Aufgabensammlung zur Baustatik -...

Leseprobe

Kai-Uwe Bletzinger, Falko Dieringer, Rupert Fisch, Benedikt Philipp

Aufgabensammlung zur Baustatik

Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke

ISBN (Buch): 978-3-446-44278-8

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© Carl Hanser Verlag, München

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Inhalt

Vorwort ............................................................................................................ XI

1 einleitung und Definitionen ................................................................ 1

1.1 Zur Benutzung des Buchs .............................................................................. 11.2 Definition der Auflagersymbole ................................................................... 21.3 Definition der Gelenkarten ............................................................................ 41.4 Allgemeine Hinweise ....................................................................................... 5

2 Tragwerksbeurteilung ............................................................................ 7

2.1 Grundlagen zur Tragwerksbeurteilung ....................................................... 72.2 Beispielaufgabe 1 ............................................................................................ 102.3 Beispielaufgabe 2 ............................................................................................ 12

2.3.1 System 1 .................................................................................................... 132.3.2 System 2 .................................................................................................... 142.3.3 System 3 .................................................................................................... 152.3.4 System 4 .................................................................................................... 16

2.4 Beispielaufgabe 3 ............................................................................................ 162.5 Aufgaben ............................................................................................................ 192.6 Lösungen ............................................................................................................ 33

3 Schnittgrößen statisch bestimmter Systeme ........................ 35

3.1 Grundlagen zur Berechnung von Schnittgrößen an statisch bestimmten Tragwerken ................................................................................ 35

3.2 Beispielaufgabe 1 ............................................................................................ 373.2.1 Auflager- und Zwischenreaktionen .............................................................. 373.2.2 Schnittgrößen: Moment .............................................................................. 38

VI InhaltVI Inhalt

3.2.3 Schnittgrößen: Querkraft ............................................................................ 393.2.4 Schnittgrößen: Normalkraft ........................................................................ 403.2.5 Entfernen des Momentengelenks am Knoten 4 ............................................ 413.2.6 Lösen der Einspannung am Knoten 1 .......................................................... 42

3.3 Beispielaufgabe 2 ............................................................................................ 433.3.1 Auflagerreaktionen ..................................................................................... 433.3.2 Schnittgrößen: Moment .............................................................................. 443.3.3 Schnittgrößen: Querkraft ............................................................................ 463.3.4 Schnittgrößen: Normalkraft ........................................................................ 47

3.4 Aufgaben ............................................................................................................ 493.5 Lösungen ............................................................................................................ 64

4 Polplan, Kinematik ................................................................................... 65

4.1 Grundlagen zu Polplänen und Kinematik .................................................. 654.1.1 Begriffe zu Polplänen .................................................................................. 654.1.2 Regeln zur Bestimmung der Haupt- und Nebenpole einer einzelnen

Scheibe i .................................................................................................... 684.1.3 Ermittlung der Verschiebungsfigur für kinematische Systeme ...................... 714.1.4 Widersprüche im Polplan ............................................................................ 73

4.2 Beispielaufgabe 1 ............................................................................................ 754.2.1 System 1 .................................................................................................... 754.2.2 System 2 .................................................................................................... 774.2.3 System 3 .................................................................................................... 81

4.3 Beispielaufgabe 2 ............................................................................................ 844.3.1 System 1 .................................................................................................... 854.3.2 System 2 .................................................................................................... 874.3.3 System 3 .................................................................................................... 89

4.4 Beispielaufgabe 3 ............................................................................................ 914.4.1 Verschiebungsfigur ..................................................................................... 924.4.2 Brauchbares System ................................................................................... 95


5 Prinzip der virtuellen Kräfte ............................................................... 111

5.1 Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte .......................................... 1115.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 114

5.2.1 Schnittgrößen aus gegebener Belastung ..................................................... 1145.2.2 Verschiebungen am Knoten 2 ..................................................................... 1165.2.3 Horizontalverschiebung am Knoten 2 maximal 4,0 cm ................................. 119


Inhalt VII

6 Prinzip der virtuellen Verschiebungen ........................................ 139

6.1 Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Verschiebungen ....................... 1396.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 142

6.2.1 Vertikale Auflagerkraft BV am Lager B .......................................................... 1426.2.2 Querkraft Va im Schnitt a ............................................................................ 1456.2.3 Moment Ma im Schnitt a ............................................................................. 1496.2.4 Normalkraft Nb im Schnitt b ........................................................................ 152


7 Kraftgrößenverfahren ............................................................................. 173

7.1 Grundlagen zum Kraftgrößenverfahren ..................................................... 1737.2 Beispielaufgabe 1 ............................................................................................ 177

7.2.1 Tragwerk 1 ................................................................................................. 1777.2.2 Tragwerk 2 ................................................................................................. 1797.2.3 Tragwerk 3 ................................................................................................. 1797.2.4 Tragwerk 4 ................................................................................................. 180

7.3 Beispielaufgabe 2 ............................................................................................ 1827.3.1 Lastfall 1: Einzellast P ................................................................................. 1827.3.2 Lastfall 2: Temperaturdifferenz ΔT ............................................................... 1867.3.3 Lastfall 3: konstante Temperaturänderung TS .............................................. 1877.3.4 Lastfall 4: Auflagerverschiebung Δu ............................................................. 189


8 einflusslinien für Kraftgrößen ........................................................... 209

8.1 Grundlagen zu Einflusslinien für Kraftgrößen .......................................... 2098.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 212

8.2.1 Bestimmung der Einflusslinien .................................................................... 2128.2.2 Extremwerte für das Moment M8 ................................................................ 2168.2.3 Maximale Momente im Tragwerk und Verformungen am Knoten 10 ............. 217


9 einflusslinien für Verschiebungsgrößen .................................... 239

9.1 Grundlagen zu Einflusslinien für Verschiebungsgrößen ........................ 2399.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 244

9.2.1 Vertikale Verformung w3 ............................................................................. 2449.2.2 Einflusslinie für w3 ...................................................................................... 246

VIII Inhalt

9.2.3 Auswertung für Lastfall p ............................................................................ 2499.2.4 Ersetzen der Feder durch ein Auflager – Berechnung mit Stiff ...................... 2499.2.5 Minimale bzw. maximale Durchsenkung von w3 – Berechnung mit Stiff ........ 250


10 Verschiebungsgrößen verfahren nach Theorie I. Ordnung .................................................................................... 273

10.1 Grundlagen zum Verschiebungsgrößen verfahren ................................... 27310.2 Beispielaufgabe 1 ............................................................................................ 281

10.2.1 System 1 .................................................................................................... 28210.2.2 System 2 .................................................................................................... 290

10.3 Beispielaufgabe 2 ............................................................................................ 29710.4 Beispielaufgabe 3 ............................................................................................ 302

10.4.1 Kinematische Abhängigkeiten ..................................................................... 30310.4.2 Steifigkeiten mit dem PvV ........................................................................... 30310.4.3 Berechnung mit Stiff ................................................................................... 306

10.5 Beispielaufgabe 4 ............................................................................................ 30810.5.1 kinematische Abhängigkeiten ...................................................................... 30810.5.2 Steifigkeiten mit dem PvV ........................................................................... 30910.5.3 Berechnung mit Stiff ................................................................................... 311


11 elastisch gebetteter Balken ............................................................... 331

11.1 Grundlagen zum elastisch gebetteten Balken .......................................... 33111.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 335

11.2.1 Verformungen am idealisierten 2D-System .................................................. 33611.2.2 Verankerung des Balkens 2 ......................................................................... 343


12 Verschiebungs größenverfahren nach Theorie II. Ordnung .................................................................................. 363

12.1 Grundlagen zum Verschiebungs größen verfahren nach Theorie II. Ordnung .......................................................................................... 363

12.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 37012.2.1 Verformungen ohne Berücksichtigung einer Vorverformung ......................... 37012.2.2 Verformungen mit Berücksichtigung einer Vorverformung ........................... 374

Inhalt IX


13 Stabilität ......................................................................................................... 403

13.1 Grundlagen zur Stabilität ............................................................................... 40313.2 Beispielaufgabe ................................................................................................ 411

13.2.1 Berechnung der Knotenverformungen nach Theorie I. und II. Ordnung für γ = 1,0 .................................................................................................. 411

13.2.2 Berechnung des kritischen Lastfaktors γkrit .................................................. 41513.2.3 Knickfigur für γkrit ........................................................................................ 41613.2.4 Überprüfung der Ergebnisse mit Stiff ........................................................... 41713.2.5 Bestimmung der Euler’schen Knicklast und der jeweiligen Knicklänge

der einzelnen Stäbe .................................................................................... 41913.3 Aufgaben ............................................................................................................ 42013.4 Lösungen ............................................................................................................ 437

14 Grundformeln und Tafeln ..................................................................... 439

14.1 Integraltafeln ..................................................................................................... 43914.2 ω-Tafeln ............................................................................................................... 44114.3 Grundformeln des Verschiebungsgrößenverfahrens (VV)

nach Theorie I. Ordnung ................................................................................. 44214.4 Grundformeln des Verschiebungsgrößenverfahrens (VV)

nach Theorie II. Ordnung ............................................................................... 45114.5 Grundformeln des Verschiebungs größenverfahrens (VV)

nach Theorie I. Ordnung und elastisch gebetteter Balken ................... 459

Literaturverzeichnis ............................................................................................ 463

Die Idee für dieses Übungsbuch ist in einem Teamgespräch zum Stand der Lehre am Lehrstuhl für Statik der Technischen Universität München im Jahr 2011entstanden. Die Autoren haben beschlossen, den Studierenden mehr Übungsmaterial zu den Handrechen-verfahren der Statik an Stabtragwerken zur Verfügung zu stellen.

Friedrich Dürrenmatt schreibt in Die Physiker: „Was einmal gedacht wurde, kann nicht mehr zurückgenommen werden“. So findet sich im Erlernen von Statik die Parallele darin, dass ein statisches System, welches bereits einmal durchdacht wurde, nicht wieder ver-gessen werden kann. Das mehrmalige Rechnen ein und derselben Aufgabe stellt somit nur einen geringen Mehrwert dar, da der zentrale Baustein, das Tragwerks- bzw. System-verständnis, bereits beim ersten Mal durchdacht wurde.

So ist die Motivation gewachsen eine umfangreiche Aufgabensammlung aufzubauen, in der eine ausreichende Anzahl an Übungsaufgaben zur Verfügung gestellt wird.

Durch die verfügbaren Kontrollmöglichkeiten ist ein selbstständiges Erlernen der Statik möglich. Zum besseren Einstieg in die verwendete Notation sind jedem Kapitel eine the-matische Einführung und Musteraufgaben vorangestellt. Die mitgelieferte Stabwerkssoft-ware Stiff bietet einzigartige Kontroll- und Ergänzungsmöglichkeiten zur Bearbeitung des Buches und rundet somit das Gesamtpaket „Aufgabensammlung zur Baustatik“ ab.

Nach mehrjährigem erfolgreichem Einsatz dieser Aufgabensammlung innerhalb der Tech-nischen Universität München wird dieser Aufgabenschatz in überarbeiteter Fassung als Gesamtwerk in diesem Buch dem kompletten Publikum an Studierenden und Schülern im deutschsprachigen Raum bereitgestellt.

Wir wünschen Ihnen damit viel Erfolg!

Zuletzt gilt unser Dank allen Studenten und Helfern, die, vom Erstellen, über das Gegen-rechnen, hin zur Fehleridentifikation der Aufgaben und Musterlösungen, einen maß geb-lichen Beitrag zum Gelingen des Gesamtwerks geleistet haben.

Kai-Uwe BletzingerFalko DieringerRupert FischBenedikt Philipp

Vorwort

5 Prinzip der virtuellen Kräfte

■■ 5.1■ Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte

Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK) stellt eine Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit dar. Es dient zur Bestimmung von realen Verformungsgrößen eines Systems, des-sen Schnittgrößenverläufe bekannt sind (vgl. [Hir98], [WE97], [WK04], [Din12]). Ist ein System im Gleichgewicht, so ergeben die virtuellen Arbeiten der inneren und äußeren Kräfte in der Summe Null:

δW = δWext + δWint = 0

Virtuelle Kraftgrößen – Schnittgrößen, Auflagerreaktionen, äußere Kräfte – verrichten zu-sammen mit realen Verformungsgrößen – Verschiebungen, Verdrehungen, Krümmungen, Dehnungen – virtuelle Arbeit.

δ δ δ δ δ δ ϕ δ εW W W q w dx F d M N dxj= + = ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅∫ ∑ ∑ext i

ii j

jint ∫ ∫+ ⋅

=δ κM dx 0

l l

Die innere virtuelle Arbeit ist grundsätzlich negativ, da innere virtuelle Kraftgrößen den realen Verschiebungsgrößen entgegenwirken. Die Arbeit der äußeren Kräfte ist dagegen grundsätzlich positiv. Die Arbeiten verteilter virtueller Kraftgrößen (virtuelle Linienlast δq, virtuelle Schnittgrößen δN, δM) sind entlang des Balkens zu in tegrieren. Hierfür kön-nen Integraltafeln verwendet werden (siehe Kapitel 14.1). Weitere Anteile der virtuellen inneren Arbeit ergeben sich aus der Arbeit der virtuellen Querkräfte auf den realen Schubverzerrungen. Für dünne Balken können diese Anteile aus Querkräften vernachläs-sigt werden. Hier und im Weiteren sollen dünne Balken behandelt werden.

Krümmungen und Dehnungen setzen sich im Rahmen dieses Kapitels aus Momenten- bzw. Normalkrafteinflüssen und Temperatureinfluss zusammen.

112 5 Prinzip der virtuellen Kräfte

κ α

ε α

= + ⋅

= + ⋅

MEI

Th

NEA

T

T

T

∆

Zur Begriffs- und Symbolklärung der Formeln wird auf Kapitel 1 verwiesen.

Innere und äußere virtuelle Kraftgrößen können im Grunde beliebig gewählt werden, müssen aber am virtuellen System im Gleichgewicht sein. Für virtuelle Kraftgrößen gel-ten dieselben Gleichgewichtsbeziehungen wie für reale Kraftgrößen.

Virtuelle Lagerkräfte sind ebenfalls als äußere virtuelle Kräfte zu behandeln. Mithilfe von zusätzlichen Gelenken können innere (virtuelle) Kraftgrößen ausgelöst und in äußere (vir-tuelle) Kraftgrößen umgewandelt werden.

Soll eine spezielle Verschiebungsgröße an einem Punkt m des Systems bestimmt werden, so ist am Ort und in Richtung der zu bestimmenden Verschiebungsgröße eine entspre-chende virtuelle äußere Kraftgröße anzubringen.

Die virtuelle äußere Kraftgröße wird in der Regel zu δFm = 1 bzw. δMm = 1 angenommen. Der Strich über der Kraftgröße symbolisiert, dass es sich um eine virtuelle Größe handelt.

Im Folgenden sind Beispiele für korrespondierende virtuelle Kraft- und reale Verschie-bungsgrößen gegeben.

Reale Verformungsgröße Virtuelle Kraftgröße

δM

Virtuelle KraftgrößeReale Relativ-Verformung

δF

δM

δF

δF

w

u

Virtuelle Kraftgröße

w

u

Reale Verformungsgröße

q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

δM


δF

δM

δF

δF

w

u


w

u


q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

Reale Relativ-Verformung Virtuelle Kraftgröße

δM


δF

δM

δF

δF

w

u


w

u


q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

δM


δF

δM

δF

δF

w

u


w

u


q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

5.1 Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte 113

Systematisches Vorgehen zur Bestimmung der Verschiebung w in Trägermitte:1. Statisches System unter Strecken-

last. Gesucht: Durchsenkung w in Feldmitte.

δM


δF

δM

δF

δF

w

u


w

u


q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

2. Aufbringen einer virtuellen Last am Ort und in Richtung der gesuchten Verformung. Das virtuelle System entspricht dem realen System.

δM


δF

δM

δF

δF

w

u


w

u


q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

3. Berechnung des realen und des virtuellen Momentenverlaufs M und δM.

δM


δF

δM

δF

δF

w

u


w

u


q

/2/2

/2/2

q ²/8M

1 /4δM

δF = 1

w

ϕ ∇

ϕ

∇

δF

∇

l l

l l

l

l

4. Anwendung des PvK und Lösen der Unbekannten

Die virtuellen Lagerkräfte verrichten keine Arbeit, da die zugeordneten Lagerverschie-bungen null sind.


■■ 5.2■Beispielaufgabe

P = 50 kN

EI = 32.000 kNm²

EAS = 8.000kN

sonst EA → ∞

4,0 m 4,0 m

4,0 m

EAS

q = 5,0 kN/m

q = 5,0 kN/m

2

1

3

4

1. Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.2. Berechnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK) die Horizontalverschiebung

sowie die Verdrehung am Knoten 2.3. Wie groß muss EAS mindestens sein, wenn die Horizontalverschiebung am Knoten 2

maximal 4 cm betragen darf?

5.2.1■Schnittgrößen aus gegebener BelastungAuflagerreaktionen

BV = 20 kN

Berechnung:

∑Hglobal: AH = 50 – 20 = 30 kN

∑M3,rechts: BV = 20·2 + 20·24 = 20 kN

∑Vglobal: AV = 20 + 20 – 20 = 20 kN

∑M1,global: MA = 50·4 + 20·2 + 20·6– 20·2 – 20·8

= 160 kNm

+

-50 kN

-10· 2 kN

10· 2 kN

-10 kN

2

1

3

4

EAS

2

1

3

4

P = 50 kN

0,40,4

4,0

q = 5,0 kN/m

R = 5·4 = 20 kN

kN 28,28 254 R

20 kN

20 kN

AV = 20 kNAH = 30 kN

MA = 160 kNm

Stab 1-2:N = -20·2/4 = -10 kN

Stab 2-3:N = -P = -50 kN

Stab 3-4:N = -20/ 2 = -10· 2 kN

Stab 1-3:

N = 302

− 202

+ 102

= 10· 2 kN

4

20-N3-

4

-V3-4

20

30

10 N1-3

V1-3

∑F!1

N1-2

V1-2 = 0

2 320

0

+

+

kNm 10845 2

kNm 208

2452

-160 kNm

5.2 Beispielaufgabe 115

Normalkraftverlauf

BV = 20 kN

Berechnung:

∑Hglobal: AH = 50 – 20 = 30 kN

∑M3,rechts: BV = 20·2 + 20·24 = 20 kN

∑Vglobal: AV = 20 + 20 – 20 = 20 kN

∑M1,global: MA = 50·4 + 20·2 + 20·6– 20·2 – 20·8

= 160 kNm

+

-50 kN

-10· 2 kN

10· 2 kN

-10 kN

2

1

3

4

EAS

2

1

3

4

P = 50 kN

0,40,4

4,0

q = 5,0 kN/m

R = 5·4 = 20 kN

kN 28,28 25·4 R

=·=

20 kN

20 kN


MA = 160 kNm

Stab 1-2:N = -20·2/4 = -10 kN

Stab 2-3:N = -P = -50 kN

Stab 3-4:N = -20/ 2 = -10· 2 kN

Stab 1-3:

N = 302

− 202

+ 102

= 10· 2 kN

4

20-N3-4

-V3-4

20

30

10 N1-3

V1-3

∑F!1

N1-2

V1-2 = 0

2 320

0

+

+

kNm 10845 2

=·

( ) kNm 208

2452

=··

-160 kNm

Momentenverlauf

BV = 20 kN

Berechnung:

∑Hglobal: AH = 50 – 20 = 30 kN

∑M3,rechts: BV = 20·2 + 20·24 = 20 kN

∑Vglobal: AV = 20 + 20 – 20 = 20 kN

∑M1,global: MA = 50·4 + 20·2 + 20·6– 20·2 – 20·8

= 160 kNm

+

-50 kN

-10· 2 kN

10· 2 kN

-10 kN

2

1

3

4

EAS

2

1

3

4

P = 50 kN

0,40,4

4,0

q = 5,0 kN/m

R = 5·4 = 20 kN

kN 28,28 25·4 R

=·=

20 kN

20 kN


MA = 160 kNm

Stab 1-2:N = -20·2/4 = -10 kN

Stab 2-3:N = -P = -50 kN

Stab 3-4:N = -20/ 2 = -10· 2 kN

Stab 1-3:

N = 302

− 202

+ 102

= 10· 2 kN

4

20-N3-4

-V3-4

20

30

10 N1-3

V1-3

∑F!1

N1-2

V1-2 = 0

2 320

0

+

+

kNm 10845 2

=·

( ) kNm 208

2452

=··

-160 kNm

Das Auflagermoment MA geht komplett in den Stab 1 – 3, da der Stab 1 – 2 mit einem Mo-mentengelenk am Auflager angeschlossen ist. Der Stab 1 – 3 ist unbelastet, somit nimmt das Moment linear bis zum Gelenk in Knoten 3 ab.


5.2.2■Verschiebungen am Knoten 2

Horizontalverschiebung am Knoten 2Folgend sind die Schnittgrößen unter der virtuellen Kraft δF2 dargestellt.

Berechnung:

∑Hglobal: AH = δF2 = 1

∑M3,rechts: BV = 0

∑Vglobal: AV = 0

∑M1,global: MA = δF2∙4 = 1∙4

δN

+

-1

12

00

-1∙4δM

0

0 0

EAS

2

1

3

4

δF2 = 1

u2

BV = 0AV = 0AH = 1

MA = 1∙4

Virtuelle Arbeit:

Die virtuelle Normalkraft δN verrichtet im Stab 1 – 3 auf der realen Dehnung ε Arbeit, da dieser eine endliche Dehnsteifigkeit EAS besitzt. Für alle anderen Stäbe gilt aufgrund von EA → ∞, dass die Dehnungen ε = N/EA zu Null werden.

Verdrehung am Knoten 2Da sich am Knoten 2 ein Gelenk befindet, sind die Endverdrehungen der beiden ange-schlossenen Stäbe voneinander unabhängig und können somit separat bestimmt werden. Alternativ könnte die Relativverdrehung der beiden Stäbe an diesem Knoten auch ge-meinsam bestimmt werden (hier nicht vorgeführt).


Berechnung von ϕ2u

EAS

2

1

3

4

δM2u = 1

φ2u

BV = 0AV = 0AH = 0

MA = 1

δN

-1/4

14· 2

+00

δM

-1

-1

0

0

3N2-3

0

0

0N1-3V1-3

∑M1: N2-3 = -1/4

∑F3: N1-3 = 14· 2

N2-32

1

1

Stab 1–2 und Stab 1–3 werden jeweils an einem Ende mit einem Einzelmoment belastet (δM2u bzw. MA). Da sie sonst unbelastet sind, nimmt das Moment jeweils bis zu den Gelen-ken linear ab. Die anderen Stäbe sind unbelastete Pendelstäbe → M = 0.


Virtuelle Arbeit:

Berechnung von ϕ2re

∑M3,links: N1-2 = 1/4

∑F1: N1-3 = - 14∙ 2

δN

1/4 - 14∙ 2

+ 0

0

δM

1

0 0

+

N1-2

2

3

1

N1-3

10

0

N1-2

0 V1-3

EAS

2

1

3

4

δM2re = 1φ2re

BV = 0AV = 0AH = 0

MA = 1

z, w

x, uφ

Der Momentenverlauf ergibt sich analog zu dem Verlauf aus δM2u.


∑M3,links: N1-2 = 1/4

∑F1: N1-3 = - 14∙ 2

δN

1/4 - 14∙ 2

+ 0

0

δM

1

0 0

+

N1-2

2

3

1

N1-3

10

0

N1-2

0 V1-3

EAS

2

1

3

4

δM2re = 1φ2re

BV = 0AV = 0AH = 0

MA = 1

z, w

x, uφ

Virtuelle Arbeit:

5.2.3■Horizontalverschiebung am Knoten 2 maximal 4,0 cmUnter Verwendung der Berechnungen aus Teilaufgabe b)

Formel umstellen und nach EAS auflösen:

Somit ergibt sich bei der Forderung nach einer maximalen horizontalen Verschiebung am Knoten 2 von u2 = 4,0 cm ein EAS von mindestens 24 728 kN.


Aufgabe 5

gegeben:F = 20 kN q = 5 kN/mEI = 20.000 kNm²EA = 150.000 kN

m 4m 4

q

q

A

F

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten-, Querkraft- und Normal-kraftverlauf.

b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte alle Verschiebungen sowie die Verdrehung am Knoten A.

Aufgabe 6

gegeben: ∆T = 20 Kl = 10 mEI = 40.000 kNm²EA = 100.000 kNαT = 4*10-5 1/Kh = 0,5 m

1 2

∆T

l l

a) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte jeweils alle Verschiebungen und Verdrehungen an den Punkten 1 und 2.

Schwierigkeitsgrad einfach

Schwierigkeitsgrad einfach

5.3 Aufgaben 127

Aufgabe 14

2 m 1 m 1 m 1 m

gegeben: F = 80 kNEI = 25.000 kNm²EA = 200.000 kN

2 m

2 m

F

A

21

ψ

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikale Verschiebung

und Verdrehung des Knotens A.c) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die vertikale Verschiebung

und Verdrehung des Knotens A für den Fall, dass für die Stäbe 1 + 2 gilt: EA → ∞ und EI → ∞.

Aufgabe 15

2 m

F

2 m 2 m 2 m 2 m

45°

s

gegeben: F = 10 kNs = 4 kN/mEI = 20.000 kNm²EA = 150.000 kN

A


rechts und links vom Gelenk A.

Schwierigkeitsgrad mittel



Aufgabe 16

gegeben: F = 60 kNw = 15 kN/m EI = 25.000 kNm²EA = 100.000 kN

m 4m 4

3 m

2 mww

F

A

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die horizontale Verschiebung

des Knotens A.

Aufgabe 17

F

3 m 6 m

3 m

M

3 m

gegeben:F = 20 kNM = 30 kNmEI = 40.000 kNm²EA = 400.000 kN

A

B

ψ


des Auflagers A und die Verdrehung des Knoten B.




Aufgabe 26

2l

4l

2l

F

4l4l

wgegeben:F = 100 kNw = 20 kN/ms = 15 kN/m

= 2 mEI = 30.000 kNm²EA = 150.000 kN

A

B

s

l

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die Verdrehung des

Knotens A und die vertikale Verschiebung des Knotens B.

Aufgabe 27

F

4 m 2 m 1 m

1 m

1 m

1 m

1 m

w

gegeben:F = 35 kNw = 10 kN/mEI = 30.000 kNm²EA = 150.000 kN

A

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte alle Verschiebungen des

Punktes A.

Schwierigkeitsgrad schwer


5.3 Aufgaben 135

Aufgabe 28

F

2l 2l2l

gegeben: F = 3 kNM = 10 kNmEI = 25.000 kNm²EA = 200.000 kN

= 2 mcφ = 55 kNm/rad

cφM

A

l

2lψ

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten- und Normalkraftverlauf.b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die Verdrehung der Feder

und die vertikale Verschiebung des Auflagers A.

Aufgabe 29

gegeben: F = 20 kNn = 5 kN/mEI = 25.000 kNm²EA = 200.000 kN

= 2 mcφ = 50 kNm/rad

F

n

4 2

45°

cφ

4

Aψ

l l l l

l

l

a) Berechnen Sie für die gegebene Belastung den Momenten-, Querkraft- und Normal-kraftverlauf.

b) Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der virtuellen Kräfte die Verdrehung der Feder und die horizontale Verschiebung des Knotens A.



Aufgabensammlung zur Baustatik -...

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