Aufg.bg

1 1 52A Bds Jf 1 t

TgE T2

4 O Oa Prüfe ATA I

g GAt

Ae Oe3 OW

Beste Drehachse 1 1 52Ente ker.LA 1 Is

1 1 K

l I lE d µ Eat y K

Zeige dass Eau SOdet A 1 1 0

3 1 52

P HEE8 452

81 no tO

Eth µ EIN Sokann nureine Drehspiegelung mit DrehachseD v K

sein

Damit ist offensichtlichJf D v tvz.rs die Spiegelhyperebenevon d

Der Drehwinkel lautet costa spulA I

It 1 0

2 I2

ii Betrachte zunächst die Spiegelung an H 4th Vs

HillBetrachte dafür die 0N C k 4 t is

A s c 1dg gd jdegId g Bidre

Xo o 1

EL L

s sc Spiegelung an Jf Ich es

Yt 4,43und sehe D S A

c

Dannist Gear eineDrehung um D v k s Y Vz weiterhinum

denWinkel IgZulegenun D bzw Sweiter in Spiegelungen

Spiegelung an H Falk K yBetrachte Sz c c

entlang gib n CON1 00

und berechne SzD ScDom ist o Spiegelung an Eg 1 s K k y Vg s

Essen kontsitti

µA s S D Si Si caifzc.EC

go go 9

Gogo 9

AH Agfg.be Klgr ThCxyzIsCz y.x µA

Floyd c z y D

A

und da offensichtlich AnAus 03 folgt

4 The old und damit Kike bonk

Da deutet I ist Ü Spiegelungoder Drehspiegelung

Betrachte Egli 4

Egal 2dm

i ist lineare Spiegelung an

4 ist affine Spiegelung oder GleitspiegelungUntersuch 4 auf Fixpunkte Lori also

4 Hinz 6,4 a

µ l L

Fix 4

4 isteine Gleitspiegelung

Da della I ist TfDrehung um D Egli4 istaffineDrehung SchraubungoderTranslation Da 4ftid kommtletzteresnicht inFrage

Untersuche 4 aufFixpunkte Löse also

y 44,2

I LFicht 4 isteinSchraubung

Alt Aufgabejo Sen Hs sd 4 4 4 4

Dann folgt qoqooj qoo z.gs o s SA

s kreiere Spiegelung an H

Gogo ist affine Spiegelungoderdeitspiegelung

Berghe qooj ooo.si o oo istTranslation Tu nit2 2 3

nett Sei Ae H Fixlos _Das giltu A alt A g A AFA EH

Dann gilt also o GOT Sei nun Polteund

Q.es sdQTPi f uundQzeXsd.PQi Ja µDannfolgt Tula Q da QTQ.usQuai

4und a 9 Q da

Q o.IQ QTPi P O.is In atht u t ö Lu Eu Eu O

Q und somit ist Fix o

out affine Spiegelung

Agfgabe 10 Sei IX 4 ein euklidischeraffine Raum mitdem 3

Sei oelson eine affinenSpiegelung an deraffinen Hyperebene HEXBestürme alle ne sodass er Tao o weiterhin eine affine

Spiegelungist

Berufe T sei dabei die Translation zum TransLahönsvektor u

Lösung Da F IT TT o ö Tdw ö 0 lineare

Spiegelung

kann o nur Gleitspiegelung oder affine Spiegelung seinDefiniere H FixCo Dann gilt

ist affine Spiegelung an H H'tFerner ist wegen H HH da Vg VgfDaher kamen nur zwei Fälle in Betracht wie die folgende Skizze

zeigt

Skizze it nett VgfVgef2FgkuctHlyAA FH

gut LILA µÄH n11l

Tul rl rit Jf Fixi rifA olt

Vermutung o istaffine Spiegelung s ne H

Fur us Ovistalle klar Co O Seralso u OvSchreibe Tu Go Mit affinen Spiegelungen g anHi fai 1,2

sd H HH und ne Vgfinsb ist dann Vgeitsch Ht Vgf

dhoi qoq.es und

X H H o affineSpiegelung

su uf Ht n rtv mit ve H.ie t'sdr ovo Tao Tv oTv o o Tv

Berghe H Ht_Dabei ist o affineSpiegelungnach

Nehme daher o.B.d.tn VEHVor an

Ang d A A feiern texTu a A A

XWrwissen dass A e Itt Ä

Esfolgt Or At A ots Ä

to t uHt cHVO

Da V H Hd folgt Tt ne Halt Oralso u Or I hOrt

Fix Lo und er ist Gleitspiegelung

Ayfgabeg Sei X K IR wie in 10.11 und

4 Hinz Bzt 3 2g Bx Z B

U t y 2 x tz 1 81 1 Eyt 1Bestimme den Isometrietyp der beiden affinen Abbildungen 4 und42Ermittle ferner ggfs Drehachse eben winkel sowieSpiegelhyperebene

Lösung klar Ilanz A mit

Kfar A c 0C3 47 e OCR che bonkFerner ist detlt 2 f 4 1

da Älter f ist affineDrehung oder SchraubungBestimme FixKhLöse also 4,6 y 7 4,4z

3 O ß 3 1 0 1

I L I L D

n ich G t.tllteRITnobist 4 ein affine Drehung int Union Dreheben E s

yDrehwinkel co.la spult I

2 O I I2

120

klar Uzhx.az A mit

istDa detlti gfz.laTf f 2 1

VII AreOLD 4 0423 tfzoboe.cl

4 ist Glatspiegelung affini Drehspiegelung oder affnispiegelungUntersuche FixLU

Lösealso Hype 44,21 1L Il Ypg

1 Tz 1 1 1 hiersiehtmanberutsdass

R e e einen eindeutigenFixpunktgibt1in fats 4 affineDrehspiegelung

1 F 1 1

l

1 O o

Fixen Is l äDabei ist S der Schnittpunkt von Drehachse Spiegelhyperebene

Berechne tief EDann ist Ai am Dehn.tn mitgleicher Drehachseunddoppelten Drehwinkel wieAz

hin Drehachse Berechne Es 1 KenLA 1 Is

1 T2 I

l1 52

s.intoffDrehachse von 42 D St

und die affine spiegelhyprebene H Ste E

Die costa spult t 1

2 t

2 3 itza

31,4

InfgabstSei A f cMat.HN

Bestimme charpola mmpol OLA Menge alter EigenwertevonA sowie eine

Matrix Pe GL URI sodassF A P am rationale Jordannormalform

Von A ist

Lösung Rechne chpol x 1 x 2

mmpoe s 6 DÄ D mit Kia 91,23 1,2

hob er A 91,2Bestimme Eigenname Premarkomponenten KRK b

s Eau kennt 1in Y 1 Primakomponentebzglg x DWir wissen von chorpohrs 6 1724 272 dass dingÜ 2

Kerkt un 7 Kerl A 1 IfKult Mutt Kerl

µ f D f1 0 1 I21 1 l

trüb k 2

CDs Kult unInsb Kz 1

In JNm.np.e.se nix e

Jorda oftsformal MetrixWähle ne Kalk II Ken A 1 In zB v

und berechne LA t ffv l

Vz einfach da minpold l unddaherAK diagonalisierbar

Sehenun F e 64,42

Dannfolgt P AP fNFCA

Aufgab sei AeMatuln n mit

Li charpol x 1 4 274 41µ IR

Minpol t 1 x t 2 441

chorpol 1 1 tttµ

Minpol 1 Ital 2

2 4Ciu charpol 4 2 2 Cx I

minpo x i 2K Q

und denialKern A ff In 2

Bestimme gewüls n und alle möglichen Katonalen Jordanhormalformenvon

A Bestimme in Ci auchjeweils o.LA und fü alle dealt

dimulkenlt bin und ordne diese Informationen den entsprechenden

Normalformen zu

Lösung i n gradlchopolo 2.1 21 1.2 6

OLA 1 2,3 Itt hat keine Nullstellen µ

Da Chaput g hinpoly bereits in niednable Polynomezerlegtsindfolgt

z.ggdeins Dia gilt

DDDBegleitnotezu ist

dimnlker.LA 1 2 dmpfker.LA12 da jeweils ZweiBlöcke

Zulegezunächst

chorpol 1 xd 64 1 1 564 1 Htl Ttt 4 1 In K

PG 1 4 1

da keine Nr

ns.gjadlcharpolj 5 tt 1 2 7

LA Ist

INg

mit

Begleitmotix zuÄxte

Ä 0jdem kalt II 3 bzw z

i Da 2 keine Nstin hat ist es bereits widuzibel

chap x 2 x Ip2 zrumpel 2 2

s

Insb ots SO

go.dlcherp.ly 11 2.2 4.1 9

RINNE O O

dimalkenft ots 1 bzw s

Kult L fdeme Kerl A LIG 3 bzw 2

AIgabe3 Seien

An tu cMat c D

Zeige dass An und A ähnlich zueinandersind und bestimme

eine Matrix P c GL sodass

F Aip Az

ungBestimme

gemeinsame RfNF

Chop chop Dlr 2 4 1

alt old s 92

9 2 Kult Kern fKonkret 1 D Kent

Ealds kenlt.tn Kenny g µUmlaut 4 D Kerl Y

Insb JNFG JNFU.it An A Ähnlich

fordabasen Transformah nete's

Wähle ne Kult 1 f Kern Art 15zB µ und berechne

Ks A 1 v

Do Kerl Ant t kenllt.ttwäre ne Kur A 15 8 zB

v L Ksk c

Sehe Pr s GGL.LI mit Pi A P stunt

Az Vdk v o Ken Akt 1 Is Dt Kerl tat 15zB v und berechne

LA t 1 Is V

Do Kerl A t Ks t Kerl 1 Isvii h vs e Kon ht 1 Is l G zB

v K ist o

sehr Ri eGL.lk mit

Pi Az P JUTTA JNFCA Pi A PnPia P A mit Ps PiPi

66445

Agfgabelt Sei AeMatchnm mit dt SO

Zeige dass A nilpotent ist Dh es existiert ein KEN sodass

1 On Nullmatrix

Gilt dies auch fü Ae Mat CnnK

dogg charpol IT t bi Ice da algebraisch abgeschlossene

Vsg des0 Vi 1 _k

charpolis gradlcharpol n da AsMetaCnn

Cayley Hamilton VD On chapal.LA A A nilpotent

Fur Ae Metfnin gilt dasnichtO OBsp Asj

charpol 4 alt 0Imd42

aber A 0 da A und dutt I s.to

wir Gj 8 sowie dd.li

denk O

a

Agfgabe5 Sei vi 42 versehen Mit dem Standardskalerprodukt und

A c Mat.hu0 1 O

O 2 O 2

Bestimme eine Matrix So 0L 4 sodass

5 A s ein Diagonalmatrixist

jogg Da Asymmetrisch ist ist Adiagonalisierbar

ftp.chcrpoqx Gt2x 8 2 x x 4

insb ist rumpel Lx 2 Ht 4 A 90,2 4ONB

Elgenränebestinnen

Eda kenn fS 2 Esk ker.LA 2in Kerl

4

1 0 1 0 1 O 1 OO 4 O 2 O O 6 6b

ONB

1 O 1 0

EinO O O O

f 4 Esa Kult 14 1 Kerl

l p

Ein FsfMehr ONA

Seien HompfVN selbstag ftp.oRVoschedenEWvon L und yweVEVhbgl.d.pe

DannfolgtX

µ VW v du Lkr w s t v w

vier so da t.tn

Esfolgt B 7 tf istONBan.tk für

s cOCH

und STAA S A'So

Ayfgabels Sei kein Korfu und AEMatinn nilpotent

Zuje 1 In CGluck

Lösung Da A nilpotent existiert ein how sd A O

mir.pt x

minpol Xt charpolg x

A trgondisierbar zu einer unteren s Matrix mit Nullenauf

Diagonalen

A In isttrigonalisierber zu

dit 1 In n 10 Htt EGL.lk

Aufgaben Sei ein n dimensionale euklidischerVektorraum

Und dekompffV und Beim ONBvon V

Zuje li ß ios ist selbstadjungiert

E Bgß ist positiv semidefinit dh

VK.IR gilt vi B v O

Kii Alle Eigenwerte von B sind nichtnegativ also so

Liv Es existiert eine Matrix CEMatpln.nl mitB C

Lösung i ß a s o 4 o ßß selbstadgangiit

Sei ve IR Danngilt fur A µVT B VT joa V VT BT µ V

B

VT.AT ALADT Av zoStandardskalarprodukt

auf IR

Kii Sei demein EWvon B und ve IR 03 ein entsprechender EV DanngiltOs 5 B v 5 K r d I t 0

0

4 Da p selbsstady ist ist ß bw B µ diagonalisierbar

Se Olm sd 5 B S day te tnNach ist di 0 Wisst _nDefiniere D diag.LT Td c Motalnen

C 2 ER

Danngilt 5 B S D

s B S D ST s.D.ST.s.D.siDBT Definierealso Cis S DST

Infg Sei ein n dimensionalen IR Vektorraum und

ß eine Behinearform auf Vdhp VN IR sd.pl r Plv IE tonplVlRa Für felton MV sei ßg VN IRdefiniert durch

Bf v w pcf.lv w

Ziege Dann ist auch ff eineBihneorform

b sei nun ß nicht ausgeartet d.h beispielsweisedass V Ov aus 9.7.10 aus der Vorlesung

Zeige Für fige DompelKV folgt aus

Pg Pg bereits f gLösung a Seienunwell t µ c K Danngiltß hmm w plfltut µ w plbfen µ fw w

Pfundpc a µ t µPLAN w

tpglu.eu t µPflv w

Pfui tut µw ß fca tvtnwPFJ.pl.f.lu vlt µ pm w

b p Gr t µp In wb sei ve V ann gilt füalle nett

pglv.nlsßglynplflvI.ci Pegu n

plf.lv gut n 0

Da ß nichtausgeartet istfolgt f ger für gliDo ver beliebig wasgeht f g

Aufgases Sei b IR HR ein Bikriearform definiert durchblle we w vi We Vr Wz Vz W tv Wz

Zeige Li bist symmetrisch ausgeartet und

positiv semidefinitEi Zeige oder widerlege Für Us gilt

µ Usb bVergleiche Definition aufBlatt 12 Aufgabe 3

Lösung E sei B Hd 9 I

Betrachte die Gran Matrix von ß bzgl B

G ß6 symmetrisch p symmetrischdet G O s p ausgeartetde G 0 0

111 1 oppoahusemidef.int

Gegenbeispiel

KerlG YSu U f bzglStandard

Skalarproduktrevil blv.ci so Hue U 1 s

t.by b bs freut blau 0 Hue f IR U