Josef VogelmannDarstellende Geometrie

Kamprath-Reihe • Technik

Dipl.-Ing. (FH)Josef Vogelmann

DarstellendeGeometrie

Die Lehre vom richtigen Zeichnen — eineGrundlage des technischen Zeichnens

5. Auflage

Vogel Buchverlag

JOSEF VOGELMANN

Dipl.-Ing. (FH) für Maschinenbau. 1932 in Hofen(Kreis Aalen) geboren. Nach und vor dem Studiumvon 1956 bis 1959 an der Staatlichen

Ingenieurschule in Esslingen a.N. langjährigeKonstruktionstätigkeit auf dem Gebiet

Sondermaschinenbau, Werkzeugmaschinenbau und

Vorrichtungsbau. Seit 1964 Technischer

Betriebsleiter an der Fachhochschule Aalen.

Seit 1978 nebenberuflich als Lehrbeauftragter für

Technisches Zeichnen heim FachbereichMaschinenhau der FH Aalen und zuvor 7 Jahre als

Lehrbeauftragter für Darstellende Geometrie anden Vorbereitungskursen der FH Aalen tätig.

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme

Vogelmann, Josef:

Darstellende Geometrie : die Lehre vom richtigenZeichnen — eine Grundlage des technischenZeichnens / Josef Vogelmann. — 5. Auflage —Würzburg: Vogel, 2002

(Kamprath-Reihe : Technik)ISBN 3-8023-1920-6

ISBN 3-8023-1920-65. Auflage. 2002Alle Rechte, auch der Übersetzung, vorbehalten.Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form(Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder einem anderenVerfahren) ohne schriftliche Genehmigung desVerlages reproduziert oder unter Verwendungelektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigtoder verbreitet werden. Hiervon sind diein §§ 53, 54 UrhG ausdrücklich genanntenAusnahmefälle nicht berührt.Printed in GermanyCopyright 1976 hy Vogel Verlag und Druck KG,Würzburg

Vorwort

Das vorliegende Buch ist für Schüler technischer Gymnasien gedacht, für Studierendeder technischen Wissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Techniker-schulen und für Ingenieure, die in der Berufspraxis stehen.Es soll als Nachschlagewerk bei der Arbeit im Hörsaal und am Konstruktionsbrettdienen und die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens unterstützen.Dementsprechend ist „Darstellende Geometrie — kub" eine pädagogische Handrei-chung und kein Rezeptbuch.Im Technischen Zeichnen, der weltweiten Sprache des Ingenieurs, Konstrukteurs unddes Technikers, kommt den Grundlagen der Darstellenden Geometrie die Rolle einer„Orthographie" zu: Ohne Darstellende Geometrie ist eine Verständigung in der Spracheder Zeichnung nicht möglich.Mit Hilfe der Darstellenden Geometrie läßt sich ein vorhandenes oder erdachtesGebilde so zeichnen, daß man aus der Zeichnung die Abmessungen und die Form desGebildes erkennen kann.Der Stoff wurde für dieses Buch so aufbereitet, daß man ihn auch im Selbststudiumwirkungsvoll verarbeiten kann.Es ist jenem Lehr- und Lernstoff der Vorzug gegeben, der die Aktivität des Lernendenherausfordert.Neben den Grundlagen über Punkte, Linien, Strecken, ebenflächige und krummflächigeEbenen und ihre gegenseitigen Beziehungen werden die wichtigsten Körperschnitte undKörperdurchdringungen behandelt.Klare mehrfarbige Zeichnungen mit knappem Text vermitteln in Verbindung mitanschaulichen Raumbildern die manchmal nicht einfache Stoffmaterie. Die Raumbildersind in dimetrischer Parallelprojektion ausgeführt. Zur Selbstkontrolle sind am Schlußwichtiger Stoffabschnitte Aufgaben (mit Ergebnissen) gestellt, die der Leser selbständiglösen sollte, will er erfolgreich studieren.

Aalen-Wasseralfingen Josef Voge/mann

5

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 111.1. Einführung mit Zeichenerklärung 111.2. Zentralprojektion 121.3. Parallelprojektion 131.3.1. Schräge Parallelprojektion 141.3.2. Orthogonale Parallelprojektion 141.3.3. Kotierte Parallelprojektion 15

2. Orthogonale Parallelprojektion als Mehrtafelprojektion 162.1. Prinzip der orthogonalen Mehrtafelprojektion 162.2. Orthogonale Abbildung des Punktes 172.3. Aufgaben 212.4. Abbildung der Geraden 222.4.1. Spezielle Raumlagen von Geraden 232.4.2. Darstellung zweier Geraden 242.4.3. Aufgaben 252.5. Bestimmung der wahren Länge und des Neigungswinkels einerStrecke 262.5.1. Paralleldrehen zur Grundrißebene n, 272.5.2. Paralleldrehen zur Aufrißebene 7/.2 272.5.3. Paralleldrehen zur Seitenrißebene n3 282.5.4. Umklappkonstruktion 292.5.5. Aufgaben 30

3. Orthogonale Parallelprojektion von ebenflächigen begrenzten undunbegrenzten Ebenen 32

3.1. Begriffe 323.2. Besondere Lage von Ebenen im Raum 3333. Gegenseitige Lagebeziehungen von Ebenen, Punkten und Geraden zuein-

ander 353.3.1. Aufsuchen der Spurgeraden einer Ebene 353.3.2. Aufgabe 373.4. Hauptlinien in einer Ebene 373.4.1. Höhen- und Frontlinien 373.4.2. Fallinien erster und zweiter Art 393.4.3. Aufgaben 393.5. Der Punkt in der Ebene 413.6. Gerade in der Ebene 42

6

3.7. Aufgabe 423.8. Schnitt zweier Ebenen 433.8.1. Bestimmung der Schnittgeraden zweier Ebenen 433.8.2. Bestimmung des Schnittwinkels a zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

e und e* 453.9. Durchstoßpunkt einer Geraden g mit einer Ebene e 473.10. Senkrechte in oder von einem beliebigen Punkt P auf eine Ebene e 483.10.1. Senkrechte von einem beliebigen Punkt P außerhalb einer Ebene e auf die

Ebene e 483.10.2. Senkrechte in einem beliebigen Punkt P innerhalb der Ebene e 483.11. Durchstoßpunkt einer Geraden mit einer begrenzten ebenen Figur .. 49

4. Achsenaffinität 514.1. Anwendung der Affinität 524.2. Aufgabe 53

5. Ebene Schnitte, Abwicklungen und Durchdringungen an ebenflächigbegrenzten Körpern 55

5.1. Ebenflächige Schnitte 555.1.1. Schräger Schnitt am senkrechten Prisma, Schnittebene e 1 n2 555.1.2. Beliebiger ebener Schnitt am senkrechten Prisma 565.1.3. Aufgabe 585.1.4. Schräger Schnitt an der Pyramide 595.1.4.1. Schräger Schnitt einer Pyramide durch Ebene e 1 n2 605.1.4.2. Beliebiger ebener Schnitt einer Pyramide 615.2. Abwicklung ebenflächig begrenzter Körper 635.2.1. Abwicklung von Prismen 635.2.2. Abwicklung von Pyramiden 645.2.3. Aufgaben 655.3. Durchdringung ebenflächig begrenzter Körper 685.3.1. Gerade durchdringt Prisma 685.3.2. Gerade durchdringt Pyramide 685.3.2.1. Hilfsebene 1 Grundrißebene n, 685.3.2.2. Hilfsebene 1 Aufrißebene n2 705.3.3. Durchdringung zweier Prismen 715.3.4. Durchdringung von Pyramide und Prisma 735.3.5. Durchdringung zweier Pyramiden 7653.6. Aufgaben 77

7

6. Ebener Schnitt und Abwicklung zylindrischer Körper 816.1. Ebener schräger Schnitt am Zylinder 816.2. Bestimmung der wahren Größe der Schnittfläche 836.2.1. Wahre Größe der Schnittfigur mittels Achsenaffinität 836.2.2. Bestimmung der wahren Größe der Schnittfigur mittels Umklappen 846.2.3. Ebener Schnitt, Schnittebene beliebig 856.3. Schnittkurvenkonstruktionen am zylindrischen Drehkörper 866.3.1. Hilfsschnitte parallel zur Seitenrißebene 866.3.2. Hilfsschnitte parallel zur Grundrißebene 866.4. Abwicklung zylindrischer Drehkörper 876.4.1. Senkrechter zylindrischer Drehkörper 876.4.2. Schiefer zylindrischer Drehkörper 89

7. Ebene Schnitte und Abwicklungen an kegeligen Körpern 907.1. Ebene Kegelschnitte 907.1.1. Elliptischer Schnitt 907.1.2. Hyperbolischer Schnitt 937.1.3. Parabelschnitt 947.1.4. Kegelschnitt bei beliebiger Raumlage der Schnittebene e 947.2. Abwicklung kegeliger Körper 967.2.1. Gerader Kreiskegel 967.2.2. Schiefer Kreiskegel 97

B. Schnittkurven an verschiedenen Drehkörpern 998.1. Abgeflachtes Stangenende 998.2. Hebel mit zwei Augen 99

9. Durchdringungen an zylindrischen Drehkörpern 1019.1. Rechtwinklige Durchdringung zweier Rundsäulen 1019.1.1. Hilfsschnitte parallel zur Grundrißebene 1019.1.2. Hilfsschnitte parallel zur Aufrißebene 1029.1.3. Durchdringungskurve mittels Mantellinien 1039.1.4. Aufgabe 1039.2. Schräge, außermittige Zylinderdurchdringung 1059.3. Dreiseitiges Prisma durchdringt zylindrischen Drehkörper 1069.4. Zylindrischer Drehkörper durchdringt vierseitige Pyramide 1079.5. Aufgabe 108

8

10. Durchdringung an kegeligen Körpern 11010.1. Rechtwinklige Durchdringung eines Kegels mit einem Zylinder 11010.2. Rechtwinklige Durchdringung zweier Kegel 11110.3. Rechtwinklige Durchdringung eines Kegels mit einem sechsseitigen

Prisma 11410.4. Rechtwinklige Durchdringung eines Kegels mit vierseitigem Prisma 115

11. Durchdringungskurven an Drehkörpern, deren Achsen sich schneidenunter Anwendung des Hilfskugelverfahrens 117

11.1. Hilfskugelverfahren 11711.1.1. Schrägliegender Zylinder durchdringt waagrechten Zylinder 11711.1.2. Kegel durchdringt Kegel 11811.1.3. Kegel durchdringt Rohrkrümmer 11811.1.4. Zylinder durchdringt Rohrkrümmer 119

Stichwortverzeichnis 120

9

1. Einleitung

1.1. Einführung mit Zeichenerklärung

Die darstellende Geometrie lehrt, wie man räumliche Objekte und im Raum auszufüh-rende Konstruktionen auf einer Ebene — Zeichenebene — durch Zeichnung abbildetund aus diesen Abbildungen die Größe, Gestalt und Lage sowie bestehende Bezie-hungen zwischen abgebildeten Gegenständen erkennen kann.

Beachte: Die darstellende Geometrie lehrt Abbildungsverfahren, die räumlicheObjekte (dreidimensional) durch ebene Zeichnungen (zweidimensional) wieder-geben.Hierbei nimmt man den Nachteil der wenig guten Anschaulichkeit zugunsteneiner maßgetreuen Abbildung gern in Kauf, da durch entsprechende Schulung desVorstellungsvermögens die Nachteile abgebaut werden können.

Maßgetreue Abbildung <--> schlechte Anschaulichkeit

Zeichenerklärung

Es bedeuten:

Große lateinische Buchstaben = Punkte (A, B, C...)Kleine lateinische Buchstaben = Linien (g, /, s ...)Kleine griechische Buchstaben = Winkel (a, /3, y ...)

P' = Bildpunkt von P im Grundriß n,P" = Bildpunkt von P im Aufriß n2

P"' = Bildpunkt von P im Seitenriß r3

S = Spurpunkt einer Geradenb = Bildgerade von g im Grundriß n,b ' = Bildgerade von g im Aufriß n2

ô " = Bildgerade von g im Seitenriß n3

Der Buchstabe (klein) e wird für die Bezeichnung einer Ebene verwendet.

e, = Ebenenspur der Ebene e im Grundriß n,e2 = Ebenenspur der Ebene e im Aufriß n2

e, = Ebenenspur der Ebene e im Seitenriß n3

11

a' = Bild des Winkels a im Grundriß n 1

a" = Bild des Winkels a im Aufriß n2

es" = Bild des Winkels a im Seitenriß 11'3g , I s = Wahre Länge der Strecke g, / oder sa„, y = Wahre Größe der Winkel a, ß, yn = Grundrißebene

= Aufrißebenen1 = Seitenrißebenens = beliebige Hilfsebene

= parallel= rechter Winkel= Winkel

1 = senkrecht= Dreieck

x 1 , = Schnittlinie von n, und jrZ

x Z , = Schnittlinie von n 2 und n,x,, = Schnittlinie von jr, und n,h = Höhenlinie/ = FrontlinieH = horizontaler SpurpunktV = vertikaler SpurpunktAB = Strecke AB

1.2. Zentralprojektion

Die Anschaulichkeit des Bildes von einem räumlichen Gegenstand wird mittels derZentralprojektion, die nichts anderes ist als eine naturgetreue Nachempfindung desnatürlichen Sehvorganges, am besten verwirklicht.Sämtliche Sehstrahlen, Projektionsstrahlen, gehen bei der Zentralprojektion wie inBild 1.1 skizziert, von einem oder zwei im Endlichen liegenden punktförmigen Projek-tionszentrum, Auge, aus und bilden zu jedem Punkt des abzubildenden Körpers Verbin-dungslinien. Die Bildebene wird von diesen Strahlen in den sogenannten Bildpunktendurchstoßen. Die meist senkrecht angeordnete Bildebene kann vor oder hinter demabzubildenden Gegenstand, in beliebigem Abstand, angeordnet sein. Die Lage desProjektionszentrums sollte nicht mit der Bildebene zusammenfallen.

Die Zentralprojektion liefert naturgetreue Abbildungen von räumlichen Gegen-ständen.Bei allen, infolge Zentralprojektion abgebildeten Gegenständen erhält man einesehr gute Anschaulichkeit, die Maßhaltigkeit dagegen ist unbefriedigend.

12

Bild 1.1 ZentralprojektiveObjektabbildung

Projektions-zentrum

Bildebene

1.3. Parallelprojektion

Wie in Bild 1.2 zu erkennen, liegt bei der Parallelprojektion das Projektionszentrum imUnendlichen, d.h., sämtliche Projektionsstrahlen sind untereinander parallel. Sie treffendie Bildebene unter einem bestimmten, für alle Strahlen gleichen Winkel.

Die Parallelprojektion liefert beim senkrechten Auftreffen der Projektions-strahlen absolut maßgetreue Bilder von räumlichen Gegenständen.Im Gegensatz zu der Zentralprojektion ergibt die Parallelprojektion maßgetreueAbbildungen, die Anschaulichkeit der abgebildeten Gegenstände dagegen istgering.

Bild 1.2 ParallelprojektiveObjektabbildung

13

Bild 1.3 Objektabbildungmit schräger Parallelpro-jektion

1.3.1. Schräge Parallelprojelction

Wenn die Projektionsstrahlen wie in Bild 1.3 schräg auf eine Bildebene auftreffen, liegteine schräge oder allgemeine Parallelprojektion vor.

1.3.2. Senkrechte oder orthogonale Parallelprojektion

Bilden die Projektionsstrahlen mit der Bildebene einen rechten Winkel, spricht man voneiner senkrechten oder orthogonalen Parallelprojektion, Bild 1.4.

Bild 1.4 Objektabbildungmit senkrechter Parallel-projektion

14

Als spezielle Projektionsart ergibt sie die maßgetreuesten Bilder von räumlichen Gegen-ständen, allerdings werden zur eindeutigen Bestimmung eines Gegenstandes in derRegel mindestens zwei Bildebenen, die zueinander senkrecht stehen, benötigt.

1.3.3. Kotierte Parallelprojektion — senkrechte Eintafelprojektion

Die senkrechte Projektion von Raumpunkten auf nur eine, in der Regel waagrechtangeordnete Bildebene wird mit kotierter Projektion bezeichnet. Die so entstehendenBilder stellen keine räumlichen, sondern flächenhafte Abbildungen dar, wie in Bild 1.5und 1.6 zu erkennen ist.

Bild 1.5 Räumliche Dar-stellung der kotierten Parallel-projektion

Da bei der kotierten Projektion keine Höhen erkennbar sind, wird der Abstandder jeweiligen Raumpunkte von der Bildebene neben den Bildpunkten (P'...)festgehalten.Die Maßeinheit für die Längen muß aus der Abbildung erkennbar sein.Anstelle der Klammerwerte kann auch ein Höhenmaßstab, mit dessen Hilfe sichdie Lage der Raumpunkte bestimmen läßt, neben der Zeichnung stehen.

Bild 1.6 Kotierte Objekt-abbildung in Eintafelprojektion

Bildebene

P,(55)Bildpunkt

15

AG,

ZeichenebeneBildebene n 2

p" Bad-- \punkt

prajekt

richtung

p, Bildpunkt

Bildebene lt t

Bild 2.1 Dimetri-sehe Darstellungdes Prinzips der or-thogonalen Mehr-tafelprojektion

P,

/biBildebene lt 1

16

Bildebene lt 3P "

2. Orthogonale Parallelprojektion alsMehrtafelprojektion

2.1. Prinzip der orthogonalen Mehrtafelprojelction

Bei der orthogonalen Mehrtafelprojektion wird der abzubildende Raumgegenstandsenkrecht auf mehrere, in Bild 2.1 sind es drei, gedachte Bildebenen abgebildet. DieseBildebenen stehen senkrecht auf bzw. zueinander. Nach Entstehung der Bilder werdendie Bildebenen auseinandergeklappt, so daß eine Zeichenebene entsteht.Aus dem räumlichen Sehvorgang wird eine flächenhafte Abbildung in einer Zeichen-ebene, in der Regel dient das Zeichenbrett als Zeichenebene.

Der Raumgegenstand wird senkrecht von vorn, oben und von der Seitebetrachtet und gleichzeitig auf die Bildebene projiziert. Normalerweise genügendie Bilder von vorn und oben.

Bild 2.2 Dimetrische Dar-stellung der Punktprojek-tion

2.2. Orthogonale Abbildung des Punktes

Ein gedachtes räumliches Koordinatensystem mit einem beliebigen Ursprungspunkt 0ergibt die Bildebenen:

n, = xy-Ebene = 1. Bildebene = 1. Projektionsebene= Grundrißebene

n2 = xz-Ebene = 2. Bildebene = 2. Projektionsebene = Aufrißebene

11.3 = yz-Ebene = 3. Bildebene = 3. Projektionsebene= Seitenrißebene

Die Koordinatenachsen x, y und z mit ihrem Ursprung in 0 sind Schnittgeraden derBildebenen, Bild 2.2.

2 Darstellende Geometrie kub 17

Man bezeichnet sie:

x-Achse = x 12 = Schnittlinie der Bildebene n i und n2

y-Achse = x 13 = Schnittlinie der Bildebene n l und 7t3

z-Achse = x23 = Schnittlinie der Bildebene 71-2 und n3

Die Lote von einem Raumpunkt P auf die Bildebene erzeugen:

P' = Grundriß von PP" = Aufrill von PP"' = Seitenriß von P

Der Strich (P.'..) kennzeichnet die Zugehörigkeit des Bildpunktes zu den entsprechen-den Bildebenen.In Bild 2.3 ist die Abbildung des Raumpunktes P mit Hilfe der Normalprojektiondargestellt. Aus diesem Bild ist ersichtlich, wie die Abbildung in Bildebene n 3 denAbbildungen in 71 1 und n2 zugeordnet ist. Das heißt, sind zwei Bilder eines Punktesgegeben, läßt sich die dritte Abbildung konstruktiv bestimmen.

Bild 23 Prinzipdarstel-hing der orthogonalcn Ab-bildung eines Raumpunktesin Dreitafelprojektion

1. Die Verbindungslinie zweier Bildpunkte steht senkrecht auf den Koordina-tenachsen, man bezeichnet sie mit Ordnerlinie.

2. Jeder Punkt ist durch zwei Projektionen vollständig bestimmt.In der Praxis werden seltener einzelne Punkte, dafür aber eher Körper abge-bildet. Die Eckpunkte eines Körpers können, jeder für sich, als einzelne Raum-punkte betrachtet werden, die sich zum Schluß zum vollständigen Bild einesKörpers verbinden lassen, wie auf Bild 2.4 zu erkennen ist.

18

Bild 2.5 Abbildung eines Prismasin Normalprojektion

n3 P"'7,2

l

P"

x12 x13

Y

P'i,

2' 19

Bild 2.4 Dimetrische Darstellungder senkrechten Körperabbildungin Mehrtafelprojektion

Die bei der senkrechten Projektion, der Normalprojektion entstehenden Bilder gebendem Betrachter Aufschluß über das Aussehen und die Form des betrachteten Gegen-stands, Bild 2.5. Man muß aber mindestens zwei Bilder betrachten, bevor man sich dieForm eindeutig vorstellen kann.Man kann auch den umgekehrten Weg gehen und die Bildebenen n, und n mit ihrenBildern um 90° in ihre ursprüngliche Lage zurückklappen. Dann entsteht der Raum-körper in seiner ganzen Form vor unserem Auge. Durch die Bildebenen wird der Raumin vier Raumviertel eingeteilt, wie Bild 2.6 zeigt. Diese Raumviertel bezeichnet man mitQuadranten.

Bild 26 Dimetrische Darstellungder Punktabbildung bei verschie-dener Raumlage der Punkte

Liegen die Raumpunkte in den Quadranten 2, 3 und 4, ändert sich die Projek-tionsrichtung.Sie steht aber immer senkrecht auf der jeweiligen Bildebene.

Je nachdem, ob die Raumpunkte im 1., 2., 3. und 4. Quadranten liegen, ändert sich dieAnordnung der Lage der Bildpunkte in der Normalprojektion. Bei der Raumlage im 2.Quadranten erscheinen beide Bilder über der Bildachse x 12 , wie aus Bild 2.7 bei denBildpunkten Q' und Q" zu erkennen ist. Aus dieser Abbildung ist auch ersichtlich, daßder im 3. Quadranten liegende Raumpunkt R sich als Grundrißbild R' über der Bildachseund als Aufrißbild R" unter der Bildachse abbildet. Die Raumlage im 4. Quadranten läßtbeide Bilder unter der Bildachse erscheinen, S', S".Beachte: Jeder Punkt ist durch drei Raumkoordinatenabschnitte bestimmt:

P (x, y, z) = Lage im 1. Quadranten

Q (x, —y, z) = Lage im 2. Quadranten

R (x, —y, —z) = Lage im 3. Quadranten

S (x, y, —z) = Lage im 4. Quadranten

20

Bild 27 Q't

Q, ^ tR

I I

I Bildachse X12

I S'

-4-S"1-R"

7'2

7ri

Der Einfachheit halber wird bei den Koordinaten das Pluszeichen weggelassen. DieBezeichnung der Raumpunkte mit P, Q, R und S ist willkürlich.

2.3. Aufgaben

1. Gegeben ist ein Raumpunkt P mit den Koordinatenabschnitten x = 6,y = 4, z = 3(Längeneinheit Zentimeter); P(6, 4, 3)

Gesucht: Grundrißbild P'Aufrißbild P"Seitenrißbild P"'(Lösung Bild 2.8)

Bild 28

2. Gegeben sind die vier Raumpunkte P(2, 3, 4); Q(4, —6, 2); R(6, —5, —4);S(8, 2, —5).

Gesucht: Von allen vier Raumpunkten sind die entstehenden Bilder in der Grund-rißebene, Aufrißebene und Seitenrißebene zu bestimmen.

(Lösung Bild 2.9)

21

11.2

I5'

n-3

I R „

Bild 2.9

2.4. Abbildung der GeradenDie Projektionen von Raumgeraden sind wieder Geraden, außer die Gerade stehtsenkrecht auf der Projektionsebene. Die projizierten Strahlen sämtlicher Punkte einerGeraden bilden eine erste und zweite projizierende Ebene, deren Schnitte mit denBildebenen die Grundrißprojektion b und die Aufrißprojektion b' ergibt. Bild 2.10 zeigtdie perspektivische Darstellung dieser Zusammenhänge. Gleiches gilt auch für die dritteProjektion im Seitenriß.Eine Gerade ist bestimmt durch zwei Punkte (A, B). Die Verringerung über diese Punktehinaus ergibt in den Bildebenen sog. Spurpunkte, die im Grundriß mit Si , im Aufriß mitS'2 und im Seitenriß mit S3' bezeichnet werden.

Bild 210 Dimetrische Darstel-lung der allgemeinen Raumlageeiner Geraden mit den Spurpunk-ten S, und S2

22

X12

®g ,

SZ

Bild 212 Dimetrische undorthogonale Darstellungeiner Geraden gl n1

Bild 2.11 Darstellungeiner Geraden mit allge-meiner Raumlage in Nor-ma lprojektion

Bild 213 Dimetrische undorthogonale Darstellung einerGeraden g 1 n2

7r2 . g „

x12

g'

7r,

Das Bildg' der Geraden gim Grundriß erhält man als Verbindungslinie der beidenSpurpunkteprojektionen S; und S2 im Grundriß.Das Bild ( der Geraden g im Aufriß erhält man als Verbindungslinie der beidenSpurpunkteprojektionen S;' und SZ im Aufriß, s. Bild 2.11.

Da die Spurpunkte in den Bildebenen liegen, werden sie einmal in sich selbst projiziert,d.h. S 1 wird zu S, und S2 zu SZ , ihre anderen Bilder S'und SZ fallen in die Schnittlinie x 12

der Bildebenen.

2.4.1. Spezielle Raumlagen von Geraden

Steht eine Gerade wie in Bild 2.12 senkrecht auf n 1 , erhält man als Grundrißprojektioneinen Punkt g'. Die Aufrißprojektion g" steht senkrecht auf x 12 .Bei senkrechter Raumlage einer Geraden g zur Bildebene n2 , Bild 2.13, erhält man alsAufrißprojektion einen Punkt g". Die Grundrißprojektion g' steht senkrecht auf x12.In Bild 2.14 verläuft eine Raumgerade g parallel zur Bildebene n l . Man erhält alsAufrißprojektion eine Bildgerade g", die parallel zur Schnittlinie x 12 verläuft. In diesemFall bezeichnet man g als Höhenlinie oder Hauptlinie erster Art.

23

Bild 214 Dimetrische undorthogonale Darstellung einerGeraden g Jr,

Bild 215 Dimetrische undorthogonale Darstellung einerGeraden n2

9 ,

Verläuft eine Raumgerade parallel zur Bildebene r 2 , wie in Bild 2.15 dargestellt, erhältman als Grundrißprojektion eine Bildgerade g, die parallel zur Schnittlinie x, 2 verläuft.In diesem Fall bezeichnet man g als Frontlinie oder Hauptlinie zweiter Art.

2.4.2. Darstellung zweier Geraden

Liegen die Bildpunkte P' und P" des Schnittpunktes P zweier Geraden g, undg2 auf einerOrdnerlinie, wie in Bild 2.16 dargestellt, schneiden sich die zwei Raumgeraden g, undg2 im gemeinsamen Punkt P.

Bild 216 Schnitt zweier Geradeng, und g2

24

Es ist darauf zu achten, ob es sich um einen wirklichen Schnitt im Raum oder nurum einen Schnitt in der Projektion handelt.

Bild 2.17 zeigt, daß zwei parallele Raumgeraden g, und g2 parallele Grundrisse undparallele Aufrisse haben; gljg2 und A. Liegen zwei Raumgeraden windschief zu-einander, d.h. g, und g2 kreuzen sich, liegen die Schnittpunkte von g, und g2 in denBildebenen nicht auf einer gemeinsamen Ordnerlinie, wie aus Bild 2.18 zu ersehen ist.

g1,

Sz

x12

Sz

Bild 217 Parallele Geraden Bild 218 Zwei sich kreuzen-

g, und g2, g, I g2 de Geraden g, und g2

Eine Ordnerlinie durch den Schnittpunkt A' B' ergibt im Aufriß A" auf g, und B"auf b 2

Der Abstand z dieser beiden Bildpunkte zeigt, um welchen Betrag die eineGerade über der anderen verläuft. Desgleichen erhält man mit Hilfe der Ordner-linie, die durch den Schnittpunkt P"Q" gezogen wird, iin Grundriß die BildpunkteP' und Q', deren Abstand y angibt, um welchen Betrag die eine Gerade vor derandern verläuft.

2.4.3. Aufgaben

1. Gegeben sind zwei Raumgeraden g, und g2 . Die Gerade g, verläuft durch die PunkteA(12, 3; 0; 3) und B(4; 3; 1), g2 durchstößt die Bildebenen in den SpurpunktenS,(13; 3; 0) und S2(2; 0; 4).

Gesucht: a) Geradenverlauf in Grund- und Aufriß.

b) Es ist zu untersuchen, ob sich g, und g2 schneiden.

Lösung: Aus Bild 2.19 ist zu ersehen, daß sich die beiden Geraden g, und g2 schneiden,da die Bildpunkte P' und P" senkrecht übereinander auf einer gemein-samen Ordnerlinie liegen.

25

A„3

Bild 219

x 12 Si"

14 13 A' 12-11 10 9

2

1

0

1

2

3

P. Q .,

4 Bild 2203 (M 1 : 2)

2

2 V0'

y 1

2

3

2. Gegeben sind die beiden Spurpunkte 4145; 25; 0) und S 2 (30; 0; 45) der Geraden g,,sowie S3 (55; 20; 0) und S4 (140; 0; 30) der Geraden g2 .

Gesucht: a) Geradenverlauf im Grund- und Aufriß

b) Um wieviel Millimeter liegt g, über g2 bzw. g, vor g2 .

Lösung: Aus Bild 2.20 ist zu ersehen, daß g, um z = 12 mm überg2 und um y = 7 mmvor g2 liegt.

2.5. Bestimmung der wahren Länge und desNeigungswinkels einer Strecke

Die wahre Länge einer Strecke erhält man, indem man sie aus der Raumlage heraus-dreht bis zur Parallellage mit einer Bildebene.

26

Bild 2.23 Dimetrische Dar-stellung des Parallcldrehenseiner Strecke AB zur Bild-ebene nr

Eine Strecke bildet sich nur dann in wahrer Länge in der Bildebene ab, wenn sieparallel zu ihr verläuft.

2.5.3. Paralleldrehen zur Seitenrißebene n3

Beim Paralleldrehen einer Strecke AB zur Bildebene 7T3 , wie das Bild 2.23 in räumlicherDarstellung zeigt, muß beachtet werden, daß die Bildebene Str die normalerweisesenkrecht auf der Bildebene 7t 2 steht, nach Entstehung des Bildes in 7T3 noch in dieverlängerte Aufrißebene gedreht wird.

Konstruktion zu Bild 2.24Kreisbogen um B' (A') mit r = A' B' bis zur Parallelläge von A' B' zu n3 bzw. x 13 , B'verändert seine Raumlage nicht. Es wird aber A' zu Aáund A'll zu Ag'. Die Verbindungs-linie B"'Ag' = wahre Länge der Strecke AB.

Die Projektionsebene AA'BB' wird um die Drehachse Bam' bis zur Parallellage mitn3 gedreht.

28

, ./.

1111111 IIIII IIII.IIIi^"!lllllllllllllllll^u ►

Bild 222 Dimetrische undorthogonale Darstellung desParalleldrehens einer Streckezu n2 zur Bestimmung derwahren Streckenlänge

dII^III'

A„ z2

8"

27

Bä

X12

Bild 221 Dimetrischc undorthogonalc Darstellung desParalleldrehens einer Streckezu .'r, zur Bestimmung derwahren Streckenlänge

2.5.1. Paralleldrehen zur Grundrißebene n, Bild 2.21Konstruktion:Kreisbogen um B"(A") mit Radius r = A"B" bis zur Parallellage mit n 1 bzw. x 12 .

• Der Bildpunkt B"(A") verändert seine Raumlage nicht. Es wird aber A'(B') zu A 1 (B 1 )und A"(B") wird zu Aö (B« ). Die Verbindungslinie B'A', (B1, A') = wahre Länge der Strecke AB.Gleichzeitig mit der wahren Größe einer Strecke erhält man beim Paralleldrehen zurGrundrißebene die wahre Größe des Neigungswinkels /1 (klein Beta), das ist derWinkel, unter dem die Strecke AB zur Bildebene n2 geneigt ist.

2.5.2. Paralleldrehen zur Aufrißebene n2 , Bild 2.22Konstruktion:Kreisbogen um A' (B') mit Radius r = A' B' bis zur Parallellage von A' (B' Ao) zu n2bzw. x 12 . Bildpunkt A'(B') verändert seine Raumlage nicht; es wird aber B'(A') zuBo (AP und B" (A") zu B«(A0. Die Verbindungslinie A" B',(A'1, B") = wahre Länge der Strecke AB. Mit Neigungs-winkel a (klein Alfa) bezeichnet man den Winkel, unter dem die Strecke AB zurBildebene 7T 1 geneigt ist.

Bild 224 Paralleldreheneiner Strecke AB zu n3

2.5.4. Umklappkonstruktion

Neben dem Paralleldrehen wird in der Praxis vielfach die Umklappkonstruktion ange-wendet. Aus Bild 2.25 ist ersichtlich, daß hierbei das über dem Grundriß A' B' dergesuchten Strecke ÄB entstehende Projektionstrapez in den Grundriß geklappt wird,mit A' B' als Drehachse.Diese Konstruktion ist wegen ihrer Einfachheit in der Praxis sehr verbreitet.

Beachte: Beim Umklappverfahren werden die Höhenabschnitte A'A = zA undB'B = zB als Senkrechte zu A' B' in den Bildpunkten A' und B' bisA5 bzw.B5

abgetragen. A 0B5 ist die wahre Länge der Strecke AB. Der Neigungswinkelao ergibt sich infolge einer Parallelen zu A ' B' durch Bo .

Bild 2.25 Dimetrische Dar-stellung der Umklappkon-struktion zur Bestimmung derwahren Länge einer StreckeAB

29

Z

Y

7r2

•\ j1111

Bild 227

Bild 226 Umklappkonstruk-tion zur Bestimmung der wah-ren Dinge einer Strecke A B

•

A'

Konstruktion zu Bild 2.26:Errichte in A' auf A'B' das Lot und trage darauf den Abstand zA des Punktes A von derBildebene r 1 ab, bis A 0 , desgleichen in B' das Lot mit denn Höhenabstand z5 bis A,.Die Verbindungslinie A 0B0 ist die wahre Länge der Strecke AB. Die Parallele zurBildstrecke A'B' ergibt den Neigungswinkel a der Strecke AB zur Grundrißebenen,.

2.5.5. Aufgaben1. Zu bestimmen ist zeichnerisch die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der

Kantenlänge a = 45 mm, Bild 2.27.

Lösung: In Bild 2.28 wird in Normalprojektion die Lösung der Aufgaben dargestellt.Raumdiagonale = 78 mm lang.

L 6

-AöBild 228(M1:2)

30