Inhaltsübersicht - Technische Fakultät · Notizen zur Vorlesung Mathematik für...

Notizen zur Vorlesung Mathematik für Materialwissenschaftler I 1

Inhaltsübersicht

Kapitel 1:

In Medias Res: Rechnen mit Konstrukten der Mathematik

Kapitel 2:

Back to the roots: Der Zahlen- und Mengenbegriff

Kapitel 3:

Aus der Natur und Technik: Funktionen

Kapitel 4:

Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen

Kapitel 5:

evil forces: Vektorrechnung

Kapitel 6:

Der Vektor ist breit: Matrix- und Tensorrechnung

Kapitel 7:

Die Pflicht: Differentialrechnung

Kapitel 8:

Die Kür: Integralrechnung

....To be continued...

• http://www.wikipedia.de

• http://www.mathe-online.at

• http://rosewood.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/MIB.html

• http://www.mathematik.de

Bücher, ähnlichen Inhaltsverzeichnisses / Papula Formelsammlung

elektronische Literatur:


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daß die Benutzung auf eigene Gefahr erfolgt. Dies gilt insbesondere für die

Prüfungsvorbereitung.

Es ist geplant, dieses Manuskript so weit zu entwickeln, dass es selber

bei Wikipedia oder einem Schwesterprojekt veröffentlicht werden kann.

Erklärung


Kapitel 1:

In Medias Res: Rechnen mit Konstrukten der Mathematik:

-Was ist Mathematik?

-Analysis

(Definition der Funktion, Steigung, Differential und Integralrechnung,...)

-Differentialgleichungen

-Komplexe Zahlen

-Mehrdimensionale Analysis

-Vektorfelder (Gradientenfelder)

-Funktionsräume

Kapitel 1


Was ist Mathematik?

http://www.mathematik.de/ger/information/wasistmathematik/wasistmathematik.html

... Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie

üblicherweise als eine Wissenschaft, die selbst geschaffene abstrakte Strukturen auf ihre

Eigenschaften und Muster untersucht, beschrieben....

...Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente

falsifiziert werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische

Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander

zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für

mathematische Erkenntnisse ein streng logischer Beweis gefunden werden, bevor sie als

mathematischer Satz anerkannt werden. ...

Freundlicherweise ist die (unbelebte) Welt so geschaffen, dass sie sich bisher immer in der

Sprache der Mathematik beschreiben lies! (Was einen Mathematiker nicht unbedingt, einen

als Ingenieur aber brennend interessiert, da Mathematik ein mächtiger Verbündeter sein

kann…)

http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik

Beispiel: Zahlen, natürliche Zahlen

http://www.mathematik.de/ger/information/wasistmathematik/wasistmathematik.html

http://www.mathematik.de/mde/information/wasistmathematik/wasistmathematik.html




Funktionen: f(x)=... z.B. f(x)=x2 ; f(x)=3 ; f(x)= -x ;

2

x

sin(x)f(x)

Allgemeiner (vorläufig): Einem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet

Allgemeiner (vorläufig): Einem Wert wird ein anderer zugeordnet...

Oder z.B. y=y(x)=f(x)=x2

Beispiel :

Funktionen

Beispiel:

injektiv,

bijektiv,

surjektiv


Verschiedene Funktionen am Beispiel aus der Natur

Polynome, Maxima, Minima

Y= x0

Y

x

Y= x1x+x0

Y= x2x2+x1x+x0

Y= x3x3+x2x

2+x1x+x0

Y= x4x4+ x3x

3+ x2x2+x1x+x0

Y= …x4x4+ x3x

3 + x2x2+x1x+x0

N

i

i

ixxY

0

Polynome

Nullstellen

Beispiele; Zusatz


Rationale Funktionen

j

j

j

i

i

i

xb

xaY

Y

x

Singularität!


Exponentialfunktionen

Siehe z. B. www.mathe-online.at

x

Y=1000 2x

Y

Zu Beginn (zur Zeit 0) gibt es 1000 = 1000 × 2 0 Bakterien.

Nach 1 Stunde gibt es doppelt so viele Bakterien, also 1000 × 2 = 1000 × 21 Stück.

Nach 2 Stunden ist ihre Anzahl wieder um einen Faktor 2 gewachsen, d.h. es gibt nun 1000 × 2 × 2 = 1000 × 22 Stück.

Nach 3 Stunden gibt es 1000 × 4 × 2 = 1000 × 23 Stück.

1 In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um den gleichen Faktor.

2 Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien.

3 Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien.


Y= abx

Exponentialfunktionen

Y= cabx ?

ab+c = abac

b < 0?

abc = (ab)c

Exponentielles absinken: negativer Exponent


Sinus und Cosinus

Der Winkel in einem Kreis kann mit dem Bogenmaß gemessen werden:

s

S

r

R

Bogenmaß = Radius

Bogen

=> Beziehung zum Gradmaß

1 sinus

cosinus

Bewegung im Kreis!

=>Symetrien,

Rechenregeln


Steigung, das Phänomen der Schräge

Ein Wagen fährt mit konstanter Geschwindigkeit v(t) =const.,

d. h. pro Zeiteinheit gleiche Strecke!

t

x,s

t

x

v

?v

t

x,s

?

t

v

t

v

?


x,s

t

Die Ableitung

t t+h x(t)

x(t+h)

h

x(t)h)x(t

tht

x(t)h)x(tv

h

h2th

h2th

h

th)(tv

222

h

x 2t v0h lim

v = x

x= a

a = x dt

dxv

2

2xv

adt

d

dt

d

Allgemein: dx

dff t t

2)(x tt

x(t)=t2


Ableitungen & Regeln

cf(x) 0(x)f

ncxf(x)

1(x)f

nncx

gfg )(f

Also:

N

i

i

ixxxf

0)(

N

i

i

ixixxf

1

1)(

Übrigends:

fc )(cf

0

12

)!12(

)1()sin(

i

ii

i

xx

0

2

)!2(

)1()cos(

i

ii

i

xx

)cos()(nsi xx


Ableitungen & Regeln II

gfgfg )(f

2g

f

g

gfgf

Produktregel:

Quotientenregel:

Kettenregel: )())(()))((f( xgxgfxg

Beweis? Skizze:

h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxf

h

xgxfhxghxf

h

h

)()()()()()()()(lim

)()()()(lim)(f(x)g(x)

0

0

Exponentialfunktion:

)0(f)1(

lim)1(

lim

limlim)(f

)(f

00

00

xx

x

xxxx

x

aa

aaa

aaaaax

ax

Übrigends:

f(x)= ex= f’(x)


Kurvendiskussion

109f(x)23 xx

xx 183(x)f2

186(x)f x

6(x)f

Nullstellen: 1

Nullstellen: 0,-6 => Extremstelle

Nullstellen: -3 => Wendepunkt

Sattelpunkt? Vorzeichen? Symmetrie?...


Die Kunst: Integrieren

Problem der Griechen (Ägypter...): Die Quadratur des Kreises:

Die Lösung: Salamitaktik y

x

y

x a b

N

j j

N

j jjxfxxfx

00)()(A

b

a

dxxf )(ALimes:


x

a

xdxf~

)~

(A(x)

y

a x εx

“Motivation” Hauptsatz

)(A(x))A(x xf

)(A(x))A(x

xf

(x)Af(x)A(x))A(x

lim0

Die Ableitung der “Flächeninhaltsfunktion” einer

Funktion ist die Funktion selber

)A(x

x~


Der Hauptsatz (vorläufig)

Def. Stammfunktion (vorläufig): F heißt Stammfunktion zu f, wenn F’ = f

Der Hauptsatz:

Ist f eine über [a,b] integrierbare Funktion und ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt:

)()()( aFbFdxxf

b

a

z.B.: 3332

3

1

3

1

3

1| abxdxxb

a

b

a

y

x


Integrationsregeln

Partielle Integration:

b

a

b

a

dxxfcdxxcf )()(

c

b

b

a

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

dxxgxFxgxFdxxgxf )()()()()()(

?dxxex

x

x

eF(x) 1(x)g

ef(x) xg(x)

xx

b

a

xx

b

a

xee|dxee|dxxe xx

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(


Integration durch Substitution

Integrationsregeln

b

a

bu

au

dxxuxufdttf )())(()(

)(

)(

)cos(2cos2sin22

sin4)sin(422

xuduuu

duuudxxx

udu

dxuxxu

2

1;

2


Differentialgleichungen

Bisherige Probleme: z.B. Nullstellen, Vorgabe Funktion, Ableitung bilden, ect.: x

ef(x)

(x)ff(x) Was ist das?: Lösung?!, z.B.: xef(x)

Lösungen von Differentialgleichungen sind Funktionen!

Beispiel aus der Physik: xmmaF ),,,,( xxxtcFF

...eigendlich ist F ein Vektor

v~F z. B. Reibung: F xcF also DGL: xmxc

! Achtung, was ist hier x? x = x(t)

tm

c

evtx

0

)(t

m

c

evc

mtx

0

)(

Randbedingungen: v(t=0)


xdF xmdx- 0xm

dx x(t)?

Schwingungsgleichung:

Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

b(x)(x)ya...(x)yay0

1)(n

1n

(n)

b(x)=0 =>homogene DGL

iia(x)a =>konstante Koeffizienten;

Lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Üble Differentialgleichungen, z.B.: 1)()(x2

yxxyxy


Komplexe Zahlen

i 1“Daraus folgt”: Def.:

xix

12

i

abibabbiaabiabia 2)(22222

idbcadicbia )()()()(

ibcadbdacdicbia )()())((

idc

adbc

dc

bdac

dicdic

dicbia

dic

bia

)(

)(

)(

)(

))((

))((

)(

)(2222

Achtung, gilt nicht umgekehrt!

bia Komplexe Zahlen sind zusammengesetzt:

reeller Anteil

(Realteil) komplexer Anteil (Imaginärteil)

Daher Darstellung in der Ebene! C | komplexe Zahlenmenge

Rechenregeln:


Mathematisch Sinnvoll: Axiomatische Definition

http://de.wikipedia.org/

Suche: komplexe Zahlen


Geometrische Anschauung

Polar und Exponentialform:

Jede komplexe Zahl z=a+bi kann in

der Form )sin(cos irz

geschrieben werden!

!

)(

n

ie

n

i

Also: )sin(cos

irrei

Polarform, Trigonometrische Form!

Wozu? 0 xd

mx

ibtAetxLösung )(:

Gaußsche Ebene


http://de.wikipedia.org/

Suche: komplexe Zahlen

Beispiel

Beispiel: Elektrotechnik: Blindwiderstand X

Wirkwiderstand R

Scheinwiderstand Z Messung:

Wechselstrom U / I


Mehrdimensionale Analysis

yxyxzz )sin(),(2

4-Dimensional?

z.B. Temperaturverteilung

T=T(x,y,z)

Allgemein: Verschiedene Dimensionalität

mn

z.B. Kraft F: 3D->3D;

F=F=F=

),,(

),,(

),,(

zyxF

zyxF

zyxF

F

z

y

x


Mehrdimensionale Ableitung

Mehrdimensionale Ableitung: E=Fs

s

FdsE F=Vektorfeld!?

F=Vektorfeld!? Beispiel 2D->2D: Energie als Potentialfeld(2D->1D), Gebirge

z.B. “Potentialtopf” 22),( yxyxE

22),( yxyxE

Welche Kraft wirkt, wie leited sich die Kraft aus der Energie her?

(Wohin rollt ein Ball?)

Richtung des größten Abstieges!

Richtungsableitung:

dy

dEdx

dE

F

->allgemein


dz

dE

dy

dEdx

dE

F

Mehrdimensionale Ableitung / Wegintegral

y

x

dy

dEdx

dE

F2

222

),( yxyxE allgemein:

Anders herum ? Wegintegral!

NF

2

2 NF 4

b

a

sdsFE

)(

E= Fs= 2N 10m= 20 J s = 10m


b

a

b

a

dd

sdsFsdsFE

)())(()())((

Wegintegral / Vektorfelder

Beispiel:

y

x

dy

dEdx

dE

F2

222

),( yxyxE Weg: Y(x)=x+1

22|241

1

22

2

122

22

2

1

dddE


Volumenintegral

Die Dose:

hRV2

R

h

Salamitaktik

Würfel:

321

3 dddaV

R R

ddddA

0 0

1221

1

2

1

2

2

44


Funktionsräume

Y= x2x2+x1x+x0 Als Vektor?!

x0

xx1

x2x2

1

2

3

""

""

""

2x

x

c

Y= x2+2x+3

...

""

""

""

2x

x

c

unendlich Dimensional:

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