Beispiel zur Minimalkostenkombination - · PDF fileBeispiel zur Minimalkostenkombination...
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Beispiel zur Minimalkostenkombination Gegeben sei die Produktionsfunktion x = − (r 1 − 5) 2 − (r 2 − 5) 2 + 12 , Die Faktorpreise q 1 , q 2 der Produktionsfaktoren lauten q 1 = 4 , q 2 = 6 (GE/ME). a) Bestimmen Sie die Grenzen des ökonomischen Bereichs (Ridge Lines). b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination für eine Produktionsmenge von x = 8 ME algebraisch und weisen Sie ihre Optimalität nach. Wie groß sind in die- sem Fall die Kosten und der Lagrangesche Multiplikator? c) Welche Produktmenge kann maximal bei einem Kostenbudget von K = 30 herge- stellt werden? a) Bestimmung der Ridge Lines: sein muss r h d r r r x 5 . . ; 5 0 10 2 1 1 1 1 ≤ = ⇒ = + − = δ δ sein muss r h d r r r x 5 . . ; 5 0 10 2 2 2 2 2 ≤ = ⇒ = + − = δ δ b) Algebraische Lösung: L (r 1 , r 2 , λ) = 4 ⋅ r 1 + 6 ⋅ r 2 + λ ⋅ (8 – x ) 0 ) 10 2 ( 4 ) 1 ( 1 1 = − ⋅ + = r r L λ δ δ 0 ) 10 2 ( 6 ) 2 ( 2 2 = − ⋅ + = r r L λ δ δ 0 12 ) 5 ( ) 5 ( 8 ) 3 ( 2 2 2 1 = − − + − + = r r L δλ δ
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Beispiel zur Minimalkostenkombination
Gegeben sei die Produktionsfunktion
x = − (r1 − 5)2 − (r2 − 5)2 + 12 ,
Die Faktorpreise q1, q2 der Produktionsfaktoren lauten q1 = 4 , q2 = 6 (GE/ME).
a) Bestimmen Sie die Grenzen des ökonomischen Bereichs (Ridge Lines).
b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination für eine Produktionsmenge von x = 8 ME algebraisch und weisen Sie ihre Optimalität nach. Wie groß sind in die-sem Fall die Kosten und der Lagrangesche Multiplikator?
c) Welche Produktmenge kann maximal bei einem Kostenbudget von K = 30 herge-stellt werden?
a) Bestimmung der Ridge Lines:
seinmussrhdrrrx 5..;50102 1111
≤=⇒=+−=δδ
seinmussrhdrrrx 5..;50102 2222
≤=⇒=+−=δδ
b) Algebraische Lösung:
L (r1 , r2 , λ) = 4 ⋅ r1 + 6 ⋅ r2 + λ ⋅ (8 – x )
0)102(4)1( 11
=−⋅+= rrL λ
δδ
0)102(6)2( 22
=−⋅+= rrL λ
δδ
012)5()5(8)3( 22
21 =−−+−+= rrL
δλδ
25
236012408
1026
1024
121221
−=⇒−=−⇒−
−=−
− rrrrrr
eingesetzt in (3):
012)525
23()5(8 2
12
1 =−−−+−+ rr
04
3092
654
131
21 =+− rr
8906,31 =r 578,358028,1336,32 === Kr λ
c) Algebraische Lösung:
L (r1 , r2 , λ) = − (r1 − 5)2 − (r2 − 5)2 + 12 – λ ⋅ (4 ⋅ r1 + 6 ⋅ r2 – 8 )
04)102()1( 11
=⋅−+−= λδδ r
rL
06)102()2( 22
=⋅−+−= λδδ rrL
03064)3( 21 =+−−= rrLδλδ
25
236012408
102102
64
12122
1 −=⇒+−=+−⇒+−+−= rrrr
rr
eingesetzt in (3):
030)25
23(64 11 =+−⋅−⋅− rr
769,0,31,41335
1345 04513 211 ==⇒=⇒=⇒=+⋅− λxrrr
