Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Die Belegschaft eines Betriebes wirdnach Rauchern und Nichtrauchern ein-geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Also haben wir:

Allgemein definiert man:

Hier noch ein Beispiel zur bedingtenWahrscheinlichkeit

Drei Personen A, B und C befindensich im Gefängnis.Einer von den dreien ist zum Tode verurteilt,aber keiner der drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid.Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wervon den beiden anderen, B oder C, exekutiertwerden wird.

Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.

Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p die

Antwort „B“ gibt und mit Wahrscheinlichkeit1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er

wahrheitsgemäß.

Formel von der totalenWahrscheinlichkeit

Einkommensverteilung der Haushaltein einer bestimmten Gegend

Anteil der Haushalte, die ein Auto> DM 40 000,- anschaffen, in denverschiedenen Einkommensklassen

Es ergibt sich:

Also nach der Formel für die totaleWahrscheinlichkeit:

5

Allgemein:

Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz von Bayes

Satz von Bayes

In einer Stadt vermutet man, dass fürdie Bevölkerung die folgende Aufteilungin Deutsche, Italiener und Ausländer, diekeine Italiener sind, besteht:

wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteilvon Personen in der Bevölkerungsgruppeangibt, die gerne Spaghetti bestellen.

(Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)

Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassdieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oderein nicht-italienischer Ausländer ist?

D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“

Nach der Formel für die totale Wahr-scheinlichkeit hat man:

Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

Satz von Bayes

Lernen aus ErfahrungBeispiel

Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:

A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün

Die Wahrscheinlichkeiten für diedrei Möglichkeiten sind unbekannt.Wir setzen:

P(A1) = p1P(A2) = p2P(A3) = p3

Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen.

Nehmen wir nun an, dass dasEreignis B geschieht.

„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“

B

Dann hat man:

Nach dem Satz von Bayeserhalten wir:

Ebenso:

Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeitfür A3 gegeben B dem Wert 1,während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.

Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:

Grundbegriffe

der (deskriptiven) Statistik

der Wahrscheinlichkeitstheorie

Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

Beispiel „Haushaltsgröße“

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)

Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen

VerteilungVerteilungsfunktion

WahrscheinlichkeitsfunktionWahrscheinlichkeitsdichte

Verteilung

Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr-scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen

diskret stetig

diskret

f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion

von X

stetig

f nennt man Dichtefunktion

von X

Verteilungsfunktion

diskret stetig

diskret

stetig

Erwartungswert und Varianz I

Der endliche Fall

Erwartungswert

Varianz

Beispiel „Haushaltsgröße“

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)

Der diskrete unendliche Fall

Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz II

Der stetige Fall

f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz III

Gegeben seien n Zufallsvariablen

Dann gilt immer:

Wenn gilt

dann hat man auch

Gleichheit von Bienaymé