a q= ⋅ (2)

Auswertungstrick:

Man dividiert nun Gleichung (2) durch (1) wodurch a heraus fällt:

60 a

40

6q

a

3q

33q

2 (3)

3q 1,5 1,15

(3) eingesetzt in (1): 3240 a

803

a

Ergebnis: x803y 1,15= ⋅

Hierzu das Schaubild:

A

BDEMO



Beispiel 3

Die Kurve mit der Gleichung xy a a q bzw. ( )xy a 1 q= ⋅ -

geht durch die Punkte ( )A 10 | 80 und ( )B 5 | 52 . Berechne a und q.

Lösung

Man macht die Punktprobe, d.h. man setzt die beiden Punkte in die Gleichung

( )xy a 1 q= ⋅ - ein:

( )B 5 | 52 eingesetzt: ( )552 a 1 q= ⋅ - (1)

( )A 10 | 80 eingesetzt: ( )1080 a 1 q= ⋅ - (2)

Auswertung:

Man dividiert Gleichung (2) durch (1), wodurch a heraus fällt:

10

5

80 1 q

52 1 q

5 1080 1 q 52 1 q

10 552 q 80 q 28 0 | : 4

10 513 q 20 q 7 0

Dies ist eine quadratische Gleichung für q5.

Wir ersetzen (Substitution) 5q = u , also q10 = u2. Dies ergibt

213 u 20 u 7 0

Die quadratische Gleichung 2au bu c 0+ + = hat die Lösungsformel 2

1,2b b 4ac

u2a

Diese wenden wir an und erhalten:

1,2 14 726 13

120 400 4 7 13 20 6u

26 26

ì - ⋅ ⋅ ïï= = =í =ïïî.

Rücksubstitution: Aus u1 = 1 folgt q = 1.

Dies scheidet aus, weil dann keine Exponentialfunktion mehr vorliegt.

Aus 72 13

u folgt: 5 7 7513 13

q q 0,884

Berechnung von a aus (1) durch Einsetzen von 5 713q = :

( )71352 a 1= ⋅ -

613

52 a

52 13

a 112,676

Ergebnis: ( )xf(x) 112,67 1 0,884= ⋅ -

DEMO



HINWEIS:

Diese Aufgabe führt nur darum auf eine manuell lösbare Gleichung, weil die x-Koordinate des

einen Punktes doppelt so groß ist wie die des anderen, also 5 und 10. Dies führte auf q5 und

q10 und so erhielten wir eine quadratische Gleichung für q5.

Und nun das Schaubild dieser Wachstumsfunktion:

Diese Aufgabe entstammt einer Anwendungsaufgabe, bei der y die Spannung an einem Kondensator

darstellt, der gerade aufgeladen wird. Die Zeit wird auf der x-Achse abgetragen.

Die Spannung strebt gegen den Grenzwert 112,67 V, bei dem der Kondensator dann aufgeladen ist.

Dass das Wachstum hier gebremst wird, liegt daran, dass die sich auf der einen „Kondensatorplatte“

ansammelnden Elektronen (welche die Stromquelle dort hin drückt) eine immer stärkere Gegenkraft

entwickeln, welche die nachströmenden Elektronen quasi ausbremsen. Es scheint so, also ob nicht

mehr Elektronen auf diese Platte passen.

Wenn man jedoch die angelegte Spannung erhöht, dann bekommen die Elektronen mehr Energie mit

auf den Weg und somit gelangen mehr auf die Kondensatorplatte - bis sich wieder ein Gleichgewicht

einstellt.

A

B

112,67

DEMO



5.2 Anwendungsaufgaben aus dem Wachstumsbereich

Hinweise dazu:

Exponentialfunktionen werden in erster Linie zur Beschreibung von Wachstumsprozessen verwendet.

Dazu gehören auch finanzmathematische Anwendungen. Man kann Exponentialfunktionen als

sogenannte Kontostandsfunktionen benutzen und dann anwenden auf

Sparen durch Verzinsung (Zinseszins)

Ratensparen (regelmäßige Sparraten)

Rentenzahlung (regelmäßiges Auszahlen einer Rente von einem Guthabenkonto)

Darlehensrechnung (Rückzahlung eines Darlehens durch regelmäßige Ratenzahlung)

Auch andere Wachstumsvorgänge verwenden Exponentialfunktionen:

Wachstum von Bakterien, Pflanzen, Schimmelpilz usw.

Prozentuale Zunahme von Werten (Geldwert, Temperatur u.v.a.)

Weil auch die prozentuale Abnahme dazu gehört, kann man auch diese Themen darstellen:

Radioaktiver Zerfall

Wertabnahme von Gütern

Abkühlungsprozesse usw.

Die meisten der genannten Vorgänge verwenden Exponentialfunktionen dieser Bauart:

xf x a b c

Die man auch so darstellen kann: x vf x b c

WARUM dies in den einzelnen Themenkreisen möglich ist, und wie das geschieht,

ist hier nicht das Thema. Das wird in anderen Texten besprochen

Es geht lediglich darum, aus wenigen Daten dieser Abläufe

die genaue Funktionsgleichung zu bestimmen.

Gelegentlich werden kleine Folgerungen aus der ermittelten Funktion berechnet.

Hier ein Beispiel dazu.

Eine ausführliche Darstellung für viele dieser Anwendungen steht im Text 18210.

DEMO



Beispiel: Guthabenkonto

Klaus bekommt zum 13. Geburtstag 2000 € auf ein Festgeldkonto einbezahlt.

Er darf es erst nach seinem 18. Geburtstag verwenden. Die Bank verzinst auf diesem Konto

jährlich mit 4%. K(n) sei der Kontostand in €, n die Zahl der Jahre seit der Einzahlung.

a) Zeige: Die Kontostände sind K(1) = 2080 und K(2) = 2163,20.

b) Die Kontostandsfunktion hat die Form: nK n a q .

Berechne a und q mittels K(0) und K(1). Gib dann die Funktion explizit an.

Zeige zur Probe, dass diese Funktion den in a) berechneten Wert K(2) liefert.

Welche Summe ist bei seinem 18. Geburtstag auf dem Konto?

Lösung:

a) Zum Zeitpunkt n = 0 werden 2000 € eingezahlt: K 0 2000 .

Nach 1 Jahr (n = 1) berechnet die Bank den Zins:

4% von 2000 € sind: Z 1 2000 0,04 80

Damit erhöht sich der Kontostand um 80 € auf K 1 2000 80 2080

Nach einem Jahr berechnet die Bank wieder den Zins:

4% von 2080 € sind: Z 2 2080 0,04 83,20

Damit erhöht sich der Kontostand auf K 2 2080 83,20 2163,20

b) Bestimmung der Kontostandsfunktion:

Ansatz: nK n a q

Punktprobe mit Z 0 2000 : O2000 a q (1)

Punktprobe mit Z 1 2080 : 12080 a q (2)

Auswertung:

Aus(1) folgt wegen Oq 1 : 2000 a

Eingesetzt in (2): 2080 2000 q

Daraus folgt q: 2080

q 1,042000

Ergebnis: nK n 2000 1,04

Damit erhält man auch: 2K 2 2000 1,04 2163,20

Denselben Betrag haben wir in a) mittels Zinsrechnung ermittelt.

Nach 5 Jahren ist Klaus 18: 5K 5 2000 1,04 2433,30

DEMO



Kommentar zu diesem Beispiel:

Im Teil a) wurden mit Hilfe der Prozentrechnung aus dem anfänglichen Kontostand K(0) = 2000 die

Folge-Kontostände K(1) und K(2) berechnet.

Im Teil b) wurde wie im Abschnitt 4.1 die Gleichung der Funktion aus zwei Wertepaaren OP 0 | 2000

und 1P 1| 2080 aufgestellt. In 18210 wird gezeigt, wie man allgemein die Richtigkeit dieser Methode

zeigt.

Man kann hier z. B. diese Zusatzfrage stellen:

Nach wie viel Jahren sind 3000 € auf dm Konto? Diese löst man dann so:

Bedingung: K(n) 3000

d. h. n2000 1,04 3000

Geteilt durch 2000: n 30001,04

2000

n1,04 1,5

Logarithmieren: nlog 1,04 log 1,5

3. Logarithmusregel anwenden: nlog 1,04 n log 1,04 :

Linke Seite damit ändern: n log 1,04 log 1,5

Durch log 1,04 teilen: log 1,5

n 10,3log 1,04

Da immer nach ganzen Jahren verzinst wird, muss Klaus 11 Jahre warten.

Hier wurde eine Ungleichung nach n aufgelöst. Weil n im Exponenten stand, musste die Ungleichung

logarithmiert werden. Dies wurde im Abschnitt 3.2 (Nullstellen) ausführlich erklärt.

Schaubild der Kontostandsfunktion:

Das linke Schaubild gehört zwar zur angegebenen Funktion, entspricht aber nicht der Finanz-

realität. Diese sieht so aus, dass zu Jahresbeginn der neue Wert berechnet wird und dieser dann

während des ganzen Jahres konstant bleibt. Dies zeigt das rechte Schaubild. Die dargestellte

Funktion nennt man eine Treppenfunktion.

nK n 2000 1,04

DEMO




9. Welche Gleichungen haben die Kurven, die durch die folgenden Punkte gehen:

Grundform: xy a b

a) 23P 1| 6 , Q 1| b) P 1| 2 , Q 2 | 8

c) P 1| 0,04 , Q 3 | 25 d) 3 14 4P | , Q 2 | 8

10. Die folgenden Kurven haben eine Gleichung der Form: cxy a b

Bestimme a, b und c, so dass die Kurven durch diese Punkte gehen:

a) P 0 |10 , Q 1| 50 , R 2 |130

b) P 0 | 220 , Q 1| 184 , R 2 | 140,8

c) P 0 | 26 , Q 1| 22,4 , R 2 | 19,16

11. Wird ein Geldbetrag G mit Zinseszins auf einem Konto angelegt, dann berechnet man

den nach n Jahren vorhandenen Betrag durch die Funktion nf n G q .

a) Wie groß ist q, wenn G = 3000 € ist, und nach 4 Jahren 3646,52 € auf dem Konto sind?

b) Wie hoch ist die angelaufene Summe dann nach 5 Jahren?

c) Wann befinden sich 6000 € auf dem Konto?

12. Beim Ratensparen kommen Exponentialfunktionen dieses Typs zur Anwendung

nK n a b c

wobei K(n) den Kontostand nach n Jahren angibt.

Stelle die Gleichung für diese Kontostandsfunktion auf, wenn folgendes gegeben ist

a) Startkapital K 0 5000 € , Kontostand nach 1 Jahr: K 1 7710 €

und K 2 10.533,82 € .

Wie hoch ist dann der Kontostand nach 10 Jahren?

b) K 0 2000 € , K 1 2800 € , K 2 3632 .

Wie hoch ist dann der Kontostand nach 8 Jahren? Wann hat er sich verfünffacht?

(Dieses Beispiel wurde hier nicht vorgeübt, versuche es dennoch!)

DEMO



5.4 Bestimmung der Exponentialfunktion aus dem Schaubild

Das charakteristische Trapez einer Exponentialkurve

Beispiel 1: xy 1,5 bzw. xf x 1,5

Ausgehend vom Punkt EO der um 1 über der

waagrechten Asymptote liegt, denkt man sich 3

Pfeile eingezeichnet: Zum Ursprung, 1 nach rechts

und dann hinauf zur Kurve bis E1.

Diese drei Pfeile und der Kurvenbogen O 1E E

bilden ein „krummliniges Trapez“.

(Trapez – weil zwei Gegenseiten parallel sind.)

Die Bedeutung dieses sogenannten charakteristischen

Trapezes liegt darin, dass die Aufwärtsstrecke von der x-Achse bis E1 gerade die Länge hat, welche

die Basis angibt: 1f 1 1,5 1,5 .

Daher können wir später bei der Lösung der eigentlichen Aufgabe (die Basis bestimmen) mit diesem

Trapez arbeiten. Zuvor schauen wir es uns noch bei anderen Kurven an.

Beispiel 2

Hier kann es sich nur um die Funktion xf x 4 bzw. die

Kurve mit der Gleichung xy 4 handeln,

denn der Wert 1f 1 4 4 liefert uns die Basis, und diese

Zahl ist auch die Länge des Pfeils von der x-Achse bis E1.

Beispiel 4

Jetzt wurde die Kurve xy 4 samt Trapez an der y-Achse

gespiegelt. Folglich liegt dieses links von der y-Achse und

zwar E1 liebt bei x = -1. Dies macht auch Sinn, denn die

Gleichung lautet jetzt xy f x 4 . Und um die Basis als

Ergebnis zu bekommen, muss man für x die Zahl -1 einsetzen:

1f 1 4 4 .

Übrigens könnte man das Trapez auch rechts einzeichnen,

dann hätte der Pfeil von x = 1 aufwärts die Länge 14 , was aber

schlecht ablesbar ist, und wegen x x14 4 wäre das auch richtig.

1,5

4

OE

1E

4

1E

OE

DEMO



Beispiel 4

In diesem Schaubild werden zwei Exponentialkurven

gezeigt. Die rote Kurve hat die Gleichung xy 2,5 ,

die blaue xy 2,5 , was man daran erkennt, dass sie

nach links oben verläuft, also den Punkt E1, der die

Basiszahl liefert, bei x = -1 hat.

Nun spiegeln wir beide Kurven an der x-Achse

und erhalten: xy 2,5 bzw. xy 2,5

Und jetzt ganz ausführlich:

Wie identifiziert man diese beiden Kurven.

1 Suche den Punkt EO. Er hat von der x-Achse

den Abstand 1 und liegt hier auf der y-Achse.

2 Gehe senkrecht auf die x-Achse zu (schwarzer Pfeil).

3 Gehe entlang der x-Achse um 1 in der Richtung,

in der sich die Kurve von der x-Achse weg biegt.

4 Von da aus gehe parallel zur y-Achse bis zum

Kurvenpunkt E1. Die Länge dieser Strecke ist die Basis.

Nun muss man nur noch die Grundform der vier möglichen Exponentialkurven wissen:

B ist die Basis, die man am letzten

Pfeil (von der x-Achse bis zu E1)

abliest.

Das Auftreten der Minuszeichen folgt

einer einfachen Merkregel:

Man denke sich die Kurve als

Fahrbahn entlang der man sich bewegt.

Und zwar kommt man stets entlang der

waagerechten Asymptote, die hier im Bild

die x-Achse ist. Fährt man entgegen der

x-Richtung, verwendet man –x,

fährt man entgegen der y-Richtung, bekommt

der y-Term (also die ganze rechte Seite)

ein Minuszeichen.

In der Abbildung links unten fährt man nach links unten, also entgegen beiden Achsenrichtungen,

daher stehen auch 2 Minuszeichen in der Gleichung usw.

OE

1E1E

2,5 2,5

xy 2,5

xy 2,5

1E

2,5 2,5OE

xy 2,5

xy 2,5

1E

xy bxy b

xy b xy b

DEMO



Beispiel 5: Verschobene Kurven

Links die Abbildung aus Beispiel 4. Rechts dieselben Kurven, aber um 4 nach unten verschoben.

Damit liegt die waagerechte Asymptote nicht mehr auf der x-Achse. Sie hat die Gleichung y 4 .

Identifizierung der Kurvengleichung:

1 Suche den Punkt EO. Er hat von der waagerechten Asymptote den Abstand 1 und liegt hier auf

der y-Achse (weil die Kurve nicht in x-Richtung verschoben worden ist).

2 Gehe senkrecht auf die Asymptote zu (schwarzer Pfeil).

3 Gehe entlang der Asymptote um 1 in der Richtung, in der sich die Kurve von der Asymptote

weg biegt.

4 Von da aus gehe parallel zur y-Achse bis zum Kurvenpunkt E1. Die Länge dieser Strecke ist die

Basis.

5 Die Gleichung der roten Kurve lautet: xy b v (v ist die Verschiebungsstrecke)

Also: xy 2,5 4

Die Gleichung der blauen Kurve lautet: xy b v (v ist die Verschiebungsstrecke)

Also: xy 2,5 4

Beispiel 6

Die charakteristischen Trapeze liefern für beide Kurven

die Basiszahlen 2,5.

Die blaue Kurve hat eine Gleichungsform: xy b v

Mit b = 2,5 und v = 2 folgt: xy 2,5 2

Die rote Kurve hat eine Gleichungsform: xy b v

Mit b = 2,5 und v = 2 folgt: xy 2,5 2

OE

1E1E

2,5 2,5

xy 2,5

xy 2,5

OE

1E1E

2,5 2,5

xy 2,5 4 x

y 2,5 4

1E

2,5 2,5OE

xy 2,5 2 x

y 2,5 2

1E

DEMO



Beispiel 7

1 Suche den Punkt EO. Er hat von der waagerechten

Asymptote (hier die x-Achse) den Abstand 1 und liegt

statt auf der y-Achse bei x = 2. Also ist die Kurve

um 2 in x-Richtung verschoben.

2 Gehe senkrecht auf die Asymptote zu (schwarzer Pfeil).

3 Gehe entlang der Asymptote um 1 in der Richtung, in

der sich die Kurve von der Asymptote weg biegt.

4 Von da aus gehe parallel zur y-Achse bis zum

Kurvenpunkt E1. Die Länge dieser Strecke ist die Basis.

5 Die Gleichung ist vom Typ: x vy b

v ist die Verschiebungsstrecke: v = 2 und b = 5:

Ergebnis: x 2y 5

Beispiel 8

Zuerst sollte man die Verschiebung erkennen:

Der Punkt EO hat bei einer unverschobenen

und nicht gestreckten Exponentialkurve die

Koordinaten OE 0 | 1 . Ich habe ihn hier als M

eingetragen. Er taucht jetzt nach der Verschie-

bung als OE 3 | 0 auf. Daraus erkennt man

(grauer gestrichelter Pfeil), dass die Kurve xy 4 (Basis ist 4, siehe Trapez)

um -3 in x-Richtung (ergibt den Exponenten x+3)

und um -1 in y-Richtung verschoben worden ist.

Daher wird aus xy 4 die neue Gleichung x 3y 4 1

Beispiel 9

Der Punkt OE 2 | 2 ist gegenüber seiner Urlage M

um -2 in x-Richtung und um 1 in y-Richtung verschoben.

Die Grundform der Kurvengleichung ist:

x uy b v

Mit u = -2 und v = 1 folgt:

x 2 x 2y 3 1 3 1

(Zur Erinnerung eine Verschiebung um 2 nach links

bewirkt (x+2), um 2 nach rechts (x-2).

OE

1E

b 5

OE

1E

b 4

y 1

M

OE

y 1

OE

1E

M

b 3

DEMO



Beispiel 10

Erste Erkenntnis: Die waagrechte Asymptote ist y = 8.

Der Punkt EO hat die Koordinaten 2 | 7 , er ist also

gegenüber seiner ursprünglichen Lage M

um 2 nach rechts verschoben (ergibt (x-2) ) und

um 8 nach oben verschoben worden.

Das charakteristische Trapez ergibt die Basis b = 8.

Aus der allgemeinen Gleichung xy b wird durch

die Verschiebung x uy b v

und daher lautet das

Ergebnis: x 2y 6 8

Hinweis: Weil die verschobene Kurve aus xy 6

entstanden ist, liegt deren Punkt EO nicht bei 0 | 1

sondern in M 0 | 1 - siehe Beispiel 4.

Beispiel 11

Wir sehen die waagerechte

Asymptote: y = 4.

Das charakteristische Trapez

liefert die Basis b = 3,5.

Die ursprüngliche Kurve hatte die

Gleichung xy 3,5 .

Dazu gehörte der Punkt EO, den

ich hier mit M bezeichnet habe.

Er wurde verschoben nach

OE 5 | 3 , also um -5 in x-Richtung

(ergibt (x+5)) und um 4 in y-Richtung.

Damit geht die Gleichung xy 3,5

über in x 5y 3,5 4

Ergebnis: x 5y 3,5 4

1E

b 6

OE

M

3,5OE

1E

MDEMO



5.5 Trainingsaufgabe 13

Bestimmr die Gleichungen der dargestellten Exponentialkurven.

a) b)

c) d)

e) f)

DEMO



g) h)

i) j)

k) l) DEMO

18200 Exponentialfunktionen Trainingsaufgaben 45


§ 6 Zusammenstellung aller Trainingsaufgaben

Die Lösungen findet man im Text 18201

Aufgabe 1 (Seite 11)

Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen. Überlege dazu wie in Beispiel 14, durch welche

Folge von Abbildungen sie aus einer möglichst einfachen Grundkurve entstanden sind.

Berechne dann vier geeignete Kurvenpunkte für das Schaubild.

Wenn du es schon kannst, berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse:

a) x 3f x 3 2 b) xf x 2 4 c) xf x 4

d) x 113f x 2

e) xf x 2,5 4 f) x 2f x 12 3


Gegeben sind 6 Funktionen und 6 Schaubilder. Ordne sie einander zu.

x1f x 3 2 x

2f x 2 3 x 23f x 2

x 24f (x) 3 2 x 2

5f x 3 3 x 26f x 2 2

K1

K2

K3 K4

K5 K6

DEMO




Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch eine

Verschiebung oder durch eine Streckung erhalten kann.

a) x 5y 2 b) x 3y 2 c) x 4y 2

d) x 2,5y 3 e) x 1,8y e f) x 3y 4


Gib bei den folgenden Gleichungen jeweils an, auf welche Arten man diese Kurve durch eine

Streckung oder durch eine Verschiebung erhalten kann.

a) xy 4 2 b) x14y 2 c) x1

3y 9

d) x19y 3 e) xy 5 2 f) xy 400 10


Wir haben gesehen, dass man bei Exponentialkurven eine Streckung auch durch eine Verschiebung

ersetzen kann und umgekehrt. In den folgenden Gleichungen ist sowohl ein Streckfaktor vorhanden,

wie auch ein Verschiebungssummand.

Stelle aus diesen Gleichungen je zwei andere Formen her, die entweder nur einen Streckfaktor

aufweisen oder nur einen Verschiebungssummanden.

a) x 5y 2 2 b) x 1y 9 3 c) x 312y 4

d) x 112y 2 e) x 2y 3 4 f) x 4y 4e


6. Berechne einige Funktionswerte und zeichne dann das Schaubild. Gib den Streckfaktor

an. In welcher Richtung wird gestreckt?

a) x/2y f x 2 b) x/2f x 4 2 c) 2x 4y 2

d) 2xy e 4 e) x/2f x 2 5 f) 2xy f x 2 6

DEMO




Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Empfehlung: Mache es so ausführlich wie im Beispiel gezeigt.

a) x 1f x 3 27 b) xf x 2 8

c) x 3f x 4 8 d) 2xf x 5 5

e) 3x 1f x 2 4 f) xf x 4 32

g) x14f x 32 h) 3xf x 8 16


Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Empfehlung: Mache es so ausführlich wie im Beispiel gezeigt.

a) xf x 4 3 b) xf x 2 1

c) x 3f x 5 10 d) 2xf x 5 12

e) 3x 1f x 2 15 f) x 2f x 4 9

g) x14f x 3 h) 3x 2f x 8 10

DEMO




Welche Gleichungen haben die Kurven, die durch die folgenden Punkte gehen:

Grundform: xy a b

a) 23P 1| 6 , Q 1| b) P 1| 2 , Q 2 | 8

c) P 1| 0,04 , Q 3 | 25 d) 3 14 4P | , Q 2 | 8


a) P 0 |10 , Q 1| 50 , R 2 |130

b) P 0 | 220 , Q 1| 184 , R 2 | 140,8

c) P 0 | 26 , Q 1| 22,4 , R 2 | 19,16


Wird ein Geldbetrag G mit Zinseszins auf einem Konto angelegt, dann berechnet man den nach n

Jahren vorhandenen Betrag durch die Funktion nf n G q .

a) Wie groß ist q, wenn G = 3000 € ist, und nach 4 Jahren 3646,52 € auf dem Konto sind?

b) Wie hoch ist die angelaufene Summe dann nach 5 Jahren?

c) Wann befinden sich 6000 € auf dem Konto?


Beim Ratensparen kommen Exponentialfunktionen dieses Typs zur Anwendung

nK n a b c

wobei K(n) den Kontostand nach n Jahren angibt.

Stelle die Gleichung für diese Kontostandsfunktion auf, wenn folgendes gegeben ist

a) Startkapital K 0 5000 € , Kontostand nach 1 Jahr: K 1 7710 €

und K 2 10.533,82 € .


b) K 0 2000 € , K 1 2800 € , K 2 3632 .


Wann hat er sich verfünffacht?

DEMO




Bestimme die Gleichungen der dargestellten Exponentialkurven.

a) b)

c) d)

e) f)

DEMO



g) h)

i) j)

k) l) DEMO

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