Datum: Arbeitsblatt
Beweise mit Vektoren
Aufgabe 1:Beweisen Sie: Ist ein Viereck ABCD ein Parallelogramm, so halbieren sich die Diagonalen.
Beweis: (s. auch LS S. 244 Beispiel 1)
Vorgehensweise Beweis der Aufgabe
1. Schritt:
Skizze
A
CD
B
M
2. Schritt:
Benenne wichtige Vektoren,so wenige wie moglich.
Benennungen: ~u =
AB; ~v =
AD
A
CD
B
Mv
u3. Schritt:
Drucke die Voraussetzungenaus.
Voraussetzungen: Die Seiten sind parallel, d.h.
AB =
DC = ~u;
AD =
BC = ~v.4. Schritt:
Drucke die Behauptung aus. Behauptung: Die Diagonalen werden von ihrem Schnittpunkt
halbiert:
AM =
MC = 12
AC und
DM =
MB = 12
DB
5. Schritt:
Folgere aus der Vorausset-zung die Behauptung.
AC = ~u + ~v;
DB = ~u ~v;
Fur bisher unbekannte reelle Zahlen m,n gilt:
AM = m
AC und
MB = n
DB
Suche einen geschlossenenVektorzug.
AM +
MB +
BA = ~oSetze ein:m (~u + ~v) + n (~u ~v) + (~u) = ~oKlammere um:(m + n 1) ~u + (m n) ~v = ~oWeil ~u und ~v linear unabhangig sind, giltm + n 1 = 0 und m n = 0Losen des LGS liefert m = n = 1
2.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Aufgabe 2:Beweisen Sie die Umkehrung des Satzes:Halbieren sich in einem Viereck ABCD die Diagonalen, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
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