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Bestimmung von Schwerpunkten Merke: Jeder Körper hat einen Punkt, in dem man sich sämtliche Massekräfte als seine gesamte Eigenlast vereinigt denken kann. Dieser Massemittelpunkt ist der Angriffspunkt der gesamten Schwerkraft eines Körpers. Es ist der Schwerpunkt. Für den Schwerpunkt heben sich die Drehmomente aller Kräfte der Masseteilchen gegenseitig auf. Die Lage des Schwerpunktes wird nur durch seine geometrische Form bestimmt, wenn der Körper eine homogene Struktur besitzt. Alle gerade Linien, die durch den Schwerpunkt gehen, sind Schwerelinien. Beim Aufhängen eines Körpers an den Punkten P 1 bis P 3 wird sich der Schwerpunkt durch die Erdanziehungskraft soweit wie möglich nach unten bewegen. Der Schwerpunkt befindet sich dann lotrecht unter dem Aufhängepunkt. Von beliebigen Aufhängepunkten ausgehende lotrechte Linien sind Schwerelinien. Alle diese Linien schneiden sich in einem Punkt. Es ist der Schwerpunkt. Folie (siehe Bild rechts) a) Schwerpunkt von Körpern Kugel: Der Schwerpunkt einer Kugel ist ihr Mittelpunkt. Quader: Die Raumdiagonalen eines Quaders schneiden sich im Schwerpunkt. Prisma: Die Mitte der Verbindungslinien der Schwerpunkte von Grund- u. Deckfläche ist der Schwerpunkt. Pyramide u. Kegel: Schwerpunkt liegt im Viertelspunkt der Verbindungslinie vom Schwerpunkt der Grundfläche zur Spitze. Folie: Schwerpunkte von Körpern Merke: In der Praxis wird man oft nur die Schwerpunkte von prismatischen Körpern zu bestimmen haben. Träger und Balken sind solch prismatische Körper. Hierbei bestimmt man den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Die Verbindungslinie aller Querschnittsflächen ist die sog. Schwereachse eines Körpers, sie wird auch Stabachse genannt. Der Schwerpunkt kann auch außerhalb einer Querschnittsfläche liegen. Damit liegt auch die Schwereachse außerhalb des Körpers. Folie: - Stabachse eines prismatischen Körpers - Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Körpers liegen.
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Bestimmung von Schwerpunkten
Merke:Jeder Körper hat einen Punkt, in dem man sich sämtliche Massekräfte als seine gesamteEigenlast vereinigt denken kann. Dieser Massemittelpunkt ist der Angriffspunkt dergesamten Schwerkraft eines Körpers. Es ist der Schwerpunkt. Für den Schwerpunkt hebensich die Drehmomente aller Kräfte der Masseteilchen gegenseitig auf.
Die Lage des Schwerpunktes wird nur durch seine geometrische Formbestimmt, wenn der Körper eine homogene Struktur besitzt. Alle geradeLinien, die durch den Schwerpunkt gehen, sind Schwerelinien. BeimAufhängen eines Körpers an den Punkten P1 bis P3 wird sich derSchwerpunkt durch die Erdanziehungskraft soweit wie möglich nachunten bewegen. Der Schwerpunkt befindet sich dann lotrecht unter demAufhängepunkt. Von beliebigen Aufhängepunkten ausgehende lotrechteLinien sind Schwerelinien. Alle diese Linien schneiden sich in einemPunkt. Es ist der Schwerpunkt.
Folie (siehe Bild rechts)
a) Schwerpunkt von Körpern
Kugel: Der Schwerpunkt einer Kugel ist ihr Mittelpunkt.Quader: Die Raumdiagonalen eines Quaders schneiden sich im Schwerpunkt.Prisma: Die Mitte der Verbindungslinien der Schwerpunkte von Grund- u. Deckfläche
ist der Schwerpunkt.Pyramide u.Kegel: Schwerpunkt liegt im Viertelspunkt der Verbindungslinie vom Schwerpunkt der
Grundfläche zur Spitze.
Folie: Schwerpunkte von Körpern
Merke:In der Praxis wird man oft nur die Schwerpunkte von prismatischen Körpern zu bestimmenhaben. Träger und Balken sind solch prismatische Körper. Hierbei bestimmt man denSchwerpunkt der Querschnittsfläche. Die Verbindungslinie aller Querschnittsflächen ist diesog. Schwereachse eines Körpers, sie wird auch Stabachse genannt. Der Schwerpunkt kannauch außerhalb einer Querschnittsfläche liegen. Damit liegt auch die Schwereachse außerhalbdes Körpers.
Folie: - Stabachse eines prismatischen Körpers- Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des Körpers liegen.
b) Schwerpunkt von FlächenMerke:Unter dem Schwerpunkt einer Fläche stellt man sich den Schwerpunkt eines sehr dünnenscheibenförmigen Körpers vor. Meist sind die untersuchten Flächen die Querschnittsflächenvon Körpern. Bei Flächen mit einer Symmetrieachse liegt der Schwerpunkt auf derSymmetrieachse. Bei Flächen mit mehreren Symmetrieachsen liegt der Schwerpunkt imSchnittpunkt der Symmetrieachsen und ist damit bekannt.
Folie: - Schwerpunkt auf der Symmetrie- achse- Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt
mehrerer Symmetrieachsen
b1) Einfache Flächen (Folie Schwerpunkte von Flächen)
Parallelogramm, Rechteck u. Quadrat
Schwerpunktabstand z0 = h/2
Der S. liegt im Schnittpunkt derDiagonalen
Dreieck
Schwerpunktabstand z0 = h/3
Der S. liegt im Schnittpunkt derSeitenhalbierenden.
Trapez
Schwerpunktabstandbabahz
++
*=2
30
babahz
++
*=2
30
'
Der S. liegt auf der Verbindungslinie derMittelpunkte der parallelen Seiten undauf der Verbindungslinie der verlängertenparallelen Seiten.
Regelmäßige Vielecke
Der S. ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Kreis u. Kreisring
Der S. ist der Kreismittelpunkt.
KreisausschnittKreisabschnittHalb- u. Viertelkreis
Der Schwerpunktabstand z0 einerKreisausschnittsfläche vomKreismittelpunkt M wird berechnet mit
bsrz *
*=32
0
Für die Halbkreis- u. Viertelkreisflächeergibt sich daraus mit s = 2r und b = rp
p
prz
rrrz
*=
**
*=
34
232
0
0
Kreisabschnitt
Der Schwerpunktabstand bei flachenKreisabschnittflächen kannnäherungsweise berechnet werden mit
hz52
0 =
Profilflächen
Die Maße für die Lage des Schwer-punktes bei genormten Profilen aus Stahlsind den Profiltafeln zu entnehmen undbrauchen nicht mehr berechnet zuwerden.
c) Zusammengesetze Flächen (Folie Zusammengesetzte Flächen)Merke:Zusammengesetzte Flächen bestehen aus mehreren bestimmbaren Einzelflächen. Sind dieseEinzelflächen symmetrisch angeordnet, liegt der Schwerpunkt in der Symmetrieachse bzw.im Schnittpunkt der Symmetrieachsen.
Merke (Fortsetzung):Auch andere Flächen, deren Schwerpunkt durch Zerlegen in Teilflächen bestimmt werdenkann, nennt man zusammengesetzte Flächen. Bei zusammengesetzten Flächen kann derSchwerpunkt berechnet werden, wenn die Einzelschwerpunkte leicht zu bestimmen sind. DieFläche wird dann in Teilflächen mit bekannten Schwerpunkten zerlegt (Rechtecke, Dreieckeusw.). Es wird der Momentensatz angewendet, indem anstelle der Kräfte nun die Teilflächeneingesetzt werden.
Folie (Zusammengesetzte Flächen)
Aus
02211 ...... aRaFaF *=+*+* wird jetzt
02211 ...... yAyAyA *=+*+*wobei die Summe aller Teilflächen die Gesamtfläche A ergibt.
Allgemein gilt also
0yAyA ii *=*å bzw. 0zAzA ii *=*å
AyA
y iiå *=0 A
zAz iiå *
=0
Momentensatz
ÜbungsbeispielFür die zusammengesetzte Flächesind die Abstände des Gesamt-schwerpunktes von den Achsenzu berechnen (siehe Folie)
Übungsbeispiel (Fortsetzung)
