Berechnungen in der Antriebstechnik: Reduktion elastischer ... in der... · Abaqus: Continuum...

Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg

Berechnungen in der Antriebstechnik:

Reduktion elastischer Strukturen und Anwendung verschiedener Koppelbedingungen

D. Billenstein, F. Nützel, C. Glenk, F. Rieg

17. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag

Universität Bayreuth, 16.09.2015

Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg D. Billenstein, F. Nützel, C. Glenk, F. Rieg

17. Bayreuther Konstrukteurstag, 16.09.2015

Einleitung

2

Reduktion

Substrukturtechnik

Kopplung von Simulationsmethoden

Quelle: [9]

Quelle: [11]

Koppelbedingung

Schraubenvorspannung

Kopplung unterschiedlicher Elemente

Quelle: [4]



Inhalt

3

Reduktion

1) Motivation

2) Theorie

3) Anwendungsbeispiel

Koppelbedingung

1) Motivation

2) Theorie

3) Anwendungsbeispiel



Motivation

Reduktion

4

Wann ist eine Reduktion des FE-Modells sinnvoll?

Komplexe FEM-Modelle mit vielen Details und Freiheitsgraden

Einsparen von Rechenzeit bei der Berechnung mehrerer Lastfälle

Kopplung verschiedener Simulationsmethoden, z.B. FEA und MKS

Eigenschaften der statischen Reduktion

Kein Verlust von Steifigkeitsinformationen

Exakte Lösung

Auswahl der Master- und Slave-Knoten im Vorfeld

Master-Knoten für Randbedingungen und zur Auswertung

Wiederherstellung der kondensierten Slave-Knoten

Arten der FE-Reduktion

Statische Reduktion

Dynamische Reduktion

Master-Knoten

Slave-Knoten



𝐾𝑠𝑠 𝐾𝑠𝑚𝐾𝑚𝑠 𝐾𝑚𝑚

𝑢𝑠𝑢𝑚=𝐹𝑠𝐹𝑚=0𝐹𝑚

Theorie – Guyan-Reduktion

Reduktion

5

positiv definite, symmetrische Matrix

K Kss

Kmm

Ksm

Kms

Ziel: in reduziertes System überführen

𝐾 𝑢 = 𝐹

𝐾𝑠𝑠 𝑢𝑠 + 𝐾𝑠𝑚 𝑢𝑚 = 0 𝑢𝑠 = −𝐾𝑠𝑠−1𝐾𝑠𝑚 𝑢𝑚

𝑢 =𝑢𝑠𝑢𝑚= −𝐾𝑠𝑠

−1𝐾𝑠𝑚𝐼

𝑢𝑚 = 𝑇𝑢𝑚

𝐾 𝑢 =𝐾𝑠𝑠 𝐾𝑠𝑚𝐾𝑚𝑠 𝐾𝑚𝑚

−𝐾𝑠𝑠−1𝐾𝑠𝑚𝐼

𝑢𝑚 = 𝐾 𝑇𝑢𝑚 = 𝐹

𝐾 𝑇 𝑢𝑚 = 𝐹 | ∗ 𝑇𝑇 (𝑣𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠)

𝑻𝑻 𝑲 𝑻𝑲𝒓𝒆𝒅

𝒖𝒎 = 𝑻𝑻 𝑭 𝑭𝒎

!

Quelle: [6]



𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4𝑢5𝑢6𝑢7𝑢8

=

𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4𝑢5𝑢6𝑢7𝑢8

=

𝐹1𝐹2𝐹3𝐹4𝐹5𝐹6𝐹7𝐹8

𝐹1𝐹2𝐹3𝐹4𝐹5𝐹6𝐹7𝐹8

𝑥𝑥𝑥

⋮ 𝑥⋮ 𝑥

𝑥𝑥

𝑥 ⋯ ⋯ 𝑥

Theorie – Einheitsreduktion

Reduktion

6

Einheitslasten Einheitsverschiebungen

1 2

3 4

5 6

7 8

𝑲𝒖 = 𝑭

Gezielte Aufgabe einer Einheitslast auf die zu reduzierenden Freiheitsgrade

Gezielte Aufgabe einer Einheitsverschiebung auf die zu reduzierenden Freiheitsgrade (Lagerung der anderen Reduktions-FG)

𝑆𝑆𝑥

⋮ 𝑥⋮ 𝑥

𝑥𝑥

𝑥 ⋯ ⋯ 𝑆

𝑲𝒖 = 𝑭

mit S: Skalierungsfaktor der Randbedingungen

Statische Bestimmtheit ohne die Reduktionsknoten notwendig



𝛼𝑆 0 00 𝛼𝑆 0𝐹3 𝐹3 𝐹3𝐹4 𝐹4 𝐹4𝐹5 𝐹5 𝐹5𝐹6 𝐹6 𝐹6𝐹7 𝐹7 𝐹70 0 𝛼𝑆

𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥

=

𝛼 0 00 𝛼 0𝐹3 𝐹3 𝐹3𝐹4 𝐹4 𝐹4𝐹5 𝐹5 𝐹5𝐹6 𝐹6 𝐹6𝐹7 𝐹7 𝐹70 0 𝛼


=


𝑥𝑥𝑥

⋮ 𝑥⋮ 𝑥

𝑥𝑥

𝑥 ⋯ ⋯ 𝑥

Theorie – Einheitsreduktion

Reduktion

7

Einheitslasten Einheitsverschiebungen

1 2

3 4

5 6

7 8

𝑲𝒖 = 𝑭

Gezielte Aufgabe einer Einheitslast auf die zu reduzierenden Freiheitsgrade

𝒖𝒓𝒆𝒅 =

𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥

𝑲𝒓𝒆𝒅 = 𝛼 𝒖𝒓𝒆𝒅−𝟏

Elementweise Invertierung von führt zu 𝒖𝒓𝒆𝒅

𝒖𝒓𝒆𝒅−𝟏 =

1

𝑢11⋮ ⋱1

𝑢𝑛1⋯1

𝑢𝑛𝑛

mit n: reduzierende FG

Gezielte Aufgabe einer Einheitsverschiebung auf die zu reduzierenden Freiheitsgrade (Lagerung der anderen Reduktions-FG)

𝑭𝒌𝒏𝒐𝒕𝒆𝒏 = 𝑲𝒓𝒆𝒅 =

1

𝛼

𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑥 𝑥

𝑲𝒓𝒆𝒅

𝒖𝒌𝒏𝒐𝒕𝒆𝒏

𝑆𝑆𝑥

⋮ 𝑥⋮ 𝑥

𝑥𝑥

𝑥 ⋯ ⋯ 𝑆

𝑲𝒖 = 𝑭

Berechnung der Knotenkräfte mit 𝑲𝒖𝒌𝒏𝒐𝒕𝒆𝒏 = 𝑭𝒌𝒏𝒐𝒕𝒆𝒏

mit S: Skalierungsfaktor der Randbedingungen

Statische Bestimmtheit ohne die Reduktionsknoten notwendig



Anwendungsbeispiel - Kurbelwelle

Reduktion

8

Kurbelwelle

Steifigkeitsbasierte Auslegung

Berechnung mehrerer Kurbelwinkel

Auswertung der Durchbiegung

Fragen

Durchbiegung des Kurbelzapfens

Standard-FEA vs. FEA mit reduziertem Modell

Lagerstellen

Kraftangriff Verschiebungs-auswertung

Master-Knoten



0.0E+00

2.0E-03

4.0E-03

6.0E-03

8.0E-03

1.0E-02

1.2E-02

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ver

sch

ieb

un

g in

mm

Breite des Kurbelzapfens in mm

disX

disY

disZ

disMag

0.0E+00

2.0E-03

4.0E-03

6.0E-03

8.0E-03

1.0E-02

1.2E-02

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ver

sch

ieb

un

g in

mm

Breite des Kurbelzapfens in mm

disX

disY

disZ

disMag

Ergebnisse – Durchbiegung Kurbelzapfen

Reduktion

9

Volles FE-Modell Reduziertes FE-Modell

Vergleich der Berechnungsmethoden

Übereinstimmung der Verschiebungsergebnisse

Numerische Schwankung im Bereich < 3 ‰



Motivation

Koppelbedingung

10

Slav

ekn

ote

n (

S)

Mas

terk

no

ten

(M

)

Bewegungsverteilung

Kraft-/Momentverteilung

Resultierende Kraft/Moment II

I

III

Übertragungsmöglichkeiten

Resultierende Bewegung IV

𝐹𝑀 𝐹𝑆



Theorie

Koppelbedingung

11

Einbaumöglichkeiten von MFCs

Arten von Koppelbedingung

• Multi Freedom Constraint (MFC): Imaginäre, masselose Verbindung von zwei oder mehreren Verschiebungskomponenten

Weiche Kopplung

Starre Kopplung

• Strukturelemente (Balken, Stäbe, …)

Transformations-Verfahren

𝑇𝑇𝐾𝑇 𝑢 = 𝑇𝑇𝐹

Lagrange-Verfahren

𝐾 𝐺𝑇

𝐺 0

𝑢λ=𝐹0

Penalty-Verfahren

𝐾 + 𝑃𝐶 𝑢 = 𝐹



Anwendungsbeispiel - Planetenrad

Koppelbedingung

12

Planetenrad

Zusammenhang zwischen Verformungsverhalten bzw. Belastungen und Planetenrad und Planetenradlagerung bei dünnen Radkränzen

Bei direkt gelagerten, dünnwandigen Planeten sind gerade diese gegenseitigen Abhängigkeiten aber nicht mehr vernachlässigbar

Fragen

Realistische Modellierung der Planetenradlagerung

Wahl der FE-Randbedingungen

Verformungsverhalten des Planetenrads

Quelle: [10]



Planetenrad – FE-Modellierungsansätze

Koppelbedingung

13

FE-Modell Referenz

Planetenradbolzen wird mitmodelliert

Festhaltung in der Eingriffslinie

Kontaktbedingung: Reibungsfrei

Aufgabe des Drehmoments in der Planetenradbohrung

FE-Modell Kopplung

Planetenradbolzen wird nicht modelliert

Festhaltung in der Eingriffslinie

Übertragung des Drehmoments und Kompensation des Bolzens mittels Koppelbedingungen

Koppelbedingungen: Weich, Starr

Quelle: [8]



0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

2.50E-03

3.00E-03

3.50E-03

Ve

rsch

ieb

nu

ng

an K

no

ten

22

99

0 in

mm

Z88: KB_StarreKopplung

Abaqus: MPC Beam

Abaqus: KinematicCoupling

Vergleich starre Kopplung

Koppelbedingung

14

Modellierungsvarianten

Z88: Starre Koppelung

ABAQUS: MPC Beam, Kinematic Coupling

Fazit

MPC Beam und Kinematic Coupling (alle Freiheitsgrade verbunden) in Abaqus identisch

Versteifung der Planetenradbohrung

Maximale relative Abweichung zwischen der starren Kopplung in Z88 und Abaqus ist betragsmäßig 0,548 %



-40

-20

0

20

40

-40 -20 0 20 40

Z88: weicheKopplung

Abaqus:ContinuumDistributing

x-y-Koordinaten in 10-3 mm

Vergleich weiche Kopplung

Koppelbedingung

15


Z88: Weiche Kopplung

ABAQUS: Continuum Distributing Coupling

Fazit

Verformung der Planetenradbohrung zulässig (keine Einbringung einer Steifigkeit durch die Kopplung)

Maximale relative Abweichung zwischen der weichen Kopplung in Z88 und Abaqus ist betragsmäßig 4,924 %



-50

-30

-10

10

30

50

-50 -30 -10 10 30 50

Z88: Referenz

Z88: starre Kopplung

Z88: weiche Kopplung

x-y-Koordinaten in 10-3 mm

Referenz vs. Kopplung in Z88

Koppelbedingung

16


Weiche Kopplung

Starre Kopplung

Referenz

Fazit

Weiche Kopplung zu elastisch

Ideale Biegesteifigkeit der starren Kopplung verhindert Rotation der Verzahnung

Ideale radiale Steifigkeit der starren Kopplung verhindert Aufweitung der Planetenradbohrung

-60

-40

-20

0

20

40

60

-60-40-200204060

x10



Zusammenfassung

17

Reduktion Koppelbedingung

Drei Reduktionsverfahren in Z88 umgesetzt und validiert

Schnellere Berechnung mehrerer Lastfälle bei gleicher Ergebnisgüte

Weiche und starre Kopplung in Z88 umgesetzt und validiert

Unterschiedliche Methoden der Drehmomentaufbringung

Ausblick

Untersuchung der Koppelbedingungen zur Verbindung von Struktur- und Kontinuumselementen

Verbindung der Reduktionssolver mit verschiedenen Koppelbedingungen zur Zusammenführung von Analytik und Numerik



18

Anhang



Exemplarischer Würfel

Reduktion

19

Reduktionsknoten

Quadratisches Tetraeder-Netz (101627 Knoten und 70628 Elementen)

Kred mit Abaqus

Kred mit Z88

Quelle: [8]



Exemplarischer Würfel

Reduktion

20

9,28335169E+04

3,81653694E+04 9,04405308E+04

1,62041410E+04 1,32280113E+04 3,79675732E+04

-2,42828349E+04 -1,73781748E+04 -1,33705327E+04 8,79842318E+04

1,78478567E+04 -3,73931816E+04 1,67571895E+04 -3,42934453E+04 9,14937608E+04

-1,62041410E+04 -1,32280113E+04 -3,79675732E+04 1,33705327E+04 -1,67571895E+04 3,79675732E+04

-3,68202908E+04 1,48819797E+04 1,37810598E+04 -2,73887851E+04 3,62527225E+04 -1,37810598E+04 8,79549930E+04

-2,09211562E+04 -2,47202512E+04 -1,67486075E+04 3,74593997E+04 -3,07324545E+04 1,67486075E+04 -3,45315495E+04 8,92893782E+04

-1,62041410E+04 -1,32280113E+04 -3,79675732E+04 1,33705327E+04 -1,67571895E+04 3,79675732E+04 -1,37810598E+04 1,67486075E+04 3,79675732E+04

-3,17303912E+04 -3,56691744E+04 -1,66146681E+04 -3,63126117E+04 -1,98071339E+04 1,66146681E+04 -2,37459171E+04 1,79933059E+04 1,66146681E+04 9,17889201E+04

-3,50920700E+04 -2,83270980E+04 -1,32365933E+04 1,42122203E+04 -2,33681247E+04 1,32365933E+04 -1,66031527E+04 -3,38366726E+04 1,32365933E+04 3,74830024E+04 8,55318953E+04

1,62041410E+04 1,32280113E+04 3,79675732E+04 -1,33705327E+04 1,67571895E+04 -3,79675732E+04 1,37810598E+04 -1,67486075E+04 -3,79675732E+04 -1,66146681E+04 -1,32365933E+04 3,79675732E+04

9,28335000E+04

3,81654000E+04 9,04405000E+04

1,62041000E+04 1,32280000E+04 3,79676000E+04

-2,42828000E+04 -1,73782000E+04 -1,33705000E+04 8,79843000E+04

1,78479000E+04 -3,73932000E+04 1,67572000E+04 -3,42935000E+04 9,14938000E+04

-1,62041000E+04 -1,32280000E+04 -3,79676000E+04 1,33705000E+04 -1,67572000E+04 3,79676000E+04

-3,68203000E+04 1,48820000E+04 1,37811000E+04 -2,73888000E+04 3,62527000E+04 -1,37811000E+04 8,79550000E+04

-2,09212000E+04 -2,47202000E+04 -1,67486000E+04 3,74594000E+04 -3,07325000E+04 1,67486000E+04 -3,45316000E+04 8,92894000E+04

-1,62041000E+04 -1,32280000E+04 -3,79676000E+04 1,33705000E+04 -1,67572000E+04 3,79676000E+04 -1,37811000E+04 1,67486000E+04 3,79676000E+04

-3,17304000E+04 -3,56692000E+04 -1,66147000E+04 -3,63126000E+04 -1,98071000E+04 1,66147000E+04 -2,37459000E+04 1,79933000E+04 1,66147000E+04 9,17889000E+04

-3,50921000E+04 -2,83271000E+04 -1,32366000E+04 1,42122000E+04 -2,33681000E+04 1,32366000E+04 -1,66032000E+04 -3,38367000E+04 1,32366000E+04 3,74830000E+04 8,55319000E+04

1,62041000E+04 1,32280000E+04 3,79676000E+04 -1,33705000E+04 1,67572000E+04 -3,79676000E+04 1,37811000E+04 -1,67486000E+04 -3,79676000E+04 -1,66147000E+04 -1,32366000E+04 3,79676000E+04

Kred Z88

Kred Abaqus

-0,0000182%

0,0000801% -0,0000340%

-0,0002528% -0,0000857% 0,0000706%

-0,0001437% 0,0001451% -0,0002443% 0,0000775%

0,0002427% 0,0000491% 0,0000629% 0,0001596% 0,0000428%

-0,0002528% -0,0000857% 0,0000706% -0,0002443% 0,0000629% 0,0000706%

0,0000250% 0,0001362% 0,0002914% 0,0000543% -0,0000621% 0,0002914% 0,0000079%

0,0002096% -0,0002070% -0,0000445% 0,0000007% 0,0001481% -0,0000445% 0,0001462% 0,0000244%

-0,0002528% -0,0000857% 0,0000706% -0,0002443% 0,0000629% 0,0000706% 0,0002914% -0,0000445% 0,0000706%

0,0000277% 0,0000719% 0,0001917% -0,0000323% -0,0001714% 0,0001917% -0,0000721% -0,0000329% 0,0001917% -0,0000218%

0,0000856% 0,0000071% 0,0000503% -0,0001428% -0,0001058% 0,0000503% 0,0002846% 0,0000810% 0,0000503% -0,0000064% 0,0000055%

-0,0002528% -0,0000857% 0,0000706% -0,0002443% 0,0000629% 0,0000706% 0,0002914% -0,0000445% 0,0000706% 0,0001917% 0,0000503% 0,0000706%

𝐾𝑟𝑒𝑑,𝑍88,𝑖,𝑗 − 𝐾𝑟𝑒𝑑,𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠,𝑖,𝑗

𝐾𝑟𝑒𝑑,𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠,𝑖,𝑗=

Die betragsmäßig maximale Abweichung beträgt lediglich 0,0188166%.



Theorie – Starre Kopplung

Koppelbedingung

21

𝑢𝑥𝑆

𝑢𝑦𝑆

𝑢𝑧𝑆

𝜃𝑥𝑆

𝜃𝑦𝑆

𝜃𝑧𝑆

=

1 0 0 0 𝑑𝑧 −𝑑𝑦0 1 0 −𝑑𝑧 0 𝑑𝑥0 0 1 𝑑𝑦 −𝑑𝑥 0

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

𝑢𝑥𝑀

𝑢𝑦𝑀

𝑢𝑧𝑀

𝜃𝑥𝑀

𝜃𝑦𝑀

𝜃𝑧𝑀

𝑂𝑑𝑒𝑟

𝑈𝑆 = 𝑈𝑀 + 𝜃𝑀 × 𝑑 𝜃𝑆 = 𝜃𝑀

Quelle: [2]

Gekoppelte Freiheitsgrade des Slaveknoten beliebig wählbar



Theorie – Starre Kopplung (Herleitung)

Koppelbedingung

22

Drehung eines Punktes um einen anderen Punkt 𝑥1𝑆 = 𝑥0

𝑆 + 𝑥0𝑆 − 𝑥0

𝑀 cos 𝜃𝑧𝑀 − 𝑦0

𝑆 − 𝑦0𝑀 sin 𝜃𝑧

𝑀

𝑦1𝑆 = 𝑦0

𝑆 + 𝑥0𝑆 − 𝑥0

𝑀 sin 𝜃𝑧𝑀 + 𝑦0

𝑆 − 𝑦0𝑀 cos 𝜃𝑧

𝑀

𝐾𝑙𝑒𝑖𝑛𝑤𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑛äℎ𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔: 𝜃𝑧𝑀 ≪ 1

𝑢𝑥,𝑟𝑜𝑡𝑆 = 𝑥1

𝑆 − 𝑥0𝑆 = −𝜃𝑧

𝑀 𝑦0𝑆 − 𝑦0

𝑀

𝑑𝑦

𝑢𝑦,𝑟𝑜𝑡𝑆 = 𝑦1

𝑆 − 𝑦0𝑆 = 𝜃𝑧

𝑀 𝑥0𝑆 − 𝑥0

𝑀

𝑑𝑥



Theorie – Weiche Kopplung

Koppelbedingung

23

𝑅𝑀𝑀𝑈𝑀 + 𝑅𝑀𝑁𝑈𝑁 = 0

1 0 0 0 𝑑𝑧 −𝑑𝑦

0 1 0 −𝑑𝑧 0 𝑑𝑥

0 0 1 𝑑𝑦 −𝑑𝑥 0

0 −𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑒𝑦𝑧 0 0

𝑑𝑧 0 −𝑑𝑥 0 𝑒𝑧𝑥 0

−𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 0 0 𝑒𝑥𝑦

𝑢𝑥𝑀

𝑢𝑦𝑀

𝑢𝑧𝑀

𝜃𝑥𝑀

𝜃𝑦𝑀

𝜃𝑧𝑀

+1

𝑊𝑇𝑅𝑀1𝑅𝑀2⋯𝑅𝑀𝑁

𝑈1

𝑈2

⋮𝑈𝑁

= 0

𝑚𝑖𝑡 𝑅𝑀𝑖 =

−𝜔𝑖 0 00 −𝜔𝑖 00 0 −𝜔𝑖

0 𝜔𝑖𝑑𝑧𝑖 −𝜔𝑖𝑑𝑦

𝑖

−𝜔𝑖𝑑𝑧𝑖 0 𝜔𝑖𝑑𝑥

𝑖

𝜔𝑖𝑑𝑦𝑖 −𝜔𝑖𝑑𝑥

𝑖 0

, 𝑈𝑖 =

𝑢𝑥𝑖

𝑢𝑦𝑖

𝑢𝑧𝑖

Quelle: [1]



Theorie – Weiche Kopplung (Herleitung)

Koppelbedingung

24 Quelle: [1]

Kräftegleichgewicht:

𝑢𝑥𝑀 + 𝑑𝑧𝜃𝑦

𝑀 − 𝑑𝑦𝜃𝑧𝑀 −

𝜔𝑖

𝑊𝑇

𝑁

𝑖=1

𝑢𝑥𝑖 = 0

𝑢𝑦𝑀 − 𝑑𝑧𝜃𝑥

𝑀 + 𝑑𝑥𝜃𝑧𝑀 −

𝜔𝑖

𝑊𝑇

𝑁

𝑖=1

𝑢𝑦𝑖 = 0

𝑢𝑧𝑀 + 𝑑𝑦𝜃𝑥

𝑀 − 𝑑𝑥𝜃𝑦𝑀 −

𝜔𝑖

𝑊𝑇

𝑁

𝑖=1

𝑢𝑧𝑖 = 0

𝑚𝑖𝑡 𝑊𝑇 = 𝜔𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑑𝑥 =1

𝑊𝑇 𝜔𝑖𝑁

𝑖=1

𝑑𝑥𝑖 , 𝑑𝑦 =

1


𝑖=1

𝑑𝑦𝑖 , 𝑑𝑧 =

1


𝑖=1

𝑑𝑧𝑖

𝑑𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑀 𝑑𝑦

𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑀 𝑑𝑧𝑖 = 𝑧𝑖 − 𝑧𝑀

𝑒𝑥𝑦 =1


𝑖=1

𝑟𝑥𝑦𝑖 2, 𝑒𝑦𝑧 =

1


𝑖=1

𝑟𝑦𝑧𝑖 2, 𝑒𝑧𝑥 =

1


𝑖=1

𝑟𝑧𝑥𝑖 2

Momentengleichgewicht:

𝑒𝑦𝑧𝜃𝑥𝑀 − 𝑑𝑧𝑢𝑦

𝑀 + 𝑑𝑦𝑢𝑧𝑀 +1


𝑖=1

𝑑𝑧𝑖𝑢𝑦𝑖 −1


𝑖=1

𝑑𝑦𝑖 𝑢𝑧𝑖 = 0

𝑒𝑧𝑥𝜃𝑦𝑀 + 𝑑𝑧𝑢𝑥

𝑀 − 𝑑𝑥𝑢𝑧𝑀 −1


𝑖=1

𝑑𝑧𝑖𝑢𝑥𝑖 +1


𝑖=1

𝑑𝑥𝑖 𝑢𝑧𝑖 = 0

𝑒𝑥𝑦𝜃𝑧𝑀 − 𝑑𝑦𝑢𝑥

𝑀 + 𝑑𝑥𝑢𝑦𝑀 +1


𝑖=1

𝑑𝑦𝑖 𝑢𝑥𝑖 −1


𝑖=1

𝑑𝑥𝑖 𝑢𝑦𝑖 = 0



Theorie – Weiche Kopplung (Herleitung)

Koppelbedingung

25 Quelle: [1]



Literatur

26

[1] Case, B.: MYSTRAN - User Reference Manual (2011). URL: http://www.mystran.com/Executable/MYSTRAN-Users-Manual.pdf (Abgerufen am 02.09.2015).

[2] Perlemuter, A.V.; Slivker, V.I.: Numerical Structural Analysis. 1. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, 2003.

[3] Felippa, C.A.: Introduction to Finite Element Methods (21.08.2015). Department of Aerospace Engineering Sciences, University of Colorado. URL: http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/ (Abgerufen am 02.09.2015).

[4] Nasdala, L.: FEM-Formelsammlung: Statik und Dynamik. 2. Aufl., Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 2012.

[5] Wissmann, J.; Sarnes, K.-D.: Finite Elemente in der Strukturmechanik. 1. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[6] Qu, Z.-Q.; Model Order Reduction Techniques with Applications in Finite Element Analysis. 1. Aufl., Springer-Verlag, London, 2004.

[7] Cheung, Y.K.; Lo, S.H.; Leung, A.Y.T.: Finite Element Implementation. 1. Aufl., Blackwell Science Ltd, Oxford, 1996.

[8] Rieg, F.; Hackenschmidt, R.; Alber-Laukant, B.: Finite Elemente Analyse für Ingenieure (Grundlagen und praktische Anwendungen mit Z88Aurora). 5. Aufl., Carl Hanser Verlag, München, 2014.



Literatur

27

[9] CADFEM GmbH: CADFEM-WikiPLUS – Substrukturtechnik (2013). URL: http://www.esocaet.com/wikiplus/index.php/Substrukturtechnik (Abgerufen am 06.09.2015).

[10] Vogel Antriebstechnik GmbH: Planetengetriebe – Funktionsbeschreibung. URL: http://www.vogel-antriebe.de/de/produkte/spielarme-planetengetriebe/planetengetriebe-funktion/ (Abgerufen am 06.09.2015).

[11] FVA GmbH: FVA-Forschungsvorhaben 711.

Berechnungen in der Antriebstechnik: Reduktion elastischer ... in der... · Abaqus: Continuum...

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