Bestimmung der Schallgeschwindigkeit

c©Doris Samm 2008 1

Schallgeschwindigkeit von Metallen

1 Der Versuch im Uberblick

Wir sind von Schallwellen umzingelt. Sei es durch wohlklingende Musik oder larmen-de Maschinen. Manchmal knallt es auch (Abb. 1).

Abbildung 1: Mogliche Schallquellen.

Schallwellen konnen sich nur in einem Medium ausbreiten: einem Gas, einer Flussig-keit oder einem Festkorper. Klar! Kein Medium, keine Schallwelle: Das Vakuum istlautlos. Doch wie schnell breitet sich eine Schallwelle aus? Vielleicht mit 330 m/soder doch eher mit 1530 m/s?

Beide Antworten konnten richtig sein, denn die Ausbreitungsgeschwindigkeit einerSchallwelle - kurz Schallgeschwindigkeit genannt - hangt von vielen Faktoren ab.So ist es z.B. nicht egal, ob die Schallwelle sich in Kupfer oder Luft ausbreitet undwelche Temperatur die Medien haben.

Die Kenntnis von Schallgeschwindigkeiten ist wichtig, hilft sie doch abzuschatzen,wie weit ein Gewitter entfernt ist oder zu messen, wie tief das Meer ist (Abb.2).

Fur einige wenige Spezialfalle kann man die Schallgeschwindigkeit berechnen, meistsind jedoch Messungen notwendig.

Wie kann man die Schallgeschwindigkeit unterschiedlicher Medien, insbesonderedie von Metallen, messen?


Abbildung 2: Den Abstand zu einer Gewitterzone und die Meerestiefe kann manmit Hilfe von Schallwellen bestimmen.

Es gibt viele Methoden. Im Rahmen des Praktikumversuchs lernen Sie zwei Me-thoden kennen:

Laufzeitmessung

Sie sollen die Schallgeschwindigkeit von Metallen mit Hilfe von Laufzeit-messungen bestimmen. Diese Methode ist (relativ) einfach. Man misst dieZeit ∆t, die eine Schallwelle zum Durchlaufen einer bestimmten Strecke ∆sbraucht.

Eine einfache Rechnung fuhrt zur Schallgeschwindigkeit c: Man nehme diefur diesen Spezialfall gultige Gleichung der Geschwindigkeit

c = ∆s/∆t

und setze die gewonnenen Messwerte ein. Diese Methode ist – scheinbar –einfach. Wie Sie im Praktikumsversuch feststellen werden, ist die Messungnur mit relativ hohem elektronischem Aufwand machbar. Wie kann manaber mit einfachen technischen Mitteln die Schallgeschwindigkeit von Metal-len bestimmen? Die Antwort lautet: Mit Hilfe der sogenannten Kundt’schenStaubfiguren.

Kund’tsche Staubfiguren

Mit Hilfe der Kundt’schen Staubfiguren kann man mit technisch einfachenHilfsmitteln die Schallgeschwindigkeit, z.B. von Metallen, bestimmen. Aller-dings hat die Methode einen kleinen

”Nachteil“: Sie ist physikalisch ziemlich

trickreich.


Bei der Methode Kundt’sche Staubfiguren wird in einem Metallstab eineSchallwelle erzeugt. Die Schallwelle wird auf eine Luftsaule, die sich in ei-nem Glasrohr befindet, ubertragen. Dort bilden sich stehende Wellen, dieman mit Hilfe von aufgewirbeltem Korkmehl sichtbar macht. Man bestimmtdie Wellenlange der stehenden Welle der Luftsaule λL und des Metalls λM .Mit der bekannten Schallgeschwindigkeit von Luft cL erhalt man die Schall-geschwindigkeit vom Metall cM :

cM = cLλM

λL

.

Im Rahmen des Praktikumsversuchs sollen Sie die Schallgeschwindigkeit von zweiverschiedenen Metallen mit Hilfe der beiden Methoden bestimmen. Weiterhin sollenSie das Frequenzspektrum von Schallwellen messen.

2 Die Kundt’schen Staubfiguren

Die Bestimmung von Geschwindigkeiten aus Laufzeitmessungen ist vom Prinzipher wohl jedem klar. Was aber verbirgt sich hinter den Kundt’schen Staubfiguren?

Kundt’sche Staubfiguren erzeugt man mit Hilfe der Kundt’schen Anordnung, be-nannt nach dem deutschen Physiker A. Kundt. Die Kundt’sche Anordnung bestehtaus einem mit Korkmehl gefullten Glasrohr und einem Metallstab. An einem Endedes Metallstabes ist ein durchbohrter Korkstopfen aufgeschoben. Der Metallstabist (sehr) fest in der Mitte eingespannt und ragt in das Glasrohr hinein (Abb. 3).

Abbildung 3: Kundt’sche Anodnung.

Der Stab wird durch axiales Reiben in Schwingungen versetzt, die sich im Metall-stab ausbreiten: Es entsteht eine Schallwelle, die durch einen hohen Ton deutlichhorbar ist. Die Schallwelle wird am Ende des Stabes reflektiert und uberlagert sichmit der einlaufenden Welle zu einer stehenden Welle.


Der Korkstopfen am Ende des Stabes ubertragt die Schallwelle auf die Luft imGlasrohr. Erreicht die Schallwelle das Ende des Glasrohres, wird sie ebenfalls –unabhangig davon, ob das Glasrohr verschlossen oder offen ist – reflektiert unduberlagert sich mit der einlaufenden Welle zu einer stehenden Welle. Sie wirbeltdas Korkmehl auf: Es entstehen die Kundt’schen Staubfiguren (Abb. 4).

Abbildung 4: Kundt’sche Staubfiguren.

Das aufgewirbelte Korkmehl bildet ein bizarres Muster mit rippenartigen Un-terstrukturen. Als ubergeordnete Struktur entstehen in regelmaßigen AbstandenSchwingungsbauche (Orte, an denen die Auslenkung maximal wird) und Schwin-gungsknoten (Orte, an denen die Auslenkung immer null ist) (Abb. 5).

(Ubrigens: Die physikalische Erklarung der Rippenstruktur ist außerst kompliziert. Sie basiertauf der Bildung von Turbulenzen beim Umstromen der Korkteilchen und elektrostatischer Krafte.Wir uberlassen die Erklarung den Experten.)

Die Schwingungsbauche kann man nicht sehen, aber die Schwingungsknoten: Anden Orten der Schwingungsknoten passiert nichts. Das Korkmehl bleibt da wo esist: Es ruhrt sich nicht vom Fleck.

Abbildung 5: Kundt’sche Staubfiguren.

Mit Hilfe der Kundt’schen Staubfiguren (hier das aufgewirbelte Korkmehl) kannman die Wellenlange der Schallwelle λL von Luft bestimmen, indem man denAbstand zwischen zwei Schwingungsknoten misst. Mit der (bekannten) Schallge-schwindigkeit von Luft cL folgt daraus die Frequenz fL. Die Frequenz der Schallwel-le in Luft fL ist identisch mit der im Metallstab fM . Da man die Wellenlange derSchallwelle im Metall λM mit Hilfe theoretischer Uberlegungen bestimmen kann,ist der Weg frei zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit des Metallstabes cM :

cM = cLλM

λL

.


Soweit zum Versuchsaufbau und dem Versuchsgeschehen.

Es stellen sich folgende Fragen: Warum bilden sich im Metallstab und in derLuftsaule des Glasrohres stehende Wellen? Wie kann man mit Hilfe von theore-tischen Uberlegungen die Schallgeschwindigkeit des Metallstabes bestimmen unduberhaupt: Was sind Schallwellen? Klarheit bringen die folgenden Abschnitte.

3 Schallwellen

3.1 Laufende Schallwellen

Wie entsteht eine Schallwelle? Zur Erklarung nehmen wir als Medium das Gas desKundt’schen Rohrs. (Ahnliche Uberlegungen gelten fur den Metallstab.)

In die Luftsaule des Kundt’schen Rohres ragt der Metallstab (ST) mit seinemKorkstopfen und wirkt wie ein Stempel (Abb. 6).

Abbildung 6: Rohr mit Stempel (schematisch).

Durch das axiale Reiben des Metallstabes werden die longitudinalen Schallwellenerzeugt und zwingen den Korkstopfen zu Schwingungen.

Angenommen unser “Stempel“ wird nur einmal fur kurze Zeit mit der Geschwin-digkeit u nach rechts verschoben (Abb. 7). Was passiert?

Abbildung 7: Ausbreitung der Druckwelle.


Die angrenzenden Gasteilchen bewegen sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit unach rechts, treffen nach einer kurzen Laufzeit (ca. 10−7s) auf benachbarte Teilchenund ubertragen ihren Impuls. Die getroffenen Gasteilchen geben nach kurzer Zeitebenfalls ihren Impuls an weiter rechts liegende Nachbarteilchen weiter und so fort.Die Storung breitet sich im Raum aus: Es entsteht eine Schallwelle.

Durch den Impulsubertrag entsteht eine kurzzeitige Dichte- und Druckerhohung,die sich im Raum mit der Geschwindigkeit c – der Schallgeschwindigkeit – ausbrei-tet. In Abbildung 8 ist die Ausbreitung des Druckpulses p schematisch dargestellt.

Abbildung 8: Ausbreitung des Druckpulses.

Die Druckstorung wandert um die Strecke x = ct nach rechts, wahrend sich in derNahe des Stempels der Gleichgewichtszustand wieder einstellt. Alle Luftteilchenbleiben an ihrem Ort, nur der Impuls ist weitergegeben worden.

Bewegt man den Stempel periodisch hin und her, werden ebenfalls die Luftteilchenzu einer periodischen Bewegung angeregt: Sie schwingen und ubertragen ihrenSchwingungszustand auf die benachbarten Gasteilchen.

Abbildung 9: Ausbreitung der periodischen Druckwelle.

Schwingen die Teilchen in Ausbreitungsrichtung der Welle, wird der Druck großer,beim Zuruckschwingen wird der Druck kleiner (Abb. 9).


Eine Schallwelle wird durch zwei Großen charakterisiert:

• Zum Einen durch die Geschwindigkeit der Gasteilchen in Ausbreitungsrich-tung der Welle. Diese Geschwindigkeit nennt man Schallschnelle u.

(Bitte unterscheiden Sie sorgfaltig zwischen der Schallschnelle u der Gasteilchen und derAusbreitungsgeschwindigkeit der Welle c.)

• Zum Anderen durch eine Druckanderung in Ausbreitungsrichtung der Welle.Diesen Druck – die Differenz zwischen dem Umgebungsdruck und dem Druckder Schallwelle – nennt man Schalldruck.

Die Anderung der Schallschnelle und des Schalldrucks als Funktion von Ort undZeit kann man mathematisch beschreiben.

Zunachst betrachten wir die Schallschnelle.

Wenn wir unterstellen, dass die Schallwelle eine harmonische Welle ist und sich ent-lang der positiven x-Richtung ausbreitet, gilt fur die Schallschnelle u als Funktiondes Ortes x und der Zeit t:

u(x, t) = u∗ sin(kx− ωt). (1)

Die Welle ist durch die Wellenzahl k und die Kreisfrequenz ω charakterisiert undhat die Amplitude u∗. Eine mogliche Phasenverschiebung φ ist im Folgenden ohneBedeutung, deshalb wurde sie gleich null gesetzt.

Was sagt uns Gleichung (1)? Betrachten wir hierzu die Anderung der Schallschnellean einem bestimmten Ort. Da jeder Ort so gut ist wie der andere, machen wir esuns einfach und wahlen den Ort x = 0. Man erhalt fur den Wert der Schallschnelleals Funktion der Zeit (mit φ = 0):

u(x = 0, t) = u∗ sin(−ωt). (2)

Mit Hilfe von (2) sieht man, dass die Schallschnelle abhangig von der Zeit ist undzwischen den Werten u∗ und −u∗ pendelt.

Wie andert sich die Schallschnelle mit dem Ort x? Hierzu betrachten wir die Wellezu einem bestimmten Zeitpunkt, frieren quasi unsere Welle ein, halten das Ge-schehen an und betrachten die raumliche Verteilung der Schallschnelle. Da jederZeitpunkt so gut ist wie der andere, wahlen wir willkurlich aber geschickt t = 0.Fur die Schallschnelle als Funktion des Ortes gilt dann:

u(x, t = 0) = u∗ sin kx, (3)

die Schallschnelle pendelt – wiederum – zwischen den Werten u∗ und −u∗.


Gleichung (1) zeigt, dass bei der laufenden Schallwelle die Schallschnelle zu keinerZeit und an keinem Ort immer null ist.

Ahnliches wie bei der Schallschnelle gilt fur den Schalldruck p(x, t). Die Abhangig-keit des Schalldrucks vom Ort x und der Zeit t lautet:

p(x, t) = p∗sin(kx− ωt). (4)

Die Schallwelle wird wiederum charakterisiert durch die Wellenzahl k und die Kreis-frequenz ω. Auch beim Schalldruck haben wir eine mogliche Phasenverschiebungφ weggelassen, da sie fur die folgenden Betrachtungen keine Rolle spielt.

Der Vergleich von (1) mit (4) zeigt, dass sich die ortliche und zeitliche Abhangigkeitvon Schallschnelle und Schalldruck gleich verhalten:

Bei einer laufenden Welle sind Schallschnelle und Schalldruck in Phase.

(Ubrigens: Die Gleichungen fur die Schallschnelle u∗ (1) und den Schalldruck p (4) fallen nichtvom Himmel, sondern man kann sie herleiten. Die Rechnungen sind allerdings etwas kompliziertund wurden hier den Rahmen sprengen.)

3.2 Stehende Wellen

Laufende Wellen entstehen nur bei einer ungestorten Schallausbreitung: Kein Hin-dernis darf die Welle storen. Dies trifft fur die Kundt’sche Anordnung aber nicht zu.Die Schallwellen, z.B. im Kundt’schen Rohr, werden durch das Rohrende gestort.Was passiert dort?

Fur die Antwort muss man zwei Falle unterscheiden:

• Das Rohrende ist offen.

• Das Rohrende ist (z.B. mit einem Stopfen) verschlossen.

Betrachten wir zunachst den Fall, dass das Rohrende mit einem Stopfen verschlos-sen ist (Abb. 10).

Das Muster der Kundt’schen Staubfiguren wird durch die Schallschnelle bestimmt.Daher beschranken wir uns auf die Beschreibung der Schallschnelle.

Im Fall des geschlossenen Endes (auch schallharter Abschluß genannt) trifft dieSchallwelle auf ein Hindernis – den Stopfen – und wird dort vollstandig reflektiert.Die Schallwelle setzt ihren Weg mit identischer Amplitude aber in entgegengesetz-ter Richtung fort (Abb 11).

Am geschlossenen Ende tritt ein Phasensprung der Welle um 180◦ auf. Daher istdie Schallschnelle am geschlossenen Ende immer null.


Abbildung 10: Das an beiden Enden geschlossene Kundt’sche Rohr.

Abbildung 11: Hinlaufende und am geschlossenen Ende reflektierte, rucklaufendeWelle.

(Ubrigens: Sie konnten kritisch einwanden: Wird die Schallwelle wirklich vollstandig reflektiert?Die Antwort ist: Nein. In Wirklichkeit spielen Reibungsverluste eine Rolle. Aber: Das Modell

”Reibungsfreie Bewegung“ macht das Geschehen erst fur uns beschreibbar und dies – wie Sie mitIhrer Messung bestatigen werden – mit guter Genauigkeit.)

Der reflektierten Welle kommt aber die einlaufende Welle entgegen. Was passiert?Beide Wellen uberlagern sich und zwar so, dass an der Stelle der Reflexion – demschallharten Ende – die Schallschnelle null ist und zwar zu jedem Zeitpunkt!

Klar, das leuchtet ein, denn am Hindernis – dem Stopfen – prallen die Luftteilchenauf den Stopfen und konnen sich unter keinen Umstanden in der ursprunglichenAusbreitungsrichtung weiterbewegen.

Das Resultat der Uberlagerung der beiden Wellen ist keine laufende Welle, sonderneine stehende Welle.

Wie sieht die mathematische Beschreibung aus? Die hinlaufende Welle u1 wirddurch

u1 = u∗ sin(kx− ωt) (5)

beschrieben, die rucklaufende durch


Abbildung 12: Hin- und (am geschlossenen Ende) rucklaufende Welle.

u2 = u∗ sin(kx+ ωt). (6)

Fur die resultierende Welle ergibt sich:

u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) = u∗ sin(kx− ωt) + u∗ sin(kx+ ωt) . (7)

Mit Hilfe des Additionstheorems

sinα + sin β = 2 sinα + β

2· cos

α− β2

(8)

erhalt man:u(x, t) = 2u∗ sin(kx) · cos(ωt) . (9)

Eine Umformung erleichtert die Interpretation der Gleichung. Hierzu nutzen wirdie Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer T , bzw. derWellenzahl k und der Wellenlange λ:

ω =2π

T, k =

2π

λ

und erhalten durch Einsetzen in Gleichung (9):

u(x, t) = 2u∗ sin(2π

λx) · cos(

2π

T· t) . (10)

Die zeitliche Anderung der Schallschnelle steckt nur im cos-Term. Der wird aberzu bestimmten Zeiten null, namlich

cos(2π

Tt) = 0 fur t =

1

4T, t =

3

4T, ... .


Dies bedeutet, dass zu diesen Zeitpunkten auch die Schallschnelle null ist und zwaran jedem Ort!

Ahnliches gilt fur die Ortsabhangigkeit. Es gibt Orte, an denen die Schallschnelleimmer null ist.

Unsere resultierende Welle kann keine laufende Welle sein: Sie ist eine stehendeWelle.

In regelmaßigen Abstanden entstehen sogenannte Schwingungsbauche (maximaleSchallschnelle) und Schwingungsknoten (die Schallschnelle ist immer null). Beach-ten Sie, dass Knoten und Bauche ortsfest sind und sich nicht, wie bei der laufendenWelle, langs der x-Richtung ausbreiten. In Abbildung 13 ist zu verschiedenen Zeit-punkten die raumliche Verteilung der stehenden Welle dargestellt.

Abbildung 13: Schallschnelle der stehenden Welle zu verschiedenen Zeitpunkten(linkes Ende geschlossen, rechtes Ende offen).

Bei einer stehenden Welle schwappt die Storung hin und her.

Betrachten wir nun, an welchen Orten die Schwingungsbauche, bzw. Schwingungs-knoten auftreten.

Die Schnelle wird maximal, falls

sin(2π

λ· x) = 1 =⇒ 2π

λ· x =

1

2π,

3

2π,

5

2π, .... . (11)


Damit erhalt man fur die Positionen x der Schwingungsbauche:

x =1

4λ,

3

4λ,

5

4λ, ... . (12)

Die Bedingung fur die Schwingungsknoten lautet:

sin(2π

λ· x) = 0 =⇒ 2π

λ· x = π, 2π, 3π, ... , (13)

womit man fur die Position der Schwingungsknoten

x = n · λ2

(14)

erhalt. Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Schwingungsbauchenoder Schwingungsknoten ist also λ/2.

Die Frage ist: Kann jede beliebige Welle im Glasrohr eine stehende Welle bilden?Nein! Es passen nur Wellen ganz bestimmter Wellenlange in das Kundt’sche Rohr.

In dem Glasrohr bilden sich nur dann stehende Wellen, wenn die Auslenkung derGasteilchen an den Enden null ist: Das Ende des Glasrohrs ist ja geschlossen. Wenndas Glasrohr die Lange LG hat, gilt fur die moglichen Wellenlangen der stehendenWelle:

λ =2LG

nmit n = 1, 2, 3, ... . (15)

Ist n = 1, spricht man von der Grundwelle, fur n = 2, 3, ... von der 1., 2., ...Oberwelle.

Mit Hilfe von Abb.14 konnen Sie den Beweis von Gleichung (15) geben. In Ab-bildung 14 sind zu verschiedenen Zeitpunkten die Schallschnelle als Funktion desOrtes fur eine Grundwelle und die erste und zweite Oberwelle dargestellt.

Abbildung 14: Grund- und Oberwellen einer stehenden Welle zu verschiedenenZeitpunkten.

Beim Kundt’schen Versuch sollen Sie ebenfalls Messungen ohne den Stopfen amEnde des Glasrohrs durchfuhren, also mit offenem Ende (das andere Ende bleibt


weiterhin geschlossen, dort ist ja der Korkstopfen). Man konnte vermuten, dass indiesem Fall die Welle ungehindert in den Außenraum entweicht, da kein Hindernisvorhanden ist.

Tatsachlich tritt aber auch am offenen Rohrende (allgemein an jedem Querschnitts-sprung) eine Reflexion auf. Das offene Rohr ist ebenso ein Hindernis wie eine harteWand, nur sind die Knoten und Bauche um λ/4 verschoben. (Leiten Sie fur diesenFall – ein Ende geschlossen, ein Ende offen – die Beziehung zwischen Rohrlangeund Wellenlange her.)

Als letztes Beispiel betrachten wir den Metallstab. Der Metallstab ist in der Mittefest eingespannt: jedes Metallteilchen ist dort (im Idealfall) ortsfest gebunden. DieEnden dagegen sind frei beweglich. In dem Stab der Lange LM sind nur solchestehende Wellen moglich, die an beiden Stabenden Schwingungsbauche ergebenund in der Stabmitte einen Schwingungsknoten haben (Abb.15).

Abbildung 15: Stehende Wellen, beide Enden offen: Grundwelle, 2. Oberwelle, 4.Oberwelle.

Fur die Bedingung der Wellenlange ergibt sich in diesem Fall (siehe Abb. 15):

λM =2LM

2n+ 1mit n = 0, 1, 2, ... . (16)

Nun haben Sie einiges zu stehenden Schallwellen kennengelernt. Wie kann man die-ses Wissen nutzen, um die Schallgeschwindigkeit des Metallstabes zu bestimmen?


Sie kennen die Schallgeschwindigkeit cL von Luft (siehe Gl. 22 in Abschnitt 5.1 ).Weiterhin konnen Sie die Wellenlange der Schallwelle in Luft aus der Messung derAbstande der Knoten der stehenden Welle ermitteln, somit ist λL bekannt.

Außerdem kennen Sie die Wellenlange λM der Schallwelle im Metallstab. Woher?Die konnen Sie theoretisch erschließen, wenn Sie die Lange des Metallstabes ge-messen haben und unterstellen, dass sich nur die Grundwelle ausbildet.

Sie kennen also cL, λL, λM . Unbekannt sind die Frequenzen der Schallwellen in LuftfL und dem Metall fM , sowie die Schallgeschwindigkeit cM im Metall: Die sollenSie letztendlich bestimmen.

Hierzu nutzen Sie, dass allgemein die Schallgeschwindigkeit durch das Produkt vonFrequenz und Wellenlange gegeben ist.

Fur die Luft und das Metall gilt somit:

cL = fLλL , (17)

cM = fMλM . (18)

Weiterhin nutzen Sie, dass beim Ubergang einer Welle von einem Medium in einanderes die Frequenz erhalten bleibt. In unserem Fall gilt also:

fL = fM . (19)

Auflosen der Gleichungen (17) und (18) nach der Frequenz und gleichsetzen ergibt:

cLλL

=cMλM

. (20)

Diese Gleichung losen Sie nach der Schallgeschwindigkeit des Metalls cM auf underhalten:

cM = cLλM

λL

. (21)


4 Versuchsaufbauten

4.1 Kundt’sche Staubfiguren

Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Metallen nutzen Sie die sogenannteKundt’sche Anordnung. Sie besteht aus einem horizontalen ca. 1 m langem Glas-rohr, in das ein Metallstab hineinragt. Der Stab ist in der Mitte fest eingespannt(Abb. 16).

Abbildung 16: Kundt’sche Anordnung.

Zur besseren Schallabstrahlung der Schallwelle in das Glasrohr, befindet sich amEnde des Metallstabes ein Korkstopfen (Abb. 17).

Abbildung 17: Metallstab mit Korkstopfen im Glasrohr.

Das Glasrohr kann am Ende offen oder mit einem Stopfen verschlossen sein (Abb.18).

Abbildung 18: Kundt’sches Rohr mit offenem und mit abgeschlossenem Ende.


4.2 Frequenzspektrum

Mit Hilfe eines an einem Computer angeschlossenen Mikrofons wird der Ton, derbeim Kundt’schen Versuch erzeugten Schallwelle, aufgenommen. Das ProgrammOvertone zerlegt den Ton in die einzelnen Frequenzen.

Fur den Versuchsaufbau stehen Ihnen folgende Komponenten zur Verfugung (Abb.19):

• Metallstabe aus Aluminium, Kupfer, Messing und Stahl,

• Mikrofon,

• Computer,

• Programm Overtone.

Abbildung 19: Kundt’sche Anordnung mit Mikrofon und Computer.

4.3 Laufzeitmessungen

Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit von Metallen nach der Methode derLaufzeitmessungen stehen Ihnen folgende Komponenten zur Verfugung (Abb. 20):

• Metallstabe aus Aluminium, Kupfer, Messing und Stahl,

• Halterung fur die Metallstabe,


• Netzgerat, piezoelektrischer Drucksensor,

• Metermas, Kugel, Hulse fur die fallende Kugel,

• Sensor Cassy, timer Box.

• Computer zur Messung und Auswertung

Abbildung 20: Versuchsanordnung zur Laufzeitmessung.

5 Versuchsdurchfuhrung

Ihre Aufgabe besteht in der Bestimmung der Schallgeschwindigkeit von zwei Me-tallen nach zwei Methoden.

Zunachst bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit mit Hilfe der Kundt’schen Staub-figuren. Danach nehmen Sie das Frequenzspektrum der Schallwellen auf.

Die zweite Methode zur Messung basiert auf der Messung der Laufzeit einer Schall-welle in einem Metallstab.

Zur Auswahl haben Sie Stahl, Messing, Aluminium und Kupfer.

5.1 Kundt’sche Staubfiguren

Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit von Metallen, mussen Sie die Schall-geschwindigkeit von Luft kennen. In Gasen ist die Schallgeschwindigkeit abhangigvon der Temperatur θ. Speziell fur Luft gilt:


cL = (331 +θ

1, 67C) m/s . (22)

Messen Sie die Raumtemperatur θ in ◦C und berechnen Sie die Schallgeschwindig-keit.

Messen Sie die Lange des Stabes der Kundt’schen Anordnung und berechnen Siedie Wellenlange λM der Schallwelle des Metallstabes. Nehmen Sie hierzu an, dasssich in der Mitte des Stabes ein Wellenknoten und an den beiden Enden jeweils einWellenbauch befindet. Außerdem durfen Sie annehmen, dass sich nur die Grund-welle bildet.

Zur Bestimmung der Wellenlange von Schallwellen in Luft fuhren Sie folgendeArbeitsschritte durch:

1. Verteilen Sie das Korkmehl moglichst gleichmaßig innerhalb des Glasrohres(Abb. 21).

Abbildung 21: Verteilen des Korkmehls im Glasrohr.

2. Justieren Sie die Kundt’sche Rohre so, dass der Korken am Ende des Stabesin der Rohre frei schwingen kann. Die Glaswand darf nicht beruhrt werden(Abb. 22).

Abbildung 22: Justieren der Glasrohre.

3. Streuen Sie (sparsam) Kolophonium (Abb. 23) auf den Filzlappen (mit seinerHilfe wird der Metallstab in Schwingungen versetzt).


Abbildung 23: Filzlappen mit Kolophonium.

4. Ziehen Sie den Filzlappen axial und ohne allzu großen Druck uber das freieStabende. Es entsteht ein lauter Ton (Abb. 24).

Abbildung 24: Erzeugung der Welle im Metallstab.

5. Stimmen Sie durch Verschieben der Glasrohre die Luftsaule auf Resonanzab. Die Resonanzlange konnen Sie am Aufwirbeln des Korkstaubs in denSchwingungsbauchen erkennen (Abb. 25). (Hier hilft nur probieren!)

Abbildung 25: Einstellen der Resonanzlange und Kundt’sche Staubfiguren.

6. Messen Sie den Abstand zweier moglichst weit auseinander liegender Schwin-gungsknoten und zahlen Sie die Anzahl n der dazwischen liegenden Bauche.Berechnen Sie die Wellenlange λL der Schallwelle in Luft.

7. Fuhren Sie den Versuch mehrmals durch und bilden Sie den Mittelwert vonλL.


8. Stellen Sie die Messwerte in einer geeigneten Tabelle dar. Berechnen Sie dieFrequenz fM und die Schallgeschwindigkeit cM des Stabmaterials. (Fehler-rechnung nicht vergessen!)

9. Fuhren Sie den Versuch mit einem Metallstab aus einem anderen Materialdurch.

10. Wiederholen Sie den Versuch mit am Ende geschlossenem Glasrohr (Abb.26).

Abbildung 26: Verschließen des Rohrendes mit einem Stopfen.

11. Vergleichen Sie Ihre gemessenen Schallgeschwindigkeiten mit Literaturwerten(z.B. aus dem Internet).

5.2 Frequenzspektrum

Mit Hilfe dieses Versuchs konnen Sie messen, ob sich im Metallstab nur die Grund-welle mit einem Knoten in der Mitte oder auch Oberwellen bilden. Da Ihnen dieSchallgeschwindigkeit bereits aus dem ersten Versuchsteil bekannt ist, konnen Sieaus dem Frequenzspektrum der Schallwelle die moglichen Wellenlangen bestimmen.

Gehen Sie hierzu folgendermasen vor:

1. Stellen Sie das Mikrofon in die Nahe des Metallstabes der Kundt’schen An-ordnung.

2. Starten Sie das Programm Overtone. (Fragen Sie hierzu Ihre Assistentin/IhrenAssistenten.)

3. Klicken Sie in dem Fenster License Information auf Continue, und das Pro-gramm wird gestartet.

4. Klicken Sie auf das Bild, um eine vergroßerte Ansicht zu erhalten (Abb. 27).

5. Starten Sie den Analyser, indem Sie im ersten Menupunkt der Kopfleistefile den Unterpunkt Experiments und dort wiederum den ersten UnterpunktAnalyser wahlen (Abb. 28).


Abbildung 27: Ansicht der Programmoberflache.

Abbildung 28: Ansicht der Kopfleiste.

6. Bereiten Sie das Programm fur die Aufnahme der Schallwelle vor, indem Sieim Analyser Control Panel auf Run klicken (Abb. 29).

Abbildung 29: Ansicht”Analyser Control Panel“.

7. Bringen Sie den Metallstab der Kundt’schen Anordnung zum Schwingen undklicken Sie dann auf Stop. Am Monitor erscheint das Frequenzspektrum (Abb.30).

8. Lesen Sie im Fenster Frequency window das Frequenzspektrum ab und be-rechnen Sie die Wellenlangen.

9. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis.


Abbildung 30: Frequenzspektrum.

5.3 Laufzeitmessung

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Schallwelle kann man im Prinzip einfachbestimmen, indem man die Schallwelle eine bestimmte Strecke ∆x durchlaufenlasst und die dazu benotigte Zeit ∆t misst. Die Schallgeschwindigkeit ergibt sichdann durch:

c =∆x

∆t. (23)

Bei diesem Versuch werden Schallschwingungen in elektrische Schwingungen einesPiezokristalls umgewandelt, die mit Hilfe einer elektronischen Mimik aufgezeichnetund mit Hilfe eines Computers abgespeichert werden.

Zur Messung schieben Sie einen Metallstab vorsichtig (!) senkrecht in die dafurvorgesehene Halterung. Achten Sie darauf, dass der Stab nicht eingespannt ist.

Der Metallstab ruht auf einem piezoelektrischen Korper, der die Druckimpulse derSchallwelle in elektrische Pulse umwandelt. Diese werden am Eingang des elektri-schen Sensors aufgezeichnet. Zur Messung wird die Mehrfachreflexion eines kurzenSchallpulses ausgenutzt.

Nachdem alle Gerate eingeschaltet sind und Sie das Messprogramm geladen haben(Assitentin/Assistenten fragen), starten Sie die Messung mit F9 oder dem Uhren-symbol in der Menuleiste. Das Programm wartet nun auf ein Schallsignal.

Durch Fallenlassen einer Stahlkugel innerhalb einer Hulse auf das obere Ende desStabes (Assistentin/Assistenten fragen) erzeugen Sie einen kurzen Schallimpuls.An beiden Enden wird er nacheinander mehrfach reflektiert, wobei die an einemStabende ankommenden Impulse gegeneinander um ∆t verzogert sind. Es erscheintein der Abbildung 31 ahnliches Diagramm.

Eine Fehlmessung kann man folgendermasen loschen:

Gehen Sie mit der Maus in den Tabellenbereich (linke Bildschirmseite) und druckenSie die rechte Maustaste. Wahlen Sie aus dem Menu Letzte Messreihe loschen.


Abbildung 31: Diagramm zur Laufzeitmessung.

Bestimmen Sie die zeitlichen Abstande T der Minima und Maxima. Zur Verbesse-rung der Genauigkeit nehmen Sie die Differenz uber mehrere Perioden. Drucken Siehierzu die rechte Maustaste im Diagrammbereich (rechte Bildschirmseite). WahlenSie den Menupunkt Markierung setzen und wahlen Sie dort im Untermenu Diffe-renz messen.

Der Differenzwert wird unten links angezeigt. Teilen Sie den Wert durch die Zahln der Maxima oder Minima, die Sie uber den gestrichenen Bereich gezahlt haben.

Da T die Summe aus Hin- und Rucklaufzeit ist, gilt fur die Schallgeschwindigkeitbei einer Stablange s:

c =2s

t/nbzw. c =

2s

T. (24)

Fuhren Sie das Experiment 5 Mal mit zwei verschiedenen Metallstaben durch.

Diskutieren Sie Ihre Messergebnisse und vergleichen Sie die Ergebnisse mit derMessung der Schallgeschwindigkeiten nach der Kundt’schen Methode.

Bestimmung der Schallgeschwindigkeit

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