BAUG - FS 2011 STATISTIK & SATZ DER TOTALEN ...
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Klausur Do 5. Mai 2011 - 8:00 HCI G3 ETHZ – BAUG - FS 2011
06. August 2011 S e i t e | 1 Christoph Hager
STATISTIK & WAHRSCHEINLICHKEIT © chager - Version 2.2 Dr. J. Köhler, ETHZ
A – ENTSCHEIDUNGSFINDUNG 1
NACH HALT IG KE IT 3
Bedürfnisse heutiger Generationen zu decken, ohne Erfüllung von Bedürfnissen folgender Generationen zu gefährden.
ANF ORD ER NG EN NUTZ E N FÜR G E SELLSC HAFT 4
Wirtschaftlich Rentabel durch Erfüllung eines Zwecks
Erfüllt Anforderungen bezüglich Sicherheit für Menschen
Beschränke schädliche Auswirkung für Umwelt
PHAS E N LEBE NS Z YK LUS 8
Betrachten aller Unsicherheiten in allen Phasen des Bauwerks
RIS IKO – ERW ART ET ER NU NTZ E N 9
Risiko = Produkt von Warsch. und pos./neg. Konsequenzen:
B - WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 13
FREQ U E NTIS CH E D EFI NI TI ON 15
Nur nach Experimenten:
KLASS IS CH E DE FINI TI O N ( 1654) 16
Ohne Experiment:
Nach Anzahl Ausgänge für A
bezüglich total gleich wahrscheinlicher möglicher Ereignisse.
BAYES ’S CH E DEFI NI TI O N 17
Grad persönlicher Überzeugung für a priori Ist subjektiv, aber umfasst freq. und klassische Überlegungen
UN SICH ERHE IT E N 64
Aleatorisch: Unsicherheit infolge natürlicher Variabilität Epistemisch: Unsicherheit infolge unvollständigen Wissens
ER EIGN ISR AUM – ME N GE NL EHRE NICHT F ÜR WK 18
Ereignisraum Leere Menge und vereinigt mit geschnitten mit oder
( unabhängig)
Disjunkt/unvereinbar:
Komplementär : Operationen folgen kommutativ, assoziativ und distributiv - Gesetzen
Desweiteren: ,
DIE DR E I AX IOME D ER WK -THE OR IE 20
1. für WK von 2. für Ereignisraum 3. für unvereinbare
BEDIN GTE W AR SCHE INL I CHK EIT 20
WK von wenn eingetreten ist.
Folgerung
wenn Ereignisse unabhängig sind.
SA TZ D ER TOT AL EN WA RSC HE I NLICHKE IT SDT W 21
falls Ereignisse unvereinbar
SA TZ V ON BA Y ES 22
TABE LLE NZ USAMM E NS TE L LUNG 24 2 4
A Priori „Realität“
Likelihood - Indikatoren A posteriori
0.65 0.71 0.28 0.01 0.50
0.24 0.18 0.61 0.21 0.40
0.11 0.02 0.32 0.66 0.10
C - BESCHREIBENDE STATISTIK 29
KE NNW ERT E UND P ARA ME TER EIN ER ST ICHP ROB E
Stichprobe: Mittelwert:
31
Modus: häufigster auftretende Wert oder Intervall
Median:
mittlerer (Zentral)Wert einer geordneten Datenreihe
Varianz:
Standardabweichung 34
Variationskoeffizient:
Normalisierte Variabilität
Schiefekoeffizient:
Mass für Asymmetrie 35
Rechtsschief: , Modus Mittelwert , Schwanz rechts
Kurtosis:
Mass für Spitzigkeit
Normalverteilung:
Kovarianz:
36
Korrelationskoeff:
, wenn Datenpaare perfekt linear steigend, 0 wenn unabhängig
→ Korrelation bedeutet nicht, dass kausaler Zusammenhang besteht
ZE NTRA LE S TICH PR OBE N M OEM T E 35
Zentral: Momente um Mittelwert
GRAF ISCH E D AR STELL UN G 37 - 5 4
Eindimensionales/Mehrdimensionales Streudiagramm
Histogramm: Unterteilung in Intervalle , Darstellung je nach Intervall, Bereich
Kumuliertes relatives Häufigkeitsdiagramm
Quantil-Plot: Gespiegeltes kum. rel. Häufigkeitsdiagramm
Quantil-Index
(aus sortierter Datenreihe)
Zwischenpunkte werden linear Interpoliert 0.25/0.75-Quantil: Unteres/Oberes Quartil, 0.5-Quantil: Median
Tukey Box Plot: Grafische Darstellung mehrerer Param. Ausreisser Werte mit Voyage 200: stats Oberer Nachbarschaftswert: Grösster Wert Oberes Quartil Median Unteres Quartil
Unterer Nachbarschaftswert: Kleinster Wert
Nachbarschaftswerte sind immer vorhandene Messwerte
Q-Q-Plot: Vergleich 2 Datenreihen über zuordnen via Qantile
Mittelwert-Differenz-Plot: Differenz über MW von und
D - MODELLIERUNG UNSICHERHEITEN 61 Zufallsvariable: , Realisation:
VE RTE ILU N GS- U ND D ICH TEF UNK T ION 67
Diskret Kontinuierlich Kum. Verteilungfunktion - - Fläche von bis
Dichtefunktion - Fläche unter Kurve
i-te Moment einer Zufallsvariable
- Mittelwert/Erwartungswert – 1. Moment
- Varianz – 2. zentrale Moment
Variationskoeffizient
Normalisierte Variabilität
ERWART U NGSW ER TOP ERAT OR 73
Gleichheit nur bei linearer Funktion
Umrechnung:
MULTIV AR IAT E FU NKT IO N EN 74
Zufallsvektor: mehrere Zufallsvariablen Multivariate Verteilungsfkt:
Multivariate Dichtefkt:
Kovarianz:
Zentrales multivariantes Moment zw und , wenn unabhängig beschreibt lineare Abhängigkeit zwischen Variablen
Korrelationskoeff:
BEDI NGT E Z UFA LLSVARIAB LE N 76
Bedingte Dichtefunktion:
Unabhängig wenn
Bedingte Verteilungsfkt:
SdtW:
MARGINA LE WA HRSC HEI NLIC H EK EI TE N 79
Marginal: Randwahrscheinlichkeiten Diskret Dichte:
Verteilung:
Kontin. Dichte:
Falls und unabhängig → Faltungsintegral: Diskret Dichte:
Kontin. Dichte:
Summe: Faltungsintegral
LI NEAR K OMBI NATI ON V O N ZUFA LLSVARIABLE N 76
Für gilt:
FU NK TI ONE N V ON Z UFAL LS VARIABLEN 82
für kumulative Verteilungsfunktionen von als Für monoton steigende und bijektive Funktion gilt:
Falls monoton fallend → Vorzeichen ändert:
Für Zufallsvektoren: gilt:
ZUFALL SVAR IABLE N A NWE NDU N G 86
ZE NTRA LE GRE NZW ERT SA T Z 90
Die Summe von Zufallsvariablen nähert sich einer Normalverteilung
wenn Anzahl Summanden gross wird:
Das Produkt von Zufallsvariablen nähert sich einer Lognormalverteilung:
WARSCH EI NLI CH K EITS VE R T EILU NG E N 88
Verteilung Parameter
Gleichverteilung
Normalverteilung
Standartnormalverteilung
Lognormalverteilung
Produkt lognormalvert. unab. ZVar:
ist lognormalverteilt
Für nur-positive Werte, Ermüdungsdauer, Festigkeiten, Niederschlag, Unsichere Param
Exponentialverteilung
ST OCHA ST ISCH E PRO ZE S SE U ND E XTRE MWER TE 94
Realisation zu diskretem Zeiten → Zufallsreihe/Zufallssequenzen
Realisation kontinuierlich über Zeit → Zufalls- Stochastischer Prozess
BERN ULLI -V ER SUCH E (D ISKR ET) 95
Ausgang: Erfolg oder Versagen, WK, Erfolge bei Versuch.
[binompdf]
[ncr]
[binomcdf]
WART EZ EIT (D ISKR ET) 96
Anzahl Versuche bis 1. Erfolg, Dichtefkt. folgt geom. Verteilung WK für Erfolg nach
Faire Gewinnchance:
Wiederkehrperiode ,
interquartile Differenz, 50% der Daten
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06. August 2011 S e i t e | 2 Christoph Hager
PO SSIO N-PR OZ E SS (D ISKR ET ) 98
Einfacher Poissonprozess (für Versagen, Erdbeben):
WK eines Ereignisses ist asymptotisch proportional zu
WK im Intervall dass mehr als 1 Ereignis stattfindet ist eine Funktion höherer Ordnung in für
Anzahl Ereignisse in disjunkten Intervallen sind unab. ZV
Definition durch Intensität:
(1 Ereignis in )
Poissonprozess homogen, falls konstant, sonst inhomogen Wahrscheinlichkeit genau Ereignisse im Zeitintervall ist:
Inhomogen:
Kein Ereignis ( =0)
Homogen:
Kein Ereignis ( =0)
Wartezeit bis erstes Ereignis folgt Exponentialverteilung
Inhomogene Verteilungsfkt:
Homogene Verteilungsfkt:
Dichtefunktion:
Summe von unab. Exp-Vert. Wartezeiten ist:
Gammaverteilt:
ZUFALL SPR OZ E SS (K O NT IN U IERL IC H) 99
Für Pegelstände, Geschwindigkeiten, Temperatur
Normal/Gauss-Prozess: Wenn normalverteilt ist.
für Dichtefkt von Autokorrelationsfkt: (eine Realisation des Prozesses zu und )
Auto-Kovarianzfkt:
Kovarianzfkt:
Kreuz-Kovarianz: bei Vektorwertigen Prozesses
Korrelationsfunktion:
STATI ONÄR – Z EITI NVARIA NT 10 2
Streng stationärer ZPs: alle Momente invariant über Schwach stationärer ZP: 1.+2. Moment invariant über
ERG OZI TÄT – RE PRES E NTATI VITÄ T 10 3
ZP ergodisch: Extrapolation für probabilistische Modelle
Streng ergodisch ZP: streng stationär und alle Momente können mit einer Realisation bestimmbar. Schwach ergodisch ZP: schwach stationär und 2 erste Momente mit einer Realisation bestimmbar.
EXTR EMW ERT E M IN /MA X 10 4 ,1 06
Für Erdbeben, Kälte, Niederschlag Hochwasser, Konzentration Verteilfkt von für Realisation
Verteilung in Periode :
Dichtefunktion:
→ Tiefer mögliche Werte fallen weg
EXTR EMW ERT V ERT E ILUN G EN 10 8 ,9 6
Verschiedene Typen von Extrembereichen der Dichtefunktionen
Typ I: Oberer Bereich fällt exponentiell ab.
Typ II: nach unten begrenzt, Abfall im oberen Bereich
Typ III: nach unten begrenzt bei , Abfall im unteren Bereich
Verteilung Parameter
Typ I – Gumbel max
,
Typ I – Gumbel min
Typ II – Fréchet max
Fällt oberem Ende ab:
: Verschiebung nach rechts
Typ III – Weibull min
Fällt unten ab:
WIEDER KEHR PE RIOD E 11 2
WK, dass während den Wert überschreitet
Wiederkehrperiode:
oder
E - PARAMETERSCHÄTZUNG 117 Zur Erstellung eines passenden probabilistischen Modells
MOD E LLERS T ELLU NG: 11 9
Beurteilung und statistische Erfassung von Daten
Wahl einer Verteilungsfunktion
Schätzung der Parameter
Testen des Modells
Aktualisierung der Parameters des Modells
WAHL W AHR SCH E INL ICHK E IT SV ER TE ILU NG 12 0
Über Hypothese, Schätzung und Verifikation
Betrachten von physikalischen Argumenten
Wahrscheinlichkeitspapier, Wiederspruch, Formel
WAHRSC HEI NLIC H KEI TSP A PIER 12 1
Darstellung kum. Verteilungsfunktion als Gerade → nichtlineare Skalierung der Y-Achse Vorgehen: Daten Ordnen, Quantil und
berechnen
Quantil:
Y-Achse:
→ Schätzung Parameter aufgrund Steigung und Lage zB. Steigung , y-Achsenabschnitt (Gültigkeit?)
PAR AM ETER SCH ÄTZ UN G 12 5
Durch Punkt- (MoM,MLM) oder Intervallschätzer Darstellung Funktionen: bedingt durch Parameter:
METH OD E D ER MOM E NT E – M OM 12 6
Idee: Momente von Stichprobe und Verteilung gleichsetzen
Momente Verteilungfunktion:
Momente Stichprobe:
Parameter können durch Optimierung gefunden werden. Bsp:
Oder zentrale Momente verwenden → → Parameter
MAX IM L IKEL IH OOD M ET H OD E – MLM 12 6
Idee: Suchen Parameter mit grösster Likelihood/am wahrsch.
Likelihood: Je grösser desto bessere Repräsentation durch , da grösste Dichte dort wo grösste Werte hat. Log-Likelihood: Mit PC: suchen (bessere Algorythmen)
Eigenschaft Likelihood-Methode: Ist Stichprobenumfang gross genug → Verteilung Parameterschätzer
etwa normalverteilt.
Erwartungswert nähert sich asymptotisch wahren Werten.
Epistemische und aleatorische Unsicherheiten werden berücksichtig.
Kovarianzmatrix Fischer-Informationsmatrix, Elemente sind Ableitungen der log-Likelihood im Maximum.
Aussage über Unsicherheit
Siehe s.127-130 im Skript
BAY E S‘ SCH E P AR AM ETE R SCHÄTZ U NG 13 2
Berücksichtigung von a priori (subjektiv/freq.) Informationen und neuen freq. Beobachtungen → a posteriori Modell
Gegeben: ZV mit Dichtefunktion → Parameter sind unsicher mit a priori Dichte:
Neu: Versuche → Satz von Bayes: → a posteriori Dichtefunktion für unsichere
Wir erhalten aktualisierte prädikative Dichtefunktion:
Gewichtung durch
Je mehr neue Werte desto weniger Einfluss hat Vorinformation Mit diversen natürlich konjugierten (gleiche Verteilungsfamilie) für a priori und a posteriori Dichtefunktionen möglich.
Siehe E.24-30 für Anwendung mit Normalverteilung im Skript
BAY E S’ SCH E R EGR E SSIO N SA N ALY SE – A PR IOR I 13 7
Beschreibung Zusammenhang zwischen zwei Datensätzen
Ein lineares Regressionsmodell wird beschrieben durch: : Regressionskoeff. : Residualwert, Fehler der Normalverteilung folgt, → Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung von Multiple Regression:
ANA LY TISC H 13 8
MdkQ:
GLS:
Unsicherheit Regressionsmodell als Normalverteilung:
: Anzahl
Gleiches Resultat mit MLM
MATRIZ E NSC HR EIBWEIS E 13 8
GLS:
für:
Unsicherheit von als Normalvertilung:
AKTU AL IS IERU NG R EGR E SSIO N A P O STER IOR I 14 1
Aktualisierung des Modells mit neuen Daten Gegeben: Daten vom a priori-Modell: und
Neu: Daten und Parameter des a posteriori-Modells:
Regressionsmodell Aktualisiertes Regressionsmodell
EN TSC HE IDU NG SF INDU NG IM ING EN IEURW E SEN 3
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Klausur Do 5. Mai 2011 - 8:00 HCI G3 ETHZ – BAUG - FS 2011
06. August 2011 S e i t e | 3 Christoph Hager
ABSCHÄTZ UN G UND M ODE LL ER ST ELLU NG 12 0
Vorgehen bei Erstellung eines Ingenieurmodells:
PARAME T ERSC HÄT ZU NG F ÜR S TIC HPR OB EN 14 9
Solange Experimente noch nicht realisiert sind werden die Statistische Parameter ( der fiktiven Stichprobe als Zufallsvariablen betrachtet die wiederum einer Verteilung folgen.
Stichprobenmittelwert
→ z. GWS: Dichtefunktion von wird als Normalverteilt angenommen
→ je mehr desto schmaler wird Dichtefunktion (Faktor )
Stichprobenvarianz Nicht erwartUngstreu / biased:
ErwartungsTreu / unbiased:
→ Der nicht erwartungsTreue Schätzer ist effizienter als der erwartungsTreue. → Schätzer können noch mit andern Kriterien bewertet werden: Invarianz, Konsistenz, Suffizienz, Robustheit. → Schätzer die mit MLM bestimmt werden sind ok.
KO NFID E NZ IN TER V ALLE 15 2
→ Intervall, in welcher sich mit best. WS der Parameter befindet.
Das Konfidenzintervall ( Signifikanzniveau) eines geschätzten Parameters ist das Intervall, in welchem der wahre Parameter mit der Wahrscheinlichkeit liegt.
Konfidenzintervalle werden meist für Mittelwert, Varianz und charakteristische Werte (Fraktilwerte) betrachtet
Konfidenzintervall repräsentiert / beschreibt die statistische Unsicherheit, welche durch zu wenig Daten entsteht
Werden auch als Vertrauensintervall bezeichnet.
Je mehr Daten desto kleiner wird Konfidenzintervall
KONFID E NZI NT ERVA LL F ÜR D E N MI TT E LW ERT 15 2
Mittelwert unsicher, Varianz bekannt (unbekannt→ s unbiased) Die standartnormalverteile ZV für den Mittelwert ist:
(aus wahrem MW und Stabw
)
Das zweiseitige und sym. Konfidenzintervall des MW ist:
Annahme MW normalverteilt:
solve(tistat.normcdf(- ,x)=0.90,x)
Werte einsetzen:
( Zahl) Das Konfidenzintervall lässt sich nun für oder betrachten. Bsp. Lösung Konfidenzintervall für :
S IG N IF IKA NZT E ST M ITT EL S H YP OT HE SE NT E ST S 15 5
Problemstellung: Prüfen der statistischen Signifikanz. zB: Kann man aufgrund einer Beob. entscheiden, ob der Stichproben-mittelwert signifikant vom angenommenen Mittelwert abweicht?
Lösungsansatz: Verwendung von genormten Hypothesentests
VORG E HE N 15 5
1. Formulierung Null-Hypothese : Stichprobenstatistik soll bestimmen Werten genügen Formulierung Alternativhypothese : Stichprobenstatistik erfüllt Null-Hypothese nicht.
2. Formulierung einer operativen Regel, wonach mit Tests die Null-Hypothese angenommen oder abgelehnt werden kann. zB. Mittels Konfidenzintervallen
3. Wahl eines Signifikanzniveaus . ist die immer WK, das abgelehnt wird obwohl sie zutrifft (Fehler 1. Art). Dies beeinflusst auch die WK dass akzeptiert wird, obwohl sie nicht zutrifft (Fehler 2. Art)
Entscheidung trifft wirklich zu trifft wirklich zu
Akzeptiere Richtiges Urteil Fehler 2. Art
Akzeptiere Fehler 1. Art Richtiges Urteil
Die Konsequenten dieser Fehler müssen berücksichtigt werden. Je grösser desto konservativer ist der Test
4. Berechnung der Akzeptanzkriterien. zB das Konfidenzintervall aufgrund von . Bei Bedarf kann auch die WK des Fehlers 2. Art berechnet werden.
5. Durchführen des Versuches oder Tests und Überprüfen welche Hypothese angenommen werden kann
6. Rückschluss auf Signifikanzniveau Die Null-Hypothese wird mit WK von abgelehnt. In diesem Fall wird nicht von den Ergebnissen der Stichprobe gestützt.
ANW E ND UNG 15 8
Testen des Mittelwertes – mit bekannter Varianz
Testen des Mittelwertes – mit bekannter Varianz
Testen der Varianz
Testen zweier oder mehrerer Datensätze
Bemerkungen
Verwendbar für eine Vielzahl unterschiedlicher Probleme
Die Aussagen der Tests sollte man nicht überschätzen
Herangehensweise, Formulierung und Signifikanzniveau haben direkten Einfluss auf Wahrscheinlichkeiten
Formulierung der Hypothese möglichst als Entscheidungsproblem behandeln
→ Math. Formelsammlung, Papula s445+
MOD ELLE V ALUA TIO N 16 0
Überprüfung der Verteilung und Parameter durch stat. Tests
CHI - QUADRA T- TE ST (DISKR E T) 16 0 - 1 64
Anwendung: - Diskrete Verteilungen - Diskretisierte kontinuierliche Verteilungen Idee: Differenzen zwischen erwarteten (postulierten) und
beobachteten Datenverteilung sollten klein sein, wenn gewählte Verteilung die Stichprobe gut beschreiben kann.
Notation: : Anzahl Beobachtungen einer diskreten Zufallsvariable .
: Postulierte Häufigkeiten an Beobachtungen von
: Beobachtete Häufigkeiten an Beobachtungen von
: Differenzen zwischen und
Kennwerte: poissonverteilte ZF
Vorgehen:
1. , Verteilung, Parameter und Daten zusammenstellen 2. Aufteilen der Daten in Intervalle (diskretisieren falls nötig)
mindestens 3-5 Beob. pro Intervall, ansonst zusammenfassen 3. Mittelwert und Standartabweichung eruieren
4. Tabelle erstellen und Werte zusammentragen:
Intervall
Beob. Häufigkeit
Vorausg. Wahrscheinlichkeit
Post. Häufigkeit
Fläche unter Verteilungsfunktion im Intervall
im Intervall
→ Voyage: tistat.normcdf(a,b, )
(nicht erwartungstreu)
Wenn gross → folgt Standartnormalverteilung
5. Testen auf Signifikanzniveau:
ist der -Fraktilwert der -Verteilung mit Freiheitsgraden Anzahl Klassen (Intervalle) : Da letzes Intervall von anderen abhängig ist Anzahl geschätzte Parameter der zu testenden Daten → siehe Tabelle s246:
6. Wenn kleiner als ist kann Null-Hypothese nicht
verworfen werden.
Bemerkungen:
Testresultat hängt direkt mit Anzahl Klassen (Intervallen) zusammen
Test ist relativ unkritisch, Hypothese schwierig zu verwerfen
-Verteilung: Siehe s146
KOLM OG OR OV-S MIRNOV ( KONTI NUIER LIC H) 16 5
Anwendung: - kontinuierliche Verteilungen - Verteilung und Parameter werden postuliert Idee: Die grösste Differenz zwischen erwarteten (postulierten) und beobachteten Datenverteilung soll möglichst klein sein. Vorgehen:
1. , Verteilung, Parameter und Daten zusammenstellen 2. Tabelle erstellen:
01
: Index : Beobachtung von : Kumulierte Verteilungsfkt der Beobachtung
Verteilfktswert mit und post. Param berechnen
: Differenz zwischen postulierter und
beobachteter kumulierter Verteilungsfunktion
3. Suche grösste Differenz:
4. Testen auf Signifikanzniveau:
→ siehe Tabelle s247 Kritischen Wert mit und ablesen
5. Wenn kleiner als ist kann Null-Hypothese nicht verworfen werden.
Bemerkungen:
Sehr unkritisch, Hypothese sehr schwierig zu verwerfen. für //
Signifikanzniveau = Irrtumswahrscheinlichkeit
MOD E LLV ERGLEIC H 16 7
Ein Signifikanztest kann folgendes zeigen:
Eine Hypothese muss verworfen werden Gewähltes Modell muss nicht zwingend schlecht sein, es kann auch sein, dass der Beweis nicht stark genug ist um Signifikanz zu zeigen, zB bei zu wenig Daten.
Eine Hypothese wird akzeptiert Hier können die Modelle verglichen werden:
Dazu werden die Likelihoods verglichen (je grösser desto besser)
Stichprobenlikelihoods: MLM, s167/ s126 oder
Likelihoods zwischen Werten der Dichtefunktion E52,76/E79
→ Testresultate können nicht verglichen werden
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Klausur Do 5. Mai 2011 - 8:00 HCI G3 ETHZ – BAUG - FS 2011
06. August 2011 S e i t e | 4 Christoph Hager
F - STRUKTURELLE ZUVERLÄSSIGKEIT 173
LEBE N SZY KLU S
Konzept→Planung/Mahbarkeitsstudie→Untersuchungen→Bemessung→Fertigung→Ausführung→Betrieb/Unterhalt→Rückbau
ZUV ERL ÄSSIG KE IT SAN AL Y SE 17 5
In der Zuverlässigkeitsanalyse von techn. Systemen besteht das Hauptproblem darin die WK des Versagens zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit für Versagen besteht aus Belastungskomponenten und Wiederstandskomponenten . Diese Ungleichung lässt sich zur Grenzzustandsfunktion umstellen, so das Versagen bei 0 eintritt: ist nun eine Zufallsvariable, als Funktion von anderen ZV wird auch als Sicherheitsmarge bezeichnet Zuverlässigkeit:
FORM 17 7
Lineare Grenzzustandsfunktion, normalverteilte Variablen → ist ebenfalls Normalverteilt → Berechnung der Parameter von (siehe auch linearkombi s76)
Varianz nur Plusrechnen → Die Versagenswarscheinlichkeit lässt sich wie folg berechnen:
ist der Zuverlässigkeitsindex (versch. Definitionen!)
→ Durch wird das Ganze standartnormalverteilt. ist der kürzeste Abstand von zur Funktion
Nichtlineare Grenzzustandsfunktion, normalverteilte Variablen → → Es ist nun einfacher die einzelnen Variablen zu normalisieren:
…
→ Diese werden nun in eingesetzt → → ist wiederum der Kürzeste „Abstand“. 2D: Gleichung nach einem Parameter umformen: Abstandsfunktion ableiten:
3D: Hässliches Iterationsverfahren → s184 // Lagrange
solve( ) oder nach Script: 1. Beliebiger Linearisierungspunkt wird gewählt 2. Neuen Einheitsvektor berechnen:
Oder mit vereinfachter Formel, für Normalisierung
3. nun in Gleichung einsetzen und berechnen mit Der neue Linearisierungspunkt 4. Wiederhole Schritte 2-4 bis Konvergenz eintritt →
MONTE CAR LO S IM U LATI O N 18 6
Problem: Versagens-Wahrscheinlichkeit
kann nicht berechnet werden. Idee: Simulation der Realisationen der ZV und Versagen zählen.
Vorgehen von Hand:
1. Realisationen des Vektors werden erzeugt Um Variablen der richtigen Verteilungsfunktion zu erhalten, werden zuerst Gleichverteilte Pseudozufallszahlen generiert. wird nun mit der Umkehrfkt berechnet:
2. Für jede Realisation wird die Grenzzustandsfkt berechnet 3. Die Anzahl Realisationen welche sind werden gezählt
4. Versagenswahrscheinlichkeit wird geschätzt mit
FEHLE RFORT PFLA NZ U N G 17 9
Analog FORM/Linearkombination von Zufallsvariablen (s76)
Fehler Idee ist die Funktion mit Taylorentwicklung 1. Ordnung zu approximieren:
ist der Punkt um den linearisiert wird, meist wird verwendet
ANW E ND UNG 18 0
Man kann den Fehler als normale Funktion mit mehreren ZV mit und betrachten und so berechnen wie sich und verhalten. sind die Mittelwerte
Beispiel Pythagoras:
Gesucht ist Verhalten , und bekannt
→
→
G - ENTSCHEIDUNGSANALYSE 193
EN TSC HE IDU NG ST HE OR IE 19 5
PROB LEM
Entscheidungsfindung: Mehrere Lösungen sind denkbar, Infos sind rar und es muss eine Entscheidung getroffen werden.
VORG E HE N F O L I EN V1 3
1. Formulierung des Entscheidungsproblems
Ident. des Entscheidungsträger und seinen Präferenzen
Darstellen Entscheidungsprozess
Ident. aller möglichen Entscheidungsalternativen
Ident. der Unsicherheiten 2. Identifizierung von Konsequenzen und ihres Nutzens 3. Beurteilung der Eintrittswahrscheinlichkeiten 4. Vergleich der unterschiedlichen Entscheidungsalternativen
basierend auf dem Erwartungswert ihres Nutzens 5. Entscheidung und Dokumentation der Annahmen, auf
welchen die gewählte Alternative beruht
EN TSC HE IDU NG SMAU M 19 6
Entscheidungen können mit einem Baum dargestellt werden: Grundlegender Aufbau:
Bemerkungen:
Bei Entscheidungen wählt man günstigste Möglichkeit
Nutzen von Betrachter abhängig
Alle Kosten müssen einbezogen werden
Konsequenzen sind häufig lineare Funktionen in Form von sFr
NUT Z EN, K OS T E N U ND E RTRAG
Nutzen ist definiert als Summe von Kosten und Ertrag:
Nutzen (Kosten und Ertrag) der aus der Handlungsalternativen entsteht
Erwartungswert des Nutzens der Konsequenz
: Eintrittswahrscheinlichkeit des Konsequenz
: Potentielle Konsequenz von Handlungsalt.
Testresultate Eigentliche Wahrscheinlichkeiten
A-PR IOR I AN ALY SE 19 9
→ Bei gegebener IST-Information
A-Priori WK
Nutzen:
Wähle:
A-P O STER IOR I A NAL YSE 20 1
→ Bei neuer Information nach Test, Aktualisierung
A-Posteriori WK
sind Indikatoren, → siehe Seite 1, Satz von Bayes → Weiter wie A-Priori, nur mit neuen Wahrscheinlichkeiten
PRE- PO ST ER IO RI A N ALY SE 20 4
→ Bei mehreren möglichen Zusatzuntersuchungen Man kann nun noch verschiedene Tests durchführen um Wissen zu verbessern. Welche Option hat beste Kosteneffizienz?
Vorgehen: Lösen von rechts nach links
1. Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten Vorgehen nach A-Priori oder A Posteriori, wenn neue Daten oder Tests möglich sind
2. Ermitteln des erwarteten Nutzens pro Ereignis →Nutzen in Kasten zu Ereignis schreiben
3. Welche Entscheidung würde man treffen Günstigste, bessere wählen → Nutzen übertragen in Kasten (+ evtl. Fixkosten)
4. Wie wahrscheinlich sind die Testergebnisse zB. mit Satz der totalen WK:
5. Erwarteter Nutzen je Untersuchung Wie A-Priori ausrechnen → Nutzen in Kasten eintragen
6. Entscheidung für eine Untersuchung Günstigste, bessere wählen
Zu Beachten:
Keine Kosten vergessen wie Fixbeträge bei Entscheidungen
Vorsichtig mit WK, sind Abhängig vom Aufbau
WK müssen unabhängig sein und als Summe 1 Ergeben
Konsequenzen können sein, vorher definieren
Manchmal besser logisch Überlegen als Formeln folgen
Zuerst SdtW ausrechnen, dann Satz von Bayes
E NTS CH EID U NG MI T R IS I K OBE HA NDLU NG 20 5
Interessant ist nun das Risiko → Seite 1, ganz oben A-Priori -Analyse:
: Nutzen, -te Verzweigungs-WK, : Konsequenz A-Posteriori-Analyse: Ähnlich, nur Berücksichtigung von Massnahmen. u.a. auch Massnahmen die bereits Ausgeführt wurden Pre-Posteriori-Analyse: Es sind keine Entscheidungsregeln für künftige Handlungen nötig. Optimale Untersuchung hier ist:
QUELLEN Vorlesungsunterlagen Statistik Dr. J. Köhler
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