Nennspannungsunabhaengige Lebensdauervorhersage auf der … · Nennspannungsunabh¨angige...

Nennspannungsunabhangige Lebensdauervorhersage

auf der Grundlage linear elastischer

Finite-Elemente-Methode Berechnungen

Von der Fakultat fur Verkehrs- und Maschinensystemeder Technischen Universitat Berlin

zur Verleihung des akademischen Grades einesDoktor der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.)

genehmigte Dissertation

vonDipl.-Ing. Christian Mourier

aus Hamburg

Berlin, 2002D 83

Promotionsausschuß:

Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. D. Severin

Berichter: Prof. Dr.-Ing. H. MertensProf. Dipl.-Ing. A. Zander

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 09. August 2001

Danksagung

Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaft-licher Mitarbeiter am Institut fur Maschinenkonstruktion - Fachgebiet Kon-struktionslehre der Technischen Universitat Berlin und in der Zeit, in der ichin der Konstruktionsabteilung der MAN Turbomaschinen AG GHH BORSIGbeschaftigt war. Fur die Forderung des Forschungsvorhabens bin ich der Deut-schen Forschungsgemeinschaft DFG zu Dank verpflichtet.

Meinem Doktorvater Herrn Professor Dr.-Ing. H. Mertens gilt mein besondererDank. Durch viele Gesprache und Anregungen hat er mich nicht nur wahrendmeiner Tatigkeit am Institut, sondern auch danach stets gefordert und damitwesentlich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen.

Herrn Prof. Dipl.-Ing. A. Zander danke ich fur das entgegengebrachte Interesseund die kritische Durchsicht dieser Arbeit sowie Herrn Prof. Dr.-Ing. D. Severinfur die Ubernahme des Vorsitzes im Promotionsausschuß.

Fur die gute Zusammenarbeit, die anregenden Diskussionen und die Unterstut-zung bei meiner Tatigkeit im Fachgebiet mochte ich mich bei den Mitarbeiterndes Fachgebiets herzlich bedanken. Mein Dank gilt auch den Studenten, dieim Rahmen von Studien- und Diplomarbeiten zu meiner Arbeit beigetragenhaben.

Nicht zuletzt danke ich meiner inzwischen großen Familie. Meine Frau Angelikahat mich durch Diskussionen und Korrekturlesen tatkraftig unterstutzt. Unserevier Sohne Leonard, Felix, Andreas und Tobias haben mir immer wieder Kraftzur Vollendung dieser Arbeit gegeben.

Berlin, im April 2002 Christian Mourier

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis XI

Tabellenverzeichnis XIV

1 Einleitung 11.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Grundlagen der Lebensdauerbewertung 42.1 Werkstoffmodell bei homogener Beanspruchung . . . . . . . . . 4

2.1.1 Dauerfestigkeit einachsig belasteter ungekerbter Probe-stabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Zeitfestigkeit einachsig belasteter ungekerbter Probesta-be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2.1 Spannungs- und Dehnungs-Wohlerlinien . . . . 82.1.2.2 Zyklische Spannungs-Dehnungskurve . . . . . . 92.1.2.3 Berucksichtigung des Mittelspannungseinflus-

ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Festigkeitshypothesen bei mehrachsiger Beanspruchung 12

2.2 Werkstoffmodell bei inhomogener Beanspruchung . . . . . . . . 202.2.1 Stutzwirkungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1.1 Mikrostutzwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1.2 Makrostutzwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Fertigungseinflusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Erweiterung der Drei-Invarianten-Hypothese 323.1 Invarianten phasenverschobener Spannungen . . . . . . . . . . . 333.2 Vergleichsspannungs-Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Einfrequente Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Mehrfrequente Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Stutzwirkungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.1 Mikrostutzwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Makrostutzwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.2.1 Unteres Niveau der modifizierten Neuber -Hy-perbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.2.2 Fließbehinderung an Kerben . . . . . . . . . . 733.4 Vergleichsmittelspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5 Lebensdauer-Bewertungskonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Abschatzformeln benotigter Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . 82

V

VI INHALTSVERZEICHNIS

4 Validierung der Hypothese 874.1 Ungekerbte Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Dauerfestigkeit ungekerbter Bauteile . . . . . . . . . . . 874.1.2 Zeitfestigkeit ungekerbter Bauteile . . . . . . . . . . . . 98

4.2 Gekerbte Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2.1 Spannungs-Wohlerlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2.2 Nachrechnung von Versuchsergebnissen . . . . . . . . . 120

5 Zusammenfassung und Ausblick 126

A Erganzungen zur Drei-Invarianten-Hypothese 129A.1 Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129A.2 Abstandsfunktion fur synchrone mehrfrequente Beanspruchun-

gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

B Diagramme der Fließbehinderung ϕ 137B.1 Diagramme fur konstante Durchmesserverhaltnisse . . . . . . . 139B.2 Diagramme fur konstante Kerbtiefe . . . . . . . . . . . . . . . . 148

C Tabellarische Zusammenstellung von Mikrostutzziffern 154

D Beispiele der Bauteilelementierung 164

E Dauerfestigkeits-Hypothesen 170E.1 Schubspannungs-Intensitats-Hypothese . . . . . . . . . . . . . . 170E.2 Quadratische Versagens-Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Nomenklatur 173

Literaturverzeichnis 182

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 2.1: Schwingbelastung fur ein Spannungsverhaltnis R . 5Abbildung 2.2: Haigh-Schaubild nach Gl.(2.3) fur verschiedene Pa-

rameterwerte b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Abbildung 2.3: Haigh-Schaubild fur verschiedene Mittelspannungs-

empfindlichkeiten M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Abbildung 2.4: Dehnung-Wohlerlinien fur eine wechselnde Bean-

spruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Abbildung 2.5: Dreiachsiger Spannungszustand an einem infinitesi-

malen rechtwinkligen Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . 13Abbildung 2.6: Dreiachsiger Spannungszustand an einer beliebig

gedrehten Schnittflache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Abbildung 2.7: Mehrachsiger Spannungszustand fur einen gekerbten

Rundstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Abbildung 2.8: Bezogenes Anstrengungsgefalle χ . . . . . . . . . . 24Abbildung 2.9: Bezogenes Anstrengungsgefalle χ0 aus der Belastung

und χ aus der Belastung und der Kerbe, entnommen links [67]und rechts [61] (χ entspricht G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Abbildung 2.10: Modifizierte Neuber -Hyperbel unter Berucksichti-gung der Fließbehinderung ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Abbildung 3.1: Verlauf der bezogenen Invarianten I1, I2 und I3 fureinen axialbelasteten Rundstab mit Umlaufkerbe . . . . . . . . 48

Abbildung 3.2: Definition des Volumenintegrals . . . . . . . . . . . 55Abbildung 3.3: Vergleich der Mikrostutzziffern nV,mod.Mises und

nH,Mises fur verschiedene Werkstoffstrukturlangen ρ∗ und Ker-bradien ρ bei konstanten Durchmessern d = 8mm und D =16mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Abbildung 3.4: Vergleich der Mikrostutzziffern nV,mod.Mises undnH,Mises fur geometrisch ahnliche Rundstabe unter Zugbelas-tung bei einer Werkstoffstrukturlange ρ∗ = 0, 17mm . . . . . . 59

Abbildung 3.5: Vergleich der Mikrostutzziffern nV,mod.Mises undnH,Mises fur verschiedene Bauteildurchmesser d, D und Kerbra-dien ρ bei einer konstanten Werkstoffstrukturlange ρ∗ =0, 1mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Abbildung 3.6: Auf den Maximalwert bezogener Verlauf der zweitenInvariante fur einen gekerbten und einen abgesetzten Rundstabunter Torsionsbelastung (ρ = 0, 25mm, d = 13, 5mm und D =14mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

VII

VIII ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildung 3.7: Vergleich experimenteller [32] und gerechneter zy-klischer Fließkurven fur den Werkstoff 42CrMo4V . . . . . . . . 69

Abbildung 3.8: Vergleich experimenteller [26] und gerechneter Fließ-kurven eines niederfesten Stahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Abbildung 3.9: Einfluß des unteren Niveaus der modifizierten Neu-ber -Hyperbel auf die ertragbare Lastwechselzahl fur einen zug-belasteten Rundstab mit Umdrehungskerbe und Versuchsergeb-nisse von Liebrich [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Abbildung 3.10: Einfluß des unteren Niveaus der modifizierten Neu-ber -Hyperbel auf die ertragbare Lastwechselzahl fur einen ge-kerbten, biegebelasteten Rundstab und Versuchsergebnisse vonPotter und Zenner [50] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Abbildung 3.11: Einfluß des unteren Niveaus der modifizierten Neu-ber -Hyperbel auf die ertragbare Lastwechselzahl fur einen torsi-onsbelasteten Rundstab mit Umdrehungskerbe und Versuchser-gebnisse von Potter und Zenner [50] . . . . . . . . . . . . . . . 72

Abbildung 3.12: Berechnete globale Fließbehinderungen ϕglobal mitund ohne Berucksichtigung von Gl.(3.82) und Versuchsergeb-nisse von Dietmann [7] aufgetragen uber dem bezogenen Span-nungsgradienten χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Abbildung 3.13: Einfluß des festigkeitssteigernden Effekts der Mehr-achsigkeit und Versuchsergebnisse von Liebrich [34] . . . . . . . 75

Abbildung 3.14: Schematische Vorgehensweise zur Lebensdauerbe-wertung beginnend bei den Eingangsgroßen bis zu den von derLastwechselzahl abhangigen Großen . . . . . . . . . . . . . . . 80

Abbildung 3.15: Schematische Vorgehensweise zur Lebensdauerbe-wertung fur die von der Lastwechselzahl abhangigen Großen . . 81

Abbildung 3.16: Bestimmung der Geometrieparameter a und b furgekerbte bzw. abgesetzte Rund- und Flachstabe . . . . . . . . . 86

Abbildung 4.1: Einfluß des Frequenzverhaltnisses bei einer wech-selnden Normal- und einer wechselnden Schubspannung mitδxy = 0 und Versuchsergebnissen von Mielke [44] und Kaniut[29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Abbildung 4.2: Einfluß der Phasenverschiebung δyy bei zwei schwel-lenden Normalspannungen mit dreieckiger Schwingungsform undVersuchsergebnissen von Bhongbhibhat [3] . . . . . . . . . . . . 90

Abbildung 4.3: Einfluß der Phasenverschiebung δyy bei zwei si-nusformig schwellenden Normalspannungen fur unterschiedlicheWerkstoffkennwerte τW und Versuchsergebnisse von Bhongbhib-hat [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

ABBILDUNGSVERZEICHNIS IX

Abbildung 4.4: Einfluß der Phasenverschiebung δyy bei zwei schwel-lenden Normalspannungen mit trapezformiger Schwingungsformund Versuchsergebnissen von Bhongbhibhat [3] . . . . . . . . . 93

Abbildung 4.5: Einfluß der Phasenverschiebung δyy fur eine tra-pezformige Last-Zeit-Funktion berechnet in unterschiedlichenKoordinatensystemen und Versuchsergebnisse von Bhongbhibhat[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Abbildung 4.6: Einfluß der Phasenverschiebung δxy bei einer wech-selnden Normal- und einer wechselnden Schubspannung mit si-nusformiger Schwingungsform und Versuchsergebnissen von Hei-denreich u.a. [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Abbildung 4.7: Einfluß der Phasenverschiebung δxy bei einer wech-selnden Normal- und einer wechselnden Schubspannung mit tra-pezformiger Schwingungsform und Versuchsergebnissen von Hei-denreich u.a. [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Abbildung 4.8: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Sonsino [60] fur einen glatten Hohlstabunter uberlagerter Zug- und Torsionsbelastung bei 0 Phasen-verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Abbildung 4.9: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Sonsino [60] fur einen glatten Hohlstabunter uberlagerter Zug- und Torsionsbelastung bei 90 Phasen-verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Abbildung 4.10: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Haibach und Matschke [24] fur einen glat-ten und einen gekerbten Flachstab unter wechselnder Zug-Druckbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Abbildung 4.11: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Liebrich [34] fur einen glatten und einengekerbten Rundstab unter wechselnder Zug-Druckbelastung . . 104

Abbildung 4.12: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Liebrich [34] fur einen glatten und einengekerbten Rundstab unter schwellender Zug-Druckbelastung . . 105

Abbildung 4.13: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Baier [1] fur einen gekerbten Rundstabunter Zugwechselbelastung mit uberlagerter konstanter Zugmit-tellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Abbildung 4.14: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Baier [1] fur einen gekerbten Rundstab un-ter Zugwechselbelastung mit uberlagerter konstanter Torsions-mittellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

X ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildung 4.15: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Baier [1] fur einen gekerbten Rundstab un-ter schwellender Zugbelastung mit uberlagerter konstanter Tor-sionsmittellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Abbildung 4.16: Berechnete Mikrostutzziffern n2o bei unterschiedli-chen Kerbspannungen σxxa fur die Versuchsergebnisse von Baier[1] unter schwellender Zugbelastung mit uberlagerter konstanterTorsionsmittellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Abbildung 4.17: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Potter und Zenner [50] fur einen gekerbtenRundstab unter wechselnder Biege- und Torsionsbelastung . . . 115

Abbildung 4.18: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Simburger [57] fur einen abgesetzten Rund-stab unter uberlagerter Biege- und Torsionsbelastung bei 0 Pha-senverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Abbildung 4.19: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Ver-suchsergebnissen von Simburger [57] fur einen abgesetzten Rund-stab unter uberlagerter Biege- und Torsionsbelastung bei 90

Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Abbildung 4.20: Vergleich der mit der DIH´2000 berechneten Woh-

lerlinien bei 0 und 90 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . 119Abbildung 4.21: Vergleich der mit der DIH´95 berechneten Wohler-

linien bei 0 und 90 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . 120

Abbildung B.1: Bezogenes Anstrengungsgefalle χ0 aus der Bela-stung und χ aus der Belastung und der Kerbe, entnommen [67] 138

Abbildung B.2: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=1,01und verschiedene Verhaltnisse b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139






Abbildung B.8: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=1,667 und verschiedene Verhaltnisse b . . . . . . . . . . . . . . 145

Abbildung B.9: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=2und verschiedene Verhaltnisse b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

ABBILDUNGSVERZEICHNIS XI

Abbildung B.10: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=3und verschiedene Verhaltnisse b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Abbildung B.11: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis b=1und verschiedene Verhaltnisse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148






Abbildung D.1: Bauteilelementierung eines Rundstabes mit derGeometrie nach Potter und Zenner [50] . . . . . . . . . . . . . 165

Abbildung D.2: Detailausschnitt der Bauteilelementierung einesRundstabes mit der Geometrie nach Potter undZenner [50] . . 166

Abbildung D.3: Detailausschnitt der Bauteilelementierung amPunkt der hochsten Beanspruchung (Geometrie nach Potter undZenner [50]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Abbildung D.4: Bauteilelementierung eines Rundstabes mit derGeometrie nach Simburger [57] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Abbildung D.5: Bauteilelementierung eines Rundstabes mit derGeometrie nach Liebrich [34] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Tabellenverzeichnis

Tabelle 3.1: Mikrostutzziffern der Invarianten I1a, I2a und der vonMises-Vergleichsspannung fur verschiedene Kerbradien ρ berech-net mit Gl.(3.50), Gl.(3.51) und Gl.(3.57) . . . . . . . . . . . . 51

Tabelle 3.2: Vergleichsspannungs-Amplituden σG,va nach Gl.(3.52)und σH,va nach Gl.(3.58) fur verschiedene Kerbradien ρ . . . . 52

Tabelle 3.3: Mikrostutzziffern der Invarianten I1a, I2a und der mo-difizierten von Mises-Vergleichsspannung fur verschiedene Kerb-radien ρ berechnet mit Gl.(3.61 und 3.62) . . . . . . . . . . . . 57

Tabelle 3.4: Mikrostutzziffern der Invarianten I1, I2 und der mo-difizierten von Mises-Vergleichsspannung fur verschiedene Be-lastungsarten, Stabformen und Kerbgeometrien berechnet mitGl.(3.61 und 3.62) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Tabelle 3.5: Globale Fließbehinderung ϕglobal fur verschiedene Stab-formen, Kerbgeometrien und Belastungsarten . . . . . . . . . . 75

Tabelle 3.6: Globale Fließbehinderung ϕglobal fur zusammengesetzteBelastungen an unterschiedlich gekerbten Rundstaben . . . . . 77

Tabelle 4.1: Werte des unteren Niveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel σo,mod.Mises und der Fließbehinderung ϕo fur verschie-dene Kerbspannungsamplituden σxxa bei uberlagerter konstan-ter Torsionsmittelspannung σxym . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Tabelle 4.2: Iterative Bestimmung der ertragbaren LastwechselzahlN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Tabelle 4.3: Iterative Bestimmung der ertragbaren LastwechselzahlN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Tabelle C.1: Mikrostutzziffern der Invarianten I1 (Biegebeanspru-chung) und I2 (Torsionsbeanspruchung) fur glatte Rundstabemit verschiedenen Durchmesser D und Werkstoffstrukturlangenρ∗ berechnet nach Gl.(3.61 und 3.62) . . . . . . . . . . . . . . . 154

Tabelle C.2: Mikrostutzziffern der Invarianten I1, I2 und der von Mi-ses- bzw. modifizierten von Mises-Vergleichsspannung fur Rund-stabe mit Umlaufkerbe unter Zugbelastung . . . . . . . . . . . 155

Tabelle C.3: Mikrostutzziffer nV,12a eines Rundstabs mit Umlauf-kerbe unter uberlagerter Zug-Druck- und Torsionsbelastung furverschiedene Nennspannungsverhaltnisse T/S, Werkstoffstruk-turlangen ρ∗, Kerbradien ρ und Phasenverschiebungen δxy . . . 159

XII

TABELLENVERZEICHNIS XIII

Tabelle C.4: Mikrostutzziffer nV,12a eines glatten Rundstabs un-ter uberlagerter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung furein Nennspannungsverhaltnis T/SBiegung = 1 und eine Werk-stoffstrukturlange ρ∗ = 0, 17mm sowie verschiedene Spannungs-verhaltnisse SZug/SBiegung und Phasenverschiebungen δxy undδxx,Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Tabelle C.5: Mikrostutzziffer nV,12a eines gekerbten Rundstabs un-ter uberlagerter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung furein Spannungsverhaltnis T/SBiegung = 1 und eine Werkstoff-strukturlange ρ∗ = 0, 20mm sowie verschiedene Spannungsver-haltnisse SZug/SBiegung und Phasenverschiebungen δxy undδxx,Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Tabelle C.6: Mikrostutzziffern eines gekerbten Rundstabs unter uber-lagerter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung fur eine Werk-stoffstrukturlange ρ∗ = 0, 20mm sowie verschiedene Kerbradien,Spannungsverhaltnisse und Phasenverschiebungen . . . . . . . . 162

Tabelle C.7: Mikrostutzziffern eines gekerbten Rundstabs unter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung fur eine Werkstoffstruk-turlange ρ∗ = 0, 20mm sowie verschiedene Kerbradien . . . . . 163

1 Einleitung

1.1 Einfuhrung

Die Bedeutung schneller und zuverlassiger Lebensdauervorhersagen fur metal-lische Bauteile nimmt immer mehr zu. Grunde hierfur sind beispielsweise dieForderungen nach

- verkurzten Liefer- und Produktentwicklungszeiten durch Einsparung vonVersuchszeiten,

- Material- und Gewichtseinsparungen und

- Vorhersagen zur Nutzungsdauer von Produkten abhangig vom Anwen-dungsbereich.

Besonders fur schwingende Beanspruchungen von Maschinenbauteilen, wie zumBeispiel von Wellen, Laufradern, etc., sind zuverlassige Lebensdauervorhersa-gen aufgrund der Gefahr von Schwingbruch unerlaßlich. In der Konstruktions-praxis stehen zwei unterschiedliche Methoden,

- Nennspannungskonzepte und

- ortliche Konzepte,zur Lebensdauervorhersage zur Verfugung. Klassische Nennspannungskonzep-te zeichnen sich dadurch aus, daß die Spannungsermittlung auf stark verein-fachten Annahmen beruht. Die schadensrelevanten Spannungsuberhohungenan Kerben, Einspann- und Kontaktstellen werden im zulassigen Spannungs-wert berucksichtigt. Die Ubertragung dieses zulassigen Spannungswertes aufein anderes Bauteil hangt von der Ahnlichkeit ab. Sind die Bauteile ahnlich, istdie Vorhersagegute der Lebensdauer sehr hoch. Anderenfalls mussen aufwendi-ge Versuche durchgefuhrt werden, um den zulassigen Wert zu ermitteln.

Den neuesten Stand des technischen Regelwerkes auf dem Gebiet der Lebens-dauervorhersage mit Nennspannungskonzepten bilden die DIN 743 [9] und dieFKM-Richtlinie [19]. Die Anwendung dieser Konzepte auf eine umfangreicheVersuchsdatenmenge wird von Mertens und Linke in [43] dargestellt. Vergli-chen werden die beiden Regelwerke mit einem modifizierten Konzept von Hahn[21], das von Mertens und Linke [43] insbesondere im Bereich phasenverschobe-ner Beanspruchungszustande zur Anwendung empfohlen wird, da es die hochsteVorhersagegute bietet.

Die zweite Methode zur Lebensdauervorhersage sind die ortlichen Konzepte.Grundlage dieser Konzepte sind die i.d.R. elastisch bestimmten ortlichen Span-nungen, die vielfach mit Finite-Elemente-Methode (FEM) Programmen berech-net werden. Sie berucksichtigen Spannungsumlagerungen aus Eigenspannungs-

1

2 1 Einleitung

und Betriebsbelastungszustanden. Eine zusammenfassende Darstellung derar-tiger Konzepte ist im FKM-Heft 139 [14] enthalten.

Zur Berechnung der im Kerbgrund tatsachlich auftretenden Spannungen undDehnungen werden i.a. Naherungsbeziehungen verwendet, da elastisch-pla-stische FEM-Berechnungen sehr hohe Rechenzeiten erfordern. Die in [14] be-schriebenen ortlichen Konzepte verwenden als Naherungsbeziehung entwederdie klassische Neuber -Hyperbel oder eine Modifikation von Seeger. Eine Fe-stigkeitssteigerung aufgrund lokaler Mehrachsigkeit (Fließbehinderung), wie siebereits von Ludwik [36] bei Spannungs-Dehnungs-Messungen an glatten undunterschiedlich gekerbten Probestaben beobachtet wurde, wird nicht beruck-sichtigt. Buxbaum weist in [4] darauf hin, daß dieser festigkeitssteigernde Effektauch bei schwingender Beanspruchung berucksichtigt werden sollte. Von Mer-tens, Dittmann und Hahn [40, 10, 21] wurde deshalb eine modifizierte Neuber -Hyperbel entwickelt und bei der Bestimmung der ortlichen Spannungen undDehnungen der Effekt der sogenannten Fließbehinderung berucksichtigt.

Diese Spannungsumlagerungen erstrecken sich auf einen großeren Bauteilbe-reich und werden i.a. mit dem Begriff Makrostutzwirkung bezeichnet. Danebenerfahrt die elastizitatstheoretische Spannungsspitze unabhangig von der Bela-stungshohe eine weitere Stutzwirkung. Nach Neuber [47] sind die sogenannteMikrostutzwirkung, die nur einen kleinen Bauteilbereich erfaßt, und die Ma-krostutzwirkung unabhangig voneinander und konnen gleichzeitig wirken. ZurBerucksichtigung der Mikrostutzwirkung wurden zahlreiche Ansatze entwickelt[8, 21, 47, 61, 66].

Im FKM-Heft 189 [15] wird gezeigt, daß die Lebensdauervorhersagen nach demortlichen Konzept die Aussagegute von Nennspannungskonzepten fur experi-mentell bestimmte Wohlerlinien nicht erreichen. Zur Verbesserung der Lebens-dauervorhersage wurden modifizierte ortliche Schadigungsmodelle vorgeschla-gen [16, 30, 31]. Gemeinsames Kennzeichen dieser Modelle ist, daß sie die Am-plituden und Mittelspannungen bei der Bewertung nicht trennen. Von Mer-tens und seinen Mitarbeitern [40, 10, 21] wurde ein anderer Weg beschrit-ten. Sie formulierten zur Bewertung mehrachsiger Beanspruchungszustandewie in der Konstruktionspraxis ublich eine einachsige Vergleichsspannungs-Amplitude und eine einachsige Vergleichsmittelspannung. Diese werden mitlastwechselzahlabhangigen Haigh- oder Smith-Schaubildern in eine rein wech-selnde Belastung umgerechnet. Die Lebensdauervorhersage erfolgt dann an-hand der Werkstoff-Wohlerlinie.

1.2 Ziel der Arbeit

Ziel dieser Arbeit ist es, ein nennspannungsunabhangiges Konzept zur Lebens-dauervorhersage fur mehrachsig schwingbeanspruchte, metallische Bauteile so-

1.2 Ziel der Arbeit 3

wohl im Dauer- als auch im Zeitfestigkeitsbereich zu entwickeln. Aufbauendauf den Ergebnissen von Mertens [39, 40], Dittmann [10] und Hahn [21] sol-len damit auch komplizierte Bauteilgeometrien bewertet werden, fur die keineNennspannungen formuliert werden konnen. Der Ubergang zu Nennspannungs-konzepten ist aufzuzeigen.

Die ortlichen Beanspruchungen werden mit der Finite-Elemente-Methode line-ar elastisch berechnet. Zur Berucksichtigung der Spannungsumlagerung sindneue Stutzwirkungskonzepte zu formulieren, in denen die spannungsmindern-den Mikrostutzziffern und Makrostutzziffern sowie die verformungsbehindern-den Mehrachsigkeitszahlen entgegen der bisherigen Vorgehensweise ohne Bezugzu einer Nennspannung und geometrieabhangigen Großen definiert werden sol-len. Mittelspannungsbehaftete Beanspruchungszustande sind wie in der Kon-struktionspraxis ublich mit Haigh- oder Smith-Schaubildern zu bewerten. Furdie bei der Berechnung benotigten Werkstoffkennwerte, die teilweise nicht vor-liegen, sind Schatzformeln bereitzustellen.

Weiterhin ist die Bewertung von dreiachsigen Spannungszustanden, wie sie bei-spielsweise in Kontaktstellen auftreten, einzuarbeiten. Dafur sind die Invari-anten der Drei-Invarianten-Hypothese (DIH) entsprechend zu entwickeln. Dermehrachsige Spannungszustand ist mit Hilfe von Invarianten auf eine einach-sige Vergleichsspannungs-Zeitfunktion zu reduzieren, um das aus einachsigenVersuchen vorhandene Werkstoffwissen nutzen zu konnen.

Als Last-Zeitfunktion werden beliebige periodische Funktionen vorausgesetzt,womit die einzelnen Lasten zueinander phasenverschoben und mit unterschied-lichen Frequenzen schwingen konnen. Nicht weiter sollen stochastische Bela-stungen untersucht werden, die in den Bereich der Betriebsfestigkeitsuntersu-chungen gehoren, da sie den Rahmen dieser Arbeit sprengen wurden.

2 Grundlagen der

Lebensdauerbewertung

Die Lebensdauerbewertung im Dauer- und Zeitfestigkeitsbereich ist im wesent-lichen abhangig von dem verwendeten Werkstoff, den Belastungsarten und de-ren Zeitverlaufen und der Bauteilgeometrie. Das reine Werkstoffverhalten wirddurch einzelne statische und dynamische Kennwerte wie beispielsweise die Zug-festigkeit Rm oder die Zug- Druck-Wechselfestigkeit σW charakterisiert.Im allgemeinen werden die Kennwerte an kleinen nicht gekerbten Proben mit ei-ner homogenen Beanspruchung ermittelt. Eine homogene Beanspruchung liegtdann vor, wenn die Spannungsverteilung uber den gesamten Querschnitt gleich-maßig ist, wie beispielsweise fur einen axial zugbelasteten Stab. Demgegenuberist der aus den Belastungsarten Biegung bzw. Torsion hervorgerufene Span-nungszustand bereits inhomogen, was dann eine Stutzwirkung zur Folge habenkann. Unabhangig von der Belastungsart besitzen gekerbte Bauteile einen aus-gepragten inhomogenen Spannungszustand im Bereich der Kerbe.

Im Folgenden wird die Vorgehensweise zur Beurteilung des Werkstoffverhaltensbei homogener (Kapitel 2.1) und inhomogener (Kapitel 2.2) Beanspruchungbeschrieben.

2.1 Werkstoffmodell beihomogener Beanspruchung

2.1.1 Dauerfestigkeit einachsig belasteterungekerbter Probestabe

Fur den Festigkeitsnachweis im Bereich der Dauerfestigkeit ist die Zug- oderDruckbeanspruchung eines ungekerbten Stabes die einfachste Form. Eineschwingende Beanspruchung setzt sich im allgemeinen aus einem schwingen-den Anteil σa (Amplitude) und einem ruhenden Anteil σm (Mittelspannung)zusammen. Kennzeichnen laßt sie sich durch das sogenannte Spannungsverhalt-nis R

R =σu

σo=σm − σa

σm + σa, (2.1)

das der Quotient aus Unter- und Oberspannung ist (σu = σm − σa und σo =σm + σa).

Fur Spannungsverhaltnisse R 6= −1, also eine Beanspruchung mit einer Mit-telspannung, kann sich diese mindernd auf die dauerfest vom Werkstoff er-

4

2.1 Werkstoffmodell bei homogener Beanspruchung 5

s

Z e i ts u

s o

s m

s a

s a

Abbildung 2.1: Schwingbelastung fur ein Span-nungsverhaltnis R

tragbare Spannungsamplitude σA auswirken. Zur Darstellung dieses Einflusseswird das Schwingfestigkeitsschaubild nach Haigh verwendet. Den funktionalenZusammenhang zwischen der Mittelspannung σm (oder einer Vergleichsmittel-spannung σvm) und der ertragbaren Amplitude σA versucht man empirisch zuerfassen.

Die einfachste Form der Abhangigkeit ist die Beschreibung durch eine Gerademit der negativen Steigung M, zu deren Bestimmung nach Schutz [53] lediglichder reine Wechselversuch (R = −1) und der Schwellversuch (R = 0) benotigtwerden:

M =σA(R = −1)− σA(R = 0)

σm(R = 0)=σW − σschw

2σschw

2

. (2.2)

Die Verwendung dieser Geraden fuhrt bei hohen Mittelspannungen zu Aussa-gen, die zur unsicheren Seite tendieren. Es wurden deshalb in der Vergangen-heit eine Reihe von unterschiedlichen Ansatzen (z.B. [6, 39, 62]) vorgestellt.Zu nennen ist Goodman, nach dessen Ansatz die Abzisse bei der ZugfestigkeitRm geschnitten wird. Von Mertens und Hahn [42] wurde eine quadratischeBeziehung mit zwei Parametern b und R∗

m

σvm

R∗m

=2b·(

1− σA

σW

)− 2− b

b·(

1− σA

σW

)2

(2.3)

vorgeschlagen, die bei der Nachrechnung von Versuchsergebnissen auch mithohen Mittellasten zufriedenstellende Ergebnisse lieferte.

Der fiktive Kennwert R∗m, der den Schnittpunkt der Dauerfestigkeitslinie mit

der σvm-Achse beschreibt, wird mit den Randbedingungen

6 2 Grundlagen der Lebensdauerbewertung

[σvm]R=0 =12· σschw

[σA]R=0 =12· σschw

(2.4)

an die Schwellfestigkeit des Werkstoffs angepaßt.

Fur b = 1 ergibt sich die Beziehung nach [39], wahrend b = 2 eine Geradeliefert. In [42] wird der Parameter b so angepaßt, daß die Dauerfestigkeitsliniedie σvm-Achse unter 45 schneidet (siehe Abbildung 2.2).

s A

s W

1 / 2 s s c h w

1 / 2 s s c h w s v m4 5 °

b = 1 b = 2

Abbildung 2.2: Haigh-Schaubild nach Gl.(2.3) fur verschiedene Pa-rameterwerte b

R∗m und b lassen sich dann zu

b =2 · (1 + 2 ·M)

2 + 2 ·M −M2

⇒ R∗m =

1 + 2 ·MM · (2 +M)

· σW

(2.5)

bestimmen. Damit wird sichergestellt, daß die Oberspannung einer einachsigenBelastung nicht großer werden kann als der fiktive Kennwert R∗

m. Zur leichterenHandhabung kann Gl.(2.3) zweckmaßigerweise nach der ertragbaren AmplitudeσA mit der Abkurzung Q

Q =σW

R∗m

=M · (2 +M)

1 + 2 ·M=

4 ·(

σW

σschw

)2

− 1

4 · σW

σschw− 1

(2.6)


und dem in Gl.(2.1) definierten Spannungsverhaltnis R

σA

σW=−Q+

√Q2 + (1−Q) · (1−R)2

(1−Q) · (1−R)(2.7)

umgestellt werden. Der Einfluss der Mittelspannungsempfindlichkeit M auf

s A

s W

s v m4 5 °

M = 1 M = 0 , 5 M = 0 , 3 M = 0 , 2 M = 0 , 1

Abbildung 2.3: Haigh-Schaubild fur verschiedene Mittelspannungs-empfindlichkeiten M

die Dauerfestigkeitslinie ist in Abbildung 2.3 dargestellt. Um unzulassig großeBauteilverformungen zu vermeiden, ist die ertragbare Oberspannung bei rei-ner Zugbeanspruchung auf die statische Streckgrenze des Werkstoffs zu be-schranken, so daß die Dauerfestigkeitslinie im Haigh-Schaubild an der Streck-grenze abgeschnitten wird. Außerdem soll Gl.(2.7) nur fur Belastungen

σvm

σW> −1 (2.8)

angewendet werden, um die festigkeitssteigernde Wirkung von Druckmittel-spannungen nicht zu uberschatzen.

2.1.2 Zeitfestigkeit einachsig belasteterungekerbter Probestabe

Die Lebensdauerbewertung im Zeitfestigkeitsbereich ordnet einer gegebenenBeanspruchung eine ertragbare Lastwechselzahl N zu. Hierfur existiert eineVielzahl von Konzepten, die alle die Kenntnis der Spannungs- oder Dehnungs-Wohlerlinie voraussetzen. Um den Mittelspannungseinfluß zu berucksichtigen,werden entweder sogenannte Schadigungsparameter oder lastspielzahlabhangi-ge Haigh-Schaubilder verwendet.


2.1.2.1 Spannungs- und Dehnungs-Wohlerlinien

Fur den funktionalen Zusammenhang zwischen der ertragbaren Beanspru-chungsamplitude σA und der zugehorigen Lastwechselzahl N wird ublicherweisedie Formulierung von Basquin [22]

σA = σD ·(ND

N

)1/k

fur N ≤ ND (2.9)

verwendet. In Gl.(2.9) steht σD fur die Dauerschwingfestigkeit und ND fur diezugehorige Ecklastspielzahl. Die Beziehung liefert fur die Spannungs-Wohlerli-nie eine Gerade im doppeltlogarithmischen Maßstab, deren negative Steigungdem Exponenten k entspricht.

Neben den Spannungen konnen auch die Dehnungen uber der LastwechselzahlN aufgetragen werden und man erhalt die entsprechenden Dehnungs-Wohler-linien.

Die totale Dehnungsamplitude εa,ges setzt sich aus dem der Spannung propor-tionalen elastischen Anteil εa,el und dem plastischen Anteil εa,pl zusammen

εa,ges =∆ε2

= εa = εa,el + εa,pl . (2.10)

l o g e ae f /

s f /E

l o g ( 1 / 2 ) l o g N

e a , g e se a , e le a , p l

Abbildung 2.4: Dehnung-Wohlerlinien fur einewechselnde Beanspruchung

Ausgehend von der Dauerfestigkeit, fur die der elastische Anteil maßgeblich ist,nimmt der Einfluß der plastischen Dehnungsamplitude zu und wird mehr undmehr lebensdauerbestimmend. Von Coffin [5], Manson [38] und Morrow [45]stammt der Ansatz zur funktionalen Beschreibung des Zusammenhangs zwi-schen der elastischen bzw. plastischen Dehnungsamplitude und der ertragbaren


Lastspielzahl N mit dem zyklischen Spannungskoeffizienten σ′

f , dem Exponen-ten b, der elastischen Dehnungs-Wohlerlinie, dem zyklischen Dehnungskoeffizi-enten ε

′

f und dem Exponenten c der plastischen Dehnungs-Wohlerlinie:

εa,el =σ′

f

E· (2 ·N)b

εa,pl = ε′

f · (2 ·N)c

(2.11)

Aufgetragen im doppeltlogarithmischen Maßstab ergeben sich wiederum zweiGeraden (siehe Abbildung 2.4). Die beiden Koeffizienten σ

′

f und ε′

f entspre-chen der sogenannten “wahren” Spannung und “wahren” Dehnung fur N =1/2, also unter Berucksichtigung der Probeneinschnurung.

2.1.2.2 Zyklische Spannungs-Dehnungskurve

Die zyklische Spannung- Dehnungskurve beschreibt den Zusammenhang zwi-schen der Spannungs- und der Dehnungs-Wohlerlinie. Versuchstechnisch kannsie auf drei verschiedene Arten ermittelt werden. Zum einen durch sogenann-te spannungsgesteuerte Versuche, fur die die wechselnde Ausschlagspannungkonstant gehalten wird. Nach einer gewissen Schwingspielzahl stellt sich ei-ne stabilisierte Hystereseschleife ein, d.h. die Dehnungsamplitude andert sichnicht mehr. Durch Wiederholung des Versuchs auf verschiedenen Lastniveauswird die zyklische Spannungs-Dehnungskurve als Verbindungslinie der Umkehr-punkte der stabilisierten Hysteresen gewonnen. Zum anderen konnen die stabi-lisierten Hysteresen auch durch dehnungsgesteuerte Versuche erzeugt werden.Da beide Verfahren recht aufwendig sind, wurde zur experimentellen Bestim-mung der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve der Incremental Step Test [33]vorgeschlagen. Fur die Versuchsdurchfuhrung wird nur eine Probe benotigt.Diese wird mit einer Dehnungsamplitude beaufschlagt, die in kleinen Schrit-ten zwischen Null und einem Großtwert zunachst gesteigert und dann wiedervermindert wird. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich stabilisierteHystereseschleifen ausgebildet haben. Die zyklische Spannungs-Dehnungskurveist wiederum die Verbindungslinie der Umkehrpunkte.Durch die parametrische Ramberg-Osgood -Beziehung [52]

∆ε2

= εa =σa

E+( σa

K ′

)1/n′

(2.12)

laßt sich die zyklische Spannungs-Dehnungskurve gut abbilden. Bei den ver-wendeten Parametern handelt es sich um den Verfestigungsexponenten n

′,

den zyklischen Festigkeitskoeffizienten K′und den Elastizitatsmodul E. Unter


Berucksichtigung der zyklischen 0,2%-Dehngrenze R′

p0,2 kann Gl.(2.12) auch

∆ε2

= εa = εa,el + εa,pl =σa

E+ 0, 002 ·

(σa

R′p0,2

)1/n′

(2.13)

geschrieben werden.

Der Zusammenhang von Spannungs-, Dehnungs-Wohlerlinie und zyklischerSpannungs-Dehnungskurve laßt sich an der Abhangigkeit der verwendeten Pa-rameter zeigen. Fur die elastischen Anteile in den Gl.(2.11) und (2.13) in Ver-bindung mit Gl.(2.9) ergibt sich fur glatte Stabe unter Zugbeanspruchung

b = −1k

(2.14)

und durch Elimination von 2N in Gl.(2.11) in Verbindung mit Gl.(2.12)

n′=b

cund K

′=

σ′

f

ε′ b/cf

. (2.15)

2.1.2.3 Berucksichtigung des Mittelspannungseinflusses

Die Spannungs-Wohlerlinie Gl.(2.9) gilt nur fur rein wechselnde Beanspruchun-gen. Zur Berucksichtigung von Mittelspannungen stehen prinzipiell zwei Wegezur Verfugung. Zum einen konnen Mittelspannungen nach einem Vorschlag vonSmith, Watson und Topper [59] in einem Schadigungsparameter PSWT

PSWT =√σo · εa · E =

√(σa + σm) · εa · E , (2.16)

der sowohl die wechselnden, als auch die ruhenden Anteile (σa und σm) der Be-anspruchung enthalt, berucksichtigt werden. Die ertragbare Lastspielzahl wirddann an einer speziellen Schadigungs-Wohlerlinie

PSWT |R=−1 =√σa · εa · E , (2.17)

die fur eine rein wechselnde Beanspruchung (σm = 0) ermittelt wird, bestimmt.Diese Schadigungs-Wohlerlinie kann entweder experimentell aufgenommen wer-den, oder durch Einsetzen von Gl.(2.11) in Gl.(2.17)

PSWT |R=−1 =√σ′f

2 · (2 ·N)2·b + E · σ′f · ε

′f · (2 ·N)b+c (2.18)

berechnet werden.

Dieses Verfahren impliziert allerdings eine Mittelspannungsempfindlichkeit M.Wird rein elastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt, dann ergibt sich fur


eine Zugwechselbelastung (σa = σW und εa = σW /E) ein SchadigungswertPSWT (R = -1)

[PSWT ]R=−1 =√σa · εa · E = σW (2.19)

und fur eine Zugschwellbelastung (σo = σschw und εa = σschw/2E) ein Schadi-gungswert PSWT (R = 0)

[PSWT ]R=−1 =√σo · εa · E =

12·√

2 · σschw . (2.20)

Mit Gl.(2.2) folgt dann fur PSWT (R = 0) = PSWT (R = -1)

M =√

2− 1 ≈ 0, 4 . (2.21)

Der Schadigungsparameter nach Smith, Watson und Topper setzt also eineMittelspannungsempfindlichkeit von M ≈ 0, 4 voraus. Hochfeste Werkstoffebesitzen hingegen eine Mittelspannungsempfindlichkeit, die deutlich großer ist,was dann wiederum bei Anwendung des Verfahrens zu Aussagen fuhrt, die aufder unsicheren Seite liegen. Es sind deshalb in der Vergangenheit zahlreicheModifikationen vorgeschlagen worden (z.B. [23], [25], [2]).

Das zweite Verfahren zur Berucksichtigung von Mittelspannungen fur Lebens-daueraussagen im Zeitfestigkeitsbereich verwendet sogenannte lastspielzahlab-hangige Haigh-Schaubilder, in denen jeder Zeitfestigkeitslinie eine konstanteLastspielzahl zugeordnet wird. Diese Vorgehensweise ist dem Konstrukteur we-sentlich vertrauter, da er dieses Verfahren ublicherweise bereits fur Dauerfes-tigkeitsaussagen mittelspannungsbehafteter Beanspruchungen verwendet.

Um die Zeitfestigkeitslinien fur verschiedene Lastspielzahlen N in Analogie zuGl.(2.7) bestimmen zu konnen, mussen die Parameter σW und Q formal in ih-re zeitfesten Werte σWN und QN uberfuhrt und eine entsprechende Annahmefur den Zeitfestigkeitsverlauf von QN getroffen werden. Da fur σW gerade dasSpannungsverhaltnis R = -1 ist, ergibt sich σWN gemaß Gl.(2.9) zu

σWN = σW ·(ND

N

)1/k

. (2.22)

Es wird vorausgesetzt, daß die Zeitfestigkeitslinie die Mittelspannungsachseσvm weiterhin bei dem nunmehr aber zeitfesten fiktiven Kennwert R∗

mN =σWN/QN schneidet. Mit der Annahme, daß fur diesen Quotienten ebenfallseine Wohlerliniengleichung entsprechend Gl.(2.9) mit dem noch unbekanntenExponenten k

′formuliert werden kann, gilt:

σWN

QN=σW

Q·(ND

N

)1/k′

. (2.23)


Mit den Gl.(2.22) und (2.23) laßt sich der gesuchte Zeitfestigkeitsverlauf vonQN

QN = Q ·(ND

N

)1/kQ

mit1kQ

≡ 1k− 1k′

(2.24)

als Wohlerliniengleichung mit dem Exponenten kQ angeben. Der Parameter Qist entsprechend Gl.(2.6) abhangig von der Mittelspannungsempfindlichkeit beiDauerfestigkeit. Ubertragen auf die Zeitfestigkeit ergibt sich fur QN

QN =MN · (2 +MN )

1 + 2 ·MN. (2.25)

Die lastspielzahlabhangige Mittelspannungsempfindlichkeit MN nimmt furden Grenzfall der Dauerfestigkeit den Wert M (MN = M) an, wahrend sichfur den Grenzfall der zugigen Beanspruchung (N = 1/2) der Wert eins (MN =1) ergibt, da beim Zugversuch eine beliebige Aufteilung in schwingende undruhende Anteile vorgenommen werden kann. Mit diesen beiden Bedingungenkann schließlich der noch unbekannte Exponent kQ

kQ =log (2 ·ND)

log(

1Q

) =log (2 ·ND)− log (Q)

(2.26)

berechnet werden. Die Formel zur Beschreibung der lastspielzahlabhangigenFestigkeitslinien im Haigh-Schaubild lautet damit:

σA

σWN=−QN +

√Q2

N + (1−QN ) · (1−R)2

(1−QN ) · (1−R). (2.27)

2.1.3 Festigkeitshypothesen beimehrachsiger Beanspruchung

Festigkeitskennwerte werden fast ausschließlich an nicht gekerbten, einachsigbeanspruchten Proben ermittelt. Demgegenuber mussen die Nachweise derHaltbarkeit eines Bauteils meist an gekerbten Stellen durchgefuhrt werden,an denen ein mehrachsiger Beanspruchungszustand herrscht. Es ist daher not-wendig, geeignete Vergleichsspannungen zu formulieren, um diese gekerbtenund mehrachsig beanspruchten Bauteile mit den zulassigen Festigkeitskenn-werten vergleichen zu konnen. Ob eine mehrachsige Beanspruchung vorliegt,laßt sich aus der außeren Belastung allein nicht angeben. Aufschluß geben dieMohr´schen Spannungskreise oder die Transformation des Spannungstensorsdurch Drehung des korpereigenen Koordinatensystems in ein Hauptachsensys-tem.


Wahrend bei statischer Beanspruchung ein einachsiger Vergleichsspannungs-wert zur Beurteilung der Haltbarkeit des Bauteils ausreicht, muß dieser Ver-gleichswert hingegen bei schwingender Beanspruchung aus einer Vergleichs-spannungs-Zeitfunktion ermittelt werden. Zunachst werden Vergleichsspannun-gen fur statische Beanspruchungen erlautert, um daraus auch fur schwingendeBeanspruchungen Festigkeitshypothesen abzuleiten.

Die von außen auf einen Korper einwirkenden Belastungen rufen flachenhaftverteilte Spannungen hervor. Zur Analyse dieser Spannungen wird an einerbeliebigen Stelle im Korper ein infinitesimales rechtwinkliges Volumenelement(Abbildung 2.5) herausgeschnitten.

s x x

s z z

s y y e y

e x

e z s z z

s x x

s y y

s x zs x y

s y z

s y x

s z y

s z x

( x )

( z )( y )

Abbildung 2.5: Dreiachsiger Spannungszustand an einem infinitesimalenrechtwinkligen Volumenelement

Auf den Flachen i (i = x, y, z) wird der Spannungsvektor σii in drei Kompo-nenten (σii und σij mit i6=j) jeweils in Richtung der Koordinatenachsen zerlegt.Die einander zugeordneten Schubspannungen sind nach dem Satz von Boltz-mann gleich (σij = σji). Der Spannungszustand dieses Volumenelements laßt


sich mathematisch kurz mit dem Spannungstensor S beschreiben A B [20]:

S =

σxx σxy σxz

σxy σyy σyz

σxz σyz σzz

eiej

S =∑

σij eiej

(2.28)

Durch eine Drehung des Koordinatensystems andern sich die einzelnen Span-nungskomponenten. In der um beliebige Winkel ϕ und γ gedrehten Schnit-tebene lassen sich drei Einheitsvektoren gemaß (Abbildung 2.6) definieren:

jg

s

e

x

r j

s r r

x

e y

e z

z

y

s r r

s r g

e r

e j

e g

Abbildung 2.6: Dreiachsiger Spannungszustand an einer belie-big gedrehten Schnittflache

Aeiej ist das dyadische Produkt der Einheitsvektoren ei und ej .BNach Einstein´scher Summenkonvention wird im weiteren auf das Summenzeichen ver-

zichtet, wenn nicht anders angegeben.


er = (sin γ · cosϕ sin γ · sinϕ cos γ) ei

eϕ = (− sinϕ cosϕ 0) ei (2.29)eγ = (− cos γ · cosϕ − cos γ · sinϕ sin γ) ei

Der Spannungstensor S∗ in diesem gedrehten Koordinatensystem laßt sich mitHilfe des Drehtensors D

D =

sin γ · cosϕ sin γ · sinϕ cos γ− sinϕ cosϕ 0

− cos γ · cosϕ − cos γ · sinϕ sin γ

eiej , (2.30)

dessen Koeffizientenmatrix orthogonalC ist, darstellenD:

S∗ = D · S ·DT . (2.31)

Die einzelnen Komponenten des Spannungstensors S∗ lauten:

σrr = σ∗xx = sin2 γ ·[σxx + σyy

2+σxx − σyy

2· cos 2ϕ+ σxy · sin 2ϕ

]+

sin 2γ · [σxz · cosϕ+ σyz · sinϕ] + σzz · cos2 γ

σrϕ = σ∗xy = − sin γ ·[σxx − σyy

2· sin 2ϕ− σxy · cos 2ϕ

]−

cos γ · [σxz · sinϕ− σyz · cosϕ]

σrγ = σ∗xz = − sin γ · cos γ ·[σxx + σyy

2+σxx − σyy

2· cos 2ϕ+

σxy · sin 2ϕ− σzz

]− cos 2γ · [σxz · cosϕ+ σyz · sinϕ]

(2.32)

σϕϕ = σ∗yy =σxx + σyy

2− σxx − σyy

2· cos 2ϕ− σxy · sin 2ϕ

σϕγ = σ∗yz = cos γ ·[σxx − σyy

2· sin 2ϕ− σxy · cos 2ϕ

]−

sin γ · [σxz · sinϕ− σyz · cosϕ]

σγγ = σ∗zz = cos2 γ ·[σxx + σyy

2+σxx − σyy

2· cos 2ϕ+ σxy · sin 2ϕ

]−

sin 2γ · [σxz · cosϕ+ σyz · sinϕ] + σzz · sin2 γ

CDamit gilt, daß die inverse Matrix D−1 gleich der transponierten DT ist.DD · S ist das Skalarprodukt der beiden Tensoren D und S.


Um verschiedene Spannungszustande miteinander vergleichen zu konnen, kanneine sogenannte Hauptachsentransformation durchgefuhrt werden. Der Span-nungstensor vereinfacht sich zu

S =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

mimj (2.33)

mit den speziellen Einheitsvektoren m. Neben diesen drei, von einer Drehungdes Koordinatensystems unabhangigen Spannungsgroßen σi (i=1, 2, 3), exis-tieren noch drei weitere unabhangige Großen I1, I2 und I3 E F,

I1 = Spur(S)

≡ σxx + σyy + σzz

I2 =12·[

Spur2(S)− Spur

(S 2) ]

≡ σxx · σyy + σxx · σzz + σyy · σzz − σ2xy − σ2

xz − σ2yz

(2.34)

I3 =16·[

Spur3(S)− 3 · Spur

(S)· Spur

(S 2)

+ 2 · Spur(S 3) ]

≡ σxx · σyy · σzz −[σxx · σ2

yz + σyy · σ2xz + σzz · σ2

xy

]+

2 · σxy · σxz · σyz ,

die als Invarianten des Spannungstensors bezeichnet werden. Werden die Span-nungskomponenten nach Gl.(2.32) in diese Gleichungen eingesetzt, laßt sich dieUnabhangigkeit vom gewahlten Koordinatensystem zeigen.

Mit den Invarianten konnen die klassischen Vergleichsspannungen nach der vonMises-G, der Normalspannungs-H und der SchubspannungshypotheseI ausge-druckt werden:

σv,MH =√I21 − 3 · I2 , (2.35)

σv,NSH = σ1 mit σ1 > σ2 > σ3 , (2.36)

σv,SSH = σ1 − σ3 mit σ1 > σ2 > σ3 . (2.37)

ESpur 2(S

)ist das Quadrat der Spur des Spannungstensors und Spur

(S 2

)ist die Spur

des Skalarproduktes von S mit sich selbst.FI3 ist gleich der Determinate der Koeffizientenmatrix des Spannungstensors.GWird im folgenden mit MH bezeichnet.HWird im folgenden mit NSH bezeichnet.IWird im folgenden mit SSH bezeichnet.


Dabei fließen die Invarianten in die Berechnung der Hauptspannungen uber dassogenannte charakteristische Polynom

σ3i − I1 · σ2

i + I2 · σi − I3 = 0 (2.38)

ein.

Die bisherigen Aussagen bezogen sich auf rein statische Beanspruchungen. Inder Praxis jedoch setzen sich die einzelnen Komponenten des SpannungstensorsS meist aus einer statischen und einer schwingenden Belastung zusammen. Beidem zeitabhangigen Term kann es sich um eine periodische oder eine stochas-tische Zeitfunktion handeln.

Im folgenden werden die periodischen Belastungen weiter untersucht. Stochas-tische Belastungen gehoren in den Bereich der Betriebsfestigkeitsbewertung,die nicht Gegenstand dieser Arbeit ist.

Durch eine Fourier-Analyse lassen sich fur jede Komponente σij(t) des Span-nungstensors S eine Mittelspannung σijm und fur jedes Frequenzverhaltnis λeine Amplitude σija,λ sowie eine zugehorige Phasenverschiebung δij,λ bestim-men (i, j = x, y, z). Die allgemeinen Beanspruchungen konnen kurz

σij(t) = σijm +n∑

λ=1

[σija,λ · sin (λωt− δij,λ)]

S(t) = Sm + Sa(t) ≡ So(t)

(2.39)

geschrieben werden.

Die Invarianten

I1a(t) = Spur(Sa(t)

)I2a(t) =

12·[

Spur2(Sa(t)

)− Spur

(Sa

2(t))]

I3a(t) =16·[

Spur3(Sa(t)

)−

3 · Spur(Sa(t)

)· Spur

(Sa

2(t))

+

2 · Spur(Sa

3(t))]

(2.40)

sind somit ebenfalls abhangig von der Zeit. Um die Vergleichsspannungs-Am-plitude fur die wechselnden Anteile beispielsweise nach der MH zu ermitteln,


ist das Maximum der Vergleichsspannungs-Zeitfunktion

σva,MH = max [σva,MH(t)] = max[√

I21a(t)− 3 · I2a(t)

](2.41)

zu bestimmen. Eine geschlossene Losung ist nur fur den Fall einer einfrequentennicht phasenverschobenen Beanspruchung moglich, fur den die Vergleichsspan-nungs-Amplitude entsprechend Gl.(2.35) berechnet werden kann.

Die Bestimmung der Vergleichsspannungs-Amplitude nach der NSH und derSSH ist fur den allgemeinen Fall recht aufwendig, da das korpereigene Haupt-achsensystem sich wahrend einer Periode dreht, so daß fur jeden Zeitpunktdie Losungen des charakteristischen Polynoms ermittelt werden mussen. DieVergleichsspannungs-Amplitude der NSH ist das Maximum der einzelnen Lo-sungen und der SSH das Maximum der Differenz der ersten und dritten Haupt-spannung.

Im Kapitel 3.1 wird gezeigt, wie sich zeitunabhangige phasenverschobeneSpannungskomponenten formuliert lassen.

Sind den schwingenden Anteilen der Belastungen noch ruhende Anteile uberla-gert, muß fur mehrachsige Belastungen neben der Vergleichsspannungs-Ampli-tude auch eine Vergleichsmittelspannung bestimmt werden. Hierfur bieten sichdie klassischen Festigkeitshypothesen entsprechend den Gl.(2.35 - 2.37) an. DieInvarianten I1m, I2m und I3m werden mit den Mittelspannungen der Kompo-nenten des Spannungstensors Sm gebildet:

I1m = Spur(Sm

)I2m =

12·[

Spur2(Sm

)− Spur

(Sm

2)]

I3m =16·[

Spur3(Sm(t)

)−

3 · Spur(Sm(t)

)· Spur

(Sm

2(t))

+

2 · Spur(Sm

3(t))]

(2.42)

Von Mertens [39] wurde fur zweiachsige Belastungen die Normalspannungshy-pothese

σvm = σ1m =12·[I1m +

√I21m − 4 · I2m

](2.43)

zur Berechnung der wirksamen Vergleichsmittelspannung vorgeschlagen. Mitihr werden Zug- bzw. Druckmittelspannungen unterschiedlich bewertet. Wah-


rend Zugspannungen zu einer positiven Vergleichsmittelspannung fuhren unddamit die ertragbare Amplitude mindern, ergibt sich fur Druckmittelspannun-gen eine Vergleichsmittelspannung von σvm = 0. Dittmann [10] und Jaenicke[28] haben diesen Ansatz erfolgreich bei der Nachrechnung von Versuchsergeb-nissen eingesetzt.

Die an Versuchsergebnissen [13, 27] beobachtete unterschiedlich festigkeitsmin-dernde Wirkung einer Mittelspannung in Richtung der wechselnden Normal-spannung bzw. senkrecht dazu, wird von Gl.(2.43) nicht berucksichtigt. VonHahn [21] stammt der an Versuchsergebnissen erfolgreich verifizierte Ansatz,die maßgebliche Vergleichsmittelspannung

σvm = max [σo,NSH(t)]−max [σa,NSH(t)] (2.44)

als Differenz der maximalen Oberspannung und der maximalen Ausschlagspan-nung zu ermitteln. Ihr jeweiliges zeitliches Maximum wird unabhangig vonein-ander bestimmt. Fur mehrachsige Belastungsfalle werden die Ober- und dieAusschlagspannung nach der NSH gebildet. Fur die wechselnden Anteile giltmit den Invarianten gemaß Gl.(2.40)

σa,NSH(t) = σ1,a mit (2.45)

σ31,a − I1a(t) · σ2

1,a + I2a(t) · σ1,a − I3a(t) = 0 , (2.46)

wahrend die Oberspannung

σo,NSH(t) = σ1,o mit (2.47)

σ31,o − I1o(t) · σ2

1,o + I2o(t) · σ1,o − I3o(t) = 0 (2.48)

und den Invarianten

I1o(t) = Spur(So(t)

)I2o(t) =

12·[

Spur2(So(t)

)− Spur

(So

2(t))]

I3o(t) =16·[

Spur3(So(t)

)−

3 · Spur(So(t)

)· Spur

(So

2(t))

+

2 · Spur(So

3(t))]

(2.49)

formuliert wird.


2.2 Werkstoffmodell beiinhomogener Beanspruchung

Reale Bauteile unterscheiden sich von Laborproben dadurch, daß sie inhomoge-ne Spannungsverteilungen infolge von Kerben, aber auch von fertigungsbeding-ten Eigenspannungen aufweisen. Unter dem Begriff Kerbe sollen im weiterensowohl Querschnittsanderungen als auch Lastein- oder -umleitungen verstandenwerden. Die Abmessungen der Laborproben sind in der Regel deutlich geringerals die realer Bauteile, um den Versuchsaufwand zu reduzieren. Daruber hinausbesitzen industriell gefertigte Oberflachen Rauhigkeiten, die in der Regel beiLaborproben vermieden werden, wenn nur das ”eigentliche“ Werkstoffverhaltenuntersucht werden soll.

Der inhomogene Spannungszustand in Kerben wird durch die Storung desKraftflusses hervorgerufen. Die Folge ist eine ortliche Spannungskonzentration.Die hochsten Spannungen liegen fur homogenes, ortsunabhangiges Werkstoff-verhalten an der Bauteiloberflache und klingen ins Bauteilinnere ”rasch“ ab.Damit liegt aber auch fast immer ein ortlich mehrachsiger Spannungszustandvor, da die freie Querkontraktion durch das vorhandene Spannungsgefalle be-hindert ist. In Abbildung 2.7 ist die Spannungsverteilung beispielhaft fureinen gekerbten Rundstab unter Zugbeanspruchung dargestellt (Langsspan-nung σl, Umfangsspannung σu, Radialspannung σr).

Infolge des inhomogenen Spannungszustandes treten fur einen allgemeinen Be-anspruchungszustand, der sich aus schwingenden und ruhenden Anteilen zu-sammensetzt, Spannungsumlagerungen im Bauteil auf. Verantwortlich hierfursind u.a. Fließvorgange oder zyklisches Kriechen. Die Spannungsumlagerungenkonnen unterschiedlich große Bereiche erfassen. Der Festigkeitsnachweis kannfur derartig belastete Bauteile mit linearelastisch berechneten Spannungen er-folgen, wenn kein globales Fließen im Bauteil zugelassen wird. Zur Berucksichti-gung der Spannungsumlagerungen werden dann haufig Stutzwirkungskonzepteeingesetzt, mit denen die entsprechenden Stutzziffern berechnet werden.

Die elastizitatstheoretische Spannungsspitze σ bzw. τ kann generell mit Hil-fe von FEM-Programmen berechnet werden. Fur einfache Bauteilgeometri-en und elementare Belastungen stehen dem Konstrukteur verschiedene Kerb-formzahlen αk, die das Verhaltnis der elastizitatstheoretischen Spannungsspit-ze σ bzw. τ zur Nennspannung S bzw. T beschreiben, zur Verfugung (z.B.[48, 51, 67]), mit denen die Kerbspannungen ebenfalls bestimmt werden konnen.Bei dieser Vorgehensweise sollten mehrere Aspekte beachtet werden:

• Fur die Definition der Kerbformzahl konnen unterschiedliche Nennspan-nungen verwendet werden. Der Konstrukteur muß demzufolge bei derBerechnung der Spannungsspitze wissen, ob diese mit der sogenannten

2.2 Werkstoffmodell bei inhomogener Beanspruchung 21

Dd

F

F

N e n n s p a n n u n g S

N e n n s p a n n u n g S 0

K e r b s p a n n u n g e ns l

s r

s u

Abbildung 2.7: Mehrachsiger Spannungszustand fur einen gekerbten Rund-stab

Nettospannung S (Nennspannung im engsten Querschnitt) oder der so-genannten Bruttospannung S0 (Nennspannung im ungeschwachten Quer-schnitt) zu ermitteln ist (s. Abbildung 2.7).

• Herrscht an der hochstbelasteten Stelle ein mehrachsiger Spannungszu-


stand, so ist fur die Große der Kerbformzahl neben der Nennspannungs-definition auch die fur die Definition der Spannungsspitze verwendeteVergleichsspannungs-Hypothese (beispielsweise NSH oder MH) von Be-deutung.

• Die Berechnung der Spannungsspitze fur komplizierte Bauteilgeometrienkann scheitern, weil die Kerbformzahl nicht ubertragbar ist und bzw. oderkein geeigneter Querschnitt fur die Nennspannungsdefinition angegebenwerden kann.

• Fur globale Mehrachsigkeiten gilt i.a. nicht, daß die Orte der einzelnenSpannungsspitzen identisch sind. Bei der Verwendung von Kerbformzah-len konnen aber nur die einzelnen Kerbspannungen rechnerisch uberlagertwerden, da i.a. weder der Ort noch die Richtung der einzelnen Kompo-nenten bekannt sind.

Diese Ausfuhrungen verdeutlichen die Problematik der Verwendung von Nenn-spannungen in Verbindung mit Kerbfaktoren fur die Lebensdauervorhersage. InKapitel 2.2.1 werden weitere Aspekte aufgezeigt und in den Kapiteln 3.3.1und 3.3.2 ein alternativer Weg beschrieben.

2.2.1 Stutzwirkungskonzepte

Wie bereits oben erwahnt, werden Stutzwirkungskonzepte zur Berucksichtigungder Spannungsumlagerung elastisch berechneter Spannungen verwendet. Die inden Konzepten definierten Stutzwirkungszahlen und verformungsbehinderndenMehrachsigkeitszahlen dienen der Beschreibung der Spannungsminderung.Die Spannungsumlagerungen konnen mehr oder weniger große Bauteilberei-che erfassen. Um die Bereiche gegeneinander abgrenzen zu konnen, sollen inAnlehnung an die Klassifizierung von Eigenspannungen I., II. und III. Ord-nung [11] Stutzwirkungen und Mehrachsigkeiten I., II. und III. Ordnung defi-niert werden. Je nach Große der Werkstoffbereiche ergeben sich Eigenspannun-gen, Stutzwirkungen und Mehrachsigkeiten, die die Uberlagerung der jeweiligenOrdnungen darstellen. Aus der Sichtweise des Konstrukteurs wird der Werk-stoff als Kontinuum betrachtet und fur Spannungen und Dehnungen i.a. nurkontinuumsbasierte Berechnungen durchgefuhrt. Deshalb muß die Wirkung derEigenspannungen, Stutzwirkungen und Mehrachsigkeiten II. und III. Ordnungzusammenfassend betrachtet werden. Die Auswirkungen der Effekte II. undIII. Ordnung werden deshalb unter dem Sammelbegriff Mikrostutzwirkung ge-meinsam behandelt, wahrend die Auswirkungen der Effekte I. Ordnung derMakrostutzwirkung zugeordnet werden. Werden ganze Bauteilquerschnitte be-trachtet, soll von globalen Stutzwirkungen gesprochen werden.


2.2.1.1 Mikrostutzwirkung

Die Mikrostutzwirkung ist ein festigkeitssteigernder Effekt, der rechnerischdem elastischen Bereich zugeordnet wird und von der Beanspruchungshohe un-abhangig ist. Formelmaßig wird die Mikrostutzwirkung beispielsweise fur einenmit αkz gekerbten Rundstab unter wechselnder Zugbeanspruchung (R = −1)durch

n =σ

σ=S · αkz

S · βkz=αkz

βkz(2.50)

beschrieben. Hierin ist n die sogenannte elastische Stutzziffer, σ die elastischgestutzte KerbspannungJ und βkz die entsprechende Kerbwirkungszahl. DemKonstrukteur stehen zahlreiche Ansatze zur rechnerischen Bestimmung von nzur Verfugung (z.B. [8, 21, 47, 61, 66]).

Allen Ansatzen liegt die Annahme zugrunde, daß die Spannungsspitze durchmikroskopisches Fließen abgebaut wird. Die Geometrie, die Belastungsart unddie Werkstoffeigenschaften sind die einfließenden Parameter. Neuber [47] ver-wendet zur rechnerischen Bestimmung eine sogenannte Ersatzstrukturlange ρ∗,die von der Zusammensetzung und den Eigenschaften des Werkstoffes, den Fer-tigungsverfahren und der Art des zeitlichen Belastungsverlaufs abhangt, undeinen dimensionslosen Faktor s, der die Abhangigkeit von der Beanspruchungs-art und der anzuwendenden Festigkeitshypothese beschreibt. Ein Nachteil die-ses Modells ist, daß die unterschiedlichen Versuchsergebnisse fur zug- bzw. bie-gebelastete Bauteile bei reiner Wechselbelastung (R = −1) nicht erfaßt werdenkonnen (Biegewechselfestigkeit σbW > Zug-Druck-Wechselfestigkeit σW ).

Alle anderen Verfahren verwenden zur Beschreibung der Abhangigkeit von derGeometrie und der Belastungsart das sogenannte bezogene Anstrengungsgefalleχ, das nach Siebel und Stieler [58]

χ =dσdx

∣∣∣∣σ

· 1σ

(2.51)

bestimmt werden kann (s.a. Abbildung 2.8). Die elastische Stutzziffer n =n(χ) wird damit eine Funktion von χ.

Mit diesem Modell laßt sich die gegenuber der Zug-Druck-Wechselfestigkeit ex-perimentell beobachtete hohere Biege-Wechselfestigkeit erklaren. Ebenso wirddas Phanomen der mit steigendem Probendurchmesser abfallenden Biege- undTorsions-Wechselfestigkeit richtig erfaßt. Fur einfache Bauteile und Lastfallesind in [61, 67] Anhaltswerte fur das bezogene Anstrengungsgefalle zu finden(s.a. Abbildung 2.9).

Die einzelnen Konzepte unterscheiden sich aber in der Berucksichtigung derJIm Folgenden werden Kerbspannungen mit σ und elastisch gestutzte Kerbspannungen

mit σ bezeichnet.


ss ( x )

x

1 c

r

Abbildung 2.8: Bezogenes Anstrengungs-gefalle χ

Werkstoffeigenschaften. In den Richtlinen VDI 2226 [66] und TGL 19340 [61]wird die elastische Stutzziffer n mit Hilfe eines empirisch gewonnen Diagram-mes bestimmt, in dem n in Abhangigkeit von χ und verschiedenen Werkstoffenaufgetragen ist (beispielsweise in [22] dargestellt). Dietmann schlagt in [8] eineNaherungsformel fur ferritisch-perlitische Stahle vor, mit

n(χ) = 1 +55 N/mm2

Rp0,2·√χ · 1mm . (2.52)

Hahn wahlte in [21] hingegen einen anderen Weg. Er schlagt vor, die Stutz-effekte nicht durch die Große ihres Einflußbereiches zu definieren, sondern siedurch ihre wesentlichen Wirkmechanismen gegeneinander abzugrenzen. Ausge-hend von den Uberlegungen von Lukaz und Klesnil [37], die zur Beschreibungder Mikrostutzwirkung einen bruchmechanischen Ansatz wahlten, schlagt er

n(χ) =√

1 + χ · ρ∗ (2.53)

zur Bestimmung der elastischen Stutzziffer vor. ρ∗ ist eine charakteristischeWerkstoffstrukturlange. Unter der Voraussetzung, daß bei Dauerfestigkeit klei-ne Risse nicht wachsen, laßt sich ρ∗ aus der dauerfest ertragbaren Spannungs-intensitatsschwingbreite ∆Kth0 und der zugehorigen Zugschwelldauerfestigkeit


K e r b f o r m B e a n s p r . -A r t

c 0[ m m - 1 ]c

[ m m - 1 ]b

r Z u g - D r u c k 0 2 / r

Z u g - D r u c k 0 2 / rB i e g u n g 4 / ( D + d ) 4 / ( D + d ) + 2 / rT o r s i o n 4 / ( D + d ) 4 / ( D + d ) + 1 / r

B i e g u n g 2 / b 2 / b + 2 / r

dr Z u g - D r u c k 0 2 / r

B i e g u n g 2 / d 2 / d + 2 / rT o r s i o n 2 / d 2 / d + 1 / r

dr

D

T o r s i o n 2 / D 2 / D + 1 / rD r

B i e g u n g 2 / D 2 / D + 4 / rT o r s i o n 2 / D 2 / D + 3 / r

2 rD d

B a u t e i l f o r m Z u g d r u c k B i e g u n g T o r s i o n

br

B

D i c k e s t

M bM b

dr

Dt

dr

Dt

br

Bt

M bM b

D i c k e s

R u n d s t a b o d e rF l a c h s t a b ( D i c k e s )

d , br

r)( 12 G j+×= d

2r

)( 12 G +j+×=

d2

r)( 12 , 3 G +j+×=r

)( 12 , 3 G j+×=

r)( 12 G j+×= b

2r

)( 12 G +j+×=

r)( 12 , 3 G j+×= b

2r

)( 12 , 3 G +j+×=

r2 , 3 G =

d2

r1 G +=

d2

r1 , 1 5 G +=

2t / r41

+×=j f ü r d / D > 0 , 6 7 o d e r b / B > 0 , 6 7 s o n s t j = 0 ; r > 0F ü r R u n d s t ä b e g e l t e n d i e F o r m e l n n ä h e r u n g s w e i s e a u c h d a n n ,w e n n e i n e L ä n g s b o h r u n g v o r l i e g t ; D u r c h m e s s e r d i > 0

Abbildung 2.9: Bezogenes Anstrengungsgefalle χ0 aus der Belastung undχ aus der Belastung und der Kerbe, entnommen links [67]und rechts [61] (χ entspricht G)

σschw ableiten:

ρ∗ =2π·[∆Kth0

σschw

] 2

. (2.54)

Hahn weist darauf hin, daß aus Invarianzuberlegungen heraus die elastischeStutzziffer nicht auf einzelne Spannungskomponenten angewendet werden darf,sondern fur die Invarianten gebildet werden muß. Fur mehrachsige Beanspru-chungen ist dann das bezogene Anstrengungsgefalle χ entweder aus den Ergeb-nissen einer FEM-Berechnung zu ermitteln oder es nach einem Vorschlag vonMertens [40] gewichtet mit den Kerbspannungen zu mitteln.

Alle vorgestellten Konzepte sind dadurch gekennzeichnet, daß sie bei der Be-stimmung der Mikrostutzwirkung lediglich die ”Nachbarschaft“ in Richtungdes steilsten Gradienten betrachten. Die Spannungsumlagerung wird aber nichtnur in eine Richtung erfolgen, sondern sie wird einen Raum um den betrachte-ten Punkt erfassen. In Kapitel 3.3.1 wird deshalb gezeigt, wie die elastischeStutzziffer n auf der Grundlage linearer FEM-Berechnungen durch ein raumli-ches Stutzwirkungskonzept bestimmt werden kann.


2.2.1.2 Makrostutzwirkung

Mit Hilfe von Makrostutzwirkungs-Konzepten kann der Effekt der Reduzie-rung der Spannungsspitze durch lokales Fließen beschrieben werden. Aufwen-dige elastisch-plastische FEM-Berechnungen sind dann nicht erforderlich. DieSpannungsumlagerung erfaßt entsprechend der obigen Definition einen großerenlokalen Bereich. Nach Neuber konnen dabei die Mikro- und die Makrostutzwir-kung gleichzeitig wirken.

In der Vergangenheit wurde eine Vielzahl von Naherungsmethoden zur Ab-schatzung der sich durch die Fließvorgange tatsachlich einstellenden ortlichenSpannung σortl entwickelt. Eine zusammenfassende Darstellung ist in [10] ent-halten. Die Makrostutzzifferm kann als Quotient der elastisch gestutzten Kerb-spannung σ und der ortlichen Spannung angegeben werden:

m =σ

σortl. (2.55)

Fur einen ortlich mehrachsigen Spannungszustand schlagt Neuber [47] vor, dieVergleichsspannung zu verwenden, die der fur den entsprechenden Werkstoffgeltenden Festigkeitshypothese entspricht. Zum besseren Verstandnis werdendie Naherungsmethoden zunachst fur einen einachsigen Belastungsfall darge-stellt. Die elastisch gestutzte Kerbspannung σ und die mit Hilfe des HookeschenGesetzes bestimmbare Kerbdehnung ε seien bekannt. Ferner soll vorausge-setzt werden, daß das Beanspruchungsniveau oberhalb der 0,2%-Dehngrenzedes Werkstoffes liegt.

Die Naherungsmethode von Neuber K besagt, daß das Produkt aus Spannungund Dehnung konstant ist:

σ · ε = const = σ · ε . (2.56)

Diese Gleichung bildet im Spannungs-Dehnungs-Diagramm eine Hyperbel. Dieortliche Spannung (σortl) und Dehnung (εortl) kann am Schnittpunkt der Neu-ber -Hyperbel mit der Werstoffkennlinie abgelesen werden. Fur eine rein stati-sche Belastung wird die zugige Spannungs-Dehnungskurve fur die Werkstoff-kennlinie verwendet, wahrend fur schwingende Belastungen die zyklische Span-nungs-Dehnungskurve eingesetzt wird.

Eine weitere Naherungsbeziehung wurde von Seeger und Beste [55] entwickelt:

ε

εF=

(σ

σF

)2

·[

2u2· ln(

1cosu

)]+ 1− σ

σF

· E · e

∗

S∗(2.57)

mit u =π

2·

σ

σF− 1

αp − 1. (2.58)

KSie wird im Folgenden mit Neuber -Hyperbel benannt


Die sogenannte Grenzlastformzahl ergibt sich zu αp = α · αk, wahrend σF dieFließspannung mit der zugehorigen Dehnung εF und S∗ die plastische Nenn-spannung (S∗ = S/α) mit der zugehorigen Dehnung e∗ ist. Diese Beziehunghat in der Praxis eine weite Verbreitung gefunden und wird in einigen Betriebs-festigkeitsprogrammen zur Verfugung gestellt.

Mertens [40] und Dittmann [10] erweiterten den Anwendungsbereich vonGl.(2.56) auch auf schwach gekerbte Bauteile. Der Grenzfall des glatten Sta-bes ist ebenfalls enthalten, so daß ein durchgangiges Konzept zur Verfugungsteht. Sie erreichten dies, indem als untere Grenze der sogenannten modifi-zierten Neuber -Hyperbel die plastische Nennspannung eingefuhrt wurde. Dieplastische Nennspannung

σ =S

α(2.59)

ist das Minimalniveau, das sich bei Plastizierung uber den gesamten Quer-schnitt einstellt. α ist der geometrie- und belastungsartabhangige Formbeiwert(s. z.B.: [11]). Die Gleichung der modifizierten Neuber -Hyperbel wird mit

(σ − σ) · (ε− ε) = (σ − σ) · (ε− ε) (2.60)

angegeben. Die ortliche Spannung und Dehnung wird am Schnittpunkt der mo-difizierten Neuber -Hyperbel mit der Werkstoffkennline ermittelt. Im Gegensatzzu Neuber wird die Vergleichsspannung fur mehrachsige Belastungsfalle abernach der MH gebildet, da nach Ansicht der Autoren die plastischen Vorgangedominieren.

In [21] wurde diese Methode noch weiter modifiziert. Die experimentell auf-genommenen zyklischen Spannungs-Dehnungskurven [32, 26] fur glatte Stabeunterschiedlichen Durchmessers unter Umlaufbiegung zeigen eine deutliche Ab-hangigkeit vom Probendurchmesser. Dies veranlasste Hahn, das Modell zurBestimmung des unteren Niveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel zu modi-fizieren. Die Annahme, der Spannungsabbau konne unabhangig vom Bauteil-querschnitt bis zum vollplastischen Zustand erfolgen, steht im Widerspruch zuden Versuchsergebnissen. Er fuhrte daher eine Randschicht der Dicke ρpl ein, biszu der ein Spannungsabbau moglich ist. Durch die Auswertung der Versuchs-ergebnisse ergab sich fur die Dicke der Randschicht ein Wert ρpl = 3mm. Daes sich bei den beiden Versuchswerkstoffen um einen niederfesten Baustahl undeinen hoherfesten Stahl handelt, schlagt er die grundsatzliche Verwendung einer3mm Randschicht vor. Physikalisch laßt sich das Phanomen dadurch erklaren,daß der inhomogene Spannungszustand, der als treibende Kraft fur die Umla-gerung angesehen werden kann, mit steigendem Durchmesser immer ”flacher“wird. Am Ubergang vom plastischen zum elastischen Bereich bildet sich aufGrund der behinderten Querkontraktion ein mehrachsiger Spannungszustand


aus, der der weiteren Plastizierung ins Innere entgegenwirkt. Werden nun dieBauteilquerschnitte sehr groß, kann der Widerstand nicht bis zur Bauteilmitteuberwunden werden. Diese Annahme steht auch im Einklang mit gekerbtenBauteilen. Dort herrscht zwar am Rand i.d.R. ein großer Spannungsgradient,der aber ins Innere schnell kleiner wird. Daruber hinaus liegt unabhangig vonden Fließvorgangen bereits ein mehrachsiger Spannungszustand vor, der demweiteren Plastizieren entgegenwirkt.

In der Arbeit [21] wird statt des Formbeiwertes α ein wirksamer Formbeiwertβ fur Biegung und Torsion definiert und Naherungsbeziehungen fur Rundquer-schnitte angegeben, um das untere Niveau der modifizierten Neuber -Hyperbelzu bestimmen. Zusatzlich geht Hahn im Gegensatz zu Dittmann [10] davonaus, daß bei der Bestimmung der ortlichen Oberspannung nicht nur die Mit-telspannungen mit dem wirksamen Formbeiwert abgebaut werden, sondern diegesamte Oberspannung, d.h. Amplitude und Mittelspannung.

Auch dieser neue Ansatz basiert auf der Kenntnis der Nennspannungen. Wiebereits mehrmals dargestellt, kann die Definition einer Nennspannung proble-matisch sein. In Kapitel 3.3.2 wird ein anderes Verfahren, das keine Kennt-nisse uber die Nennspannung voraussetzt, vorgestellt.

Neben den Begriffen Mikro- und Makrostutzwirkung wurden auch die BegriffeMakromehrachsigkeit und globale Mehrachsigkeit eingefuhrt. In der Konstruk-tionspraxis wird die durch Kerben hervorgerufene globale Mehrachsigkeit, dieeinen Anstieg der Zugfestigkeit und der Dehngrenze bewirkt, nur zur Unter-scheidung der moglichen Versagensart (sproder oder duktiler Bruch) herange-zogen. Zur Beschreibung dient das niedrigste lokale Plastifizierungsvermogen

Πlokal =σv,MH

σ1

=

√(σ1 − σ2)

2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)

2

√2 · σ1

,

(2.61)

das somit in engem Zusammenhang mit dem globalen PlastifizierungsvermogenΠglobal steht. In [21] wird dieser festigkeitssteigernde Effekt auf das dynamischeFestigkeitsverhalten ubertragen, was auch bereits Buxbaum [4] als Notwendig-keit ansah. Dazu wird der Kehrwert des Plastifizierungsvermogens Π — alsFließbehinderung ϕ bezeichnet — eingefuhrt:

ϕ =1Π

=√

2 · σ1√(σ1 − σ2)

2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)

2. (2.62)

Bei der Bestimmung der Makrostutzwirkung mit Hilfe der modifizierten Neu-ber -Hyperbel wird zusatzlich zur zyklischen Spannungs-Dehnungskurve des


Werkstoffes (Werkstoffkurve) die bauteilbezogene Spannungs-Dehnungskurve(Bauteilkurve) verwendet (s. Abbildung 2.10).

j . R p 0 , 2s ö r t l

s

s

e ö r t l e0 , 2 %

s *

s

H o o k e s c h e G e r a d e

B a u t e i l k u r v e

W e r k s t o f f k u r v e

m o d i f i z i e r t eN e u b e r - H y p e r b e l

u n t e r e s N i v e a u d e r m o d i f i z i e r t e nN e u b e r - H y p e r b e l

Abbildung 2.10: Modifizierte Neuber -Hyperbel unter Berucksichtigung derFließbehinderung ϕ

Fur die Bauteilkurve gilt, daß die zyklische Dehngrenze auf den Wert ϕ ·R′

p0,2

angehoben wird. Die ortlichen Spannungen und Dehnungen werden am Schnitt-punkt der modifizierten Neuber -Hyperbel mit der Bauteilkurve bestimmt. Esergeben sich eine hohere Spannung und niedrigere Dehnung als beim Schnitt-punkt mit der Werkstoffkurve. Um den in der Konstruktionspraxis ublichenWeg einer Lebensdaueraussage auf der Grundlage von Spannungen durchfuhrenzu konnen, wird eine fiktive Spannung σ∗ bei gleicher Dehnung (εortl) amSchnittpunkt mit der Werkstoffkurve eingefuhrt. Die Verwendung dieser fik-tiven Spannung in der weiteren Berechnung ist moglich, weil fur die Lebens-dauerbestimmung nicht die Spannungsamplitude, sondern die Dehnungsampli-tude maßgeblich ist. Aus der fiktiven Spannung und der elastisch gestutztenKerbspannung werden in [21] die Makrostutzziffern der Amplitude

ma =σa

σ∗a(2.63)

und der Mittelspannung

mm =σm

σ∗m=

σm

σ∗o −σa

ma

(2.64)


bestimmt.

Dietmann [7] fuhrte Versuche mit unterschiedlich gekerbten Rundstaben durch.Seine theoretischen Uberlegungen stutzte er zusatzlich durch spannungsopti-sche Messungen und kam zu dem Ergebnis, daß sich das globale (maßgebliche)Plastifizierungsvermogen aus dem sich im Kerbbereich stark andernden lokalenPlastifizierungsvermogen am Ort der maximalen Radialspannung bestimmenlaßt. Hahn gibt in seiner Arbeit zu bedenken, daß mit zunehmenden Bau-teilabmessungen diese Stelle weiter vom Ort des moglichen Werkstoffversagensentfernt liegt. Um diesen moglichen Großeneinflußfaktor zu berucksichtigen,schlagt er eine Naherungsbeziehung fur zugbeanspruchte Bauteilquerschnitte

ϕ =1

0, 46 +0, 54

1 + 3 · χ

(2.65)

vor, deren Parameter der bezogene Spannungsgradient χ ist. Die Gl.(2.65) istaus der Approximation der Versuchsergebnisse von [7] entstanden. Fur schub-beanspruchte Querschnitte soll ϕ = 1 gelten. Damit ist es dem Autor gelungen,den Einfluß der Makromehrachsigkeit mit Hilfe der Fließbehinderung bei derLebensdauerberechnung zu berucksichtigen.

2.2.2 Fertigungseinflusse

Reale Bauteile weisen bedingt durch den Herstellungsprozeß einige bisher nochnicht berucksichtigte Eigenschaften auf, die die Lebensdauer beeinflussen. Hier-zu gehoren unter anderem die chemische Zusammensetzung des Werkstoffs,Inhomogenitaten des Gefuges, die Oberflachengute und durch das Fertigungs-verfahren bedingte Eigenspannungen.

Der Einfluß der Oberflachenbeschaffenheit auf die Dauerfestigkeit wurde vonSiebel und Gaier [56] untersucht. Aus einem Schaubild kann der Faktor, umden die Dauerfestigkeit vermindert wird, in Abhangigkeit von der Zugfestigkeitdes Werkstoffes und der im Fertigungsverfahren erzielbaren Rauhtiefe abgelesenwerden. Dieser Faktor beinhaltet nicht nur den Einfluß der Oberflachenrauhig-keit, sondern auch den Einfluß der durch das Fertigungsverfahren eingebrachtenEigenspannungen. Hier sollte eine Trennung erfolgen, da

• durch den technischen Fortschritt ein Rauhigkeitswert nichtmehr eindeutig einem Fertigungsverfahren zugeordnet werdenkann,

• neuartige Fertigungsverfahren hinzugekommen sind und

• den Eigenspannungen ein den Mittelspannungen ahnlicherEinfluß zugeschrieben wird.


Bestatigt wird diese Annahme durch die Arbeit [18], in der der geringe Ein-fluß der Oberflachenrauhigkeit auf die Lebensdauer nachgewiesen wird. Auchdie Vorstellung einer großeren plastischen Umlagerung im Zeitfestigkeitsbereichfuhrt zu diesem Schluß, da kleine Riefen durch Plastifizierung reduziert bzw.vollstandig abgebaut werden. Zur rechnerischen Erfassung der vorhandenenRauhigkeit schlagt Hahn in [21] vor, diesen Einfluß in der Mikrostutzwirkungzu berucksichtigen. Dazu vermindert er die charakteristische Strukturlange ρ∗

entsprechend Gl.(2.54) um die Rauhtiefe Rz

ρ∗eff = ρ∗ −Rz =2π·(

∆Kth0

σschw

)2

−Rz (2.66)

Die Mikrostutzwirkung wird nach Gl.(2.53) mit ρ∗eff statt ρ∗ berechnet.

Fur die Bewertung von Makroeigenspannungen (Eigenspannungen I. Ordnung)schlagen Wohlfahrt und Macherauch [68] die Einfuhrung einer Eigenspannungs-empfindlichkeit ME vor, die von der Zugfestigkeit des Werkstoffes abhangig ist,um die Reduzierung der Eigenspannungen durch Umplastizieren zu beruck-sichtigen. Demgegenuber schlagt Mertens [40] vor, die Eigenspannungen denMittelspannungen zu uberlagern, so daß die einzelnen Spannungskomponenten

σij(t) = σijo(t) = σija(t) + σijm + σije (2.67)

mit σija(t) nach Gl.(2.39) geschrieben werden. Bei der Bestimmung des unterenNiveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel sollen die Eigenspannungen abernicht berucksichtigt werden, da sie nach Auffassung des Autors im Grenzfallvollstandig abbaubar sind. Die eigentliche Große fertigungsbedingter Makroei-genspannungen ist i.d.R. nicht bekannt, zumindest aber ihre Richtung, so daßKontrollrechnungen mit einer vorgegebenen Makroeigenspannung durchgefuhrtwerden konnen.

Die Berucksichtigung des Einflusses inhomogener Gefuge, die beispielsweisedurch eine Randschichthartung entstehen, ist schwierig. Neben den in Großeund Verteilung unbekannten Eigenspannungen ist beisielsweise die Zug-Druck-Wechselfestigkeit eine Funktion des Ortes, da der Harteverlauf uber den Quer-schnitt nicht konstant ist. In [19] wird ein Faktor angegeben, mit dem derEinfluß aber nur tendenziell berucksichtigt werden kann. Eine andere Moglich-keit besteht darin, den Querschnitt in einzelne Zylinder zu unterteilen, denenjeweils unterschiedliche Werkstoffkennwerte zugewiesen werden. In [17] wurdedieses Modell in Verbindung mit einer elastisch-plastischen FEM-Berechnungeingesetzt.

3 Erweiterung der

Drei-Invarianten-Hypothese

In diesem Kapitel werden aufbauend auf den Erkenntnissen von [21] neue Kon-zepte zur Lebensdauervorhersage mehrachsig phasenverschoben belasteter Bau-teile vorgestellt.Im Rahmen dieser Arbeit wird ein homogenes, ortsunabhangiges Werkstoffver-halten vorausgesetzt. Ausgangspunkt der Bewertung ist der lokale elastizitats-theoretische Spannungszustand, der mit dem FEM-Programm Pro/Mechanicader Firma Parametrics bestimmt wird und somit in diskreten Punkten, denFEM-Knoten, und nicht als Funktion des Ortes vorliegt. Im Anhang D istdie Elementierung, Fesselung und Belastung beispielhaft fur einige untersuchteVersuchsproben dargestellt.

Auf die Notwendigkeit von Festigkeitshypothesen wurde bereits in Kapitel2.1.3 hingewiesen. In realen Bauteilen sind raumlich ungleichmaßige Span-nungsverteilungen vorhanden. Fur kraftefreie Kerben treten die hochsten Span-nungen an der Bauteiloberflache auf, wenn homogenes, ortsunabhangiges Werk-stoffverhalten vorausgesetzt wird. Der Anrißort liegt dann an der Oberflache.Hierfur lassen sich Lebensdaueraussagen mit Konzepten angeben, die zwei-achsige Spannungszustande erfassen konnen. Hingegen wird in Einspann- oderKontaktstellen ein Anriß auch unterhalb der Oberflache beobachtet, wo i.a. eindreiachsiger Spannungszustand vorliegt. Um auch diese Spannungszustande be-werten zu konnen, mussen die phasenverschobenen Spannungskomponenten derbestehenden DIH A nach Hahn erweitert werden (Kapitel 3.1). Gleichzeitigwird damit die Grundlage geschaffen, die Lebensdauer randschichtverfestigterBauteile, deren Versagensort ebenfalls teilweise unterhalb der Oberflache liegt,bewerten zu konnen. In den Kapiteln 3.2.1 und 3.2.2 wird die Vorgehenswei-se zur Berechnung einer Vergleichsspannungs-Amplitude fur einfrequente undmehrfrequente Beanspruchungen vorgestellt.

Fur die Berechnung der Mikrostutzwirkung konnen die bezogenen Invarianten-gefalle direkt aus den Ergebnissen der FEM-Berechnung angegeben werden.Hierfur wird in Kapitel 3.3.1 ein Konzept vorgestellt und diskutiert. Die Be-stimmung der Mikrostutzziffern mit Hilfe von Nennspannungen, Kerbformzah-len und von der Geometrie und der Belastungsart abhangigen Schaubildern(Abbildung 2.9) ist nicht mehr notwendig. Gleichzeitig wird die Schwachebisheriger Konzepte uberwunden, ein bezogenes Spannungsgefalle fur zusam-mengesetzte Beanspruchungen beispielsweise durch eine gewichtete Mittelwert-

ABei den in der DIH verwendeten drei Invarianten J1, J2, J12 handelt es sich nicht umdie drei klassischen Invarianten des Spannungstensors I1, I2, I3, sondern um spezielle zeitun-abhangige Invarianten phasenverschobener Spannungen.

32

3.1 Invarianten phasenverschobener Spannungen 33

bildung der einzelnen Werte zu definieren. Außerdem wird ein zweites Verfah-ren zur Berechnung der Mikrostutzziffern vorgeschlagen, das der Forderungaus Kapitel 2.2.1 nachkommt, bei der Berechnung nicht nur eine Raumrich-tung zu berucksichtigen, sondern im Sinne der ”Nachbarschaft“ alle Spannungs-zustande innerhalb eines Teilvolumens einfließen zu lassen.

Die oben genannte Schwache der Definition einer Nennspannung trifft auchauf die Bestimmung der Makrostutzwirkung zu. In Kapitel 3.3.2 wird einKonzept vorgestellt, das die Berechnung des unteren Niveaus der modifiziertenNeuber -Hyperbel allein aus den Informationen der FEM-Ergebnisse ermoglicht.In [21] wird vorgeschlagen, die maßgebliche Fließbehinderung ϕ in Abhangig-keit von dem bezogenen Spannungsgradienten χ zu bestimmen (s.a. Kapitel2.2.1). Diese Vorgehensweise setzt somit die Kenntnis der Beanspruchungs-art voraus. Ein kleines Beispiel soll die Grenzen dieser Vorgehensweise bei derBewertung von FEM-Ergebnissen verdeutlichen. Fur einen torsionsbelastetenStab, glatt oder gekerbt, verschwindet der fließbehindernde Effekt der lokalenMehrachsigkeit, wie in [21] gezeigt, d.h. ϕ = 1. Fur die Fließbehinderung ergibtsich formal nach Gl.(2.62) der Wert ϕ = 1/

√3, was offensichtlich ein Wider-

spruch ware, da die großere schadigende Wirkung einer gleich großen Schub-spannung (σxya = σxxa) bereits in der Vergleichsspannung berucksichtigt wird.Liegen fur die Bewertung die Kerbspannungen aus einer FEM-Berechnung vor,muß die Vorgehensweise uberarbeitet werden, da eine Zuordnung der Kerb-spannungen zu einzelnen Belastungsfallen i.d.R. schwierig ist und selbst wenndies gelingt, muß dann eine geeignete ”Mischungsregel“ bereitgestellt werden.Eine Losung wird ebenfalls in Kapitel 3.3.2 vorgestellt.

Die Berechnung der Vergleichsmittelspannung (s. Kapitel 3.4) erfolgt in Ana-logie zu [21]. Die Vorgehensweise wird dahingehend modifiziert, daß die Be-stimmung der Vergleichsmittelspannung aus der maximalen Oberspannung undder maximalen Amplitude konsequent auf die Ermittlung der Makrostutzzif-fern ubertragen wird. Dies hat zur Folge, daß statt der Makrostutzziffer mm,wie bisher ublich, die Stutzziffer mo verwendet werden muß.

Schließlich werden in Kapitel 3.5 der prinzipielle Ablauf des neuen Lebens-dauer-Bewertungskonzepts dargestellt und in Kapitel 3.6 Abschatz- und Na-herungsformeln fur die benotigten Kennwerte und Parameter bereitgestellt.

3.1 Invarianten phasenverschobenerSpannungen

Zeitunabhangige phasenverschobene Spannungskomponenten, die im folgendenauch kurz Invarianten genannt werden, wurden bereits von Mertens [41] undHahn [21] formuliert. In [42] nutzten sie hierfur die Methoden der Signaltechnik,

34 3 Erweiterung der Drei-Invarianten-Hypothese

mit denen Gesetzmaßigkeiten eines beliebigen Zeitsignals, aber auch Zusam-menhange zwischen zwei unterschiedlichen Signalen durch die Verwendung vonKorrelationsfunktionen [46] aufgezeigt werden konnen. Diese Vorgehensweisekann nur teilweise auf die Bestimmung der Invarianten fur den dreiachsigenSpannungszustand ubertragen werden, da sich geeignete Spannungskombina-tionen, wie sie fur den zweiachsigen Spannungszustand in [42] formuliert wur-den, zur Ermittlung aller Invarianten nicht angeben lassen. In dieser Arbeitwird deshalb ein anderer Weg beschritten.

Im folgenden werden zur Formulierung der Invarianten J1a, J2a und J12a zu-nachst nur die wechselnden Anteile der einzelnen Spannungskomponenten be-trachtet. Daruber hinaus soll die Belastung einfrequent sein (n = 1 ⇒ λ = 1),womit die Beanspruchungen nach Gl.(2.39) sich zu

σij(t) = σija · sin (ωt− δij) (3.1)

vereinfachen.

Uberlagern sich mehrere Schwingungen, so addieren sich ihre Wirkungen. Ha-ben die einzelnen Schwingungen eine Frequenz, kann eine Resultierende

n∑i=1

Bi · sin (ωt− ϕi) = B · sin (ωt− ϕ) (3.2)

angegeben werden, deren Amplitude und Phasenverschiebung mit

B =

√√√√ n∑i,j=1

Bi ·Bj · cos (ϕi − ϕj) (3.3)

und

tan (ϕ) =

n∑i=1

Bi · sinϕi

n∑i=1

Bi · cosϕi

(3.4)

bestimmt werden.

Angewendet auf die erste und zweite Invariante des Spannungstensors gemaßGl.(2.40) mit den einzelnen Komponenten nach Gl.(3.1), gilt:

I1a(t) =z∑

i=x

[σiia · cos δii] · sinωt−z∑

i=x

[σiia · sin δii] · cosωt

≡ a1 · sinωt− a2 · cosωt≡ a · sin (ωt− ϕI1a) (3.5)

3.1 Invarianten phasenverschobener Spannungen 35

≡√J1a · sin (ωt− ϕI1a)

≡√J1a · cosϕI1a · sinωt−

√J1a · sinϕI1a · cosωt ,

I2a(t) =14·

z∑

i,j=x

[σiia · σjja · cos (δii − δjj)− σ2

ija

]−

z∑i,j=x

[σiia · σjja · cos (δii + δjj)− σ2

ija · cos 2δij]· cos (2ωt)−

z∑i,j=x

[σiia · σjja · sin (δii + δjj)− σ2

ija · sin 2δij]· sin (2ωt)

≡ 14· [c− b1 · cos (2ωt)− b2 · sin (2ωt)] (3.6)

≡ 12·[J2a −

√J4a · cos 2 (ωt− ϕI2a

)]

≡ 12·[J2a −

√J4a · cos 2ϕI2a

· cos (2ωt)−√J4a · sin 2ϕI2a

· sin (2ωt)]

.

Zwei der drei gesuchten Invarianten und eine weitere zeitunabhangige phasen-verschobene Beziehung sind mit Gl.(3.5) und Gl.(3.6) festgelegt:

J1a =z∑

i,j=x

σiia · σjja · cos (δii − δjj) , (3.7)

J2a =12·

z∑i,j=x

[σiia · σjja · cos (δii − δjj)− σ2

ija

], (3.8)

J4a =14·

z∑i,j,k,l=x

[σiia · σjja · σkka · σlla · cos (δii + δjj − δkk − δll)−

2 · σiia · σjja · σ2kla · cos (δii + δjj − 2δkl) + (3.9)

σ2ija · σ2

kla · cos 2 (δij − δkl)].

Eine weitere invariante Große laßt sich durch eine Zeittransformation gewinnen.I1a(t) und I2a(t) werden auf den gleichen Zeitmaßstab bezogen. Es soll gelten:

ωt∗ = ωt− ϕI1a


⇒ ωt− ϕI2a= ωt∗ + ϕI1a

− ϕI2a,

(3.10)ϕ∗I2a

= ϕI2a− ϕI1a

⇒ ωt− ϕI2a= ωt∗ − ϕ∗I2a

.

Die beiden Invarianten konnen mit Gl.(3.10)

I1a (t∗) =√J1a · sinωt∗

(3.11)

I2a (t∗) =12·[J2a −

√J4a · cos 2

(ωt∗ − ϕ∗I2a

)]geschrieben werden, wobei fur die Winkelfunktionen

cos 2ϕ∗I2a= cos 2

(ϕI2a

− ϕI1a

)= cos 2ϕI2a

· cos 2ϕI1a+ sin 2ϕI2a

· sin 2ϕI1a

(3.12)= cos 2ϕI2a

·[cos2 ϕI1a

− sin2 ϕI1a

]+

2 · sin 2ϕI2a· sinϕI1a

· cosϕI1aund

sin 2ϕ∗I2a=

√1− cos2 2ϕ∗I2a

(3.13)

gilt. Mit den Gl.(3.5 und 3.6) ergibt sich:

cos 2ϕ∗I2a=

(a21 − a2

2

)· b1 + 2 · a1 · a2 · b2

2 · J1a ·√J4a

(3.14)

Der Zahler von Gl.(3.14) ist unabhangig von der Zeit und der Wahl des Koor-dinatensystems, was durch Einsetzen der Spannungen gemaß Gl.(2.32) in dieGl.(3.5 und 3.6) gezeigt werden kann. Er wird als 5. Invariante

J5a =12·

z∑i,j,k,l=x

σiia · σjja · σkka · σlla ·

[cos (δii + δjj) ·

cos (δkk + δll) + 2 · cos δii · sin δjj · sin (δkk + δll)]−

σiia · σjja · σ2kla ·

[cos (δii + δjj) · cos 2δkl + (3.15)

2 · cos δii · sin δjj · sin2δkl

]

3.2 Vergleichsspannungs-Amplitude 37

definiert. Dieser Ausdruck kann in Anlehnung an den zweiachsigen Belastungs-fall als Kombination der Invarianten J1a, J2a und J4a sowie der Große J2

12a dar-gestellt werden, wobei die Indizierung mit den Indizes 1,2 signalisieren soll, daßder Phasenwinkel zwischen den Invarianten I1a (t∗) und I2a (t∗) nach Gl.(3.10und 3.11) eine zentrale Rolle spielt:

J5a = 2 ·(J4a − J2

2a + J212a

)+ J1a · J2a (3.16)

Die Bestimmungsgleichung fur das Quadrat der dritten noch gesuchten Invari-anten lautet somit:

J212a =

J5a − J1a · J2a

2− J4a + J2

2a bzw. (3.17)

J212a =

12·

z∑i,j,k,l=x

[σ2

ija · σ2kla · sin2 (δij − δkl)−

σiia · σjja · σ2kla · sin (δii − δkl) · sin (δjj − δkl)

]. (3.18)

Bei Phasengleichheit aller Spannungskomponenten verschwindet J212a!

Damit stehen die drei fur den zweiachsigen Spannungszustand bekannten Inva-rianten fur den allgemein dreiachsigen, phasenverschobenen Spannungszustandzur Verfugung. Im Anhang A.1 sind J1a bis J5a in ausgeschriebener Formdargestellt.

3.2 Vergleichsspannungs-Amplitude

3.2.1 Einfrequente Beanspruchung

Die Vergleichsspannungs-Amplitude fur eine einfrequente Beanspruchung wirdin Anlehnung an die bisherige Formulierung [21] mit quadratischen Spannungs-termen formuliert. Als dritte Invariante wird deshalb die positive Wurzel ausGl.(3.18) definiert.

σva =√J1a − k2

aN · J2a − kbN · J12a . (3.19)

Der Gultigkeitsbereich von Gl.(3.19) wird lediglich dadurch eingeschrankt, daßder Werkstoff hinsichtlich seiner Festigkeitseigenschaften isotrop bzw. quasi-isotrop und das Material homogen sein muß. Fur die beiden WerkstoffkennwertekaN und kbN sollen weiterhin die in [21] getroffenen Annahmen gelten.

Fur den lastspielzahlabhangigen Werkstoffkennwert kaN , der das Verhaltnis


zwischen der zeitfest ertragbaren Zug-Druck-Wechselfestigkeit σWN und derTorsions-Wechselfestigkeit τWN beschreibt, wird in Anlehnung an Gl.(2.9) eineWohlerliniengleichung

kaN = ka ·(ND

N

)1/kk

(3.20)

formuliert, wobei ka der Wert fur Dauerfestigkeit ist, also σW /τW . Der Ex-ponent kk wird so angepaßt, daß im Grenzfall der zugigen Beanspruchung dieVergleichsspannungs-Amplitude der von Mises-Hypothese entspricht, da dortplastische Vorgange dominieren:

[kaN ]N=1/2 =√

3 . (3.21)

Fur kk ergibt sich mit Gl.(3.20) und (3.21)

kk =log (2 ·ND)

log

(√3

ka

) . (3.22)

Zur Bestimmung des zweiten Werkstoffkennwertes kbN wird ein FestigkeitswertσWN,90 eingefuhrt, der der Normalspannung σxxa fur einen Belastungsfall ausZug- Druck mit uberlagerter 90 phasenverschobener Torsion entspricht. Wirdfur die Torsionsspannung der Wert

σxya =σxxa

kaN=σWN,90

kaN(3.23)

eingesetzt, folgt fur kbN aus Gl.(3.19)

kbN = kaN ·

[2−

(σWN

σWN,90

)2]. (3.24)

Der Zeitfestigkeitsverlauf von σWN,90 soll auch entsprechend Gl.(2.9)

σWN,90 = σW,90 ·(ND

N

)1/k90

(3.25)

formuliert werden. Bei zugiger Beanspruchung (N = 1/2) darf die Phasenver-schiebung keinen Einfluß haben -kbN muß deshalb dort den Wert Null besitzen-,womit fur σWN,90 entsprechend Gl.(3.24)

σWN,90 =[σWN√

2

]N=1/2

=σW√

2· (2 ·ND)1/k (3.26)


folgt, wahrend bei Dauerfestigkeit (N = ND)

σWN,90 = σW,90 ·σW√2− kb

ka

(3.27)

gilt. Mit diesen beiden Gleichungen laßt sich schließlich der Exponent k90

bestimmen:

k90 =log (2 ·ND)

1k· log (2 ·ND) +

12· log

(1− kb

2 · ka

) . (3.28)

3.2.2 Mehrfrequente Beanspruchung

Die bisherige Vorgehensweise ermoglicht die Bildung einer Vergleichsspan-nungs-Amplitude fur einfrequente Beanspruchungen. Reale Bauteile unterlie-gen aber haufig einer periodisch mehrfrequenten Belastung. Im folgenden sollenwiederum zunachst nur die wechselnden Anteile betrachtet werden, womit sichdie Spannungskomponenten Gl.(2.39) zu

σij(t) =n∑

λ=1

[σija,λ · sin (λωt− δij,λ)] (3.29)

vereinfachen.

In dieser Arbeit wird eine einachsige Vergleichsspannungs-Zeitfunktion ent-wickelt, mit der diese periodischen, mehrfrequenten und phasenverschobenendreiachsigen Spannungszustande wie fur einachsige Belastungen ublich bewer-tet werden konnen. Dies gilt zunachst nur fur Beanspruchungen unterhalb derDauerfestigkeit. Allerdings bietet diese Zeitfunktion auch einen naturlichen Zu-gang zur Betriebsfestigkeits-Berechnung, was aber nicht weiter verfolgt wird,da es den Rahmen dieser Arbeit sprengen wurde.

An die Vergleichsspannungs-Zeitfunktion

σva(t) =n∑

λ=1

[σva,λ · sin (λωt− δv,λ)] (3.30)

werden folgende Forderungen gestellt:

I. Die Amplituden und Phasenverschiebungen mussen unabhan-gig vom gewahlten Koordinatensystem sein.

II. Die Vergleichsspannungs-Amplituden jeder Frequenz sollenunabhangig voneinander bestimmt werden.


III. Fur einachsige, mehrfrequente Belastungen soll der zeitlicheVerlauf der Vergleichsspannungs-Zeitfunktion mit der Origi-nalbelastung bis auf einen eventuellen Phasenunterschied von180 ubereinstimmen.

IV. Fur mehrachsige, mehrfrequente synchrone Belastungen sollebenfalls Forderung III gelten.

Durch die zweite Forderung soll eine Entkopplung von Vergleichsmittelspan-nungen und -amplituden erreicht werden, um den Festigkeitsnachweis - wiebisher ublich - mit Haigh- oder Smith-Schaubildern durchfuhren zu konnen.Außerdem liegt dieser Forderung die Annahme zugrunde, daß gleichfrequenteSpannungskomponenten sich gegenseitig starker stutzen konnen, wogegen dieschwachere Stutzwirkung der Komponenten unterschiedlicher Frequenzen uberdie Phasenwinkel berucksichtigt wird. Diese Uberlegungen werden durch dieguten Erfahrungen in [21] gestutzt.

Die Vergleichsspannungs-Amplituden in Gl.(3.30) werden zu jeder Frequenzanalog Gl.(3.19)

σva,λ =√J1a,λ − k2

aN · J2a,λ − kbN · J12a,λ (3.31)

mit den Invarianten

J1a,λ =∑i,j

σiia,λ · σjja,λ · cos (δii,λ − δjj,λ) ,

J2a,λ =12·∑i,j

[σiia,λ · σjja,λ · cos (δii,λ − δjj,λ)− σ2

ija,λ

]und

(3.32)

J212a,λ =

12·∑

i,j,k,l

[σ2

ija,λ · σ2kla,λ · sin2 (δij,λ − δkl,λ)−

σiia,λ · σjja,λ · σ2kla,λ · sin (δii,λ − δkl,λ) · sin (δjj,λ − δkl,λ)

]gebildet.

Als maßgebliche Vergleichsspannungs-Amplitude im Dauerfestigkeitsbereich

σva =max σva(t)−min σva(t)

2(3.33)

wird die maximale Schwingbreite der Vergleichsspannungs-Zeitfunktion defi-niert.

Die Phasenlage hat fur einfrequente Beanspruchungen λ = 1 keinen Einfluß


auf die Bestimmung der maßgeblichen Amplitude, da der Zeitnullpunkt be-liebig gewahlt werden kann (s. Kapitel 3.2.1). Sie beeinflussen jedoch dieGesamtanstrengung fur mehrfrequente Beanspruchungen.Das Phasen-Frequenzspektrum δv,λ der Vergleichsspannungs-Zeitfunktion kannnicht aus dem Prozeß der Bildung der Vergleichsamplituden gewonnen werden,da die Zeitfunktionen unterschiedlicher Frequenzen sich in der Gesamtanstren-gung gegenseitig beeinflussen. Die Phasenlage einer bestimmten Frequenz λist also nicht allein von dem Zeitverhalten der Spannungskomponenten dieserFrequenz abhangig. Das Spektrum wird deshalb aus dem Zeitverhalten einergeeigneten Phasenfunktion abgeleitet. Da der in [21] formulierte Prozeß nichtdirekt auf den dreiachsigen Belastungsfall ubertragen werden kann und ge-genuber einer Drehung des Koordinatensystems nicht unabhangig ist, wird diePhasenfunktion neu definiert.Zunachst wird eine Anstrengungsfunktion

A2(t) = I21 (t)− k2

a · I2(t) (3.34)

mit den Invarianten nach Gl.(2.40) und den Spannungskomponenten nachGl.(3.29) formuliert. Durch die quadratischen Ausdrucke der Spannungskom-ponenten schwingt die Anstrengungsfunktion gegenuber den Spannungskom-ponenten selbst bzw. der Vergleichsspannungs-Zeitfunktion mit doppelter Fre-quenz um einen positiven Mittelwert. Das Phasen-Frequenzspektrum dieserFunktion kann also nicht direkt auf das der Vergleichsspannungs-Zeitfunk-tion ubertragen werden. Durch Addition geeignet gewahlter Konstanten zujeder Spannungskomponente laßt sich aus der erweiterten Anstrengungsfunkti-on A2

#(t) eine Phasenfunktion Φ(t,∆) ableiten, deren Spannungskomponentenlinear und nicht mehr quadratisch sind. Diese Vorgehensweise ist ohne Be-schrankung der Allgemeinheit zulassig, da nur das Frequenzspektrum der Pha-senfunktion nicht aber der Verlauf der absoluten Funktionswerte bestimmt unddann auf die Vergleichsspannungs-Zeitfunktion ubertragen wird.Die erweiterte Anstrengungsfunktion lautet:

A2#(t) =

[σxxa(t) + ∆σxx + σyya(t) + ∆σyy + σzza(t) + ∆σzz

]2 −k2

a ·

[σxxa(t) + ∆σxx] · [σyya(t) + ∆σyy] +

[σxxa(t) + ∆σxx] · [σzza(t) + ∆σzz] + (3.35)[σyya(t) + ∆σyy] · [σzza(t) + ∆σzz]−[σxya(t) + ∆σxy]2 − [σxza(t) + ∆σxz]

2 −

[σyza(t) + ∆σyz]2

.

Die Konstanten werden groß gegenuber den Amplituden der Spannungsfunk-tionen

|σij(t)| |∆σij | (3.36)


gewahlt, so daß Gl.(3.35) naherungsweise

A2# ≈ [∆σxx + ∆σyy + ∆σzz+]2 −

k2a ·[∆σxx ·∆σyy + ∆σxx ·∆σzz + ∆σyy ·∆σzz −∆σ2

xy −∆σ2xz −∆σ2

yz

]+

2 ·

[σxxa(t) + σyya(t) + σzza(t)] ·

[∆σxx + ∆σyy + ∆σzz]− (3.37)k2

a

2·[σxxa(t) · [∆σyy + ∆σzz] +

σyya(t) · [∆σxx + ∆σzz] +σzza(t) · [∆σxx + ∆σyy]−2 · σxya(t) ·∆σxy − 2 · σxza(t) ·∆σxz −

2 · σyza(t) ·∆σyz

]geschrieben werden kann. Zur Bestimmung der Phasenlagen reicht es aus, nurden zeitabhangigen Term von Gl.(3.37) zu verwenden. Die sogenannte Phasen-funktion lautet:

Φ(t,∆) = [σxxa(t) + σyya(t) + σzza(t)] ·[∆σxx + ∆σyy + ∆σyy]−k2

a

2·σxxa(t) · [∆σyy + ∆σzz] +

σyya(t) · [∆σxx + ∆σzz] +σzza(t) · [∆σxx + ∆σyy]−2 · [σxya(t) ·∆σxy + σxza(t) ·∆σxz +

σyza(t) ·∆σyz]

= H1(t,∆)− k2a

2·H2(t,∆) .

(3.38)

Die Vergleichsspannungs-Zeitfunktion Gl.(3.30) soll, wie oben beschrieben, pha-sentreu zu dieser Funktion verlaufen. Das gesuchte Phasen-Frequenzspektrumδv,λ gewinnt man durch eine harmonische Reihenentwicklung der Phasenfunk-tion Φ(t,∆).

In Gl.(3.38) sind die konstanten Werte ∆σij noch unbekannt. Fur ihre Fest-legung wird die Phasenfunktion mit den zeitlich veranderlichen Komponentendes Spannungstensors zum Zeitpunkt t0 statt der konstanten Werte zum Ver-gleich herangezogen:


Φ(t, t0) = [σxxa(t) + σyya(t) + σzza(t)] ·[σxxa(t0) + σyya(t0) + σzza(t0)]−k2

a

2·σxxa(t) · [σyya(t0) + σzza(t0)] +

σyya(t) · [σxxa(t0) + σzza(t0)] +σzza(t) · [σxxa(t0) + σyya(t0)]−2 · [σxya(t) · σxya(t0) + σxza(t) · σxza(t0) +

σyza(t) · σyza(t0)]

= H1(t, t0)−k2

a

2·H2(t, t0) .

(3.39)

Ein charakteristischer Zeitpunkt t0, fur den die konstanten Terme ∆σij gleichden entsprechenden Spannungswerten σija sind, laßt sich nur dann definieren,wenn die Hauptspannungsrichtungen sich wahrend einer Periode nicht andern,was gleichbedeutend mit einer synchronen Belastung ist. Ansonsten dreht sichdas Hauptachsensystem wahrend einer Periode T und es existiert kein charak-teristischer Zustand. Dann kann ein konstanter Spannungszustand ∆σij nurim Mittel den sich standig andernden Zustand beschreiben. Die ∆σij werdendeshalb so gewahlt, daß der Betrag des Abstands der Quadrate von Φ(t,∆) undΦ(t, t0) integriert uber eine Periode T moglichst klein wird. Die absolute Großeder Spannungen zum Zeitpunkt t0 und der ∆σij soll in der Abstandsfunkti-on G kein Gewicht erhalten, weshalb die Phasenfunktionen auf die jeweiligemodifizierte von-Mises-Vergleichsspannung bezogen werden:

|Γ| =

∣∣∣∣∣∣T∫

t=0

T∫t0=0

[

Φ(t, t0)√Φ(t0, t0)

]2

−

[Φ(t,∆)√Φ(t0, t0)

]2 dt0 dt

∣∣∣∣∣∣= 0 bzw. Min. . (3.40)

Fur synchrone bzw. einachsige Belastungen lassen sich Werte fur ∆σij fin-den, die Gl.(3.40) exakt erfullen und damit auch die Forderungen III und IVbefriedigen (s. Anhang A.2). Dagegen werden im allgemeinen Fall die Ge-wichtungsfaktoren ∆σij durch einen Optimierungsalgorithmus bestimmt. Diedabei verwendete Gutefunktion G wird aus Gl.(3.40) abgeleitet. Es hat sich alszweckmaßig erwiesen, die Betragsfunktion zu ”verscharfen“. Im Optimierungs-algorithmus werden die Betrage der einzelnen Differenzen minimiert. Dies be-ruht auf der Annahme, daß die Differenzen der ersten und zweiten Invariante(H1 bzw. H2) sowie des gemischten Gliedes jeweils fur sich gleich Null werden


mussen, was fur synchrone Belastungen gewahrleistet ist.

G =

∣∣∣∣∣∣T∫

t=0

T∫t0=0

H2

1 (t, t0)Φ(t0, t0)

− H21 (t,∆)

Φ(∆,∆)

dt0 dt

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣T∫

t=0

T∫t0=0

H2

2 (t, t0)Φ(t0, t0)

− H22 (t,∆)

Φ(∆,∆)

dt0 dt

∣∣∣∣∣∣+ (3.41)

∣∣∣∣∣∣T∫

t=0

T∫t0=0

H1(t, t0) ·H2(t, t0)

Φ(t0, t0)− H1(t,∆) ·H2(t,∆)

Φ(∆,∆)

dt0 dt

∣∣∣∣∣∣Der Suchraum laßt sich mit den Abkurzungen

∆σij√Φ(∆,∆)

= ∆αij (3.42)

und durch die Einfuhrung der Nebenbedingung

1 = ∆α2xx + ∆α2

yy + ∆α2zz +(

2− k2a

)· [∆αxx · (∆αyy + ∆αzz) + ∆αyy ·∆αzz] + (3.43)

k2a ·[∆α2

xy + ∆α2xz + ∆α2

yz

]einschranken. Bei der Bestimmung der Konstanten treten teilweise numerischeUngenauigkeiten auf (keine eindeutigen Losungen), so daß die maßgebliche Ver-gleichsamplitude nach Gl.(3.33) fur mehrere Werte ∆σij berechnet wird. Ent-sprechend einer sicheren Auslegung wird das großte σva als maßgebliche Ver-gleichsamplitude festgelegt. Im Optimierungsalgorithmus wird ka gleich Einsgesetzt, was die beste Ubereinstimmung mit den Versuchsergebnissen liefert.

3.3 Stutzwirkungskonzepte

Mit den bisherigen Ausfuhrungen zur Vergleichsspannungs-Amplitude lassensich Aussagen zur Lebensdauer von Bauteilen mit einer homogenen Span-nungsverteilung und einer rein wechselnden Belastung treffen. Es folgen dieKonzepte Mikro- und Makrostutzwirkung zur Bewertung inhomogener Span-nungszustande. Im Rahmen dieser Arbeit wird davon ausgegangen, daß dieMikrostutzziffern und Mikromehrachsigkeiten unabhangig von den Makrostutz-ziffern und Makromehrachsigkeiten sind, was im Einklang mit den Aussagenvon Neuber [47] steht. Eine getrennte rechnerische Erfassung der beiden Effekteist damit moglich.

3.3 Stutzwirkungskonzepte 45

Fur das weitere Vorgehen werden der allgemeine Spannungszustand und dieInvarianten des Spannungstensors noch einmal zusammengefaßt dargestellt.

So(t) = Sm + Se + Sa(t) (3.44)

σijo(t) = σijm + σije + σija · sin (ωt− δij) (3.45)

I1a(t) = Spur(Sa(t)

)I2a(t) =

12·[Spur2

(Sa(t)

)− Spur

(Sa

2(t))]

I3a(t) =16·[

Spur3(Sa(t)

)− (3.46)

3 · Spur(Sa(t)

)· Spur

(Sa

2(t))

+

2 · Spur(Sa

3(t))]

I1o(t) = Spur(So(t)

)I2o(t) =

12·[Spur2

(So(t)

)− Spur

(So

2(t))]

I3o(t) =16·[

Spur3(So(t)

)− (3.47)

3 · Spur(So(t)

)· Spur

(So

2(t))

+

2 · Spur(So

3(t))]

3.3.1 Mikrostutzwirkung

Bevor die Bestimmungsgleichungen fur die Mikrostutzziffern n angegeben wer-den konnen, mussen drei grundsatzliche Fragen geklart werden:

1. Welche Festigkeitshypothese ist anzuwenden, um die verschie-denen Spannungszustande miteinander vergleichen zu konnen?

2. Zu welchem Zeitpunkt soll der Vergleich erfolgen?

3. An welchem Ort soll schließlich die Lebensdauer berechnetwerden?


Als Festigkeitshypothese wird eine modifizierte von Mises-Vergleichsspan-nungshypothese vorgeschlagen

σmod. Mises(t) =√I21o(t)− k2

a · I2o(t) , (3.48)

deren Invarianten nach Gl.(3.47) gebildet werden. Diese Invariantenkombina-tion wurde bereits in Kapitel 3.2.2 als Ausgangsfunktion zur Bestimmungder Phasenlagen erfolgreich eingesetzt. Zwar wird i.a. zur Beschreibung lokalerFließvorgange die von Mises-Hypothese verwendet, das unterschiedliche Werk-stoffverhalten kann aber erst durch den Parameter ka berucksichtigt werden.Diese Erkenntnis wird in zahlreichen Vergleichsspannungs-Hypothesen beruck-sichtigt, so daß es sinnvoll erscheint, diese Vorgehensweise konsequent auch beider Bestimmung der Stutzziffern einzusetzen.

Die modifizierte von Mises-Vergleichsspannung nach Gl.(3.48) ist abhangig vondem Ort und von der Zeit. Um die Spannungszustande an den verschiedenenOrten miteinander vergleichen zu konnen, wird an jedem Ort das zeitliche Ma-ximum gebildet:

σmod. Mises = max [σmod. Mises(t)]= σmod. Mises(t0)

(3.49)

Da homogenes, ortsunabhangiges Werkstoffverhalten vorausgesetzt wird, er-folgt die Bewertung an der Stelle des großten Wertes aller zuvor ermitteltenσmod. Mises . Demgegenuber muß die Bewertung fur inhomogenes Werkstoffver-halten an mehreren Stellen erfolgen, da die Stutzwirkungskonzepte von einzel-nen Werkstoffkennwerten abhangen, so daß der Ort des ”großten Maximums“nicht mit dem der kleinsten Lebensdauer identisch sein muß.

Die bezogenen Invariantengefalle χIider drei Invarianten I1, I2, I3 des Span-

nungstensors S werden in Analogie zu der Definition des bezogenen Anstren-gungsgefalles Gl.(2.51) formuliert. Sie unterscheiden sich zu Gl.(2.51) allerdingsdarin, daß das bezogene Gefalle nicht aus dem Verlauf einer einzelnen Span-nungskomponente des Spannungstensors gebildet wird, sondern auf Grund derInvarianz der Verlauf der Invarianten des Spannungstensors maßgeblich ist.Gleichzeitig ist es damit nicht mehr notwendig, ein bezogenes Spannungsgefallefur zusammengesetzte Beanspruchungen beispielsweise durch eine gewichteteMittelwertbildung der einzelnen Werte zu definieren.Die Invarianten der Ausschlagspannungen werden entsprechend Gl.(3.46) zumvorher bestimmten Zeitpunkt t = t0 berechnet. Mit s wird die Laufvariable in


Richtung des Gradienten bezeichnetB.

∣∣∣χI1a

∣∣∣ =1∣∣∣I1a

∣∣s = s(σmod. Mises)

∣∣∣ ·∂

∣∣∣I1a

∣∣∣∂s

s = s(σmod. Mises)

∣∣∣χI2a

∣∣∣ =1∣∣∣I2a


∣∣∣ ·∂

∣∣∣I2a

∣∣∣∂s

s = s(σmod. Mises)

(3.50)∣∣∣χI3a

∣∣∣ =1∣∣∣I3a


∣∣∣ ·∂

∣∣∣I3a

∣∣∣∂s

s = s(σmod. Mises)

Zur Bestimmung der bezogenen Invariantengefalle der Oberspannung χIiower-

den die Invarianten nach Gl.(3.47) gebildet und in Gl.(3.50) ist der Index adurch o zu ersetzen.

Die Definition des Gradienten und damit auch des bezogenen Invarianten-gefalles erfolgt wie ublich mit dem Betrag. Der Gradient beispielsweise derzweiten Invariante kann, wie Abbildung 3.1 zeigt, auch negativ sein. EineBerucksichtigung des Vorzeichens fuhrt dann mit Gl.(3.51) zu Stutzziffern klei-ner eins. Mit zunehmender Kerbscharfe steigt das bezogene Invariantengefallewahrend die Mikrostutzziffer sinkt, was physikalisch nicht sinnvoll ist, da einescharfere Kerbe nicht entlastend fur ein Bauteil ist. Aus diesem Grund ist derBetrag des bezogenen Invariantengefalles bei der Bestimmung der Mikrostutz-ziffern zu verwenden.

BAlternativ konnen die bezogenen Invariantengefalle auch folgendermaßen definiert wer-den:

∣∣∣χI1a

∣∣∣ =1√∣∣∣I21a

∣∣∣ ·∂

√∣∣∣I21a

∣∣∣∂s

=1∣∣∣I1a

∣∣∣ ·∂

∣∣∣I1a

∣∣∣∂s

∣∣∣χI2a

∣∣∣ =1√∣∣∣I2a

∣∣∣ ·∂

√∣∣∣I2a

∣∣∣∂s

=1

2 ·∣∣∣I2a

∣∣∣ ·∂

∣∣∣I2a

∣∣∣∂s

∣∣∣χI3a

∣∣∣ =1

3

√∣∣∣I3a

∣∣∣ ·∂ 3

√∣∣∣I3a

∣∣∣∂s

=1

3 ·∣∣∣I3a

∣∣∣ ·∂

∣∣∣I3a

∣∣∣∂s

Im Unterschied zu Gl.(3.50) sind die bezogenen Invariantengefalle auf”Spannungsebene“ (1.

Potenz) formuliert.


0

1

I 1 b e z o g e n a u f I 1 m a xI 2 b e z o g e n a u f I 2 m a xI 3 b e z o g e n a u f I 3 m a x

x

K e r b g r u n d

B a u t e i l m i t t e

Abbildung 3.1: Verlauf der bezogenen Invarianten I1, I2 und I3 fur einenaxialbelasteten Rundstab mit Umlaufkerbe

Fur die Berechnung der Mikrostutzziffern nG,ia aus dem bezogenen Invarian-tengefalle wird der Vorschlag aus [21] ubernommen, fur den die Werkstoffei-genschaften uber die Ersatzstrukturlange ρ∗ und die fertigungsbedingten Ober-flachenrauhigkeiten mit der Rauhtiefe Rz einfließen:

nG,1a =√

1 + ρeff · χI1a

nG,2a =√

1 + ρeff · χI2a

nG,3a =√

1 + ρeff · χI3amit

ρeff = ρ∗ −Rz und (3.51)

ρ∗ =2π·(

∆Kth0

σschw

)2

Damit konnen die Vergleichsspannungs-Amplituden

σG,va,λ =1ma

·

√J1a,λ

n2G,1a

− k2aN ·

J2a,λ

nG,2a− kbN ·

J12a,λ

nG,12a(3.52)


formuliert werdenC. Fur die Stutzziffer nG,12a gibt es keine entsprechende In-variante des Spannungstensors. Es wird vorgeschlagen, das bezogene Invarian-tengefalle mit der Invariante J12a

D

∣∣∣χJ12a

∣∣∣ =1∣∣∣J12a


∣∣∣ ·∂

∣∣∣J12a

∣∣∣∂s

s = s(σmod. Mises)

(3.53)

und daraus die Mikrostutzziffer nG,12a

nG,12a =√

1 + ρeff · χJ12a(3.54)

zu bestimmen. Die Definition der Makrostutzziffer ma wird in Kapitel 3.3.2dargestellt.

Fur die Bewertung mittelspannungsbehafteter Beanspruchungszustande wer-den die Stutzziffern nG,1o, nG,2o und nG,3o benotigt. Sie werden mit den ent-sprechenden bezogenen Invariantengefallen nach Gl.(3.51) berechnet, wobei derIndex a durch o zu ersetzen ist.

Die Anwendung dieses Konzeptes auf die Ergebnisse einer FEM-Berechnungerfordert einige spezielle Anpassungen. Die Spannungsverteilung ist nur in dendiskreten FEM-Knoten bekannt. Hieraus laßt sich zwar prinzipiell fur jedeSpannungskomponente eine ortsabhangige Funktionsgleichung rekonstruieren,dies ist aber eine mathematisch sehr anspruchsvolle und zeitintensive Aufgabe,da es sich i.a. um ein unregelmaßiges dreidimensionales Punktegitter handeltund auch die Beschreibung der Volumenberandung in einem speziellen Koor-dinatensystem nicht trivial ist. Deshalb wird vorgeschlagen, den Gradienten

C Werden die bezogenen Invariantengefalle nach der Alternative auf Seite 47 formuliert,lauten die Vergleichsspannungs-Amplituden:

σG,va,λ =1

ma·

√√√√ J1a,λ

n2G,1a

− k2aN ·

J2a,λ

n2G,2a

− kbN ·J12a,λ

n2G,12a

.

Die Mikrostutzziffern n werden alle quadriert, da die bezogenen Invariantengefalle auf”Span-

nungsebene“ formuliert sind. Fur kleine Werte ρeff · χ kann Gl.(3.51) durch eine Tayler -Reihenentwicklung linearisiert werden, so daß die berechnete Mikrostutzwirkung der beidenAlternativen gleich groß ist.

DFur die Alternative von Seite 47 gilt:

∣∣∣χJ12a

∣∣∣ =1√∣∣∣J12a

∣∣∣ ·∂

√∣∣∣J12a

∣∣∣∂s

=1

2 ·∣∣∣J12a

∣∣∣ ·∂

∣∣∣J12a

∣∣∣∂s


durch seinen Differenzquotienten zu ersetzen:

∂∣∣∣Iia∣∣∣∂s

=

∣∣∣∆Iia∣∣∣∆s

,∂∣∣∣Jia

∣∣∣∂s

=

∣∣∣∆Jia

∣∣∣∆s

und

(3.55)

∂∣∣∣Iio∣∣∣∂s

=

∣∣∣∆Iio∣∣∣∆s

Ausgehend vom Punkt der hochsten Beanspruchung sind die Differenzenquoti-enten zu allen unmittelbar benachbarten FEM-Knoten zu ermitteln. Um aberalle Raumrichtungen zu berucksichtigen, mussen auch weiter entfernte Knotenbetrachtet werden. Maßgeblich ist dann der betragsmaßig großte Wert. Durchdiese Approximation wird der ermittelte Gradient i.a. immer kleiner als dertheoretische sein, was bezuglich der Lebensdauer eine Aussage zur sicherenSeite darstellt. Gleichzeitig wird aber auch der Einfluß des verwendeten FEM-Gitters auf das Ergebnis deutlich, was die generelle Frage nach der Gute derBerechnung aufwirft. Da nur Bauteile mit kraftefreien Oberflachen im Bereichder hochsten Beanspruchung betrachtet werden, wird als Maß fur die Gute derFEM-Berechnung

G = 100% · σrr

σ1

∣∣∣∣σmod. Mises

(3.56)

der prozentuale Quotient aus der Hauptspannung senkrecht zur Oberflache(σrr) und der 1. Hauptspannung angegeben, der theoretisch Null sein muß.

Die mit diesem Konzept berechneten Mikrostutzziffern sind in Tabelle 3.1beispielhaft fur einen mit unterschiedlichen Radien gekerbten Rundstab unterwechselnder Zugbelastung, wie er von Dietmann [6] verwendet wurde, zusam-mengefaßt. Die wirksame Strukturlange wird mit ρeff = 0, 1mm angenommen.Die Stutzziffer nG,Mises wird mit

nG,Mises =σva,Mises(t0)σva,Mises(t0)

=

√I21a(t0)− 3 · I2a(t0)√√√√( I1a(t0)nG,1a

)2

− 3 · I2a(t0)nG,2a

(3.57)

berechnet. Neben den Stutzziffern nG,1a, nG,2a und nG,Mises werden die bezo-genen Invariantengefalle χI1a

und χI2aangegeben. Zum Vergleich ist die Mi-

krostutzwirkung nH,1a ≡ nH,Mises berechnet nach [21] aufgefuhrt.

Im Rahmen dieser Arbeit wird die Kerbgrundspannung fur Vergleichsrechnun-gen nach den Konzepten aus [21] und [19] grundsatzlich mit der Nennspannung


S bzw. T und den Kerbformzahlen αk ermittelt. D.h., daß beispielsweise fureinen gekerbten Rundstab unter Zugbelastung die Kerbgrundspannung σxx mit

σxx = SZug · αkz

berechnet wird und die Umfangsspannung nicht berucksichtigt wird. Wennnicht anders angegeben, werden die aus der FEM-Berechnung bestimmtenKerbformzahlen verwendet.

Tabelle 3.1: Mikrostutzziffern der Invarianten I1a, I2a und der von Mises-Vergleichsspannung fur verschiedene Kerbradien ρ berechnetmit Gl.(3.50), Gl.(3.51) und Gl.(3.57)

χσxxanH,Mises

ρ χI1anG,1a χI2a

nG,2a nG,Mises

= 2/ρ nach [21]

8 0,101 1,005 0,703 1,035 1,000 0,25 1,0124 0,212 1,011 0,785 1,038 1,005 0,5 1,0252 0,450 1,022 1,002 1,049 1,021 1 1,049

1,5 0,610 1,030 1,173 1,057 1,032 1,33 1,0651 0,926 1,045 1,550 1,075 1,054 2 1,095

0,5 1,852 1,088 2,829 1,133 1,117 4 1,1830,25 3,665 1,169 5,668 1,252 1,234 8 1,3420,11 8,208 1,349 13,47 1,532 1,517 18,18 1,679

Tabelle 3.1 ist zu entnehmen, daß der Wert des bezogenen InvariantengefallesχI1a

im Mittel 45% des analytischen Wertes χσxxa = 2/ρ betragt. Diese Diffe-renz ist auf die unterschiedlichen Gradienten der einzelnen Spannungen σxxa,σyya und σzza zuruckzufuhren. Der bezogene Spannungsgradient der Langs-spannung σxxa ist im Mittel nur 7% kleiner als der analytische Wert, was auf dieErsetzung des Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten zuruck-zufuhren ist.

Der Vergleich der Mikrostutzziffer n2G,1a des Gradientenkonzepts mit der des

im folgenden vorgestellten Volumenkonzepts nV,1a aus Tabelle 3.3 zeigt ei-ne gute UbereinstimmungE. Folglich wird die Mikrostutzwirkung der erstenInvarianten durch das Gradientenkonzept richtig erfaßt. Demgegenuber wirddie Stutzwirkung der zweiten Invarianten uberschatzt (vgl. nG,2a Tabelle 3.1und nV,2a Tabelle 3.3), was dann wiederum eine Unterschatzung in der Mi-krostutzziffer der von Mises-Vergleichsspannung nG,Mises gegenuber nH,Mises

zur Folge hat (s.a. Tabelle C.2 im Anhang C).EFur den Vergleich der Mikrostutzziffern nG,1a und nV,1a ist es notwendig, die Mikrostutz-

ziffer nach dem Gradientenkonzept zu quadrieren, da sie im Gegensatz zu der des Volumen-konzepts aus der linearen Spannungskombination der ersten Invarianten gebildet wird.


Da die Ergebnisse in [21] belegen, daß die Lebensdauerberechnung mit Nenn-spannungen, geometrieabhangigen Stutzziffern und Kerbformzahlen eine guteUbereinstimmung mit den Versuchsergebnissen liefert, mußten demnach diemit dem neuen Gradientenkonzept (Gl.(3.52)) und die nach Hahn

σH,va,λ =1ma

·

√J1a,λ

n2H,1a

− k2aN ·

J2a,λ

n2H,2a

− kbN ·J3a,λ

n2H,3a

(3.58)

berechneten Vergleichsspannungs-Amplituden σG,va,λ und σH,va,λ ohne Be-rucksichtigung der Makrostutzwirkung ungefahr gleich groß sein.

In der nachfolgenden Tabelle 3.2 sind die Vergleichsspannungs-Amplituden furdie obigen Proben zusammengefaßt. Die Nennspannung SZug = 100 N/mm2

wird fur alle Bauteile gleich groß gewahlt und σG,va und σH,va fur ein Wech-selfestigkeitsverhaltnis von ka = 1, 547 berechnet.

Tabelle 3.2: Vergleichsspannungs-Amplituden σG,va nach Gl.(3.52) undσH,va nach Gl.(3.58) fur verschiedene Kerbradien ρ

ρ σG,va σH,va [21] ρ σG,va σH,va [21]

8 120,6 119,6 1 226,4 213,84 140,9 138,3 0,5 292,7 268,12 175,6 169,4 0,25 369,6 325,2

1,5 194,7 186,3 0,11 457,1 383,2

Mit steigender Kerbscharfe wird der Beanspruchungszustand durch das neueGradientenkonzept deutlich uberbewertet, was auf der zu großen Stutzziffer derzweiten Invarianten beruht. Gleichzeitig wird diese Tatsache durch das entspre-chende Wechselfestigkeitsverhaltnis ka uberlagert. Die Umfangsspannung σϕϕ

an der Oberflache im Kerbgrund fur einen zug- bzw. biegebelasteten Rundstabkann in Abhangigkeit von der Kerbgeometrie als ein Vielfaches der Langsspan-nung σxx geschrieben werden:

σϕϕ = α · σxx (3.59)

Wird die Mikrostutzwirkung der Invarianten nicht berucksichtigt, konnen dieVergleichsspannungs-Amplituden –aus der einachsigen bzw. zweiachsigen Be-anspruchung berechnet– nur fur ein spezielles Wechselfestigkeitsverhaltnis k2

a ≡K2 gleich groß sein: F

FWird im folgenden von einem angepaßten Wechselfestigkeitsverhaltnis gesprochen, solldarunter dieses spezielle K2 verstanden werden, das mit Gl.(3.59 und 3.60) aus den Ergeb-nissen der FEM-Berechnung bestimmt wird.


σva

∣∣zweiachsig =

√(σxx + σϕϕ)2 − k2

a · σxx · σϕϕ

= σxx = σva

∣∣einachsig

⇐⇒ (1 + α)2 −K2 · α = 1 mit K2 ≡ k2a

⇐⇒ K2 = 2 + α

(3.60)

Fur alle anderen Werte des Wechselfestigkeitsverhaltnisses ist die zweiachsigberechnete Vergleichsspannungs-Amplitude großer als die Einachsige.

Die vorangegangenen Ausfuhrungen verdeutlichen, daß die Bewertung der Er-gebnisse linearer FEM-Berechnungen mit dem Gradientenkonzept zu sehr kon-servativen Lebensdauerabschatzungen fuhren. Es wird deshalb ein volumenba-siertes Konzept vorgeschlagen, um die Mikrostutzziffern zu berechnen. Da dieSpannungskombinationen in der Vergleichsspannungs-Amplitude alle quadra-tische Glieder enthalten, sollen auch die Stutzziffern aus den entsprechendenquadratischen Termen abgeleitet werden. Dies gilt aber nicht fur die dritte Inva-riante des Spannungstensors und die von ihr abhangige Stutzziffer. Sie wird ausder kubischen Spannungskombination berechnet. Die einzelnen Bestimmungs-gleichungen fur die Mikrostutzziffern werden als Verhaltnis der Invariante I amBauteilrand zu der uber das Volumen V gemittelten Invariante I definiert:

nV,1a =I21a(t0)I21a(t0)

=I21a(t0)∫

(V )

I21a(t0) dV

V

(3.61)

nV,2a =I2a(t0)I2a(t0)

=I2a(t0)∫

(V )

I2a(t0) dV

V

(3.62)

nV,12a =J12a

J12a=

J12a∫(V )

J12a dV

V

(3.63)

nV,3a =I3a(t0)I3a(t0)

=I3a(t0)∫

(V )

I3a(t0) dV

V

(3.64)


Fur die Stutzziffern der Oberspannung ist in den Gleichungen Gl.(3.61),Gl.(3.62) und Gl.(3.64) der Index a durch o zu ersetzen.

Die Berechnung der Vergleichsspannungs-Amplituden

σva,λ =1ma

·

√J1a,λ

nV,1a− k2

aN ·J2a,λ

nV,2a− kbN ·

J12a,λ

nV,12a(3.65)

wird aufgrund der unterschiedlichen Definition der Mikrostutzziffer n1a –Gradi-entenkonzept und Volumenkonzept– im Gegensatz zu Gl.(3.52) nicht mit demQuadrat der Mikrostutzziffer formuliert.

Die oben getroffenen Festlegungen zu den drei Fragen nach der Festigkeits-hypothese, dem Zeitpunkt und dem Ort der Berechnung sollen auch hier zurAnwendung kommen. Es wird vorgeschlagen, uber eine Kugel zu integrieren,deren Mittelpunkt der Ort der hochsten Beanspruchung ist und die durch dieaußere Geometrie des Bauteils begrenzt wird (s.a. Abbildung 3.2). Die Großedes Integrationsradius ρ∗ dieser Kugel wird durch den Werkstoff bestimmt. DieWerkstoffstrukturlange ρeff , die in [21] hergeleitet und bereits in dem obigenKonzept (s. Gl.(3.51)) verwendet wurde, wird als erste Schatzgroße fur ρ∗ ver-wendet. Die Gultigkeit wird durch Vergleich mit den Mikrostutzziffern nach[21] fur glatte Rundstabe unter Biege- bzw. Torsionsbelastung uberpruft. Beider Berechnung der einzelnen Mikrostutzziffern sind die entsprechenden Inva-rianten nach Gl.(3.46 und 3.47) zu verwenden.

Auch fur dieses Verfahren sind einige spezielle Anpassungen fur die Bewertungvon FEM-Ergebnissen notwendig, die beispielhaft fur die zweite Invariante auf-gezeigt werden. Fur die Integration bietet sich ein Kugelkoordinatensystem mitden Einheitsvektoren nach Abbildung 3.2 an, so daß beispielsweise fur I2a(t0)

I2a(t0) =

ρ∗∫r=0

2π∫ϕ=0

π∫γ=γmin

I2a(t0) · r2 · sin γ dr dϕ dγ

V(3.66)

mit

V =

ρ∗∫r=0

2π∫ϕ=0

π∫γ=γmin

r2 · sin γ dr dϕ dγ (3.67)

gilt. Da die ortsabhangige Funktionsbeschreibung von I2a(t0) nicht vorliegt,muß fur die Berechnung des Integrals auf ein Naherungsverfahren zuruckge-griffen werden. Die Integration wird duch eine Summation uber ein kleinesVolumenelement ∆V (∆r, ∆ϕ, ∆γ) ersetzt. Fur die in einem ∆V befindlichenFEM-Knoten wird der arithmetische Mittelwert I2a(t0) gebildet. Teilvolumina,die keinen FEM-Knoten beinhalten, werden bei der Summation nicht beruck-sichtigt, so daß das berechnete Gesamtvolumen V als Maß fur die Gute der


PD r

D j

D g

e ne t 1

e t 2

P

P O r t d e r h ö c h s t e n B e a n s p r u c h u n ge n N o r m a l e n v e k t o re t 1 1 . T a n g e n t e n v e k t o re t 2 2 . T a n g e n t e n v e k t o r

D r , D j , D g K o o r d i n a t e n a b s c h n i t t e f ü r d i e I n t e g r a t i o n

Abbildung 3.2: Definition des Volumenintegrals

Berechnung verwendet werden kann.

Die mit ihrem Teilvolumen ∆V gewichteten Mittelwerte werden uber alle Seg-mente (k) aufsummiert und ergeben dividiert durch das Gesamtvolumen V des


Kugelausschnitts die gesuchte Große I2a(t0):

I2a(t0) =

∑(k)

I2a,k(t0) ·∆Vk

V(3.68)

Das ”wahre“ Kugelausschnittsvolumen V0 kann numerisch mit einer kleinenFehlertoleranz bestimmt werden. Die bisher noch variable Anzahl der Unter-teilung der ∆r-, ∆ϕ- und ∆γ-Abschnitte ist dann geeignet, wenn das VolumenV mit V0 ubereinstimmt. Diese Vorgehensweise wurde sowohl fur einen glattenRundstab als auch fur ein gekerbtes Bauteil mit unterschiedlichen Elementie-rungen erfolgreich uberpruft. Fur eine sinnvolle Auswertung sollte aber in jedemFall das FEM-Netz im Bereich der hochsten Beanspruchung an den Integrati-onsradius angepaßt und die Verteilung der einzelnen FEM-Knoten moglichstgleichmaßig sein.

Im Folgenden werden die Einflusse der Geometrie und des Werkstoffs auf dieMikrostutzwirkung diskutiert und die Gultigkeit des neuen Volumenkonzeptesdurch Vergleich mit dem Konzept aus [21] uberpruft. Ein direkter Vergleichkann fur einachsige Belastungen an glatten Staben erfolgen. In Tabelle C.1im Anhang C sind die Stutzziffern fur Biege- und Torsionsbelastung glat-ter Rundstabe aufgezeigt. Sowohl der Großen- als auch der Werkstoffeinflußwerden von dem neuen Konzept in geeigneter Weise berucksichtigt, womit derVorschlag, die effektive Werkstoffstrukturlange ρeff als Integrationsradius zuverwenden, bestatigt wird. Auffallig ist, daß alle Ergebnisse des neuen Konzep-tes geringfugig kleiner sind. Der Unterschied liegt in der dritten Nachkommas-telle und die mittlere relative Abweichung betragt 0, 31 %. Langfristig ist zuklaren, ob ρ∗ nicht etwas großer als ρeff angesetzt werden sollte.

In Tabelle 3.3 sind die Stutzziffern fur die oben beschriebenen Kerbstabevon Dietmann [6] unter Zugbelastung zusammengefaßt. Um die Ergebnissedes Volumenkonzeptes mit denen aus [21] besser vergleichen zu konnen, wirdbei der Berechnung der modifizierten von Mises-Vergleichsspannung der an-gepaßte Wert K2 (s.S. 52) fur das Wechselfestigkeitsverhaltnis eingesetzt. DieMikrostutzziffer nV,mod.Mises wird mit

nV,mod.Mises =σV,mod.Mises(t0)σV,mod.Mises(t0)

=

√I21a(t0)− k2

a · I2a(t0)√I21a(t0)nV,1a

− k2a ·

I2a(t0)nV,2a

(3.69)

berechnet.

Der Vergleich von nV,mod.Mises und nH,Mises zeigt, daß mit dem Volumen-konzept, wie bereits bei glatten Staben festgestellt, grundsatzlich geringere


Tabelle 3.3: Mikrostutzziffern der Invarianten I1a, I2a und der modifizier-ten von Mises-Vergleichsspannung fur verschiedene Kerbra-dien ρ berechnet mit Gl.(3.61 und 3.62)

σH,Mises nH,Mises

ρ nV,1a nV,2a K2 σV,mod.Mises nV,mod.Mises

nach [21]

8 1,002 0,998 2,116 120,9 1,001 119,6 1,0124 1,013 0,977 2,180 139,8 1,014 138.3 1,0252 1,031 0,971 2,238 172,0 1,033 169,4 1,049

1,5 1,046 0,966 2,256 189,2 1,048 186,3 1,0651 1,070 0,963 2,274 218,3 1,073 213,8 1,095

0,5 1,149 0,964 2,291 276,6 1,147 268,1 1,1830,25 1,314 1,006 2,292 338,9 1,287 325,2 1,3420,11 1,831 1,254 2,292 395,2 1,628 383,2 1,679

Stutzwirkungen berechnet werden. Ubertragen auf die Vergleichsspannungs-Amplitude nach Gl.(3.65), ergibt sich fur σva ein großerer Wert und damit einegeringere Lebensdauer, wenn dieselbe Makrostutzziffer ma vorausgesetzt wird.Das Konzept zu deren Berechnung wird ebenfalls modifiziert, was im nachstenKapitel erlautert wird, so daß Gultigkeitsaussagen nur im Zusammenhang ge-troffen werden konnen. In Kapitel 4.2.1 werden dafur die mit verschiedenenLebensdauer-Bewertungskonzepten berechneten Wohlerlinien den Versuchser-gebnissen gekerbter Bauteile gegenubergestellt.

Der Einfluß der Werkstoffstrukturlange ρ∗, des Kerbradius ρ und der absolutenBauteilgroße d auf die Mikrostutzziffern ist beispielhaft fur einen zugbelaste-ten Rundstab mit Umlaufkerbe in den Abbildungen 3.3 bis 3.5 dargestellt.Gegenubergestellt werden die Ergebnisse des Volumenkonzeptes mit dem an-gepaßten Wert K2 und des Gradientenkonzeptes nach [21].

In Abbildung 3.3 ist die Abhangigkeit der Mikrostutzziffer von der Werk-stoffstrukturlange fur verschiedene Kerbradien dargestellt. Die Werkstoffstruk-turlange wird in dem technisch relevanten Bereich von ρ∗ = 0, 026mm bisρ∗ = 0, 2mm variiert, was ungefahr einer Zug-Druck-Wechselfestigkeit vonσW = 570N/mm2 bzw. σW = 190N/mm2 entspricht. Großen Einfluß auf dieMikrostutzwirkung hat die Werkstoffstrukturlange fur scharf gekerbte Bauteile,da die Fahigkeit, Spannungsspitzen durch plastische Verformung abzubauen,mit steigender Festigkeit abnimmt. Die in der Literatur angegebenen Nahe-rungsbeziehungen fur die Mikrostutzziffern gehen alle von einer Proportiona-litat n ∼

√ρ∗ fur scharf gekerbte Bauteile aus. Demgegenuber wird von dem

Volumenkonzept eine lineare Abhangigkeit der Mikrostutzziffer nV,mod.Mises

vom verwendeten Werkstoff vorhergesagt.

Alle Gradientenverfahren berucksichtigen die Kerbgeometrie bei der Berech-nung der Mikrostutzziffern mit Hilfe des bezogenen Spannungsgradienten. Eswird eine Proportionalitat n ∼

√χ∗ angenommen. Von dem Volumenkonzept


11 , 21 , 41 , 61 , 82

2 , 22 , 4

0 0 , 0 5 0 , 1 0 , 1 5 0 , 2 0 , 2 5W e r k s t o f f s t r u k t u r l ä n g e r * [ m m ]

n V,mod.

Mises bz

w. n H

,Mises

r = 8r = 1

r = 0 , 1 1V o l u m e n -k o n z e p tG r a d i e n t e n -k o n z e p t

Abbildung 3.3: Vergleich der Mikrostutzziffern nV,mod.Mises und nH,Mises

fur verschiedene Werkstoffstrukturlangen ρ∗ und Kerbra-dien ρ bei konstanten Durchmessern d = 8mm und D =16mm

wird diese Abhangigkeit bestatigt. In Abbildung 3.4 ist der Zusammenhangbeispielhaft fur einen zugbelasteten abgesetzten Rundstab dargestellt. Die ein-zelnen Werte sind fur das ursprungliche FEM-Modell (d = 13, 5mm,D =18mm und ρ = 0, 25mm) und die daraus abgeleiteten geometrisch ahnlichenBauteile berechnet. Auch fur diese Berechnung gilt, daß der Wert des Wechsel-festigkeitsverhaltnisses jeweils angepaßt ist.

In Abbildung 3.5 wird der Einfluß der Bauteilgroße dargestellt. Die einzel-nen Werte konnen Tabelle C.2 im Anhang C entnommen werden. Werdendie bezogenen Spannungsgradienten (χ∗) nach [67] (s. Abbildung 2.9 links)fur die Berechnung der Mikrostutzziffern verwendet, so ergibt sich fur zugbe-lastete Stabe keine Abhangigkeit von der absoluten Bauteilgroße, wahrend dieVerwendung von G nach [61] (s. Abbildung 2.9 rechts) zu einer sprunghaftenAnderung von n fur d/D > 0, 67 fuhrt. Mit dem Volumenkonzept wird dieUnabhangigkeit von der Bauteilgroße bestatigt. Die sehr kleine Schwankung(vergl. Tabelle C.2) ist auf die numerische Berechnung des Integrals zuruck-zufuhren.

Die bisherigen Ausfuhrungen bezogen sich mit Ausnahme der glatten Stabe aufzugbelastete Rundstabe. Die weiteren Einflußfaktoren Stabform (Rund- oderFlachstab), Kerbform (abgesetzter oder ”gekerbter“ Stab) und die Belastungs-art (Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung) werden anhand der Ergebnisseaus Tabelle 3.4 diskutiert. Alle Varianten sind fur zwei unterschiedliche Kerb-


1

1 , 2

1 , 4

1 , 6

1 , 8

2

0 3 6 9 1 2 1 5 1 8b e z o g e n e r S p a n n u n g s g r a d i e n t c * [ 1 / m m ]

n V,mo

d.Mise

s bzw

. n H, M

ises

A u s g a n g s g e o m e t r i e :d = 1 3 , 5 m mD = 1 8 m mr = 0 , 2 5 m m

V o l u m e n -k o n z e p tG r a d i e n t e n -k o n z e p t


fur geometrisch ahnliche Rundstabe unter Zugbelastung beieiner Werkstoffstrukturlange ρ∗ = 0, 17mm

1

1 , 2

1 , 4

1 , 6

1 , 8

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0D u r c h m e s s e r d [ m m ]

n V,mo

d.Mise

s bzw

. n H,M

ises

V o l u m e n k o n z e p tG r a d i e n t e n k o n z e p t b e r e c h n e t m i t d e m b e z o g e n e n S p a n n u n g s g r a d i e n t e n c * G r a d i e n t e n k o n z e p t b e r e c h n e t m i t d e mb e z o g e n e n S p a n n u n g s g r a d i e n t e n G

r = 8r = 1

r = 0 , 1 1


fur verschiedene Bauteildurchmesser d, D und Kerbradienρ bei einer konstanten Werkstoffstrukturlange ρ∗ = 0, 1mm

radien (ρ = 2mm und ρ = 0, 25mm) berechnet. Die weiteren Geometriewertesind fur jeden Kerbradius konstant. Die Berechnung erfolgt fur eine Werkstoff-strukturlange ρ∗ = 0, 17mm. Neben den Ergebnissen fur die Stutzziffern istauch der Wert K2 fur das jeweilige angepaßte Wechselfestigkeitsverhaltnis an-


gegeben.

Fur die Ergebnisse gilt, daß die Große der berechneten Stutzwirkung nach demVolumenkonzept fur den Kerbradius ρ = 2mm etwas kleiner ist als die nachdem Gradientenverfahren aus [21], wahrend fur ρ = 0, 25mm ein etwas un-einheitlicheres Bild entsteht. Die bezogenen Spannungsgradienten sowohl nach[67] als auch nach [61] unterscheiden grundsatzlich fur eine Belastungsart nichtnach der Stabform. Diese Annahme wird durch das Volumenkonzept bestatigt.Fur die Belastungsart Zug-Druck besteht nach [67] daruberhinaus auch keineAbhangigkeit von der Kerbform, wahrend die TGL 19340 [61] unabhangig vonder Belastungsart von einem 15% großeren bezogenen Spannungsgradienten furabgesetzte Stabe ausgeht. Die Berechnungen mit dem Volumenkonzept ergebenhierfur ein anderes Verhalten. Fur schwach gekerbte Bauteile bleibt nV,modMises

bei Zug- bzw. Biegebelastung unabhangig von der Stab- und Kerbform nahezu

Tabelle 3.4: Mikrostutzziffern der Invarianten I1, I2 und der modifizier-ten von Mises-Vergleichsspannung fur verschiedene Belas-tungsarten, Stabformen und Kerbgeometrien berechnet mitGl.(3.61 und 3.62)

Rundstab mit Umlaufkerbe unter Zugbelastung

ρ d D nV,1 nV,2 K2 nV,mod.Mises nH,Mises [21]

2 10 14 1,074 0,965 2,224 1,066 1,082

0,25 13,5 14 1,979 1,380 2,194 1,558 1,536

Abgesetzter Rundstab unter Zugbelastung


2 10 14 1,092 0,978 2,178 1,070 1,082

0,25 13,5 14 2,120 1,699 2,154 1,520 1,536

Flachstab mit Außenkerbe unter Zugbelastung

ρ b B nV,1 nV,2 K2 nV,mod.Mises nH,Mises [21]

2 10 14 1,074 0,982 2,270 1,067 1,082

0,25 13,5 14 1,880 1,367 2,268 1,560 1,536

Abgesetzter Flachstab unter Zugbelastung


2 10 14 1,087 0,998 2,270 1,073 1,082

0,25 13,5 14 1,946 1,549 2,270 1,519 1,536


Tabelle 3.4: Mikrostutzziffern der Invarianten I1, I2 und der modifizier-ten von Mises-Vergleichsspannung fur verschiedene Belas-tungsarten, Stabformen und Kerbgeometrien berechnet mitGl.(3.61 und 3.62)

Rundstab mit Umlaufkerbe unter Biegebelastung


2 10 14 1,086 0,981 2,214 1,070 1,097

0,25 13,5 14 2,010 1,416 2,193 1,562 1,544

Abgesetzter Rundstab unter Biegebelastung


2 10 14 1,103 1,034 2,175 1,064 1,095

0,25 13,5 14 2,301 2,152 2,179 1,538 1,544

Flachstab mit Außenkerbe unter Biegebelastung


2 10 14 1,087 0,994 2,270 1,074 1,097

0,25 13,5 14 1,894 1,382 2,270 1,565 1,544

Rundstab mit Umlaufkerbe unter Torsionsbelastung


2 10 14 1,000 1,055 3 1,027 1,058

0,25 13,5 14 1,000 1,749 3 1,322 1,306

Abgesetzter Rundstab unter Torsionsbelastung


2 10 14 1,000 1,053 3 1,027 1,055

0,25 13,5 14 1,000 1,705 3 1,306 1,306

konstant. Die Werte fur abgesetzte Stabe sind zwar minimal großer, die Un-terschiede fallen aber bereits in den Auflosungsbereich der numerischen Inte-gration. Anders verhalt es sich bei scharf gekerbten Bauteilen. Wahrend furρ = 2mm die Zunahme der Stutzwirkung der zweiten Invariante ungefahrgleich groß mit der der ersten Invariante ist, ist die Steigerung von nV,2 beiρ = 0, 25mm deutlich großer, so daß insgesamt die resultierende modifizierteMises-Stutzziffer sinkt. Verantwortlich hierfur ist die Lage des Maximums vonI2, das fur abgesetzte Stabe dichter an der Bauteiloberflache liegt als fur gekerb-


te Stabe, so daß das Spannungsniveau insgesamt niedriger ist. Die Abhangigkeitvon der Kerbform wird fur biegebelastete Stabe auch von [21] vorhergesagt, mitdem Unterschied, daß der berechnete Einfluß deutlich geringer ist. Die Ergeb-nisse des Volumenkonzepts bestatigen auch die Annahme, daß biegebelasteteStabe eine geringfugig großere Stutzwirkung erfahren als zugbelastete Stabe.

0 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 91

0 , 2 0 , 1 5 0 , 1 0 , 0 5 0R a n d a b s t a n d r [ m m ]

I 2 / I 2m

ax

g e k e r b t e r R u n d s t a ba b g e s e t z t e r R u n d s t a b

B a u t e i l r a n d

Abbildung 3.6: Auf den Maximalwert bezogener Verlauf der zweiten Inva-riante fur einen gekerbten und einen abgesetzten Rundstabunter Torsionsbelastung (ρ = 0, 25mm, d = 13, 5mm undD = 14mm)

Fur die Belastungsart Torsion wird mit beiden Konzepten gegenuber Zug bzw.Biegung eine geringere Stutzwirkung berechnet. Der Einfluß der Kerbform wirdvon dem Volumenkonzept fur scharf gekerbte Bauteile hoher bewertet. Zur Er-klarung ist in Abbildung 3.6 der auf den Maximalwert bezogene Verlauf derzweiten Invariante senkrecht zur Oberflache ins Bauteilinnere dargestellt. DieKurven basieren auf den Ergebnissen zweier FEM-Berechnungen fur einen ge-kerbten und einen abgesetzten Rundstab. Durch eine geeignete Elementierungder FEM-Modelle liegen Knoten und damit die Ergebnisse jeweils direkt inRichtung des steilsten Gradienten vor. Es soll hervorgehoben werden, daß derPunkt der hochsten Beanspruchung abgesetzter Stabe nicht am Ubergang vomkleinsten Querschnitt zum Radius liegt, sondern sich kurz dahinter im Radiusbefindet.

Die Werte fur die bezogenen Spannungsgradienten des gekerbten und des ab-gesetzten Rundstabes unterscheiden sich sowohl fur die Ergebnisse der FEM-Berechnung (χ∗σxy,gek

= 3, 867mm−1 und χ∗σxy,abg= 3, 856mm−1) als auch

die nach [67] berechneten Werte (χ∗σxy,gek= 4, 148mm−1 und χ∗σxy,abg

=


4, 145mm−1) kaum voneinander. Die Mikrostutzziffer nH,Mises ist deshalb furdie beiden Kerbformen gleich groß.

Der Verlauf der bezogenen zweiten Invariante des abgesetzten Stabes ist ge-genuber dem des gekerbten Stabes flacher (Abbildung 3.6). Demzufolge wer-den mit dem Volumenkonzept auch etwas kleinere Stutzziffern fur abgesetz-te Rundstabe unter Torsionsbelastung berechnet. Die Formzahlen betragenαkt,gek. = 1, 52 fur den Rundstab mit Umlaufkerbe und αkt,abg. = 1, 37 furden abgesetzten Rundstab.

Die Stutzziffer der dritten Invariante der Vergleichsspannungs-AmplitudenV,12a wird mit Gl.(3.63) berechnet. Die Bestimmung ist fur kbN 6= 0 dannerforderlich, wenn fur den Punkt der Lebensdauervorhersage der resultierendeSpannungstensor einer mehrachsigen Belastung zueinander phasenverschobenschwingende

• Normal- und Schubspannungskomponenten und/oder

• mehrere Schubspannungskomponenten und/oder

• drei Normalspannungskomponenten

enthalt. Die Spannungstensoren der schwingenden Anteile Sa,i der einzelnenBelastungen i werden in jedem FEM-Knoten zu einem resultierenden Span-nungstensor Sa mit den Gleichungen Gl.(3.2 - 3.4) uberlagert, dessen Kom-

ponenten dann verschiedene Zeitfunktionen besitzen. Die Integration von J12a

erfolgt mit den Spannungen und Phasenverschiebungen von Sa. In den Tabel-len C.3 bis C.5 im Anhang C sind die Stutzziffern nV,12a beispielhaft fureinen gekerbten und einen glatten Rundstab aufgefuhrt.

Den ”einfachsten“ Belastungsfall stellt die Uberlagerung einer Zug- Druck-bzw. Biegebelastung mit einer Torsionsbelastung dar. Der Beanspruchungszu-stand an der Oberflache ist zweiachsig, womit sich die dritte Invariante verein-facht:

J12a = |σxya · [σxxa · sin (δxx − δxy)− σyya · sin (δyy − δxy)]| . (3.70)

Die Werte in Tabelle C.3 zeigen, daß die Stutzziffern nV,12a weder von demVerhaltnis der Belastungshohe noch von der Phasenverschiebung δxy bei glei-cher Werkstoffstrukturlange und gleichem Kerbradius abhangig sind. Identi-sches Verhalten zeigen die Ergebnisse fur einen glatten und einen gekerbtenRundstab unter Biegung und Torsion (s. Tabelle C.4 die ersten zwei Ergeb-nisse und Tabelle C.5 die ersten drei Ergebnisse). Wie zu erwarten hat der


Kerbradius ρ einen großen Einfluß auf die Große der Stutzziffer.

Wird dieser Belastungskombination aus Biegung und Torsion zusatzlich nocheine phasenverschobene Zug-Druckbelastung uberlagert, so werden die Ergeb-nisse der Stutzziffer auch abhangig vom jeweiligen Spannungsverhaltnis undden jeweiligen Phasenverschiebungen. Grund hierfur sind die unterschiedlichenSpannungsverteilungen der beiden uberlagerten Normalspannungskomponen-ten. Die resultierende Normalspannungsamplitude σxxa und deren Phasenlageδxx konnen fur einen glatten Rundstab mit dem Radius ra und der Hohenko-ordinate yG analytisch nach Gl.(3.3) und Gl.(3.4) berechnet werdenH:

σxxa =

√√√√√√√√√√√σ2

xxa,Bieg. ·(y

ra

)2

+ σ2xxa,Zug+

2 · σxxa,Zug · σxxa,Bieg. ·(y

ra

)·

cos (δxx,Zug − δxx,Bieg.)

(3.71)

δxx = arctan

σxxa,Bieg. ·(y

ra

)· sin δxx,Bieg.+

σxxa,Zug · sin δxx,Zug

σxxa,Bieg. ·(y

ra

)· cos δxx,Bieg.+

σxxa,Zug · cos δxx,Zug

(3.72)

Das Verhaltnis der resultierenden Normalspannungsamplituden σxxa ist furzwei unterschiedliche Spannungsverhaltnisse σxxa,Zug/σxxa,Bieg. uber der Ho-henkoordinate y nicht konstant, was auch fur zwei unterschiedliche Phasen-verschiebungen δxx,Zug gilt. Als Folge dieser Abhangigkeiten muß die Mikro-stutzwirkung der dritten Invariante bei einem Dauerfestigkeitsnachweis mehr-frequent und phasenverschoben belasteter gekerbter Bauteile fur jede Frequenzeinzeln berechnet werden.

Hahn schlagt in seiner Arbeit [21] vor, die StutzzifferI

n2H,3a = nH,1a · nH,2a

= nV,12a (3.73)

GDie Hohenkoordinate y ist der radiale Abstand des betrachteten Punktes zum Wellen-mittelpunkt.

HDie Berechnung der resultierenden Phasenlage δxx erfolgt unter Beachtung der Quadran-tenbeziehung.

IIn [21] wird sowohl die Stutzziffer als auch die dritte Invariante der Vergleichsspannungs-Amplitude selbst im Gegensatz zu dieser Arbeit mit dem Index 3 geschrieben.


mit dem Produkt der Stutzziffern der ersten und zweiten Invariante abzuschat-zen. Der Vergleich der Ergebnisse in den Tabellen C.3 - C.5 macht deutlich,daß diese Abschatzung zu kleine Werte liefert, was, wie bereits oben erlautert,zu hoheren Lebensdauervorhersagen fuhrt. Als grobe Naherung fur n2

H,3a solltedeshalb sicherheitshalber das Quadrat des Produktes aus nH,1a und nH,2a

n2H,3a = (nH,1a · nH,2a)2

verwendet werden, um Lebensdauern vorherzusagen, die tendenziell auf der si-cheren Seite liegen.

Fur zusammengesetzte Belastungen wird von Mertens [40] vorgeschlagen, denmaßgeblichen bezogenen Spannungsgradienten gewichtet mit den Kerbspan-nungen zu mitteln. Fur einen beispielsweise mit Zug-Druck und Biegung belas-teten Stab gilt somit:

χI1=χI1,Zug

· σxx,Zug + χI1,Biegung· σxx,Biegung

σxx,Zug + σxx,Biegung. (3.74)

Die hiermit berechneten Stutzziffern nach Gl.(2.53) sind in Tabelle C.6 denErgebnissen des Volumenkonzeptes gegenubergestellt. Es folgen in Tabelle C.7die Stutzziffern fur die einzelnen Belastungsarten, fur die bei Berechnungen mitdem Volumenkonzept das angepaßte Wechselfestigkeitsverhaltnis K2 verwen-det wird.

Da in [40] und [21] keine Angaben zum Zeitpunkt der Berechnung der Mi-krostutzziffern angegeben sind, werden die Berechnungen in Anlehnung andie Vorgehensweise in dieser Arbeit zum Zeitpunkt der maximalen von Mi-ses-Vergleichsoberspannung durchgefuhrt:

σvo,Mises = max [σvo,Mises (t)]

= max[√

I21o (t)− 3 · I2o (t)

](3.75)

= σvo,Mises (t0) .

Der Vergleich der Ergebnisse mit denen des Volumenkonzeptes (s. TabelleC.6) zeigt fur die Mikrostutzziffern nV,mod.Mises und nH,Mises eine gute Uber-einstimmung, womit einerseits die Annahme zum Zeitpunkt der BerechnungGl.(3.75) –die mit Gl.(3.48 und 3.49) bzw. Gl.(3.75) berechneten Zeitpunktestimmen nicht grundsatzlich uberein– und andererseits die Naherungsbezie-hung Gl.(3.74) bestatigt wird. Die zum Teil großen Unterschiede in den elas-tisch gestutzten Vergleichsspannungen sind auf das Wechselfestigkeitsverhaltnisk2

a zuruckzufuhren, das fur die Ergebnisse der zusammengesetzten Belastungen


nicht angepaßt ist.

Tabelle C.7 ist zu entnehmen, daß die Ergebnisse der beiden Konzepte fur die

”einfachen“, Belastungsfalle Zug-Druck, Biegung und Torsion mit dem ange-paßten Wechselfestigkeitsverhaltnis K2 wiederum sehr gut sowohl in den elas-tisch gestutzten Vergleichsspannungen σV,mod.Mises bzw. σH,Mises als auch inderen Stutzziffern nV,mod.Mises bzw. nH,Mises ubereinstimmen.

3.3.2 Makrostutzwirkung

Wahrend die Mikrostutzwirkung uber den gesamten Lebensdauerbereich, al-so Dauer- und Zeitfestigkeit, wirksam ist, gewinnt die Makrostutzwirkung erstim Zeitfestigkeitsbereich an Bedeutung. Großraumige Spannungsumlagerungenhervorgerufen durch ungleichmaßige Spannungsverteilungen werden erst beiBeanspruchungshorizonten oberhalb der Streck- bzw. der zyklischen Streck-grenze aktiviert. Um aufwendigere elastisch-plastische Berechnungen zu ihrerErfassung zu vermeiden, stehen dem Konstrukteur zahlreiche in Kapitel 2.2.1vorgestellte Konzepte zur Verfugung. Ziel dieser Verfahren ist es, die ortlicheSpannung und Dehnung durch Einfuhrung einer ”leicht“ zu bestimmendenStutzziffer zu berechnen.

Wahrend i.a. zur Bewertung mehrachsiger Belastungen die von Mises-Span-nung als Vergleichsspannungs-Hypothese verwendet wird, wird in dieser Arbeitdie bereits in Kapitel 3.3.1 vorgestellte modifizierte von Mises-Vergleichs-spannung vorgeschlagen. Der Zeitpunkt, zu dem die Makrostutzziffer berechnetwerden soll, wird durch das Maximum der elastisch gestutzten, modifiziertenvon Mises-Vergleichsoberspannung

σo,mod.Mises (t0) = max [σo,mod.Mises (t)]

= max

√ I21o (t)nV,1o

− k2a ·

I2o (t)nV,2o

=⇒ t0

(3.76)

definiertJ, da davon auszugehen ist, daß die maßgebliche Spannungsumlagerungzu diesem Zeitpunkt eingeleitet wird. Der Ort der Lebensdauerberechnung wur-de bereits im obigen Kapitel festgelegt. Zur Bestimmung der Makrostutzziffernder Amplitude ma und der Oberspannung mo wird das Konzept aus [21] mo-difiziert.

JMit t0 werden in dieser Arbeit verschiedene feste Zeitpunkte beschrieben, die sich ausder jeweiligen Bestimmungsgleichung ergeben.


An mehreren Stellen wurde bereits auf die Schwierigkeit bei der Definition ei-nes geeigneten Querschnitts und der zugehorigen Nennspannungen fur gekerb-te Bauteile hingewiesen. Da der Vorschlag von Hahn ebenfalls die Kenntnisder Nennspannung und eines Querschnitts voraussetzt, werden andere We-ge einerseits zur Berechnung des unteren Niveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel und anderseits zur Bestimmung der globalen Fließbehinderung ϕ aufder Grundlage der Ergebnisse einer FEM-Berechnung vorgestellt.

Die Makrostutzziffer der Ausschlagspannung

ma =σa,mod.Mises (t0)

σ∗a (t0)(3.77)

wird als der Quotient der elastisch gestutzten, modifizierten von Mises-Ver-gleichsausschlagspannung σa,mod.Mises und der ”fiktiven“ Ausschlagspannungσ∗a zum Zeitpunkt t0 definiert. Die Spannung σa,mod.Mises wird mit den Invari-anten nach Gl.(3.46) gebildet, wahrend σ∗a mit Hilfe der modifizierten Neuber -Hyperbel Gl.(2.60) und der globalen Fließbehinderung ϕ entsprechend Abbil-dung 2.10 und der in Kapitel 2.2.1 Seite 29 beschriebenen Vorgehensweiseberechnet wird.

Im Gegensatz zu Hahn [21], der fur die Berechnung der effektiven Vergleichs-mittelspannung σvm eine Makrostutzziffer der Mittelspannung mm (Gl.(2.64))einfuhrte, wird der konsequente Weg der Verwendung einer Makrostutzzifferder Oberspannungmo vorgeschlagen, da die effektiv wirksame Vergleichsmittel-spannung als Differenz der Hauptober- und Hauptausschlagspannung definiertist (s. Kapitel 3.4). mo wird in Analogie zur Makrostutzziffer der Ausschlag-spannung

mo =σo,mod.Mises (t0)

σ∗o (t0)(3.78)

definiert. Die Berechnung von σo,mod.Mises erfolgt mit den Invarianten nachGl.(3.47).

Beide Berechnungen setzen jeweils die Kenntnis des unteren Niveaus der mo-difizierten Neuber -Hyperbel und der globalen Fließbehinderung voraus. In denbeiden folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie auf der Basis der Ergebnisse ei-ner FEM-Berechnung diese Großen unabhangig von der Bauteilgeometrie undden Belastungsarten ermittelt werden konnen.

3.3.2.1 Unteres Niveau der modifizierten Neuber-Hyperbel

Hahn [21] stellte bei der Nachrechnung experimentell aufgenommener zykli-scher Fließkurven fest, daß bei großen Bauteilen nicht der gesamte Querschnittfur die Spannungsumlagerung aktiviert werden kann. Er formulierte deshalb


einen von der Belastungsart und der Stabform abhangigen wirksamen Form-beiwert β als Verhaltnis des teilplastischen Zustands zum elastischen. Die Tiefeder plastischen Randzone gibt er mit ρpl = 3mm an. Das untere Niveau dermodifizierten Neuber -Hyperbel kann dann mit der Nennspannung und demwirksamen Formbeiwert berechnet werden.

Um dagegen bei der Bewertung von FEM-Ergebnissen unabhangig vonder Nennspannung, den Belastungsarten und der (Kerb)-Geometrie zu sein,wird vorgeschlagen, im Volumenkonzept das untere Niveau der modifizier-ten Neuber -Hyperbel durch Einfuhrung von invariantenbezogenen Stutzziffernn1a,makro und n2a,makro bzw. n1o,makro und n2o,makro

σa,modMises =

√I21a (t0)

n1a,makro− k2

a ·I2a (t0)n2a,makro

bzw. (3.79)

σo,modMises =

√I21o (t0)

n1o,makro− k2

a ·I2o (t0)n2o,makro

(3.80)

zu definieren. Die Stutzziffern werden ahnlich wie die der Mikrostutzwirkungberechnet Gl.(3.61 und 3.62), mit dem Unterschied, daß der Integrationsradiusgleich der Tiefe der plastischen Randzone ρpl ist. Außerdem wird nicht uberdas gesamte sich in der Kugel befindliche Bauteilvolumen integriert, sondernnur uber eine Halbkugel (90≤ γ ≤180), deren Normalenvektor senkrecht zurOberflache steht. Mit dieser Beschrankung soll erreicht werden, daß niedrig be-lastete Bereiche, die fur die Stutzwirkung nicht aktiviert werden konnen, nichtbei der Berechnung der Stutzziffern berucksichtigt werden.

In den Abbildungen 3.7 und 3.8 sind die mit dem vorgestellten Konzept be-rechneten zyklischen Fließkurven den Versuchsergebnissen von Kloos, Kaiserund Friedrich [32] und Hatanaka, Shimizu und Nagae [26] gegenubergestellt.Fur den Wert der plastischen Randzone und damit des Integrationsradius wirdwie in [21] ρpl = 3mm vorgeschlagen. Der Vergleich zeigt, daß der Großenein-fluß unabhangig vom Werkstoff richtig erfaßt wird. Fur den niederfesten Stahlin Abbildungen 3.8 werden allerdings etwas zu niedrige Verlaufe berechnet.Gleiche Dehnungsamplituden εa vorausgesetzt, werden mit dem neuen Kon-zept etwas kleinere Nennspannungsamplituden Sa vorhergesagt. In Bezug aufdie Lebensdauerberechnung fuhrt dies zu Aussagen auf der ”sicheren“ Seite.

Der Einfluß der Makrostutzwirkung auf die Lebensdauer eines Bauteils nimmt,wie bereits oben erwahnt, von der Dauerfestigkeit zur Kurzzeitfestigkeit zu. Ei-ne Uber- oder Unterschatzung des moglichen Spannungsabbaus auf das untere


0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

0 0 , 0 0 2 0 , 0 0 4 0 , 0 0 6 0 , 0 0 8D e h n u n g s a m p l i t u d e e a

Nenns

pannun

gsamp

litude

S a [N/

mm2 ]

U m l a u f b i e g u n gm i t u n t e r s c h i e d l i c h e nP r o b e n d u r c h m e s s e r n

V e r s u c h e a x i a lV e r s u c h e U m l a u f b i e g u n gd = 8 m md = 1 6 m md = 3 2 m mR e c h n u n g m i t r p l = 3 m m

8 1 6 3 2a x i a l

Abbildung 3.7: Vergleich experimenteller [32] und gerechneter zyklischerFließkurven fur den Werkstoff 42CrMo4V

05 0

1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 0

0 0 , 0 0 0 5 0 , 0 0 1 0 , 0 0 1 5 0 , 0 0 2 0 , 0 0 2 5D e h n u n g s a m p l i t u d e e a

Nenns

pannun

gsamp

litude

S a [N/

mm2 ]

U m l a u f b i e g u n gm i t u n t e r s c h i e d l i c h e nP r o b e n d u r c h m e s s e r n

V e r s u c h e U m l a u f b i e g u n gd = 8 m md = 2 0 m md = 3 0 m md = 4 0 m mR e c h n u n g m i t r p l = 3 m m

82 0 3 0 4 0

a x i a l

Abbildung 3.8: Vergleich experimenteller [26] und gerechneter Fließkurveneines niederfesten Stahls

Niveau der modifizierten Neuber -Hyperbel hat dabei einen geringen Einflußauf die ertragbare Lastwechselzahl. Erst im Kurzzeitfestigkeitsbereich wird der


Unterschied deutlich.

In Abbildung 3.9 ist beispielhaft fur einen zugbelasteten Rundstab mit tieferUmdrehungskerbe dieser Einfluß aufgezeigt. Die durchgezogene Linie ist das Er-gebnis des hier vorgestellten Konzeptes. Das untere Niveau der modifiziertenNeuber -Hyperbel betragt σa,mod.Mises = 129, 7N/mm2 bei einer Zugnennspan-nung von Sa = 100N/mm2.

1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 78 01 0 01 0 0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 01 0 0 01 0 0 0

2 0 0 0

G e k e r b t e r R u n d s t a b a u s 3 4 C r N i M o 6 V 4 4 5 H B 3 0 R m = 1 1 1 8 N / m m 2 , R p 0 , 2 = 1 0 0 1 N / m m 2

R x x = - 1 V e r s u c h s e r g e b n i s s e f ü r d e n R a d i u s r = 0 , 2 5 m m D I H ´ 2 0 0 0 D I H ´ 2 0 0 0 ( u n t e r e s N i v e a u d e r m o d i f i z i e r t e n N e u b e r - H y p e r b e l = Z u g n e n n s p a n n u n g )

Nenns

pannun

gsauss

chlag

[N/m

m 2 ]

L a s t w e c h s e l z a h l NAbbildung 3.9: Einfluß des unteren Niveaus der modifizierten Neuber -

Hyperbel auf die ertragbare Lastwechselzahl fur einen zug-belasteten Rundstab mit Umdrehungskerbe und Versuchs-ergebnisse von Liebrich [34]

Da fur eine reine Zug-Druckbelastung auf Grund der homogenen Spannungsver-teilung keine Bauteilreserven durch plastische Umlagerungen aktiviert werdenkonnen, entspricht die Nennspannung Sa dem unteren Niveau der modifizier-ten Neuber -Hyperbel. Werden die Werte fur die beiden Stutzziffern n1a,makro

und n2a,makro so angepaßt, daß die Berechnung von σa,mod.Mises gerade dieNennspannung Sa ergibt, ist die gestrichelte Linie das Ergebnis der Lebensdau-erberechnung. Erst fur Lastwechselzahlen N < 600 weicht das neue Konzeptvon der theoretischen Kurve ab und befindet sich mit der Vorhersage auf der


”sicheren“ Seite.

Fur einen biege- und torsionsbelasteten Rundstab sind die Ergebnisse in denAbbildungen 3.10 (Biegung) und 3.11 (Torsion) zusammen mit den Ver-suchsergebnissen von Potter und Zenner [50] dargestellt.

1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 71 0 01 0 0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 01 0 0 0

G e k e r b t e r R u n d s t a b a u s 4 2 C r M o 4 V R m = 9 2 0 N / m m 2 , R p 0 , 2 = 7 4 3 N / m m 2

R x x = - 1 V e r s u c h s e r g e b n i s s e B i e g e b e l a s t u n g D I H ´ 2 0 0 0 D I H ´ 2 0 0 0 ( u n t e r e s N i v e a u d e r m o d i f i z i e r t e n N e u b e r - H y p e r b e l a n g e p a ß t )

Nenns

pannun

gsauss

chlag

[N/mm

2 ]


Hyperbel auf die ertragbare Lastwechselzahl fur einen ge-kerbten, biegebelasteten Rundstab und Versuchsergebnis-se von Potter und Zenner [50]

Wiederum eine Nennspannung von Sa bzw. Ta = 100N/mm2 vorausgesetzt, er-gibt sich σa,mod.Mises = 88, 6N/mm2 fur die Biegebelastung und σa,mod.Mises =119, 3N/mm2 fur die Torsionsbelastung. Mit dem Konzept aus [21] wird dage-gen ein Wert von σa,Mises = 75, 3N/mm2 fur Biegung berechnet. Auf diesenWert wurde das untere Niveau der modifizierten Neuber -Hyperbel zum Ver-gleich angepaßt und die Wohlerlinie berechnet (s. Abbildung 3.10). EineAbweichung ist ungefahr ab N < 1000 festzustellen, was auch fur die Torsi-onsbelastung in Abbildung 3.11 gilt. Fur die in [50] angegebene Kerbform-zahl αkt = 1, 6 ergibt sich mit den Formeln von Hahn ein unteres Niveau


1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 71 0 01 0 0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

G e k e r b t e r R u n d s t a b a u s 4 2 C r M o 4 V R m = 9 2 0 N / m m 2 , R p 0 , 2 = 7 4 3 N / m m 2

R x y = - 1 V e r s u c h s e r g e b n i s s e T o r s i o n s b e l a s t u n g D I H ´ 2 0 0 0 D I H ´ 2 0 0 0 ( u n t e r e s N i v e a u d e r m o d i f i z i e r t e n N e u b e r - H y p e r b e l a n g e p a ß t )

Nenns

pannun

gsauss

chlag

[N/mm

2 ]


Hyperbel auf die ertragbare Lastwechselzahl fur einen tor-sionsbelasteten Rundstab mit Umdrehungskerbe und Ver-suchsergebnisse von Potter und Zenner [50]

von σa,Mises = 143, 7N/mm2, das deutlich uber dem neu berechneten Wertliegt. Wird hingegen die Kerbformzahl αkt = 1, 489, die sich aus den Ergeb-nissen der FEM-Berechnung ergibt, und statt der von Mises- die mit k2

a mo-difizierte von Mises-Vergleichsspannung verwendet, betragt das untere Niveauσa,mod.Mises = 111, 3N/mm2 und ist damit wiederum etwas kleiner als das Er-gebnis des Volumenkonzeptes. Die fur die beiden unteren Niveaus berechnetenWohlerlinien sind in der obigen Abbildung dargestellt.

Die drei Beispiele verdeutlichen, daß mit dem Volumenkonzept gegenuber demKonzept von [21] etwas hohere untere Niveaus der modifizierten Neuber -Hy-perbel bestimmt werden. Da der Einfluß sich erst im KurzzeitfestigkeitsbereichN < 1000 auswirkt und die Lebensdauervorhersage fur gleiche Nennspannungs-amplituden dann zu etwas kleineren ertragbaren Lastwechselzahlen fuhrt, wirdvorgeschlagen, die Tiefe der plastischen Randzone ρpl = 3mm beizubehalten.


3.3.2.2 Fließbehinderung an Kerben

Wahrend die Bestimmung des ”exakten“ Wertes des unteren Niveaus der modi-fizierten Neuber -Hyperbel keinen großen Einfluß auf die Lebensdauervorhersagehat, muß der festigkeitssteigernde Effekt der Mehrachsigkeit, deren Ursache inKapitel 2.2 erlautert wurde, in jedem Fall berucksichtigt werden, da ansons-ten die Lebensdauer viel zu konservativ abgeschatzt wird (vergl. Abbildung3.13).

Zur Bestimmung der maßgeblichen Fließbehinderung ϕglobal werden die Uber-legungen von Dietmann und Hahn aufgegriffen. Die lokale Fließbehinderungϕlokal wurde bereits mit Gl.(2.62) definiert:

ϕlokal =σ1,NSH

σv,MH.

Der Ort, an dem die lokale Fließbehinderung gleich der maßgeblichen ist, wirddurch das Maximum der Radialspannung innerhalb der mit ρpl begrenztenRandzone definiert. Die radiale Richtung ist durch den Normalenvektor zurTangentialflache an der Oberflache im Punkt der Lebensdauerberechnung de-finiert und der Zeitpunkt, zu dem die Berechnung erfolgen soll, wurde mitGl.(3.76) bereits festgelegt. Fur die Berechnung von ϕglobal wurde im Hinblickauf den Widerspruch fur eine reine Torsionsbelastung eine Unabhangigkeit vonder Belastungsart gefordert. Dies wird dadurch erreicht, daß die lokale Fließ-behinderung am Ort der maximalen Radialspannung auf den lokalen Wert imPunkt der Lebensdauerberechnung bezogen wird:

ϕglobal,FEM =ϕlokal

∣∣(σrr,max; r≤ρpl)

ϕlokal

∣∣(r=0)

(3.81)

Daruber hinaus wird durch den Bezug sichergestellt, daß die Auswirkungeneiner global mehrachsigen Belastung, die i.d.R. eine rechnerisch hohere lokaleFließbehinderung zur Folge hat, nicht zweimal in der Makrostutzziffernberech-nung berucksichtigt wird; und zwar einmal in der globalen Fließbehinderungund gleichzeitig in der Vergleichsspannung σmod.Mises .

Damit ist es gelungen, die maßgebliche Fließbehinderung ϕglobal allein aus denin den Knoten der FEM-Berechnung bekannten Spannungszustanden abzulei-ten. Die so berechneten Werte stimmen mit denen von Dietmann [7] nichtexakt uberein, da die Fließbehinderung im Gegensatz zu [7] immer auf denWert im Auswertepunkt bezogen wird. Es wird deshalb eine einfache Kor-rekturbeziehung zur Bestimmung der globalen Fließbehinderung aus der derFEM-Ergebnisse vorgeschlagen:

ϕglobal = 1 +ϕglobal,FEM − 1

0, 63787(3.82)


In Abbildung 3.12 sind die mit dem vorgestellten Konzept berechneten glo-balen Fließbehinderungen mit und ohne Berucksichtigung von Gl.(3.82) denErgebnissen von Dietmann gegenubergestellt. Fur ”einfache“ Belastungs-

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 01 , 0 01 , 0 0

1 , 2 5

1 , 5 01 , 5 0

1 , 7 5

2 , 0 02 , 0 0

2 , 2 5

V e r s u c h s e r g e b n i s s e g l o b a l e F l i e ß b e h i n d e r u n g d i r e k t a u s d e n F E M - E r g e b n i s s e n b e r e c h n e t g l o b a l e F l i e ß b e h i n d e r u n g a u s d e n F E M - E r g e b n i s s e n b e r e c h n e t u n d a n d i e E r g e b n i s s e v o n D i e t m a n n a n g e p a ß t

global

e Fließbehi

nderu

ng j g

lobal

b e z o g e n e r S p a n n u n g s g r a d i e n t c [ m m - 1 ]Abbildung 3.12: Berechnete globale Fließbehinderungen ϕglobal mit und

ohne Berucksichtigung von Gl.(3.82) und Versuchsergeb-nisse von Dietmann [7] aufgetragen uber dem bezogenenSpannungsgradienten χ

arten und Kerbgeometrien wird in Kapitel 3.6 eine Schatzgleichung fur dieglobale Fließbehinderung vorgestellt und im Anhang B werden Diagrammezu ihrer graphischen Bestimmung bereitgestellt.

Die Ergebnisse in Abbildung 3.13 verdeutlichen beispielhaft fur einen Rund-stab mit tiefer Umdrehungskerbe unter Zug-Schwellbelastung die große Abhan-gigkeit der berechneten Lebensdauer von der globalen Fließbehinderung. DieBerucksichtigung der Fließbehinderung ergibt eine niedrigere ”fiktive“ Span-nung und damit eine großere Makrostutzziffer m, wenn die elastisch gestutztenEingangsgroßen identisch sind. Dies hat zur Folge, daß die Steigung der be-rechneten Wohlerlinie des Bauteils großer wird, was gleichbedeutend mit einemkleineren Wohlerlinien-Exponent k istK. Die Versuchsergebnisse aus [34] erge-ben fur den WohlerlinienExponenten des glatten Stabes k = 16 und fur dasobige Beispiel k ≈ 4, 7. Ohne Berucksichtigung der Fließbehinderung betragtder Wohlerlinien-Exponent nach Abbildung 3.13 ungefahr k ≈ 6, 6, wahrender bei Berucksichtigung der Mehrachsigkeit etwa k ≈ 5 betragt.

In Tabelle 3.5 sind fur gekerbte und abgesetzte Rund- und Flachstabe mitKWird im folgenden von der Steigung der Wohlerlinie gesprochen, soll darunter der an-

schauliche Verlauf verstanden werden. Die Steigung entspricht dem Wert 1/k.


1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 78 0

1 0 01 0 0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

G e k e r b t e r R u n d s t a b a u s 3 4 C r N i M o 6 V 4 4 5 H B 3 0 R m = 1 1 1 8 N / m m 2 , R p 0 , 2 = 1 0 0 1 N / m m 2

R x x = 0 V e r s u c h s e r g e b n i s s e f ü r d e n R a d i u s r = 0 , 2 5 m m D I H ´ 2 0 0 0 D I H ´ 2 0 0 0 ( o h n e B e r ü c k s i c h t i g u n g d e s f e s t i g k e i t s s t e i g e r n d e n E f f e k t s d e r M e h r a c h s i g k e i t )

Nenns

pannun

gsauss

chlag

[N/m

m 2 ]

L a s t w e c h s e l z a h l NAbbildung 3.13: Einfluß des festigkeitssteigernden Effekts der Mehrachsig-

keit und Versuchsergebnisse von Liebrich [34]

jeweils zwei unterschiedlichen Kerbradien ρ = 2mm und ρ = 0, 25mm die glo-balen Fließbehinderungen fur die Belastungsarten Zug-Druck und Biegung aufder Grundlage der FEM-Ergebnisse zusammengefaßt.

Tabelle 3.5: Globale Fließbehinderung ϕglobal fur verschiedene Stabfor-men, Kerbgeometrien und Belastungsarten

Stabforma Kerbformb Kerbradius ϕglobal,Zug ϕglobal,Biegung

R g 2 1,42 1,42R g 0,25 1,29 1,31R a 2 1,17 1,20R a 0,25 1,13 1,11F g 2 1,45 1,45F g 0,25 1,44 1,44F a 2 1,25 -c

F a 0,25 1,24 -

aR = Rundstab; F = Flachstabbg = Rundstab mit Umdrehungskerbe bzw. Flachstab mit Außenkerbe; a = abgesetzter

Rund- bzw. Flachstabckeine Berechnung erfolgt


Die Ergebnisse in der Tabelle 3.5 zeigen, daß die globale Fließbehinderungfur flache Kerben praktisch unabhangig von der Belastungsart Zug oder Bie-gung ist. Dies gilt sowohl fur Rund- als auch fur Flachstabe unabhangig vonder Kerbform. Werden die Ergebnisse fur einen tief gekerbten Rundstab furdie Belastungsarten Zug-Druck und Biegung miteinander verglichen, so ist ei-ne Abhangigkeit von der Belastungsart festzustellen (vergl. Tabelle 3.6). Diesist durchaus plausibel, da dem Spannungsgradienten auf Grund der Kerbgeo-metrie zusatzlich noch der der Belastungsart bei Biegung uberlagert ist, so daßdie Radialspannung unterhalb der Oberflache bei Biegung nicht so anwachstwie bei Zug. Die Folge ist eine kleinere lokale Fließbehinderung. Der Wert vonϕglobal laßt sich fur abgesetzte Stabe naherungsweise aus dem Wert fur dengekerbten Stab berechnen (s. Gl.(3.103)).

Fur die FEM-Berechnung von Flachstaben mit geringer Tiefe (Dicke) wurdeim Gegensatz zur allgemeinen Vorgehensweise nicht der ebene Spannungszu-stand, sondern der ebene Dehnungszustand angenommen. Damit lassen sichdie großen Werte der Fließbehinderung erklaren. Fur den ebenen Spannungs-zustand ware die lokale Fließbehinderung wesentlich kleiner. Dieser Vorgehens-weise bei Flachstaben liegt die Annahme zu Grunde, daß bereits durch einenkleinen Anriß an der hochst beanspruchten Stelle der idealisierte ebene Span-nungszustand in einen ebenen Dehnungszustand ubergeht. FEM-Berechnungenauf der Basis von Volumenelementen zeigen, daß der Ort der hochsten Bean-spruchung in der Mitte der Bauteildicke, also bei der halben Breite, liegt. DieNachrechnung der Versuchsergebnisse von Haibach und Matschke [24] bestatigtdiese Vorgehensweise (vergl. Abbildung 4.10).

Fur eine aus einer Normal- und einer Schubspannung zusammengesetzten Be-anspruchung schlagt Hahn [21] vor, die resultierende Fließbehinderung mit

ϕ =

√σ2

xx · ϕ2Zug,Biegung + 3 · σ2

xy

σ2xx + 3 · σ2

xy

(3.83)

abzuschatzen. Da der bezogene Spannungsgradient der Kerbe fur die Belas-tungsarten Zug-Druck und Biegung gleich ist, wird nach [21] keine Naherungs-beziehung bei der Uberlagerung dieser Belastungsarten benotigt. In Tabelle3.6 sind die mit den Gleichungen Gl.(2.65) und Gl.(3.83) berechneten Wertevon ϕglobal denen der FEM-Berechnungen gegenubergestellt. Die fur die Belas-tungsart Zug-Druck und Torsion berechneten Werte liegen teilweise erheblichuber denen der FEM-Berechnung. Aus diesem Grund wird vorgeschlagen, inder Vergleichsspannung die Schubspannung nicht mit dem Faktor drei, sondernmit vier zu gewichten (s. Gl.(3.106)). Da die Fließbehinderungen fur Zug-Druckund Biegung nicht identisch sind, wird mit Gl.(3.105) eine weitere Naherungs-beziehung zur Abschatzung von ϕBiegung aus ϕZug bereitgestellt.


Tabelle 3.6: Globale Fließbehinderung ϕglobal fur zusammengesetzte Be-lastungen an unterschiedlich gekerbten Rundstabena

Belastung: Zug-Druck und Torsion

fZugb fTor.bzwBieg.

c ϕFEM ϕgeschatztd ϕgeschatzt [21]

1 0 1,78 1,79 1,861 1 1,13 1,38 1,481 5 1 1,03 1,041 10 1 1,01 1,012 1 1,39 1,62 1,725 1 1,68 1,76 1,8310 1 1,75 1,78 1,85

Belastung: Zug-Druck und Biegung

1 0 1,77 1,77 1,680 1 1,64 1,64 1,681 1 1,68 1,71 1,681 10 1,64 1,65 1,682 1 1,72 1,73 1,6810 1 1,75 1,76 1,68

Belastung: Zug-Druck und Torsion

1 0 1,77 1,77 1,681 1 1,34 1,32 1,321 5 1,13 1,02 1,021 10 1,07 1,01 1,0062 1 1,46 1,56 1,535 1 1,69 1,73 1,6510 1 1,75 1,76 1,67

aDie Kerbspannungen sind jeweils fur eine Randnennspannung SZug = 100 N/mm2,SBiegung = 100 N/mm2 und T = 100 N/mm2 berechnet.

bFaktor, mit dem die Zug-Drucknennspannung SZug bei der Uberlagerung der zusam-mengesetzten Belastung multipliziert wird

cFaktor, mit dem die Torsions- bzw. die Biegenennspannung T bzw. SBiegung bei der

Uberlagerung der zusammengesetzten Belastung multipliziert wirddMit den Naherungsbeziehungen Gl.(3.103) und Gl.(3.106) abgeschatzter Wert


Die mit den neuen Schatzformeln berechneten Werte der Fließbehinderungstimmen fur die einachsigen Belastungen mit den FEM-Ergebnissen uberein.Fur eine zusammengesetzte Belastung aus Zug und Biegung liegen sie ge-ringfugig oberhalb der ”wahren“ Werte. Dagegen wird der Einfluß einer uber-lagerten Torsionsbelastung weiterhin unterschatzt, liegt aber dichter an denErgebnissen der FEM-Berechnungen als mit den Schatzformeln aus [21].

3.4 Vergleichsmittelspannung

Wird das Bauteil nicht durch rein wechselnde Belastungen (R 6= −1) be-ansprucht, muß fur die Bewertung des Spannungszustandes neben der Ver-gleichsspannungs-Amplitude auch eine Vergleichsmittelspannung definiert wer-den. Auf Grund der guten Ubereinstimmung von Rechnung und Versuch in [21]wird die effektiv wirksame Vergleichsmittelspannung

σvm = max [σo,NSH (t)]−max [σa,NSH (t)](3.84)

= σo,NSH − σa,NSH

als Differenz der zeitlich großten elastisch und plastisch gestutzten Hauptspan-nungen σo,NSH und σa,NSH definiert. Die Vergleichsoberspannungs-Zeitfunkti-on σo,NSH (t) wird mit den Invarianten Gl.(3.47), den Mikrostutzziffern nV,1o

Gl.(3.61), nV,2o Gl.(3.62) und nV,3o Gl.(3.64) sowie der Makrostutzziffer mo

Gl.(3.78) gebildet:σo,NSH (t) = σ1,o (t) mit (3.85)

σ31,o (t)− I1o (t)

√nV,1o ·mo

· σ21,o (t) +

I2o (t)nV,2o ·m2

o

· σ1,o (t)− I3o (t)nV,3o ·m3

o

= 0 (3.86)

Die Vergleichsausschlagspannungs-Zeitfunktion σa,NSH wird dagegen mit denInvarianten Gl.(3.46), den Mikrostutzziffern nV,1a, nV,2a und nV,3a sowie derMakrostutzziffer ma Gl.(3.77) bestimmt:

σa,NSH (t) = σ1,a (t) mit (3.87)

σ31,a (t)− I1a (t)

√nV,1a ·ma

· σ21,a (t) +

I2a (t)nV,2a ·m2

a

· σ1,a (t)− I3a (t)nV,3a ·m3

a

= 0 (3.88)

Fur den zweiachsigen Beanspruchungszustand mussen die beiden Vergleichss-pannungen σo,NSH(t) und σa,NSH(t) nicht aus den Polynomen dritten GradesGl.(3.86) und Gl.(3.87) bestimmt werden, sondern konnen direkt angegebenwerden:

σo,NSH (t) =1

2 ·mo·

I1o (t)√nV,1o

+

√I21o (t)nV,1o

− 4 · I2o (t)nV,2o

(3.89)

3.5 Lebensdauer-Bewertungskonzept 79

σa,NSH (t) =1

2 ·ma·

I1a (t)√nV,1a

+

√I21a (t)nV,1a

− 4 · I2a (t)nV,2a

(3.90)

3.5 Vorstellung desLebensdauer-Bewertungskonzeptes

In den vorangegangenen Kapiteln wurden einzelne Konzepte zur rechnerischenErfassung der die Lebensdauer bestimmenden Effekte vorgestellt und disku-tiert. In den beiden Abbildungen 3.14 und 3.15 ist darauf aufbauend sche-matisch die Vorgehensweise zur Lebensdauerabschatzung fur periodisch schwin-gende Beanspruchungen dargestellt. Fur nichtperiodische Frequenzgemischekann nur ein Dauerfestigkeitsnachweis gefuhrt werden, da bei Beanspruchungenoberhalb dieses Niveaus eine Betriebsfestigkeitsbewertung erfolgen muß. In derersten Abbildung sind die Schritte zur Berechnung der von der Lastwechselzahlunabhangigen Großen zusammengefaßt, wahrend in der zweiten Abbildung einiterativer Prozeß zur Berechnung der ertragbaren Lastwechselzahl dargestelltist.

Die Eingangsgroßen der Berechnung bilden der Werkstoff, die Bauteilgeometrieund die außeren Lasten mit ihren jeweiligen Last-Zeit-Funktionen sowie derEigenspannungszustand. Aus den Bauteil- und den Belastungsinformationenwird der allgemeine Spannungszustand mit einer FEM-Berechnung ermittelt.Es folgt die Berechnung der Mikrostutzziffern der Ober- und Ausschlagspan-nung fur die einzelnen Invarianten mit den Gleichungen (3.61)-(3.64). Nebenden Kerbgrundspannungen fließen dabei fur die Bestimmung des Ortes unddes Zeitpunktes der Berechnung die Last-Zeit-Verlaufe der außeren Lasten undeinzelne Werkstoffkennwerte ein Gl.(3.48) und Gl.(3.49). Anschließend konnendie Werte der Makrostutzwirkung ma und mo mit der modifizierten Neuber -Hyperbel ermittelt werden. Als Eingangsgroße fur mehrachsige Beanspruchun-gen dient die elastisch gestutzte modifizierte von Mises-Vergleichsspannung

σa,mod.Mises (t0) =

√ I21a (t0)nV,1a

− k2a ·

I2a (t0)nV,2a

und

σo,mod.Mises (t0) =

√ I21o (t0)nV,1o

− k2a ·

I2o (t0)nV,2o

,

wobei der Zeitpunkt t0 mit Gl.(3.76) ermittelt wird. Daneben werden die al-lein aus dem allgemeinen Spannungszustand bestimmten Großen des unte-ren Niveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel Gl.(3.79) und der globalenFließbehinderung Gl.(3.82) benotigt. Der Werkstoff fließt uber die zyklische


W e r k s t o f f B a u t e i l B e l a s t u n gG e o m e t r i e Ä u ß e r e L a s t e n +

E i g e n s p a n n u n g e n

e a

Z y k l i s c h e S p a n n u n g s -D e h n u n g s l i n i es a

B e r e c h n u n g d e s a l l g e m e i n e n S p a n -n u n g s z u s t a n d s m i t d e r M e t h o d e d e rF i n i t e n E l e m e n t e

L a s t - Z e i t -V e r l ä u f e d e rä u ß e r e n L a s t e n

B e r e c h n u n g d e r M i k r o s t ü t z z i f f e r nn V , 1 a , n V , 2 a , n V , 1 2 a , n V , 3 a , n V , 1 o , n V , 2 o , n V , 3 o

W e r k s t o f f k e n n w e r t e :E - M o d u l , s W , t W ,s s c h w

ss

e ö r t l es *

s

B e r e c h n u n g d e r F a k t o r e n d e rM a k r o s t ü t z w i r k u n g m a u n d m om i t d e r m o d i f i z i e r t e nN e u b e r - H y p e r b e l

E I N G A N G S G R Ö ß E N

B e r e c h n u n g d e r V e r g l e i c h s m i t t e l s p a n n u n g s v ma u s d e r H a u p t o b e r - u n d H a u p t a u s s c h l a g s p a n n u n g

Abbildung 3.14: Schematische Vorgehensweise zur Lebensdauerbewertungbeginnend bei den Eingangsgroßen bis zu den von derLastwechselzahl abhangigen Großen

Spannungs-Dehnungslinie des ungekerbten einachsig zugbelasteten Stabes indie Berechnung ein. Schließlich kann als letzte von der Lastwechselzahl un-

3.5 Lebensdauer-Bewertungskonzept 81

W e r k s t o f fN D

S t a r t w e r t : N = N D

N a l t = NL a s t w e c h s e l z a h l a b h ä n g i g eW e r k s t o f f w e r t e k a N , k b N

B e r e c h n u n g v o n s v a

s W Ns v a

s v m

D e n a l l g e m e i n e n S p a n n u n g s z u s t a n ds v a u n d s v m m i t l a s t w e c h s e l z a h l a b -h ä n g i g e n H a i g h - S c h a u b i l d e r n a u fe i n e r e i n w e c h s e l n d e B e l a s t u n g s W N( R = - 1 ) u m r e c h n e n .

l o g s

l o g N

W ö h l e r l i n i e d e s W e r k s t o f fR = - 1a k z = 1s W N

N| N - N a l t | < 1 ?

N > N D ?n e i n

d a u e r f e s t

N = . . . .n e i n

j a

j a

Abbildung 3.15: Schematische Vorgehensweise zur Lebensdauerbewertungfur die von der Lastwechselzahl abhangigen Großen

abhangige Große die Vergleichsmittelspannung aus der elastisch und plastischgestutzten Hauptober- und Hauptausschlagspannung mit Gl.(3.84) bestimmtwerden.

Die Berechnung der ertragbaren Lastwechselzahl N erfolgt durch einen iterati-


ven Prozeß, da einzelne Werkstoffkennwerte von der Lastwechselzahl abhangigsind. Der Startwert fur N ist die Ecklastwechselzahl ND des glatten Stabes. Indem folgenden iterativen Prozeß wird zunachst der Hilfsgroße Nalt der aktuelleWert der Lastwechselzahl zugeordnet: Nalt = N . Es folgt die Berechnung derVergleichsspannungs-Amplitude

σva =1ma

√J1a

nV,1a− k2

aN ·J2a

nV,2a− kbN ·

J12a

nV,12a. (3.91)

Die Invarianten J1a, J2a und J12a werden mit den elastisch berechneten Kerb-grundspannungen bestimmt. Der lastwechselzahlabhangige WerkstoffkennwertkaN laßt sich mit den Gleichungen Gl.(3.20) und Gl.(3.22) ermitteln, wahrendkbN aus den Gleichungen Gl.(3.24), Gl.(2.22), Gl.(3.25) und Gl.(3.28) folgt.Dabei entspricht die in den Gleichungen eingesetzte Lastwechselzahl N derHilfsgroße Nalt. Der auf einachsige Vergleichsspannungen σva und σvm redu-zierte mehrachsige Beanspruchungszustand wird dann mit einem lastwechsel-zahlabhangigen Haigh-Schaubild in eine rein wechselnde Beanspruchung σWN

(R = −1) umgerechnet. Dazu kann zweckmaßigerweise Gl.(2.27) nach σWN

umgestellt werden

σWN =σva · (1−QN ) · (1−R)

−QN +√Q2

N + (1−QN ) · (1−R)2, (3.92)

wobei σA durch σva ersetzt wird und das Spannungsverhaltnis R mit denVergleichsspannungen σva und σvm entsprechend Gl.(2.1) gebildet wird. Dervon der Mittelspannungsempfindlichkeit abhangige Parameter QN wird mitden Gleichungen Gl.(2.24) und Gl.(2.26) bestimmt. An Hand der Spannungs-Wohlerlinie des glatten Stabes Gl.(2.22) kann σWN eine Lastwechselzahl

N = ND ·(σW

σWN

)k

(3.93)

zugeordnet werden. Schließlich werden die beiden Abbruchkriterien uberpruft.Ist N ≥ ND, kann die Beanspruchung dauerfest ertragen werden und die Be-rechnungsschleife wird verlassen. Anderenfalls wird uberpruft, ob der Betragder Differenz der Lastwechselzahlen N und Nalt kleiner einer vorgegebenenSchranke ist, die im Rahmen dieser Arbeit zu eins gewahlt wird. Ist die Bedin-gung erfullt, entspricht die ertragbare Lastwechselzahl dem aktuellen Wert N .Anderenfalls wird die Schleife erneut durchlaufen.

3.6 Abschatzformeln benotigter Kennwerte

Die vorangegangene Beschreibung des Lebensdauer-Bewertungskonzeptes ver-deutlicht, daß fur die Berechnung der Zeit- und Dauerfestigkeit glatter wie

3.6 Abschatzformeln benotigter Kennwerte 83

gekerbter Bauteile zahlreiche Werkstoffkennwerte benotigt werden. In der Pra-xis stehen aber haufig nicht alle Werte zur Verfugung, sei es, weil sie speziellin der fruhen Entwicklungsphase eines Produktes noch nicht ermittelt wurden,oder weil der experimentelle Aufwand und die damit verbundenen Kosten zuhoch sind. Fur diese Falle sollten Schatzformeln bereitgestellt werden, die aufeiner abgesicherten Versuchsdatenmenge basieren. Auch bei der Nachrechnungder Versuchsergebnisse im folgenden Kapitel 4 werden die unten aufgefuhr-ten Naherungsbeziehungen verwendet, soweit die Werte in der Literatur nichtangegeben sind. Unabhangig von diesen Schatzformeln kann die Bewertungselbstverstandlich auf der Basis der Versuchsergebnisse der einzelnen Werk-stoffkennwerte erfolgen.

In [21] werden fur die verschiedenen Werkstoffkennwerte Naherungsbeziehun-gen vorgeschlagen, die auch in dieser Arbeit eingesetzt werden. Der Autorentwickelte zum Teil neue Formeln fur zuverlassigere Schatzungen benotigterWerkstoffkennwerte. Fur die Zug-Druck-Wechselfestigkeit schlagt er basierendauf der Datenmenge des VDEh-Berichts ABF 11 [65]

σW =

56 N/mm2 + 0, 144 ·Rm + 0, 309 ·Rp0,2 fur αk = 1

56 N/mm2+(0, 144 ·Rm + 0, 309 ·Rp0,2) · 1, 04 fur αk > 1

(3.94)

vor. Anzumerken ist, daß die Schatzung von dem dort vorgestellten Konzeptder Lebensdauerberechnung abhangig ist, da neben den reinen Zug-Druck-Wechselversuchen auch die Ergebnisse inhomogener Beanspruchungen in dieAuswertung aufgenommen wurden. Diese Versuche wurden mit den Stutzwir-kungskonzepten jeweils zuruckgerechnet.

Zur Abschatzung der Torsions-Wechselfestigkeit τW wird die in [65] aufgestellteUmrechnungsformel

τW =

[ (1− 1√

3

)·(Rp0,2

Rm

)5

+1√3

]· σW (3.95)

verwendet. Sie hat auf Grund der guten Naherung weite Verbreitung gefun-den. Vielfach wird die Torsions-Wechselfestigkeit an Vollproben ermittelt. Da-mit beinhaltet dieser Wert bereits die Mikro- und Makrostutzwirkung. Diesebeiden Effekte mussen herausgerechnet werden, um die eigentliche Große desWerkstoffkennwertes zu erhalten. In der vorliegenden Arbeit werden deshalb dieWerte von τW mit den vorgestellten Konzepten der Mikro- und Makrostutzwir-kung reduziert.

Der Werkstoffkennwert kb, mit dem die dritte Invariante der Vergleichsspan-nungs-Amplitude σva gewichtet wird, wurde erstmals von Hahn eingefuhrt. Zur


Abschatzung von kb schlagt er auf Grund der kleinen Datenmenge einen bilinea-ren Ansatz in Abhangigkeit von dem Wechselfestigkeitsverhaltnis ka = σW /τWvor:

kb =

0 fur ka ≤ 1, 5634, 675 · (ka − 1, 563) fur ka > 1, 563 . (3.96)

Neben der Zug-Druck-Wechselfestigkeit ist fur die Bewertung mittelspannungs-behafteter Beanspruchungen die Schwellfestigkeit σschw eine wichtige Große.Sie wurde in der Vergangenheit vielfach uber die Mittelspannungsempfindlich-keitM berechnet. Fur die Mittelspannungsempfindlichkeit selbst wird beispiels-weise in [65] eine Naherungsbeziehung in Abhangigkeit von der Zugfestigkeitangegeben:

M = 0, 00035 ·Rm − 0, 1 . (3.97)

Diese Abhangigkeit von einem statischen Kennwert bedingt aber einenBruch der Lebensdauerberechnung im Zeitfestigkeitsbereich. Außerdem soll-ten Schatzformeln zyklischer Werkstoffkennwerte moglichst von ebenfalls zykli-schen Großen abhangig sein. Ein Vorschlag einer Naherungsbeziehung kommtvon Troost und Mitarbeitern [64], die die Schwellfestigkeit mit der Zug-Druck-Wechselfestigkeit abschatzt:

σschw = 1, 55 · σW + σ0 . (3.98)

Die Große σ0 geben sie fur Stahl und Leichtmetall-Legierungen mit σ0 =15 N/mm2 und fur Gußwerkstoffe mit σ0 = −10 N/mm2 an. Eine ahnlicheBeziehung wird auch in [21] vorgeschlagen:

σschw = 1, 52 · σW + 33 N/mm2 . (3.99)

Die Schwellfestigkeitswerte werden in dieser Arbeit, soweit sie fur die aus-gewahlten Versuche nicht angegeben sind, mit Gl.(3.99) abgeschatzt.

Fur die Werkstoffkennwerte der zyklischen Spannungs-Dehnungslinie R′

p0,2 undn′Gl.(2.13) werden von Hahn zwei Beziehungen vorgeschlagen, die beide eine

Abhangigkeit von σW beinhalten:

R′

p0,2 = 1, 16 · σW + 57 N/mm2 (3.100)

1n′ =

log 0, 13

logσW

R′p0,2

. (3.101)

Fur die Spannungs-Wohlerlinie des glatten Stabes Gl.(2.9) werden neben derDauerschwingfestigkeit, die der Zug-Druck-Wechselfestigkeit entspricht, die

3.6 Abschatzformeln benotigter Kennwerte 85

Werte der zugehorigen Ecklastwechselzahl ND und des Exponenten k benotigt.In [21] werden die Versuchsergebnisse aus [65] statistisch ausgewertet. Fur ei-ne Uberlebenswahrscheinlichkeit der Prufkorper Pu = 50% ergeben sich Wertevon ND = 106 Lastwechsel und k = 15.

Fur die Bestimmung der charakteristischen Werkstoffstrukturlange ρ∗ nachGl.(2.54) wird neben der Schwellfestigkeit die dauerfest ertragbare Spannungs-intensitat ∆Kth0 benotigt. Fur diese Große gilt nach Schwalbe [54] im Mittel:

∆Kth0

E= 2, 75 · 10−5

√m

(3.102)

⇔ ∆Kth0 =E

1150 ·√mm

.

In Kapitel 3.3.2 wurde gezeigt, wie die Große der Fließbehinderung ϕ aus ei-ner FEM-Berechnung ermittelt wird. Fur einfache Belastungsfalle (Zug- Druck-bzw. Biegebelastung) und einfache Kerbgeometrien (stabformige Bauteile), furdie im allgemeinen keine FEM-Berechnungen durchgefuhrt werden, werden zweiSchatzformeln - eine fur Bauteile mit umlaufender Kerbe ϕgek,Zug und eine furabgesetzte Bauteile ϕabg,Zug -

ϕgek,Zug ≈ 1 + 8, 19 · (a− 0, 438) + 4, 726 · b · χ · (a− 0, 343)2

1 + 8, 19 · (a− 0, 438) + 2, 037 · b · χ · (a− 0, 262)2

(3.103)

ϕabg,Zug =ϕgek,Zug + 1

2

vorgeschlagen. Die Parameter a und b werden entsprechend Abbildung 3.16bestimmt, wahrend fur χ der Anteil des bezogenen Beanspruchungsgefalles ein-gesetzt wird, der auf die Kerbgeometrie zuruckzufuhren ist. Im Anhang Bwerden Diagramme zur graphischen Bestimmung von ϕgek,Zug bereitgestellt.

Die Fließbehinderung einer Biegebelastung ist etwas kleiner als die der Zug-Druckbelastung. Der Unterschied ist abhangig von der Tiefe der Kerbe. MitGl.(3.104) kann die Fließbehinderung fur eine Biegebelastung abgeschatzt wer-den:

ϕBiegung = ϕZug · (1− b · 0, 0146) (3.104)

Fur zusammengesetzte Belastungen aus Zug-Druck und Biegung wird vorge-schlagen, die beiden einzelnen Fließbehinderungen gewichtet mit den jeweiligenKerbgrundspannungen zu mitteln:

ϕ =σxx,Zug · ϕZug + σxx,Biegung · ϕBiegung

σxx,Zug + σxx,Biegung(3.105)


hH

a = Hh b = H - h

2

g e k e r b t e r F l a c h s t a b

rdD

a = Dd b = D - d

2

g e k e r b t e r R u n d s t a b

rdD

a = Dd b = D - d

2

a b g e s e t z t e r R u n d s t a b

r

hHa = H

h b = H - h2

a b g e s e t z t e r F l a c h s t a b

r

j g e k

j a b g

Abbildung 3.16: Bestimmung der Geometrieparameter a und b fur gekerb-te bzw. abgesetzte Rund- und Flachstabe

Werden hingegen Normal- und Schubspannungen uberlagert, kann die resultie-rende Fließbehinderung mit

ϕ =

√σ2

xx · ϕ2 + 4 · σ2xy

σ2xx + 4 · σ2

xy

(3.106)

abgeschatzt werden.

4 Validierung der Hypothese

In diesem Kapitel werden die mit dem vorgestellten Konzept berechneten Le-bensdauern den Versuchsergebnissen gegenubergestellt. Daruber hinaus werdendie Berechnungsergebnisse anderer, zur Zeit gebrauchlicher Bewertungskonzep-te in den Abbildungen dargestellt. Durch Vergleich mit den Versuchsergebnis-sen kann die Vorhersagegenauigkeit der einzelnen Konzepte auch untereinanderbeurteilt werden.

4.1 Ungekerbte Bauteile

4.1.1 Dauerfestigkeit ungekerbter Bauteile

Im Rahmen dieser Arbeit werden die Ergebnisse der DIHA fur Festigkeitsnach-weise ungekerbter Bauteile im Dauerfestigkeitsbereich mit denen der DIH nachHahnB [21], der Schubspannungs-Intensitats-Hypothese (SIH) nach Liu [35]und der Quadratischen Versagens-Hypothese (QVH) nach Kaniut [29] vergli-chen. Die grundlegenden Berechungsgleichungen der SIH sind im Anhang E.1und die der QVH im Anhang E.2 zusammengestellt.

Eine statistische Auswertung der Treffsicherheit der DIH´95, der SIH und derQVH ist in [21] zu finden. Sie basiert auf einer umfangreichen Versuchsdaten-menge.Der Dauerfestigkeitsnachweis der DIH´2000 fur ungekerbte Bauteile unterschei-det sich von dem der DIH´95 nur fur mehrfrequente Beanspruchungen. DieDarstellung der Ergebnisse ist deshalb im folgenden auf diese Beanspruchungs-art beschrankt.

In Abbildung 4.1 ist der Einfluß der Frequenz auf die ertragbare Spannungfur eine uberlagerte Beanspruchung aus einer wechselnden Normal- und einerwechselnden Schubspannung dargestellt. Der ertragbare Spannungsausschlagσxxa ist fur ganzzahlige Frequenzverhaltnisse λxy bzw. 1/λxy berechnet und inder Abbildung durch Geraden verbunden. Das Frequenzverhaltnis der Normal-spannung λxx ist konstant und betragt λxx = 1.

Die beste Ubereinstimmung mit den Versuchsergebnissen von Mielke [44] undKaniut [29] liefern die DIH´2000 und die DIH´95. Auffallig ist, daß die Ergeb-nisse fur ”gerade“ Frequenzverhaltnisse ubereinstimmen, wahrend der ertrag-bare Spannungsausschlag fur ”ungerade“ Verhaltnisse eine entgegengesetzteTendenz aufweist. Dies bedeutet beispielsweise fur λxy = 3, daß die DIH´2000

AIn den Bildern DIH´2000 genannt.BIn den Bildern DIH´95 genannt.

87

88 4 Validierung der Hypothese

160180200220240260280300

25CrM

o4DIH

´2000

DIH´95

SIH QVH

Spannungsausschlag sxxa [N/mm2]

s xx s xy

wts xx

s xy

s xya = 0

,5 sxxa

R xx = -

1R xy

= -1

1/10

1/9

1

/7

1/5

1

/3

1

3

5

7

9

10Fre

quenzv

erhältn

is lxy

( lxx =

1 )

Abbildung 4.1: Einfluß des Frequenzverhaltnisses bei einer wechselndenNormal- und einer wechselnden Schubspannung mit δxy =0 und Versuchsergebnissen von Mielke [44] und Kaniut[29]

entgegen der DIH´95 von einer weiteren Minderung der ertragbaren Spannunggegenuber dem Verhaltnis λxy = 2 ausgeht.

4.1 Ungekerbte Bauteile 89

Fur große Frequenzverhaltnisse strebt der ertragbare Spannungsausschlag σxxa

einem konstanten Wert zu, so daß fur die Vergleichsspannungs-Amplitude

(σva)λxxλxy= (σva)λxyλxx

= |σxxa|+ ka · |σxya| (4.1)

gilt. Auch die Ergebnisse der SIH streben einem konstanten Wert zu. Die Er-gebnisse liegen fur unterschiedliche Frequenzen aber deutlich uber den Wertender Versuchsergebnisse, was gleichbedeutend mit einer Aussage zur unsicherenSeite ist.

Der Einfluß unterschiedlicher Frequenzen wird durch die QVH sehr gering be-wertet, was im Widerspruch zu den Versuchsergebnissen steht. Fur λxy = 1/2bzw. λxy = 2 wird sogar gegenuber λxy = 1 ein hoherer ertragbarer Spannungs-ausschlag vorhergesagt, wahrend das Versuchsergebnis fur λxy = 2 ungefahr18% kleiner als das fur λxy = 1 ist.

Bhongbhibhat [3] und Heidenreich [27] untersuchten den Einfluß einer Last-Zeit-Funktion, deren Verlauf periodisch, aber nicht sinusformig ist. Jede periodischeFunktion kann durch eine harmonische Analyse in eine unendliche Fourierreiheentwickelt werden. Im Rahmen dieser Arbeit werden fur die Nachrechnung derVersuchsergebnisse die ersten 39 Frequenzen dieser Reihe berucksichtigt.

Die Hohlzylinder von Bhongbhibhat wurden mit Zug-Druck und Innendruckbelastet, wobei das Spannungsverhaltnis jeweils R = 0, 05 betragt. Als Last-Zeit-Funktion wahlte er neben der sinusformigen auch trapezformige Verlaufe.Der Flankenanstiegswinkel betragt α = 36 und α = 90. Letzterer ist derGrenzfall einer trapezformigen Belastung, der entsprechend seiner Form alsdreieckformige Belastung bezeichnet wird.

Die Versuchsergebnisse zeigen, daß die Schwingungsform fur synchrone (δyy =0) und fur eine um δyy = 180 phasenverschobene Belastung keinen Einflußauf die ertragbare Spannungsamplitude hat (s. Abbildung 4.2, 4.3 und 4.4).Diese Grundvoraussetzung wird von allen vier Festigkeitshypothesen erfullt.Kleine rechnerische Abweichungen sind auf die zum Teil numerisch sehr auf-wendigen Operationen zuruckzufuhren.

Fur eine dreieckformige Belastung sind die Ergebnisse in Abbildung 4.2 dar-gestellt. Die von den Hypothesen vorhergesagten ertragbaren Spannungsaus-schlage unterscheiden sich erheblich fur Phasenverschiebungen zwischen δyy =0 und δyy = 90. Die QVH und die SIH gehen von einem Festigkeitsanstiegaus, der durch die Versuchsergebnisse aber nicht bestatigt wird. Demgegenuberwird von den beiden Varianten der DIH auch fur diesen Bereich eine Festig-keitsminderung vorhergesagt. Fur den Bereich von δyy = 90 bis δyy = 180

stimmen die Aussagen der Hypothesen zum festigkeitsmindernden Einfluß derPhasenverschiebung uberein, wobei die SIH den Versuchsergebnissen am nachs-ten liegt.


100120140160180200220

0°30°

60°90°

120°

150°

180°

St35

DIH´20

00DIH

´95SIH QV

H


Phasen

versch

iebung

d yy

s xx s yy

w ts xx

s yy

s yya = s

xxa

R xx = 0

,05 R yy = 0

,05

d yy

Abbildung 4.2: Einfluß der Phasenverschiebung δyy bei zwei schwellendenNormalspannungen mit dreieckiger Schwingungsform undVersuchsergebnissen von Bhongbhibhat [3]

Fur synchrone Belastung liegen die Ergebnisse der beiden Varianten der DIHund der QVH deutlich uber dem experimentellen Wert. In Abbildung 4.3 sinddie Vorhersagen der DIH´2000 fur unterschiedliche Torsions-Wechselfestigkei-


ten dargestellt. Von Bhongbhibhat wird τW = 130N/mm2 angegeben. Fur die-

100120140160180200

0°30°

60°90°

120°

150°

180°

St35 si

nusför

mige B

elastu

ng

t W = 13

0 N/mm

2

t W = 13

9 N/mm

2

Phasen

versch

iebung

d yy

Spannungsausschlag sxxa [N/mm2] DIH

´2000

Abbildung 4.3: Einfluß der Phasenverschiebung δyy bei zwei sinusformigschwellenden Normalspannungen fur unterschiedlicheWerkstoffkennwerte τW und Versuchsergebnisse vonBhongbhibhat [3]


sen Wert wird der ertragbare Spannungsausschlag bei kleinen Phasenverschie-bungen deutlich uberschatzt, wahrend er fur δyy > 90 unterschatzt wird. Einegeringfugige Anderung der Torsions-Wechselfestigkeit auf τW = 139 N/mm2

hat eine deutlich verbesserte Vorhersage zur Folge. Dieser Wert ergibt sich,wenn die Torsions-Wechselfestigkeit mit Gl.(3.95) abgeschatzt und die Mikro-und Makrostutzwirkung herausgerechnet werden. Dieses Beispiel macht deut-lich, daß Versuchswerte mit ublichen Abschatzformeln uberpruft werden soll-ten, um Ausreißer zu erkennen und das Versuchsergebnis gegebenenfalls durchweitere Untersuchungen zu bestatigen.

Neben der dreieckformigen Belastung fuhrte Bhongbhibhat auch Versuche mittrapezformiger Belastung durch. In Abbildung 4.4 sind die Vorhersagen derHypothesen dargestellt. Außer der QVH gehen alle Hypothesen von einerkleineren Festigkeit aus, sobald die Belastungen zueinander phasenverschobenschwingen. Bei δyy = 70 ist die minimale Festigkeit erreicht und bleibt dannfast konstant. Nur die Ergebnisse der DIH´95 steigen fur Phasenverschiebun-gen δyy > 120 wieder an.

Die Versuchsergebnisse und die berechneten Verlaufe in den Abbildungen4.2, 4.3 und 4.4 verdeutlichen, daß die Form der Last-Zeit-Funktion fur Pha-senverschiebungen zwischen δyy = 0 und δyy = 180 erheblichen Einfluß aufdie ertragbare Spannungsamplitude besitzt. Dabei ergeben sich fur eine drei-eckformige Belastung die großten ertragbaren Werte, wahrend die trapezformi-ge Belastung die ungunstigste Form darstellt. Dieses Verhalten scheint mit derunterschiedlichen Zeitdauer zusammenzuhangen, wahrend der sich die Belas-tung auf einem hohen Niveau befindet. Bei der dreieckformigen Belastung istdas Maximum ”idealerweise“ auf einen Punkt beschrankt und die Belastungfallt neben dem Maximum schnell ab. Die großte Werkstoffbeanspruchung tritterst bei einer Phasenverschiebung δyy = 180 auf. Demgegenuber bleibt die Be-lastung mit sinusformiger Last-Zeit-Funktion langer auf einem hohen Niveau.Die untere Festigkeitsgrenze wird entsprechend der DIH´95 und der DIH´2000bei δyy = 160 erreicht. Bei einer trapezformigen Last-Zeit-Funktion schließlichwird der Maximalwert der Amplitude uber eine Zeitspanne ∆t gehalten. DieGroße von ∆t ist abhangig vom Anstiegswinkel der Flanke, der fur die Ver-suche von Bhongbhibhat 36 betragt. Damit hangt auch zusammen, daß dieuntere Festigkeitsgrenze bereits bei δyy = 2·36 = 72 erreicht wird. Ab die-ser Phasenverschiebung ergibt sich die resultierende Werkstoffbeanspruchungwie bei δyy = 180, was am Zeitverlauf der Spannungen leicht abgelesen werdenkann. Zum Vergleich wurde der Anstiegswinkel beispielhaft auf 5 geandert undder Verlauf der ertragbaren Spannungsamplitude uber der Phasenverschiebungberechnet. Wie erwartet, wird das untere Niveau der ertragbaren Spannungs-amplitude bereits bei einer Phasenverschiebung δyy = 2·5 = 10 erreicht undbleibt dann nahezu konstant.


100120140160180200

0°30°

60°90°

120°

150°

180°

St35

DIH´20

00DIH

´95SIH QV

HSpannungsausschlag sxxa [N/mm2]

Phasen

versch

iebung

d yy

s xx s yy

wts xx

s yy

s yya = s

xxa

R xx = 0

,05 R yy = 0

,05

36°d yy

Abbildung 4.4: Einfluß der Phasenverschiebung δyy bei zwei schwellendenNormalspannungen mit trapezformiger Schwingungsformund Versuchsergebnissen von Bhongbhibhat [3]

In Kapitel 3.2.2 wurde darauf hingewiesen, daß der Prozeß zur Berechnungder einachsigen Vergleichsspannungs-Amplitude in [21] gegenuber einer Dre-hung des Koordinatensystems nicht unabhangig ist. In Abbildung 4.5 sind


80100120140160180200

0°30°

60°90°

120°

150°

180°

St35

DIH´20

00 ung

edreht

DIH´20

00 ged

reht


Phasen

versch

iebung

d yy s xx s yy

wts xx

s yy

s yya = s

xxa

R xx = 0

,05 R yy = 0

,05

36°d yy

Abbildung 4.5: Einfluß der Phasenverschiebung δyy fur eine trapezformigeLast-Zeit-Funktion berechnet in unterschiedlichen Koordi-natensystemen und Versuchsergebnisse von Bhongbhibhat[3]

die mit der DIH´2000 berechneten Verlaufe fur zwei schwellende Normalspan-nungen mit trapezformiger Schwingungsform dargestellt. Die Ergebnisse sind


in Schritten δyy = 10 berechnet und mit einer geglatteten Linie miteinanderverbunden. Fur jede Phasenverschiebung wurde die ertragbare Spannungsam-plitude in dem ursprunglichen Koordinatensystem und in einem beliebig umdie Oberflachennormale gedrehten Koordinatensystem ermittelt. Die Ergebnis-se sind fast identisch, womit die Invarianz des neuen vorgestellten Verfahrensgezeigt istC.

Von Heidenreich u.a. [27] wurde der Einfluß der Form der Last-Zeit-Funktionfur eine wechselnde Normal- und eine wechselnde Schubspannung untersucht.Die berechneten Verlaufe und Versuchsergebnisse sind in Abbildung 4.6 fureine sinusformige und in Abbildung 4.7 fur eine trapezformige Last-Zeit-Funktion dargestellt. Bei der Bewertung der Treffsicherheit der Hypothesen istder unterschiedliche Maßstab des Spannungsausschlags σxxa fur die beiden Ab-bildungen zu beachten!

Die Versuchsergebnisse der sinusformigen Belastung (Abbildung 4.6) sind mit314 N/mm2 fur δxy = 0, 315 N/mm2 fur δxy = 60 und 316 N/mm2 fur δxy =90 fast konstant. Dieses Verhalten wird von der DIH´2000 und der DIH´95,deren Ergebnisse fur diesen Belastungsfall identisch sind, am besten vorherge-sagt. Die Ergebnisse der SIH und der QVH liegen fur eine Phasenverschiebungvon 90 weiter auf der unsicheren Seite.

In Abbildung 4.7 —trapezformige Belastung— wurde zum Vergleich das Ver-suchsergebnis fur δxy = 0 von der sinusformigen Belastung ubernommen.Wiederum ist zu erkennen, daß diese Schwingungsform —der Anstiegswinkelbetragt 15— eine deutliche Verringerung der ertragbaren Spannungsamplitu-de bei einer Phasenverschiebung von δxy = 90 zur Folge hat. Außer der QVHgehen alle Hypothesen von einer Festigkeitsminderung aus, die bei ungefahrδxy = 30 ihr Minimum erreicht und dann nahezu konstant bleibt. Hiervonabweichend wird von der DIH´2000 oberhalb einer Phasenverschiebung δxy =60 eine kleine Festigkeitssteigerung vorhergesagt. Besonders auffallig ist dasErgebnis der QVH. Sie zeigt keinen Einfluß der Phasenverschiebung und liefertfur die synchrone Belastung nicht das Ergebnis der sinusformigen Belastung.Fur δxy = 90 wird der ertragbare Spannungsausschlag von allen Hypothesenim Mittel um 12% uberschatzt.

CDie minimalen Unterschiede sind auf das in Kapitel 3.2.2 beschriebene Verfahrenzuruckzufuhren



Phasen

versch

iebung

d xy

300310320330340350360

0°15°

30°45°

60°75°

90°

34Cr4

sinu

sförmi

ge Bel

astung

DIH´

2000

DIH´

95 SI

H Q

VH

Abbildung 4.6: Einfluß der Phasenverschiebung δxy bei einer wechseln-den Normal- und einer wechselnden Schubspannung mitsinusformiger Schwingungsform und Versuchsergebnissenvon Heidenreich u.a. [27]


220240260280300320340

0°15°

30°45°

60°75°

90°

34Cr4 s

inusfö

rmige

Belastu

ng

DIH´20

00DIH

´95SIH QV

H

34Cr4 t

rapezf

örmige

Belastu

ngSpannungsausschlag sxxa [N/mm2]

Phasen

versch

iebung

d xy s xx s xy

w ts xx

s xy

s xya = 0

,5 sxxa

R xx = -

1 R xy = -

115°

d xy

Abbildung 4.7: Einfluß der Phasenverschiebung δxy bei einer wechseln-den Normal- und einer wechselnden Schubspannung mittrapezformiger Schwingungsform und Versuchsergebnissenvon Heidenreich u.a. [27]


4.1.2 Zeitfestigkeit ungekerbter Bauteile

Fur Lebensdaueraussagen im Zeitfestigkeitsbereich werden die Ergebnisse derDIH´2000 mit denen der DIH´95 und denen der FKM-Richtlinie [19] sowohlfur ungekerbte als auch fur gekerbte Bauteile verglichen. Die SIH und die QVHgelten nur fur den Dauerfestigkeitsbereich.

Fur die Belastungskombination aus Zug-Druck und uberlagerter phasenver-schobener Torsion liegen im Zeitfestigkeitsbereich nur wenige Versuchsergeb-nisse vor. Sonsino [60] untersuchte den Einfluß der Phasenverschiebung furden Werkstoff StE 460. Er beschrankte die Variation der Phasenverschiebungauf die beiden Falle einer synchronen δxy = 0 und einer 90 phasenverschobe-nen Belastung, da erfahrungsgemaß bei zahen Werkstoffen hierfur die großtenLebensdauerunterschiede ermittelt werden konnen. Er ermittelte Ergebnisse so-wohl fur last- als auch fur verformungsgesteuerte Versuche.

In den beiden Abbildungen 4.8 und 4.9 sind die Ergebnisse der lastgesteu-erten Versuche der uberlagerten Belastung fur δxy = 0 und δxy = 90 darge-stellt. Die Versuchsergebnisse ergeben eine Verlangerung der Lebensdauerunter phasenverschobener Belastung, was von der DIH´2000 und der DIH´95ebenfalls vorhergesagt wird. Demgegenuber wird von der FKM-Richtlinie ei-ne deutliche Minderung der ertragbaren Belastung fur den phasenverschobe-nen Fall vorhergesagt. Außerdem wird die Steigung der Wohlerlinien in bei-den Fallen deutlich uberschatzt. Die in der Richtlinie empfohlene Obergrenzeder zulassigen Amplituden fuhrt zu einer sehr konservativen Abschatzung, dieselbst bei synchroner Belastung (Abbildung 4.8) die Versuchsergebnisse furN < 1 · 105 unterschatzt.

Die Ergebnisse der DIH´2000 und der DIH´95 unterscheiden sich nur sehr ge-ring voneinander. Auffallig ist der Unterschied in der berechneten Steigungder Wohlerlinien fur δxy = 0. Verantwortlich hierfur sind die verschiedenenAnsatze zur Berechnung der Makrostutzwirkung. Von Sonsino wird der mittle-re Wohlerlinienexponent (Zug-Druck-, Torsions- und zusammengesetzte Belas-tungen) mit k = 17 angegeben. Dieser Wert wird sowohl bei der DIH´2000 alsauch der DIH´95 als Exponent der Werkstoffwohlerlinie fur reine Zug-Druck-Belastung verwendet. Fur die zusammengesetzten Belastungen ergeben sichdamit nach der DIH´2000 die mittleren Exponenten k = 17, 3 fur δxy = 0 undk = 18, 6 fur δxy = 90, wahrend die Werte nach der DIH´95 k = 15, 7 undk = 19, 0 betragen. Daraus ergibt sich, daß von der DIH´95 bei Phasenver-schiebungen bereits fur Lastwechselzahlen N < 4 · 105 ein kleinerer ertragbarerNennspannungsausschlag als fur δxy = 0 vorhergesagt wird, was aber durchdie Versuchsergebnisse nicht bestatigt wird. Hingegen wird dieser ”Umschlag-punkt“ nach der DIH´2000 erst bei einer Lastwechselzahl N ≈ 1 · 104 erreicht.


103104

105106

107100100200400600

Glatt

e Hohl

welle a

us StE 4

60 R

m = 670

N/mm

2 , Rp0,

2 = 467

N/mm

2

Rxx =

-1 , R

xy = -1

, sxy =

0,575

s xx , d

xy = 0°

Ve

rsuchs

ergebn

isse

DIH´2

000

DIH´9

5

FKM-

Richtli

nie

Nennspannungsausschlag [N/mm 2]

Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.8: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchsergeb-nissen von Sonsino [60] fur einen glatten Hohlstab unteruberlagerter Zug- und Torsionsbelastung bei 0 Phasenver-schiebung


103104

105106

107100100200400600

Glatt

e Hohl

welle a

us StE 4

60 R

m = 67

0 N/mm

2 , Rp0,

2 = 467

N/mm

2

Rxx =

-1 , R

xy = -1

, sxy =

0,575

s xx , d

xy = 90

°

Versu

chserg

ebnisse

DI

H´2000

DI

H´95

FK

M-Ric

htlinie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.9: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchsergeb-nissen von Sonsino [60] fur einen glatten Hohlstab unteruberlagerter Zug- und Torsionsbelastung bei 90 Phasen-verschiebung

4.2 Gekerbte Bauteile 101

4.2 Gekerbte Bauteile

Wahrend im vorangegangenen Kapitel 4.1 die allgemeine Gultigkeit der Ver-gleichsspannungs-Zeitfunktion fur Festigkeitsaussagen vor allem im Dauerfes-tigkeitsgebiet im Vordergrund stand, wird im folgenden die Anwendbarkeitder vorgestellten Konzepte bei der Lebensdauerbewertung gekerbter Bautei-le gezeigt. Grundlage der Bewertung sind die lokalen elastischen Spannungs-zustande, die als Ergebnis einer linearelastischen FEM-Berechnung fur jedeBelastung vorliegen. Daruber hinaus werden die Last-Zeit-Funktionen der ein-zelnen Belastungen als bekannt angenommen.

In Kapitel 4.2.1 werden die Ergebnisse der DIH´2000 und die der DIH´95sowie der FKM-Richtlinie im wesentlichen qualitativ mit den Versuchsergeb-nissen verglichen. In Kapitel 4.2.2 wird anhand von zwei Beispielen noch ein-mal der Weg der Lebensdauerberechnung mit der DIH´2000 erlautert und einquantitativer Vergleich zwischen den Versuchsergebnissen und den berechnetenLebensdauern vorgenommen.

4.2.1 Spannungs-Wohlerlinien gekerbter Bauteile

Die Ergebnisse der drei Hypothesen werden fur unterschiedliche Stabformen(Flach- bzw. Rundstab) und Kerbgeometrien (abgesetzte bzw. gekerbte Stabe)mit den Versuchsergebnissen verglichen. Dabei werden sowohl sehr scharf ge-kerbte Bauteile ρ = 0, 25 mm als auch schwach gekerbte Bauteile ρ = 5 mmbetrachtet. Neben den rein wechselnden Belastungen wird der Einfluß uberla-gerter Mittelspannungen sowie der Phasenverschiebung zwischen Normal- undSchubspannungen untersucht.

In Abbildung 4.10 sind die Ergebnisse von Haibach und Matschke [24] fureinen Flachstab aus 42CrMo4V unter wechselnder Zug-Druckbelastung (R =−1) dargestellt. Der Kerbradius der Probe betragt ρ = 2 mm. Bei diesenFlachstaben werden die Kerben durch Innenbohrungen hergestellt. Von denAutoren wird eine Kerbformzahl αkz = 3, 6 angegeben, die den Berechnungenmit der DIH´95 und der FKM-Richtlinie zu Grunde liegt.

In der Abbildung sind zum Vergleich auch die Versuchsergebnisse des glattenStabes eingetragen. Da weder durch die Geometrie noch durch die Belastungs-art Stutzwirkungen aktiviert werden konnen und die Belastung global wie lokaleinachsig ist, sind die Ergebnisse der DIH´2000 und der DIH´95 identisch. Dievorhergesagte Wohlerlinie und das Dauerfestigkeitsniveau stimmen mit denVersuchsergebnissen sehr gut uberein. Dies gilt auch fur die Vorhersage desDauerfestigkeitsniveaus durch die FKM-Richtlinie, wahrend die Steigung derFKM-Wohlerlinie viel zu groß ist.


102103

104105

106107

100100200400600800

Geke

rbter Fl

achstab

aus 42

CrMo4

V R

m = 91

0 N/mm

2 , Rp0,

2 = 840

N/mm

2

Rxx =

-1

Versu

chserg

ebnisse

des gl

atten S

tabes

Ve

rsuchs

ergebn

isse für

den R

adius

r = 2 m

m

DIH´2

000

DIH´9

5

FKM-

Richtli

nie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.10: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Haibach und Matschke [24] fur einen glat-ten und einen gekerbten Flachstab unter wechselnder Zug-Druckbelastung

Fur den gekerbten Flachstab wurden fur die Berechnung mit der DIH´2000zwei FEM-Berechnungen durchgefuhrt. Um die Fließbehinderung zu ermitteln,


wurde der Spannungszustand unter der Annahme eines ebenen Dehungszustan-des zweidimensional berechnet (s. Kapitel 3.3.2). Die mit Gl.(3.56) definierteGute der Berechnung betragt G = 0, 3%. Der berechnete Wert ϕ = 1, 52 istetwas kleiner als der bei der DIH´95 mit der Schatzgleichung von Hahn verwen-dete Wert von ϕ = 1, 68, so daß die Steigung der Wohlerlinie etwas kleiner wird.In einer zweiten FEM-Berechung wurde der Stab mit Volumenelementen aufge-baut. Die Genauigkeit der Berechnung ist G = 0, 9%. Die hochstbeanspruchteStelle befindet sich in der Mitte der Stabdicke, was mit dem experimentell beob-achteten Versagensort ubereinstimmt. Die Kerbformzahl der FEM-Berechnungist mit αk = 2, 97 deutlich kleiner als der in [24] angegebene Wert. Auf Grundder behinderten Querkontraktion herrscht im hochstbeanspruchten Punkt einzweiachsiger Spannungszustand. Fur die Bewertung mit der DIH´2000 wirddeshalb die Torsions-Wechselfestigkeit benotigt und mit Gl.(3.95) unter Be-achtung der Stutzwirkungen abgeschatzt. Im Gegensatz dazu werden die mitder DIH´95 und der FKM-Richtlinie vorhergesagten Wohlerlinien, wie bisherublich, einachsig berechnet. Die elastische Kerbgrundspannung wird aus derNennspannung und der angegebenen Kerbformzahl ermittelt. Diese Vorgehens-weise gilt fur alle im folgenden dargestellten Wohlerlinien.

Die experimentellen Werte werden von der DIH´2000 am besten erfaßt. DieDauerfestigkeit wird von der DIH´95 und der FKM-Richtlinie geringfugig un-terschatzt. Im Zeitfestigkeitsbereich wird die Steigung der Wohlerlinie im Mit-tel von der DIH´95 am besten erfaßt, wahrend sie von der FKM-Richtlinie uber-und der DIH´2000 unterschatzt wird. Im Gegensatz zur FKM-Richtlinie, diehinsichtlich der Steigung der Wohlerlinie nicht zwischen glatten und gekerbtenBauteilen unterscheidet, gehen die anderen beiden Hypothesen grundsatzlichvon einem steileren Anstieg gekerbter Bauteile gegenuber glatten Bauteilenaus, was auch experimentell bestatigt wird. Grund hierfur sind die inhomoge-nen Spannungsverteilungen und die damit verbundenen lokalen Fließvorgange.Wird die Belastung gesteigert, wachst die Makrostutzwirkung uberproportio-nal, so daß die lokalen Spannungen in geringerem Maße als die elastischenKerbgrundspannungen wachsen.

Im Kurzzeitfestigkeitsbereich fallt auf, daß die DIH´95 von einer hoheren Fes-tigkeit als die des glatten Stabes ausgeht. Eine experimentelle Bestatigunghierfur fehlt jedoch.

Fur den Stahl 34CrNiMo6 V wurden von Liebrich [34] Zeitfestigkeitsversu-che durchgefuhrt. Er belastete die Rundstabe rein wechselnd und schwellend.Außerdem variierte er den Kerbradius und den Vergutungszustand. Die Ver-suchsergebnisse fur den glatten und den mit ρ = 0, 25 mm gekerbten Rund-stab sind in Abbildung 4.11 fur eine rein wechselnde Zug-Druckbelastungund in Abbildung 4.12 fur eine schwellende Zug-Druckbelastung dargestellt,wobei der Vergutungszustand eine Harte von 445HB30 aufweist. Das FEM-


101102

103104

105106

107801001002004006008001000

1000

2000

Geke

rbter R

undstab

aus 34

CrNiMo

6 V 4

45 HB

30 R

m = 11

18 N/m

m2 , Rp0,

2 = 100

1 N/mm

2

Rxx =

-1

Versu

chserg

ebnisse

des gl

atten S

tabes

Ve

rsuchs

ergebn

isse für

den R

adius

r = 0,2

5 mm

DI

H´2000

DI

H´95

FK

M-Ric

htlinie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.11: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Liebrich [34] fur einen glatten und einen ge-kerbten Rundstab unter wechselnder Zug-Druckbelastung

Ergebnis dieses gekerbten Rundstabes hat eine Genauigkeit von G = 0, 003%im Punkt der hochsten, modifizierten von Mises-Beanspruchung und die be-rechnete Kerbformzahl αkz = 5, 25 entspricht dem von Liebrich angegebenen


102103

104105

106107

80100100200400600800

Geke

rbter R

undstab

aus 34

CrNiMo

6 V 4

45 HB

30 R

m = 111

8 N/mm

2 , Rp0,

2 = 100

1 N/mm

2

Rxx =

0

Versu

chserg

ebnisse

des gl

atten S

tabes

Ve

rsuchs

ergebn

isse für

den R

adius

r = 0,2

5 mm

DI

H´2000

DI

H´95

FK

M-Ric

htlinie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.12: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchs-ergebnissen von Liebrich [34] fur einen glatten undeinen gekerbten Rundstab unter schwellender Zug-Druckbelastung

Wert αkz = 5, 2.

Die Ergebnisse der DIH´2000 und der DIH´95 sind fur den glatten Stab aus


den oben genannten Grunden wiederum identisch. Sowohl fur die wechselndeals auch fur die schwellende Belastung werden die Versuchsergebnisse sehr ge-nau vorhergesagt. Von der FKM-Richtlinie hingegen wird nur das Dauerfestig-keitsniveau bei wechselnder Belastung richtig erfaßt. Die Steigungen der FKM-Wohlerlinien sind fur den glatten Rundstab wiederum zu groß, wahrend sie furden gekerbten Rundstab zu klein sind. Sie unterscheiden sich auch grundsatz-lich nicht bei wechselnden und schwellenden (mittelspannungsbehafteten) Be-lastungen. Bei der wechselnden Belastung fallt außerdem auf, daß die von derFKM-Richtlinie geforderte obere Grenze des ertragbaren Spannungsausschlagsdeutlich unter den Versuchsergebnissen liegt.

Fur die gekerbten Proben kommt die Vorhersage der DIH´2000 den Versuch-sergebnissen fur beide Belastungsfalle am nachsten. Bei der wechselnden Be-lastung wird das Dauerfestigkeitsniveau geringfugig unterschatzt, wahrend esbei der schwellenden Belastung identisch mit den Versuchsergebnissen ist. Diegroßte Steigung im Zeitfestigkeitsbereich liefert fur beide Belastungsfalle dieDIH´2000. Im Vergleich zu den Versuchsergebnissen sind die berechneten Stei-gungen im Bereich von 103 bis 105 Lastwechseln immer noch etwas zu klein.

Neben der Kerbformzahl αk stimmt die fur diesen Stab mit der DIH´95 ab-geschatzte Fließbehinderung ϕ = 2, 08 sehr gut mit der aus der FEM-Berech-nung ermittelten Große ϕ = 2, 03 uberein. Die Mikrostutzziffern (DIH´95:n2

H,1a = 1, 096; DIH´2000: nV,1a = 1, 074 und nV,2a = 0, 965) liegen trotz desgeringen Kerbradius nahe bei Eins, da die Ersatzstrukturlange ρ∗ = 0, 026 mmauf Grund der hohen Zug-Druck-Wechselfestigkeit σW = 530 N/mm2 undSchwellfestigkeit σschw = 922N/mm2 sehr klein ist. Die steilere Wohlerlinie derDIH´2000 ist demnach auf die mehrachsige Berechnung und das unterschiedli-che Makrostutzwirkungskonzept zuruckzufuhren. Fur die Dauerfestigkeit sinddie beiden Makrostutzziffern ungefahr gleich groß, wahrend im Zeitfestigkeits-bereich die Makrostutzziffer der DIH´2000 bei gleicher Lastwechselzahl großerist. Fur niedrige Nennspannungsausschlage liegen die Ergebnisse der DIH´2000trotzdem uber denen der DIH´95, weil das Quadrat des Wechselfestigkeits-Verhaltnisses kleiner zwei ist, so daß die resultierende Vergleichsspannungs-Amplitude der DIH´2000 großer ist als die der DIH´95. Erst fur hohere Nenn-spannungsausschlage und damit fur niedrigere Lastwechselzahlen kehrt sich dasVerhaltnis um, da k2

aN entsprechend Gl.(3.20, 3.21) gegen drei strebt.

Aus den Versuchsergebnissen geht ebenfalls hervor, daß die Steigung im Zeitfes-tigkeitsbereich nicht konstant ist. Beginnend bei der Ecklastspielzahl wird dieWohlerlinie zunachst steiler und flacht dann bei ungefahr 103 Lastwechseln wie-der ab. Dieser S-Schlag ist fur die wechselnde Belastung besonders ausgepragtund wird von der DIH´2000 auch so berechnet. Im Bereich hoher Lastwechsel-zahlen wird dieses Verhalten durch den oben beschriebenen uberproportionalenAnstieg der Makrostutzwirkung hervorgerufen. Im Kurzzeitfestigkeitsbereich


hingegen wird der Anstieg der Makrostutzwirkung wieder kleiner, so daß dieWohlerlinie flacher verlauft.

Die uberlagerte Mittelspannung hat kaum Einfluß auf das Dauerfestigkeits-niveau, was von allen drei Hypothesen bestatigt wird. Im Zeitfestigkeitsbe-reich fuhrt diese Uberlagerung aber zu einer gegenuber der wechselnden Belas-tung flacheren Wohlerlinie, weil die Mittelspannungsempfindlichkeit fur kleine-re Lastwechselzahlen steigt und damit auch nur kleinere Amplituden ertragenwerden. Dieser Einfluß wird von der DIH´2000 und der DIH´95 berucksichtigt,wahrend die FKM-Richtlinie die beiden Belastungsfalle nicht unterscheidet.

Baier [1] fuhrte Versuche an einem Rundstab mit Umdrehungskerbe aus34CrMo4 unter wechselnder und schwellender Zug-Druckbelastung durch. Die-sen Belastungen uberlagerte er konstante Zug- und Torsionsmittelspannungen.Der Kerbradius betragt ρ = 0, 5 mm und vom Autor werden die Kerbformzah-len mit αkz = 3, 4 fur Zug und αkt = 1, 9 fur Torsion angegeben. Zum Vergleichergibt sich aus der FEM-Berechnung: αkz = 3, 76 und αkt = 2, 04. Die Gute derBerechnung betragt fur die Zugbelastung GZug = 0, 06%, wahrend fur die Tor-sionsbelastung die Radialspannung im Kerbgrund mit σrr = 2 · 10−5 N/mm2

vernachlassigt werden kann, da die erste Hauptspannung fur diesen Belastungs-fall mit σ1 = 204 N/mm2 wesentlich großer ist.

Beispielhaft sind die Versuchsergebnisse und die berechneten Wohlerlinien fureine wechselnde Zug-Druckbelastung mit uberlagerter konstanter Zugmittel-spannung in Abbildung 4.13 und mit uberlagerter konstanter Torsionsmittel-spannung in Abbildung 4.14 dargestellt. Die Ergebnisse fur eine schwellendeZugbeanspruchung mit wiederum uberlagerter konstanter Torsionsmittelspan-nung zeigt Abbildung 4.15.

Im Gegensatz zu den bisherigen Ausfuhrungen ist das Spannungsverhaltnis Rfur die Versuchsergebnisse von Baier nicht konstant, da die uberlagerte Mittel-last fur alle Nennspannungsausschlage konstant ist. Die Mikrostutzziffern unddie Fließbehinderung der Oberspannung bei uberlagerter Torsionsmittelspan-nung mussen daher einzeln fur verschiedene Lasthorizonte berechnet werden.Daruber hinaus ist auch das untere Niveau der modifizierten Neuber -Hyperbelnicht entsprechend der Amplitudenerhohung skalierbar, so daß zur Vorhersageder gesamten Wohlerlinie ein großerer numerischer Aufwand notwendig ist.

Die nach Hahn abgeschatzte maßgebliche Fließbehinderung der Amplitude istmit ϕa = 1, 99 deutlich großer als der Wert aus der FEM-Berechnung ϕa =1, 88. Auch die Mikrostutzziffer der ersten Invariante nach Hahn n2

H,1a = 1, 19ist großer als der Wert des Volumenkonzepts nV,1a = 1, 07, was im Zusammen-hang mit dem Wechselfestigkeits-Verhaltnis ka = 1, 488 das niedrigere Dau-erfestigkeitsniveau der DIH´2000 gegenuber der DIH´95 fur alle berechnetenWohlerlinien erklart.


102103

104105

106107

801001002004006008001000

1000

Geke

rbter R

undstab

aus 34

CrMo4

Rm =

903 N

/mm2 , R

p0,2 =

706 N/

mm2

r = 0

,5 mm

Ve

rsuchs

ergebn

isse be

i konsta

nter

Mitte

llast s x

xm = 29

4 N/mm

2

DI

H´2000

DI

H´95

FK

M-Ric

htlinie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.13: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Baier [1] fur einen gekerbten Rundstab un-ter Zugwechselbelastung mit uberlagerter konstanter Zug-mittellast

Das Dauerfestigkeitsniveau der berechneten Wohlerlinen in Abbildung 4.13fur den wechselnd mit uberlagerter konstanter Zugmittellast beanspruchten


Stab wird von allen drei Hypothesen leicht uberschatzt. Da die Versuchsergeb-nisse keinen eindeutigen Ruckschluß auf die Ecklastspielzahl zulassen, wird beider Berechnung mit den drei Hypothesen von einer geschatzten Ecklastspiel-zahl N = 1 · 106 ausgegangen. Im Zeitfestigkeitsbereich ist wiederum der obenbeschriebene S-Schlag zu erkennen, den die DIH´2000 am besten vorhersagt.Die konstante Steigung von k = 5, die von der FKM-Richtlinie angenommenwird, kann das Zeitfestigkeitsverhalten nur im Mittel erfassen. Im Bereich hoherLastwechselzahlen wird die Festigkeit uberschatzt und fur niedrige Lastwech-selzahlen unterschatzt. Bedingt durch die obere Grenze werden die Versuchser-gebnisse fur N < 103 deutlich zu konservativ bewertet. Abgesehen von der zugroßen Dauerfestigkeit zeigt die DIH´95 im Zeitfestigkeitsbereich einen quali-tativ ahnlichen Verlauf wie die DIH´2000.

Bei wechselnder Zug-Druckbelastung mit uberlagerter konstanter Torsionsmit-tellast, was dem in der Praxis haufig auftretenden Fall einer mit einem Drehmo-ment und Umlaufbiegung belasteten Welle nahekommt, liefert die DIH´95 diebesten Ergebnisse (Abbildung 4.14). Die mit der FKM-Richtlinie vorherge-sagte Steigung der Wohlerlinie stimmt fur diesen Fall gut mit den Versuchenuberein. Wiederum aber wird die Festigkeit unterhalb von 103 Lastwechselndeutlich unterschatzt. Die DIH´2000 hingegen liegt mit ihrer Vorhersage bis inden Kurzzeitfestigkeitsbereich auf der sicheren Seite.

Die Versuchsergebnisse und die berechneten Wohlerlinien aller drei Hypothe-sen in Abbildung 4.14 zeigen im Vergleich zu Abbildung 4.13, daß Torsi-onsmittelspannungen einen geringeren Einfluß auf den ertragbaren Nennspan-nungsausschlag haben als Normalmittelspannungen. Erklaren laßt sich diesesVerhalten einerseits mit der geringen Kerbwirkung bei Torsion und anderer-seits durch die großere Makrostutzwirkung, die durch die belastungsbedingteungleichmaßige Spannungsverteilung hervorgerufen wird.

Bedingt durch die konstante Torsionsmittelspannung sind die Großen n2o, ϕo

und n2o,makro bei der Berechnung mit der DIH´2000 nicht konstant. In Ta-belle 4.1 sind die Stutzziffer n2o,makro der zweiten Oberspannungsinvarian-te I2o (t0), das untere Niveau der modifizierten Neuber -Hyperbel σo,mod.Mises

und die Fließbehinderung der Oberspannung ϕo fur verschiedene Kerbspan-nungsamplituden σxxa zusammengefaßt. Ihnen sind zum Vergleich die Werteder DIH´95 gegenubergestellt und fur die Fließbehinderung zusatzlich der mitGl.(3.103) und Gl.(3.106) abgeschatzte Wert.

Bei der Stutzziffer n2o,makro fallt auf, daß sie im Bereich der Kerbgrundspan-nung σxxa = 669 N/mm2 zunachst steil ansteigen, dann große negative Werteberechnet werden, ein erneuter Vorzeichenwechsel stattfindet und der Wert sichschließlich asymptotisch einer oberen Grenze nahert. Diese Verhalten laßt sichan Hand der Definitionsgleichung von n2o,makro und der Verteilung der zweitenInvariante I2o (t0) erklaren. Ausgehend von der Dauerfestigkeit ist das Produkt


102103

104105

106107

1001002004006008001000

1000

Geke

rbter R

undstab

aus 34

CrMo4

Rm =

903 N

/mm2 , R

p0,2 =

706 N/

mm2

r = 0

,5 mm

Ve

rsuchs

ergebn

isse be

i konsta

nter

Tors

ionsmi

ttellast

s xym =

216 N/

mm2

DI

H´2000

DI

H´95

FK

M-Ric

htlinie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.14: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Baier [1] fur einen gekerbten Rundstab un-ter Zugwechselbelastung mit uberlagerter konstanter Tor-sionsmittellast

der Langs- und der Umfangsspannung σxxa · σyya zunachst kleiner als das Qua-drat der Torsionsmittelspannung σ2

xym, so daß die zweite Invariante im Aus-


Tabelle 4.1: Werte des unteren Niveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel σo,mod.Mises und der Fließbehinderung ϕo fur ver-schiedene Kerbspannungsamplituden σxxa bei uberlagerterkonstanter Torsionsmittelspannung σxym

σxxaa n2o,makro

b σo,mod.Mises σo,Mises [21] ϕo ϕo [21] ϕoc

436 11,88 246 265 1 1,35 1,11

496 13,55 255 274 1,01 1,4 1,12

564 17,91 266 285 1,03 1,47 1,13

616 29,96 274 294 1,05 1,51 1,14

662 443,69 282 302 1,06 1,54 1,14

669 -212,06 284 304 1,07 1,55 1,15

752 -5,65 300 321 1,1 1,61 1,16

940 2,78 338 360 1,18 1,7 1,19

1504 5,27 470 500 1,39 1,85 1,31

2631 5,85 764 809 1,64 1,94 1,51

3571 5,96 1018 1077 1,73 1,97 1,63

aDie Werte in der Tabelle beginnen beim Dauerfestigkeitsniveau: σxxa = 436 N/mm2,was einem Nennspannungsausschlag von 116 N/mm2 entspricht.

bStutzziffer der zweiten Oberspannungsinvariante I2o (t0)cMit den Gleichungen Gl.(3.103) und Gl.(3.106) abgeschatzter Wert

wertepunkt ein negatives Vorzeichen hat. Erst bei Steigerung der Amplitudewechselt die zweite Invariante ihr Vorzeichen, was den zweiten Vorzeichenwech-sel bei n2o,makro erklart. Fur die Berechnung von n2o,makro wird I2o (t0) aufden uber das Volumen gemittelten Wert bezogen. Dieses Integral liefert imBereich der Dauerfestigkeit ebenfalls einen negativen Wert, so daß n2o,makro

insgesamt positiv ist. Da die zweite Invariante aber ihr Vorzeichen auch inner-halb des Volumens wechselt, liefert die Integration fur eine bestimmte Span-nungskombination den Wert Null, was die theoretisch unendliche Sprungstellefur n2o,makro erklart. Der Einfluß dieser Unstetigkeit auf das untere Niveauder modifizierten Neuber -Hyperbel ist sehr gering, weil das Quadrat der erstenInvariante in diesem Bereich wesentlich großer ist als die zweite Invariante. Fursehr große Amplituden dominiert die Zug-Druckbelastung, so daß n2o,makro

schließlich dem Wert von n2a,makro = 6, 07 zustrebt.

Im Vergleich mit Hahn wird von der DIH´2000 ein etwas kleineres unteresNiveau vorhergesagt. Die Differenz ist nahezu konstant. Erst bei kleinen Last-wechselzahlen steigt sie an.

Ein deutlicher Unterschied zwischen den beiden Hypothesen besteht hinge-gen fur die Fließbehinderung ϕo. Die von Hahn mit der Naherungsbezie-hung Gl.(3.83) angenommenen hohen Werte werden durch die Ergebnisse der


FEM-Berechnung nicht bestatigt. Eine deutlich bessere Ubereinstimmung furdie aus Zug und Torsion zusammengesetzte Belastung wird durch die neuenAbschatzformeln erreicht. Dabei stimmt der mit Gl.(3.103) abgeschatzte Wertfur die reine Zugbeanspruchung ϕZug = 1, 90 sehr gut mit dem FEM-ErgebnisϕZug,FEM = 1, 88 uberein.

Neben der wechselnden Zug-Druckbelastung untersuchte Baier auch das Zeit-festigkeitsverhalten bei schwellender Zugbelastung mit uberlagerter konstanterTorsionsmittellast (s. Abbildung 4.15). Die FKM-Richtlinie uberschatzt dieFestigkeit fur hohe Lastwechselzahlen, wahrend die Vorhersage fur niedrige Nim Streubereich der Versuchsergebnisse liegt. Von der DIH´95 wird das Dau-erfestigkeitsniveau uberschatzt und die Steigung der Wohlerlinie wie von derFKM-Richtlinie zu flach geschatzt. Auch von der DIH´2000 wird noch eine zuflache Steigung im Zeitfestigkeitsbereich vorhergesagt. Sie ist im Vergleich zurDIH´95 aber dichter an den Versuchsergebnissen.

Das bei der wechselnden Zug-Druckbelastung beschriebene Phanomen der un-endlichen Sprungstelle bei der Berechnung von n2o,makro tritt fur die schwel-lende Belastung bei der Berechnung von n2o auf. In Abbildung 4.16 istder Verlauf der Mikrostutzziffer n2o in Abhangigkeit von der Kerbspannungσxxa dargestellt. Im Dauerfestigkeitsbereich dominiert die Torsionsmittelspan-nung. Die Mikrostutzziffer bei ”reiner“ Torsion betragt nV,2,Torsion = 1, 08.Da die Spannungskombination bei Dauerfestigkeit fast der an der Sprungstel-le entspricht, ist der Startwert von nV,2o = 2, 77 bereits deutlich großer. Furgroße Amplituden uberwiegt dagegen der Einfluß der Zugschwellbelastung, sodaß sich die Mikrostutzziffer der uberlagerten Belastung der der ZugbelastungnV,2,Zug = 0, 96 annahert.


102103

104105

106107

80100100200400600800

Geke

rbter R

undstab

aus 34

CrMo4

Rm =

903 N

/mm2 , R

p0,2 =

706 N/

mm2

r = 0

,5 mm

Ve

rsuchs

ergebn

isse be

i konsta

nter

Tors

ionsmi

ttellast

s xym =

226 N

/mm2

DI

H´2000

DI

H´95

FK

M-Ric

htlinie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.15: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Baier [1] fur einen gekerbten Rundstab un-ter schwellender Zugbelastung mit uberlagerter konstan-ter Torsionsmittellast


K e r b s p a n n u n g s x x a

Mikro

stützz

iffer n

2o

Abbildung 4.16: Berechnete Mikrostutzziffern n2o bei unterschiedlichenKerbspannungen σxxa fur die Versuchsergebnisse von Bai-er [1] unter schwellender Zugbelastung mit uberlagerterkonstanter Torsionsmittellast

Potter und Zenner [50] fuhrten Versuche an einem Rundstab mit Umdrehungs-kerbe (ρ = 2 mm) aus 42CrMo4 V durch. U.a. wahlten sie als einstufige Belas-tung Biegung und Torsion, fur die die Kerbformzahlen αkb = 2, 0 und αkt = 1, 6angegeben werden. Die FEM-Berechnungen, deren Gute GBiegung = 1, 06%und GTorsion = 0, 91% betragen, ergeben fur die Formzahlen die Werte αkb =2, 02 und αkt = 1, 49.

In Abbildung 4.17 sind die Versuchsergebnisse und die berechneten Wohlerli-nien sowohl fur die Biege- als auch die Torsionsbelastung dargestellt. Von allendrei Hypothesen wird die Dauerfestigkeit bei Biegung deutlich unterschatzt,wahrend das berechnete Zeitfestigkeitsverhalten innerhalb der Streuung derVersuchsergebnisse liegt. Die Steigung der Anrißwohlerlinie wird von Potterund Zenner mit k = 5, 7 angegeben, wobei sie von einer EcklastspielzahlND ≈ 2 · 105 ausgehen. Zum Vergleich ergeben die Berechnungen mit dendrei Hypothesen: kFKM-Richtlinie = 5, 0, kDIH´95 = 4, 95 und kDIH´2000 = 5, 05.

Die von der DIH´95 und der DIH´2000 vorhergesagten Steigungen der Wohler-linien sind demnach fast gleich, obwohl die Werte der Fließbehinderung bei Bie-gung ϕa,DIH´95 = 1, 68 und ϕa,DIH´2000 = 1, 36 stark voneinander abweichen.Das bedeutet, daß die Wohlerlinie der DIH´95 bei Verwendung des ”wahren“


103104

105106

1071001002004006008001000

1000

Geke

rbter R

undstab

aus 42

CrMo4

V R m

= 920

N/mm2 ,

R p0,2 = 7

43 N/m

m2

R xx =

-1, R x

y = -1

Ve

rsuchs

ergebn

isse Bi

egebel

astung

Ve

rsuchs

ergebn

isse To

rsionsb

elastun

g

DIH´2

000

DIH´9

5

FKM-

Richtli

nie


Lastwe

chselza

hl N

B i eg u n

g

T or s i o

n

B i eg u n

g B i e

g u ng

T or s i o

n T o

r s i on

Abbildung 4.17: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Potter und Zenner [50] fur einen gekerb-ten Rundstab unter wechselnder Biege- und Torsionsbe-lastung

ϕa-Wertes insgesamt flacher verlauft und damit die Festigkeit unterschatztwird. Die Schatzgleichung von Hahn Gl.(2.65) liefert haufig zu große Werte,


weil die Tiefe der Kerbe nicht berucksichtigt wird. Angepaßt wurde die Glei-chung (2.65) an die Versuchsergebnisse von Dietmann [7], dessen Stabe sehrtief gekerbt sind (D = 16 mm und d = 8 mm). Fur flachere Kerben, wie bei-spielsweise die Stabe von Potter und Zenner (D = 25 mm und d = 22 mm),wird die Querkontraktion nicht so stark behindert, so daß die Fließbehinderungkleiner ist.

Ein anderes Verhalten ergibt sich fur die Torsionsbelastung. Hier wird dieFestigkeit von der DIH´95 deutlich uber- und von der FKM-Richtlinie un-terschatzt. Die beste Ubereinstimmung mit den Versuchsergebnisse liefert dieDIH‘2000.

Das Festigkeitsverhalten eines gekerbten Bauteils unter uberlagerter wechseln-der Biege- und Torsionsbeanspruchung mit verschiedenen Phasenverschiebun-gen wurde von Simburger [57] untersucht. Er fuhrte seine Versuche an einemabgesetzten Rundstab (D = 39 mm, d = 25 mm und ρ = 5 mm) aus Ck45durch. In [57] werden die Kerbformzahlen, die experimentell ermittelt wurden,mit αkb = 1, 49 und αkt = 1, 24 angegeben. Zum Vergleich liefert die FEM-Berechnung fur Biegung dieselbe und fur Torsion mit αkt = 1, 22 eine etwaskleinere Formzahl. Die Gute der Berechnung betragt fur Biegung G = 0, 16%,wahrend das Ergebnis fur Torsion praktisch keine Storgroßen enthalt.

Aus dem gemessenen Spannungsverlauf geht hervor, daß die Spannungsspitzenbei Biegung und Torsion am gleichen Ort auftreten, was auch fur die FEM-Berechnung zutrifft. Bezuglich des Ortes unterscheidet sich die Angabe von[57] und der FEM-Berechnung. Wahrend Simburger davon ausgeht, daß diehochstbeanspruchte Stelle der Kerbgrund (Ubergang in den Radius) ist, wirdmit der FEM-Berechnung ein Punkt ermittelt, der sich in der Nahe des Kerb-grundes im Radius befindet. Die Berechnungen mit der DIH´2000 setzen aufden Spannungszustand im hochstbeanspruchten Punkt der FEM-Berechnungauf.

In Abbildung 4.18 sind die Versuchsergebnisse ohne Phasenverschiebungund die dafur berechneten Wohlerlinien dargestellt. Das Dauerfestigkeits-niveau wird von allen Hypothesen unterschatzt. Da der Kerbradius verhalt-nismaßig groß ist, ist nur eine sehr kleine Mikrostutzwirkung zu erwarten. Furdie DIH´95 werden mit dem Gradientenverfahren Mikrostutzziffern n2

H,1a =1, 02 und n2

H,2a = 1, 01 berechnet. Dagegen wird bei der Berechnung mitder DIH´2000 keine Mikrostutzwirkung berucksichtigt (nV,1a = nV,2a = 1),da das Netz der FEM-Berechnung zu grob ist. Im Zeitfestigkeitsbereich wirddie Steigung der Wohlerlinie von der DIH´2000 gut vorhergesagt, wahrendsowohl die DIH´95 als auch die FKM-Richtlinie sie uberschatzen. Bei derDIH´95 kann dies mit dem wiederum zu großen Wert der Fließbehinderungϕa,DIH´95 = 1, 26 gegenuber ϕa,DIH´2000 = 1, 03 erklart werden. Bei Verwen-


104105

106107

200300400500600700800

Abge

setzter

Rundsta

b aus C

k 45 (S

AE 10

45) R

m = 85

0 N/mm

2 , Rp0,

2 = 810

N/mm

2

Rxx =

-1 , R

xy = -1

, sxy =

0,58 s

xx , j xy

= 0°

Ve

rsuchs

ergebn

isse

DIH´2

000

DIH´9

5

FKM-

Richtli

nie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.18: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Simburger [57] fur einen abgesetzten Rund-stab unter uberlagerter Biege- und Torsionsbelastung bei0 Phasenverschiebung

dung der neuen Abschatzgleichungen betragt der Wert ϕa = 1, 08 und ent-spricht damit fast dem der FEM-Berechnung.


Die Ergebnisse fur die Phasenverschiebung δxy = 90 sind in Abbildung4.19 dargestellt. Wie fur die Versuchsergebnisse von Sonsino [60] in Ab-

104105

106107

100100100200300400500

Abge

setzter

Rundsta

b aus C

k 45 (S

AE 10

45) R

m = 85

0 N/mm

2 , Rp0,

2 = 810

N/mm

2

Rxx =

-1 , R

xy = -1

, sxy =

0,58 s

xx , j xy

= 90°

Ve

rsuchs

ergebn

isse

DIH´2

000

DIH´9

5

FKM-

Richtli

nie


Lastwe

chselza

hl N

Abbildung 4.19: Vergleich von berechneten Wohlerlinien mit Versuchser-gebnissen von Simburger [57] fur einen abgesetzten Rund-stab unter uberlagerter Biege- und Torsionsbelastung bei90 Phasenverschiebung


bildung 4.9 wird das Dauerfestigkeitsniveau von der FKM-Richtlinie deutlichunterschatzt. Da die vorhergesagte Steigung großer ist als die der Versuchser-gebnisse, nahert sich die Wohlerlinie im Zeitfestigkeitsbereich den Versuchen.Dagegen wird die Dauerfestigkeit durch die DIH´95 und die DIH´2000 guterfaßt. Auch das vorhergesagte Zeitfestigkeitsverhalten stimmt mit den Ver-suchsergebnissen gut uberein. Der Zeitpunkt, zu dem fur beide Hypothesensowohl die Mikrostutzziffern als auch die Makrostutzziffer berechnet werden,ist ωt = π/2. Das ist gleichbedeutend mit einer ”reinen“ Biegebelastung, dadie Torsionsbelastung fur diesen Zeitpunkt ihren Nulldurchgang hat.Auch fur diesen Belastungsfall wird die Fließbehinderung von der DIH´95uberschatzt (ϕa,DIH´95 = 1, 42). Der Wert aus den Ergebnissen der FEM-Berechnung ϕa,DIH´2000 = 1, 22 wie auch der abgeschatzte Wert ϕa = 1, 19sind kleiner.

In den beiden Abbildungen 4.20 und 4.21 sind die berechneten Wohlerlinienbeider Belastungsfalle zusammengefaßt.

1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 72 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

8 0 09 0 0

1 0 0 01 0 0 0

A b g e s e t z t e r R u n d s t a b a u s C k 4 5 ( S A E 1 0 4 5 ) R m = 8 5 0 N / m m 2 , R p 0 , 2 = 8 1 0 N / m m 2

R x x = - 1 , R x y = - 1 , s x y = 0 , 5 8 s x x

V e r s u c h s e r g e b n i s s e j x y = 0 ° V e r s u c h s e r g e b n i s s e j x y = 9 0 ° D I H ´ 2 0 0 0 j x y = 0 ° D I H ´ 2 0 0 0 j x y = 9 0 °

Nenns

pannun

gsauss

chlag

[N/mm

2 ]

L a s t w e c h s e l z a h l NAbbildung 4.20: Vergleich der mit der DIH´2000 berechneten Wohlerlinien

bei 0 und 90 Phasenverschiebung

Wahrend die phasenverschobenen Versuchsergebnisse bei Dauerfestigkeit ei-


1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 1 0 6 1 0 72 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 08 0 09 0 01 0 0 01 0 0 0

A b g e s e t z t e r R u n d s t a b a u s C k 4 5 ( S A E 1 0 4 5 ) R m = 8 5 0 N / m m 2 , R p 0 , 2 = 8 1 0 N / m m 2

R x x = - 1 , R x y = - 1 , s x y = 0 , 5 8 s x x

V e r s u c h s e r g e b n i s s e j x y = 0 ° V e r s u c h s e r g e b n i s s e j x y = 9 0 ° D I H ´ 9 5 j x y = 0 ° D I H ´ 9 5 j x y = 9 0 °

Nenns

pannun

gsauss

chlag

[N/mm

2 ]

L a s t w e c h s e l z a h l NAbbildung 4.21: Vergleich der mit der DIH´95 berechneten Wohlerlinien

bei 0 und 90 Phasenverschiebung

ne geringfugige Festigkeitsminderung ergeben, wird von der DIH´95 und derDIH´2000 eine etwas großere Festigkeit vorhergesagt, wobei die Nennspan-nungsausschlage der DIH´2000 SD,δxy=0 = 260 N/mm2 und SD,δxy=90 =262 N/mm2 sich kaum unterscheiden. Im Zeitfestigkeitsbereich wird dann diegeringere Festigkeit der phasenverschobenen Belastungskombination auch vor-hergesagt.

Interessant ist die unterschiedliche Vorhersage im Kurzzeitfestigkeitsbereich.Wahrend die beiden Wohlerlinien der DIH´2000 praktisch parallel zueinanderverlaufen, schneiden sie sich nach der DIH´95 erneut bei ca. N = 102 Lastwech-seln. Die dabei von der DIH´95 vorhergesagte Festigkeit ist deutlich großer alsdie der DIH´2000.

4.2.2 Exemplarische Nachrechnung von Versuchsergeb-nissen an gekerbten Bauteilen

Als erstes Beispiel wird ein weiterer Versuch von Liebrich [34] nachgerech-net. Zusatzlich zu der fur die Abbildungen 4.11 und 4.12 verwendeten


Kerbgeometrie fuhrte er Versuche an einem umlaufgekerbten Rundstab mitρ = 0, 12 mm und Durchmessern des Stabes von D = 12 mm und d = 6 mmdurch. Fur eine schwellende Zug-Druckbelastung mit der Nennspannungsampli-tude Sa = 197 N/mm2 ergab sich eine ertragbare Lastwechselzahl N = 45000.

Als Werkstoff wurde ebenfalls der 34CrNiMo6V mit einer Harte 445HB30 ver-wendet. Die Zugfestigkeit, die Dehngrenze und der Elastizitatsmodul werdenmit

Rm = 1118 N/mm2, Rp0,2 = 1001 N/mm2 und E = 211000 N/mm2

angegeben. Aus den Versuchsergebnissen des glatten Stabes konnen die Zug-Druck-Wechselfestigkeit, die Schwellfestigkeit, die Steigung der Wohlerlinie unddie Ecklastspielzahl bestimmt werden:

σW = 530 N/mm2, σschw = 922 N/mm2, k = 16 und ND = 1 · 106.Die Torsions-Wechselfestigkeit wird mit Gl.(3.95) geschatzt und die Mikro- undMakrostutzwirkung herausgerechnet, so daß sich ein Wert τW = 419 N/mm2

ergibt. In der weiteren Berechnung werden daruber hinaus die Werte der zy-klischen Dehngrenze R

′

p0,2, des zyklischen Verfestungsexponentens n′

und derdauerfest ertragbaren Spannungsintensitat benotigt. Sie werden mit den Glei-chungen Gl.(3.100), Gl.(3.101) und Gl.(3.102) abgeschatzt und betragen:

R′

p0,2 = 672 N/mm2, 1/n′= 8, 595 und ∆Kth0 = 183, 5 N/mm3/2.

Mit Gl.(2.54) kann die charakteristische Werkstoffstrukturlange bestimmt wer-den: ρ∗ = 0, 025 mm.

Bei der Netzgenerierung des FEM-Modells werden zum einen Bauteilsymme-trien ausgenutzt und zum anderen spezielle Elemente fur die Berechnung desrotationssymmetrischen Spannungszustands eingesetzt. Mit einem selbst er-stellten Ausleseprogramm werden nach der Berechnung gezielt nur die Datenim Kerbbereich ermittelt, um die Datenmenge insgesamt fur die weitere Be-wertung zu reduzieren.

Die FEM-Berechnung liefert bei einer Nennspannungsamplitude Sa = 197N/mm2 bezogen auf den engsten Querschnitt die Kerbspannungen:

σxxa = σxxm = 1055 N/mm2

σyya = σyym = 309 N/mm2

Daraus ergibt sich eine Kerbformzahl αkz = 5, 35. Die Radialspannung an derOberflache, die theoretisch Null sein muß, betragt σrr = 1, 37 ·10−3, so daß dieBerechnung als hinreichend genau angesehen werden kann. Aus den Kerbspan-nungen ergeben sich die in der weiteren Berechnung benotigten Invarianten:

I1a = 1364 N/mm2

I2a = 325995(N/mm2

)2


I1o = 2728 N/mm2

I2o = 1303980(N/mm2

)2Der Zeitpunkt, zu dem sowohl die Mikrostutzziffern als auch die invarianten-bezogenen Stutzziffern des unteren Niveaus der modifizierten Neuber -Hyperbelbestimmt werden, kann mit den Gleichungen Gl.(3.49) bzw. Gl.(3.76) bestimmtwerden und betragt ωt0 = π/2. Fur die raumliche Auswertung werden imbetrachteten Volumen aus der in einer Schnittebene bekannten Spannungs-verteilung weitere Stutzstellen durch Rotation erzeugt. Mit den GleichungenGl.(3.61) und Gl.(3.62) werden die Mikrostutzziffern nV,1a und nV,2a fur denIntegrationsradius ρ∗ aus den FEM-Daten berechnet und gleichzeitig die Fließ-behinderung ϕa bestimmt:

nV,1a = 1, 162, nV,2a = 0, 964 und ϕa = 2, 03.Die Stutzziffern und die Fließbehinderung der Oberspannung entsprechen denWerten der Amplitude, da nur eine außere Last den Stab belastet. Die in-variantenbezogenen Stutzziffern des unteren Niveaus der modifizierten Neu-ber -Hyperbel werden ebenfalls mit Gl.(3.61) und Gl.(3.62) allerdings fur denIntegrationsradius rmax = 3 mm bestimmt:

n1a,makro = n1o,makro = 19, 312 und n2a,makro = n2o,makro = 14, 891.Zur Berechnung der Makrostutzziffern ma und mo werden die mikrogestutztemodifizierte von Mises-Vergleichsspannung σa,mod.Mises bzw. σo,mod.Mises unddie unteren Niveaus σa,mod.Mises bzw. σo,mod.Mises benotigt. Mit den entspre-chenden Invarianten ergeben sich nach Gl.(3.76) und Gl.(3.79) bzw. Gl.(3.80)folgende Werte:

σa,mod.Mises = 1030 N/mm2

σa,mod.Mises = 248 N/mm2

σo,mod.Mises = 2059 N/mm2

σo,mod.Mises = 495 N/mm2

Die modifizierte Neuber -Hyperbel schneidet die mit ϕa angehobene zyklischeBauteilkurve bei einer ortlichen Spannungsamplitude σa,ortl = 1013 N/mm2,womit sich eine fiktive Spannung σ∗a = 664 N/mm2 ergibt. Fur die Ober-spannung liefert der Neuber -Prozeß die Werte σo,ortl = 1549 N/mm2 undσ∗o = 805 N/mm2. Damit werden die Makrostutzziffern mit Gl.(3.77) undGl.(3.78) berechnet:

ma = 1, 55 und mo = 2, 56.

Im nachsten Schritt wird die Vergleichsmittelspannung ermittelt. Da derBeanspruchungszustand zweiachsig ist und der Zeitpunkt der Maxima derVergleichsoberspannung σo,NSH(t) und der Vergleichsspannungs-Amplitudeσa,NSH(t) mit ωt = π/2 bekannt ist, gilt:


σo,NSH =1mo

·

I1o√nV,1o

+

√I21o

nV,1o− 4 · I2o

nV,2o

(4.2)

= 690 N/mm2

σa,NSH =1ma

·

I1a√nV,1a

+

√I21a

nV,1a− 4 · I2a

nV,2a

(4.3)

= 569 N/mm2

Daraus ergibt sich mit Gl.(3.84) die Vergleichsmittelspannung σvm =121 N/mm2.

Die Berechnung der ertragbaren Lastwechselzahl erfolgt entsprechend Kapitel3.5 durch einen iterativen Prozeß. Hierfur werden noch der ParabelparameterQ des Dauerfestigkeitsschaubilds nach Haigh, der zugehorige Wohlerlinenexpo-nent kQ und der Wohlerlinienexponent kk des Wechselfestigkeits-Verhaltnissesbenotigt. Nach Gl.(2.6) betragt Q = 0, 247, nach Gl.(2.26) kQ = 10, 36 undnach Gl.(3.22) kk = 46, 09.

Als Startwert der Iteration wird fur die Lastwechselzahl N = ND = 106 vor-gegeben. In der nachfolgenden Tabelle 4.2 sind die von der Lastwechselzahlabhangigen Großen kaN nach Gl.(3.20), σva nach Gl.(3.19) in N/mm2, QN

nach Gl.(2.24), R nach Gl.(2.1), σWN nach Gl.(3.92) in N/mm2 und N nachGl.(3.93) zusammengefaßt.

Tabelle 4.2: Iterative Bestimmung der ertragbaren Lastwechselzahl N

Schritt kaN σva QN R σWN N

1 1,264 664 0,247 -0,692 681 177482 1,380 631 0,364 -0,678 658 308013 1,363 636 0,345 -0,680 661 284554 1,366 635 0,348 -0,680 661 287795 1,365 635 0,347 -0,680 661 287336 1,366 635 0,347 -0,680 661 287397 1,366 635 0,347 -0,680 661 28738

Da die Anderung der Lastwechselzahl zwischen dem sechsten und siebtenSchritt kleiner eins ist (|N −Nalt| ≤ 1), wird die Schleife verlassen. Die berech-nete Lastwechselzahl N = 28738 ist kleiner als das Versuchsergebnis N = 45000und liegt somit auf der sicheren Seite.


Als zweites Beispiel wird ein Versuch von Baier [1] fur eine Zugschwellbelas-tung mit uberlagerter Torsionsmittelspannung nachgerechnet (s.a. Abbildung4.15). Fur eine Nennspannungsamplitude Sa = 199 N/mm2 und eine Tor-sionsnennmittelspannung Tm = 226N/mm2 ermittelte Baier eine ertragbareLastwechselzahl von N = 29400.

Aus den von Baier in [1] angegebenen Werten fur die Zugfestigkeit Rm =903 N/mm2 und die Dehngrenze Rp0,2 = 706 N/mm2 wird zunachst dieWechselfestigkeit des gekerbten Stabes mit Gl.(3.94) abgeschatzt: σW =418 N/mm2. Hieraus werden die Schwellfestigkeit mit Gl.(3.99) σschw =669 N/mm2, die zyklische Dehngrenze mit Gl.(3.100) R

′

p0,2 = 542 N/mm2

und der zyklische Verfestigungsexponent mit Gl.(3.101) 1/n′

= 7, 868 ab-geschatzt. Die Torsions-Wechselfestigkeit wird wie im ersten Beispiel berechnet:τW = 281 N/mm2. Fur den Elastizitatsmodul wird E = 211000 N/mm2, furdie Steigung der Wohlerlinie k = 15 und fur die Ecklastspielzahl ND = 1 · 106

entsprechend Kapitel 3.6 angenommen. Mit der dauerfest ertragbaren Span-nungsintensitat ∆Kth0 = 183, 5 N/mm2 ergibt sich mit Gl.(2.54) die charak-teristische Werkstoffstrukturlange ρ∗ = 0, 048 mm.

Die FEM-Berechnung liefert folgende Kerbspannungen:

σxxa = σxxm = 751 N/mm2

σyya = σyym = 214 N/mm2

σxym = 460 N/mm2

Damit ergeben sich die Invarianten zu:

I1a = 965 N/mm2

I2a = 160714(N/mm2

)2I1o = 1930 N/mm2

I2o = 431256(N/mm2

)2Da die Torsionsbelastung nur statisch ist, gilt fur den Zeitpunkt der Berech-nung der Mikrostutzziffern, der invariantenbezogenen Stutzziffern des unterenNiveaus der modifizierten Neuber -Hyperbel, der Hauptoberspannung und derHauptspannungsamplitude ωt = π/2. Damit werden die Mikrostutzziffern undFließbehinderungen aus den FEM-Daten berechnet:

nV,1a = 1, 072, nV,2a = 0, 965 und ϕa = 1, 88nV,1o = 1, 072, nV,2o = 0, 917 und ϕo = 1, 39n1a,makro = 9, 100 und n2a,makro = 6, 074n1o,makro = 9, 100 und n2o,makro = 5, 178


Damit konnen die fur den Neuber -Prozeß benotigten Großen mit Gl.(3.76) undGl.(3.79) bzw. Gl.(3.80) berechnet werden:

σa,mod.Mises = 708 N/mm2, σa,mod.Mises = 210 N/mm2

σo,mod.Mises = 1561 N/mm2, σo,mod.Mises = 475 N/mm2

Fur die Amplitude ergibt sich eine ortliche Spannung σa,ortl = 697 N/mm2

und damit eine fiktive Spannung σ∗a = 499 N/mm2, wahrend der Prozeß furdie Oberspannung die Werte σo,ortl = 927 N/mm2 und σ∗o = 676 N/mm2

liefert. Mit Gl.(3.77) und Gl.(3.78) werden die Makrostutzziffern ma = 1, 42und mo = 2, 31 berechnet. Mit Gl.(4.2) und Gl.(4.3) werden die Vergleichs-oberspannung σo,NSH = 678 N/mm2 und die Vergleichsspannungs-Amplitudeσa,NSH = 487N/mm2 ermittelt. Schließlich kann die Vergleichsmittelspannungmit Gl.(3.84) berechnet werden: σvm = 191 N/mm2.

Fur den iterativen Prozeß der Bestimmung der ertragbaren Lastwechselzahlwerden wie im ersten Beispiel der Parameter Q = 0, 376 mit Gl.(2.6) unddie Wohlerlinienexponenten kQ = 14, 28 mit Gl.(2.26) und kk = 95, 34 mitGl.(3.22) berechnet.

Startwert der Iteration ist wiederum N = ND = 106 Lastwechsel. In Tabel-le 4.3 sind die von der Lastwechselzahl abhangigen Großen fur die einzelnenSchritte der Iteration aufgefuhrt.

Tabelle 4.3: Iterative Bestimmung der ertragbaren Lastwechselzahl N

Schritt kaN σva QN R σWN N

1 1,488 499 0,376 -0,448 544 190632 1,551 483 0,491 -0,435 547 176533 1,552 482 0,494 -0,434 547 175954 1,552 482 0,494 -0,434 547 175925 1,552 482 0,494 -0,434 547 17592

Erneut liegt das Ergebnis der Berechnung N = 17592 gegenuber dem VersuchN = 29400 auf der sicheren Seite. Die gesamte Wohlerlinie ist in Abbildung4.15 dargestellt.

5 Zusammenfassung und Ausblick

In der vorliegenden Arbeit wird ein neuartiges Konzept zur Lebensdauervor-hersage fur mehrachsig, periodisch schwingbeanspruchte metallische Bauteileauf der Grundlage linear elastischer FEM-Berechnungen vorgestellt. Fur dieseperiodisch schwingenden Beanspruchungen sind Lebensdauervorhersagen furden ganzen Lastwechselzahlbereich moglich, der sich von der Dauerfestigkeitbis zur Kurzzeitfestigkeit erstreckt.

Durch die Erweiterung der drei Invarianten der DIH vom zwei- zum dreiach-sigen Beanspruchungszustand ist es moglich, die Lebensdauer auch an nichtlastfreien Oberflachen genauer als bisher vorherzusagen. Außerdem bildet die-se Neuerung einen Einstieg in das große Gebiet der Lebensdauerbewertungrandschichtverfestigter Bauteile, deren Versagensort großtenteils unterhalb derOberflache liegt, wo i.a. ein dreiachsiger Spannungszustand herrscht.

Bei mehrachsigen, mit unterschiedlichen Frequenzen schwingenden Beanspru-chungen wird die maßgebliche Vergleichsspannungs-Amplitude aus der Ver-gleichsspannungs-Zeitfunktion berechnet. Die Amplituden unterschiedlicherFrequenzen werden unabhangig voneinander gebildet. Die Kopplung der ein-zelnen Frequenzen zur Gesamtanstrengung erfolgt uber die Phasenlagen. Zurinvarianten Bestimmung dieser Phasenlagen wird ein ganz neuer Losungswegvorgestellt.

Fur inhomogene Beanspruchungen –beispielsweise durch Kerben– ist es gelun-gen, die Lebensdauervorhersage allein auf der Basis der Kerbspannungen einerlinear elastischen FEM-Berechnung durchzufuhren. Das Konzept der Lebens-dauervorhersage ist unabhangig von Nennspannungen und Kerbgeometriefakto-ren –beispielsweise der Kerbformzahl αk– formuliert. Um diese Unabhangigkeitzu erreichen, wird ein neues Volumenkonzept vorgeschlagen. Mit Hilfe diesesKonzeptes wird bei der Berechnung der Mikrostutzziffern nicht nur eine Raum-richtung wie bei dem klassischen Gradientenkonzept berucksichtigt, sondern esfließen im Sinne der ”Nachbarschaft“ alle Spannungszustande innerhalb einesTeilvolumens in die Berechnung ein. Fur die Berechnung der Makrostutzwir-kungen wird das untere Niveau der modifizierten Neuber -Hyperbel ebenfallsdurch ein Volumenkonzept bestimmt. Dabei wird außerdem eine neue Vorge-hensweise zur Ermittlung der maßgeblichen Fließbehinderung aus den Ergeb-nissen der FEM-Berechnung vorgestellt, die unabhangig von der Belastungsartformuliert ist.

Im Gesamtkonzept wird die in der Konstruktion ubliche Vorgehensweise der Le-bensdauerberechnung auf der Basis von Spannungen und lastspielzahlabhangi-

126

127

gen Haigh-Schaubildern konsequent beibehalten. Das bedeutet, daß der ortlicheBeanspruchungszustand grundsatzlich auf eine rein wechselnde, aquivalente Be-lastung des glatten Stabes zuruckgerechnet wird.

Eine gute Ubereinstimmung von Rechnung und Versuch zeigt die Nachrech-nung der Dauerfestigkeitsergebnisse glatter Bauteile unter mehrfrequenter Be-lastung. Dies gilt auch fur die Nachrechnung der Wohlerlinien gekerbter Bautei-le. Hierbei fallt besonders auf, daß mit dem vorgestellten Konzept die bauteil-und belastungsabhangigen Steigungen der Wohlerlinien sehr gut vorhergesagtwerden.

Zur weiteren Absicherung der neuen nennspannungsunabhangigen Lebensdau-ervorhersage auf der Grundlage von

• Kerbspannungen linear elastischer FEM-Berechnungen,

• Stutzwirkungen (Mikro- und Makrostutzwirkung),

• Haigh-Schaubildern sowie

• Werkstoff-Wohlerlinien

sind weitere verfugbare Versuchsergebnisse in die Auswertung einzubeziehen.Dazu ist es erforderlich, die Kerbformzahlen und Mikrostutzziffern der jeweilsverwendeten Versuchsproben mit hochgenauen FEM-Berechnungen zu uber-prufen. Diese Berechnungen sollen die Grundlage fur neue vereinfachte Berech-nungen

• fur praxisrelevante Kerbgeometrien,

• einfache und zusammengesetzte Belastungen und

• haufig eingesetzte Werkstoffe

liefern und die Vorhersage der Lebensdauer langfristig auf eine qualitativ ver-besserte Stufe stellen.

Dies bedeutet fur den Bereich der Mikro- und Makrostutzwirkung, die gewahl-ten Integrationsradien durch Einbeziehen weiterer Versuchsergebnisse zu verifi-zieren bzw. anzupassen. Gleichzeitig sollten fur praxisrelevante Kerbgeometri-en und Belastungen geeignete Naherungsfunktionen der Spannungsverteilungenaufgestellt werden, um den Aufwand zur Erstellung und Berechnung sehr feinerFEM-Netze zu verringern. Eine Vereinfachung der Berechnung der Fließbehin-derung ϕ ist anzustreben.

Langfristig sollte ein optimierter Berechnungsgang zur Verkurzung der Berech-nungszeiten in handelsublichen FEM-Programmen eingebetet werden. Dabei

128 5 Zusammenfassung und Ausblick

ware es wunschenswert, daß als Ergebnisse nicht Spannungen sondern Lebens-dauern ermittelt werden.

Die bisher mit dem neuen Konzept erzielten Ergebnisse ermutigen dazu, mitdem erarbeiteten Wissen eine neue Betriebsfestigkeitsberechnung zu entwerfen.Außerdem sollte es auch bei der Bewertung randschichtverfestigter Bauteile ge-nutzt werden.

A Erganzungen zur

Drei-Invarianten-Hypothese

A.1 Invarianten

J1a = σ2xxa + 2 · σxxa · σyya · cos (δxx − δyy) +σ2

yya + 2 · σxxa · σzza · cos (δxx − δzz) + (A.1)

σ2zza + 2 · σyya · σzza · cos (δyy − δzz)

J2a = σxxa · σyya · cos (δxx − δyy) +σxxa · σzza · cos (δxx − δzz) +σyya · σzza · cos (δyy − δzz)− (A.2)σ2

xya − σ2xza − σ2

yza

J212a = σ2

xya ·

[σxxa · sin (δxx − δxy)− σyya · sin (δyy − δxy)]2 +

[σxxa · sin (δxx − δxy)− σzza · sin (δzz − δxy)]2 +

[σyya · sin (δyy − δxy)− σzza · sin (δzz − δxy)]2 −[σ2

xxa · sin2 (δxx − δxy) + σ2yya · sin2 (δyy − δxy) +

σ2zza · sin2 (δzz − δxy)

]+

σ2xza ·

[σxxa · sin (δxx − δxz)− σyya · sin (δyy − δxz)]

2 +

[σxxa · sin (δxx − δxz)− σzza · sin (δzz − δxz)]2 +

[σyya · sin (δyy − δxz)− σzza · sin (δzz − δxz)]2 −[

σ2xxa · sin2 (δxx − δxz) + σ2

yya · sin2 (δyy − δxz) +

σ2zza · sin2 (δzz − δxz)

]+ (A.3)

σ2yza ·

[σxxa · sin (δxx − δyz)− σyya · sin (δyy − δyz)]

2 +

[σxxa · sin (δxx − δyz)− σzza · sin (δzz − δyz)]2 +

[σyya · sin (δyy − δyz)− σzza · sin (δzz − δyz)]2 −[

σ2xxa · sin2 (δxx − δyz) + σ2

yya · sin2 (δyy − δyz) +

σ2zza · sin2 (δzz − δyz)

]+

129

130 A Erganzungen zur Drei-Invarianten-Hypothese

4 ·[σ2

xya · σ2xza · sin2 (δxy − δxz) +

σ2xya · σ2

yza · sin2 (δxy − δyz) +

σ2xza · σ2

yza · sin2 (δxz − δyz)]−[

σ2xxa · σyya · σzza · sin (δxx − δyy) · sin (δxx − δzz)−σxxa · σ2

yya · σzza · sin (δxx − δyy) · sin (δyy − δzz) +

σxxa · σyya · σ2zza · sin (δxx − δzz) · sin (δyy − δzz)

]J4a = σ4

xya + σ4xza + σ2

xxa · σ2yya + σ4

yza + σ2xxa · σ2

zza + σ2yya · σ2

zza +

2 · σ2xya · σ2

xza · cos [2 · (δxy − δxz)] +

2 · σxxa · σyya · σ2zza · cos(δxx − δyy)−

2 · σxxa · σ2xya · σyya · cos(δxx − 2 · δxy + δyy)−

2 · σxxa · σ2xza · σyya · cos(δxx − 2 · δxz + δyy)−

2 · σxxa · σyya · σ2yza · cos(δxx + δyy − 2 · δyz) +

2 · σ2xya · σ2

yza · cos [2 · (δxy − δyz)] +

2 · σ2xza · σ2

yza · cos [2 · (δxz − δyz)] +

2 · σxxa · σ2yya · σzza · cos(δxx − δzz)− (A.4)

2 · σ2xya · σyya · σzza · cos(2 · δxy − δyy − δzz)−

2 · σ2xza · σyya · σzza · cos(2 · δxz − δyy − δzz) +

2 · σ2xxa · σyya · σzza · cos(δyy − δzz)−

2 · σxxa · σ2xya · σzza · cos(δxx − 2 · δxy + δzz)−

2 · σxxa · σ2xza · σzza · cos(δxx − 2 · δxz + δzz)−

2 · σxxa · σ2yza · σzza · cos(δxx − 2 · δyz + δzz)−

2 · σyya · σ2yza · σzza · cos(δyy − 2 · δyz + δzz)

A.1 Invarianten 131

J5a = σ2xxa ·

σxxa ·

[σyya · cos(δxx − δyy) + σzza · cos(δxx − δzz)

]+

2 · σ2yya + σyya · σzza ·

[cos(2 · δxx − δyy − δzz) +

4 · cos(δyy − δzz)]

+

σ2yya ·

σyya ·

[σxxa · cos(δxx − δyy) + σzza · cos(δyy − δzz)

]+

2 · σ2zza + σxxa · σzza ·

[cos(2 · δyy − δxx − δzz) +

4 · cos(δxx − δzz)]

+

σ2zza ·

σzza ·

[σxxa · cos(δxx − δzz) + σyya · cos(δyy − δzz)

]+

2 · σ2xxa + σxxa · σyya ·

[cos(2 · δzz − δxx − δyy) +

4 · cos(δxx − δyy)]−

σ2xya ·

σ2

xxa · cos[2 · (δxx − δxy)

]+

σ2yya · cos

[2 · (δyy − δxy)

]+ σ2

zza · cos[2 · (δzz − δxy)

]+ (A.5)

2 · σxxa · σyya · cos(δxx + δyy − 2 · δxy) +2 · σxxa · σzza · cos(δxx + δzz − 2 · δxy) +

σyya · σzza · cos(δyy + δzz − 2 · δxy)−

σ2xza ·

σ2

xxa · cos[2 · (δxx − δxz)

]+

σ2yya · cos

[2 · (δyy − δxz)

]+ σ2

zza · cos[2 · (δzz − δxz)

]+

2 · σxxa · σyya · cos(δxx + δyy − 2 · δxz) +2 · σxxa · σzza · cos(δxx + δzz − 2 · δxz) +

σyya · σzza · cos(δyy + δzz − 2 · δxz)−

σ2yza ·

σ2

xxa · cos[2 · (δxx − δyz)

]+

σ2yya · cos

[2 · (δyy − δyz)

]+ σ2

zza · cos[2 · (δzz − δyz)

]+

2 · σxxa · σyya · cos(δxx + δyy − 2 · δyz) +2 · σxxa · σzza · cos(δxx + δzz − 2 · δyz) +

σyya · σzza · cos(δyy + δzz − 2 · δyz)


A.2 Abstandsfunktion fur synchronemehrfrequente Beanspruchungen

Fur synchrone mehrfrequente Beanspruchungen lassen sich alle wechselndenAnteile der Spannungskomponenten σija(t) vereinfacht durch eine Amplitudeσija multipliziert mit jeweils derselben Zeitfunktion f(t)

σija(t) = σija · f(t) (A.6)

darstellen. Werden die Spannungskomponenten nach Gl.(A.6) in die Phasen-funktionen Gl.(3.38 und 3.39) eingesetzt, gilt:

Φ(t,∆) = Φ · f(t)

Φ(t, t0) = Φ · f(t) · f(t0)(A.7)

Φ(∆,∆) = Φ

Φ(t0, t0) = Φ · f2(t0)

Damit laßt sich die Abstandsfunktion Gl.(3.40) geschlossen integrieren und mitden Abkurzungen Gl.(3.42) gilt:∣∣∣∣∣ Φ 2

Φ− Φ

2

Φ

∣∣∣∣∣ = 0 ,

0 =

∣∣∣∣∣ (σxxa + σyya + σzza)2 ·σ2

xxa

Φ−∆α2

xx +σ2

yya

Φ−∆α2

yy +σ2

zza

Φ−∆α2

zz +

2 ·(σxxa · σyya

Φ−∆αxx ·∆αyy

)+

2 ·(σxxa · σzza

Φ−∆αxx ·∆αzz

)+

2 ·(σyya · σzza

Φ−∆αyy ·∆αzz

)+

k4a

4·

σ2

xxa ·[σ2

yya

Φ−∆α2

yy +σ2

zza

Φ−∆α2

zz +

A.2 Abstandsfunktion fur synchrone mehrfrequente Beanspruchun-gen 133

2 ·(σyya · σzza


)]+

σ2yya ·

[σ2

xxa

Φ−∆α2

xx +σ2

zza

Φ−∆α2

zz +

2 ·(σxxa · σzza


)]+

σ2zza ·

[σ2

xxa

Φ−∆α2

xx +σ2

yya

Φ−∆α2

yy +

2 ·(σxxa · σyya


)]+

4 ·

[σ2

xya ·

(σ2

xya

Φ−∆α2

xy

)+ σ2

xza ·(σ2

xza

Φ−∆α2

xz

)+

σ2yza ·

(σ2

yza

Φ−∆α2

yz

)]+

2 ·

[σxxa · σyya ·

(σxxa · σyya

Φ−∆αxx ·∆αyy +

σxxa · σzza

Φ−∆αxx ·∆αzz +

σyya · σzza

Φ−∆αyy ·∆αzz +

σ2zza

Φ−∆α2

zz

)+

σxxa · σzza ·(σxxa · σyya


σxxa · σzza


σyya · σzza


σ2yya

Φ−∆α2

yy

)+

σyya · σzza ·(σxxa · σyya


σxxa · σzza


σyya · σzza



σ2xxa

Φ−∆α2

xx

)]−

4 ·

[σxxa · σxya ·

(σyya · σxya

Φ−∆αyy ·∆αxy +

σzza · σxya

Φ−∆αzz ·∆αxy

)+

σxxa · σxza ·(σyya · σxza

Φ−∆αyy ·∆αxz +

σzza · σxza

Φ−∆αzz ·∆αxz

)+

σxxa · σyza ·(σyya · σyza

Φ−∆αyy ·∆αyz +

σzza · σyza

Φ−∆αzz ·∆αyz

)+

σyya · σxya ·(σxxa · σxya

Φ−∆αxx ·∆αxy +

σzza · σxya


)+

σyya · σxza ·(σxxa · σxza

Φ−∆αxx ·∆αxz +

σzza · σxza


)+

σyya · σyza ·(σxxa · σyza

Φ−∆αxx ·∆αyz +

σzza · σyza


)+

σzza · σxya ·(σxxa · σxya


σyya · σxya

Φ−∆αyy ·∆αxy

)+

σzza · σxza ·(σxxa · σxza


σyya · σxza

Φ−∆αyy ·∆αxz

)+

σzza · σyza ·(σxxa · σyza


A.2 Abstandsfunktion fur synchrone mehrfrequente Beanspruchun-gen 135

σyya · σyza

Φ−∆αyy ·∆αyz

)]+

8 ·

[σxya · σxza ·

(σxya · σxza

Φ−∆αxy ·∆αxz

)+

σxya · σyza ·(σxya · σyza

Φ−∆αxy ·∆αyz

)+

σxza · σyza ·(σxza · σyza

Φ−∆αxz ·∆αyz

)]−

k2a ·

(σ2

xxa + σxxa · σyya + σxxa · σzza

)·[

σxxa · σyya


σ2yya

Φ−∆α2

yy +

σxxa · σzza


σ2zza

Φ−∆α2

zz +

2 ·(σyya · σzza


)]+(

σxxa · σyya + σ2yya + σyya · σzza

)·[

σxxa · σyya


σ2xxa

Φ−∆α2

xx +

σyya · σzza


σ2zza

Φ−∆α2

zz +

2 ·(σxxa · σzza


)]+(

σxxa · σzza + σyya · σzza + σ2zza

)·[

σxxa · σzza


σ2xxa

Φ−∆α2

xx +

σyya · σzza


σ2yya

Φ−∆α2

yy +

2 ·(σxxa · σyya


)]−

2 · (σxxa · σxya + σyya · σxya + σzza · σxya) ·

136 A Erganzungen zur Drei-Invarianten-Hypothese[σxxa · σxya


σyya · σxya

Φ−∆αyy ·∆αxy +

σzza · σxya


]−

2 · (σxxa · σxza + σyya · σxza + σzza · σxza) ·[σxxa · σxza


σyya · σxza

Φ−∆αyy ·∆αxz +

σzza · σxza


]−

2 · (σxxa · σyza + σyya · σyza + σzza · σyza) ·[σxxa · σyza


σyya · σyza

Φ−∆αyy ·∆αyz +

σzza · σyza


]∣∣∣∣∣ (A.8)

Diese Gleichung wird genau dann exakt befriedigt, wenn alle Differenzen fursich Null werden, so daß dieses Gleichungssystem zur Festlegung der Gewich-tungsfaktoren bei synchroner Beanspruchung vereinfachend genutzt werdenkann.

B Diagramme der

Fließbehinderung ϕ

Im folgenden werden die mit Gl.(3.103)

ϕgek,Zug ≈ 1 + 8, 19 · (a− 0, 438) + 4, 726 · b · χ · (a− 0, 343)2

1 + 8, 19 · (a− 0, 438) + 2, 037 · b · χ · (a− 0, 262)2

berechneten Kurven der Fließbehinderung ϕ fur zugbeanspruchte, gekerbteRund- und Flachstabe dargestellt. Der Wert der Fließbehinderung fur abge-setzte Rund- und Flachstabe wird mit der Schatzformel Gl.(3.103) berechnet,wahrend fur die Belastungsart Biegung Gl.(3.104) und fur zusammengesetzteBelastungen die Gleichungen Gl.(3.105) und Gl.(3.106) gelten.

Fur χ ist der Anteil des bezogenen Anstrengungsgefalles einzusetzen, der auf die

hH

a = Hh b = H - h

2

g e k e r b t e r F l a c h s t a b

rdD

a = Dd b = D - d

2

g e k e r b t e r R u n d s t a b

rdD

a = Dd b = D - d

2

a b g e s e t z t e r R u n d s t a b

r

hH

a = Hh b = H - h

2

a b g e s e t z t e r F l a c h s t a b

r

j g e k

j a b g

Abbildung 3.16: Bestimmung der Geometrieparameter a und b fur gekerb-te bzw. abgesetzte Rund- und Flachstabe

Kerbgeomtrie zuruckzufuhren ist, also abzuglich des bezogenen Anstrengungs-gefalles χ0 aus der Belastung (s. Abbildung B.1). Die Geometrieparameter aund b werden entsprechend Abbildung 3.16, die hier noch einmal dargestelltist, bestimmt.

137

138 B Diagramme der Fließbehinderung ϕ

K e r b f o r m B e a n s p r . -A r t

c 0[ m m - 1 ]c

[ m m - 1 ]b

r Z u g - D r u c k 0 2 / r

Z u g - D r u c k 0 2 / rB i e g u n g 4 / ( D + d ) 4 / ( D + d ) + 2 / rT o r s i o n 4 / ( D + d ) 4 / ( D + d ) + 1 / r

B i e g u n g 2 / b 2 / b + 2 / r

dr Z u g - D r u c k 0 2 / r

B i e g u n g 2 / d 2 / d + 2 / rT o r s i o n 2 / d 2 / d + 1 / r

dr

D

T o r s i o n 2 / D 2 / D + 1 / rD r

B i e g u n g 2 / D 2 / D + 4 / rT o r s i o n 2 / D 2 / D + 3 / r

2 rD d

Abbildung B.1: Bezogenes Anstrengungsgefalle χ0 aus derBelastung und χ aus der Belastung und derKerbe, entnommen [67]

B.1 Diagramme fur konstante Durchmesserverhaltnisse 139

B.1 Diagramme fur konstanteDurchmesserverhaltnisse

11,11,21,31,41,51,61,71,81,9

01

23

45

67

89

1011

12bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,0

1

Abbildung B.2: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnisa=1,01 und verschiedene Verhaltnisse b


11,11,21,31,41,51,61,71,81,9

01

23

45

67

89

1011

12bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,0

5



11,11,21,31,41,51,61,71,81,9

01

23

45

67

89

1011

12bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,1

Abbildung B.4: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=1,1und verschiedene Verhaltnisse b


11,11,21,31,41,51,61,71,81,92 01

23

45

67

89

1011

12bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,2



11,11,21,31,41,51,61,71,81,92 01

23

45

67

89

10bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,4



11,11,21,31,41,51,61,71,81,92 01

23

45

67

8bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,5



11,11,21,31,41,51,61,71,81,922,1

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

55,5

6bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 1,6

66



11,11,21,31,41,51,61,71,81,922,1

00,2

50,5

0,75

11,2

51,5

1,75

2bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 2

Abbildung B.9: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=2und verschiedene Verhaltnisse b


11,11,21,31,41,51,61,71,81,922,12,2

00,1

0,20,3

0,40,5

0,60,7

0,80,9

1bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

b = 1

b = 2

b = 4

b = 10

a = 3

Abbildung B.10: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis a=3und verschiedene Verhaltnisse b


B.2 Diagramme fur konstante Kerbtiefe

11,11,21,31,41,51,61,71,8

02

46

810

12bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

a = 1,0

05a =

1,1a =

1,2a =

1,4

b = 1

Abbildung B.11: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnisb=1 und verschiedene Verhaltnisse a

B.2 Diagramme fur konstante Kerbtiefe 149

11,11,21,31,41,51,61,71,81,92 01

23

45

67

89

10bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

a = 1,0

05a =

1,1a =

1,5a =

2

b = 2

Abbildung B.12: Fließbehinderung ϕ fur ein festes Verhaltnis b=2und verschiedene Verhaltnisse a


11,11,21,31,41,51,61,71,81,922,1

01

23

45

6bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

a = 1,0

5a =

1,1a =

1,5a =

2

b = 4



11,11,21,31,41,51,61,71,81,92 00,2

50,5

0,75

11,2

51,5

1,75

2bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

a = 1,0

5a =

1,2a =

1,6a =

2

b = 10



11,11,21,31,41,51,61,71,81,922,1

00,1

0,20,3

0,40,5

0,60,7

0,80,9

1bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

a = 1,1

a = 1,4

a = 1,8

a = 2,5

b = 20



11,11,21,31,41,51,61,71,81,922,1

00,0

250,0

50,0

750,1

0,125

0,15

0,175

0,2bez

ogener

Spann

ungsgr

adient

c

Fließbehinderung j

a = 1,2

a = 1,5

a = 2

a = 3

b = 50


C Tabellarische Zusammenstellung

von Mikrostutzziffern

Tabelle C.1: Mikrostutzziffern der Invarianten I1 (Biegebeanspruchung)und I2 (Torsionsbeanspruchung) fur glatte Rundstabe mitverschiedenen Durchmesser D und Werkstoffstrukturlangenρ∗ berechnet nach Gl.(3.61 und 3.62)

Biegebeanspruchung Torsionsbeanspruchung

D ρ∗ nV,1 n2H,1 [21] D ρ∗ nV,2 n2

H,2 [21]

10 0,2 1,031 1,040 10 0,2 1,030 1,040

10 0,1 1,015 1,020 10 0,1 1,015 1,020

10 0,02 1,003 1,004 10 0,02 1,003 1,004

20 0,2 1,015 1,020 20 0,2 1,015 1,020

20 0,1 1,008 1,010 20 0,1 1,008 1,010

20 0,02 1,002 1,002 20 0,02 1,002 1,002

40 0,2 1,008 1,010 40 0,2 1,008 1,010

40 0,1 1,004 1,005 40 0,1 1,004 1,005

40 0,02 1,001 1,001 40 0,02 1,001 1,001

154

155

Tabelle C.2: Mikrostutzziffern der Invarianten I1, I2 und der von Mi-ses- bzw. modifizierten von Mises-Vergleichsspannung furRundstabe mit Umlaufkerbe unter Zugbelastung

Werkstoffstrukturlange ρ∗ = 0, 2mm, d = 8mm, D = 16mm

HahnGradientenkonzept Volumenkonzept

[21]

ρ χI1nG,1 χI2

nG,2 nG,Mises nV,1 nV,2 K2 nV,mod.Mises nH,Mises

8 0,101 1,010 0,703 1,068 1,001 1,013 0,959 2,116 1,013 1,025

4 0,212 1,021 0,785 1,076 1,011 1,030 0,953 2,180 1,032 1,049

2 0,450 1,044 1,002 1,096 1,042 1,069 0,950 2,238 1,070 1,095

1,5 0,610 1,059 1,173 1,111 1,064 1,095 0,952 2,256 1,095 1,125

1 0,926 1,089 1,550 1,145 1,109 1,148 0,959 2,274 1,145 1,183

0,5 1,852 1,171 2,829 1,251 1,237 1,320 1,010 2,291 1,288 1,342

0,25 3,665 1,316 5,668 1,461 1,479 1,726 1,205 2,295 1,562 1,612

0,11 8,208 1,625 13,47 1,922 2,123 3,238 2,097 2,293 2,257 2,153



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,101 1,005 0,703 1,035 1,001 1,002 0,998 2,116 1,001 1,012

4 0,212 1,011 0,785 1,038 1,005 1,013 0,977 2,180 1,014 1,025

2 0,450 1,022 1,002 1,049 1,021 1,031 0,971 2,238 1,033 1,049

1,5 0,610 1,030 1,173 1,057 1,032 1,046 0,966 2,256 1,048 1,065

1 0,926 1,045 1,550 1,075 1,054 1,070 0,963 2,274 1,073 1,095

0,5 1,852 1,089 2,829 1,133 1,117 1,149 0,964 2,291 1,147 1,183

0,25 3,665 1,169 5,668 1,252 1,234 1,314 1,006 2,295 1,287 1,342

0,11 8,208 1,349 13,47 1,532 1,517 1,831 1,254 2,293 1,628 1,679



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,101 1,003 0,703 1,017 1,000 1,000 0,999 2,116 1,000 1,006

4 0,212 1,005 0,785 1,019 1,003 1,001 0,999 2,180 1,001 1,012

2 0,450 1,011 1,002 1,025 1,010 1,014 0,985 2,238 1,015 1,025

1,5 0,610 1,015 1,173 1,029 1,016 1,021 0,981 2,256 1,023 1,033

1 0,926 1,023 1,550 1,038 1,027 1,032 0,977 2,274 1,034 1,049

0,5 1,852 1,045 2,829 1,068 1,059 1,071 0,967 2,291 1,074 1,095

0,25 3,665 1,088 5,668 1,133 1,116 1,146 0,963 2,295 1,147 1,183

0,11 8,208 1,188 13,47 1,294 1,252 1,354 1,015 2,292 1,321 1,382

156 C Tabellarische Zusammenstellung von Mikrostutzziffern




[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,101 1,001 0,703 1,009 1,000 1,000 1,000 2,116 1,000 1,003

4 0,212 1,003 0,785 1,010 1,001 1,000 1,000 2,180 1,000 1,006

2 0,450 1,006 1,002 1,013 1,005 1,005 0,994 2,238 1,006 1,013

1,5 0,610 1,008 1,173 1,015 1,008 1,008 0,992 2,256 1,009 1,017

1 0,926 1,012 1,550 1,020 1,014 1,015 0,988 2,274 1,017 1,026

0,5 1,852 1,024 2,829 1,036 1,030 1,035 0,979 2,291 1,037 1,051

0,25 3,665 1,047 5,668 1,071 1,060 1,073 0,966 2,295 1,077 1,099

0,11 8,208 1,102 13,47 1,162 1,130 1,172 0,961 2,292 1,172 1,214



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,140 1,014 0,306 1,030 1,013 1,018 0,982 2,182 1,016 1,025

4 0,281 1,028 0,436 1,043 1,033 1,041 0,975 2,224 1,038 1,049

2 0,540 1,053 0,748 1,072 1,069 1,083 0,968 2,252 1,078 1,095

1,5 0,706 1,068 0,974 1,093 1,092 1,111 0,966 2,259 1,103 1,125

1 1,029 1,098 1,450 1,136 1,133 1,166 0,970 2,267 1,153 1,183

0,5 1,963 1,180 2,969 1,262 1,248 1,341 1,015 2,274 1,295 1,342

0,25 3,772 1,325 6,154 1,494 1,464 1,754 1,207 2,277 1,567 1,612

0,11 8,340 1,633 14,75 1,987 2,035 3,293 2,106 2,277 2,260 2,153



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,140 1,007 0,306 1,015 1,007 1,002 0,998 2,182 1,002 1,012

4 0,281 1,014 0,436 1,022 1,017 1,018 0,987 2,224 1,017 1,025

2 0,540 1,027 0,748 1,037 1,035 1,037 0,979 2,252 1,036 1,049

1,5 0,706 1,035 0,974 1,048 1,046 1,054 0,973 2,259 1,053 1,065

1 1,029 1,050 1,450 1,070 1,067 1,079 0,968 2,267 1,077 1,095

0,5 1,963 1,094 2,969 1,139 1,123 1,158 0,964 2,274 1,151 1,183

0,25 3,772 1,174 6,154 1,271 1,228 1,325 1,002 2,277 1,289 1,342

0,11 8,340 1,354 14,75 1,573 1,488 1,855 1,252 2,277 1,633 1,679

157




[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,140 1,004 0,306 1,008 1,003 1,000 1,000 2,182 1,000 1,006

4 0,281 1,007 0,436 1,011 1,008 1,000 1,000 2,224 1,000 1,012

2 0,540 1,013 0,748 1,019 1,017 1,017 0,989 2,252 1,016 1,025

1,5 0,706 1,018 0,974 1,024 1,023 1,025 0,985 2,259 1,025 1,033

1 1,029 1,025 1,450 1,036 1,033 1,036 0,979 2,267 1,036 1,049

0,5 1,963 1,048 2,969 1,072 1,061 1,076 0,965 2,274 1,076 1,095

0,25 3,772 1,090 6,154 1,144 1,113 1,151 0,958 2,277 1,148 1,183

0,11 8,340 1,190 14,75 1,318 1,240 1,360 1,008 2,277 1,321 1,382



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,140 1,002 0,306 1,004 1,002 1,000 1,000 2,182 1,000 1,003

4 0,281 1,004 0,436 1,006 1,004 1,000 1,000 2,224 1,000 1,006

2 0,540 1,007 0,748 1,010 1,009 1,006 0,996 2,252 1,006 1,013

1,5 0,706 1,009 0,974 1,013 1,012 1,010 0,994 2,259 1,009 1,017

1 1,029 1,013 1,450 1,019 1,017 1,017 0,989 2,267 1,017 1,026

0,5 1,963 1,025 2,969 1,038 1,032 1,037 0,978 2,274 1,038 1,051

0,25 3,772 1,048 6,154 1,077 1,059 1,075 0,963 2,277 1,077 1,099

0,11 8,340 1,103 14,75 1,176 1,123 1,174 0,955 2,277 1,171 1,214



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,165 1,016 0,227 1,022 1,020 1,021 0,987 2,193 1,018 1,025

4 0,308 1,030 0,397 1,039 1,039 1,045 0,978 2,221 1,040 1,049

2 0,570 1,056 0,770 1,074 1,073 1,088 0,968 2,240 1,080 1,095

1,5 0,735 1,071 1,027 1,098 1,093 1,116 0,965 2,246 1,105 1,125

1 1,062 1,101 1,564 1,146 1,132 1,172 0,967 2,253 1,155 1,183

0,5 1,984 1,182 3,195 1,280 1,238 1,349 1,010 2,260 1,296 1,342

0,25 3,852 1,331 6,679 1,528 1,449 1,765 1,201 2,265 1,567 1,612

0,11 8,405 1,637 15,18 2,009 2,006 3,321 2,107 2,268 2,259 2,153





[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,165 1,008 0,227 1,011 1,010 1,002 0,998 2,193 1,002 1,012

4 0,308 1,015 0,397 1,020 1,020 1,019 0,988 2,221 1,017 1,025

2 0,570 1,028 0,770 1,038 1,037 1,040 0,979 2,240 1,037 1,049

1,5 0,735 1,036 1,027 1,050 1,047 1,056 0,972 2,246 1,053 1,065

1 1,062 1,052 1,564 1,075 1,066 1,081 0,965 2,253 1,077 1,095

0,5 1,984 1,095 3,195 1,149 1,118 1,161 0,959 2,260 1,151 1,183

0,25 3,852 1,177 6,679 1,291 1,221 1,329 0,996 2,265 1,289 1,342

0,11 8,405 1,357 15,18 1,587 1,480 1,856 1,243 2,268 1,628 1,679



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,165 1,004 0,227 1,006 1,005 1,000 1,000 2,193 1,000 1,006

4 0,308 1,008 0,397 1,010 1,010 1,000 1,000 2,221 1,000 1,012

2 0,570 1,014 0,770 1,019 1,018 1,018 0,989 2,240 1,017 1,025

1,5 0,735 1,018 1,027 1,025 1,023 1,026 0,984 2,246 1,025 1,033

1 1,062 1,026 1,564 1,038 1,033 1,037 0,978 2,253 1,037 1,049

0,5 1,984 1,048 3,195 1,077 1,059 1,077 0,962 2,260 1,076 1,095

0,25 3,852 1,092 6,679 1,155 1,110 1,153 0,954 2,265 1,148 1,183

0,11 8,405 1,192 15,18 1,326 1,236 1,363 1,003 2,268 1,320 1,382



[21]

ρ χI1nG,1 χI2


8 0,165 1,002 0,227 1,003 1,003 1,000 1,000 2,193 1,000 1,003

4 0,308 1,004 0,397 1,005 1,005 1,000 1,000 2,221 1,000 1,006

2 0,570 1,007 0,770 1,010 1,010 1,007 0,996 2,240 1,006 1,013

1,5 0,735 1,010 1,027 1,013 1,012 1,010 0,993 2,246 1,010 1,017

1 1,062 1,014 1,564 1,020 1,017 1,018 0,988 2,253 1,018 1,026

0,5 1,984 1,025 3,195 1,040 1,031 1,038 0,976 2,260 1,038 1,051

0,25 3,852 1,049 6,679 1,083 1,057 1,076 0,959 2,265 1,077 1,099

0,11 8,405 1,104 15,18 1,181 1,122 1,176 0,951 2,268 1,171 1,214

159

Tabelle C.3: Mikrostutzziffer nV,12a eines Rundstabs mit Umlaufkerbe un-ter uberlagerter Zug-Druck- und Torsionsbelastung fur ver-schiedene Nennspannungsverhaltnisse T/S, Werkstoffstruk-turlangen ρ∗, Kerbradien ρ und Phasenverschiebungen δxy

a

T/S ρ∗ ρ δxy nV,12a n2H,3a [21]

0,58 0,052 1 10 1,107 1,0800,58 0,052 1 30 1,107 1,0800,58 0,052 1 90 1,102 1,0800,58 0,052 0,5 10 1,246 1,1590,58 0,052 0,5 30 1,253 1,1590,58 0,052 0,5 90 1,247 1,1590,58 0,052 0,25 10 1,628 1,3170,58 0,052 0,25 30 1,627 1,3170,58 0,052 0,25 90 1,625 1,3170,58 0,052 0,125 10 2,352 1,6300,58 0,052 0,125 30 2,351 1,6300,58 0,052 0,125 90 2,348 1,6301 0,052 1 10 1,102 1,0801 0,052 1 30 1,102 1,0801 0,052 1 90 1,102 1,0801 0,052 0,125 10 2,348 1,6301 0,052 0,125 30 2,348 1,6301 0,052 0,125 90 2,348 1,6301 0,17 1 10 1,466 1,2601 0,17 1 30 1,466 1,2601 0,17 1 90 1,466 1,2601 0,17 0,125 10 4,177 3,0331 0,17 0,125 30 4,177 3,0331 0,17 0,125 90 4,177 3,033

aDie Kerbspannungen sind jeweils fur eine Randnennspannung S = 100 N/mm2 undT = 100 N/mm2 berechnet.Kerbgeometrie: ρ = 1mm, d = 24mm, D = 40mm; ρ = 0, 5mm, d = 12mm, D =20mm; ρ = 0, 25mm, d = 6mm, D = 10mm; ρ = 0, 125mm, d = 3mm, D = 5mm


Tabelle C.4: Mikrostutzziffer nV,12a eines glatten Rundstabs unter uber-lagerter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung fur einNennspannungsverhaltnis T/SBiegung = 1 und eine Werk-stoffstrukturlange ρ∗ = 0, 17mm sowie verschiedene Span-nungsverhaltnisse SZug/SBiegung und Phasenverschiebungenδxy und δxx,Zug

a

SZug/SBiegung δxy δxx,Zug nV,12a n2H,3a [21]

0 10 0 1,026 1,0250 30 0 1,026 1,025

0,5 10 10 1,026 1,0200,5 10 50 0,998 1,0200,5 10 90 1,006 1,0201 10 10 1,026 1,0171 10 50 1,008 1,0171 10 90 1,010 1,0171 30 10 1,021 1,0171 30 50 1,056 1,0171 30 90 0,995 1,017

aDie Kerbspannungen sind jeweils fur eine Randnennspannung SZug = 100 N/mm2,SBiegung = 100 N/mm2 und T = 100 N/mm2 berechnet.Stabdurchmesser: d = 10mm

161

Tabelle C.5: Mikrostutzziffer nV,12a eines gekerbten Rundstabs unter uber-lagerter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung fur einSpannungsverhaltnis T/SBiegung = 1 und eine Werkstoff-strukturlange ρ∗ = 0, 20mm sowie verschiedene Spannungs-verhaltnisse SZug/SBiegung und Phasenverschiebungen δxy

und δxx,Zuga

SZug/SBiegung δxy δxx,Zug nV,12a n2H,3a [21]

0 10 0 3,675 2,2980 30 0 3,675 2,2980 90 0 3,675 2,298

0,5 10 10 4,159 2,2770,5 10 50 2,543 2,2770,5 10 90 2,946 2,2771 10 10 4,734 2,2671 10 50 2,914 2,2671 10 90 3,116 2,267

0,5 30 10 4,057 2,2770,5 30 50 3,937 2,2770,5 30 90 0,169 2,2771 90 10 4,085 2,2671 90 50 4,528 2,2671 90 90 4,734 2,267

aDie Kerbspannungen sind jeweils fur eine Randnennspannung SZug = 100 N/mm2,SBiegung = 100 N/mm2 und T = 100 N/mm2 berechnet.Kerbgeometrie: ρ = 0, 25mm, d = 3mm, D = 3, 5mm


Tabelle C.6: Mikrostutzziffern eines gekerbten Rundstabs unter uberlager-ter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung fur eine Werk-stoffstrukturlange ρ∗ = 0, 20mm sowie verschiedene Kerbra-dien, Spannungsverhaltnisse und Phasenverschiebungena

ρ SZug/SBiegung T/SZug δxx,Zug δxy nV,mod.Mises nH,Mises [21]

0,25 1 0 0 0 1,627 1,6310,25 1 0 90 0 1,624 1,6290,5 1 0 0 0 1,295 1,3530,5 1 0 90 0 1,295 1,3521 1 0 0 0 1,138 1,1901 1 0 90 0 1,138 1,189

0,25 3 0 0 0 1,609 1,6210,25 3 0 90 0 1,592 1,6150,5 3 0 0 0 1,291 1,3470,5 3 0 90 0 1,285 1,3431 3 0 0 0 1,139 1,1861 3 0 90 0 1,139 1,184

0,25 - 0,58 0 0 1,621 1,5410,25 - 0,58 0 30 1,623 1,5470,5 - 0,58 0 0 1,316 1,3010,5 - 0,58 0 30 1,315 1,3051 - 0,58 0 0 1,158 1,1621 - 0,58 0 30 1,158 1,164

0,25 - 1 0 0 1,586 1,4820,25 - 1 0 30 1,591 1,4810,5 - 1 0 0 1,305 1,2670,5 - 1 0 30 1,307 1,2671 - 1 0 0 1,154 1,1431 - 1 0 30 1,155 1,143

0,25 1 0,58 0 0 1,614 1,6010,25 1 0,58 0 60 1,625 1,6210,5 1 0,58 0 0 1,290 1,3360,5 1 0,58 0 60 1,295 1,3471 1 0,58 0 0 1,136 1,1811 1 0,58 0 60 1,138 1,187

0,25 1 0,58 90 0 1,607 1,6000,25 1 0,58 90 60 1,582 1,5760,5 1 0,58 90 0 1,284 1,3360,5 1 0,58 90 60 1,271 1,3221 1 0,58 90 0 1,133 1,1811 1 0,58 90 60 1,126 1,173

aDie Kerbspannungen sind jeweils fur eine Randnennspannung SZug = 100 N/mm2,SBiegung = 100 N/mm2 und T = 100 N/mm2 berechnet.Kerbgeometrie: ρ = 0, 25mm, d = 3mm, D = 3, 5mm; ρ = 0, 5mm, d = 6mm, D =7mm; ρ = 1mm, d = 12mm, D = 14mm

163

Tabelle C.7: Mikrostutzziffern eines gekerbten Rundstabs unter Zug-Druck-, Biege- und Torsionsbelastung fur eine Werkstoffstruk-turlange ρ∗ = 0, 20mm sowie verschiedene Kerbradiena

Volumenkonzept Gradientenkonzept nach [21]

ρ nV,1 nV,2 K σVb nV

c n2H,1 n2

H,2 σHd nH

e

Zf 0,25 2,184 1,543 2,217 146,5 1,652 2,6 1 150,2 1,612Z 0,5 1,468 1,092 2,217 182,5 1,327 1,8 1 180,5 1,342Z 1 1,207 0,985 2,217 208,1 1,164 1,4 1 204,6 1,183B 0,25 2,286 1,604 2,202 119,9 1,678 2,733 1 121,7 1,653B 0,5 1,485 1,111 2,202 152,3 1,321 1,933 1 144,7 1,390B 1 1,198 0,998 2,202 175,5 1,147 1,533 1 162,5 1,238T 0,25 1 1,797 3 192,2 1,341 1 1,933 185,3 1,390T 0,5 1 1,343 3 222,3 1,159 1 1,533 208,1 1,238T 1 1 1,154 3 239,8 1,074 1 1,333 223,1 1,155

aDie Kerbspannungen sind jeweils fur eine Randnennspannung SZug = 100 N/mm2,SBiegung = 100 N/mm2 und T = 100 N/mm2 berechnet.Kerbgeometrie: ρ = 0, 25mm, d = 3mm, D = 3, 5mm; ρ = 0, 5mm, d = 6mm, D =7mm; ρ = 1mm, d = 12mm, D = 14mm

bσV,mod.MisescnV,mod.MisesdσH,MisesenH,MisesfBelastungsart: Z=Zug, B=Biegung, T=Torsion

D Beispiele der

Bauteilelementierung

In den folgenden Abbildungen ist die Bauteilelementierung beispielhaft fur ver-schiedene Kerbgeometrien dargestellt. Abbildung D.1 zeigt das ganze FEM-Modell fur die Nachrechnung der Versuchsergebnisse von Potter und Zenner[50] mit der Kerbgeometrie: ρ = 2mm, d = 22mm, D = 25mm. Die beidenBelastungen Biegung und Torsion werden auf der einen Stirnflache uber eineShell aufgebracht, wahrend die andere Stirnflache mit Constraints fest einge-spannt wird. Die Elementierung ist am Rand recht grob und verfeinert sich zurKerbe hin. Abbildung D.2 zeigt einen Detailausschnitt. Um den Punkt derhochsten Biegebeanspruchung herum ist die Elementierung sehr fein, um dieelastizitatstheoretische Spannungsspitze mit einer ausreichenden Gute bestim-men und die Mikrostutzziffern mit dem Volumenkonzept berechnen zu konnen(s.a. Abbildung D.3).Der von Simburger [57] verwendete abgesetzte Rundstab mit der Kerbgeome-trie ρ = 5mm, d = 25mm und D = 39mm ist in Abbildung D.4 dargestellt.Auch hier werden die beiden Belastungen Biegung und Torsion auf einer Stirn-flache uber eine Shell aufgebracht und die Freiheitsgrade durch Einspannen–Behinderung aller sechs Freiheitsgrade– der anderen Stirnflache genommen.Die Elementierung wird ebenfalls von den Stirnflachen zur Kerbe hin feiner.Da der Kerbradius relativ groß ist, kann ohne Einbuße der Gute der FEM-Berechnung auf eine sehr feine Elementierung in der Nahe des Versagensortesverzichtet werden.Die beiden beschriebenen Kerbstabe erforderten von Seiten des FEM-Pro-gramms eine Elementierung des gesamten Stabes mit 3D-Volumenelementen.In Abbildung D.5 ist die Bauteilelementierung mit rotationssymmetrischen2D-Elementen fur einen von Liebrich [34] verwendeten gekerbten Rundstab–ρ = 8mm, d = 12mm und D = 24mm– unter reiner Zugbelastung darge-stellt. Durch Ausnutzen der Symmetrie der Geometrie und der Belastung mußnur ein Viertel des Stabes elementiert werden. Im Gegensatz zu den beidenanderen Beispielen wird die Zugbelastung direkt als Nennspannungsverteilungauf der einen Stirnkante aufgebracht. Die Stirnkante im Kerbgrund wird axialgebunden. Um eine Translation des gesamten Modells in radialer Richtung zuverhindern, wird außerdem der auf der Rotationsachse befindliche FEM-Knotenin radialer Richtung gebunden.

164

165

Abbildung D.1: Bauteilelementierung eines Rundstabes mit der Geometrienach Potter und Zenner [50]

166 D Beispiele der Bauteilelementierung

Abbildung D.2: Detailausschnitt der Bauteilelementierung eines Rundsta-bes mit der Geometrie nach Potter undZenner [50]

167

Abbildung D.3: Detailausschnitt der Bauteilelementierung am Punkt derhochsten Beanspruchung (Geometrie nach Potter und Zen-ner [50])

168 D Beispiele der Bauteilelementierung

Abbildung D.4: Bauteilelementierung eines Rundstabes mit der Geometrienach Simburger [57]

169

Abbildung D.5: Bauteilelementierung eines Rundstabes mit der Geometrienach Liebrich [34]

E Dauerfestigkeits-Hypothesen

Neben den klassischen Festigkeitshypothesen (MH, NSH, SSH) wurden in derVergangenheit eine Mehrzahl anderer Hypothesen zur Dauerfestigkeitsberech-nung formuliert. Sie lassen sich gemaß ihrer physikalischen Grundlagen grob insolche der integralen Anstrengung und solche der kritischen Schnittebene bzw.Orientierung unterteilen.

E.1 Schubspannungs-Intensitats-Hypothese

Die Schubspannungs-Intensitats-Hypothese (SIH) ist eine Festigkeitshypotheseder integralen Anstrengung. Sie wurde erstmals von Zenner und Richter [69]veroffentlicht und ist seitdem mehrfach modifiziert worden [27, 35]. Ihr liegtaufbauend auf den Erkenntnissen von Novozhilov [49] die Annahme zu grunde,daß der quadratische Mittelwert der sogenannten effektiven Schubspannungs-amplitude aller Schnittebenen des Volumenelements eine geeignete einachsigeVergleichsspannung liefert:

σva =

√√√√√ 158 · π

·π∫

γ=0

2π∫ϕ=0

τ2γϕ,eff,a · sin γ dϕ dγ . (E.1)

Liu [35] gibt fur die effektive Schubspannungsamplitude folgende Beziehungan:

τ2γϕ,eff,a = a · τ2

γϕa ·(1 +m · τ2

γϕm

)+

b · σ2γϕa · (1 + n · σγϕm) . (E.2)

Bauteilversagen tritt ein, wenn diese Vergleichsspannung großer ist als die Zug-Druck-Wechselfestigkeit. Die verwendeten Parameter a, b, m und n werden denRandbedingungen bei den Beanspruchungsfallen Zug-Druck-Wechselbeanspru-chung σW , Zugschwellbeanspruchung σschw , TorsionswechselbeanspruchungτW und Torsionsschwellbeanspruchung τschw

a =15·

[3 ·(σW

τW

)2

− 4

]b =

15·

[6− 2 ·

(σW

τW

)2]

a ·m =σ2

W −(σW

τW

)2

·(τschw

2

)2

712·(τschw

2

)4

170

E.1 Schubspannungs-Intensitats-Hypothese 171

b · n =σ2

W −(σW

2

)2

− 421· a ·m ·

(σschw

2

)4

1514·(σschw

2

)3 (E.3)

angepaßt.

Die Normalspannungs- und die Schubspannungskomponenten in einer um dieWinkel ϕ und γ gedrehten Schnittebene konnen entsprechend Gl.(2.32)

σγϕ = σrr

τγϕ,ϕ = σrϕ (E.4)τγϕ,γ = σrγ

angegeben werden, wobei die resultierende Schubspannung zu

τγϕa =√τ2γϕ,ϕ + τ2

γϕ,γ (E.5)

zusammengefaßt wird.

Setzt man in die Gl.(E.4) und (E.5) die entsprechenden Mittelspannungskom-ponenten ein, erhalt man direkt die in der Schnittebene vorhandene Normal-und Schubmittelspannung σγϕm und τγϕm. Die Normalspannungsamplitudefolgt demgegenuber aus der Schwingbreite der Normalspannungs-Zeitfunktion

σγϕa =max [σγϕa(t)]−min [σγϕa(t)]

2, (E.6)

wahrend die Schubspannungsamplitude nicht direkt aus der Schubspannungs-Zeitfunktion bestimmt werden kann, da die Ortskurve eine beliebige Form hat.Die Schubspannung wird deshalb jeweils fur eine Periode auf einen Vektor proji-ziert, der den Winkel Ω mit der ϕ-Achse einschließt. Der Winkel wird zwischen0 und 180 variiert. Als Schubspannungsamplitude wird das Maximum derprojizierten Schwingbreite definiert:

τγϕa = max[(τγϕa)Ω

](E.7)

= max[(∣∣∣∣max [τγϕa(t)]−min [τγϕa(t)]

2

∣∣∣∣)Ω

]Liu [35] unterteilt die verschiedenen Werkstoffe in ”rißfreie“ Werkstoffe undsolche mit rißahnlichen Fehlern, wie zum Beispiel Grauguß mit Lamellengra-phit. Der Anwendungsbereich der SIH beschrankt sich auf rißfreie Werkstoffemit einem in [70] festgelegten Wechselfestigkeitsverhaltnis 0, 5 < τW

σW< 0, 83,

wahrend Werkstoffe mit rißahnlichen Fehlern nach der Normalspannungshypo-these berechnet werden [35].

172 E Dauerfestigkeits-Hypothesen

E.2 Quadratische Versagens-Hypothese

Die Quadratische Versagens-Hypothese (QVH) ist eine Hypothese der kriti-schen Orientierung. Ausgehend von der Annahme eines sogenannten mittel-spannungsinduzierten anisotropen Festigkeitsverhaltens isotroper Werkstoffedurch Troost und El-Magd [63] wurde zunachst die quadratische Versagensbe-dingung von El-Magd [12] und Mielke [44] formuliert, die spater durch Kaniut[29] modifiziert wurde.

Ausgangspunkt seiner Hypothese ist das sogenannte quadratische Potential:

F = σ ·P · σT . (E.8)

Die PotentialfaktorenPij = Rij(ϑ) · Zij(ωt) (E.9)

sind uber die Richtungsfaktoren Rij abhangig vom Winkel ϑ, um den das Ko-ordinatensystem gedreht wurde, und uber die Zeitfaktoren Zij abhangig vonder Zeit.

Bauteilversagen tritt fur den Fall ein, daß der Versagenswert FV gleich eins ist.FV setzt sich aus einer linearen Kombination des maximalen Spitzenwertes

Fmax = max [F (ϑ, ωt)](ϑ,ωt) (E.10)

und des maximalen Integrationswertes

Fmax = max[∫

F (ϑ, ωt) dωt](ϑ)

(E.11)

zusammen:

FV = Fmax · cos2 ψc + Fmax · sin2 ψc . (E.12)

Der Winkel

ψc = arctan

2 ·|τxym|+

(1 + 3 · σya

σxa

)· τxya

|σxm − σym|+ σxa + σya

(E.13)

wird als charakteristische Hauptrichtung bezeichnet. Er wurde durch Anpas-sung der QVH an Versuchsergebnisse mit einem zweiachsigen Beanspruchungs-zustand definiert.

E Nomenklatur

Spezielle Kennzeichnung verwendeter Formelzeichen

Zeichen Bedeutung

ˆ elastizitatstheoretisch berechnete Großen z.B. I¯ elastisch gestutzte Großen z.B. Iˇ unteres Spannungsniveau z.B. σ

z.B. I Mittelwert der elastizitatstheoretisch berechneten Große I imTeilvolumen ∆V

Verwendete Formelzeichen

Zeichen Einheit Bedeutung

A, A# N/mm2 Anstrengungsfunktionena N/mm2 Amplitudea - Parameter der SIHa - DurchmesserverhaltnisB N/mm2 AmplitudeB, b mm Breite

b(N/mm2

)2Quadratische Ausschlagspannungskombination

b - Parameter der SIHb - Parameter im Haigh-Schaubildb - Exponent der elastischen Dehnungs-Wohlerliniec - Exponent der plastischen Dehnungs-Wohlerlinie

c(N/mm2

)2Quadratische Ausschlagspannungskombination

D - Drehtensor

D, d mm DurchmesserE N/mm2 Elastizitatsmodulei mm Einheitsvektorene∗ - plastische Nenndehnung

F(N/mm2

)2quadratisches Potential (QVH)

Fmax

(N/mm2

)2maximaler Spitzenwert (QVH)

F max

(N/mm2

)2maximaler Integrationswert (QVH)

FV

(N/mm2

)2Versagenswert (QVH)

G(N/mm2

)2Gutefunktion

G % Gute der FEM-Berechnung in %G mm−1 bezogenes Spannungsgefalle nach TGL 19340H, h mm Hohe

173

174 NOMENKLATUR


H1, H2

(N/mm2

)2Spannungskombinationen der Phasenfunktion

I1a, I1m, I1,I1o

N/mm2 1. Invariante des Spannungstensors gebildet mitden Ausschlagspannungs-, den Mittelspannungs-bzw. den zusammengesetzten Spannungskompo-nenten

I2a, I2m, I2,I2o

(N/mm2

)22. Invariante des Spannungstensors gebildet mitden Ausschlagspannungs-, den Mittelspannungs-bzw. den zusammengesetzten Spannungskompo-nenten

I3a, I3m, I3,I3o

(N/mm2

)33. Invariante des Spannungstensors gebildet mitden Ausschlagspannungs-, den Mittelspannungs-bzw. den zusammengesetzten Spannungskompo-nenten

J1a, J2a,J12a, J3a

(N/mm2

)2Invarianten mit phasenverschobenen Ausschlag-spannungskomponenten

J1a,λ, J2a,λ,J12a,λ

(N/mm2

)2Invarianten mit phasenverschobenen Ausschlag-spannungskomponenten in einer Frequenz λ

J4a, J5a

(N/mm2

)4Invarianten mit phasenverschobenen Ausschlag-spannungskomponenten

K - angepaßter Wert des Wechselfestigkeitsverhalt-nises k2

a

K′

N/mm2 zyklischer Festigkeitskoeffizient

k, k′, kk, kQ,

k90

- Wohlerlinenexponenten

ka, kaN - Wechselfestigkeitsverhaltnisse bei Dauer- undZeitfestigkeit

kb, kbN - Gewichtungsfaktoren bei Dauer- und Zeitfestig-keit

M , MN - Mittelspannungsempfindlichkeiten bei Dauer-und Zeitfestigkeit

Mb Nm BiegemomentME - Eigenspannungsempfindlichkeitmi mm Einheitsvektoren der Hauptspannungenm, ma, mm,mo

- Makrostutzziffer allgemein, der Amplitude, derMittelspannung, der Oberspannung

m - Parameter der SIHN - LastwechselzahlND - Ecklastspielzahln - Mikrostutzziffern - Parameter der SIH

n′

- zyklischer Verfestigungsexponent

nIi- Mikrostutzziffer der Invariante Ii

NOMENKLATUR 175


nG,1a - Mikrostutzziffer der Invariante I1a berechnetnach dem Gradientenkonzept


nG,12a - Mikrostutzziffer der Invariante J12a berechnetnach dem Gradientenkonzept


nH,1a - Mikrostutzziffer der Invariante I1a berechnetnach dem Gradientenkonzept aus [21]

nH,2a - Mikrostutzziffer der Invariante I2a berechnetnach dem Gradientenkonzept aus [21]

nH,3a - Mikrostutzziffer der Invariante J3a berechnetnach der Naherungsbeziehung aus [21]

nV,1a - Mikrostutzziffer der Invariante I21a berechnet

nach dem Volumenkonzept

nV,2a - Mikrostutzziffer der Invariante I2a berechnetnach dem Volumenkonzept

nV,12a - Mikrostutzziffer der Invariante J12a berechnetnach dem Volumenkonzept

nV,3a - Mikrostutzziffer der Invariante I3a berechnetnach dem Volumenkonzept

nG,1o - Mikrostutzziffer der Invariante I1o berechnetnach dem Gradientenkonzept



nH,1o - Mikrostutzziffer der Invariante I1o berechnetnach dem Gradientenkonzept aus [21]

nH,2o - Mikrostutzziffer der Invariante I2o berechnetnach dem Gradientenkonzept aus [21]

nV,1o - Mikrostutzziffer der Invariante I21o berechnet

nach dem Volumenkonzept

nV,2o - Mikrostutzziffer der Invariante I2o berechnetnach dem Volumenkonzept

nV,3o - Mikrostutzziffer der Invariante I3o berechnetnach dem Volumenkonzept

nG,Mises - Mikrostutzziffer der von Mises-Vergleichsspan-nung berechnet nach dem Gradientenkonzept

nH,Mises - Mikrostutzziffer der von Mises-Vergleichsspan-nung berechnet nach dem Gradientenkonzeptaus [21]

176 NOMENKLATUR


nV,mod.Mises - Mikrostutzziffer der modifizierten von Mises-Vergleichsspannung berechnet nach dem Volu-menkonzept

n1a,makro,n1o,makro,n2a,makro,n2o,makro

- invariantenbezogene Stutzziffern

P - Potentialfaktoren (QVH)

P - Ort der hochsten BeanspruchungPSWT N/mm2 Schadigungsparameter nach Smith, Watson und

TopperQ, QN - Parameter im Haigh-Schaubild bei Dauer- und

ZeitfestigkeitR - SpannungsverhaltnisRm N/mm2 ZugfestigkeitR∗

m, R∗mN N/mm2 fiktiver Kennwert im Haigh-Schaubild bei

Dauer- und ZeitfestigkeitRp0,2 N/mm2 0,2%-Dehngrenze

R′p0,2 N/mm2 0,2%-Dehngrenze bei zyklischer Beanspruchung

Rij - Richtungsfaktoren (QVH)Rz µm gemittelte Rauhtiefer mm Kerbradiusr, ϕ, γ mm KoordinatenrichtungenS, S∗ - Spannungstensoren im Koordinatensystem x, y,

z bzw. in einem beliebig gedrehten Koordinaten-system

So, Sm, Sa,Se

- Spannungstensor der Ober-, der Mittel-, derAusschlag- und der Eigenspannung

S, S0, T N/mm2 NennspannungS∗ N/mm2 plastische Nennspannungs - dimensionsloser Faktor zur Berechnung der Mi-

krostutzziffer nach Neubers mm LaufvariableT s Periodet, t∗, t0 s Zeitpunktet mm Tiefe der Nut der Kerbeu - Parameter der Naherungsbeziehung von Seeger

und BesteV , V0 mm3 Volumenx, y, z mm KoordinatenrichtungenZij - Zeitfaktoren (QVH)

NOMENKLATUR 177


α - Formbeiwertαk - Kerbformzahlαkt - Kerbformzahl fur Torsionsbeanspruchungαkz - Kerbformzahl fur Zugbeanspruchungαp - Grenzlastformzahlβ - wirksamer Formbeiwertβkz - Kerbwirkungszahl fur Zugbeanspruchung

Γ(N/mm2

)2Abstandsfunktion

γ - Winkel einer Schnittebene

∆Kth0 N/mm3/2 dauerfest ertragbare Spannungsintensitats-schwingbreite

∆r mm Koordinatenabschnitt fur die Integration∆αij - Abkurzungen der wahlbaren Konstanten der ein-

zelnen Komponenten des Spannungstensors∆γ Koordinatenabschnitt fur die Integration∆ε - Dehnungsdifferenz∆σij N/mm2 wahlbare Konstanten der einzelnen Komponen-

ten des Spannungstensors∆ϕ Koordinatenabschnitt fur die Integrationδij - Phasenverschiebungswinkel der einzelnen Kom-

ponenten des Spannungstensorsδij,λ - Phasenverschiebungswinkel der einzelnen Kom-

ponenten des Spannungstensors fur das Fre-quenzverhaltnis λ

δv,λ - Phasenverschiebungswinkel der Vergleichsspan-nungs-Zeitfunktion fur jedes Frequenzverhaltnisλ

ε - Dehnungεa - Dehnungsamplitudeεa,el, εa,pl,εa,ges

- elastische, plastische und zusammengesetzteDehnungsamplitude

εF - Fließdehnung

ε′f - zyklischer Dehnungskoeffizient

εortl - ortliche Dehnungϑ - Winkel (QVH)λ - FrequenzverhaltnisΠ, Πlokal,Πglobal

- Plastifizierungsvermogen allgemein, lokal undglobal

ρ mm Kerbradiusρ∗ mm Ersatzstrukturlangeρ∗ mm charakteristische Werkstoffstrukturlangeρeff , ρ∗eff mm effektive Werkstoffstrukturlangeρpl mm Tiefe der zyklischen Randplastifizierungσij - Spannungsvektor einer Schnittebene

178 NOMENKLATUR


σ N/mm2 Spannungenσ∗ N/mm2 fiktive Spannungσ N/mm2 plastische Nennspannungσ1, σ2, σ3 N/mm2 HauptspannungenσA N/mm2 ertragbarer Spannungsausschlagσa N/mm2 Spannungsausschlagσ∗a N/mm2 fiktive Spannungsamplitudeσa,NSH N/mm2 Vergleichsspannungs-Amplitude nach der Nor-

malspannungs-Hypotheseσa,NSH N/mm2 Maximum der Ausschlagspannung nach der Nor-

malspannungs-Hypotheseσa,mod. Mises N/mm2 Maximum der elastisch gestutzten modifizierten

von Mises-Vergleichsspannungs-Zeitfunktionnach dem Volumenkonzept

σa,mod. Mises N/mm2 unteres Niveau der modifizierten Neuber -Hyper-bel berechnet fur die Amplituden nach dem Vo-lumenkonzept

σbW N/mm2 BiegewechselfestigkeitσD N/mm2 Spannungsausschlag bei DauerfestigkeitσF N/mm2 Fließspannung

σ′f N/mm2 zyklischer Spannungskoeffizient

σij N/mm2 Spannungskomponenten des Spannungstensorsσija N/mm2 Ausschlagspannung der einzelnen Komponenten

des Spannungstensorsσija,λ N/mm2 Ausschlagspannung der einzelnen Komponenten

des Spannungstensors fur das Frequenzverhalt-nis λ

σije N/mm2 Eigenspannungen der einzelnen Komponentendes Spannungstensors

σijm N/mm2 Mittelspannungen der einzelnen Komponentendes Spannungstensors

σl N/mm2 Langsspannungσm N/mm2 Mittelspannungσ∗m N/mm2 fiktive Mittelspannungσmod. Mises N/mm2 modifizierte von Mises-Vergleichsspannungσmod. Mises N/mm2 Zeitliches Maximum der modifizierten von Mi-

ses-VergleichsspannungσH,Mises N/mm2 elastisch gestutzte von Mises-Vergleichsspan-

nung nach dem Gradientenkonzept aus [21]σo,mod. Mises N/mm2 Maximum der elastisch gestutzten modifi-

zierten von Mises-Vergleichsoberspannungs-Zeitfunktion nach dem Volumenkonzept

NOMENKLATUR 179


σo,mod. Mises N/mm2 unteres Niveau der modifizierten Neuber -Hyper-bel berechnet fur die Oberspannung nach demVolumenkonzept

σV,mod. Mises N/mm2 elastisch gestutzte modifizierte von Mises-Ver-gleichsspannung nach dem Volumenkonzept

σo N/mm2 Oberspannungσ∗o N/mm2 fiktive Oberspannungσo,NSH N/mm2 Oberspannung nach der Normalspannungs-Hy-

potheseσo,NSH N/mm2 Maximum der Oberspannung nach der Normal-

spannungs-Hypotheseσortl N/mm2 ortliche Spannungσr N/mm2 Radialspannungσrr N/mm2 Normalspannungen in r-Richtungσrγ N/mm2 Schubspannungen auf der Schnittflache r in γ-

Richtungσrϕ N/mm2 Schubspannungen auf der Schnittflache r in ϕ-

Richtungσschw N/mm2 Zugschwellfestigkeitσu N/mm2 Unterspannungσu N/mm2 Umfangsspannungσv, σv,NSH ,σv,SSH ,σv,MH

N/mm2 Vergleichsspannung, allgemein und nach derNormalspannungs-, der Schubspannungs- undder von Mises-Hypothese

σva N/mm2 maßgebliche Vergleichsspannungs-AmplitudeσG,va N/mm2 maßgebliche Vergleichsspannungs-Amplitude

berechnet nach dem GradientenkonzeptσH,va N/mm2 maßgebliche Vergleichsspannungs-Amplitude

berechnet nach dem Gradientenkonzept aus [21]σva,MH N/mm2 Vergleichsspannungs-Amplitude nach der von

Mises-Hypotheseσva,λ N/mm2 Vergleichsspannungs-Amplitude fur das Fre-

quenzverhaltnis λσG,va,λ N/mm2 Vergleichsspannungs-Amplitude fur das Fre-

quenzverhaltnis λ berechnet nach dem Gradien-tenkonzept

σH,va,λ N/mm2 Vergleichsspannungs-Amplitude fur das Fre-quenzverhaltnis λ berechnet nach dem Gradien-tenkonzept aus [21]

σva N/mm2 Amplitude der Vergleichsspannungs-Zeitfunktion

σvm N/mm2 Vergleichsmittelspannungσvo,Mises N/mm2 Maximum der von Mises-Vergleichsoberspan-

nung

180 NOMENKLATUR


σvo,Mises N/mm2 von Mises-VergleichsoberspannungσW , σWN N/mm2 Zug-Druck-Wechselfestigkeit bei Dauer- und

ZeitfestigkeitσW,90 ,σWN,90

N/mm2 Festigkeitswert

σxx, σ∗xx N/mm2 Normalspannungen in x- und x∗-Richtungσxy, σ∗xy N/mm2 Schubspannungen auf der Schnittflache x bzw.

x∗ in y- bzw. y∗-Richtungσxz, σ∗xz N/mm2 Schubspannungen auf der Schnittflache x bzw.

x∗ in z- bzw. z∗-Richtungσyy, σ∗yy N/mm2 Normalspannungen in y- und y∗-Richtungσyz, σ∗yz N/mm2 Schubspannungen auf der Schnittflache y bzw.

y∗ in z- bzw. z∗-Richtungσzz, σ∗zz N/mm2 Normalspannungen in z- und z∗-Richtungσγγ N/mm2 Normalspannungen in γ-Richtungσγϕ N/mm2 Schubspannungen auf der Schnittflache γ in ϕ-

Richtungσγϕa N/mm2 Normalspannungskomponente der Ausschlag-

spannung in einer um die Winkel ϕ und γ ge-drehten Schnittebene (SIH)

σγϕm N/mm2 Normalspannungskomponente der Mittelspan-nung in einer um die Winkel ϕ und γ gedrehtenSchnittebene (SIH)

σϕϕ N/mm2 Normalspannungen in ϕ-Richtungτ N/mm2 Schubspannungτschw N/mm2 Torsions-SchwellfestigkeitτW , τWN N/mm2 Torsions-Wechselfestigkeit bei Dauer- und Zeit-

festigkeitτγϕ,eff,a N/mm2 effektive Schubspannungsamplitude (SIH)τγϕa N/mm2 resultierende Schubspannungskomponente der

Ausschlagspannung in einer um die Winkel ϕund γ gedrehten Schnittebene (SIH)

τγϕ,γ N/mm2 Schubspannungskomponente der Ausschlag-spannung in einer um die Winkel ϕ und γgedrehten Schnittebene in Richtung γ (SIH)

τγϕ,ϕ N/mm2 Schubspannungskomponente der Ausschlag-spannung in einer um die Winkel ϕ und γgedrehten Schnittebene in Richtung ϕ (SIH)

Φ, Φ, Φ, Φ, Φ(N/mm2

)2Phasenfunktionen

ϕ - Winkel einer Schnittebeneϕ, ϕlokal,ϕglobal

- Fließbehinderung allgemein, lokal und global

ϕgek, ϕabg - Fließbehinderung eines gekerbten bzw. abgesetz-ten zugbelasteten Rundstabes

NOMENKLATUR 181


ϕa - Fließbehinderung, die bei der Berechnung vonma benutzt wird

ϕo - Fließbehinderung, die bei der Berechnung vonmo benutzt wird

ϕI1a - Resultierender Phasenverschiebungswinkel der1. Invariante des Spannungstensors

ϕI2a - Resultierender Phasenverschiebungswinkel der2. Invariante des Spannungstensors

ϕ∗I2a- Resultierender Phasenverschiebungswinkel der

1. und 2. Invariante des Spannungstensorsχ mm−1 bezogenes Anstrengungsgefalle aus der Bean-

spruchungsart und der Kerbeχ0 mm−1 bezogenes Anstrengungsgefalle aus der Bean-

spruchungsartχIi mm−1 bezogene InvariantengefalleΩ - Projektionswinkel (SIH)ω s−1 Kreisfrequenz

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[70] Zenner, H., J. Liu: Anmerkungen zur Verifizierung von Festigkeitshypo-thesen. Institutsmitteilung vom 08.08.1994

Im Rahmen der vorliegender Arbeit wurden folgende unveroffentlichte Studien-und Diplomarbeiten betreut, deren Ergebnisse zum Teil ebenfalls eingeflossensind:

Stahr, S.: Automatisierte Bestimmung elastischer Kenngroßen furdie Festigkeitsberechnung mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode (1997).

Linke, A.: Bestimmung invarianter Kenngroßen zur Vorhersage der Le-bensdauer von Bauteilen aus linearen FEM-Berechnungen(1998).

LEBENSLAUF

Christian Andreas Mourier

geboren am: 24. Marz 1964 in Hamburgverheiratet, vier Kinder

Sep. 1970 - Juli 1974 Grundschule in HamburgAug. 1974 - Juni 1983 Wilhelm-Gymnasium in HamburgJuni 1983 - Sep. 1984 Grundwehrdienst

Jan. 1985 - Jan. 1987 Ausbildung zum Industriekaufmann, Daimler-Benz AG Niederlassung Hamburg

Okt. 1987 - Jan. 1995 Studium des Maschinenbaus, StudienrichtungKonstruktionstechnik an der TU Berlin, Ab-schluß als Diplom-Ingenieur

Feb. 1995 - Juni 1997 Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der TUBerlin, Institut fur MaschinenkonstruktionFachgebiet Konstruktionslehre, Prof. Dr.-Ing.H. Mertens

Nov. 1997 - Sep. 2001 Projektingenieur bei der MAN Turbomaschi-nen AG GHH BORSIG, Berlin

seit Okt. 2001 Leiter Konstruktion Kompressoren Berlin beider MAN Turbomaschinen AG GHH BORSIG

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