Bearbeitung von Modellierungsaufgaben · Prof. Dr. Gilbert Greefrath Universität zu Köln...
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Prof Dr Gilbert Greefrath Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Bearbeitung von
Modellierungsaufgaben mit und ohne Hilfe digitaler Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Eine Modellierungsaufgabe
Was kostet das Verputzen dieses Hauses
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Modellbildungskreislauf (nur Vorderseite des Hauses)
Mathematisches
ResultatMathematisches
Modell
Reale
Situation
Reales
Modell
[Blum]
(13 33 30 33)
(11 14 08 14)
1419 266
1153
Klassische
Sachaufgabe
Realitaumlt
Mathematik
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Was ist ein Modell
bull Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt [Ebenhoumlh]
bull Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes auf die mathematische Methoden angewandt werden koumlnnenhellip [Zais amp Grund]
bull Ein mathematisches Modell ist jede vollstaumlndige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen die darauf ausgelegt ist einem anderen Gebilde hellip zu entsprechen [Aris]
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Modelle des Modellierens
Reale
SituationModell
Realmodell
Mathem Modell
Situationsmodell
KonsequenzenInformationen
SituationsanalyseDaten-
beschaffung
Annahmen
Vernachlaumlssigungen
Interpretation
Uumlberpruumlfung
Modell-
verbesserung
Loumlsung
Mathematische
LoumlsungReale Loumlsung
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausfuumlhren
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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1 Der Begriff Modellieren
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3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Mathematisches
ResultatMathematisches
Modell
Reale
Situation
Reales
Modell
[Blum]
(13 33 30 33)
(11 14 08 14)
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Klassische
Sachaufgabe
Realitaumlt
Mathematik
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Was ist ein Modell
bull Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt [Ebenhoumlh]
bull Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes auf die mathematische Methoden angewandt werden koumlnnenhellip [Zais amp Grund]
bull Ein mathematisches Modell ist jede vollstaumlndige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen die darauf ausgelegt ist einem anderen Gebilde hellip zu entsprechen [Aris]
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Modelle des Modellierens
Reale
SituationModell
Realmodell
Mathem Modell
Situationsmodell
KonsequenzenInformationen
SituationsanalyseDaten-
beschaffung
Annahmen
Vernachlaumlssigungen
Interpretation
Uumlberpruumlfung
Modell-
verbesserung
Loumlsung
Mathematische
LoumlsungReale Loumlsung
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
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Ausfuumlhren
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1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Eine Modellierungsaufgabe
Was kostet das Verputzen dieses Hauses
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Modellbildungskreislauf (nur Vorderseite des Hauses)
Mathematisches
ResultatMathematisches
Modell
Reale
Situation
Reales
Modell
[Blum]
(13 33 30 33)
(11 14 08 14)
1419 266
1153
Klassische
Sachaufgabe
Realitaumlt
Mathematik
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Was ist ein Modell
bull Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt [Ebenhoumlh]
bull Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes auf die mathematische Methoden angewandt werden koumlnnenhellip [Zais amp Grund]
bull Ein mathematisches Modell ist jede vollstaumlndige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen die darauf ausgelegt ist einem anderen Gebilde hellip zu entsprechen [Aris]
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Modelle des Modellierens
Reale
SituationModell
Realmodell
Mathem Modell
Situationsmodell
KonsequenzenInformationen
SituationsanalyseDaten-
beschaffung
Annahmen
Vernachlaumlssigungen
Interpretation
Uumlberpruumlfung
Modell-
verbesserung
Loumlsung
Mathematische
LoumlsungReale Loumlsung
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausfuumlhren
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
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3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Modellbildungskreislauf (nur Vorderseite des Hauses)
Mathematisches
ResultatMathematisches
Modell
Reale
Situation
Reales
Modell
[Blum]
(13 33 30 33)
(11 14 08 14)
1419 266
1153
Klassische
Sachaufgabe
Realitaumlt
Mathematik
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Was ist ein Modell
bull Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt [Ebenhoumlh]
bull Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes auf die mathematische Methoden angewandt werden koumlnnenhellip [Zais amp Grund]
bull Ein mathematisches Modell ist jede vollstaumlndige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen die darauf ausgelegt ist einem anderen Gebilde hellip zu entsprechen [Aris]
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Modelle des Modellierens
Reale
SituationModell
Realmodell
Mathem Modell
Situationsmodell
KonsequenzenInformationen
SituationsanalyseDaten-
beschaffung
Annahmen
Vernachlaumlssigungen
Interpretation
Uumlberpruumlfung
Modell-
verbesserung
Loumlsung
Mathematische
LoumlsungReale Loumlsung
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausfuumlhren
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Was ist ein Modell
bull Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt [Ebenhoumlh]
bull Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes auf die mathematische Methoden angewandt werden koumlnnenhellip [Zais amp Grund]
bull Ein mathematisches Modell ist jede vollstaumlndige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen die darauf ausgelegt ist einem anderen Gebilde hellip zu entsprechen [Aris]
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Modelle des Modellierens
Reale
SituationModell
Realmodell
Mathem Modell
Situationsmodell
KonsequenzenInformationen
SituationsanalyseDaten-
beschaffung
Annahmen
Vernachlaumlssigungen
Interpretation
Uumlberpruumlfung
Modell-
verbesserung
Loumlsung
Mathematische
LoumlsungReale Loumlsung
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausfuumlhren
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Modelle des Modellierens
Reale
SituationModell
Realmodell
Mathem Modell
Situationsmodell
KonsequenzenInformationen
SituationsanalyseDaten-
beschaffung
Annahmen
Vernachlaumlssigungen
Interpretation
Uumlberpruumlfung
Modell-
verbesserung
Loumlsung
Mathematische
LoumlsungReale Loumlsung
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausfuumlhren
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausfuumlhrung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren Exploration
Organisation Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausfuumlhren
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
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bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
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bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Untersuchung zum ModellierenVerwendete Aufgaben
Elefant Glas Bruumlcke
Haus Zimmer Stau
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren ist individuell
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Untersuchung
zum Modellieren
bull Qualitativ
bull Zwei Schuumllerinnen
bull Unterschiedliche Schulformen
bull Unbekannte Aufgaben
bull Ohne weitere Hilfe
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Beispiel Kategorie Planung
bull Orientierung im Bild
bull Arbeitsschritt vorschlagen festlegen
bull Notwendigkeit fuumlr Berechnungen erkennen
bull Strategie festlegen
bull Schwierigkeit durch das Schraumlgbild erkennen
bull Mathematische Formen identifizieren
bull hellip
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Beobachtung BBeobachtung A
Planungsphasen
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
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nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren Folgerungen fuumlr die
Situation anstellen Informationen
ermitteln Transfers versuchen
Bewerten
Orientierung
Planung
Datenver-
arbeitung
Kontrolle
Datenbe-
schaffung
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren ist individuell
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Plausibilitaumltsbetrachtung)
bull 1635 S1 Ich glaub nicht dass das
so wenig ist
bull 1637 S2 Gut dann
bull 1638 S1 Ehrlich gesagt
bull 1639 S2 ( ) obwohl wenn wir das
mal gucken das das koumlnnte doch
hinkommen
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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[Idee J Weitendorf]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Datenbeschaffung)
bull 1157 S1 auch zaumlhl noch mal eins
bull 1202 S2 Das halbe lassen wir erst
mal das sind zwei drei vier fuumlnf
sechs sieben acht neun zehn elf
zwoumllf dreizehn vierzehn fuffzehn
fuffzehn ein Halb ne
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
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in zentralen Abiturpruumlfungen
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bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Beobachtungsausschnitt
Kontrolle
(Kontrolle der Planung)
bull 1651 S2 Die koumlnnen wir so lassen die Seite oder muumlssen wir noch etwas abziehen
bull 1655 S1 Die Tuumlr haben wir schon
bull 1656 S2 Die haben wir schon zwei Fenster haben wirS2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren ist individuell
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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IV
V
Global
Uumlbersicht
III
Multiple
Kontrolle
IExplizit
IIReal
Planung Implizit
Lokal
Vielfache
Daten-
beschaffung
Schwerpunkt
Schaumltzen
Schwerpunkt
Messen
Schwerpunkt
Alltagswissen
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Mathematisches
Resultat
MathematikRealitaumlt
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Verstehen
Ausfuumlhrung
Planung
Kontrolle
Planung
Kontrolle
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
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nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen Die weiszligen
Rechtecke stellen die
Fenster dar Sie haben
eine Houmlhe von 130 m
Die grau schraffierten
Flaumlchen sollen verputzt
werden Berechne moumlg-
lichst genau diese Flaumlche
Die Vorderseite dieses
Hauses soll auszligen
verputzt werden
Berechne moumlglichst ge-
nau die zu verputzende
Flaumlche
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Ergaumlnzende Untersuchung
388 Schuumllerinnen und Schuumller Klasse 7
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren ist individuell
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Erste Ergebnissebull Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen
(deutlicher Unterschied zwischen HS und RS)
bull Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark Rechnen staumlrker)
bull Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maszligstab GY Relation HS-E)
bull Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten
bull Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor(Aufgabe 1 zu 7)
[Petermoumlller]
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Schlussfolgerungen
fuumlr die Forschung
bull Modellieren als Problemloumlseprozess betrachten
bull Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen
bull Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess koumlnnen durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden
bull Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren ist individuell
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Schlussfolgerungen
fuumlr den Unterricht
bull Derartige Modellierungsaufgaben koumlnnen auf
unterschiedlichem Niveau geloumlst werden und sind fuumlr
alle Schulformen geeignet
bull Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden auf
die im Unterricht reagiert werden muss
z B durch thematisieren von Orientierungsphasen
Diskussion von Vereinfachungen
bull Moumlglicher Weg
Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden
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Modellieren ist individuell
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren ist individuell
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Mathematik ist spannend und nuumltzlich
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
wwwgreefrathde
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Loumlsungen an der Realsituation
Sind 12 msup2 Auszligenputz fuumlr die Vorderseite
realistisch Das waumlren 3 m mal 4 m
Konzept fuumlr den Unterricht
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schuumllerinnen und Schuumller trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation
Mathematisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlbersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z B Term Gleichung Figur
Diagramm Funktion)
Rechnen Die Schuumllerinnen und Schuumller arbeiten mit dem
mathematischen Modell
Validieren I Die Schuumllerinnen und Schuumller uumlberpruumlfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle fuumlr eine Realsituation
Beurteilen Die Schuumllerinnen und Schuumller beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell
Realisieren Die Schuumllerinnen und Schuumller ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Mathematik ist spannend und nuumltzlich
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
wwwgreefrathde
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
3
3
88 88 855 dm
660000 dm
Quader
V = asup2 h
Anna und Paul haben den
Wasserbehaumllter im Wasser-
turm unterschiedlich model-
liert Anna bdquoMein Modell ist
besser denn meine Zahlen
passen besser als Paulsldquo
Uumlberpruumlfe und nimm Stel-
lung
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = rsup2 h
2 3
3
44 855 dm
520000 dm
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren
Rechnen
Validieren ja
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
ja
Offen ja
Authentisch ja
valide ja
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Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Mathematik ist spannend und nuumltzlich
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
wwwgreefrathde
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellierungsaufgabe
Loumlschwasserbehaumllter
Bestimme geeignete Maszlige eines
Loumlschwasserbehaumllters fuumlr den
Hubschraubertransport
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Diagnoseaufgabe zum
Validieren
1 Bestimme die ungefaumlhren
Abmessungen dieses
Loumlschwasserbehaumllters
2 Gib mindestens zwei Wege
an wie du uumlberpruumlfen kannst ob
dein Ergebnis korrekt ist
Teilkompetenzen
Vereinfachen
Mathematisieren 1
Rechnen 1
Validieren 2
Realisieren
Kriterien
Eigenproduktion
foumlrdernd
1 2
Offen 1 2
Authentisch 1 2
valide 2
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Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Mathematik ist spannend und nuumltzlich
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
wwwgreefrathde
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Die Sommerferien
beginnen haumlufig mit
vielen Kilometern
Stau in Deutschland
Im letzten Jahr waren
es an einem
Wochenende
insgesamt 180 km
Wie viele Menschen
befanden sich dann
vermutlich im Stau
Modellierungsaufgabe Stau
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Computeralgebrasystem
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren
mit Tabellenkalkulation
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Diagnoseaufgabe zum
Vereinfachen
Katja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie haben sich
uumlberlegt welche Informationen wichtig sein
koumlnnten Sie haben eine Liste von benoumltigten
Informationen erstellt Fuumlr welche dieser
Informationen wuumlrdest du dich entscheiden
Begruumlnde
- Fahrzeuglaumlnge
- Wetter
- Art des Fahrzeugs
- Benzinverbrauch
- Bundesland
- Abstand zum naumlchsten Pkw
- Anzahl der Fahrspuren
- Wochentag
- Jahreszeit
- Alter des Fahrers
- Anzahl der Mitfahrer
- Tageszeit
- Baustellen
- Ferienzeit
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Diagnoseaufgabe zum
ValidierenKatja und Toni wollen berechnen wie viele
Menschen sich vermutlich in einem Stau der
Laumlnge 180 km befinden Sie gehen davon aus
dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straszlige
benoumltigt und haben sich folgende Rechnungen
uumlberlegt
3 18000 4 =
3 18000 2 =
Vergleiche die beiden
Rechnungen und bewerte
sie
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
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( ) ( )
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bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Uumlbersicht
1 Der Begriff Modellieren
2 Untersuchungen zum Modellieren
3 Konzept fuumlr den Unterricht
4 Modellierungsaufgaben
und digitale Werkzeuge
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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mit Computeralgebrasystem
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mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
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Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
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( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Modellieren mit
Computereinsatzbull Beispielproblem
Zwei Autos fahren auf zwei
sich kreuzenden Straszligen
mit unterschiedlichen
Geschwindigkeiten
aufeinander zu Ein Auto
faumlhrt 60 kmh das andere
50 kmh Wird ein Unfall
geschehen
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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mit Computeralgebrasystem
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mit Tabellenkalkulation
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Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Modellieren
mit Dynamischer Geometrie
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Modellieren
mit Computeralgebrasystem
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Modellieren
mit Tabellenkalkulation
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
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Derive 6
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Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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mit Tabellenkalkulation
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Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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ClassPad
(im neuesten
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behoben)
Derive 6
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nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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wwwgreefrathde
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Realitaumlt
Kreuzungs-
problem
Autos stoszligen
nicht zusammen
Mathematik
Punkte auf 2 sich
schneidenden
Geraden
Abstand der
Punkte ist positiv
Dynamische
Geometrie
Punkt verschiebt
Schnittpunkt
Kreis-Gerade
Punkte beruumlhren
sich beim
Verschieben nicht
Computereinsatz und Realitaumltsbezug
Computer-
algebrasystem
Entfernung der
Punkte auf den
Geraden
Minimum der
Entfernung positiv
Reales
Problem
Aufgaben-
Loumlsung
Mathematisches
Problem
Mathematische
Loumlsung
Digitale
Medien
Rechner-
problem
Rechner-
loumlsung
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Finde eine Funktion fuumlr die gilt
bdquoGuteldquo CAS-Aufgaben
Das Problem
Welche Kompetenzen
uumlberpruumlft diese Aufgabe
3
1
( ) 0f x dx
mit CAS Werkzeugkompetenzen
ohne CAS inhaltliche Kompetenzen
Begruumlnde
Idee
Symmetrie
()
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
bull Einzug in die Richtlinien
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
eingeschraumlnkt Explorierenhellip
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
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bx bxg x a e e
g
g
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( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Einsatz im Unterricht
Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wuumlnschenswert und notwendig
bull Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten
bull Unterstuumltzen von Entdeckungs- und Lernprozessen
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Einsatz in Pruumlfungen
Mathematische Kompetenzen die mit
digitalen Werkzeugen erworben wurden
kann man auch ohne Werkzeuge messen
bull bdquoGute CAS-Aufgabenldquo fuumlr die Pruumlfung gibt es nicht
bull Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Pruumlfung
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
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Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
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bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
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Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
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g
g
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( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
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vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
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bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
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Modellieren unterstuumltzen
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Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
bull Pruumlfungen haben eine starke normative Wirkung auf den
Unterricht
bull Zusammenspiel Kompetenzerwerb
Kompetenzuumlberpruumlfung sollte fuumlr die Lehrenden
offensichtlich sein
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Anwendungssituationen
Pruumlfungsaufgaben sollen einen authenti-schen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen)
bull Pruumlfungsaufgaben kleinschrittiger
bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
bull Trennung von Kalkuumll und Modellierung
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
Symmetrie
Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) uumlber
Symmetrie von Funktionen Welche
Symmetrien gibt es Wie findet man sie
heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
Symmetrie fuumlr die Arbeit mit Funktionen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
mit Anwendungscharakter
a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
bull Reflexion von Mathematik im Alltag
bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
Zentralabitur)
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Prof Dr Gilbert Greefrath
Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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ClassPad
(im neuesten
Softwareupdate
behoben)
Derive 6
Voyage 200
nach laumlngerer
Rechenzeit
entsprechend
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Unterrichtsentwicklung
Der Einsatz digitaler Werkzeuge im
Unterricht als Voraussetzung fuumlr die
Pruumlfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein
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offensichtlich sein
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bull authentische Anwendungen schwieriger
bull nur Teilschritte des Modellierens
bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
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i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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bull bloszlige Einkleidungen vermeiden
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
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heraus Welchen Nutzen hat die Kenntnis von
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
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a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
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bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
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Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
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Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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Beispiel fuumlr (anwendungsfreie)
Aufgabenbausteine
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Beispiel fuumlr Aufgabenbausteine
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a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel in
dem die Integralrechnung verwendet
werden kann (in 10-15 Zeilen)
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bull Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben
bull Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz
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b)
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ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
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Verschiedene CAS-Systeme
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Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
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bull CAS koumlnnen die Veraumlnderung der Aufgaben beschleunigen
bull Aufgaben ohne CAS-Einsatz muumlssen gleichzeitig veraumlndert werden
bull Die einseitige Veraumlnderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Pruumlfungen und damit auch im Unterricht
bull Zur Vermeidung technischer Probleme muumlssen CAS-Lehrplaumlne bzw Vorgaben entstehen
Universitaumlt zu KoumllnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt
Seminar fuumlr Mathematik und ihr Didaktik
Prof Dr Gilbert Greefrath
Ruumlckblick und Ausblick
bull Modellierungskompetenzen haumlngen mit
anderen Kompetenzen zusammen (z B
Problemloumlsen Werkzeugeinsatz)
bull Aufgaben zu Teilkompetenzen koumlnnen
Modellieren unterstuumltzen
bull Bedeutung des Computers beim Modellieren
nicht unterschaumltzen
bull Pruumlfungsaufgaben koumlnnen Modellierungs-
anteile im Unterricht etablieren
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Mathematik ist spannend und nuumltzlich
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b)
i) Diskutiere welches der folgenden mathematischen Modelle fuumlr die Beschreibung des Erdoumllverbrauchs in BelgienLuxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist Lineares Wachstum quadratisches Wachstum beschraumlnktes Wachstum exponentielles Wachstum
ii) Das Erdoumllvorkommen ist beschraumlnkt Handelt es sich daher auch um beschraumlnktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht Begruumlnde deine Antwort
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
[Idee J Weitendorf]
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bull Spricht Teilprozesse des Modellierens (z B Vereinfachen Mathematisieren Validieren Interpretieren) an
bull Pruumlfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur fuumlhren
bull Modellieren koumlnnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen
bull Es muumlssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung)
bull ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Uumlberpruumlfungen
[Greefrath Leuders Pallack 2008]
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Verschiedene CAS-Systeme
in zentralen Abiturpruumlfungen
bull Handhabung
bull Rechentechnische Moumlglichkeiten
bull Rechengeschwindigkeit
bull Unterschiedliche Loumlsungsmoumlglichkeiten
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Rechentechnische Moumlglichkeiten Beispiel Die Bruumlcke uumlber den Groszligen Belt
Mitte 1998 wurde in Daumlnemark eine Verbindung uumlber den Groszligen Belt eingeweiht Hauptbestandteil ist die Ostbruumlcke ndash eine 6790 Meter lange Haumlngebruumlcke ndashmit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m Die Durchfahrtshoumlhe fuumlr den Schiffverkehr betraumlgt 65m die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Houmlhe uumlber dem Meeresspiegel die groumlszligte Erhebung Daumlnemarks Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca 3m uumlber der Fahrbahn
[Muumlhlenfeld Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW]
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x
189
8123
( ) ( )
(0) 3
(812) 189
bx bxg x a e e
g
g
Das Kabel laumlsst sich annaumlhernd auch durch den Graphen
der Funktion g mit
( ) ( ) 0b x b xg x a e e a b
beschreiben Bestimmen Sie a und b
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Folgerungenbull Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben haumlngen nicht
vom CAS-Einsatz ab (AF Begruumlnden Kontext Mathematisieren)
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