Beispiel zur Bemessung einer Spannbetonbrücke · Es gibt tägliche und jahreszeitliche...

Beispiel zur Bemessung einer Spannbetonbrücke _________________________________________________________________________________

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Beispiel zur Bemessung einer Spannbetonbrücke Betrachtet wird eine zweifeldrige Straßenbrücke mit Einzelstützweiten von je 18,00 m. Der Überbau wird in einem Guss hergestellt, so entfällt der Nachweis von Bauzuständen. Der Überbau wird als Spannbetonbauteil hergestellt. In Brückenlängsrichtung kommen Spannglieder mit nachträglichem Verbund zum Einsatz. In Querrichtung ist die Brücke schlaff bewehrt. Die Spannglieder laufen über die gesamte Länge durch und werden nicht gestoßen. Im Rahmen dieser Bemessung werden nur die nachfolgenden Bereiche betrachtet: Endauflager, maximales Feldmoment (bei ca. 0,4·L), Mittelstütze, Momentennullpunkt. 1. System Grundriss:

Querschnitt:


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statisches System

weitere Kennzeichen: Kreuzungswinkel zwischen Brückenachse Auflagerachsen: 100 gon bzw. 90° Höhe zwischen Geländeoberkante und Unterkante Konstruktion: 5,00 m 2. Anforderungen an die Dauerhaftigkeit: DIN Fb 102, 4.1.1 Bewehrungskorrosion: Karbonatisierungsinduziert: XC4 → C 25/30 Chloridinduziert: XD1 → C 30/37 Betonangriff: XF2 → C 25/30 gewählt: C 35/54 Betondeckung für den Betonstahl: Korrosion: XC4 cmin = 25 mm XD1 cmin = 40 mm (maßgebend) Δc = 15 mm cnom = 55 mm (maßgebend) Verbund: ds,max = 28 mm cmin = 28 mm Δc = 15 mm cnom = 43 mm Betondeckung für den Spannstahl: Verbund: Hüllrohrdurchmesser da = 82 mm cmin = 82 mm Δc = 15 mm cnom = 97 mm nach DIN Fb 4.1.1.3 cnom ≥ 100 mm (maßgebend) (unter der Oberfläche von Fahrbahnplatten) Baustoffe: Beton: C 35/45 fck = 35/ N/mm² fctm = 3,2 N/mm² fctk,0,05 = 2,2 N/mm² Ecm = 33300 N/mm² Betonstahl: BSt 500 S Es = 200000 N/mm² Spannstahl: St 1570/1770 fp0,1k = 1500 N/mm² fpk = 1770 N/mm² Ep = 195000 N/mm²


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3. Querschnittswerte: beff = Σbeff,i + bw Feldbereich: beff = 4,25 m Stützbereich: beff = 2,97 m Zusammenstellung der wichtigsten Werte: Feldquerschnitt Stützenquer-

schnitt

Ac m² 1,963 1,632 Querschnittsfläche zco m -0,333 -0,374 Schwerpunktsabstand obere Randfaser zcu m 0,667 0,626 Schwerpunktsabstand untere Randfaser zcp m 0,529 -0,236 Schwerpunktsabstand Spannglied Ic m4 0,154 0,135 Trägheitsmoment Wco m³ -0,461 -0,362 Widerstandsmoment Wcu m³ 0,230 0,216 Widerstandsmoment Feldbereich:

Stützbereich:


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4. Einwirkungen (charakteristische Werte) Die nachfolgenden Einwirkungen verstehen sich als Einwirkungen pro Steg. 4.1 Ständige Einwirkungen (Eigengewicht) Konstruktionseigengewicht: g1 = 1,963 · 25 = 49,1 kN/m Ausbaulasten: g2 Kappen: 0,3025 · 25 = 7,6 kN/m Leitplanke: = 0,3 kN/m Geländer: = 0,3 kN/m Belag: 7 cm 0,07 · 3,00 · 25 = 6,0 kN/m Gradientenausgleich: 0,50 · 3,00 = 1,5 kN/m g2 = 15,6 kN/m 4.2 Einwirkungen aus Verkehr 4.2.1 Vertikale Verkehrslast Aufteilung der Fahrbahn in Fahrstreifen:

Für unser Beispiel ergeben sich 2 Fahrbahnen und keine Restfläche.


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Weitere Lastmodelle wie das LM 2 (geeignet für Brücken mit sehr kurzen Stützweiten) und das LM 4 (Ermüdungslastmodell) werden im Rahmen dieses Beispiels nicht untersucht. Weitere Verkehrslasten: Verkehrslasten auf Kappen: 5,00 kN/m² (ermäßigt q = 2,5 kN/m²) Fb 101, IV, 5.3.2.1 Fb 101, IV, 4.5.1 Die Lasten sind entsprechend der Quereinflusslinie zu verteilen:

Daraus ergeben sich folgende Belastungen für einen Längsträger: Lastmodell 1: TS-System: 120 · (0,68 + 0,55) = 147,6 kN / Achse 80 · (0,48 + 0,33) = 64,8 kN / Achse Summe: = 212,4 kN / Achse UDL:

Fahrstreifen 1 00,300,92

50,071,0⋅⋅

+ = 16,3 kN/m

Fahrstreifen 2 00,350,22

32,050,0⋅⋅

+ = 3,1 kN/m

Summe = 19,4 kN/m Verkehrslast auf den Kappen:

Kappe 1 50,100,52

71,080,0⋅⋅

+ = 5,6 kN/m (2,8)

Kappe 2 50,100,52

20,032,0⋅⋅

+ = 2,0 kN/m (1,0)

Summe = 7,6 kN/m (3,8) Die Klammerwerte gelten für eine abgeminderte Verkehrslast auf den Kappen (2,5 kN/m²).


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4.2.1 Horizontale Verkehrslasten (DIN Fb 101, 4.4.1): Qlk = 0,6·αQ·(2·Qlk)+0,10·αql·q1k·wl·L mit 360·αql ≤ Qlk≤ 900 kN Qlk = 0,6 · 0,8 · ( 2 · 300 ) + 0,10 · 1,0 · 9,0 · 3,0 · 36,0 = 385,2 kN Zentrifugalkräfte treten nicht auf, da der Krümmungsradius unendlich groß ist. 4.3 Einwirkungen aus Wind (DIN Fb 101, IV, Anhang N, Tab. N.1) Als Parameter werden berücksichtigt: Querschnittsform Höhe über Gelände mit bzw. ohne Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand 4.3.1 Windbeanspruchung ohne Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand

Situation Eingangswerte: b = 9,00 m d = 1,07 m (OK Fahrbahn – UK Konstruktion) b/d = 9,00 / 1,07 = 8,41 ≥ 5 ze = 5,00 +2,17 / 2 = 6,09 m → w = 1,90 kN/m² 17,290,1wk ⋅= = 4,1 kN/m ew´ = 2,17 / 2 – 0,67 = 0,42 m


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4.3.2 Windeinwirkung mit Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand

Situation Eingangswerte: b = 9,00 m d = 3,07 m b/d = 9,00 / 3,07 = 2,93 ze = 5,00 + 3,07 / 2 = 6,54 m → w = 1,97 kN/m² (interpoliert) 07,397,1wk ⋅= = 6,0 kN/m ew´ = 3,07 / 2 – 0,67 = 0,87 m Die Brücke ist nicht schwingungsanfällig. 4.4 Einwirkungen aus Temperatur (DIN Fb 101, Anhang V, 6.3.1.1) Es gibt tägliche und jahreszeitliche Temperaturschwankungen, denen die Brücke ausgesetzt ist. Das dabei entstehende Temperaturprofil kann in 4 Anteile aufgeteilt werden. a) konstanter Temperaturanteil, ΔTN b) linear veränderlicher Temperaturanteil in der x-z-Ebene ΔTMz c) linear veränderlicher Temperaturanteil in der x-y-Ebene ΔTMy d) nicht-lineare Temperaturverteilung ΔTE


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Im folgenden werden nur die konstanten und linearen Temperaturunterschiede in der x-y-Ebene betrachtet. Temperaturschwankungen: Extremwerte der Temperatur in Deutschland: Tmax = 37 °C Tmin = – 24 °C Extremwerte der effektiven Brückentemperatur: Betonbrücken → Gruppe 3 → Te,max = 37 °C Te,min = – 17 °C Aufstelltemperatur: T0 = 10 °C Temperaturschwankungen, bezogen auf T0 = + 10 °C: ΔTN,neg = Te,min – T0 = – 27 K ΔTN,pos = Te,max – T0 = 27 K Temperaturschwankungen insgesamt: ΔTN = Te,max – Te,min = 54 K Lager und Übergänge: Für die Berechnung der Bewegungsschwankungen (z. B. bei der Bemessung von Lagern und Dehnungsfugen) muss, sofern keine anderen Werte vorliegen, die maximale Schwankung des positiven Temperaturanteils zu ΔTN + 20 K und die maximale Schwankung des negativen Temperaturanteils zu ΔTN – 20 K angenommen werden. Wenn die mittlere Bauteiltemperatur beim Herstellen der endgültigen Verbindung mit den Lagern und bei der Ausbildung von Dehnfugen bekannt ist, kann der Wert von 20 K auf 10 K reduziert werden. Lineare Temperaturunterschiede (Fb 101, Kap. V, 6.3.1.4) Vereinfachend wird der Einfluss aus linearem Temperaturunterschied durch eine positive und negative Temperaturdifferenz erfasst. Betonbrücken → Gruppe 3 → ΔTM,pos(50) = 15 °C ΔTM,neg(50) = – 8 °C und Ksur(70) = 0,88 (Oberseite wärmer) Ksur(70) = 1,00 (Unterseite wärmer) ΔTM,pos(70) = ΔTM,pos(50) · Ksur(70) = 13,2 K ΔTM,neg(70) = ΔTM,neg(50) · Ksur(70) = – 8 K Im allgemeinen braucht die lineare Temperaturunterverteilung nur in vertikaler Richtung berücksichtigt zu werden. In besonderen Fällen sollte man jedoch den horizontalen Temperaturgradienten beachten. Für diese Fälle darf ein Temperaturunterschied von 5 K angesetzt werden, wenn keine anderen Informationen vorhanden sind und keine Hinweise auf höhere Werte vorliegen. Kombination der Temperatureinwirkungen Fall 1: ΔTM + 0,35 · ΔTN Fall 2: ΔTN + 0,75 · ΔTM


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4.5 Baugrundbewegungen (DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 und 2.3.4) Grundsätzlich ist zwischen der möglichen und der wahrscheinlichen Baugrundbewegung zu unterscheiden. 4.5.1 mögliche Baugrundbewegungen Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit Δsm = 2,0 cm 4.5.2 wahrscheinliche Baugrundbewegungen Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Δsw = 1,0 cm Werte in Absprache mit dem Baugrundgutachter


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4.6 Vorspannung


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Schnittgrößen inf. Vorspannung an statisch unbestimmten Systemen


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4.6.1 Spannverfahren Als Spannverfahren wird ein Litzenspannverfahren mit 9 Litzen je Spannglied gewählt. Wichtigste Daten gemäß Zulassung für ein Spannglied von SUSPA-DSI, Typ 6-9: Querschnitt je Spannglied Ap = 12,6 cm² Hüllrohrdurchmesser di = 65 mm da = 72 mm Reibungsbeiwert µ = 0,21 Ungewollter Umlenkwinkel: k = 0,30 °/m Verankerungsschlupf Δl = 3 mm Zugfestigkeit fpk = 1770 N/mm² 0,1 %-Dehngrenze fp0,1k = 1500 N/mm² Alle Werte der Vorspannkraft basieren auf dem Mittelwert der Vorspannkraft. Der Mittelwert der Vorspannkraft Pmt zu einem bestimmten Zeitpunkt t ergibt sich im Allgemeinen zu: Pmt = P0 – ΔPc – ΔPt(t) – ΔPµ(x) – ΔPsl (1) hierin sind:

Pmt Mittelwert der Vorspannkraft zur Zeit t an einer Stelle x längs des Bauteils P0 Kraft am Spannende während des Spannvorgangs ΔPc Spannkraftverlust inf. elastischer Verformung des Bauteils bei der

Spannkraftübertragung ΔPt(t) Spannkraftverluste infolge Kriechen, Schwinden und Relaxation zur Zeit t ΔPµ(x) Spannkraftverluste infolge Reibung ΔPsl Spannkraftverluste infolge Verankerungsschlupf

Die am Spannglied aufgebrachte Höchstkraft P0 ist nach DIN 1045-1 auf den folgenden Wert zu begrenzen: P0 = Ap · σ0,max (2) hierin sind: Ap Querschnittsfläche des Spannstahls σ0,max maximal auf das Spannglied aufgebrachte Spannung = 0,80 · fpk oder = 0,90 · fp0.1k (der kleinere Wert ist maßgebend) Eine Überschreitung ist nur zulässig, wenn z. B. während des Spannvorgangs eine unerwartet hohe Reibung eintritt (d. h. nicht planmäßig). Unter der Voraussetzung, dass die Spannpresse eine Genauigkeit der aufgebrachten Spannkraft von ± 5%, bezogen auf den Endwert der Vorspannkraft sicherstellt, darf die höchste Pressenkraft auf 0,95 · fp0,1k · Ap gesteigert werden. Neben der maximalen Pressenkraft P0 ist auch die Vorspannkraft Pm0 nach DIN 1045-1 zu begrenzen. Pm0 bezeichnet die Vorspannkraft, die zum Zeitpunkt t = t0 unmittelbar nach dem Absetzen der Pressenkraft auf den Anker (Spannen mit nachträglichem Verbund) oder nach dem Lösen der Verankerung (Spannen mit sofortigem Verbund) auf den Beton aufgebracht wird.


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Pm0 = Ap · σpm0’ (3) hierin sind:

σpm0 Spannung im Spannglied unmittelbar nach dem Spannen oder der Krafteinleitung

= 0,75 · fpk oder = 0,85 · fp0,1k (der kleinere Wert ist maßgebend)

Charakteristische Werte der Vorspannkraft Bei gewissen Nachweisen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und bei dem Ermüdungsnachweis sind mögliche Streuungen der Vorspannkraft zu berücksichtigen. Dazu werden in DIN 1045-1 zwei charakteristische Werte der Vorspannkraft festgelegt: Pk,sup = rsup · Pmt (4) Pk,inf = rinf · Pmt (5) hierin sind Pk,sup = oberer charakteristischer Wert (superior) Pk,inf = unterer charakteristischer Wert (inferior) Pmt = Mittelwert der Vorspannkraft zum Zeitpunkt t rsup = 1,05 (sofortiger / ohne Verbund) = 1,10 (nachträglicher Verbund) rinf = 0,95 (sofortiger / ohne Verbund) = 0,90 (nachträglicher Verbund) Der Ansatz der Streuungen der Vorspannkraft erhöht zwar den Rechenaufwand, ist aber für bestimmte Nachweise, die sehr empfindlich auf kleine Änderungen der Eingangswerte reagieren, sinnvoll (z. B. Nachweis der Dekompression, Rissbreitenbeschränkung, Öffnung von Fugen, Ermüdungsnachweis). Für alle anderen Nachweise reicht i. d. R. ein Nachweis auf Grundlage des Mittelwertes der Vorspannkraft aus. Die Bestimmungsgleichungen der Spannkraftverluste infolge zeitabhängigen Materialverhaltens und Reibung sind lediglich Abschätzungen und mit Fehlern behaftet. Man kann an den Streuungsbeiwerten rsup und rinf erkennen, dass bei Verfahren mit nachträglichem Verbund, bei denen sowohl zeitabhängige als auch Verluste aus Reibung auftreten, die größten Werte angesetzt werden müssen. Bei Vorspannung mit sofortigem oder ohne Verbund können hingegen niedrigere Werte verwendet werden, da Reibungsverluste nahezu oder ganz wegfallen. Die Beiwerte rsup und rinf beziehen sich immer auf die gesamte Vorspannwirkung und nicht etwa auf einzelne Spannglieder. Bemessungswert der Vorspannung Für den Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit wird der Bemessungswert der Vorspannung Pd benötigt: Pd = γp · Pmt (6)


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wobei der Teilsicherheitsbeiwert γp nach DIN 1045-1 generell zu 1,0 gesetzt werden darf. Folglich braucht eine mögliche Streuung der Vorspannkraft im Grenzzustand der Tragfähigkeit (Ausnahme Ermüdungsnachweis) nicht berücksichtigt zu werden. Spannkraftverluste infolge Reibung Beim Vorspannen mit nachträglichem oder ohne Verbund geht vor allem bei gekrümmten Spanngliedern ein Teil der Vorspannkraft durch Reibung verloren. Die Vorspannkraft ist deshalb über die Spanngliedlänge nicht konstant. Mathematisch wird dieser Reibungsverlust durch die Differentialgleichung der Seilreibung beschrieben:

P(x) = P0 · e-µ·φ(x) bzw. nach Schreibweise der DIN 1045-1

P(x) = P0 · (1 - e-µ·(Θ+k·x)) (7) Spannkraftverluste infolge Kriechen und Schwinden Da die Vorspannung im allgemeinen zur Sicherstellung angemessener Dauerhaftigkeit (Korrosionsschutz der Bewehrung durch Begrenzung der Rissbildung) oder zur Einhaltung von Durchbiegungsbegrenzungen eingesetzt wird, ist es wichtig zu wissen, wie sich durch Kriechen und Schwinden des Betons sowie durch die Relaxation des Spannstahls die Vorspannkraft mit der Zeit ändert. Der Einfluss von Kriechen und Schwinden auf die Verformungen kann in guter Näherung durch das Berechnungsverfahren von Trost berücksichtigt werden, welches in folgender Form in die DIN 1045-1 aufgenommen wurde:

[ ]),(8,0111

)(),(),(

02

000,

ttzIA

AA

ttEtt

cpc

c

c

pp

cpcgpprscsrscp

ϕα

σσϕασεσ

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⋅⋅+Δ+⋅=Δ ++ (8)

hierin sind:

Δσp,c+s+r Spannungsänderung im Spannstahl infolge Kriechen, Schwinden und Relaxation

εcs(t,t0) Schwindmaß nach DIN 1045-1 αp Verhältnis (Ep/Ecm) der Elastizitätsmoduln des Spannstahls und des

Betons


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Δσpr Spannkraftänderung in den Spanngliedern an der Stelle x infolge Relaxation (Δσpr < 0)

φ(t,t0) Kriechzahl des betons nach DIN 1045-1 σcg Betonspannung in Höhe der Spannglieder unter der quasi-ständigen

Einwirkungskombination σcp0 Anfangswert der Betonspannung in Höhe der Spannglieder infolge der

Vorspannung Der Relaxationsverlust Δσpr im Spannstahl an der Stelle x darf für ein Verhältnis Ausgangsspannung / charakteristische Zugfestigkeit (σp0 / fpk) bestimmt werden mit einer Ausgangsspannung von σp0 = σpg0 – 0,3·Δσp,c+s+r , wobei σpg0 die anfängliche Spannstahlspannung aus Vorspannung und ständigen Einwirkungen ist. Zur Vereinfachung und auf der sicheren Seite liegend darf darin der zweite Ausdruck vernachlässigt werden. Für Tragwerke des üblichen Hochbaus darf σp0 zu 0,95·σpg0 angenommen werden. Ansonsten ist Δσpr iterativ zu ermitteln. Spannkraftverluste infolge elastischer Bauteilverkürzung Bei der Vorspannung mit nachträglichem Verbund und ohne Verbund werden die einzelnen Spannglieder nacheinander vorgespannt, da natürlich nicht für jedes Spannglied eine Presse vorgehalten werden kann. Durch die Bauteilverkürzung beim Spannen eines Spannglieds verlieren die bereits vorher gespannten Spannglieder einen Teil ihrer Vorspannung. Wird ein Spannglied mit der Kraft P´0 angespannt, dann berechnet sich die Bauteilverkürzung ΔL unter Vernachlässigung der Momentenwirkung zu:

ΔL = cncm

´0

AELP

⋅⋅

Die Gesamtverkürzung des ersten Spannglieds durch das Spannen von (n-1) weiteren Spanngliedern beträgt dann:

ΔL = (n – 1) cncm

´0

AELP

⋅⋅

Hiermit ergibt sich der Spannkraftverlust im ersten Spannglied zu:

ΔP0 = (n – 1) P´o·cncm

pp

AEAE

⋅

⋅


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Spanngliedführung:

Die parabelförmige Spanngliedführung wurde so gewählt, dass die maximalen Stiche ausgenutzt wurden und die Stellen des maximalen Momentes aus den äußeren Einwirkungen und der Vorspannung in etwa gleich sind. Parabel 1: Bedingung: für x = 0: f(x) = 0 für x = 7,20 f(x) = 0,529 für x = 7,20 f´(x) = 0 Parabelgleichung: f(x) = a·x² + b·x + c = 0 → a = – 0,01020 b = + 0,14694 c = 0 Parabel 2: Bedingung: für x = 18,00 f(x) = – 0,195 für x = 18,00 f´(x) = 0 für x = 14,40 f´(x) = – 0,14682 für x = 14,40 f(x) = 0 Parabelgleichung: f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d = 0 → a = – 0,002970 b = + 0,164717 c = – 3,0433 d = + 18,5352


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Spanngliedlage

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,00

0,72

1,44

2,16

2,88

3,60

4,32

5,04

5,76

6,48

7,20

7,92

8,64

9,36

10,0

8

10,8

0

11,5

2

12,2

4

12,9

6

13,6

8

14,4

0

15,1

2

15,8

4

16,5

6

17,2

8

18,0

0

x [m]

z [m

]

5. Schnittgrößen 5.1 Schnittgrößen aus ständigen Einwirkungen Konstruktionseigengewicht: M1 = 1,110 MNm MB = - 1,986 MNm VA = 0,331 MN VB = - 0,552 MN Ausbaulast: M1 = 0,353 MNm MB = - 0,631 MNm VA = 0,105 MN VB = - 0,176 MN


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5.2 Schnittgrößen aus Verkehr 5.2.1 Vertikale Verkehrslast

Einflusslinie MB

Einflusslinie MFeld 1 Fahrstreifen 1 aus UDL: M1 = 0,502 MNm MB = - 0,660 MNm VA = 0,128 MN VB = - 0,183 MN TA = 0,110 MNm TB = - 0,110 MNm aus TS: M1 = 1,097 MNm MB = - 0,510 MNm VA = 0,286 MN VB = - 0,286 MN TA = 0,131 MNm TB = - 0,131 MNm


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Fahrstreifen 2 aus UDL: M1 = 0,095 MNm MB = - 0,126 MNm VA = 0,024 MN VB = - 0,035 MN TA = - 0,031 MNm TB = 0,031 MNm aus TS: M1 = 0,482 MNm MB = - 0,224 MNm VA = 0,126 MN VB = - 0,126 MN TA = - 0,087 MNm TB = - 0,087 MNm Verkehrslast auf den Kappen: Kappe 1: M1 = 0,172 MNm MB = - 0,227 MNm VA = 0,044 MN VB = - 0,063 MN TA = 0,077 MNm TB = - 0,077 MNm Kappe 2: M1 = 0,061 MNm MB = - 0,081 MNm VA = 0,016 MN VB = - 0,023 MN TA = - 0,077 MNm TB = 0,077 MNm 5.2.2 Horizontale Verkehrslast aus Anfahren und Bremsen: NQlk = ± 0,385 MN MQlk = 0,155 MNm 5.3 Schnittgrößen infolge Wind (bezogen auf den Gesamtquerschnitt) 5.3.1 aus Windbeanspruchung ohne Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand M1,z = 0,093 MNm MB,z = - 0,166 MNm VA,y = 0,028 MN VB,y = - 0,046 MN TA = 0,016 MNm TB = - 0,016 MNm 5.3.2 aus Windbeanspruchung mit Verkehrsband bzw. Lärmschutzwand M1,z = 0,136 MNm MB,z = - 0,243 MNm VA,y = 0,041 MN VB,y = - 0,068 MN TA = 0,047 MNm TB = - 0,047 MNm


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5.4 Schnittgrößen infolge Temperatur hier nur aus linearem Temperaturunterschied: Biegesteifigkeit eines Steges E·Iy = 33300·0,154 = 5128 MNm² Konstruktionshöhe h = 1,00 m Wärmedehnkoeffizient αt = 10·10-6

Oberseite wärmer: Stütze B MΔT,M,pos = 1,5·13,2·10·10-6·5128 / 1,00 = 1,015 MNm Feld 1 MΔT,M,pos = 0,4 · 1,015 = 0,406 MNm Oberseite kälter: Stütze B MΔT,M,neg = 1,5·8,0·10·10-6·5128 / 1,00 = 0,616 MNm Feld 1 MΔT,M,neg = 0,4 · 0,616 = 0,246 MNm 5.5 Schnittgrößen infolge Baugrundbewegungen 5.5.1 Schnittgrößen infolge möglicher Baugrundbewegung Δsm = 2 cm Biegesteifigkeit eines Steges E·Iy = 33300·0,154 = 5128 MNm² Stütze B MΔs,m = 3,0·0,02·5128 / 18,0² = 0,950 MNm Feld 1 MΔs,m = 0,4 · 0,950 = 0,380 MNm 5.5.2 Schnittgrößen infolge wahrscheinlicher Baugrundbewegung Δsw = 1 cm Stütze B MΔs,m = 3,0·0,01·5128 / 18,0² = 0,475 MNm Feld 1 MΔs,m = 0,4 · 0,475 = 0,190 MNm 5.5 Schnittgrößen infolge Vorspannung Vorspannkraft nach dem Absetzen der Pressenkraft: Pm0 = Ap · σpm0’

σpm0 Spannung im Spannglied unmittelbar nach dem Spannen oder der Krafteinleitung

= 0,75 · fpk oder = 0,75 · 1770 = 1328 N/mm² = 0,85 · fp0,1k = 0,85 · 1500 = 1275 N/mm² (der kleinere Wert ist maßgebend)

Pm0 = 4 · 12,6 · 1275 · 10-4 = 6,426 MN zulässige Vorspannkraft während des Anspannvorgangs: P0 = Ap · σ0,max (2) Ap Querschnittsfläche des Spannstahls σ0,max maximal auf das Spannglied aufgebrachte Spannung = 0,80 · fpk oder = 0,80 · 1770 = 1416 N/mm² = 0,90 · fp0.1k = 0,90 · 1500 = 1350 N/mm² (der kleinere Wert ist maßgebend) möglicher Anspannfaktor =1350/ 1275 = 1,0588 (Überspannung 5,88 %)


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Momente inf. Vorspannung

-4,0000

-3,0000

-2,0000

-1,0000

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

0,00

0

0,90

0

1,80

0

2,70

0

3,60

0

4,50

0

5,40

0

6,30

0

7,20

0

8,10

0

9,00

0

9,90

0

10,8

00

11,7

00

12,6

00

13,5

00

14,4

00

15,3

00

16,2

00

17,1

00

18,0

00

Mp,dir

Mp,ind.

Mp,ges.

Momente

-3,400

-2,900

-2,400

-1,900

-1,400

-0,900

-0,400

0,100 0,600 1,100 1,600 2,100

0,000 0,900 1,800 2,700 3,600 4,500 5,400 6,300 7,200 8,100 9,000 9,900 10,80011,70012,60013,50014,40015,30016,20017,10018,000

Verkehrslast q einseitig inf. UDLVerkehrslast q beidseitig inf UDLEigengewicht


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Vorspannkraft

Reibungsverluste Kraft Kraft beidseitiges Anspannen wechselseitiges Anspannen

x Spanngliedlage zp [m]

Θ = arctan (Δz/Δx)

ΔΘ ΣΔΘ k . x e−μ ( Θ+k x ) Anspann-faktor e+μ ( Θ+k x ) Nachlass-faktor

evtl. 2. An-

spannen

je Spann-glied

(Anspan-nen)

je Spann-glied

(Nachlas-sen)

Pµ (x) [MN]

Pµ,links (x)

[MN] Pµ,rechts (x) [MN]

Pµ,ges. (x)

[MN]

0 0,0000 0,0000 0,1369 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 1,0588 1,0000 0,9444 1,0000 1,7010 1,5173 6,0690 6,0690 5,5038 5,7864 1 0,9000 0,1240 0,1188 0,0181 0,0181 0,0047 0,9952 1,0538 1,0048 0,9490 0,9952 1,6929 1,5245 6,0981 6,0981 5,5302 5,8141 2 1,8000 0,2314 0,1007 0,0181 0,0362 0,0094 0,9905 1,0487 1,0096 0,9535 0,9905 1,6848 1,5319 6,1274 6,1274 5,5568 5,8421 3 2,7000 0,3224 0,0825 0,0182 0,0544 0,0141 0,9857 1,0437 1,0145 0,9581 0,9857 1,6767 1,5393 6,1570 6,1570 5,5836 5,8703 4 3,6000 0,3967 0,0642 0,0183 0,0727 0,0188 0,9810 1,0387 1,0194 0,9628 0,9810 1,6686 1,5467 6,1868 6,1868 5,6106 5,8987 5 4,5000 0,4546 0,0459 0,0183 0,0910 0,0236 0,9762 1,0337 1,0244 0,9674 0,9762 1,6606 1,5542 6,2168 6,2168 5,6378 5,9273 6 5,4000 0,4959 0,0275 0,0183 0,1094 0,0283 0,9715 1,0287 1,0293 0,9721 0,9715 1,6525 1,5617 6,2470 6,2470 5,6652 5,9561 7 6,3000 0,5207 0,0092 0,0184 0,1277 0,0330 0,9668 1,0237 1,0343 0,9769 0,9668 1,6446 1,5693 6,2773 6,2773 5,6927 5,9850 8 7,2000 0,5290 -0,0092 0,0184 0,1461 0,0377 0,9621 1,0187 1,0393 0,9816 0,9621 1,6366 1,5770 6,3078 6,3078 5,7203 6,0141 9 8,1000 0,5207 -0,0275 0,0184 0,1644 0,0424 0,9575 1,0138 1,0444 0,9864 0,9575 1,6287 1,5846 6,3384 6,3384 5,7481 6,0433 10 9,0000 0,4959 -0,0459 0,0183 0,1828 0,0471 0,9529 1,0089 1,0495 0,9912 0,9529 1,6208 1,5923 6,3692 6,3692 5,7760 6,0726 11 9,9000 0,4546 -0,0642 0,0183 0,2011 0,0518 0,9483 1,0041 1,0546 0,9960 0,9483 1,6130 1,6000 6,4001 6,4001 5,8040 6,1020 12 10,8000 0,3967 -0,0825 0,0183 0,2194 0,0565 0,9437 0,9992 1,0597 1,0008 0,9437 1,6052 1,6078 6,4210 6,4210 5,8321 6,1265 13 11,7000 0,3224 -0,1007 0,0182 0,2376 0,0613 0,9392 0,9944 1,0648 1,0056 0,9392 1,5975 1,6155 6,3901 6,3901 5,8602 6,1252 14 12,6000 0,2314 -0,1188 0,0181 0,2557 0,0660 0,9347 0,9897 1,0699 1,0105 0,9347 1,5899 1,6233 6,3595 6,3595 5,8884 6,1240 15 13,5000 0,1240 -0,1369 0,0181 0,2738 0,0707 0,9302 0,9849 1,0750 1,0153 0,9302 1,5823 1,6311 6,3292 6,3292 5,9167 6,1229 16 14,4000 0,0000 -0,1158 0,0211 0,2949 0,0754 0,9252 0,9796 1,0809 1,0208 0,9252 1,5737 1,6399 6,2950 6,2950 5,9488 6,1219 17 15,3000 -0,1047 -0,0652 0,0506 0,3455 0,0801 0,9145 0,9683 1,0935 1,0327 0,9145 1,5556 1,6591 6,2223 6,2223 6,0183 6,1203 18 16,2000 -0,1635 -0,0286 0,0366 0,3821 0,0848 0,9066 0,9599 1,1030 1,0417 0,9066 1,5421 1,6736 6,1685 6,1685 6,0708 6,1196 19 17,1000 -0,1892 -0,0063 0,0223 0,4044 0,0895 0,9015 0,9545 1,1093 1,0477 0,9015 1,5334 1,6831 6,1336 6,1336 6,1053 6,1195 20 18,0000 -0,1949 0,0000 0,0063 0,4107 0,0942 0,8994 0,9523 1,1119 1,0501 0,8994 1,5299 1,6870 6,1194 6,1194 6,1194 6,1194


33

Fertigteilträger wechselseitig vorgespannt

Fertigteilträger während des Spannvorgangs


34

"1"-Zustand Spanngliedlage Vorspannung p

x [m] M 1 [-] zp [m] Mp,dir. [MNm] Faktor Simpson Mp,ind. [MNm] Mp [MNm] Pµ,ges.

(x) [MN]0 0,000 0,000 0,0000 0,0000 1 0,0000 0,0000 0,00000 5,7864 1 0,900 0,050 0,1240 -0,7209 4 -0,1442 0,0784 -0,64241 5,8141 2 1,800 0,100 0,2314 -1,3521 2 -0,2704 0,1569 -1,19518 5,8421 3 2,700 0,150 0,3224 -1,8923 4 -1,1354 0,2353 -1,65699 5,8703 4 3,600 0,200 0,3967 -2,3403 2 -0,9361 0,3138 -2,02651 5,8987 5 4,500 0,250 0,4546 -2,6946 4 -2,6946 0,3922 -2,30235 5,9273 6 5,400 0,300 0,4959 -2,9538 2 -1,7723 0,4707 -2,48312 5,9561 7 6,300 0,350 0,5207 -3,1166 4 -4,3632 0,5491 -2,56743 5,9850 8 7,200 0,400 0,5290 -3,1814 2 -2,5451 0,6276 -2,55383 6,0141 9 8,100 0,450 0,5207 -3,1469 4 -5,6644 0,7060 -2,44088 6,0433

10 9,000 0,500 0,4959 -3,0116 2 -3,0116 0,7845 -2,22711 6,0726 11 9,900 0,550 0,4546 -2,7740 4 -6,1028 0,8629 -1,91107 6,1020 12 10,800 0,600 0,3967 -2,4307 2 -2,9168 0,9414 -1,48927 6,1265 13 11,700 0,650 0,3224 -1,9745 4 -5,1336 1,0198 -0,95462 6,1252 14 12,600 0,700 0,2314 -1,4173 2 -1,9842 1,0983 -0,31898 6,1240 15 13,500 0,750 0,1240 -0,7591 4 -2,2772 1,1767 0,41765 6,1229 16 14,400 0,800 0,0000 0,0001 2 0,0001 1,2552 1,25525 6,1219 17 15,300 0,850 -0,1047 0,6409 4 2,1791 1,3336 1,97453 6,1203 18 16,200 0,900 -0,1635 1,0004 2 1,8008 1,4121 2,41252 6,1196 19 17,100 0,950 -0,1892 1,1579 4 4,3999 1,4905 2,64838 6,1195 20 18,000 1,000 -0,1949 1,1926 1 1,1926 1,5690 2,76160 6,1194

Σ = -31,37951

h = 0,900 Simpson-Regel: EI δ11 = 12,0000

Integral Simpson EI δ1p = -18,82771

z X1 = 1,5690 mit h = (b-a) / n

( )∫ +++++++⋅≅ −−

b

an1n2n3210 yy4y2.......y4y2y4y

3hdxy


35

Kriechen und Schwinden Eingangswerte (Werte pro Steg): Ac = 1,9625 m u ≈ 2 · 4,250 + 1,000 + 0,750 m = 10,25 m h0 = 2 · 2,9625 / 10,25 = 0,383 = 38,3 cm


36

Weitere Werte für die Berechnung: Ep = 195000 N/mm² Ec = 33300 N/mm²→ αp = 195000 / 33300 = 5,86 σp0 = σpm0·(1 - 0,3 · Δσpcsr) = 1275·(1–0,3·0,17) = 1210 N/mm²

pk

0p

fσ

= 12751210 = 0,68

→ 0p

pr

σ

σΔ = 0,023 → Δσpr∞ = 3 · 0,023 = 0,069 · 1210 = - 84 MN/m²

Endergebnis für Kriechen und Schwinden zu 17 % vorgeschätzt


37

Beispiel für x = 7,20 m:

zcpl =

014,6554,2 = 0,425 m (Exzentrizität des Gesamtmoments inf. P)

zcp

= = 0,529 m (betrachtete Betonfaser in Höhe des Spannglieds)

[ ])t,t(8,01z

IA

1AA

1

)()t,t(E)t,t(

02cp

c

c

c

pp

0cpcg0pprs0csrsc,p

ϕ⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+α+

σ+σ⋅ϕ⋅α+σΔ+⋅ε=σΔ ++

[ ]0,28,01529,0425,0

1535,09625,11

9625,1104,5086,51

)86,1106,5(0,286,5)84(10435,04

4

rsc,p

⋅+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅

+

−⋅⋅+−+⋅−=σΔ

−

−

++

152,1

5,248rsc,p

−=σΔ ++ = -215,8 N/mm²

125,8 / 1275 = 16,9 % ≈ Schätzung für den Eingangswert von σp0


38

Vorspannung p

Δσp,csr / σpm0 nach Abschluss KS Differenz aus K+S

x [m] Npm0 Mpm0 zp

| [m] = Mp / Np

σcpg σcp0

Verlust aus

K+S+R Δσp,csr

Verlust aus K+S+R

[%] Pmt,KS [MN] Mp,k+s

[MNm] Mp,k+s,dir

[MNm] Mp,k+s,ind

[MNm] ΔPmt,KS [MN]

ΔMp,k+s

[MNm]

0 0,000 -5,786 0,000 0,000 0,00 -2,95 -195,7 15,3 4,898 0,000 0,000 0,888 0,000 1 0,900 -5,814 -0,642 0,110 0,30 -3,48 -197,1 15,5 4,915 -0,543 -0,610 0,066 0,899 0,099 2 1,800 -5,842 -1,195 0,205 1,03 -4,78 -200,2 15,7 4,925 -1,008 -1,141 0,133 0,917 0,188 3 2,700 -5,870 -1,657 0,282 1,98 -6,47 -204,1 16,0 4,930 -1,392 -1,592 0,200 0,940 0,265 4 3,600 -5,899 -2,027 0,344 2,98 -8,24 -208,1 16,3 4,936 -1,696 -1,963 0,267 0,963 0,331 5 4,500 -5,927 -2,302 0,388 3,88 -9,84 -211,7 16,6 4,943 -1,920 -2,255 0,335 0,984 0,382 6 5,400 -5,956 -2,483 0,417 4,57 -11,06 -214,3 16,8 4,955 -2,066 -2,469 0,403 1,001 0,417 7 6,300 -5,985 -2,567 0,429 4,98 -11,76 -215,7 16,9 4,972 -2,133 -2,604 0,471 1,013 0,434 8 7,200 -6,014 -2,554 0,425 5,06 -11,87 -215,9 16,9 4,996 -2,121 -2,661 0,539 1,018 0,432 9 8,100 -6,043 -2,441 0,404 4,80 -11,36 -214,7 16,8 5,026 -2,030 -2,638 0,608 1,018 0,411 10 9,000 -6,073 -2,227 0,367 4,23 -10,29 -212,2 16,6 5,062 -1,856 -2,533 0,677 1,011 0,371 11 9,900 -6,102 -1,911 0,313 3,41 -8,77 -208,5 16,4 5,104 -1,598 -2,344 0,746 0,998 0,313 12 10,800 -6,127 -1,489 0,243 2,44 -6,97 -204,1 16,0 5,146 -1,251 -2,066 0,815 0,981 0,238 13 11,700 -6,125 -0,955 0,156 1,43 -5,13 -199,3 15,6 5,168 -0,805 -1,684 0,878 0,957 0,149 14 12,600 -6,124 -0,319 0,052 0,55 -3,60 -195,7 15,3 5,184 -0,270 -1,211 0,941 0,940 0,049 15 13,500 -6,123 0,418 -0,068 0,00 -2,78 -194,6 15,3 5,188 0,354 -0,647 1,001 0,935 -0,064 16 14,400 -6,122 1,255 -0,205 0,00 -3,12 -197,6 15,5 5,173 1,061 0,000 1,061 0,949 -0,195 17 15,300 -6,120 1,975 -0,323 0,61 -4,47 -202,7 15,9 5,147 1,661 0,466 1,195 0,973 -0,314 18 16,200 -6,120 2,413 -0,394 1,51 -5,69 -203,3 15,9 5,144 2,028 0,784 1,244 0,976 -0,385 19 17,100 -6,119 2,648 -0,433 2,45 -6,38 -198,9 15,6 5,165 2,235 0,957 1,278 0,955 -0,413 20 18,000 -6,119 2,762 -0,4513 3,33 -6,62 -191,5 15,0 5,200 2,347 1,015 1,331 0,919 -0,415

[ ])t,(8,01zzI

A1AA

1

)()t,(E

0|

cpcpc

c

c

pp

0cpcg0pprpcscsr,p

∞ϕ⋅+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅+⋅α+

σ+σ⋅∞ϕ⋅α+σΔ+⋅ε=σΔ ∞


39

5.6 Zusammenstellung der Schnittgrößen Normalkräfte Nx, Momente My (linker Steg) Lastfall x = 7,20 m x = 18,00 mEigengewicht g1 [MNm] +1,110 -1,986Ausbaulast g2 [MNm] +0,353 -0,631Verkehr Fahrstreifen 1 UDL [MNm] +0,502 -0,660Verkehr Fahrstreifen 1 TS [MNm] +1,097 -0,510Verkehr Fahrstreifen 2 UDL [MNm] +0,095 -0,126Verkehr Fahrstreifen 2 TS [MNm] +0,482 -0,224Verkehr Kappe links [MNm] +0,172 -0,227Verkehr Kappe links [MNm] +0,061 -0,081Anfahren + Bremsen, Nx [MN] ±0,039 ±0,096Anfahren + Bremsen, My [MNm] ±0,016 ±0,039Temperatur 1 [MNm] +0,406 +1,015Temperatur 2 [MNm] -0,246 -0,616wahrscheinliche Baugrundbewegung [MNm] ±0,190 ±0,475mögl. Baugrundbewegung [MNm] ±0,380 ±0,950Vorspannung, Nx [MN] -6,014 -6,119Vorspannung, My,dir [MNm] -3,181 +1,193Vorspannung, My,indir [MNm] +0,628 +1,569Kriechen und Schwinden, Nx [MN] +1,018 +0,919Kriechen und Schwinden, My,dir [MNm] +0,538 -0,179Kriechen und Schwinden, My,indir [MNm] -0,106 -0,235 Momente Mz (Gesamtquerschnitt) Lastfall x = 7,20 m x = 18,00 mWind ohne Verkehrsband [MNm] ±0,093 ±0,166Wind mit Verkehrsband [MNm] ±0,136 ±0,243


40

Querkräfte Vz (linker Steg) Lastfall Auflager A, VA Auflager B, VB,links mEigengewicht g1 [MN] +0,331 -0,552Ausbaulast g2 [MN] +0,105 -0,176Verkehr Fahrstreifen 1 UDL [MN] +0,128 -0,183Verkehr Fahrstreifen 1 TS [MN] +0,286 -0,286Verkehr Fahrstreifen 2 UDL [MN] +0,024 -0,035Verkehr Fahrstreifen 2 TS [MN] +0,126 -0,126Verkehr Kappe links [MN] +0,044 -0,063Verkehr Kappe rechts [MN] +0,016 -0,023Anfahren + Bremsen, [MN] ±0,002 ±0,002Temperatur 1 [MN] +0,056 +0,056Temperatur 2 [MN] -0,034 -0,034wahrscheinl. Baugrundbewegung [MN] ±0,026 ±0,026mögl. Baugrundbewegung [MN] ±0,053 ±0,053Vorspannung, Vz,dir [MN] -0,850 +0,000Vorspannung, Vz,indir [MN] +0,087 +0,087Kriechen und Schwinden, Vz,dir [MN] +0,130 -0,000Kriechen und Schwinden, Vz,indir [MN] -0,013 -0,013 Querkräfte Vy (Gesamtquerschnitt) Lastfall Auflager A, VA Auflager B, VB,links mWind ohne Verkehrsband [MNm] ±0,028 ±0,046Wind mit Verkehrsband [MNm] ±0,041 ±0,068 Torsionsmomente Tz (linker Steg) [Laststellung TS in Feldmitte (x = 9,00 m)] Lastfall Auflager A, TA Auflager B, TB,links mVerkehr Fahrstreifen 1 UDL [MNm] +0,110 -0,110Verkehr Fahrstreifen 1 TS [MNm] +0,131 -0,131Verkehr Fahrstreifen 2 UDL [MNm] -0,031 +0,031Verkehr Fahrstreifen 2 TS [MNm] -0,087 +0,087Verkehr Kappe links [MNm] +0,077 -0,077Verkehr Kappe rechts [MNm] -0,077 +0,077Wind ohne Verkehrsband1) [MNm] ±0,008 ±0,008Wind mit Verkehrsband1) [MNm] ±0,022 ±0,0221) Aufteilung der Gesamt-Torsionsmomente aus Wind anteilig auf die Stege entsprechend den Torionssteifigkeiten


41

6. Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Verkehrslastgruppen nach DIN Fb 101, Kap. IV, 4.5.1, Tab. 4.4

Kombinationsbeiwerte ψ nach DIN Fb 101, Anhang C, Tab. C 2


42

Teilsicherheitsbeiwerte für Einwirkungen nach DIN Fb 101, Anhang C, Tab. C 1


43

6.1 Nachweis Biegung mit Längskraft


44


45

Beispiel für x = 7,20 m, Betrachtung nur für den Zeitpunkt t = ∞:

Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 1 MQ1 = 1,0 · (0,502 + 1,097 + 0,095 + 0,482 + 0,5 · 0,172 + 0,5 · 0,061) MQ1 = 2,293 MNm NQ1 = 0,000 MN Lastfall My [MNm] N [MN] γ ψ0 MEd [MNm] NEd [MN] Sonstige Fakt. G1 1,110 0 1,35 1,499 0 G2 0,353 0 1,35 0,477 0 Q1 (Verkehr) 2,293 0 1,50 1,00 3,440 0 Q2 (Wind) 0 0 1,50 0,30 0 0 Q3 (Temperatur) 0,406 0 1,50 0,00 0 0 Q4 (Setzung) 0,380 0 1,00 1,00 0,152 0 0,4 1)

P (Vorspannung) 0,628 0 1,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0,089 0 1,00 -0,089 0 Summe 6,107 0 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 (3)


46

Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 2 (maßgebend innerhalb der Lastgruppe sind die ψ1-Werte) MQ1 = 0,40 · (0,502 + 0,095) + 0,75 · (1,097 + 0,482) + 1,0 · 0,016 MQ1 = 1,439 MNm NQ1 = 1,0 · 0,039 MN Lastfall My [MNm] N [MN] γ ψ0 MEd [MNm] NEd [MN] Sonstige Fakt. G1 1,110 0 1,35 1,499 0 G2 0,353 0 1,35 0,477 0 Q1 (Verkehr) 1,439 0,039 1,50 1,00 2,159 0,059 Q2 (Wind) 0 0 1,50 0,30 0 0 Q3 (Temperatur) 0,406 0 1,50 0,00 0 0 Q4 (Setzung) 0,380 0 1,00 1,00 0,152 0 0,4 1)

P (Vorspannung) 0,628 0 1,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0,089 0 1,00 -0,089 0 Summe 4,826 0,059 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 (3) Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 3 MQ1 = 1,0 · (0,172 + 0,061) MQ1 = 0,233 MNm NQ1 =0 MN Lastfall My [MNm] N [MN] γ ψ0 MEd [MNm] NEd [MN] Sonstige Fakt. G1 1,110 0 1,35 1,499 0 G2 0,353 0 1,35 0,477 0 Q1 (Verkehr) 0,233 0 1,50 1,00 0,350 0 Q2 (Wind) 0 0 1,50 0,30 0 0 Q3 (Temperatur) 0,406 0 1,50 0,00 0 0 Q4 (Setzung) 0,380 0 1,00 1,00 0,152 0 0,4 1)

P (Vorspannung) 0,628 0 1,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0,089 0 1,00 -0,089 0 Summe 3,017 0 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 (3) Leiteinwirkung: Temperatur und als weitere veränderl. Einwirkung u. a. Verkehr m. Lastgruppe 1 (maßgebend ψ0-Werte) MQ2 = 0,40 · (0,502 + 0,095) + 0,75 · (1,097 + 0,482) MQ2 = 1,423 MNm NQ2 = 0,000 MN Lastfall My [MNm] N [MN] γ ψ0 MEd [MNm] NEd [MN] Sonstige Fakt. G1 1,110 0 1,35 1,499 0 G2 0,353 0 1,35 0,477 0 Q1 (Verkehr) 1,423 0 1,50 s.o. 2,135 0 Q2 (Wind) 0 0 1,50 0,30 0 0 Q3 (Temperatur) 0,406 0 1,50 1,00 0,609 0 Q4 (Setzung) 0,380 0 1,00 1,00 0,152 0 0,4 1)

P (Vorspannung) 0,628 0 1,00 0,628 0 P (Kriechen+Schw.) -0,089 0 1,00 -0,089 0 Summe 5,411 0 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 (3) → maßgebend Verkehr mit Lastgruppe 1!


47

Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Biegung mit Längskraft: Berücksichtigung des statisch bestimmten Teils der Vorspannung über die Vordehnung des Spannstahls

Vordehnung: cm

cpt

p

t,pm)0(t,pm EE

σ−

σ=ε

σpm,t = 4,996 / 50,4·10-4 = 991,3 MN/m²

σcpt = cp

t,pmp

c

t,mp

cp

1gG

WM

A)P(

WM ⋅γ

+−⋅γ

+⋅γ

= 529,01535,0

)121,2(0,19625,1

)996,4(0,1529,01535,0

110,135,1⋅

−⋅+

−⋅+⋅

⋅

= 5,16 - 2,55 - 7,31 = - 4,70 MN/m²

Vordehnung: 33300

)70,4(195000

3,991EE cm

cpt

p

t,pm)0(t,pm

−−=

σ−

σ=ε

= 5,08 0/00 + 0,14 0/00 = 5,22 0/00 Bemessungswert für maximales Biegemoment im Feld infolge äußerer Einwirkung und statisch unbestimmtem Anteil der Vorspannung: MEd = 6,107 MNm (Leiteinwirkung Verkehr Lastgruppe 1) NEd = 0 MN (keine äußere Normalkraft) → MEds = 6,107 MNm

83,19862,025,4

107,6fbd

M2

cd2Eds

Edsp ⋅⋅

=⋅

=μ = 0,098

aus allgemeinem Bemessungsdiagramm

Δεp = 23,6 0/00

ξ = x/d = 0,129 x = 0,129 · 0,862 = 0,111 m

< 0,25 m Nulllinie im Gurt

ζ = z/d = 0,946 z = 0,946 · 0,862 = 0,815 m

εp = )0(t,pmε + Δεp = 5,22 + 23,60 = 28,82 0/00

σpd = Ep · εp = 195000 · 28,82 ·10-3 = 5620 MN/m²

≤ fpd = 1385 MN/m²

Ap,erf = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

σ Edp

Eds

pdN

zM1

= 862,0107,6

13851

⋅ · 104

= 51,15 cm² ≥ Ap,vorh = 50,4 cm²

zs = 0,920 – (0,862 – 0,815) = 0,873 m

As,erf = 873,0435

0,815138550,4)- (51,15⋅⋅ = 2,21 cm² ≤ As,min (vgl. Mindestbew.)


48

6.2 Querkraft und Torsion Nachweisform Der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft darf den Bemessungswert des Widerstands nicht überschreiten:

VEd ≤ VRd

Dem Nachweis der Querkrafttragfähigkeit liegen zwei Modelle zu Grunde: Bauteile ohne Querkraftbewehrung (DIN Fb 102, Kap II. 4.3.2.3) Hierbei bildet sich ein kammartiges Lastabtragungssystem aus. Nach diesem Modell verbleiben die zwischen zwei Biegerissen liegenden Bereiche der Zugzone (sogenannte Betonzähne) im ungerissenen Zustand. Die Querkraftabtragung erfolgt über die Riss-verzahnung, über die Einspannung der Betonzähne in die Betondruckzone und aus der Dübelwirkung der Biegezugbewehrung. Dieses Tragmodell ist nach DIN 1045-1 nur für plattenförmige Bauteile zulässig. Bei Balken und Plattenbalken ist immer eine Mindestschubbewehrung erforderlich. Der Nachweis gilt als erbracht, wenn folgende Bedingung eingehalten ist:

VEd ≤ VRd,ct

Aufnehmbare Bemessungsquerkraft eines Bauteils ohne Ansatz der Schubbewehrung (infolge Rissreibung):

VRd,ct = [0,10 · κ · η1 · (100ρ1 · fck)1/3 – 0,12σcd] · bw · d [MN]

κ = 1 + ]mm[d

200 ≤ 2,0

Maßstabsfaktor zur Berücksichtigung der Bauteildicke η1 Tragfähigkeitsbeiwert Normalbeton:η1 = 1,0; Leichtbeton:η1 s. DIN 1045-1, Tab. 10 bw kleinste Querschnittsbreite [m] d statische Höhe (Betonstahlbewehrung) [m]

ρ1 = db

A

w

sl

⋅

σcd Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkt des Querschnitts σcd = NEd / Ac in [MN/m²] fck charakteristische Betondruckfestigkeit in [MN/m²]

mit Asl als Fläche der wirksam verankerten Zugbewehrung, bei Vorspannung mit sofortigem Verbund inkl. Spannstahl


49

Alternativ: Wenn nachgewiesen wird, dass die Randzugspannungen unter den Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit folgenden Wert einhalten

σ ≤ c

ctk,0,05 fγ

darf die Querkrafttragfähigkeit in den auflagernahen Bereichen von Stahlbeton und Spannbetonbauteilen unter vorwiegend ruhender Belastung folgendermaßen berechnet werden [DIN 1045-1, Abs. 10.3.3 (2)]:

VRd,ct = c

05,0,ctkcdl

2

c

05,0,ctkw ffSbI

γ⋅σ⋅α−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

⋅⋅

I Flächenmoment 2.Grades S Flächenmoment 1.Grades fctk;0,05 5%-Quantilwert der charakteristischen Betonzugfestigkeit

(DIN 1045-1 Tab. 9 oder 10), jedoch fctk;0,05 ≤ 2,7 N/mm2 γc: Teilsicherheitsbeiwert für unbewehrten Beton nach DIN 1045-1, Tab.2 (für außergewöhnliche Bemessungssituation γc = 1,55, sonst γc = 1,8) αl: Vorspannung mit sofortigem Verbund: αl = lx / l bpd ≤ 1,0 sonstige Fälle: αl = 1,0 lx: Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn des Spanngliedes lbpd: oberer Bemessungswert der Übertragungslänge des Spanngliedes

mit γc für unbewehrte Bauteile für ständige und vorübergehende Bemessungssituationen γc= 1,8 für außergewöhnliche Bemessungssituationen γc= 1,55


50

Bauteile mit Querkraftbewehrung (DIN Fb 102, Kap. II, 4.3.2.4) Die Lastabtragung erfolgt über ein Fachwerksystem aus geneigten Betondruckstreben und vertikal oder ebenfalls geneigten Zugstreben, die durch Querkraftbewehrung abzudecken sind. Die zugehörigen Gurte werden von der Biegedruck- und der Biegezugkraft des Bauteils mit dem inneren Hebelarm z gebildet. Maßgebenden Einfluss auf den mit Hilfe des Fachwerkmodells bestimmten Bauteil-widerstand hat der angenommene Druckstrebenwinkel θ. In der klassischen Fachwerk-analogie nach „Mörsch“ wurde der Winkel konstant zu 45°angenommen. Bauteilversuche zeigten jedoch, dass sich in der Realität wesentlich flachere Druckstrebenwinkel einstellen können. Der Druckstrebenwinkel ist abhängig vom Beanspruchungsgrad des Bauteils. Ein Winkel von θ < 45° führt dabei zu einer deutlichen Reduzierung der erforderlichen Querkraft-bewehrung, wobei die Beanspruchung der Druckstrebe aber gleichzeitig erhöht wird. Mit diesem Winkel muss auch die Druckstrebentragfähigkeit gewährleistet werden. Der Druck-strebenwinkel kann innerhalb vorgegebener Grenzen frei gewählt werden. Aus wirtschaftlichen Gründen empfiehlt sich ein möglichst flacher Winkel. In dem Ansatz der DIN 1045-1 wird der Druckstrebenwinkel in Abhängigkeit von der Beanspruchung bestimmt. Mit dem so ermittelten Winkel sind dann Druck- und Zugstrebe nachzuweisen. Der Nachweis einer ausreichenden Tragfähigkeit ist gewährleistet, wenn der Bemessungswert der einwirkenden Querkraft den Bemessungwert des Widerstandes nicht überschreitet. (Nachweis sowohl für die Druckstrebe als auch für die Zugstrebe) Prinzipiell ergeben sich keine Unterschiede bei der Schubbemessung von Spannbetonbauteilen und Stahlbetonbauteilen. Versuche zeigen jedoch, dass die Schubrisse bei Bauteilen mit Längsdruck in der Regel flacher verlaufen als in Bauteilen ohne Längsdruck, da die schiefen Hauptzugspannungen unmittelbar vor der Schrägrissbildung steiler als 45° gerichtet sind. Nach der Fachwerkanalogie treten bei flacherer Druckfeldneigung θ kleinere Zugräfte in der Schubbewehrung, dafür aber größere Beanspruchungen in den Druckstreben auf. Daher führt eine Längsvorspannung stets zu einer Reduzierung der erforderlichen Schubbewehrung und zu einer Erhöhung der Druckstrebenbeanspruchung. Dieser Sachverhalt wird in der DIN 1045-1 berücksichtigt und ist im DIN Fb 102 übernommen. Neben diesem Einfluss der Druckkraft in Längsrichtung ist vor allem die die Wirkung von zur Schwerachse des Bauteils geneigt geführten Spanngliedern zu berücksichtigen. Die lotrechten Komponenten der Spanngliedkräfte Vpd übernehmen hierbei Anteile der einwirkenden Querkraft.


51

Die auf den Betonquerschnitt wirkende Querkraft VEd ergibt sich für einen allgemeinen Fall mit veränderlicher Querschnittshöhe und geneigten Spanngliedern zu:

VEd = VEd,0 - Vccd - Vtd - Vpd

Dabei bedeutet :

VEd,0 Bemessungswert der einwirkenden Querkraft (inkl. statisch unbestimmter Anteil der Vorspannwirkung)

Vccd Bemessungswert der Querkraftkomponente in der Biegedruckzone Vtd Querkraftkomponente von Fsd Vpd = -Fpd · sin θ

mit θ als Winkel der Neigung des Spannglieds gegen die Bauteilachse (nicht zu verwechseln mit der zuvor erwähnten Druckstrebenneigung) Widerstand (Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit VRd,sy): Neigungswinkel der Druckstrebe:

cot θ ≤

Ed

c,Rd

cd

cd

VV

1

f4,12,1

−

σ⋅−

VEd Bemessungswert der einwirkenden Querkraft in der Auflagerachse VRd,c Querkrafttraganteil des querkraftbewehrten Betonquerschnitts infolge

Rissreibung

VRd,c = βct · 0,10 · η1 · fck1/3 (1 + 1,2 · σcd / fcd) · bw · z

η1 Tragfähigkeitsbeiwert Normalbeton:η1 = 1,0; Leichtbeton:η1 s. DIN 1045-1, Tab. 10 βct Parameter für die Schubkraftübertragung bei monolithischer Bauweise: βct = 2,4

σcd Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkt des Querschnitts σcd = NEd / Ac bw kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzonenhöhe z Hebelarm der inneren Kräfte, für diesen Nachweis näherungsweise z = 0,9 · d

≥ 0,58 obere Grenze (60°) ≤ 3,0 (für Normalbeton) untere Grenze (18,5°) ≤ 2,0 (für Leichtbeton) untere Grenze (26,5°)


52

Nachweis der Betondruckstrebe Der Nachweis der Druckstrebe gilt als erbracht, wenn folgende Bedingung eingehalten ist:

VEd ≤ VRd,max

Bemessungswert der maximalen Querkrafttragfähigkeit VRd,max infolge Erreichens der Betondruckstrebenfestigkeit bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung unter dem Winkel α zur Bauteillängsachse:

VRd,max = θ+α+θ

⋅α⋅⋅2cdcw cot1

cotcotfzb

αc Abminderungsbeiwert für die Druckstrebenfestigkeit infolge Querzugbeanspruchung αc = 0,75 · η1

Bei Querschnitten mit nebeneinanderliegenden verpressten Spanngliedern ist bei der Bestimmung des Bemessungswertes der Querkrafttragfähigkeit VRd,max die Querschnittsbreite bw durch den Nennwert der Querschnittsbreite bw,nom für die ungünstigste Spanngliedlage zu ersetzen (DIN 1045-1,10.3.4(8)), wenn die Durchmessersumme ∑dh > bw / 8 ist:

bw,nom = bw - 0,5 · ∑dh bis C 50/60 / LC 50/55 bw,nom = bw - 1,0 · ∑dh ab C 55/67 / LC 55/60 dh äußerer Hüllrohrdurchmesser

Für nebeneinanderliegende nicht verpresste Spannglieder oder Spannglieder ohne Verbund gilt:

bw,nom = bw - 1,2 · ∑dh Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung senkrecht zur Bauteillängsachse (α = 90°) vereinfacht sich die Gleichung für den Bemessungswert der maximalen Querkrafttragfähigkeit VRd,max zu:

VRd,max = θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw


53

Nachweis der Zugstrebe Der Nachweis der Zugstrebe gilt als erbracht, wenn folgende Bedingung eingehalten ist:

VEd,red ≤ VRd,sy

Der Ermittlung der Schubbewehrung darf bei gleichmäßig verteilter Belastung und direkter Auflagerung die Querkraft im Abstand d vom Auflagerrand zu Grunde gelegt werden VEd,red. [DIN 1045-1, Abs. 10.3.2 (1)] Maximal von der Schubbewehrung aufnehmbare Querkraft:

VRd,sy = w

sw

sA

· fyd · z · (cot θ + cot α) · sin α

Asw Querschnitt der Bügelbewehrung sw Abstand der geneigten Querkraftbewehrung in Bauteillängsrichtung fyd Bemessungswert der Streckgrenze des Betonstahls fyd = fyk / γs z Hebelarm der inneren Kräfte α Winkel zwischen Querkraftbewehrung und Bauteilachse θ Winkel zwischen den Betondruckstreben und der Bauteilachse Mit VRd,sy = VEd und erf asw = Asw / sw ergibt sich die erforderliche Bewehrung zu:

erf asw = α⋅α+θ⋅⋅ sin)cot(cotzf

V

yd

Ed

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung senkrecht zur Bauteillängsachse (α = 90°) vereinfacht sich die Gleichung für die erforderliche Bewehrung zu:

erf asw = θ⋅⋅ cotzf

V

yd

Ed

vereinfachend darf auch gesetzt werden: cot θ = 1,2 bei reiner Biegung oder Biegung mit Längsdruck cot θ = 1,0 bei Biegung mit Längszug


54

Torsion (DIN Fb 102, Kap II, 4.3.3) Nachweisform Der Bemessungswert des einwirkenden Torsionsmoments darf den Bemessungswert des Widerstands nicht überschreiten:

TEd ≤ TRd

Die Torsionstragfähigkeit eines Querschnitts kann unter Annahme eines dünnwandigen, geschlossenen Querschitts nachgewiesen werden. Dabei wird ein geschlossener Schubfluss vorausgesetzt. Vollquerschiittte werden durch gleichwertige dünnwandige Hohlquerschnitte nach dem folgenden Modell ersetzt:

nach DIN Fb 102, Kap II, 4.3.3, Abb. 4.15 teff Ersatzwanddicke des Hohlkastens: zweifacher Schwerpunktabstand der Längsbewehrung vom Bauteilrand, jedoch nicht

größer als die vorhandene Wanddicke Ak Die durch die Mittellinie uk (3) der Wand eingeschlossenen Fläche (Kernquerschitt) θ Druckstrebenneigung: für Torsion allein vereinfachend θ = 45° Die Schubkraft VEd,T in einer Wand des Nachweisquerschnitts infolge eines Torsionsmomentes TEd wird berechnet aus:

VEd,T = k

iEd

A2zT

⋅⋅

mit zi = Höhe der Ersatzwand (siehe obiges Bild)


55

Bügelbewehrung:

TRd,syw = 2 · Ak · w

sw

sA

· fyd · cot θ mit asw = w

sw

sA

Längsbewehrung:

TRd,syl = 2 · Ak · k

sl

uA

· fyd · cot θ mit asl = k

sl

uA

Asw Querschnitt der Torsionsbügelbewehrung sw Abstand der geneigten Torsionsbügelbewehrung in Bauteillängsrichtung Asl Querschnitt der Torsionslängsbewehrung uk Umfang des Kernquerschnitts fyd Bemessungswert der Streckgrenze des Betonstahls fyd = fyk / γs Die erforderliche Bewehrung ergibt sich demnach zu:

erf. asw = θ⋅⋅⋅ cotfA2

T

ydk

Ed

erf. asl = θ⋅⋅⋅ tanfA2

T

ydk

Ed

Die Torsionsbügel müssen geschlossen sein (Übergreifungslängen beachten). Die Längsstäbe sollten gleichmäßig über den Umfang uk verteilt sein.

Druckstrebennachweis: TEd < TRd,max

TRd,max = θ+θ⋅⋅⋅α

tancottA2f effkcdred,c

αc,red = 0,7 · αc allgemein mit αc nach DIN 1045-1, Abs. 10.3.4 (6) (vgl. Querkraft) αc,red = αc bei Kastenquerschnitten mit Bewehrung an den Innen- und Außenwänden Zugstrebennachweis: TEd < TRd,syl TEd < TRd,syw

TRd,syw = θ⋅⋅⋅ cotA2fsA

kydw

sw = θ⋅⋅⋅ cotA2fa kydsw

TRd,syl = θ⋅⋅⋅ tanA2fuA

kydk

sl

Dabei ist Asw Querschnittsfläche der Torsionsbügelbewehrung sw Abstand der Torsionsbügel in Richtung Bauteilachse Asl Querschnittsfläche der Torsionslängsbewehrung uk Umfang der Fläcke Ak


56

Kombinierte Beanspruchung Querkraft + Torsion Die Druckstrebentragfähigkeit unter der kombinierten Beanspruchung aus Querkraft VEd und Torsion TEd wird nachgewiesen über:

2

max,Rd

Ed2

max,Rd

Ed

VV

TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ 1 für Kompaktquerschnitte

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

max,Rd

Ed

max,Rd

Ed

VV

TT

≤ 1 für Kastenquerschnitte

Die günstigere Interaktionsregel für Kompaktquerschnitte resultiert daher, dass die Schubspannungen aus Querkraft und Torsion nicht am gleichen inneren Tragsystem ermittelt werden. Für Querkraft steht die gesamte Stegbreite, für Torsion nur der Randbereich zur Verfügung. Bei den Kastenquerschnitten addieren sich die Beanspruchungen aus Querkraft und Torsion im stärker beanspruchten Steg. Bei kombinierter Beanspruchung aus Querkraft und Torsion ist der Druckstrebenwinkel nach den Regelungen für die Querkraft zu bestimmen, wobei als einwirkende Schubkraft VEd,T+V gesetzt wird.

VEd,T+V = VEd,T + w

effEd

btV ⋅

Für die Berechnung von VRd,c muss dabei für bw die effektive Dicke der Wand teff eingesetzt werden. Vereinfachend darf die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von θ=45° ermittelt und zu der aus Querkraft ermittelten addiert werden.


57

Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit für Querkraft und Torsion am Auflager A (x = 0) a) max. Querkraft + zug. Torsion Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 1 VAQ1 = 1,0 · (0,128 + 0,286 + 0,024 + 0,126 + 0,5 · 0,044 + 0,5 · 0,016) + 1,0 · 0 · 0,002 VAQ1 = 0,584 MN TAQ1 = 1,0 · (0,110 + 0,131 - 0,031 - 0,087 + 0,5 · 0,077 - 0,5 · 0,077) TAQ1 = 0,123 MNm Lastfall VAy [MN] TA [MNm] γ ψ0 VA,Ed [MN] TA,Ed [MN] Sonstige Fakt. G1 0,331 0 1,35 0,447 0 G2 0,105 0 1,35 0,142 0 Q1 (Verkehr) 0,584 0,123 1,50 1,00 0,876 0,185 Q2 (Wind) 0 0,022 1,50 0,30 0 0,010 Q3 (Temperatur) 0,056 0 1,50 0,00 0,084 0 Q4 (Setzung) 0,053 0 1,00 1,00 0,021 0 0,4 1)

P (Vorspannung) 0,087 0 1,00 0,087 0 P (Kriechen+Schw.) -0,013 0 1,00 -0,013 0 Summe 1,644 0,195 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 (3) maßgebende Bemessungswerte für die Druckstrebe: VA,Ed0 = 1,644 MN Pmt = -4,898 MN Spanngliedfunktion: f(x) = – 0,01020 x² + 0,14694 x f´(x) = – 0,02040 x + 0,14694 f´(x = 0) = + 0,14694 VA,p,dir = – 4,898 · 0,14694 = – 0,720 MN (Kontrolle: VA,p,dir = – 0,850 + 0,130 = – 0,720 MN) VA,Ed = 1,644 – 0,720 = 0,924 MN TA,Ed = 0,195 MNm maßgebende Bemessungswerte für die Zugstrebe: normalerweise bei direkter Lagerung im Abstand d von der Auflagerkante vereinfacht werden hier die Werte für x = 0 (Auflagerachse) angesetzt. Nachweis für Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung:

VRd,ct = [0,10 · κ · η1 · (100 ρ1 · fck)1/3 – 0,12σcd] · bw · d [MN]

κ = 1 + 920200 = 1,466 ≤ 2,0

Maßstabsfaktor zur Berücksichtigung der Bauteildicke η1 Tragfähigkeitsbeiwert Normalbeton:η1 = 1,0; Leichtbeton:η1 s. DIN 1045-1, Tab. 10 bw = 1,00 m kleinste Querschnittsbreite [m] d = 1,00 – 0,08 = 0,92 m statische Höhe (Betonstahlbewehrung)


58

ρ1 = db

A

w

sl

⋅ =

92,000,125,18

⋅ = 0,20 %

σcd = NEd / Ac = -4,898 / 1,9625 = – 2,50 MN/m² Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkt des Querschnitts fck = 35 MN/m² charakteristische Betondruckfestigkeit

VRd,ct = [0,10 · 1,466 · 1,0 · (0,20 · 35)1/3 – 0,12 · (– 2,50)] · 1,00 · 0,93

= 0,540 MN ≤ 0,924 MN

Nebenrechnung: Robustheitsbewehrung: fctm = 3,21 MN/m² Ic = 0,1535 m4 zcu = 1,000 – 0,333 = 0,667 m Wcu = 0,2301 m³ Rissmoment: Mcr = 3,21 · 0,2301 = 0,739 MNm d ≈ 1,00 – 0,08 = 0,92 m z ≈ 0,92 – 0,25 / 2 = 0,80 m

As,min =yk

cr

fzM⋅

= 50080,0

739,0⋅

= 18,5 cm²

gewählt: As,vorh = 6 Ø 20 = 18,8 cm² ≥ 18,5 cm² (Mindestfeldbewehrung wird von Auflager bis Auflager durchgeführt!) Alternativberechnung: Da der vorliegende Überbau auch durch Torsion beansprucht wird, ist die daraus resultierende Schubspannung τT = TSd / WT zu berücksichtigen:

VRd,ct = T

Sd

c

05,0,ctkcdl

2

c

05,0,ctk

y

w

WTff

SbI

−γ

⋅σ⋅α−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

⋅⋅

I = 0,1535 m4 Flächenmoment 2.Grades S = 0,2224 m³ Flächenmoment 1.Grades fctk;0,05 = 2,2 MN/m² 5%-Quantilwert der charakteristischen Betonzugfestigkeit

(DIN 1045-1 Tab. 9 oder 10), jedoch fctk;0,05 ≤ 2,7 N/mm2 γc: = 1,8 Teilsicherheitsbeiwert für Beton nach DIN 1045-1, Tab.2 (für außergewöhnliche Bemessungssituation γc = 1,55, sonst γc = 1,8) αl: = 1,0 Vorspannung mit sofortigem Verbund: αl = lx / l bpd ≤ 1,0 sonstige Fälle: αl = 1,0 lx: = Abstand des betrachteten Querschnitts vom Beginn des Spanngliedes lbpd: = oberer Bemessungswert der Übertragungslänge des Spanngliedes TSd = 0,195 MNm zugehöriges Torsionsmoment WT = 0,208 · 1,0 · 1,0² = 0,208 m³

VRd,ct = 208,0195,0

8,12,2)50,2(0,1

8,12,2

2224,000,11535,0 2

−⋅−⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅

= 0,825 MN

→ Querkraftbewehrung und Torsionsbewehrung erforderlich!


59

Nachweis der Druckstebe und Bestimmung der Druckstrebenneigung: Neigungswinkel der Druckstrebe:

cot θ ≤

Ed

c,Rd

cd

cd

VV

1

f4,12,1

−

σ⋅−

VEd Bemessungswert der einwirkenden Querkraft in der Auflagerachse VRd,c Querkrafttraganteil des querkraftbewehrten Betonquerschnitts infolge

Rissreibung

VRd,c = βct · 0,10 · η1 · fck1/3 (1 + 1,2 · σcd / fcd) · bw · z

η1 = 1,0 βct = 2,4 σcd = -2,50 MN/m² bw = 1,00 m z = 0,9 · 0,92 m

VRd,c = 2,4 · 0,10 · 1,0 · 351/3 (1 + 1,2 · (-2,50 / 19,83) · 1,00 · 0,9 · 0,92

= 0,552 MN

cot θ ≤

924,0558,01

83,1950,24,12,1

−

−⋅−

= 3,472 ≥ 3,0 cot θ = 3,0

dh = 72 mm Σdh = 4 · 7,2 cm = 28,8 cm > bw / 8 = 1,00 / 8 = 12,5 cm → bw,nom = bw - 0,5 · ∑dh = 1,00 – 0,5 · 0,288 = 0,856 m

VRd,max = θ+θ

⋅α⋅⋅tancot

fzb cdcw = 0,3/10,3

83,1975,092,09,0856,0+

⋅⋅⋅⋅

= 3,163 MN ≥ 0,924 MN → Druckstrebe hält! Erforderliche Bügelbewehrung:

erf asw = θ⋅⋅ cotzf

V

yd

Ed =0,393,09,0435

10924,0 4

⋅⋅⋅⋅

= 8,50 cm²/m

≥ 0,58 obere Grenze (60°) ≤ 3,0 (für Normalbeton) untere Grenze (18,5°) ≤ 2,0 (für Leichtbeton) untere Grenze (26,5°)


60

Torsion: nom c = 5,5 cm dBü = 1,0 cm dsl ≥ 1,0 cm → dsl / 2 ≥ 0,5 cm → teff / 2 = 7,0 cm bk ≈ 100 – 2 · 6,5 = 87 cm = 0,87 m hk = 100 – 2 · 6,5 = 87 cm = 0,87 m Ak = 0,87 · 0,87 = = 0,757 m²

Nachweis der Druckstrebe:

TRd,max = θ+θ

⋅⋅⋅⋅α

tancottA2f effkcdred,c

= 11

13,0757,0283,197,075,0+

⋅⋅⋅⋅⋅ =1,025 MNm

Nachweis der Zugstreben:

erf. asl = θ⋅⋅⋅ tanfA2

T

ydk

Ed

=0,1435757,02

10195,0 4

⋅⋅⋅⋅ = 2,96 cm²/m

Diese längsbewehrung ist zusätzlich zur Biegebewehrung zu verlegen und gleichmäßig über den Stegumfanf zu verteilen!

erf. asw = θ⋅⋅⋅ cotfA2

T

ydk

Ed

= 0,1435757,02

10195,0 4

⋅⋅⋅⋅ = 2,96 cm²/m

Gesamtbügelbewehrung aus Querkraft und Torsion:

erf asw = 8,50 + 2 · 2,96

=14,42 cm²/m gewählt: Bügel Ø 10/10 = 15,71 cm²/m

(Mindestquerkraftbewehrung beachten!)

Kombinierter Nachweis der Druckstrebe für Querkraft + Torsion Die Druckstrebentragfähigkeit unter der kombinierten Beanspruchung aus Querkraft VEd und Torsion TEd wird nachgewiesen über:

2

max,Rd

Ed2

max,Rd

Ed

VV

TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ≤ 1 für Kompaktquerschnitte

22

163,3924,0

025,1195,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ = 0,121 ≤ 1 Nachweis erbracht!


61

b) max. Torsion + zug. Querkraft Leiteinwirkung: Verkehr mit Lastgruppe 1 VAQ1 = 1,0 · (0,128 + 0,286 + 0,5 · 0,044) + 1,0 · 0 · 0,002 VAQ1 = 0,436 MN TAQ1 = 1,0 · (0,110 + 0,131 + 0,5 · 0,077) TAQ1 = 0,280 MNm Lastfall VAy [MN] TA [MNm] γ ψ0 VA,Ed [MN] TA,Ed [MN] Sonstige Fakt. G1 0,331 0 1,35 0,447 0 G2 0,105 0 1,35 0,142 0 Q1 (Verkehr) 0,436 0,280 1,50 1,00 0,654 0,420 Q2 (Wind) 0 0,022 1,50 0,30 0 0,010 Q3 (Temperatur) 0,056 0 1,50 0,00 0,084 0 Q4 (Setzung) 0,053 0 1,00 1,00 0,021 0 0,4 1)

P (Vorspannung) 0,087 0 1,00 0,087 0 P (Kriechen+Schw.) -0,013 0 1,00 -0,013 0 Summe 1,422 0,430 1) siehe DIN Fb 102, Kap. II, 2.3.2.2 (3) Diese Kombination ist noch zu untersuchen!


62

7. Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit

Da die Nachweise sehr empfindlich auf die Eingangswerte reagieren, ist die Einwirkung aus der Vorspannkraft für viele Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit mit Streuungsfaktoren zu multiplizieren.

Nachfolgende Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit beispielhaft nur für x = 0,4 · L = 7,20 m 7.1 Nachweis der Dekompression (DIN Fb 102, II, 4.4.2) Unter einer bestimmten Lastfallkombination sind Zugspannungen im Querschnitt auszuschließen. Die dem Nachweis zugrunde liegende Lastfallkombination ergibt sich aus der Anforderungsklasse nach Tab. 18 (DIN 1045-1) oder Tab. 4.118 (DIN Fb. 102).


63

Die Mindestanforderungsklasse ergibt sich wiederum aus der Expositionsklasse und der Vorspannart nach nach Tab. 19 (DIN 1045-1) oder Tab. 4.119 (DIN Fb. 102).

Expositionsklasse XC4, XD 1 → Mindestanforderungsklasse C Mindestanforderungsklasse C → Lastfallkombination: quasi-ständig Nachweis der Dekompression Beispiel: Leiteinwirkung Verkehr mit Lastgruppe 1 MQ1’ = 0,2 · [0,502 + 1,097 + 0,095 + 0,482 + 0,5 · (0,172+0,061)] = 0,459 MNm MQ3 = 0,5 · 0,406 = 0,203 MNm (Temperatur) MQ4 = 0,190 MNm (wahrscheinliche Baugrundbewegung) oben unten Ac [m²] 1,9625 1,9625 Wc [m³] -0,4609 0,2301

Lastfälle [MN, MNm] Spannungen [MN/m²] G1 MG1 + 1,110 - 2,41 + 4,82 P NP - 6,014 - 3,06 - 3,06 MP - 2,553 + 5,54 - 11,10 G2 MG2 + 0,353 - 0,77 + 1,53 CSR NP.csr + 1,018 - 0,52 + 0,52 MP,csr + 0,432 - 0,94 + 1,88 Q1 MQ1 + 0,459 - 1,00 + 1,99 Q3 MQ2 + 0,203 - 0,44 + 0,88 Q4 MQ3 + 0,190 - 0,41 + 0,83

Lastfallkombination quasi-ständig rsup = 1,10 Summe - 2,76 - 2,88 rinf = 0,90 Summe - 3,17 - 0,53

zulässige Spannungen ≤ 0,00 ≤ 0,00 Sowohl am oberen als auch am unteren Bauteilrand treten nur Druckspannungen auf. Der Nachweis ausreichender Dekompression ist erbracht.


64

7.2 Begrenzungen der Spannungen (DIN Fb 102, II, 4.4.1) 7.2.1 Begrenzung der Betondruckspannungen (DIN Fb 102, II, 4.4.1.2) Für die quasi-ständige Lastfallkombination sind zur Vermeidung übergroßer Verformungen infolge Betonkriechens die Betondruckspannungen auf 0,45·fck zu begenzen. Andernfalls sind nichtlineare Kriechansätze für die Berechnung der Verformungen zu verwenden. Spannungsnachweis mit den gleichen Werten wie unter 7.1 oben unten Ac [m²] 1,9625 1,9625 Wc [m³] -0,4609 0,2301


Lastfallkombination quasi-ständig rsup = 1,10 Summe - 2,76 - 2,88 rinf = 0,90 Summe - 3,17 - 0,53

zulässige Spannungen 0,45 · fck = 0,45 · 35 ≤ 15,75 ≤ 15,75


65

Für die seltene Lastfallkombination sind zur Vermeidung von Längsrissen in der Betondruckzone die Betondruckspannungen auf 0,60·fck zu begenzen. Beispiel: Leiteinwirkung Verkehr mit Lastgruppe 1 MQ1 = 1,0 · [0,502 + 1,097 + 0,095 + 0,482 + 0,5 · (0,172+0,061)] = 2,293 MNm MQ3 = 0,8 · 0,406 = 0,325 MNm (Temperatur) MQ4 = 0,190 MNm (wahrscheinliche Baugrundbewegung) oben unten Ac [m²] 1,9625 1,9625 Wc [m³] -0,4609 0,2301


Lastfallkombination quasi-ständig rsup = 1,10 Summe - 7,00 + 5,62 rinf = 0,90 Summe - 7,42 + 7,97

zulässige Spannungen 0,60 · fck = 0,60 · 35 ≤ 21,00 ≤ 21,00 Die Druckspannungen liegen zwar deutlich unterhalb des zulässigen Grenzwertes von 0,6·fck, jedoch wird die Zugfestigkeit fctm = 3,2 MN/m² in der Zugzone deutlich überschritten. Daher sind die Spannungen im Zustand II zu ermitteln. Die zuvor ermittelten Werte sind nicht brauchbar. Ermittlung der Spannungen im Zustand II mit dem Verfahren nach Hochreither

1sp

2

21sp1p

rc

se AA

)AdA(db

1EE

+⋅χ

+⋅⋅χ⋅

⋅⋅=ρα

mit rs

rp

dddd

⋅ξ−

⋅ξ−=χ und

1s1p

s1sp1pr AA

dAdAd

+⋅χ

⋅+⋅⋅χ=

Annahme: χ = 0,9 (bei der Iteration mit χ = 1 beginnen)

8,184,509,0

92,08,18862,04,509,0dr +⋅⋅+⋅⋅

= = 0,879 m

8,184,509,0)8,184,509,0(

9,87425110 2

2

e+⋅

+⋅⋅

⋅⋅=ρα = 0,019


66

Nskr = -6,014 + 1,018 = – 4,996 MN 1,1 · Nskr = – 5,496 MN 0,9 · Nskr = – 4,497 MN Mskr = +1,110 + 0,353 + 2,293 + 0,325 + 0,190 +

016,0)996,4(9,01,1

)106,0628,0(9,01,1

⋅−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

Mskr,sup = 4,933 MNm Mskr,inf = 4,813 MNm Eingangswerte für das Diagramm nach Hochreither: hier beipielhaft nur für Nskr,inf und Mskr,inf

skr

rskr

MdN ⋅

= 813,4

879,0497,4 ⋅ = 0,820

abgelesen: ξ = 0,30 ζ = 0,89 Kontrolle: x = 0,30 · 0,879 = 0,264 m ≈ hf = 0,25 m

rs

rp

dddd

⋅ξ−

⋅ξ−=χ

= 879,030,092,0879,030,0862,0

⋅−⋅−

= 0,91 ≈ 0,90 = χgeschätzt


67

1p1s

)0(mtsk

r

skr1s AA

1PNd

M⋅χ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⋅ζ=σ

= 4104,5091,08,18

1497,40879,089,0

813,4⋅

⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⋅ = 247,5 N/mm²

Δσp = 0,91 · 247,5 = = 225,2 N/mm²

rs

r

e

1s2c dd

d⋅ξ−

⋅ξ⋅

ασ

=σ

=879,030,092,0

879,030,010

5,247⋅−

⋅⋅

= 9,95 N/mm² ≤ 21 N/mm² = 0,6 · fck 7.2.2 Begenzung der Spannstahlspannungen (DIN Fb 102, II, 4.4.1.4) Für die quasi-ständige Lastfallkombination sind die Spannstahlspannungen nach Abschluss von Kriechen und Schwinden auf 0,65·fpk zu begrenzen. σpm0 = Pmt,csr / Ap = 4,996 / 50,4 · 104 = 991 N/mm² aus Eigengewicht, Verkehr und sonstigen Einwirkungen: Mqua-st. = 1,110 + 0,353 + 0,459 + 0,203 + 0,190 = 2,315 MNm

σcp = cpcy

stqua zI

M⋅− = 529,0

1535,0315,2

⋅ = + 7,98 MN/m²

σp = 991 + 10 · 7,98 = 1071 N/mm² ≤ 0,65 · fpk = 1150,5 N/mm² 7.2.3 Begrenzung der Betonstahlspannungen (DIN Fb 102. II, 4.4.1.3) Die Stahlspannung muss so begrenzt werden, dass nichtelastische Dehnungen im Stahl verhindert werden. (wird im Rahmen dieses Beispiels nicht vorgeführt)


68

7.3 Mindestbewehrung (DIN Fb 102, II, 4.4.2.2) 7.3.1 Robustheitsbewehrung Zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens ist eine Robustheitsbewehrung einzulegen, die verhindern soll, dass das Bauteil bei Erstrissbildung versagt. Größe des Momentes bei Erstrissbildung: Mcr = fctm · Wc = 3,2 · 0,2301 = 0,7364 MNm Hebelarm der inneren Kräfte beim Übergang des Querschnitts in Zustand II: z = 0,9 · d = 0,9 · 0,92 = 0,80 m

As,min = yk

cr

fzM⋅

= 41050080,0

7364,0⋅

⋅ = 18,5 cm² geählt: 6 Ø 20 = 18,8 cm²


69

7.3.2 Mindestoberflächenbewehrung Zur Vermeidung von Rissen infolge nicht berücksichtigter Eigenspannungen ist bei vorgespannten Bauteilen immer eine netzförmige Oberflächenbewehrung einzulegen. Sie ist abhängig von den Bauteilabmessungen und der Betonfestigkeit.

Mindestoberflächenbewehrung an den Seiten der Stege: erf as,min = 0,5 · ρ · bw = 0,5 · 1,02·10-3 · 1,0 · 1,0 · 104 = 5,1 cm²/m Diese Bewehrung wäre auch im Steg unten einzubauen, wird jedoch durch die Robust-heitsbewehrung (s. 7.3.1) bereits abgedeckt.


70

7.3.3 Mindestbewehrung und Rissbreitenbeschränkung Der Nachweis im Grenzzustand der Rissbildung besteht aus zwei Teilen:

• Nachweis der Mindestbewehrung zur Verhinderung breiter Einzelrisse

Eine Mindestbewehrung zur Rissbreitenbeschränkung sollte immer in den Bereichen eingelegt werden, in denen unter nicht häufiger Einwirkungskombination Zugspannungen auftreten oder Druckspannungen dem Betrag nach kleiner als

1 MN/m² sind. Diese Mindestbewehrung ist ausreichend, wenn unter der Einwirkungskombination der maßgenbenden Anforderungsklasse (s. a. NW Dekompression) der Mittelwert der Zugfestigkeit (fctm) nicht erreicht wird.

• Überschreiten die Zugspannnungen aus der Einwirkungskombination der

maßgebenden Anforderungsklasse den Mittelwert der Zugfestigkeit, so ist darüber hinaus ein Rissbreitennachweis zu führen.

Beispiel: Leiteinwirkung Verkehr mit Lastgruppe 1 nicht häufige Kombination zur Abgrenzung, ob überhaupt Minstbewehrung einzu-

legen ist: MQ1’ = 0,8 · [0,502 + 1,097 + 0,095 + 0,482 + 0,5 · (0,172+0,061)] = 1,834 MNm MQ3 = 0,6 · 0,406 = 0,243 MNm (Temperatur) MQ4 = 0,190 MNm (wahrscheinliche Baugrundbewegung) oben unten Ac [m²] 1,9625 1,9625 Wc [m³] -0,4609 0,2301



zulässige Spannungen ≤ 0,00 ≥ – 1,00 Die Spannungen der nicht häufigen Kombination übersteigen den Grenzwert von – 1 MN/m². Eine Mindestwewehrung wird erforderlich.


71

+3,87

-2,29

667

333

419

248

333

maßgebend für die weiteren Nachweise wird Anforderungsklasse C → Nachweis der

Mindestbewehrung für die häufige Kombination MQ1’ = 0,75 · [1,097 + 0,482] + 0,40 · [0,502 + 0,095 + 0,5 · (0,172+0,061)] = 1,470 MNm MQ3 = 0,5 · 0,406 = 0,203 MNm (Temperatur) MQ4 = 0,190 MNm (wahrscheinliche Baugrundbewegung) oben unten Ac [m²] 1,9625 1,9625 Wc [m³] -0,4609 0,2301



zulässige Spannungen ≤ + 3,20 Dieser Nachweis zeigt, dass die Zugspannungen auch fctm übersteigen. Die eingelegte Mindestbewehrung muss also auch den Nachweis der Rissbreite erfüllen. Betonspannungen in Höhe der Schwereachse σcd = 0,9 · 4,996 / 1,9625 = -2,29 MN/m² Höhe der Zugzone: h = 0,419 m Querschnittsfläche des unter Zugspannungen stehenden Betons: Act ≤ 0,419 · 1,05 = 0,440 m² Beiwert zur Berücksichtigung der Spannungsverteilung in der Zugzone:

kc = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅σ

+⋅eff,ct1

c

fk14,0 mit k1 = 1,5 und fct,eff = 3,2 MN/m²

kc = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

−+⋅

2,35,129,214,0 = 0,21

Beiwert zur Berücksichtigung von Eigenspannungen: k = 0,5 (für h ≥ 0,80 m)


72

Die Grenzdurchmesser der nachfolgenden Tabelle gelten für eine Zugfestigkeit von fct0 = 3,0 MN/m². Bei einer Zugfestigkeit von fct,eff = 3,2 MN/m2 darf d modifiziert werden: ds

* = ds · fct0 / fct,eff = 20 · 3,0 / 3,2 = 18,7 mm

zulässige Stahlspannung für wk = 0,20 mm: σs = 197 mm (interpoliert) erforderliche rissbreitenbeschränkende Bewehrung

As,min = s

cteff,ctc

Afkk

σ⋅⋅⋅

= 410197440,02,35,021,0 ⋅⋅⋅⋅ = 7,53 cm²

≤ 18,8 cm² = vorh As Die Mindestbewehrung aus 7.3.1(duktiles Bauteilverhalten) bleibt maßgebend.

identisch mit den Werten der Tabelle 4.120 des DIN Fb 102, II, Abschnitt 4.4.2.2)

Beispiel zur Bemessung einer Spannbetonbrücke · Es gibt tägliche und jahreszeitliche...

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