Datum: Arbeitsblatt

Beweise mit Vektoren

Aufgabe 1:Beweisen Sie: Ist ein Viereck ABCD ein Parallelogramm, so halbieren sich die Diagonalen.

Beweis: (s. auch LS S. 244 Beispiel 1)

Vorgehensweise Beweis der Aufgabe

1. Schritt:

Skizze

A

CD

B

M

2. Schritt:

Benenne wichtige Vektoren,so wenige wie moglich.

Benennungen: ~u =

AB; ~v =

AD

A

CD

B

Mv

u3. Schritt:

Drucke die Voraussetzungenaus.

Voraussetzungen: Die Seiten sind parallel, d.h.

AB =

DC = ~u;

AD =

BC = ~v.4. Schritt:

Drucke die Behauptung aus. Behauptung: Die Diagonalen werden von ihrem Schnittpunkt

halbiert:

AM =

MC = 12

AC und

DM =

MB = 12

DB

5. Schritt:

Folgere aus der Vorausset-zung die Behauptung.

AC = ~u + ~v;

DB = ~u ~v;

Fur bisher unbekannte reelle Zahlen m,n gilt:

AM = m

AC und

MB = n

DB

Suche einen geschlossenenVektorzug.

AM +

MB +

BA = ~oSetze ein:m (~u + ~v) + n (~u ~v) + (~u) = ~oKlammere um:(m + n 1) ~u + (m n) ~v = ~oWeil ~u und ~v linear unabhangig sind, giltm + n 1 = 0 und m n = 0Losen des LGS liefert m = n = 1

2.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Aufgabe 2:Beweisen Sie die Umkehrung des Satzes:Halbieren sich in einem Viereck ABCD die Diagonalen, so ist das Viereck ein Parallelogramm.