Ausblick

Kein Mensch erkllirt die Ratsel der Natur, Kein Mensch setzt einen Schritt nur aus der Spur, Die seine Art ihm vorschrieb, und es bleibt Der griiBte Meister doch ein Lehrling nur.

Von allen, die auf Erden ich gekannt, lch nur zwei Arten Menschen gliicklich fand: Den, der der Welt Geheimnis tief erforscht, Dnd den, der nicht ein Wort davon verst and. - Omar Khayyam

An dieser Stelle sollen einige Themen angesprochen werden, die direkt an die in den ersten drei Kapitel behandelten anschlieBen und mit modernen Entwicklungen der Ana­lysis oder angrenzenden Bereichen zusammenhangen:

• Algebraische Gleichungen und K urven gibt einen ersten Eindruck davon, wie die geometrische Analysis auch in der Zahlentheorie zum Tragen kommt - bis hin zum "Fermatschen Problem".

• Singularitiiten und Knoten zeigt, wie analytische Probleme der komplexen Analysis zu topologischen Fragestellungen flihren.

• Singularitiiten und Katastrophen hat als Ausgangspunkt die Theorie der Singula­ritaten reellen Funktionen.

• Chaos und Fraktale beschreibt den mathematischen Hintergrund der "Chaostheorie".

• Nichtstandard-Analysis enthalt Hinweise zu einem methodisch alternativen Zugang zur Analysis, dem der "Infinitesimalrechnung".

• Die Einheit der Mathematik wird am Problem der Auflosung algebraischer Gleichun­gen flinfter Ordnung illustriert.

Natiirlich konnen diese Themen hier nur kurz angerissen werden. Fiir ein eingehenderes Studium wird daher (wie schon vorher) auf die beigefligte Literatur verwiesen.

Algebraische Gleichungen und Kurven

Der Zahlbegriff wird heute - zumindest in den Vorlesungen flir Studienanfanger - axio­matisch gefasst. Das vorliegende Buch hat jedoch gezeigt, dass er sich erst allmahlich, im Wechselspiel von geometrischen und arithmetischen Fragestellungen entwickelt hat. Dabei stand zunachst die Arithmetik im Vordergrund. Den Hauptinhalt der altesten erhaltenen vorgriechischen mathematischen Aufzeichnungen aus Babylon und Agypten aber auch aus Indien und China bilden Aufgaben, in denen nach ganzzahligen oder rationalen Losungen von Gleichungen gefragt wird. Nach Ansicht von M.F. ATIYAH

ist die Suche nach den Losungen von Gleichungen auch heute noch das zentrale Thema der Mathematik. Er sagte 1975 in einem Vortrag iiber "Global Geometry" (Proc. Royal Soc. London A 347 (1976) 291-299): If a biologist is someone who studies plants and animals; what does a mathematician study? The answer should surprise no-one - he studies equations; first, at the lowest level, algebraic equations and then, at a higher level, differential equations.

Wahrend Differentialgleichungen erst mit der Entstehung der Analysis am Ende des 17. Jahrhunderts auikamen, stehen algebraische Gleichungen am Ursprung der Ma­thematik. Zunachst sind sie mit geometrischen Fragestellungen verkniipft und treten

206 AUSBLICK

in geometrischer Einkleidung auf, aber mit DIOPHANT (ca. 3. Jhdt. u.Z.) werden sie als eigenstiindige Objekte behandelt. Heute bezeichnet man daher als diophantische Gleichung eine algebraische Gleichung der Form

P(Xl, ... , xm) = 0,

wobei P ein Polynom in m Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Die Hauptauf­gabe besteht darin, ganzzahlige oder zumindest rationale Lasungen so1cher Gleichungen zu finden. Prominente Beispiele in zwei Variablen x und y sind etwa die Kreisgleichung

und die kubische Gleichung X3 + y2 = l.

Allgemeiner kann man im ersten Fall statt des Kreises jede quadratische Form betrach­ten und im zweiten jede kubische algebraische Kurve wie etwa die semikubische Parabel, das cartesische Blatt oder die Kurven in Fig. A.1. In der Sprache der Geometrie sucht man dann nach rationalen Punkten ~ d.h. Punkten mit rationalen Koordinaten ~ auf diesen Kurven.

Fig. A.I

Die einfachsten diophantischen Gleichungen sind von der Form

ax+by=1

mit teilerfremden positiven ganzen Zahlen a und b. Betrachtet man die Kettenbruch­entwicklung i!:.b = [bo; b1 , ••• ,bml = Pm, so gilt a = Pm und b = qm und wegen

qm

hat man mit Xo = (_I)m~lqm_l und Yo = (_I)mPm_l eine Lasung. Alle anderen Lasungen erhiilt man daraus in der Form

x = Xo + kb und y = Yo - ka, k E Z.

Fur eine quadratische diophantische Gleichung der Form

AUSBLICK 207

mit d E Z, eine so genannte "Pell'sche Gleichung", hat man im Fall d ~ 1 oder d = k2 ,

eine Quadratzahl, nur die Losungen x = ±1 und y = o. 1st d > 1 keine Quadratzahl, so zeigt man mit Hilfe der periodischen Kettenbruchentwicklung

dass man in -"'-n. = Pn=-l alle positiven teilerfremden Lasungen hat, insbesondere also Yn qnm-l

unendlich viele. Hier ist n E N fUr gerades m und n = 2k mit kEN fUr ungerades m (vgl. [Per] oder [SO]).

Ein Beispiel einer diophantischen Gleichung hOherer Ordnung ist etwa

Diese tritt auf im Zusammenhang mit dem beruhmten zahlentheoretischen Problem von P. DE FERMAT, ganze Zahlen a, b und e mit abe:f:. 0 zu finden, die die Gleichung

erfUllen; Division durch en fUhrt sofort auf obige Gleichung. 1m Fall n = 2 kennt man alle ganzzahligen Lasungen. Es sind die pythagoreischen Zahlentripel (a, b, c) wie etwa (3,4,5) oder (8,15, 17). Bereits die Babylonier kannten wahrscheinlich ein Verfahren, nach dem sie solche Zahlen erzeugen konnten, denn eine noch erhaltene Keilschrifttafel listet eine ganze Reihe davon auf. In der Tat liefern die binomischen Formeln solche Zahlen, wenn man a = n2 -m2 , b = 2nm und e = n2+m2 fUr n, mEN setzt. Dividiert man wie oben durch e2 und setzt t = ~, so erhiilt man die rationalen Zahlen

1 - t2 2t -- und 1 + t2 1 + t2 '

die der Kreisgleichung genugen. Diese Formeln (fUr t E R) liefern aber gerade die rationale Parametrisierung des Kreises Sl vermage der stereographischen Projektion yom "Nordpol" aus; insbesondere erhiilt man durch Einsetzen rationaler Werte bis auf (0,1) alle rationalen Punkte auf dem Kreis. Man findet nach der gleichen Methode auf jeder Kurve, die eine rationale Parametrisierung zuliisst, unendlich viele rationale Punkte, so etwa auf den kubischen Kurven y2 = x3 oder x3 + y3 = 3axy mit a E Q. Solche Kurven oder Gleichungen heiBen rational.

Bereits DIOPHANT hat in seiner "Arithmatika" durch Substitution spezieller Geraden­gleichungen ausgehend von zwei bekannten Lasung einer gegebenen kubischen Glei­chung eine dritte Lasung bestimmt. Den wahren geometrischen Sachverhalt hat aber erst NEWTON erkannt: 1st ein rationaler Punkt bekannt, so kann man die Tangente in diesem Punkt nehmen und erhiilt einen weiteren rationalen Punkt, indem man die Tangente mit der kubischen Kurve schneidet. 1m Fall einer vertikalen Tangente muss man einen "unendlich fernen" Punkt hinzunehmen. Dies wird dadurch erreicht, dass man von der affinen Kurve zu einer "projektiven Kurve" ubergeht, indem man x und y durch ~ und ~ ersetzt und die Gleichung mit zn, n der Grad der Gleichung, multipli­ziert. H. POINCARE hat 1901 erkannt, dass man auf diese Weise eine Addition auf der Menge der rationalen Punkte einfUhren kann. Dabei wird fUr zwei Punkte P und Q die Summe P + Q definiert durch das Spiegelbild (bzgl. der x-Achse) des Schnittpunktes

208 AUSBLICK

der Kurve mit der Geraden durch P und Q (vgl. Fig. A.l, links). Er zeigte, dass diese Operation eine Gruppenstruktur auf der Menge der rationalen Punkte definiert, und vermutete daruber hinaus, dass diese Gruppe im Fall einer so genannten "elliptischen Gleichung" endlich erzeugt sei. Dies wurde 1921 von L.J. MORDELL bestatigt. MOR­DELL vermutete weiter, dass fur Kurven hOheren "Geschlechts" diese Gruppe in der Tat endlich sei. Insbesondere hatte das Fermatsche Problem fUr jedes n hOchstens endlich viele Lasungen. Die Mordell'sche Vermutung wurde 1983 von G. FALTINGS bewiesen, die eigentliche Fermatsche Vermutung blieb aber noch weitere 10 Jahre offen. Sie hatte ganze Generationen von Mathematikern (und Nichtmathematikern) beschaftigt und obwohl FERMAT die Un16sbarkeit fUr n = 4 und EULER fur n = 3 zeigen konnten, widerstand sie allen weiteren Bemuhungen. Auf die lange Geschichte des Fermatschen Problems und die daraus erwachsenen mathematischen Methoden und Theorien kannen wir hier nicht eingehen; vgl. dazu [SO], [Wei] und [Rib].

Der Schlussstein in diesem Gebaude wurde 1993 von A. WILES gesetzt - genau ge­nommen nach einigen Nachbesserungen zusammen mit seinem SchUler R. TAYLOR erst 1995. Einen Uberblick daruber sowie eine Skizze der Beweisidee geben [Cox] und [Gou], ausfUhrlicher ist jedoch [vdP].

Wir erwahnen hier nur den letzten Schritt, der das Problem in Beziehung setzt zu den kubischen Kurven. 1m Jahr 1986 zeigte G. FREY, dass eine nicht triviale Lasung (a, b, c) fur eine Primzahl n = p auf die "elliptische Kurve"

y2 = x(x - aP)(x - cP)

fuhren wurde und dass diese gewisse Eigenschaften besiiJ3e, die einer noch nicht be­wiesenen Vermutung von A. WElL, Y. TANIYAMA und G. SHIMURA widersprechen. lndem WILES diese Vermutung in einem Spezialfall, der fur die Anwendung auf die obige Kurve aber ausreicht, beweisen konnte, ist das Fermatsche Problem gelast. Wir kannen auf diese speziellen Eigenschaften nicht naher eingehen, wollen aber die Be­griffe "elliptisch" und "Geschlecht" noch niiher erliiutern. Der erste kommt durch die Beziehung mit dem Begriff der elliptischen Funktion (bzw. Integrals) zustande und der zweite ist topologischen Ursprungs. Elliptische lntegrale traten zuerst bei der Rekti­fizierung der Ellipse (daher der Name) und der Lemniskate auf (vgl. Abschnitt 2.2), sodann bei der Berechnung der Schwingungsdauer des mathematischen Pendels (vgl. Abschnitt 2.4). Man kann zeigen, dass sich die kubischen Kurven der Form

y2 = p(x) = x(x - a)(x - (3), 0 -f:. a -f:. (3 -f:. 0,

sowie auch einige vierter Ordnung durch elliptische Funktionen parametrisieren lassen. Diese Kurven werden dann als elliptische Kurven bezeichnet. Analog zur Kreislinie, bei der man in der Parametrisierung x = sin t und y = cos t den Parameter t als

1'" du t = arcsin(x) = r 1(x) = ~

o 1- u2

schreiben kann und mit der Umkehrfunktion f dann

x = f(t) und y = f'(t)

AUSBLICK 209

erhalt, kann man auch im Fall der elliptischen Kurve x = g(t) und y = l(t) schreiben, wenn man das elliptische Integral

benutzt. Die Funktionen 9 und g' weisen noch weitere Parallelen zu den trigonometri­schen Funktionen f = sin und f' = cos auf. 1m Laufe des 18. Jahrhunderts fanden G.C. FAGANO und L. EULER beim Studium der Lemniskate das zum Additionstheorem

arcsin(x) + arcsin(y) = arcsin (xJ1=Y2 + y~)

der Arcussinus-Funktion analoge Additionstheorem

und C.F. GAUSS entdeckte die Periodizitiit der Umkehrfunktion sowie die doppelte Periodizitiit ihrer Fortsetzung in die komplexe Ebene. Die Parametrisierung elliptischer Kurven mit Hilfe elliptischer Integrale kannte wahrscheinlich C.G.J. JACOBI, sie wurde aber erst von 1864 von A. CLEBSCH, dem Herausgeber seiner gesammelten Werke, veroffentlicht. Fur das kubische Polynom

nimmt das entsprechende Additionstheorem die Form

t' du t2 du t 3 du 10 vp(u) + 10 vp(u) = 10 vp(u)

an. Hier ist fUr gegebene Xl, X2 der dritte Wert X3 gerade die x-Koordinate des Schnitt­punktes P3 der Geraden durch zwei Punkte Pl = (Xl, Yl) und P2 = (X2' Y2) auf y2 = p(x) mit der Kurve. Als Umkehrfunktion dieses elliptischen Integrals erhiilt man die so genannte Weierstraft'sche p-Funktion, die als komplexe Funktion doppelt pe­riodisch ist und eine wesentliche Rolle in der Funktionentheorie spielt. Genauer kann man die historische Entwicklung in [Still nachlesen.

Fig. A.2

Zur Erkliirung des zweiten Begriffs, dem Geschlecht, muss man die entsprechenden komplexen Kurven betrachten. Man kann dann zeigen (siehe dazu etwa [BK]) , dass die nicht singuliiren projektiven Kurven jeweils kompakte unberandete zweidimensionale Fliichen bilden, die im Falle rationaler Kurven topologisch einer Sphiire entsprechen,

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im Fall elliptischer Kurven einem Torus und fur Polynome p hoherer Ordnung und ohne mehrfache Nullstellen einer Flache yom Geschlecht 9 ? 2, d.h. einem "Torus" mit 9 Lochern (vgl. Fig. A.2 fur 9 = 2).

Die topologische Klassifikation algebraischer Kurven mit Singularitaten ist etwas kom­plizierter. Einen ersten Eindruck hiervon gibt wiederum [BK].

Singularitaten und Knoten

Wir wollen uns jetzt der lokalen Struktur einer algebraischen Kurve in der Nahe einer Singularitat zuwenden. So heiBt es in [BK]:

Eine Singularitat innerhalb einer Gesamtheit ist eine Stelle der Einzigartigkeit, der Besonderheit, der Entartung, der Unbestimmtheit oder der Unendlichkeit. Aile diese Grundbedeutungen hangen eng miteinander zusammen.

1st P = (zo, wo) ein singularer Punkt der komplexen Kurve C, so betrachtet man den Schnitt von C mit einer Sphare 5~ = {(z,w) E CZ liz - zol2 + Iw - wol2 = e} mit Mittelpunkt P und Radius e. 1st e hinreichend klein, so ist dies eine eindimensionale Teilmenge, d.h. eine reelle Kurve, die wir uns als Raumkurve vorstellen konnen, wenn wir von 5: einen Punkt entfernen, der nicht auf der Kurve liegt: 1st o.B.d.A. P = (0,0) und (O,e) f/- C, so erhalt man diese Raumkurve als Bild unter der stereographischen Projektion von (0, e) aus auf ~3 = {(z, w) E (:2 I Re w = O}. In reellen Koordinaten s, t, u gilt dann

e (s,t,u) = R (Re z,Imz, Imw)

e- e w

bzw. umgekehrt

Als Beispiele betrachten wir die Kurven C1 bzw. C2 , die durch die Gleichungen zw = w2

bzw. w2 = Z3 gegeben sind. Beide enthalten nicht den Punkt (0,1), so dass wir e = 1 wahlen konnen. Die erste Kurve ist die Vereinigung der komplexen Geraden z = w

und w = 0, und man erhalt als Schnittmengen sofort durch Einsetzen die beiden Kurven S2 + t 2 = 1 und (s - 1)2 + 2t2 = 2, d.h. einen Kreis und eine Ellipse. Diese sind jedoch wie in der rechten Fig. A.3 verschlungen - aus optischen Grunden haben wir statt der Kurven eine diese umgebende Rohre gezeichnet. Die zweite algebraische Kurve gestattet die Parametrisierung (v 2 ,v3 ), v E (:, und es gilt (v 2 ,v3 ) E 53 genau dann, wenn Ivl = 6, wobei 6> Omit 64 + 66 = 1 = e2 • Man erhalt also zunachst die geschlossene Kurve

die auf dem "Torus" 5J x 5J3/2 verlauft. Unter stereographischer Projektion geht dieser uber in eine Torusfiache im ~3 und die geschlossene Kurve in einen so genannten " Torusknoten" , der sich im vorliegenden Fall zweimal urn die u-Achse und dreimal urn die Seele des Torus windet (vgl. Fig. A.3 links).

AUSBLICK 211

Fig. A.3

Fur die Singularitaten von Kurven h6heren Geschlechts erhalt man auf diese Weise ebenfalls Knoten, die aber komplizierter sind und wie im erst en Beispiel auch noch ineinander verschlungen sein konnen, ohne dass man sie voneinander trennen kann. Letzteres tritt dann ein, wenn das Polynom nicht irreduzibel ist, d.h. noch in Polyno­me niedrigeren Grades faktorisiert werden kann. Allgemein versteht man unter einem K noten K das Bild einer stetigen injektiven Abbildung c : 8 1 -+ 8 3 , versehen mit der durch c und der naturlichen Orientierung von 81 induzierten Orientierung. Zwei Kno­ten K1 und K2 heiBen dann aquivalent, wenn es einen Homoomorphismus h : 8 3 -+ 8 3

gibt mit h(K1 ) = K 2 , der die Orientierung der beiden Knoten respektiert. Ebenso heiBen die Nullstellenmengen Cp und Cq zweier komplexer Polynome p und q in der Nahe der Punkte P E Cp und Q E Cq aquivalent, wenn es einen Homoomorphismus zwischen Umgebungen U von P und V von Q gibt, der Un Cp auf V n Cq abbildet. Wir erwahnen hier nur, dass die Klassifikation dieser allgemeineren Torusknoten auf den Puiseux-Entwicklungen der in der Singularitat zusammentreffenden Kurvenzweige beruht (siehe [BK]). Genauer gilt fUr zwei irreduzible Polynome p und q: Die Kurven Cp und Cq sind genau dann aquivalent in der Niihe zweier singularer Punkte, wenn die Puiseux-Entwicklungen jeweiliger Kurvenzweige dieselben Exponenten besitzen bzw. genau dann, wenn die entsprechenden Torusknoten Kp und Kq aquivalent sind.

Vor der Entdeckung dieses Zusammenhangs zwischen Knoten und Singularitaten alge­braischer Kurven durch W. WIRTINGER urn 1900 - seine Ideen wurden ausgearbeitet und 1928 von seinem SchUler K. BRAUNER veroffentlicht - wurden Knoten bereits lange vorher studiert. Schon GAUSS und des sen SchUler LISTING, der 1847 den Begriff "Topologie" einfUhrte, hatten sich mit Knoten und Umschlingungen beschaftigt, wobei GAussens Motive physikalischen Fragestellungen entsprangen. Angeregt durch LORD KELVINS "Vortextheorie" der Atome begann P.G. TAIT sich urn 1875 mit Knoten zu beschaftigen und erzielte eine erste Klassifikation, wobei er einen Knoten so in einer Ebene ausbreitet, dass er moglichst wenig Uberkreuzungen aufweist, deren Anzahl er dem Knoten dann zuordnet. Ob solche Knoten tatsachlich nichttrivial waren, war noch nicht gewahrleistet. Dies konnte erst H. TIETZE 1908 beweisen. Zur Unterscheidung von Knoten fiihrte M. DEHN 1910 die "Knotengruppe" als Invariante ein und 1914 zeigte er, dass der Kleeblattknoten aus Fig. A.3 zu seinem Spiegelbild nicht aquivalent ist (siehe [Sti2]). Hier ist die Aquivalenz in einem starken Sinne zu verstehen: man fordert, dass der Homoomorphismus h : 83 -+ 8 3 stetig durch Homoomorphismen in die identische Abbildung deformiert werden kann.

212 AUSBLICK

Urn die Definition der Knotengruppe zu verstehen, betrachten wir zunachst die topo­logische Struktur von C \ {O} und C \ {± 1 }. Beiden Mengen kann man eine Gruppe zuordnen, die jeweils aus Homotopieklassen geschlossener Wege besteht, die in einem festen Punkt starten und enden. In Abschnitt 2.2 haben wir gezeigt, dass man jedem geschlossenen Weg in C \ {O} eine Windungszahl zuordnen, die fiir homotope Wege dieselbe ist. Man kann auch umgekehrt zeigen, dass zwei Wege mit derselben Win­dungszahl homotop sind. Die Gruppe der Homotopieklassen geschlossener Wege - die Verkniipfung entsteht durch Hintereinanderschaltung reprasentierender Wege - bildet dann eine zu Z isomorphe Gruppe. Analog betrachtet man die Homotopieklassen ge­schlossener Wege in C \ {±1} mit derselben Verkniipfung. Die so definierte Gruppe ist jetzt aber nicht mehr kommutativ, da es etwa bei der Achterkurve, die in 0 startet und die beiden Punkte + 1 und -1 umkreist, sehr wohl darauf ankommt welcher der Punk­te zuerst (und in welcher Richtung) umschlungen wird. Die Knotengruppe G(K) eines Knotens K C S3 wird nun definiert als die Gruppe der Homotopieklassen geschlossener Wege in S3 \ K, die aIle in einem fest en Punkt (z,w) E S3 \ K (etwa dem Nordpol) starten und enden. Sie ist im allgemeinen ebenfalls nicht kommutativ: 1m Fall des tri­vialen Knotens Sl C S3 ist G(Sl) isomorph zu Z unabhangig von der Orientierung, im Fall des Kleeblattknotens wird die Knotengruppe von zwei Elementen a und b erzeugt, die der Relation a2 = b3 geniigen (siehe [Sti2]).

1m Jahr 1923 hat J. W. ALEXANDER ein nach ihm benanntes Polynom in einer Va­riablen als neue lnvariante eingefiihrt, das 1970 von J .H. CONWAY zu einer starkeren Polynom-Invarianten modifiziert wurde.

Die Knotentheorie hat in den achziger Jahren einen erneuten Aufschwung erlebt, einmal durch die neuen mathematischen Hilfsmittel, die eine genauere Klassifikation erlauben - die Polynome von V.F.R. JONES (1984) und die sogenannten HOMFLY-Polynome (1985) erlauben die Unterscheidung zwischen Kleeblattknoten und des sen Spiegelbild - zum anderen durch ihre Bedeutung fUr die theoretische Physik. Wir verweisen auf [Ada] und [Kau] fiir eine Einfiihrung in diese neuen Entwicklungen.

Singularitaten und Katastrophen

Etwa zehn Jahre vorher sorgten die Singularitaten reeller Funktionen fUr Aufsehen. Wahrend die Theorie der Singularitaten seit NEWTON eine wesentliche Rolle in der algebraischen Geometrie spieite, hat sie urn 1970 auch auBerhalb der Mathematik fUr Furore gesorgt. Nachdem R. TROM 1968 ihre Anwendbarkeit auf alle physikalischen und sogar biologischen Vorgange postulierte, die aprupte Veranderungen aufweisen, hat E.C. ZEEMAN sie auch auf soziologische und i:ikonomische Vorgiinge ausgedehnt und unter dem Namen "Katastrophentheorie" als eine universell anwendbare Theorie gepriesen; vgl. [Tho] und [Zee]. Eine eher niichterne Bewertung ihrer Anwendbarkeit gibt V.l. ARNOL'D in [Arn].

Die Grundidee der Katastrophentheorie besteht darin, dass aIle natiirlichen Phanomene durch dynamische Systeme, d.h. durch Systeme von Differentialgleichungen, beschrie­ben werden ki:innen und zwar, soweit sie iiberhaupt beobachtbar sind, durch stabile Ruhelagen solcher Systeme oder durch Ubergang von einer solchen stabilen Ruhelage in eine andere, falls eine auBerer Einfiuss wirksam wird. 1m einfachsten Fall ist etwa ein Gradientenfeld gegeben, dessen stabile Ruhelagen gerade die Minima der zugehOrigen Potentialfunktion sind. Die erste Aufgabe besteht nun darin, typische parametrisierte

AUSBLICK 213

Familien von Potentialfunktionen zu finden und die Anderung der Minimia der einzel­nen Funktionen bei Variation des Parameters zu beschreiben. Angeregt hierzu wurde R. THOM vor allem durch eine Arbeit von H. WHITNEY (1955), in der die typischen Sin­gulariUiten beschrieben werden, die bei der (differenzierbaren) Abbildung einer Fliiche in eine Ebene auftreten. Dieser zeigte, dass eine Umgebung eines Punktes der Flache auf dreierlei Weise angebildet werden kann, entweder regular, d.h. diffeomorph auf eine Umgebung des Bildpunktes, oder singular wie in Fig. AA. Die Urbilder der Punk­te auf den Zweigen der semikubischen Parabel nannte er Falten-Singularitiiten, den der Spitze eine Kuspen-Singularitiit (kurz Falte bzw. Kuspe). Andererseits enthalt die Flache aus Fig. AA alle Informationen liber die Minima (und Maxima) der Familie

h(x;u,v) = X44 +u x2

2 +v unter Variation des Parameters (u,v) E]R2 nahe (0,0). Sie wird beschrieben durch die implizite Gleichung

x3 + ux + v = 0,

die so genannte "Katastrophenfiache", und fUr gegebene u und v gibt x gerade die Lage der lokalen Extrema an. 1m Bereich, der liber dem Inneren der semikubischen Parabel, der "Singularitatenmenge", liegt, hat man zwei Minima und ein Maximum, im auBeren Bereich ein Minimum, liber den beiden Asten fallen zwei der drei Extrema zusammen und liber der Spitze alle drei. Der Fall der Falte tritt schon bei der Familie

h (x; u) = x33 + ux auf. Hier ist die Katastrophenmenge die K urve x2 + u = ° in ]R2,

die auf die u-Achse projeziert wird.

Fig. AA

THOM ist nun einen Schritt weiter gegangen und hat auch Singularitaten betrachtet, die sich auf diese Weise durch hochstens 4 Parameter entfalten lassen. Er hat eine endli­che Liste von Aquivalenzklassen, die Thom'schen Elementarkatastrophen. Dabei heiBen zwei Funktionen fund g, jeweils mit Singularitat in 0, aquivalent, falls g( u) = f 0 'P(u) mit einem Diffeomorphismus 'P nahe ° gilt. Auch bei hochstens 5 Parametern kommt man zu endlich vielen Elementarkatastrophen. Es gibt 3 dreiparametrige Familien, 2 vierparametrige und 4 flinfparametrige. Bei mehr Parametern ist die Klassifikation nicht mehr diskret. Bei 3 oder mehr Parametern lassen sich die zugehorigen Katastro­phenmengen nicht mehr darstellen, man betrachtet dann nur die Singularitatenmenge oder zweidimensionale Schnitte davon.

214 AUSBLICK

Fig. A.5

Wir skizzieren hier nur SingulariUitenmengen der Familien

x5 x3 x2 h(x;u,v,w) ="5 +u3 +v2 +wx,

dem so genannten Schwalbenschwanz (links), und

f4(X;U,V,w) = x3 + y3 + wxy - ux - vy,

dem hyper-bolischen N abelpunkt (rechts), sowie

f5(X; u, v, w) = x3 - 3xy2 + w(x2 + y2) - UX - vy,

dem elliptischen Nabelpunkt (in der Mitte). Weitere Bilder findet man bei [Cal], insbe­sondere fUr

x6 X4 x3 x2 f6(X;U,V,w) = 6 + t"4 +u3 + v 2 + WX,

den so genannten Schmetter-ling, und fUr

h(x; u, v, w) = y4 + x2y + tx2 + wy2 - UX - vy,

den pambolischen Nabelpunkt.

Wir konnen auf die vielf1iJtigen Anwendungen hier nicht eingehen, sondern verweisen auf [Zee] und [Tho] sowie auf [PS].

Chaos nnd Fraktale

Wir wollen nun kurz die so genannte "Chaostheorie" ansprechen, von der meist nicht viel mehr bekannt ist als die ansprechenden graphischen Darstellungen von "Fraktalen". Die mathematischen Grundlagen, die zu solchen Bildern fUhren, bleiben meist auBen vor, obwohl sie schon mit elementaren Kenntnissen der komplexen Analysis oder der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen zu verstehen sind. Gerade die Chaos­theorie hat "Mathematik" fUr die breite Offentlichkeit wieder interessant gemacht. Viele Popularisierungen benutzen den visuellen Reiz der Fraktale. DarUber hinaus werden die fraktalen und chaotischen Muster zur Beschreibung natUrlicher Phanomene herangezo­gen und auch von nicht entsprechend mathematisch Vorgebildeten benutzt. Die damit einhergehende Fehleinschatzung der Chaostheorie als einer "Theorie fUr Alles" wird ahnlich wie bei der Katastrophentheorie (oder der Kybernetik in den fUnfziger Jahren)

AUSBLICK 215

durch die iiberzogenen Erwartungen unterstiitzt, die einige Mathematiker in sie gesetzt haben. Die Rolle von R. THOM spielt bei der Chaostheorie B.B. MANDELBROT mit seinem Buch [Man], wahrend H.O. PEITGEN die missionarische Arbeit iibernommen hat. Aber auch hier gilt der Spruch: Eine Theorie, die alles erklart, erklart nichts. Erst eine eingehende und niichterne Betrachtung des mathematischen Hintergrundes wird zeigen, was davon Bestand hat.

Wir stellen hier zunachst eine nichtlineare Differentialgleichung vor, die aufgrund ihres Losungsverhaltens am Anfang der modernen Chaostheorie steht. Zuvor betrachten wir jedoch den so genannten Van der Pol-Oszillator, eine Abwandlung des harmonischen Oszillators aus Abschnitt 2.4, bei dem zusatzlich eine nichtlineare Dampfung wirkt.

x + f-l(x 2 - c)i; + x = 0, c, f-l > O.

Diese Differentialgleichung wurde 1926 von B. VAN DER POL zur Beschreibung der Oszillationen einer Elektronenrohre herangezogen. Sie lasst sich nicht explizit IOsen, man kann dies jedoch numerisch etwa nach der Polygonzugmethode bewerkstelligen. Da eine numerische Losungeiner Differentialgleichung aufgrund der auftretenden Run­dungsfehler und der endlichen Stellenzahl nur eine Approximation sein kann, muss sichergestellt werden, dass die Losungen nicht storungsanfallig sind. Dies ist nach ei­nem Satz aus der Theorie der Differentialgleichungen stets der Fall, solange man sich auf ein endliches Zeitintervall beschrankt. Beim van der Pol-Oszillator gilt dies aber auch fUr beliebig groBe Zeitintervalle, er ist stabil unter Storungen; Fig. A.6 zeigt eine typische Losungskurve.

Fig. A.6

Der N ullpunkt der (x, i;)-Phasenebene reprasentiert die N ulllosung. Jede andere Losung strebt fUr t -+ 00 gegen eine geschlossene Kurve, einen so genannten "Attraktor", deren Form von f-l und c abhangt. Die Kurve selbst ist das Bild einer periodischen Losung und hat fiir kleines f-l nahezu die Form eines Kreises yom Radius .;c. Der "Einzugsbereich" eines solchen Attraktors, sein "Becken", besteht aus all den Punkten x, fiir die die Losung, die zur Zeit t = 0 im Punkt x beginnt, fiir t -+ 00 gegen den Attraktor strebt. Variiert man den Parameter c und laBt dabei auch c :::; 0 zu, so erfahren die konstante Losung x = 0 und die periodische Lasung eine so genannte

216 AUSBLICK

"Hopf-Bifurkation" - nach E. HOPF, der dieses Phanomen 1942 zuerst studierte: Fur c -+ 0 zieht sich der periodische Attraktor zusammen zu einem Punkt und wird fUr c < 0 ein punktformiger Attraktor.

Anders verMlt es sich bei dem folgenden System nicht linearer Differentialgleichungen erster o rdnung , das 1963 von dem Metereologen E.N. LORENZ aufgestellt wurde, urn das Phanomen der Wettervorhersage mathematisch zu modellieren.

x = -(J"X + (J"Y

iJ = -xz + rx - y i = xy - bz

mit (J" = 10, b = 8/3 und r = 28. Bereits dieses einfache idealisierte Modell der Kon­vektionsstromungen in der Erdatmosphare zeigt, dass eine hinreichend genaue Wet­tervorhersage nicht moglich ist. Die Losungen weisen eine sensitive Abhangigkeit von der Wahl der Anfangsbedingungen auf. Obwohl die Losungen der Differentialgleichung stetig (oder sogar differenzierbar) von den Anfangswerten abhangen, impliziert dies nicht die Vorhersagbarkeit. Mit anderen Worten konnen wir nicht vorhersagen, durch welchen Punkt (x(t), y(t), z(t)) T eine Integralkurve zur Zeit t lauft, wenn sie zur Zeit t = 0 in einem wohl bekannten Punkt startet. Man sagt, das Langzeitverhalten sei "chaotisch" .

Das Phanomen lasst sich anschaulich durch das Verhalten einer Motte beschreiben, die urn zwei Lichtquellen kreist und sich nicht fUr eine entscheiden kann. Fur eine Weile kreist sie urn die eine Lampe, nach unvorhersagbarer Zeit urn die andere, dann wieder urn die erste und so fort in unregelmaBigem Wechsel. Notiert man die Folge der abwechselnden Umkreisungen, so erhalt man zum Beispiel 3, 27, 45, 2, 1876, .... Wahlt man einen zweiten Anfangswert sehr nahe bei dem ersten, so kann diese Folge vollig unterschiedlich sein, etwa 2, 3, 5, 7, 11, ....

Fig. A.7

Die Punktmenge, der die Losungen fUr t -+ 00 zustreben ist ein so genannter "seltsamer Attraktor" .

AUSBLICK 217

Wahrend Differentialgleichung die kontinuierliche (zeitliche) Entwicklung eines "dyna­mischen Systems" beschreiben, kann man auch deren Zustande in diskreten Moment­aufnahmen festhalten, d.h. diskrete dynamische Systeme betrachten. Die typischen Beispiele hierfUr sind Iterationsprozesse, gegeben durch ein Folge Zn, n E N, die nach einem festen Bildungsgesetz definiert ist. Als Beispiele haben wir bereits die Folgen der Naherungsbrliche von Kettenbruchentwicklungen kennen gelernt. Ein anderer wichti­ger Iterationsprozess ist das Naherungsverfahren von NEWTON zur Bestimmung der Nullstelle einer differenzierbaren F'unktion j. Dabei definiert man induktiv, beginnend mit einem Startwert Zo, die Iterationsfolge Zn durch

Wir lassen hier auch komplexe F'unktionen zu, wobei die Ableitung wie im Reellen als Grenzwert der Differenzenquotienten definiert wird. Unter geeigneten Voraussetzun­gen an j, konvergiert die Iterationsfolge gegen einen Fixpunkt Z = <I>(z), den man als Attraktor des diskreten dynamischen Systems ansehen kann: 1st j ein Polynom und Z E <C ein Fixpunkt, so gilt 1<I>'(z)1 < 1, genauer 1<I>'(z)1 = m,;:;-l, falls die Nullstelle Z

die Vielfachheit m besitzt. Wie im kontinuierlichen Fall kann nun die komplexe Ebene wieder in die Einzugsbereiche so1cher Fixpunkte unterteilt werden. Die Grenzen dieser Bereiche wurden zuerst 1917 von G. JULIA untersucht und heiBen daher Julia-Mengen. In der Fig. A.8 sind rechts in unterschiedlicher Schattierung die Einzugsbereiche der Nullstelle von j(z) = z3 - 1 dargestellt. Die Konturen in der linken Figur sind unter­schiedliche Approximationen derselben Julia-Menge. Wie man diese Approximationen erhalt, wird genauer in [P JS] beschrieben.

Fig. A.8

Julia-Mengen treten schon bei der Iteration von quadratischen Polynomen auf. In Fig. A.9 sieht man rechts die Julia-Menge fUr die Iteration mit <I>(z) = Z2 + i, wahrend links die Mandelbrot-Menge dargestellt ist. Diese ist definiert als die Menge aller c E <C, fUr die die induktiv definierte Folge Zn = <I>c(zn-d mit <I>c(z) = Z2 + c und Zo = c beschrankt bleibt. Erstaunlicherweise tritt die Mandelbrot-Menge auch auf, wenn man fUr <I>c etwa die Newtonsche Iterationsfolge der kubischen Polynome Pc(z) = z3 + (c-l)z - c wahlt.

218 AUSBLICK

Fig. A.9

All diese Mengen besitzen eine "fraktale Struktur". Diese zeichnet sich einmal durch Selbstahnlichkeit aus, d.h., man findet dasselbe fraktale Muster in beliebig kleinen Teilausschnitten wieder, zum anderen in der "gebrochenrationalen (fraktalen) Dimensi­on" der Menge (siehe [Man] und [PJS]). Selbstahnlichkeit zeigt sich in vielen mathema­tischen Strukturen, in denen der Unendlichkeitsbegriff eine Rolle spielt. Wir haben sie bereits kennen gelernt beim regelmaBigen Ftinfeck, bei der von Kochschen Kurve (tibri­gens von der fraktalen Dimension :~g ~ ~ 1.2619) und bei der Hilbert-Peano-Kurve. Auch die gewohnlich in den Analysis-VOrlesungen konstruierten stetigen nirgends diffe­renzierbaren Funktionen weisen solche Selbstahnlichkeiten auf. Viele dieser Phanomene sind erst mit Hilfe von Computern entdeckt worden. Yom Einsatz des Computers hat auch das vorliegende Buch profitiert, insbesondere in der graphischen Ausstattung. Wir wollen daher zum Abschluss noch kurz auf die Rolle des Computers in der Mathematik eingehen.

Mechanische Hilfsmittel hat der Mensch beim Rechnen seit je her eingesetzt, zunachst die eigenen Finger, dann den Abakus, spater Addiermaschinen und den Rechenschie­ber. Mit der Entwicklung der elektronischen Rechenmaschinen stellt sich die Frage, welche mathematischen Tatigkeiten tiber die mechanischen Operationen hinaus, vom Computer tibernommen werden konnen. Abgesehen von immer schnelleren und kom­plexeren Rechnungen, wie etwa der Faktorisierung groBer Zahlen, der Bestimmung wei­terer Stellen von 1l', oder der Verarbeitung groBer Datensatze sowie des Durchmusterns einer groBen Anzahl von Konfigurationen, wie beim "Beweis" des Vierfarbenproblems, kann man heute mit Hilfe des Computers Situationen durchspielen, die frtiher nur die Vorstellungskraft und der Erfindungsreichtum der besten Mathematiker erzeugen konnte. In jedem Fall sollte man jedoch bedenken, dass die Mathematik dahinter der wesentliche Faktor ist. Die Faszination der vom Computer erzeugten Bilder bleibt glei­chermaBen bestehen, doch das eigentliche Verstandnis wird erst durch die Mathematik gewahrleistet. So sind etwa die Mandelbrot-Menge und i.a. auch die Julia-Mengen noch komplizierter als sie in der graphischen Darstellung erscheinen. Sie lassen sich nicht als abzahlbare Vereinigung semi-algebraischer Mengen darstellen. Dabei heiBt eine Menge M E ffi.n semi-algebraisch, falls sie durch Polynomungleichungen charakterisiert werden kann, d.h.

M = {x E ffi.n I PI (X) :;:: 0, .. . Pk(X) :;:: O}

fUr endlich viele Polynome PI, ... ,Pk. Insbesondere folgt damit (vgl. [BCSS]), dass die Mandelbrot-Menge und die meisten Julia-Mengen nicht entscheidbar sind, d.h. es

AUSBLICK 219

gibt keinen Algorithmus, der fUr einen gegebenen Punkt in R2 nach endlich vielen Schritten entscheidet, ob der Punkt zur Menge oder zum Komplement geh6rt. Auch das Newton-Verfahren ist in der Regel nicht entscheidbar, d.h., es bleibt immer das Problem, die richtigen Startwerte zu £lnden. An diesem Punkt kann die konstruktive Analysis vielleicht neue Wege weisen. Wahrend die Entscheidbarkeitsfrage eigentlich nur von theoretischem Interesse ist, spielen beim Einsatz realer Computer naturlich auch die Kosten eine wesentliche Rolle. Unter diesem Aspekt ist naturlich auch die konstruktive Analysis wenig effizient, wie S. SMALE in [Sma] kritisch bemerkt:

... what good is a constructive solution if it takes 1010 years with the fastest computers (say even fastest in principle). Thus a Constructivist approach to be satisfactory today should be paired with a theorem on the speed or cost of computation.

Andererseits hat P. HENRICI (siehe [Hen]) aber gezeigt, dass der in Abschnitt 1.4 skiz­zierte Weg von WEYL zur Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms diesem Anspruch sehr wohl gerecht wird.

Wir haben oben gesehen, wie man rein algorithmisch die Losbarkeit der einfachsten diophantischen Gleichungen entscheiden kann und gegebenenfalls die Losungen £lndet. Das 10. von HILBERTS Problemen aus dem Jahr 1900 bestand in der Aufgabe, solche Entscheidungsverfahren fur beliebige diophantische Gleichungen zu £lnden: Ein diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlkoef­fizienten sei vorgelegt: man soil ein Verfahren angeben, nach welch em sich mittels einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden Uisst, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lOsbar ist.

Nun hat aber Y.V. MATIJASIEVICH 1970 gezeigt, dass auch dies nicht moglich ist. Dieses negative Resultat ist eng verwandt mit dem in der FuBnote auf S. 48 erwahnten Unvollstandigkeitssatz von K. GODEL. Wir konnen auf den Beweis hier nicht einge­hen - er benutzt wesentlich die Folge der Fibonacci-Zahlen - (vgl. dazu etwa [Mat]), wollen aber auf seinen positiven Aspekt hinweisen. MATIJASIEVICH zeigte, dass sich jede "rekursiv aufzahlbare" Teilmenge von N (zu diesem Begriff siehe [Obe]) durch eine diophantische Gleichung beschreiben lasst. Genauer gibt es zu einer solchen Men­ge S ein Polynom p( k; Yl, ... , Yn), das genau dann eine eine Losung in ganzen Zahlen Yl, ... , Yn besitzt, wenn k zu S gehort. Man kann solche Polynome in speziellen Fallen auch explizit angeben. Insbesondere hat man ein Polynom konstruiert, dessen Werte fUr positive ganze Zahlen gerade die Primzahlen sind.

Nichtstandard-Analysis

Wir haben eingangs erwahnt, wie die einzelnen Zahlbereiche fUr verschiedene Bediirfnis­se geschaffen worden sind, ganze Zahlen zum Zahlen und fUr die Arithmetik, rationale und reelle Zahlen zum Messen und komplexe Zahlen zum Losen algebraischer Gleichun­gen. Eine der letzten Errungenschaften sind die "hyperreellen Zahlen", mit denen die reellen erweitert werden, urn leichter Analysis bet rei ben zu konnen und urn so rechnen zu konnen, wie die Physiker schon immer gerechnet haben. Eine weitere Motivation besteht darin, die In£lnitesimalrechnung im Sinn der ursprunglichen Bedeutung des Wortes mit den lange Zeit verponten in£lnitesimalen GroBen, die G.W. LEIBNIZ, L. EULER und A.-L. CAUCHY noch benutzten, wieder zu ihrem Recht kommen zu lassen. LEIBNIZ schreibt 1702 in einem beriihmten Brief an P. VARIGNON zur Verteidigung seiner Vorgehensweise (zit. nach [Bck]): Man kann somit die unendlichen und unendlich kleinen Linien - auch wenn man sie nicht in me­taphysischer Strenge und als reelle Dinge zugibt - doch unbedenklich als ideale Begriffe brauchen,

220 AUSBLICK

durch welche die Rechnung abgeklirzt wird, ahnlich den sog. imaginaren Wurzeln in der gewohnlichen Analysis, wie z.B. A. 1m Grunde genommen sind die infinitesimalen Zahlen nicht weniger real als die irra­tionalen Zahlen. Wie man diese GraBen streng handhaben kann, lehrt die urn 1960 mit unterschiedlichen Ansatzen durch C. SCHMIEDEN und D. LAUGWITZ bzw. A. Ro­BINSON begrundete "Nichtstandard-Analysis"; vgl. [LR], [Lau] und [Rob]. Wie beim Ubergang von den rationalen zu den reellen Zahlen, die man haufig als Aquivalenzklas­sen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen interpretiert - zwei Folgen a = (an)nEN und b = (bn)nEN heiBen aquivalent, wenn (an - bn)nEN eine Nullfolge ist -, werden hyper­reelle Zahlen durch Aquivalenzklassenbildung aus den Folgen reeller Zahlen gewonnen. In ]RN, dem Ring aller reellen Folgen mit der komponentenweisen Addition und Mul­tiplikation, betrachtet man das Ideal N derjenigen Folgen (an)nEN, bei denen an #- 0 fUr nur endlich viele Folgenglieder gilt, d.h. an = 0 fUr fast aile n. Der Ring ]RN / N der Aquivalenzklassen [a] bildet ein vereinfachtes Modell der Nichtstandard-Analysis (siehe [Lau] und [Hnl]). Er enthalt die reellen Zahlen in der Form der konstanten Folgen und kann mit einer Ordnungsstruktur versehen werden, indem man fUr [a] und [b] definiert:

[a] < [b] {:} an < bn fUr fast aile n.

In diesem Ring hat man bereits infinitesimale GraBen sowie infinite GraBen: Es ist o = [0] < [(~)] < [c] fur jedes reelle c > 0 und [(n)] > [c] = c fUr jede reelle Zahl c. Ferner zeigt der Artikel [Hen], wie man darin bereits element are Analysis betrei­ben kann. Neben einem vereinfachten Kalktil der Differential- und Integralrechnung, was sie im Hinblick auf die EinfUhrung der Analysis in der Schule besonders attrak­tiv macht, erlaubt diese vereinfachte Nichtstandard-Analysis auch eine weitergehende Deutung des Begriffs des Kontinuums. Dabei knupft sie an die dynamische Sicht von LEIBNIZ und NEWTON an, eine Sicht, die durch die statische Auffassung in CANTORS Mengenlehre verloren gegangen war. Man kann infinitesimale Zahlen wie [(~)] als un­endlich kleine variable GraBen auffassen, a.hnlich wie LEIBNIZ die Differentiale dx als variable unendlich kleine GraBen angesehen hat. Ferner bilden die hyperreellen Zahlen ein echtes Kontinuum, denn man kann es nicht zerreiBen, etwa in positive und negati­ve Zahlen zerlegen: es ist nicht entscheidbar wozu die infinitesimale Zahl [( ( -1) n ~) ] gehOrt - man vergleiche dazu das in ahnlicher Weise nicht zerlegbare "konstruktive Kontinuum" aus Abschnitt 1.4.

Die vereinfachte Nichtstandard-Analysis besitzt aus klassischer Sicht jedoch einige Nachteile. Der Ring der hyperreellen Zahlen ist nur ein Ring und kein Karper, es gibt Nullteiler wie etwa die Elemente [(0,1,0,1, ... )] und [(1,0,1,0, ... )]. Ferner ist die Ord­nung nicht total, d.h. je zwei Elemente lassen sich in der Regel nicht vergleichen. Urn diesem zu begegnen kann man jedoch das Ideal N vergraBern zu einem maximalen Ideal und dadurch die Aquivalenzklassen verkleinern. Man erha.lt dadurch eine Erweiterung der reellen Zahlen zu einem angeordneten Karper. Fur die technische DurchfUhrung der hier nur angedeuteten Konstruktion mussen wir auf die oben angegebene Literatur verweisen.

Inhaltlich bringt die Nichtstandard-Analysis zumindest auf elementarer Ebene nichts Neues. Sie bietet jedoch methodisch einen alternativen Zugang zur Analysis, der auf der Betonung des Kalktils beruht.

AUSBLICK 221

Die Einheit der Mathematik

Wir haben bisher gesehen, dass viele klassische geometrische Probleme zur Entstehung und Entwicklung der Analysis beigetragen haben und diese wiederum Mittel fUr de­ren Losung bereit gestellt hat. Bei einigen musste man zusatzlich die Algebra zu Hilfe nehmen. Wir wollen zum Abschluss noch einmal ein Problem ansprechen, das die Ma­thematiker seit mehr als 4000 Jahren beschaJtigt, die Losung algebraischer Gleichun­gen. In den altesten Keilschrifttexten findet man bereits Aufgaben, die auf lineare oder quadratische Gleichungen fuhren. Auch kubische Gleichungen werden spater in geome­trischer Einkleidung untersucht und in speziellen Fallen gelOst. Jedoch erst Anfang des 16. Jahrhunderts wird die allgemeine Gleichung dritten Grades gelost und ebenso die biquadratische von vierter Ordnung. Dazu bedurfte es der kurz zuvor geschaffenen Po­tenzrechnung mit gebrochenen Exponenten. Bei der Losung von Gleichungen hOherer Ordnung durch Radikale, d.h. durch Wurzelziehen, kam man jedoch nicht weiter. Erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts konnte man mit Hilfe der eigens dafur entwickelten Gruppentheorie zeigen, dass man bei beliebigen algebraischen Gleichungen nicht ohne Analysis auskommt.

Nach Vorarbeiten von J.L. LAGRANGE und P. RUFFINI, zeigte N.H. ABEL 1826, dass sich eine Gleichung fUnften Grades i.a. nicht durch Radikale lOsen lasst. Kurz darauf entwarf E. GALOIS die heute nach ihm benannte Theorie, die die Mittel bereitstellt, die Frage der Losbarkeit durch Radikale in jedem Fall zu entscheiden, insbesondere auch, ob sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden konnen.

Wie bei den klassischen Konstruktionsaufgaben zeigt die Galois-Theorie jedoch nur die Grenzen auf, wahrend die Analysis weiter schreitet und mit neuen Hilfsmitteln eine Losung erzielt. So hat G. EISENSTEIN bereits 1844 eine analytische Losung der allgemeinen Gleichung fUnfter Ordnung angegeben (vgl. [Sti3]), die sich durch verall­gemeinerte Tschirnhaus-Transformationen auf die Form y5 + y + a = 0 bringen lafit. Eine reelle Losung von y5 + y = x findet er in der Potenzreihe (vgl. Abschnitt 3.1)

y(x) = ~(_l)k (5k)! x4k+1. ~ (4k + l)!k! k==O

1m Grunde genommen kommt man bereits bei der Lasung der allgemeinen Kreistei­lungsgleichung zn = a oder bei der kubischen Gleichung, die noch zu den durch Radi­kale losbaren gehoren, ohne Analysis nicht aus, denn zur Berechnung der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl a = lal exp( i arg a) = r( cos cp + i sin cp) bedarf es der Exponenti­alfunktion: So ist

1 1 !T 1 yrr = exp (n log r) = exp (n 1 ;; dX)

und die n-ten Wurzeln von I~I sind gegeben durch

2k7r .. 2k7r k 1 cos- +ZSlll-, = , ... ,n. n n

1m Zusammenhang mit der kubischen Gleichung beachte man daruber hinaus die Tat­

sache, dass in der Formel aus 1.4, Aufgabe l(c), der Winkel cp durch cos cp = -~ / J ~ geben ist, sich also durch ein Integral der Form J: Vl~x2 ausdrucken lasst.

222 AUSBLICK

1m Jahr 1858 zeigten CH. HERMITE, F. BRIOSCHI und L. KRONECKER unabhangig voneinander, wie man eine Lasung der Gleichung fUnfter Ordnung mittels "elliptischer Modulfunktionen" erhalt. KRONECKERs Vermutung, dass es sich dabei nur urn den Spezialfall eines allgemeineren Theorems handelt, wurde durch spezielle Resultate von F. KLEIN urn 1875 erhiirtet aber erst 1982 durch den Japaner H. UMEMURA bestatigt. Dieser hat gezeigt, dass sich jede allgemeine algebraische Gleichung durch "hyperellipti­sche Integrale" und deren Umkehrfunktionen lasen lasst. Ein hyperelliptisches Integral

verallgemeinert ein elliptisches J,i3 ~ mit einem Polynom p vom Grad? 3. Es er-a yp(x)

setzt die Logarithmusfunktion bzw. die Arcus-Cosinus-Funktion, die man, wie oben gesehen, fUr die n-te Wurzel bzw. fiir die kubische Gleichung benatigt. Die Umkehr­funktionen, die der Exponentialfunktion bzw. der Cosinus-Funktion entsprechen, lassen sich durch schnell konvergierende Reihen, so genannte "Thetafunktionen" , ausdriicken.

Bei der Lasung einer algebraischen Gleichung spielt die Galoisgruppe eine wesentliche Rolle. Fiir die allgemeine algebraische Gleichung vom Grad:::; 5 hat KLEIN dafiir kon­krete Darstellungen gefunden, vgl. [Kle]. Er bemerkte zunachst, dass sich die endlichen Untergruppen der Gruppe 80(3), der Rotationen des m.3 , als die Gruppen identifi­zieren lassen, die die Platonischen Karper invariant lassen. Hinzu kommen fUr jedes n E N die zyklische Gruppe Cn = Zn sowie die so genannte Diedergruppe Dn. Auch diese lassen gewisse, in die Einheitssphare 8 2 einbeschriebenen Karper invariant - von den Fallen n :::; 2 abgesehen: Betrachtet man fUr n ? 3 das regulare in den Aqua­tor von 82 einbeschriebene n-Eck und errichtet dariiber einen Kegel, indem man die Eckpunkte mit dem Nordpol verbindet, so entspricht die Gruppe der Drehungen, die den Kegel invariant lassen, gerade Cn. Die Gruppe Dn beschreibt die Drehungen des Doppelkegels, den man erhalt, wenn man zusatzlich die Ecken mit dem Siidpol verbin­det. Sie besitzt die Ordnung 2n, da die Drehung urn die Achse, die durch eine Ecke und den Ursprung geht, noch hinzukommt. 1m Fall n = 4 erhiilt man ein Oktaeder, darf dann aber nur die Drehungen zulassen, die die Aquatorialebene invariant lassen. Mit Hilfe dieser Gruppen kann man nun Tschirnhaus-Transformationen fiir die alge­braischen Gleichungen finden, die nur arithmetische Operationen und Quadratwurzeln beinhalten und zu Gleichungen fiihren, die nur noch von einem Parameter abhangen, vgl. [Kin] und [Shu].

Der Zugang KLEINS zur allgemeinen algebraischen Gleichung fiinften Grades zeigt ein­drucksvoll die Einheit der Mathematik, da er Methoden aus verschiedenen Gebieten benutzt. Wir wollen damit unseren Streifzug durch die geometrische Analysis beschlie­Ben, indem wir enden, womit wir begonnen haben: den Platonischen Karpern.

Literaturhinweise

[Ada] Adams, C.C.: Das Knotenbuch, Spektrum Akad. VerI., Heidelberg, 1995 Eine element are Einfiihrung in die Knotentheorie

[Arn] Arnol'd, V.I.: Catastrophe Theory, Springer, Berlin, 19923

Sehr lesenswerter obwohl mathematisch anspruchsvoller Uberblick liber die Theorie der Singularitaten und ihrer Anwendung

[Bck] Becker, 0.: Grundlagen der Mathematik, Suhrkamp, Frankfurt, 1975 siehe Abschnitt 1.4

[BCSS] Blum, L., Cucker, F., Shub, M., Smale, S.: Complexity and Real Computation, Springer, Berlin, 1998

AUSBLICK 223

Die Frage der Komplexitat, die bislang nur in der Logik oder der Computertheorie diskutiert wurde, wird hier im Zusammenhang mit numerischen Rechnungen in Rn untersucht.

[BK] Brieskorn, E., Knarrer, H.: Ebene algebraische Kurven, Birkhauser, Basel, 1981 siehe Abschnitt 3.1

[Cox] Cox, D.A.: Introduction to Fermat's last theorem, Amer. Math. Monthly 101 (1994) 3-14 Untechnische Darstellung des Beweises der Fermatschen Vermutung und deren Vorgeschichte

[Gou] Gouvea, F.Q.: "A marvelous proo!", Amer. Math. Monthly 101 (1994) 203-222 Es werden die zentralen Begriffe und deren Verwendung beim Beweis der Fermatschen Vermutung erlautert.

[Hnl] Henle, J.M.: Non-nonstandard analysis: real infinitesimals, Math. Intelligencer 21, No.1 (1999) 67- 73 Der Autor stellt, angeregt durch die Arbeiten von SCHMIEDEN und LAUGWITZ, eine vereinfachte Ver­sion der Nichtstandard-Analysis vor.

[Hen] Henrici, P.: Applied and Computational Complex Analysis, Vol. I, Wiley Classics Library, J. Wiley, New York, 1988 siehe dazu auch Uniformly convergent algorithms for the simultaneous approximation of all zeros of a polynomial von P. Henrici und 1. Gargantini in: Constructive Aspects of the Fundamental Theorem of Algebra, hrsg. B. Dejon, P. Henrici, Wiley-Interscience, New York, 1969, S. 77-113.

[Kau] Kauffman, L.H.: Knoten, Spektrum Akad. VerI., Heidelberg, 1995

Uberblick liber die Anwendungen der Knotentheorie vor allem in der Physik, teilweise eher flir Physiker geeignet

[Kin] King, R.B.: Beyond the quartic equation, Birkhiiuser, Basel, 1996 Das Buch enthalt eine Ausarbeitung des Algorithmus' von F. BRIOSCHI, P. GORDON und L. KIEPERT flir die Lasung der allgemeinen algebraischen Gleichung vom Grad 5; vgl. auch O. Perron, Algebra, Bd. II, W. de Gruyter, Berlin, 19513 , sowie den Artikel des Autors mit E.R. Canfield in Computer Math. f3 Appl. 24, No.3 (1992) 13-28.

[Kle] Klein, F.: Vorlesungen fiber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen vom /'unften Grades, Teubner, Leipzig, 1884, Nachdruck 1993 Das klassische Werk von KLEIN wird in der Neuaufiage erganzt durch Kommentare des Herausgebers, die die weitere Entwicklung dokumentieren.

[LR] Landers, D., Rogge, L.: Nichtstandard Analysis, Springer, Berlin, 1994 Das Lehrbuch bietet eine ausflihrliche Beschreibung der hyperreellen Zahlen und stellt vor allem den Einsatz der Nichtstandard-Methoden in verschiedenen Bereichen der Mathematik dar.

[Lau] Laugwitz, D.: Zahlen und Kontinuum, B·I·Wissenschaftsverlag, Mannheim, 19942

Einer der Begrlinder der Darmstadter Schule gibt einen vereinfachten Zugang zur Nichtstandard­Analysis und diskutiert ausflihrlich die philosophischen Grundlagen sowie die didaktischen Aspekte.

[Man] Mandelbrot, B.B.: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhiiuser, Basel, 1987

Der Neuentdecker der Theorie der Fraktale gibt einen Uberblick liber die Phanomene der Natur, die mit Hilfe von Fraktalen beschrieben werden kannen.

[Mat] Matijasievich, Y.V.:Hilbert's Tenth Problem, MIT Press, Cambridge, 1993 Ausflihrliche Darstellung der negativen Lasung des 10. HILBERTschen Problems und deren Konsequen­zen

rObe] Oberschelp, A.: Rekursionstheorie, B·I·Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1993 Einflihrung in die Theorie der rekursiven Funktionen

224 AUSBLICK

[PJS] Peitgen, H.O., Jurgens, H., Saupe, D.: Chaos and Fractals, Springer, Berlin, 1992 GroBe Teile dieses Buchs sind ebenfalls enthalten in den von denselben Autoren erfassten Biichern Bausteine des Chaos. Fraktale und Chaos - Bausteine der Ordnung (Klett-Cotta/Springer, 1992 & 1994).

[Per] Perron, 0.: Die Lehre von den Kettenbruchen I,II, Teubner, Stuttgart, 1954 siehe Abschnitt 1.2

[PS] Poston, T., Stewart, LN.: Catastrophe Theory and its Applications. Pitman, Lon­don, 1978 siehe Abschnitt 3.2

[Rib] Ribenboim P.: Fermat's Last Theorem for Amateurs, Springer, New York, 1999 Das Buch bietet neben einer Einfiihrung in die zahlentheoretischen Hilfsmittel eine ausfiihrliche Dar­stellung der Geschichte des Fermatschen Problems, insbesondere eine reichhaltige Bibliographie.

[Rob] Robinson, A.: Non-Standard Analysis, Horth-Holland, Amsterdam, 1966 Das Standardwerk des Begriinders der (modernen) Nichtstandard-Analysis (Neuauflage bei: Princeton Univ. Press, Princeton, 1995)

[SO] Scharlau, W., Opolke H.: Von Fermat bis Minkowski, Springer, Berlin, 1980 Voriesung iiber element are Zahlentheorie mit stark historischem Bezug

[Shu] Shurman, J.: Geometry of the quintic, Wiley-Interscience Publ., J. Wiley, New York, 1997 Dies ist eine moderne Darstellung von F. KLEINS "Vorlesungen iiber das Ikosaeder".

[Sma] Smale, S.: The fundamental theorem of algebra and complexity theory, Bull. Amer. Math. Soc. 4 (1981) 1-36 Ubersichtsartikel iiber die numerische Komplexitat der Berechnung von Nullstellen komplexer Poly­nome

[Sti1] Stillwell, J.C.: Mathematics and its History, Springer, New York, 19974

Trotz der historischen Abfolge, zeigt der Autor eher den Weg moderner mathematischer Theorien wie die der elliptischen Funktionen, der algebraischen Geometrie oder der Topologie zuriick zu den Wurzeln.

[Sti2] Stillwell, J .C.: Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, New York, 19932

Elementares Lehrbuch zur algebraischen Topologie

[Sti3] Stillwell, J.C.: Eisenstein's footnote, Math. Intelligencer 17, No.2 (1995) 58-62 Enthait eine detaillierte Herieitung der oben angegebenen Potenzreihendarstellung. Fiir erganzende Betrachtungen vergleiche man S.J. Patterson, Eisenstein and the quintic equation, Historia Math. 17 (1990) 132-140.

[Tho] Thorn, R.: Structural Stability and Morphogenesis, W.A. Benjamin, Reading, 19752

Die "Bibel" der Katastrophentheoretiker, sowohl aus mathematischer als auch aus fachwissenschaftli­cher Sicht kaum verstandlich

[vdP] van der Poorten, A.J.: Notes on Fermat's Last Theorem, J. Wiley, New York, 1996 Die Geschichte des Fermatschen Problems mit einer Skizze seiner Losung

[Wei] Weil, A.: Zahlentheorie, Birkhauser, Basel, 1992 Eine Geschichte der Zahlentheorie bis 1800 mit Schwerpunkten bei FERMAT, EULER und LAGRANGE

[Zee] Zeeman, E.C.: Catastrophe Theory, Addison-Wesley, Reading, 1977 Eine Sammlung der wichtigsten Aufsatze des Autors aus den Jahren 1972 bis 1977 iiber Anwendun­gen der Katastrophentheorie. Der mathematische Teil enthait auch einen vollstandigen Beweis des Thom'schen Klassifikationssatzes.

Losungshinweise, Losungen, Ergebnisse

Jede Aufgabe, die ich loste wurde zu einer Regel, die spater zur Losung anderer Auf­gaben diente. - Rene Descartes

Abschnitt 1.1

1. So = I( -11 = V(~ -1)2 + 1- ~2 =.J2=7i = V5- 2..J5

2. Hinweis: cos 20: = 2 cos2 0: - 1 = 1 - 2 sin2 0:

3. Wegen b;'+l = 1 + bn ist nur die Konvergenz zu zeigen. Induktiv folgt aus

die Monotonie und aus

die Beschranktheit.

4. (_(4 (_( 1 1 (2 _ (3 = (2 _ (2 = (+ ( = h = 9

5. (i) Innerhalb des Konvergenzintervalls muss nach Multiplikation mit 1 - x - x 2 die Identitat

00

Lin+l(Xn _xn+l _xn+2) = 1 n=O

gezeigt werden. Diese folgt sofort durch Koeffizientenvergleich aufgrund der Rekursi­onsformeln fUr die Fibonacci-Zahlen.

(ii) Wegen

hat man eine Teleskopreihe.

(iii) Man entwickle nach der erst en Zeile bzw. Spalte.

(iv) Induktion nach n.

6. Man beachte gn + gn+! = gn+2 und hn _ hn+1 = hn+2.

7. Der Zentriwinkel eines regelmaBigen Funfecks betragt 72°, der des leicht zu konstru­ierenden Sechsecks 60°, d.h. man erhalt leicht einen Winkel von 12°.

8. Fur die Quotienten !l.n. = !fu folgt Sn So

dn 1 1 an =-=I+ =1+---

Sn 1 + dn+!/sn+! 1 + an+! ,

226 LOSUNGSHINWEISE

also an+l = an1_l - 1. Mit ao = 1 erhiUt man etwa fur n = 7 die Naherung

1393 a7 = 985 = 1.414213198 ....

Auf jeweils 8 Stellen genau ist 1; 24, 51, 10 = 1.41421296 ... und V2 = 1.41421356 ....

Abschnitt 1.2

1. Werden die Zahlen Pk und qk rekursiv wie in (+) definiert (auch wenn die bk > 0 nicht ganzzahlig sind), so folgt wiederum C2n < C2n+2 < C2n+3 < C2n+l fUr Cn = fu. qn

Genau dann existiert limn --+ oo Cn, wenn Cn+l - Cn = ~ eine Nullfolge ist. Aus der qn qn+l

Rekursionsformel fUr qk erhiiJt man femer induktiv die Abschatzungen

qn ~ (1 + b1)(1 + b2) ... (1 + bn )

q2n ? 1 + b1 (b2 + b4 + ... + b2n )

q2n+l ? b1 + b3 + ... + b2n+1

fur n E No 1st die unendliche Reihe 2:~=1 bn konvergent, so wegen log (1 + x) ~ x auch das unendliche Produkt f1~=1 (1 + bn ), und daher ist qnqn+l beschrankt aufgrund der ersten Ungleichung. 1st die Reihe divergent, so auch eine der beiden Teilreihen mit geraden bzw. ungeraden 1ndizes. Dann folgt aber qnqn+l --+ 00 aufgrund der zweiten bzw. dritten Ungleichung.

2. Dies folgt sofort durch Transponieren der auf S. 16 verwendeten Produktdarstellung

fUr (Pn qn) . Pn-l qn-l

3. Es ist ~ = 2:~1 (_I)k-l (k~l)!' also

1 1 I 2!2 I 312 I ~ = 121 + I 31 - 2! + I 41 - 31 + ...

1 I 212 I 312 I = 121 + I ~ + 13·31 + ...

11 21 31 41 =12 +12 +13 +14 + ....

4. Dies folgt sofort durch kurzen des ersten bzw. erweitem des zweiten Kettenbruchs.

5. Es genugt zu zeigen, dass I ~ I + I ¥ I + I ¥ I + ... gegen 1 konvergiert. Dieser allgemeine

Kettenbruch ist aber aquivalent zu dem Kettenbruch

21 21 21 a=11 +11 +11 +"',

und hierfur gilt offensichtlich a = l!a > 0 also a = 1

6. (a) Es ist 27.21222 : 29.53059 = ~~~~;i, also dauert es bis zur Wiederkehr dersel­ben Konstellation 984353·27.21222 = 26786430.4 Tage oder 73338.8 Jahre (bei einer Jahreslange von 365.2421991 Tagen).

LOSUNGEN - ERGEBNISSE

(b) Es ist ~~~~;i = [0; 1, 11, 1,2, 1,4,3,4, 1,3, 1O,6J mit den Naherungsbruchen

1, 11 12 35 47 223 12' 13' 38' 51' 242

227

Dabei entspricht die letzte Naherung, der Saroszyklus, einer Dauer von etwa 18 Jahren.

(c) Es ist 1 trap. J. 365.2422 1 M = 30 = [12;2,1,2,1,1,17, ... J.

syn. . 29.5 59

Aus [12; 2,1,2,1,1 J = 21395 erhalt man, dass 19 Jahre annahernd 235 Monate ausmachen. Das sind nach METON gerade 12 . 12 + 7· 13 Monate.

7. Es ist v'3 = [1; Q. Die erst en Naherungsbruche lauten

2 ~ 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 , , 3' 4' il' 15' 41' 56' 153' 209' 571' 780'

8. (a) Aus P+qVd > 1 folgt 0 < q < p + v'd und aus -1 < p - If < 0 folgt p < v'd sowie a + a' > 0, also '7 > O.

(b) Es sei a Lasung der quadratischen Gleichung b2x2 + b1x + bo = 0 mit bj E Z, b2 > O. Mit dem Ansatz a = raj + -t folgt dann

Man beachte at < [aJ < a, so dass die obige quadratische Gleichung mit -1 zu mul­tiplizieren ist damit q1 und a1 positiv wird. Offensichtlich ist a1 > 1 und man sieht leicht, dass

( 1)' 1 a~ = a - [aJ = a' - [aJ

gilt. Wegen [aJ ~ 1 und -1 < a' < 0 ist dann auch die zweite Bedingung, -1 < a~ < 0, erfUllt.

(c) Da man fUr die Kettenbruchentwicklung sukzessive ak = [akJ + _1_ setzt, kannen ak+l

nach (a) und (b) hier nur endlich viele verschiedene Zahlen ak auftreten, d.h. die Entwicklung ist periodisch.

(d) Man wendet das Verfahren auf die reduzierte quadratische Irrationalzahl a = 4 + y'f§ an und erhalt a1 = 2, a2 = 1, a3 = 3, a4 = 1, a5 = 2 und a6 = raj = 8.

Abschnitt 1.3

1. (a) 1st P(x) ein Polynom mit P(a) = 0, so wird durch Q(x) = P(x2 ) ein Polynom definiert mit Q( va) = o.

228 LOSUNGSHINWEISE

(b) Es sei r = ~ -=J. 0 und P(a) = 0 fUr P vom Grad n ~ 1. Setze Ql(X) = P(x - r)qn

und Q2(X) = p(~)pn. Dann sind Ql und Q2 Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und Ql(a + r) = 0 sowie Q2(ar) = O.

(c) (V2 + V3)2 = 5 + 2V6 und 2(1 + V3)2 sind algebraisch nach (a) und (b). Mit (a) folgt die Behauptung.

2. (a) Nach der Leibniz-Regel und durch Zusammenfassen erMlt man

FUr k < n verschwindet fi,k) (x) in den besagten Punkten, wahrend fUr k ~ n die Koeffizienten ganzzahlig sind.

(b) folgt mittels partieller Integration und dem Hauptsatz der Differential- und Inte­gralrechnung.

Ware em = ~, so ware q In fUr a = m nach (a) und (b) ganzzahlig. Wegen

1 (m)2n o ~ fn(x) ~ n! "2

ist aber 1 m2n 1 (m)2n O<qI ~qmem_- =pm- - <1

n", n! 2 n! 2

fUr hinreichend groBes n. Das ist ein Widerspruch.

3. Es genUgt, die Behauptung fUr Z = 1 zu beweisen, denn dann existiert zu wz- l und zu c > 0 ein k E Z mit Iwz-l - eikal < c und es folgt auch

FUr k, C E Z, k -=J. c, ist zkzil = ei(k-e)a -=J. I, da 2~ irrational ist. Durch die Punkte

Wk = e2rrik/n, 1 ~ k ~ n, wird der Kreis in n kongruente Kreisbogen zerlegt. Aufgrund des Dirichlet'schen Schubfachprinzips muss dann mindestens einer dieser KreisbOgen von den n + 1 Punkten Zj = eija , j = 1, ... , n + 1 zwei Punkte enthalten, etwa Zk

und Ze mit k < C. Von den Punkten Zn(e-k)' n E N, enthalt dann jeder Kreisbogen mindestens einen. Zu w E 8 1 existiert also ein Zj mit

Aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion wird letzteres beliebig klein fUr groBes n.

4. Dies folgt mit den Rechengesetzen im Korper Jffi., wobei fUr die Bestimmung des Inversen von a + b,jC -=J. 0 nur (a + b,jC)(a - b,jC) = a2 - b2c -=J. 0 zu beachten ist.

5. Differentiation der Funktion f(x) = xlix = e10g x/x zeigt, dass sie striktes globales Maximum in x = e besitzt, so dass Jrl/rr < el/e gilt.

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 229

Abschnitt 1.4

1. (a) Mit der angegebenen Transformation erhliJt man p = b- a; und q = 22a; - ¥ +c. (b) Mit Y = u + V wird die reduzierte Gleichung

u3 +v3 + (3uv+p)(u+v) +q = 0,

also u3 + v3 + q = 0, wenn man 3uv + p = 0 wahlt. Da man ohne weiteres p i= 0 annehmen kann, erhalt man mit v = - f.i fUr u3 die quadratische Gleichung

also

Wahlt man hier das obere Vorzeichen, so wird v3 = - ~ - Vi5. (c) 1st D ~ 0, so erhalt man die angegebene reelle Lasung Yl = Ul + Vl. dass Y2 und Y3 zueinander konjugiert komplex und die beiden anderen Lasungen sind, folgt durch Ausmultiplizieren.

(d) folgt mit Hilfe der Additionstheoreme der Cosinusfunktion.

2. 1st a < b, so wende man den Satz von Rolle auf die Funktion

n f(k)(x) k b-x g(x) = f(b) - "" --(b - x) - R(b)-

L..J k! b - a k=O

an, wobei der Restterm R definiert ist durch

n f(k)(a) R(a + x) = f(a + x) - L -k-! _xk.

k=O

Andernfalls kann man x = a wahlen.

3. Es ist zu zeigen: 1st f : [a, b] -+ lffi. gleichmaBig stetig, f(a) < 0 < f(b), und existiert in jedem Teilintervall [a, P] ein ~ mit f(~) i= 0, so gibt es eine Nullstelle x E [a, b] von

f· Dazu konstruiert man induktiv zwei Folgen (Xn)nEN und (Yn)nEN mit

Sind beginnend mit Xo = a und Yo = b die Folgenglieder Xn und Yn bereits konstruiert, so existiert nach Voraussetzung im Intervall [xn + i(Yn -xn), Yn - i(Yn -xn)] ein Zn mit f(zn) i= O. 1st f(zn) < 0, so wahle xn+l = Zn und Yn+l = Yn, im Fall f(zn) > 0 dagegen Xn+l = Xn und Yn+l = Zn· In beiden Fallen gilt IYn+l - xn+ll ~ ~IYn - xnl, so dass die beiden Folgen eine Intervallschachtelung definieren. 1m gemeinsamen Grenzwert x = limn--+ oo Xn = limn--+oo Yn gilt aufgrund der Stetigkeit natiirlich f(x) = O.

4. Zunachst ist V(x) = V (j(x), f' (x), ... ,f(m) (x)) konstant in jedem Intervall, in dem

keine der Ableitungen verschwindet. 1st f(k)(x)O und f(k+l)(x) i= 0, so erniedrigt sich

230 LOSUNGSHINWEISE

V(y) urn 1 bei wachsenden Durchgang von y durch x. 1st hier k ? 2, so ist auch j(k-l)(y) i- 0 fUr y nahe x und daher sind die Werte V(J(k-I)(y),f(k)(y),j(k+I)(y)) fUr y < x und y > x entweder gleich oder vermindern sich urn 2. Verschwinden fUr ein k ? 0 die Ableitungen j(k+j) (x), j = 0, ... , £-1 und ist j(k+l) (x) i- 0 und etwa positiv, so gilt sgn j(k+j) (y) = (_l)l-j fur y < x und sgn j(k+j) (y) = 1 fur y > x. 1st k ? 1, so ist auch j(k-l)(y) i- 0 nahe x. 1st £ gerade, so kommt kein Vorzeichenwechsel hinzu und die Anzahl der Vorzeichenwechsel erniedrigt sich urn £ beim Durchgang durch x. 1st £ ungerade, so erniedrigt sie sich urn £± 1. 1st dagegen k = 0, also x eine £-fache Nullstelle, so erniedrigt sich die Anzahl der Vorzeichenwechsel urn £ plus einer eventuell geraden Zahl, falls noch Ketten von hOheren Ableitungen verschwinden. Analog schlieBt man mit demselben Ergebnis, falls die erste nicht verschwindende Ableitung negativ ist. Da alle Nullstellen im offenen Intervall (a, b) liegen und ebenso wie die der Ableitungen isoliert sind, konnen wir ein c: > 0 wahlen, so dass die Ableitungen in (a + c:, b - c:) liegen und in a + c: und b - c: keine der Ableitungen verschwindet. Nach den bisherigen Uberlegungen ist dann

V(a) - V(b) = V(a) - V(a + c:) + V(a + c:) - V(b - c:) + V(b - c:) - V(b)

urn gleich oder urn eine gerade Zahl groBer als die Anzahl der Nullstellen in (a, b) mit Vielfachheiten gezahlt. 1st P(x) = I:Z'=o ein Polynom yom Grad m, so gilt p(k)(O) = k!ak, d.h., V(O) gibt gerade die Anzahl V der Vorzeichenwechsel der Koeffizienten an. 1st b hinreichend groB, so besitzen die Ableitungen P(k)(b) fUr k = O, ... m alle dasselbe Vorzeichen, d.h. V(b) = O. Damit ist V obere Schranke fUr die Anzahl der positiven Wurzeln und die Differenz ist gerade. Fur die Anzahl der negativen Nullstellen betrachtet man das Polynom P( -x) und sieht leicht, dass man die von DESCARTES angegebene Regel erhalt.

5. Dies folgt aus dem Beweis des Fourier'schen Kriteriums der vorigen Aufgabe. Man kann es aber auch direkt einsehen: Sind a < Xl < X2 < ... < Xk < b die Nullstellen mit Vielfachheiten rj E N, j = 1, ... ,k, so gilt

P(x) = (x - Xlr' ... (x - XkrkQ(X),

mit einem Polynom Q(x), das in [a, b] nicht verschwindet. Nun ist Gffi > 0, wahrend

das Vorzeichen von ~i:~ gleich dem von (_lyl+·+rk ist.

Fur die zweite Aussage wahle man a = - R und b = R wie in der Abschiitzung (*). Eine analoge Abschiitzung gilt auch bei gerader Ordnung.

6. Mit Po (x) = x3 + px + q und PI (x) = 3x2 + p folgt P2(x) = -~px - q und P3 (x) = 2 3

- ~ (T + ~ ), falls p i- O. 1st nun D < 0 und damit auch p < 0, so gilt fUr R > 0 wie

in der vorigen Aufgabe V( -R) - V(R) = 3. 1m Fall D > 0 gilt V( -R) - V(R) = 1, wie man leicht anhand von Fallunterscheidungen feststellt.

7. Die Aussage (1) folgt sofort mit der speziellen binomischen Formel in (0). Zum Beweis von (2) ist nur zu beachten, dass

~ k(k - 1) (n)Xk(l_ x)n-k = x2 t (n - 2)xk- 2(1_ xt-2-(k-2) L.. n(n - 1) k k - 2 k=O k=2

L6SUNGEN - ERGEBNISSE

gilt. Nach Indextransformation folgt die Behauptung wiederum mit (0).

8. Fiir die Differenz f(x,y) - Bn,m(f)(x,y) erhalt man die Doppelsumme

231

die man aufspaltet in die Teilsumme mit (~- x) 2 + ( -£ - y) 2 < 82 bzw. in die Teilsumme

mit (~ - x) 2 + (-£ _ y) 2 ? 82 . Man geht nun wie im eindimensionalen Fall vor, wobei

man in der zweiten Teilsumme die Beziehung (0) einmal fUr die Variable x und einmal fUr die Variable Y benutzt.

Abschnitt 2.1

1. Fiir beliebiges aber festes m fiihre man Induktion iiber n durch.

2. Es muss gelten: x = (eX - 1) 2:~=o ~! xn, also

00 n 00 B n 00 n-1 1 B

x=~:!~ ~~ =BoX+~(t;(n_k)!k~)xn,

d.h. Bo = 1 und 2:~~~ (~)Bk = 0 fUr n ? 2. D X X x e'+l· d F kt' . t . t B 0 f" "" a e'-l + '2 = '2 e'-l eme gera e un 10n lS ,1S 2n+1 = ur n E l'1.

SchlieBlich ist

und Addition der entsprechenden Potenzreihen liefert die Behauptung.

3. 1st a = Xo < Xl < ... < Xn = b eine Zerlegung von [a, b], so wird durch Yj j(Xj), j = O, ... ,n eine Zerlegung Yo < . "Yn von [j(a),j(b)] definiert. Ferner gilt die Beziehung

n n

Un + On = L j(Xj_1)(Xj - Xj-1) + L r 1(Yj)(Yj - Yj-1) j=l j=l

n

= LYj-1 (Xj - Xj-1) + Xj(Yj - Yj-1) = XnYn - XoYo· j=l

Hier ist Un eine Untersumme fUr I: f(x) dx, On eine Obersumme fiir I!(~; f-1(y) dy.

Wiihlt man eine Folge von Zerlegungen mit sup{Xj - Xj-1 I j = 1, ... ,n} -t 0 fiir n -t 00, so folgt

I b f(x) dx = sup Un = sup{f(b)b - f(a)a - On}

a nEM nEM

~f(b)

= f(b)b - f(a)a - inf On = f(b)b - f(a)a - f-1(y) dy. nEM f(~

232 LOSUNGSHINWEISE

4. Es ist J; x1/n dx = b1/nb - J;,/n yn dy = b(n+!)/n - n~1 b(n+l)/n.

5. Wir betrachten exemplarisch den kompliziertesten Fall (m, n) (5,3), d.h. die Gleichung

2(Z5 _1)2 z3 = 5(Z3 _1)2 z5.

Division durch (z - 1?z7 =I- ° liefert

2(Z4 + z3 + Z2 + z + 1)2/z4 = 5(Z2 + z + 1)2/z2

oder 2(Z2 + z + 1 + Z-1 + Z-2)2 = 2(x2 + X - 1)2 = 5(x + 1)2

und damit x2 + x-I = jf(x + 1).

6. (a) (i) Es ist Jo1 Bi(x) dx = 0, da Bi punktsymmetrisch ist zu !. Fur n E N folgt die Behauptung induktiv wegen

11 1x 1 111X tB~(t) dt = (x B~(t) dt) I - B~(t) dt. o 0 0 0 0

(ii) & (iii) folgen sofort durch Induktion nach n.

(b) Nach Definition von B~+1 ist

d.h. Bn+! ist I-periodisch aufgrund von (a) (i). Damit geniigt es, die Gleichheit B~(x) = - -I

Bn(x) fur ° :::; x < 1 zu zeigen. Wegen Bn = nBn- 1 = B~' folgt dies induktiv aus

(c) Wendet man die Euler-MacLaurin'sche Summenformel mit n = m + 1 und k = r an, so erhiilt man aufgrund der Periodizitiit von B~ und seinen Ableitungen sowie von ( a) fur den Restterm

SchlieBlich folgt

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 233

7. (a) folgt mit der Substitutionsregel und (b) folgt sofort mit (a) und der Intervallad­ditivitat des Integrals.

(c) Fiir x> 1 ist der Integrand ~ I, also L(x) ~ x-I. Fiir x < 1 ist -L(x) = J: t dt ~ I-x.

(d) Da L die Voraussetzungen des (konstruktiven) Zwischenwertsatzes erfiillt, geniigt es L(x) -+ 00 fiir x -+ 00 zu zeigen. Da L(2) > 0, folgt dies mit (b): L(2n) = n L(2).

Mit (b) folgt in der Tat induktiv L(xn) = nL(x) fiir n E N sowie wegen 0 = L(I) = L(x-1x) = L(x-1) + L(x) auch fiir -n E N. Daher ist L(xp / q ) = pL(x1/q und speziell fiir p = q erhalt man L(x) = qL(x1/q ), also L(xp/ q ) = P.L(x) bzw. L(eP/ q ) = P.). Die Stetigkeit liefert die Behauptung fiir beliebige reelle Zahlen. q

8. 1st P das quadratische Interpolationspolynom, so gilt

P(t) - Px(t) = a(t - a)(t - b)(t - c)

mit einer Konstanten a, also J: (P(t) - Px(t)) dt = 0, d.h.

Man erhalt dann die gewiinschte Abschatzung wie bei den Trapezregeln mit der ange­gebenen Hilfsfunktion.

Abschnitt 2.2

1. Die zweite Aussage folgt sofort mit der Leibniz'schen Sektorformel, wobei man nur den negativen Umlaufsinn zu beriicksichtigen hat. Die Formel fiir die Bogenlange fiihrt auf das Integral

1 211" 111" L(c)=r 0 v2-2costdt=rV8 0 VI-costdt

und die anschlieBende Substitution u = VI - cos t auf

1 V2 2u ;;:;--;; V2 L(c) = 2rv'2 ~ du = -4rv'2v 2 - u2 10 = 8r.

o 2 - u 2

2. Die Lange des Bogens betragt ~('if + sinh 'if), der Flacheninhalt ~:. Die Lange der

logarithmischen Spirale zwischen 0 und a ist v'2(1 - e-a ). Insbesondere besitzt die gesamte logarithmische Spirale eine endliche Lange.

3. Die Bild der Kurve ist eine Rosette mit n Blattern, fiir n = 4 also ein vierblattriges Kleeblatt Uedoch mit nicht eingekerbten Blattern). Der Flacheninhalt betragt

11211" n 1 1 n1l" 111" -2 sin2 -<p dip = - sin2 u du = sinx dx = ~.

o 2 n 0 0 2

4. Die Darstellung in Polarkoordination erhalt man sofort durch Einsetzen. Der Inhalt der von der Kurve umschlossenen Flache ist 2.

234 LOSUNGSHINWEISE

5. Die angegebene Parametrisierung fUhrt fur die Bogenlange auf das Integral

i t 1 tanhs ds = log cosht = log - = -log x.

o x

6. Fur zwei beliebige Kurven C und emit denselben Anfangs- und Endpunkten gilt offensichtlich

sup If(c)(t) - f(c)(t)1 ~ ~ sup Ic(t) - c(t)l. O~t~l O~t~l

Speziell fUr c = Co und c = Cm folgt daher induktiv

Die Grenzkurve Coo ist als gleichmaBiger Limes stetiger Kurven also wiederum stetig. Zur Parametrisierung von Cn wird das Intervall [0,1] in 4n gleichlang Intervalle un­terteilt, wovon jedes zur Parametrisierung eines Geradenstucks der Lange (~) n dient. Errichtet man uber jedem solchen Geradenstiick ein gleichschenkliges Dreieck der H6he

4- 3~ , so enthalt die Vereinigung all dieser Dreiecke das Bild jeder der nachfolgenden Kurven Ck, k ? n + 1. Liegen t und s in zwei verschiedenen der 4n Intervallen, so liegen auch coo(t) und coo(s) in verschiedenen Dreiecken, d.h., Coo ist injektiv. Da die Lange der Kurve Cn durch L(cn ) = (~r gegeben ist, besitzt Coo insbesondere keine endliche Lange.

Da der Flacheninhalt eines gleichseitigen Dreiecks der Seitenlange a durch Fo = J3 a; gegeben ist, erhalt man nach n ? 1 Schritten die Gesamtflache

1 n a2 (4)k-l Fo + "3 L Fn mit Fk = v34 9 ,

j=l

Dies fuhrt fUr n -+ (Xl auf eine geometrische Reihe mit der Summe

1 1 8 Fo + -Fo--- = -Fo·

3 1- 4/9 5

7. Da IZ23 - 21 ~ 3 fUr Izl = 1 gilt, ist Pt(z) = 4z5 + t(Z23 - 2), 0 ~ t ~ 1, eine "Homotopie" zwischen P = g und Po(z) = 4z5. Der Einheitskreis enthalt also 5 Nullstellen von P.

8. Wahlt man ohne Einschrankung Ck ~ 1, so gibt es einen Kreis BR(O) yom Radius R > 0, der die Nullstellen aller Polynome Q sowie die Menge G enthalt. Wegen

P(z) = (z - Zd"l ... (z - zm)<l:=

gilt fUr z f/- G die Abschatzung

IP(z)1 ? cr l .. ·c~=.

1st nun w E BR(O) eine Nullstelle von Q, so folgt

n n

IP(w)1 = IP(w) - Q(w)1 ~ L lak - bkllwlk ~ LbkRk < c<l:l .. 'c~=, k=O k=O

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 235

wenn man die dk hinreichend klein wahlt, d.h., es muss w E G gelten. Zum Beweis der zweiten Aussage betrachtet man die "Homotopie"

n

Qt(z) = L (ak + t(bk - ak))zk k=O

zwischen Q1 = Q und Qo = P. Wie gerade gezeigt, besitzt Qt keine Nullstellen in BR(O) \ G. Insbesondere ist die Anzahl der Nullstellen in B6;(Zj) unabhangig von t. Abschnitt 2.3

1. (a) Man erhalt den Kegelstumpf der Hohe h, indem man von einem Kreiskegel der Hohe h+x die Spitze von der Hohe x abschneidet. Es gilt dann die Proportion x~h = ;, d.h. x = -/!!p, und Einsetzen in V = ~ (r2 (h + x) - p2 x) liefert die gewunschte Formel.

(b) Man verwende in der Formel (R) die Kurve c(t) = (t,p + yt), 0 ~ t ~ h.

2. (a) Man verwende in (R) die Kurve c(t) = (t, Vr2 - t2), r - h ~ t ~ r. Ergebnis: V = ~h2(3r - h).

(b) Man wahle c(t) = (psint,r + pcost), 0 ~ t ~ 21f. Ergebnis: V = 2rp21f2.

3. In der Ruhelage steht das Wasser 2cm hoch, nimmt also ein Volumen von 81f ein.

4. Der Kaffeefilter kann h(8 + 121f) cm3 Kaffee aufnehmen.

5. Ergebnisse: (a) 21frh fur den Mantel und 21frh + 1f(r2 - (r - h)2) = 41frh -1fh2 fUr die Gesamtoberflache, (b) 41f2rp.

6. Ergebnisse: V = 51f2 r3 und 0 = ¥1fr3.

7. Es sei jeweils a die Kantenlange des Polyeders. Ergebnisse:

Tetraeder: V = 1l- a2 , 0 = v'3 a2 •

Oktaeder: V = 1" a3 , 0 = 2v'3 a2 .

Wurfel: V = a3 , 0 = 6a2 .

Ikosaeder: V = 5(31"/5) a3 , 0 = 5v'3 a2 . r-----,:

Dodekaeder: V = 15±Jv'5 a3, 0 = 3J25 + lOy's a2.

8. Bei einem Zylinderradius r ist die Schnittflache des zu berechnenden Korpers in Hohe zein Quadrat mit dem Flacheninhalt 4(r2 - Z2). Mit dem Cavalieri'schen Prinzip folgt

V = 2 4(r2 - z2) dz = _r3. i T 16

o 3

9. Da sowohl das Volumen als auch die Determinante translations- und rotationsun­abhangig sind, durfen wir (X1,Y1,Zl) = (0,0,0), (X2,Y2,Z2) = (X2'O,O) sowie Z3 = 0 annehmen. Dann ist

236 LOSUNGSHINWEISE

10. Das rechnet man unter Benutzung der Formel

bk _ ak = (bk - 1 + abk - 2 + ... ak - 2b + ak - 1 )(b - a)

direkt nach oder gewinnt es als Spezialfall der Simpson-Regel.

Abschnitt 2.4

1. Setzt man in der Polardarstellung r2 = x2 + y2 und x = r cos 'P sowie e = 1~12, so erhiUt man

y2 + x2 (1 _ c:2 ) + 2c:x = e2 > O.

Dies ist fur c:2 = 1 eine Parabel und kann fur c:2 f:. 1 durch quadratische Erganzung 2 2

und geeignete Translation auf die Normalform ~ ± ~2 = 1 gebracht werden. 1m Fall der Ellipse, c:2 < 1, erhiilt man fur die Halbachsen a und b:

2. 1st to E lund Xo E lffi., Xo f:. 0, so sucht man eine Funktion u mit u(to) = xo, die die Bedingung 1t ( log u( t)) = ~ = -a( t) erfullt. Durch Integration dieser Identitat erhiilt man aber notwendigerweise

- f.' a(s) ds u(t) = u(to)e '0

fur die allgemeine Lasung der homogenen Gleichung. Wahlt man speziell die Lasung mit u(to) = Xo = 1, so genugt eine Lasung v der inhomogenen Gleichung von der Form v(t) = e(t)u(t) der Bedingung

iJ(t) = bet) - a(t)e(t)u(t) = c(t)u(t) + e(t)it(t) = c(t)u(t) - a(t)e(t)u(t),

also c(t) = ~, d.h. e(t) = It: ~ ds. Man zeigt leicht, dass man hiermit alle L6sungen gefunden hat.

3. Der Ansatz u(t) = e(t)eAt mit A E <C fi.ihrt auf

(c + (2A + a)c + (A2 + aA + b)e)eAt = o.

1st e konstant, so muss A = - ~ ± J a; - b2 gelten. Fur D = a2 - 4b2 > 0 erhiilt man

die zwei linear unabhiingigen Lasungen e( -a±-../I5)t/2 und fur D < 0 durch Aufspalten

in Real- und Imaginarteil die ebenfalls linear unabhangigen L6sungen c at/ 2 sin iifIt und e-at / 2 cos ~t. 1m Fall D = 0, also A = -~, ist neben eAt auch etwa teAt eine Lasung.

4. Die Schwingungsgleichung 8+ If 0 = 0 besitzt die allgemeine Lasung O(t) = sin(at+b)

mit a2 = If und b belie big. Fur die Schwingungsdauer folgt T = 27r JI. 5. Fur die Steigung liest man am "charakteristischen Dreieck" (d.h. dem Steigungsdrei­eck) ab:

I v'f=X2 Y = - .

x

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 237

Nach impliziter Differentiation der linken Seite (vgl. Abschnitt 3.1) kann man x, ± und iJ einsetzen. Mit dem Additionstheorem cosh2 t-sinh2 t = 1 folgt dann die Behauptung.

Abschnitt 3.1

1. Liegt die Archimed'ische Spirale mit a = 1 vor, so auch der Punkt r(1f) = 1f als erster nicht trivialer Schnittpunkt mit der x-Achse.

2. (a) 1m (uneigentlichen) Integral2J;a x J2a"'-x dx substituiere man x = 2asin2 <p.

Dies £Uhrt auf 16a2 Jo"/2 sin4 <p d<p und nach partieller Integration zur Behauptung. In (c) ist neb en der halben Kreisfiache dasselbe Integral mit der oberen Grenze i zu berechnen. (b) Die Substitution x = a(l - cos 'IjJ) im Integral

{'XJ r2a V = 21f io (2a - x? dy = 21f io (3a - x)Jx(2a - x) dx

£Uhrt auf

V = 21fa31" (2 + cos'IjJ) sin2 'IjJ d'IjJ.

3. Die Kurve besitzt eine ahnliche Gestalt wie die Lemniskate von BERNOULLI: einen Doppelpunkt bei (0,0) mit Tangentensteigungen ±a, senkrechte Tangenten in (±a,O) und waagerechte Tangenten in (±:!2, ± ~ ).

4. Die Evolute der Ellipse besitzt die Parameterdarstellung

( a2 -b2 b2-a2 ) cev(t) = --a- cos3 t, --b- sin3 t ,q 0 ~ t ~ 21f.

Das ist die Gleichung einer Astroide. Nach Beispiel 8 besitzt die Evolute der allgemeinen logarithmischen Spirale in Polar­koordinaten die Darstellung

Dabei lasst sich rev als dritte Seite des Dreiecks 0 P pi aus den beiden bekannten Seiten p = si~ 1/J und r sowie dem Winkel I - 'IjJ in P mit Hilfe des Cosinussatzes berechnen. dass der Winkel 0 in 0 ein rechter ist, folgt mit dem Sinussatz: Es ist

sinO _ sin (I - 'IjJ) cos'IjJ

p rev rev

also sinO = ..f!... cos'IjJ = 1. rev

Die Evolute rev (<p) = ae( rp-" /2) cot 1/J+1og cot 1/J ist also eine logarithmische Spirale, die aus der urspriinglichen durch eine Drehung hervorgeht.

5. Die Kriimmungskreismittelpunkte der Kettenlinie sind in kartesischen Koordinaten gegeben durch (x - yy', 2y), d.h. die Evolute besitzt die Parametrisierung

( a. 28 8) Cev ( 8) = 8 - "2 a smh --;;' 2a cosh;;: , 8 E~.

238 LOSUNGSHINWEISE

Der Krummungskreisradius im Punkt (x,y) gibt gerade den Abstand von (x,y) und dem Schnittpunkt (x + yy'), 0) der Normalen mit der x-Achse an.

6. Fur (xo, Yo) = (0,0) ist die Bedingung (hl(xo, Yo) i- 0 aquivalent zu 1(0, y) = yg(y) mit g(O) i- O. Nahe (0,0) ist 1(0,0) = 0 also gegeben durch die Nullstellenmenge eines Polynoms P(x,y) = y - al(x), d.h. y = al(x).

7. Hierzu ist kein weiterer Hinweis natig.

8. (a) Der Ansatz y = tx2 fUhrt auf die Naherungs16sungen U±,l(X) = ±x2 und der weitergehende Ansatz y = x2(± + Yl) auf Yl = ±~x4, also U±,2(X) = ±(x2 + ~x6). Die Gleichung y4 _y2 +X4 = 0 lasst sich auch vollstandig faktorisieren mit den Faktoren

Nach Einsetzen der entsprechenden Binomialreihen erhalt man damit die vollstandigen Reihenentwicklungen der Lasungszweige sowohl nahe (0,0) als auch nahe (0,1).

(b) Der Ansatz y = tx4/3 fUhrt auf die Bedingung t3 = 1 mit der einzigen reellen Lasung t = 1. Der weitere Ansatz y = xi{1 + Yl) mit Xl = xl / 3 fUhrt zu einer Gleichung, die Yl = txt nahe legt. Hier wird t = ~ ermittelt und damit die Naherungslasung

u(x) = X 4 / 3 + ~xi.

9. Die Konstruktion des regelmaBigen Siebenecks ist aquivalent mit der der siebten Einheitswurzel (, wobei 1(1 = 1 und (7 - 1 = O. Es ist (6 = ( usw., also

o = (6 + (5 + (4 + C + (2 + ( + 1

= ( + ( + (2 + (2 + (3 + C + 1

= x3 + x2 - 2x - 1,

wenn man x = (+ ( setzt. Setzt man hier eine Lasung a + b.jC ein, so muss der Koeffizient von .jC verschwinden, wenn .jC rf- K. Man sieht nun, dass der Ausdruck invariant bleibt, wenn man b durch -b ersetzt. Also ist auch a - b.jC eine Lasung. Genauso argumentiert man im Fall der kubischen Gleichungen x 3 - 3x - 1 = 0 und x 3 - 2 = O. Da eine kubische Gleichung nur eine oder drei reelle Lasungen besitzt, muss es eine Nullstelle in K geben. In allen drei Fallen fUhrt nun die Annahme einer rationalen Lasung ~ mit teilerfremden ganzen Zahlen m und n zu einem Widerspruch.

10. Die binomische Reihe fUr den Exponenten -n lautet

Differenziert man (n - I)-mal so liefert die Auswertung an der Stelle y = 0 nur fUr n - 1 = k(m - 1) einen Beitrag.

11. (a) Nach der Kettenregel ist ::r = 1 - EcosE· ::r > 0, also E streng mont on wachsend.

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 239

Wegen E(M) + 27r = M + 27r - Esin (E(M) + 27r) folgt E(M + 27r) = E(M) + 27r mit (a) sowie E(O) = 0 und E(7r) = 7r. Als Umkehrfunktion der ungeraden Funktion Mist E ebenfalls ungerade. (c) Nach (b) kann man E(M) - M = L:~=1 an sin(nM) ansetzen und erhiilt fur die Ableitung :~ - 1 = L:~=1 bn cos(nM) mit bn = nan. Nun ist

2 f" dE 2 f" dE bn = :;;: 10 (dM -1) cos(nM) dM = :;;: 10 dM cos(nM) dM

2171" 171" = - cos(nM) dE = 27r cos(nE - nE sin E) dE. 7r 0 0

12. (a) Durch Differentiation erhiilt man sofort

( 7rt2 7rt2 ) c(t)=a7r3/ 2t -sin(T),cos(T)'

wegen s = a~ also K = a2 7r2 s.

Die logarithmischen Spirale r( rp) = e'P liisst sich parametrisieren durch

Nach 2.2, Aufgabe 2 besitzt sie die Bogenliinge s(t) = V2e t , wenn man ab t = -00

rechnet und die Krummung K(t) = 0e-t, d.h., Krummung und Bogenliinge sind

umgekehrt proportional.

(b) ist klar.

(c) Offensichtlich gilt c( -t) = -c(t), t E lffi., und damit die erste Aussage. Zum Beweis der zweiten Aussage genugt es, (nach der Substitution u = vV2) die Konvergenz von

zu zeigen - fur das zweite Integral schlieBt dann man analog. Wegen v'k+1- Vk = ~+Vk und I sin 7rv21 ~ 1 bilden die Integrale in der Summe

eine Nullfolge, so dass fUr die Anwendung des Leibniz-Kriteriums nur die Monotonie nachzuweisen ist. Nach der Substitution x = v2 ist aber

j Vk+1 11k+1 I sin 7rXI I sin 7rv21 dv = -2 ---;;;:- dx,

Vk k yX

und somit folgt die Montonie aus der Monotonie von Jx und der 7r-Periodizitiit des

Ziihlers.

Abschnitt 3.2

1. Es ist 1(0, y) :::::: 0 und 1(x, 0) :::::: 0 aber 1(h, ±h) = ±~h. 2. Es ist 811(0,y) = -y, also 82d(0,0) = -1, und 82 1(x,0) = x, also 8121(0,0) = 1.

240 LOSUNGSHINWEISE

3. Fur das Rechteck mit den Kantenlangen x, y ? 0 gilt F = xy ? 0 und x2 + y2 = 4r2. Fur

ist grad L(x, y, A) = (y + 2AX, x + 2AY, x2 + y2 - 4r2) = 0,

falls A = -~, d.h. x = y.

4. Es ist 3: = r2 h zu maximieren unter der Nebenbedingung M = 7rrs bzw. ~ = r2(r2 + h2) = C > O. Fur

folgt grad L(r, h, A) = (2rh + 4Ar3 + 2rAh2, r2 + 2r2 Ah, r2(r2 + h2) - c),

also aus der zweiten Komponenten A = - 21h • Mit der ersten Komponenten erhalt man

die notwendige Bedingung r = V"i h. Dieses Verhaltnis liefert das maximale Volumen

V = Ih3 .

5. Der Ansatz y = tx fiihrt auf x = 2 J;S) 2 , d.h. die behauptete Parametrisierung. Zur Berechnung der Flachenintegrale beachte

so dass

Hierfiir verwendet man die Rekursionsformel

/ dt t 2k - 3 / dt

(1 + t2)k = (2k - 2)(1 + t2)k-l + 2k - 2 (1 + t2)k-l .

Fur den Inhalt der groBen Schleife (hier ist -1 ~ t ~ 1) erhalt man ;£ + ~, fur jede der kleinen also ~ - ~.

6. Es ist F2 als Funktion von (a, b, c) unter der Nebenbedingung a + b + c = 2s zu maximieren. Man erhalt als Lasung a = b = c = ¥, d.h. ein gleichseitiges Dreieck.

7. Setzt man die Lagrange-Funktion als

L(x) = xAx T - A(lxl2 - 1)

an, so kann man grad L in der Form

grad L(x, A) = (2xA - 2AX, Ixl2 -1)

L6SUNGEN - ERGEBNISSE 241

schreiben, d.h., die Lagrange-Multiplikatoren sind gerade die Eigenwerte der Matrix A. Diese sind gegeben durch die Nullstellen des Polynoms P()..) = det (A - )..In). Die Losungsvektoren x sind die Einheitsvektoren, die zum Nullraum von A - )"In gehOren. In denen des kleinsten Eigenwerts liegt ein Minimum vor, in denen des grofiten ein Maximum.

Speziell im Fall der 2 x 2-Matrix A = (~ ~) folgt

P()..) = (a - )..)(e - )..) - b2 = )..2 - (a + c) + (ae - b2)

mit den Nullstellen

8. (a) Aus der Taylor-Formel mit Integralrestglied erhalt man die angegebene Darstel­lung f(x) = xk (e + g(x)). Man kann dann u = x Vic + g(x)1 setzen, da Ig(x)1 < lei fUr x nahe 0.

(b) Nach (a) kann man f(x) = xk annehmen. Ware etwa u4 = cp(U)2, so hatte man 4u3 = 2cp(u)cp'(u) und damit

12u2 = 2cp'(u? + 2cp(U)cp"(U),

also insbesondere cp'(O) = 0, d.h. einen Widerspruch. Der allgemeine Fall wird analog behandelt.

9. Wir zeigen induktiv:

Der Fall n = 1 ist klar und wenn man diesen, die Induktionsannahme und den Satz von Schwarz benutzt, so folgt fUr n ? 1:

g(n+l)(o) = Eh (0;-1((f 0 g)n02g)) (O,a)

Abschnitt 3.3

= 0;-1 (n(l 0 gt-1 (I' 0 g)01g02g + (I 0 gt8281g) (0, a)

= 8~-1((n + 1)(f 0 g)n(f' 0 g)(82g? + (f 0 g)8282g)(0,a)

= 8;((fog)n+182g)(O,a).

1. (a) Die erste Komponente der rechten Seite berechnet sich zu

(X1 Z 1 + X2 Z2 + X3 Z3)Y1 - (X1Y1 + X2Y2 + X3Y3)Zl = X2(YIZ2 - Y2 Z1) - X3(Y3 Z 1 - YIZ3)

= X2(Y x zh - X3(X x zh

und Analoges gilt fUr die beiden anderen Komponenten. Damit und wegen (x x y) . z = det (x, y, z) folgt sofort die Lagrange-Identitat:

(x x y) . (z x w) = det (x, y, z x w) = - (x x (z x w)) . Y

= -(x· w)(z· y) + (x· z)(w· y).

242 LOSUNGSHINWEISE

Speziell mit z = y und w = x erhiilt man

(x· y)(y . x) -llxl12 lIyl12 = (x X y) . (y x x) = -llx X Yl12 ~ 0

und damit die Ungleichung von Cauchy-Schwarz.

(b) Nach (a) gilt

Ilx x Yl12 = (x X y). (x x y) = IIxl12 IIyl12 - (x. y)2

= IIxl12 IIyl12 - IIxl12 IIyl12 cos24> = IIxl12 IIyl12 sin24>.

Wiihlt man 0.E. X3 = 0 = Y3, so folgt Ilx x yll = IX2Y2 -X2Yll. Dies ist der Fliicheninhalt des von x und y aufgespannten Parallelogramms.

2. Bezeichnet 8 die Bogenliinge der reguliiren Kurve c und ' kurzfristig die Ableitung nach 8, so gilt c = 1 0 8 fUr eine nattirlich parametrisierte Kurve I, d.h. 111'(8)11 = 1. Es gilt dann

c(t) = 1'(8)8, c(t) = 1"(8)82 + 1'(8)8 und ·c·(t) = 1'1/(8)83 + 31"(8)88 + 1'(8)8·,

und es folgt

Ilc(t) x c(t)11 = 111'(8) x 1"(8)11 = 1111/( )11 = (I()) = ((t)) IIcl13 111'(8)113 8 ~ 8 ~ C

mit den Rechenregeln fUr das iiuBere Produkt sowie

nach den Rechenregeln fUr Determinanten. Fur eine nattirlich parametrisierte Kurve c ist

~(8) = Ilc(8) x c(8)11 = ~~ 1~lllc(8) X (C(8 + h) - C(8)) II 1 1

= ~~ lhIl sin 4>(h)1 Ilc(8) II Ilc(8 + h)11 = ~~ lhIl sin 4>(h)l·

Wegen limh-+o Si:tJ~) = 1 folgt die Behauptung. Analog ist

. ISin'lj!(h) I . 1 . ~~ h = ~~ lhIllb(8) x (b(8 + h) - b(8))11 = lib x bll = Irilib x nil·

3. (a) Mit den Bezeichnungen Cl = t, C2 = n und C3 = b betrachte man Cj . Ck fUr 1 ~ j, k ~ 3. Aufgrund der Frenet-Serret'schen Formeln genugen diese Funktionen einem System linearen Differentialgleichungen, sind also nach Vorgabe des Anfangs­wertes Cj . Ck (a) = 8jk eindeutig bestimmt. Genauere Auswertung der rechten Seite des Differentialgleichungssytems zeigt, dass Cj . Ck(8) == 8jk eine Lasung ist. Die Vektoren Cl (8), C2 (8) und C3 (8) bilden daher stets ein orthonormales Dreibein. Dieses ist auch durchgiingig gleichorientiert, da det (cJ, cJ, cn (8) eine stetige Funktion ist. (b) Das

L6SUNGEN - ERGEBNISSE 243

folgt mit dem Eindeutigkeitssatz, da die Komponenten von y(s) ebenfalls die Frenet­Serret'schen Formeln erfUllen.

4. FUr die sechs Halbspharen Ujk = {x E 8 2 I (-l)k xj > O}, j = 1,2,3, k = 0,1, definiert man <Pjk : Ujk -+ lffi.2 durch

Mit <Plk1 (u, v) = (( -l)kv'l - u2 - v2 , u, v) und sinngemaB fUr die anderen beiden in­

versen Abbildungen erhalt man leicht die Ubergangsabbildungen.

5. Die Behauptung gilt zunachst fUr lineare Abbildungen: Sind el und e2 Einheitsvek­toren und AAT = c212 , so ist

1st umgekehrt A winkeltreu, so gilt fUr eine Orthonormalbasis ej, j = 1,2,3:

8jkllejAliliekAII = (ej . ek)llejAllllekAII = ejAAT ek,

d.h. AAT ist eine Diagonalmatrix. Ferner folgt fUr k =I j wegen Ilek + ejll = v'2

1 _ (ej+ek)·ek _ (ejA+ekA)ATeI _

v'2 Ilej + eklillekil IlajA + ekAllllekAl1

Hier bezeichnen AAlj die Eintrage von AA T. Quadriert man die letzte Gleichung und

lost nach AAL auf, so erhalt man AAL = AAlk' Der allgemeine Fall wird hierauf zurUckgefUhrt, indem man zwei Kurven in der u, v­Ebene wahlt und deren Bilder unter x nach der Kettenregel differenziert.

6. Es ist fUr n, m -+ 00 besitzt Fn,m dieselben Haufungspunkte wie die Doppelfol­

ge Fn,m = 2r7rJ7r4r2 (f/I) +h2 . Deren Verhalten hangt ab von f/I. Die Menge der

Haufungspunkte besteht aus dem Intervall [2r7rh,00).

7. Das Bild der Geraden (tcosa,c+tsina), t E lffi., unter XM wird von der stereogra­phischen Projektion vom Nordpol aus auf das Bild der Kurve

c(t) = eCHsina( cos(tcosa),sin(tcosa)), t E lffi.,

abgebildet. Mit <P = tcosa folgt r(<p) = eCe'Ptana, d.h. die Behauptung wegen tana = cot (I - a).

8. Die stereographische Projektion ist gegeben durch

9. Aus den erst en beiden Gleichungen erhalt man wegen x ~ 0

y = ±.j2x(1- x) und z = ±J2(V2X - x).

244 LOSUNGSHINWEISE

Aus allen dreien zusammen x3 = ~, womit man ?"2 konstruieren kann.

10. (a) 1st J = u + iv komplex differenzierbar, so gilt

J(z + h) - J(z) = J'(z)h + r(z)lhl

mit r(z) = PiT (!(Z+htf(Z) - J'(z)). Schreibt man h = hI + ih2 und J'(z) = a+ ib und

identifiziert h mit (h l ,h2), so ist J'(z)h = ah l - bh2 + i(ah2 + bh l ), d.h. Real- bzw.

Imaginarteil ergeben sich als Komponenten von Ah = (~ ~b) (~~). Dann ist (*)

aquivalent zu

(b) Wegen AAT = ( a2 ; b2 a2 ~ b2 ) ist J konform und wegen det A = a2 + b2 > 0

ist Jauch orientierungserhaltend.

(c) Die Abbildung 'PS 0 'PAl(z) = 1:r2 = k fUr z =f. 0 ist nicht komplex differenzierbar.

11. Eine Kurve auf dem Kegel der Hohe h und dem Grundkreisradius 1 hat die Form

c(t) = (r(t) cos t, r(t) sin t, h(l - r(t)) ), t ~ 0,

mit r(O) = 1. HierfUr und fUr die Hohenlinie

cs(t) = (r(s)cost,r(s)sint,h(l-r(s))), O~t~27r,

erhalt man nach kurzer Rechnung

also C·Ct = r(t) =a<l

IIcllllctll Jr(tp + (1 + h2)r(tp ,

wenn man die Steigung als den Tangens des Winkels ansieht, den die Kurve mit der Hohenlinie bildet. Es folgt

und damit nach Integration r(t) = e-ttan ",

mit tan 0: = aJ i!~~. Hier ist fur ~ die negative Wurzel zu nehmen, da r monoton

fallend sein soli. Definiert man die Steigung wie im StraBenbau als das Verhaltnis

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 245

des Htihenunterschieds zur horizontal zuruckgelegten Wegstrecke, so muss mit s(t) = J~ v'r(r)2 + r(r)2 dr das Verhaltnis

h(l- r(t)) = a < 1 s(t)

konstant sein. Man erhalt hieraus eine Kurve derselben Gestalt, jetzt allerdings mit tan 0: =,j a . Die Projektion in die Ebene des Grundkreises ist also eine

h2 _a2 (1+h2 )

logarithmische Spirale.

12. dass die stereographische Projektion winkeltreu ist, rechnet man mit der Bedingung aus Aufgabe 5 sofort nacho Daher sind die Bilder der logarithmischen Spiralen die gesuchten Kurven.

13 E . t !1_g('12_1!_ --1L- - !I(' /912_1! d d' f" f . d' . . S lS 1+1-g(kI2 - 2+g - - 1+1('/gI2 ,so ass 1e ersten un SOWle 1e zwe1ten

fUnf Punkte jeweils auf gleicher Htihe liegen und aufgrund der Winkeltreue jeweils ein Funfeck bilden. Dessen Kantenlange

!-2g(k(( -I)! = ~I( -11 = _2_

2+g 2+g ,j2+g

ist aber gerade die Kantenlange des Ikosaeders. Fur die zweite Behauptung betrachten wir Punkte x E 8 2, deren Bilder z = u+iv unter der stereographischen Projektion auf einem Kreis (oder einer Gerade) liegen. Es gelte also

a(u2 + v2 ) + bu + cv + d = 0

mit a = 0 im Fall einer Gerade. Wegen u = ....E.L.. und v = 2L ist u2 + v2 = 1+x3 1-X3 1-x3 1- x 3'

und man erhalt damit die Gleichung

(a - d)X3 + bX1 + CX2 + a + d = O.

Dies ist eine Ebenengleichung, die im Fall a = 0 durch den Nordpol geht. Der Schnitt mit der Sphare ist also in jedem Fall ein Kreis. SchlieBlich beachte man, dass die Ecken des Dodekaeders durch radiale Projektion der Kantenmittelpunkte des Isokaeders er­halten werden.

14. Die Invarianz unter der ersten Abbildung ist klar. Fur die zweite Abbildung veri­fiziert man sofort, dass sie involutiv ist, d.h., fur w = ~ - g gilt z = ~ - g, und dass dabei die Punkte 0 und h sowie -g und 00 vertauscht werden. Ais K6'mbination von Translationen sowie der Inversion z f-t ~ ist die Abbildung auch kreistreu, d.h., sie uberfUhrt Kreise in Kreise bzw. Geraden. Die Behauptung folgt nun, da man leicht nachrechnet, dass h( mit h(4, -g( mit _g(4 sowie h(2 mit he und _g(2 mit _g(3 vertauscht werden.

Fur die letzte Behauptung mussen wir die Drehungen der Sphare beschreiben. Eine solche Drehung R : 8 2 -+ 8 2 induziert vermtige der stereographischen Projektion 'PN, die wir durch 'PN(N) = 00 fortsetzen, eine Abbildung TA = 'PN 0 Ro 'Pi? von CU {oo} in sich. Diese ist von der Form

TA(Z} -_ az + b_, If"' { } -bz + a z E "-' U 00 ,

246 LOSUNGSHINWEISE

wobei A = (~b ~) E 5U(2), d.h. a, bEe mit lal 2 + IW = 1. Urn dies einzusehen,

betrachten wir zunachst einige Spezialfalle: Fur die Rotation Rf urn die Achse durch o und e3 = (0,0,1) urn den Winkel t.p erhalt man sofort

t.pN 0 Rf 0 t.p,/(z) = ei<pz, z -I- 00,

d.h. A = (ei~/2 ei~/2) E 5U(2). Fur die Rotation R;/2 urn die Achse durch 0 und

e2 = (0, 1, 0) urn den Winkel I findet man als entsprechende Matrix A = ~ (~ ~ 1 ) .

Die Drehungen der Sphare werden durch Einschrankung der Drehungen des ]R3 erzeugt, bilden also eine Gruppe isomorph zu 50(3). Man zeigt ferner, dass auch 5U(2) eine Gruppe bezuglich der Matrizenmultiplikation bilden und das Produkt dabei der Kom­position der entsprechenden Abbildungen TA entspricht. Es genugt daher zu zeigen, dass diejenigen Rotationen die entsprechende Form haben, die 50(3) erzeugen. Nun ist eine beliebige Rotation gegeben durch eine Achse durch 0 und x E 52 und einen Winkel t.p. Den Punkt x erhalt man aus dem Nordpol N = e3 durch zwei Rotationen

R~ 0 R?, wobei sich R? noch als R;/2 0 R~ 0 (R;/2)-1 schreiben lasst. Damit kann man jede Rotation in der angegebenen Form darstellen. 1st umgekehrt T eine Abbildung von der angegebenen Form, so ist R = t.p,/ 0 T 0 t.pN eine Rotation: 1st namlich T(O) = 0, so folgt b = 0 und lal = 1, also T(z) = a2z mit la21 = 1, d.h. a2 = ei<p. Wir bezeichnen diese Abbildung mit T<p. 1st T(O) = zo, so existiert eine Drehung R von 52, so dass 5(zo) = 0 fUr 5 = t.pN 0 Rt.pr/ gilt. Es folgt dann 5T(0) = 0, d.h. 5T = T<p und T = 5-1T<p wird ebenfalls von einer Rotation erzeugt.

Abschnitt 3.4

1. Hierzu sind keine weiteren Hinweise notig.

2. Fur x = ((r cosu + a) cosv, (r cosu + a) sin v, r sin u) gilt

xuu = -r(cosu cosv,cosu sinv,sinu)

Xuv = r(sin u sin v, - sin u cos v, 0)

Xvv = -(a + r cos u) ( cosv, sin v, O)nx = (- cosu cosv, - cos u sin v, - sin u)

und damit

L=xuu·nx=r, M=xuv·n=O und N=xvv·n=(a+rcosu)cosu.

Es folgt LN - M2 = r( a + r cos u) cos u, womit wegen r < a das Vorzeichen dieses Terms durch das Vorzeichen von cos u bestimmt ist.

3. Wegen (nx . nx)u = 0 = 2nx . nxu und nx . nxv = 0 ist nx parallel zum Vektor der linken Seite und man kann

nxu = axu + bxv, nxv = cXu + dxv

ansetzen. Dies fuhrt zu nxu x nxv = (ad - bc)xu x xv,

LOSUNGEN - ERGEBNISSE 247

und es ist nur K = det (~ ~) zu zeigen. Benutzt man die angegebenen Beziehungen,

die sich aus

ergeben, so erhaJt man die Gleichungen

aE+bF = -L, aF+bG = -M, cE+dF = -M, cF+dG = -N,

die sich auch als

schreiben lassen. Bildet man hiervon die Determinante, so folgt

(ad - bc)(EG - F2) = (LN - M2).

4. (a) Es gilt etwa Ev = (xu' xu)v = Xuv . Xu + Xu' Xuv und

2Fv - Gu = 2(xu . xv)v - (xv, xv)u = 2xuv . Xv + 2xu . Xvv - Xvu . Xv - Xv . Xvu

= 2xu . Xvv·

Die anderen Beziehungen folgen analog. (b) Die GauB'schen Gleichungen haben die angegebene Gestalt mit zunachst noch unbestimmten Koeffizienten rjk' Man erhalt mit (a) dann etwa

1 2 1 Xuu' Xu = rn E + rnF = "2Eu

1 2 1 Xuu . Xv = rn F + rn G = Fu - "2 Ev

und damit die angegebenen Werte von rl1 und r'A, wenn man die rechte Seite diese

Gleichungsystems mit ~ (_GF -:) , der Inversen der Koeffizientenmatrix, multipli­

ziert. Fur die ubrigen Koeffizienten verfahrt man analog. (c) folgt durch Einsetzen von c = xuu + xvv und

in I>,g = jg(c x c)· (xu x xv), nachdem man hierfur die Lagrange-Identitat benutzt hat.

5. (a) Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist

j'r oQ oP jd Ib JR (ou - oJ dudv = c (Q(b,v) - Q(a,v)) dv - a (P(u,d) - P(u,c)) duo

Andererseits k6nnen wir c von der folgenden Form annehmen: I = [0,4] und

{

(a+(b-a)t,C)' ()_ (b,c+(d-c)(t-l)),

ct -, ((a+(b-a)(3-t),d), (a,c+(d-c)(4-t)),

o ( t ( 1, 1 (t ( 2, 2 (t ( 3, 3 (t (4.

248 LOSUNGSHINWEISE

Es folgt dann etwa

13(PO c,Q 0 c)· e(t) dt = 13

P(a+ (b - a)(3 - t),d)(a - b) dt = -lb P(u, d) du,

wenn man u = a + (b - a)(3 - t) setzt. (b) Da sich jedes Vieleck mit achsenparallelen Seiten in Rechtecke zerlegen laBt, von denen je zwei banachbarte genau eine Kante entgegengesetzter Orientierung gemeinsam haben, wird man sofort auf den Teil (a) zuruckgefUhrt.

6. (a) Da durch jede Punkt genau eine Geodatische mit vorgegebener Richtung geht, ist nur zu zeigen, dass GroBkreise Geodatische sind. Fur den Aquator

co(t) = (cost,sint,O), 0:::; t:::;21f,

gilt Co = -co, so dass

1\;9(S) = det (co(s), i:o(s), eo(s)) = 0

erfUlit ist. Jeder andere GroBkreis lasst sich als Bco mit einer orthogonalen Abbildung B der Determinante det B = 1 schreiben. DafUr folgt also ebenfalls

det (Bco, Bi:o, Bco) = det Bdet (co,i:o,co) = O.

(b) Gabe es eine langentreue Abbildung x : V -+ U C 52, so ware das Bild eines ebenen Dreiecks ein spharisches Dreieck, dessen Seiten durch Geodatische gebildet wurden. Nach GauB-Bonnet ware die Winkelsumme dieses Dreieck groBer als 1f. Dies ist ein Widerspruch, da eine langentreue Abbildung auch winkeltreu ist.

7. Wegen F = 0 und iL = Je erhalt man zunachst die angegebenen Werte fur I\;u und

I\;v aus der Formel fUr 1\;9' indem man die Christoffel-Symbole aus Aufgabe 4 benutzt. Ferner ist

cos</> = Jee. Xu = VEiL und sin</> = Jelle x xull = vev. Letzteres gilt zunachst fUr 0 :::; </> :::; 1f mit Ivl statt V, sodann aber fUr beliebiges </> wenn man das Vorzeichen von v berucksichtigt und die Orientierung {xu, xv} zugrunde legt. Die Formel folgt nun durch Differenzieren der Identitat cos 1f = Jee. Xu nach der

Bogenlange s und anschlieBender Division durch sin </>.

8. Bei der Parametrisierung x( u, v) = (r cos u, r sin u, v), 0 :::; u :::; 21f, V E ~, verschwin­den aile Christoffel-Symbole, und man erhalt die Differentialgleichungen ii = 0 = ii. Geodatische etwa durch den Punkt (r, 0, 0) sind also von der Form

c(t) = (rcosat,rsinat,bt), t E~.

Aufgrund der Normierung Ilell = 1, muss hierbei noch a2r2 + b2 = 1 gelten. Fur einen anderen Punkt (r cos Q, r sin Q, h) bestimmt man a und b durch Einsetzen: b = o:':;k7r und a = o:+2k1f mit k E Z.

yfr2(O:+2k7r)2+h 2

N amen- nnd Sachverzeichnis

Abel, Niels Henrik (1802 - 1829) 217

Abbildung, konforme 187

Affensattel 161

Ahmes 66

Alexander, James Waddell (1888 - 1971) 212

Alexander-Polynom 212

Algorithmus, euklidischer 18

Anfangswertproblem 116

Anomalie, exzentrische 143

-, mittlere 143

-, wahre 143

Antiphon (~ 400 v.u.Z.) 68, 86

Apery, Roger (1916 - 1994) 41

Approximation, sukzessive 126

Approximationssatz von Kronecker 42

- von Lagrange 21

- von WeierstraB 58

Archimedes von Syrakrus (~287 - 212 v.u.Z.) 32, 65, 70f, 86, 88, 105, 108, 111

Archytas von Tarent (~ 430 - ~ 345) 178, 192

Argand, Jean Robert (1768 - 1822) 60

Aristoteles (384 - 322 v.u.Z.) 6, 90

Arnol'd, Vladimir Igorevich (* 1937) 146, 212

Asymptote 148

Atiyah, Michael Francis (* 1929) 205

Atlas 183

Attraktor 215

-, seltsamer 216

Aufgabe, isoperimetrische 95

Axiom der MeBbarkeit (archimedisches) 69

Bachmann, Paul Gustav Heinrich (1837 - 1920) 45

Baltzer, Heinrich Richard (1818 - 1887) 53

Banach, Stefan (1892 - 1945) 126

Barrow, Isaac (1630 - 1677) 75, 95, 133f, 186

Bartels, Johann Martin Christian (1769 - 1836) 181

Bernoulli, Daniel (1700 - 1784) 67

Bernoulli, Jakob (1654 - 1705) 73, 78, 102, 127, 132, 156, 186

Bernoulli, Johann (1667 - 1748) 65,86, 101, 127f, 180

Bernoulli-Zahlen 74

Bernstein, Sergi Natanovich (1880 - 1966) 58f

Beriihrpunkt 169

Bessel, Friedrich Wilhelm (1784 - 1846) 100,127, 146

Bessel-Funktionen 127

Binormale 180

Binet, Jacques Philippe Marie (1786 - 1856) 12

Bishop, Errett Albert (1928 - 1983) 43, 48f, 53

Blatt, cartesisches 94

Bogenlange 86

Bolzano, Bernard Placidus Johann Nepomuk (1781 - 1848) 45f, 51

Bombelli, Rafael (1526 - 1572) 26

Bond, Henry (~ 1600 - 1678) 186

Bonnet, Pierre Ossian (1819 - 1892) 199, 201

Brauner, Karl (1897 - 1952) 211

Brioschi, Francesco (1824 - 1897) 222f

Brouncker, William Lord (1620 - 1684) 29

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881 - 1966) 43

Bryson (~ 400 v.u.Z.) 68, 87

Budan de Boislaurent, Ferdinand Fran~ois Desire (1761 - 1840) 64

Bunjakowski, Viktor Jakowlewitsch (1804 - 1889) 84

Caesar, Gaius Julius (100 - 44 v.u.Z.) 24

Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp (1845-1918) 45

Cardano, Girolamo (1501 - 1576) 45, 63

250

Carnot, Lazare Nicolas Marguerite (1753 - 1823) 92

Cassini, Gian (Jean) Domenico (1625 - 1712) 15, 132

Cauchy, Augustin-Louis (1789 - 1857) 84, 101, 127, 146, 219

Cavalieri, Bonaventura (1598 - 1647) 72, 77, 106f

Cavalier'isches Prinzip 107, 110

Cesaro, Ernesto (1859 - 1906) 156

Chaostheorie 214f

Christoffel, Elwin Bruno (1829-1900) 200

Christoffel-Symbole 200

Clairaut, Alexis-Claude (1713 - 1765) 179

Clebsch, Alfred Rudolf Friedrich (1833 - 1872) 209

Codazzi, Delfino (1824 - 1873) 197

Conway, John Horton 212

Cornu, Alfred Marie (1841 - 1902) 156

Cotes, Roger (1682 - 1716) 77

D'Alembert, Jean Ie Rond (1717 - 1783) 60

Darboux, Jean-Gaston (1842 - 1917) 181

Dedekind, Julius Wilhelm Richard (1831 - 1916) 6, 45f

Deformation, stetige 99

Dehn, Max Wilhelm (1878 - 1952) 106, 211

Deinostratos (~ 350 v.u.Z.) 130

De Moivre, Abraham (1667 - 1754) 8, 12

De Moivresche Formel 8

Descartes (du Perron), Rene (1596 - 1650) 2f, 20, 55, 63, 70, 94, 101, 133, 178, 203

Dido 95

Diedergruppe 222

Differentialgleichung, inhomogene lineare (zwei­ter Ordnung) 127f

-, nicht lineare autonome 116

-, Cauchy-Riemann'sche 192

differenzierbar, total 165

-, partiell 135

-, -, stetig 135

-, -, -, n-mal 158

Dini, Ulisse (1845 - 1918) 137

Diokles (~ 200 v.u.Z.) 130

Diophant (3. Jhdt. u.Z.) 205, 208

Divisionssatz 139

Doppelpunkt 148, 168

NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS

Dorodnow, Anatoli Wasiliewich (* 1908) 68

Drehimpuls 116

Dreibein, begleitendes 181

Ebene, rektifizierende 180

Einheitsnormalenvektor 151

Einheitstangentenvektor 151

Einsiedlerpunkt 168

Einstein, Albert (1879-1955) 203

Einzugsbereich 215

Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max (1823 - 1852) 221

Elementarkatastrophe, Thom'sche 213

Epizykel 131

Eudoxos von Knidos (~ 400 - 347 v.u.Z.) 19,69, 178

Euklid (=Eukleides) ~ 300 v.u.Z.) 6, 8, 13, 19, 44, 68f, 107

Euler, Leonhard (1707 - 1783) 8, 10, 25ff, 29, 36, 41, 44, 47, 61, 78f, 97, 101, 126, 128f, 151, 156, 158, 184, 198, 202, 208f, 219, 224

Euler-Charakteristik 198

Euler-Mascheroni-Konstante 79

Euler'sche Zahl (e) 29, 40

Evolute 152

Evolvente 153

Exhaustionsmethode 68

Faber, Georg (1877 - 1966) 98

Fagano, Giulio Carlo (1682 - 1766) 209

Falten-Singularitat 213

Faltings, Gerd (* 1954) 208

Fassregel, Kepler'sche 114

Faulhaber, Johannes (1580 - 1635) 73

Fermat, Pierre de (1601 - 1665) 2, 9f, 70, 72, 74, 94, 133f, 177f, 207f, 224

Ferrari, Ludovico (1522 - 1565) 63

del Ferro, Scipione (1465 - 1526) 45, 63

Fibonacci = Leonardo von Pisa (~ 1170 - ~ 1240) 11

Fibonacci-Zahlen 11

Fixpunktsatz, Banachscher 126

Flache, orientierbare 194

-, regulare 184

Flacheninhalt 65

-, orientierter 91

Flachenstiick, regulares 184

NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS

Formel, Cardano'sche 63

-, Green'sche 204

-, Stirling'sche 81

- von de Moivre 8

- von GauB-Bonnet 201

- von Liouville 200

Fourier, Jean-Baptiste Joseph de (1768 - 1830) 37, 56, 63f

Fourier-Koeffizienten 96

Fourier-Reihe 97

Fraktal214

Frenet, Jean-Frederic (1816 - 1900) 181

Frenicle de Bessy, Bernard (1605 - 1675) 9

Fresnel, Augustin Jean (1788 - 1827) 156

Frey, Gerhard (* 1944) 208

Fundamentalform, erste 196

-, zweite 196

Fundamentalsatz der Algebra 60

Funktion, element are 127

-, holomorphe 192

-, komplex analytische 192

Galilei, Galileo (1564 - 1642) 101, 115, 123, 203

Galois, Evariste (1811 - 1832) 221

Galoisgruppe 222

Gaufl, Carl Friedrich (1777 - 1855) 2f, 9f, 45, 56, 60ff, 92, 100ff, 106, 188, 194, 196f, 199, 201, 209, 211

Gelfond, Alexander Ossipowitsch (1906 - 1968) 41

Geodatische 200

Gerling, Christian Ludwig (1788-1864) 106

Gerono, Camille Christoph (1799 - 1891) 155

Geschlecht 208

Gesetze, Kepler'sche 117

Girard, Albert (1595 - 1632) 45

Gleichung, diophantische 206

-, elliptische 208

-, Kepler'sche 143

-, Pell'sche 207

-, rationale 207

Godel, Kurt Friedrich (1906 - 1978) 48, 219

Goldbach, Christian (1690 - 1764) 47

Gordan, Paul Albert (1837-1912) 39, 223

Gradient 147

251

Green, George (1793 - 1841) 200

Gregory, James (1637 - 1675) 28, 77, 95, 186

Gruppe, zyklische 222

Harriot, Thomas (~ 1560 - 1621) 102,201

Hasse, Helmut (1898 - 1979) 69

Hauptkrlimmung 198

Hauptnormalenvektor 180

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 75

- liber periodische Kettenbrliche 25

- liber symmetrische Funktionen 40

Helicoid 195

Helix 179

Henrici, Peter K. (1923 - 1987) 219

Hermes, Johann Gustav (1846 - 1912) 10

Hermite, Charles (1822 - 1901) 38,222

Heron von Alexandria (?) 7, 175

Heuraet, Hendrick van (1633 - 1660) 90

Hilbert, David (1862 - 1943) 39, 41, 45, 106, 153, 219, 223

Hipparchos von Nikaia (~ 190 - 127 v.u.Z.) 131, 177, 182

Hippasos von Metapont (~ 450 v.u.Z.) 5, 7

Hippias von Elis (~ 400 v.u.Z.) 130

Hippokrates von Chios (~ 430 v.u.Z.) 66f, 68

Hippopede 178

HOMFLY-Polynom 212

Homotopie 99

Homotopieinvarianz 99

Hopf, Eberhard (1902 - 1983) 216

Hopf-Bifurkation 216

Hoppe, Reinhold (1816-1900) 196

Hudde, Johann (Jan) (1628 - 1704) 133

Hurwitz, Adolf (1859-1919) 39, 95

Huygens, Christiaan (1629 - 1695) 23,25,94, 123, 152ff

Hypozykloide 131

Ibn al-Haitham, Abu cAlI ai-Hasan ibn ai-Hasan (~ 965 - ~ 1040) 82

Identitat, Parseval'sche 96

Ikosaeder 13

Index 98

Integral, elliptisches 102, 121

-, Fresnel'sches 156

Integralkurve, maximale 116

Interpolationsformel von Lagrange 62

Interpolationspolynom von Lagrange 76

252

Involute 153

Isometrie 190

Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804 - 1851) 209

Jones, Vaughan Frederick Randal (* 1952) 212

Jones-Polynom 212

Julia, Gaston Maurice (1893 - 1978) 217

Julia-Menge 217

Kanada, Yasumasa 43

Karsten, Wenceslaus Johann Gustav (1732 - 1787) 106

Karte 183

Katastrophenfiache 213

Katastrophenmenge 213

Kepler, Johannes (1571 - 1630) 5, 9, 12, 14f, 70, 111, 114f, 143, 203

Kette, Sturm'sche 56

Kettenbruch, allgemeiner 25

-, periodischer 24

-, regelmaBiger 19

-, -, endlicher 18

Kettenregel 147

Kiepert, Friedrich Wilhelm August Ludwig (1846 - 1934) 223

Kissoide 130

Klein, Christian Felix (1849 - 1925) 1, 22, 222

Klothoide 156

Knoten 211

Knotengruppe 211

Koch, Nils Fabian Helge von (1870 - 1924) 103

Kiirper, platonischer 13

Konchoide 130

Kontinuum 44

Kraftfeld, konservatives 119

Krahn, Edgar (* 1894) 98

Kreiszahl (11") 25, 40

Kronecker, Leopold (1823 - 1891) 42, 222

Kriimmung 149f, 180

-, GauB'sche 197

-, geodatische 196

Kriimmungskreis 151

Kriimmungsradius 151

Kriimmungsvektor 196

Kugelkoordinaten 184

NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS

Kurve, algebraische 129

-, Cassini'sche 132

-, elliptische 208

-, projektive 207

-, rationale 207

-, reguliire 151

-, transzendente 130

-, Viviani'sche 178

Kuspe 168

Kuspen-Singularitat 213

Lagrange Joseph-Louis (1736 - 1813) 21ff, 25, 52, 62, 76, 128, 144f, 163, 176, 190, 221, 224

Lagrange-Funktion 163

Lagrange-Identitat 191

Lagrange-Multiplikator 163

Lambert, Johann Heinrich (1728 - 1777) 18, 25, 29f, 36f, 146, 155, 188

Lancret, Michel Ange (1774 - 1807) 180

Landau, Edmund Georg Hermann (1877 - 1938) 67, 155

Laplace, Pierre-Simon (1749 - 1827) 145

Laugwitz, Detlef (1932-2000) 219

Lebesgue, Henri Leon (1875 - 1941) 3, 76

Legendre, Adrien-Marie (1752 - 1833) 30f

Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646 - 1716) 28, 44f, 75, 93, 101, 103, 128f, 133, 186, 219

Lejeune Dirichlet, Johann Peter Gustav (1805 - 1859) 18, 129

Lemniskate 102, 132, 155

L'Hospital, Guillaume Fran<,;ois Antoine Marquis de (1661 - 1704) 94, 128

Lindeliif, Ernst Leonard (1870 - 1946) 126

Lindemann, Carl Louis Ferdinand von (1852 - 1939) 38

Liouville, Joseph (1809 - 1882) 36f, 126f, 200

Lipschitz, Rudolf Otto Sigismund (1832 - 1903) 127

Listing, Johann Benedikt (1808 - 1882) 194, 211

Lord Kelvin (= William Thomson) (1824 - 1907) 211

Lord Rayleigh (= John William Strutt) (1842 -1919) 98

Lorenz, Edward Norton (* 1917) 216

Loxodrome 185

Maclaurin, Colin (1698 - 1746) 78

NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS

Madhava (~ 1340 - ~ 1425) 28

Mainardi, Gaspare (1800 - 1879) 197

Mandelbrot, Benoit B (* 1924) 215

Mandelbrot-Menge 217f

Mascheroni, Lorenzo (1750 - 1800) 79

Matijasevich, Yuri Valdimirovich (* 1947) 219

Maximum, striktes lokales 159

Meister, Albert Ludwig Friedrich (1724 - 1788) 92

Menaichmos (~ 350 v.u.Z.) 130, 177

Menge, semialgebraische 218

Mengoli, Pietro (1625 - 1686) 28

Meray, Hugues Charles Robert (1835-1911) 45

Mercator, Gerardus (= Gerhard Kramer) (1512-1594) 185f

Mercator, Nicolaus (= Nikolaus Kauffmann) (1619 - 1687) 28

Mercator-Projektion 186

Mersenne, Marin (1588 - 1648) 94

Meton (~ 440 v.u.Z.) 32

Milankovitch, Milutin (1879-1958) 24

Minimum, striktes lokales 159

Mittelwertsatz der Differentialrechnung 52

Mobius, August Ferdinand (1790 - 1868) 114, 194f

Mobius-Band 194

Mondchen des Hippokrates 66

Monge, Gaspard (1746 - 1818) 114, 180

Mordell, Louis Joel (1888 - 1972) 208

Nabelpunkt 198

-, elliptischer 214

-, hyperbolischer 214

-, parabolischer 214

Naherungsbruch 19

Neil, William (1637 - 1670) 89

Newton, Isaac (1643 - 1727) 3f, 20, 28, 75, 77, 115, 129, 133, 140, 143f, 147, 146, 149, 152, 203, 207,217

Newton-Diagramm 141

Newton-Polygon 141

Newton-Verfahren 217

Nichtstandard-Analysis 219

Nikomedes (2. Jhdt. v.u.Z.) 130

Niven, Ivan Morton (1915 - 1999) 38

Normale 147

Normalebene 180

N ormalengleichung 148

Normalenvektor 184

Normalkriimmung 196

253

Nunes Salaciense, Pedro (1502 - 1578) 185

Olbers, Heinrich Wilhelm Matthias (1758 - 1840) 92

Omar Khayyam (= AbuCI-Fath cOmar ibn Ibra­hIm al-KhayyamI) (1048 - 1131) 19, 24, 69, 130, 205

Oresme, Nicole (~ 1320 - 1382) 129

Orthogonalitatsrelationen 97

Oszillator, harmonischer 120

Pacioli, Luca (~ 1445 - 1517) 14

Parabel, semikubische (Neilsche) 89

Parametrisierung, lokale 184

-, natiirliche 151

Pappos von Alexandria (~ 350) 3

Pascal, Blaise (1623 - 1662) 72f, 113

Peano, Guiseppe (1858 - 1939) 127, 153, 159, 162

Peitgen, Heinz-Otto (* 1945) 215

Pendelgleichung 119

Penrose, Roger (* 1931) 15

Penrose-Pflasterung 15

Perihel 143

Peri ode, metonische 32

Perseus (2. Jhdt. v.u.Z.) 177

Pfaff, Johann Friedrich (1765 - 1825) 10

Pfleiderer, Christoph Friedrich von (1736 - 1821) 10

p-Funktion, Weierstra13'sche 209

Phasenraum 116

Picard, Emile (1856 - 1941) 126

Platon (427 - 347 v.u.Z.) 13f, 44

Poincare, Henri Jules (1854 - 1912) 207

Polarisierungs-Identitat 96

Polyedersatz, Euler'scher 202

Polygonzug, Euler'scher 126

Polynom, Bernstein'sches 58

-, Bernoulli'sches 78

-, homogenes 140

-, quasi-homogenes 141

Primzahl, Fermat'sche 9

Prinzip, Cavalieri'sches 107, 110

254

Problem, delisches 129

-, Hilbert'sches

-, -, drittes 41

-, -, siebtes 41

-, -, zehntes 219

Produktformel von Wallis 80

Projektion, orthogonale 182

-, orthographische 188

-, stereographische 182

Proklos Diadochos (410 - 485) 8

Pseudosphare 199

Ptolemaios, Klaudios (~ 85 - ~ 165) 131, 182, 185

Puiseux, Victor Alexandre (1820 - 1883) 142

Puiseux-Reihe 142

Punkt, elliptischer 198

-, hyperbolischer 198

-, isolierter 168

-, parabolischer 198

-, singularer 137

Quadratix 130

Quadratur des Kreises 129

Quadraturformel, Euler-Maclaurin'sche 81

Radkurve 131

Regel von Descartes 55f, 63

Regelflache 195

Richelot, Friedrich Julius (1808 - 1875) 10

Richmond, Herbert William (1863 - 1948) 10

Riemann, Georg Friedrich Bernhard (1826-1866) 203

Roberval, Gilles Personne de (1602 - 1675) 72, 101

Robinson, Abraham (1918 - 1974) 219

Rolle, Michel (1652 - 1719) 44

Rlickkehrpunkt 134

Ruffini, Paolo (1765 - 1822) 221

Saint-Vincent, Gregoire de (1584 - 1667) 60, 125, 155

Saroszyklus 32

Sattelpunkt 128

Satz liber implizite Funktionen 112

- vom ausgeschlossenen Dritten 41

- vom Maximum (von WeierstaB) 42

- von Bolzano-WeierstraB 43

NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS

- Picard-LindlOf 102

- von Rolle 44

- von Schwarz 126

- von Sturm 50

Schmetterling 214

Schmieden, Curt (1905 - 1991) 219

Schmiegeebene 140

Schneeflocke, von Kochsche 84

Schneider, Theodor (1911 - 1988) 35

Schnitt, goldener 7

Scholz, Heinrich (1884 - 1956) 69

Schraubenflache 195

Schrau benlinie 179

Schubfachprinzip, Dirichlet'sches 28

Schumacher, Heinrich Christian (1780 - 1850) 92

Schwalbenschwanz 214

Schwarz, Karl Hermann Amandus (1843 - 1921) 69, 78, 84, 95, 158f

Sehnentrapezregel 76

-, summierte 77

Sektorenformel, Leibniz'sche 76

Senff, Karl Eduard (181O - 1849) 141

Serret, Joseph Alfred (1819 - 1885) 141

Shimura, Goro (* 1930) 208

Simpson, Thomas (1710 - 1761) 77

Simpson-Regel 77

Simson, Robert (1687 - 1768) 12

Sluse, Rene-Fran<;ois de (1622 - 1685) 133, 154

Smale, Stephen (* 1930) 219

Snellius, Willebrord van Royen (1591 - 1626) 185

Sosigenes (~ 50 v.u.Z.) 24

Spath, Hans (1901 - 1928) 139

Spirale, archimedische 102

-, Cornu'sche 156

-, logarithmische 102

Spiren des Perseus 177

Spitze 168

Steiner, Jakob (1796 - 1863) 95

Stevin, Simon (1548 - 1620) 34, 45

Stirling, James (1692 - 331) 81

Stolz, Otto (1842 - 1905) 165

Strophoide 131

Struktur, fraktale 218

Sturm, Jacques Charles Fran<;ois (1803 - 1855) 56 Subtangente 134

Summenformel, Euler-Maclaurin'sche 78

N AMEN- UND SACHVERZEICHNIS

System, dynamisches 217

Tait, Peter Guthrie (1831 - 1901) 211

Tangententrapezregel 76

-, summierte 77

Tangential(hyper)ebene 172, 184

Taniyama, Yutaka (1927 - 1958) 208

Tartaglia, Nicolo (= Nicolo Fontana) (~ 1500 -1557) 45, 63

Tautochrone 124

Taylor, Brook (1685 - 1731) 63

Taylor, Richard Lawrence (* 1962) 208

Thales von Milet (~ 625 - ~ 547 v.u.Z.) 32

Theaitetos (~ 415 - 369 v.u.Z.) 6, 13

Theodoros von Kyrene (~ 460 - nach 399 v.u.Z.) 5f,26

Theorema Egregium 197

Thorn, Rene Franc;;ois (* 1923) 212

Tietze, Heinrich Franz Friedrich (1880 - 1964) 211

Toeplitz, Otto (1881 - 1940) 1

Torricelli, Evangelista (1608 - 1647) 89, 102

Torsion 180

Torus 184

Torusknoten 210

Totalkriimmung 201

Traktrix (Schleppkurve) 102

Transmutationssatz 93

Tripelpunkt 169

Tschirnhaus, Ehrenfried Walther Graf von (1651 - 1708) 63

Tschirnhaus-Transformation 63

Tsu-Chu'ng-Chih (430 - 501) 25

Ubergangsabbildung 183

Umemura, Hiroshi (* 1944) 222

Umkehrformel von Lagrange 145

Ungleichung, Besselsche 97

-, Cauchy-Schwarzsche 83, 191

-, isoperimetrische 97

van der Pol, Balthasar (1889 - 1959) 215

Varignon, Pierre (1654 - 1722) 219

255

Vektorfeld 116

Veranderliche, getrennte 121

Vergil (= Publiu Vergilius Maro) (70 - 19 v.u.Z.) 28

Vermutung, Goldbach'sche 47

Viete, Franc;;ois (lat. Vieta) (1540 - 1603) 63

Viviani, Vincenzo (1622 - 1703) 178

Vorbereitungssatz, WeierstraB'scher 138

Wallis, John (1616 - 1703) 80f

Wantzel, Pierre Laurent (1814 - 1848) 9

Wechselwegnahme 16

WeierstraB, Karl Theodor Wilhelm (1815 - 1897) 39, 45, 50f, 58, 60, 98

WeierstraB-Polynom 139

Weil, Andre (1906 - 1998) 208

Weingarten, Leonhard Gottfried Johannes Julius (1836 - 1910) 197

Weyl, Claus Hugo Hermann (1885 - 1955) 2, 43, 61, 219

Whitney, Hassler (1907-1989) 213

Wiles, Andrew John (* 1953) 208

Windungszahl 98

Winkeldreiteilung 129

winkeltreu 187

Wirtinger, Wilhelm (1865 - 1945) 78, 211

Wiirfelverdopplung 129

Wurzelsatz, Vieta'scher 40

Zahl, algebraische 34

-, transzendente 34

Zeeman, Erik Christopher (* 1927) 212

Zenodoros (~ 180 v.u.Z.) 95

Zentralkraftfeld 119

Zeppelinkurve 165

Zetafunktion, Riemann'sche 41

Zusammenhang 44

Zustandsraum 116

Zwischenwertsatz 44, 55

Zykloide 101, 131