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Einstufiges BinomialmodellMehrstufiges Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein

Binomialmodell fur Optionen

Jorg LemmVorlesung Finanzmathematik, WS 08/09

Universitat Munster4.12.2008, 11.12.2008, 18.12.2008

Jorg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Binomialmodell fur Optionen


Definition Optionen

Der Kaufer (Geschaftspartner in der Long-Position) einer(europaischen) Kaufoption (Call) hat das Recht (nicht die Pflicht)einen Basiswert (oder Underlying, z.B. eine Aktie) bei Falligkeit(zum Ausubungszeitpunkt T ) zum Ausubungspreis (Basispreis) K

zu kaufen.

Der Kaufer (Geschaftspartner in der Long-Position) einer(europaischen) Verkaufsoption (Put) hat das Recht (nicht diePflicht) einen Basiswert (oder Underlying, z.B. eine Aktie) beiFalligkeit (zum Ausubungszeitpunkt T ) zum Ausubungspreis(Basispreis) K zu verkaufen.

Der Verkaufer (Stillhalter, Schreiber, Geschaftspartner in derShort–Position) einer Option hat die Pflicht die Option einzulosen.

Bei sog. europaischen Optionen, die wir hier betrachten, hat der Kaufer das

Recht nur am Zeitpunkt T , bei sog. amerikanischen Optionen hat der Kaufer

das Recht jederzeit bis zur Falligkeit T .Jorg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Binomialmodell fur Optionen


Auszahlungsprofil Kaufoption (Kaufer, call long)

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200AT

max(0,AT − K )

Wert einer Kaufoption mit Ausubungspreis (Basispreis) von K=110

in Abhangigkeit vom Aktienpreis AT zum Auszahlungszeitpunkt T .



Auszahlungsprofil Verkaufsoption (Kaufer, put long)

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200AT

max(0,K − AT )

Wert einer Verkaufsoption mit Ausubungspreis (Basispreis) von K=110




Verkauf Kaufoption (Stillhalter, Schreiber, call short)

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200AT

−max(0,AT − K )

Verkauf einer Kaufoption mit Ausubungspreis (Basispreis) von K=110




Verkauf Verkaufsoption (Stillhalter, Schreiber, put short)

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200AT

−max(0,K − AT )

Verkauf einer Verkaufsoption mit Ausubungspreis (Basispreis) von K=110




Uberblick Optionen

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200

put long

put short

call long

call short



Kombinationen von Optionen

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200AT

max(0,AT − K1) − max(0,AT − K2)

Beispiel Bull–Spread (bei Falligkeit T ): Kombination einer Long–Position in

einer Kaufoption mit Basispreis K1=60 mit einer Short–Position in einer

Kaufoption mit Basispreis K2 = 140 und gleicher Falligkeit T .



Einstufiges Binomialmodell

Wir betrachten eine einfache Welt mit einem Basiswert A, z.B.einer Aktie, deren heutiger Wert A0 bekannt ist, und von welchemwir annehmen, dass er nach dem nachsten Zeitschritt entweder denWert A1 oder den Wert A2 annehmen kann. Ein Derivat auf A

entspricht einer gegebenen Auszahlungsfunktion von A. Es hatdamit nach dem nachsten Zeitschritt entweder den WertD1 = D(A1) oder den Wert D2 = D(A2), seinen heutigen Wert D0

wollen wir berechnen. Dazu brauchen wir neben der Aktie eineweitere Anlagemoglichkeit N, z.B. ein Geldkonto, von der wirverlangen, dass diese einen von A unabhangigen Anteil besitzt und,da wir sie auch als Referenzgroße verwenden wollen, dass sie nichtden Wert Null annimmt, d.h. Ni 6= 0. Wir konnen z.B. einGeldkonto wahlen mit Basiseinheit N0 = 1(Euro) unddeterministischem linearen Zinssatz r , d.h. N1 = N2 = (1 + r).



Einstufiges Binomialmodell: Replikationsbedingung

Wir suchen eine Mischung aus φ Anteilen des Basiswertes A (z.B.Aktie) und ψ Anteilen des Numeraires N (z.B. Geldkonto), welchein jeder der beiden moglichen zukunftigen Situationen genau demWert des Derivats D = D(A) (z.B. einer Option) entspricht, also

φA1 + ψN1 = D1 = D(A1)

φA2 + ψN2 = D2 = D(A2) (1)

Teilen durch das Numeraire mit Ni 6= 0 (Abzinsen der zukunftigenWerte auf heute) ergibt fur ai = Ai/Ni , di = Di/Ni

φa1 + ψ = d1

φa2 + ψ = d2 (2)



Einstufiges Binomialmodell: Losung

Durch Subtraktion und Addition der Gleichungen (2) folgt

φ =d1 − d2

a1 − a2=

∆d

∆a

ψ =d1 + d2

2− φ

a1 + a2

2= d − φa

= d − ∆d

∆aa (3)

mit ∆a = a1 − a2 (o.B.d.A. ∆a > 0) und ∆d = d1 − d2

sowie a = (a1 + a2)/2 und d = (d1 + d2)/2.



Einstufiges Binomialmodell: Wert des Derivats

Mit den so gefundenen φ und ψ haben wir also eine Mischung ausBasiswert und Numeraire (z.B. Aktie und Geld) gefunden, welchein jeder (der beiden) moglichen zukunftigen Situationen dem Wertder Option exakt entspricht. Diese Mischung muss also auchbereits heute den gleichen Wert haben wie das Derivat, d.h

d0 = φa0 + ψ

=∆d

∆aa0 + d − ∆d

∆aa

= d − ∆d

∆a(a − a0)

= d − a − a0

∆a∆d (4)

Beobachtung: Die Ubergangswahrscheinlichkeit p von A0 nach A1,geht nicht direkt in die Formel ein! (Aber A0 hangt davon ab.)



Erwartungswert und Standardabw. im Binomialmodell

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Große x unter p

Ep(x) = px1 + (1 − p)x2 (5)

andert sich bei Ubergang zu einer Wahrscheinlichkeit q wie folgt

Ep(x) − Eq(x) = (p − q)(x1 − x2) = (p − q)∆x . (6)

Fur die Standardabw. einer binomialverteilten Variablen erhaltenwir

σp(x) =√

Ep(x2) − E 2p (x)

=√

px21 + (1 − p)x2

2 − (px1 + (1 − p)x2)2

=√

p(1 − p)(x21 − 2x1x2 + x2

2 )

=√

p(1 − p)|x1 − x2| =√

p(1 − p)|∆x |. (7)



Preis des Derivats und empirische Wahrscheinlichkeit p

Wegen a = E 12(a), d = E 1

2(d) folgt aus (6)

a − Ep(a) =

(1

2− p

)

∆a, d − Ep(d) =

(1

2− p

)

∆d , (8)

und damit, sowie mit (7)

d0 = d − a − a0

∆a∆d

= Ep(d) +

(1

2− p

)

∆d − Ep(a) +(

12 − p

)∆a − a0

∆a∆d

= Ep(d)−Ep(a) − a0

∆a∆d = Ep(d)− Ep(a) − a0

√

p(1 − p)∆a

√

p(1 − p)∆d

= Ep(d) − ∆d

|∆d |Ep(a) − a0

σp(a)σp(d). (9)



Einstufiges Binomialmodell und CAPM

Eine Gleichung der Form (9) ist uns bei der Portfoliooptimierungnach Markowitz schon begegnet. Wenn wir fur A die Gultigkeit desCAPM annehmen, also die Risikopramie ϑa = ϑmρma fur A auf einMarktportfolio beziehen konnen, und erkennen, dass die lineareTransformation a → φa + ψ hochstens das Vorzeichen derKorrelation ρma andert, so erhalten wir die

”CAPM-Gleichung“

d0 = Ep(d) − ∆d

|∆d |Ep(a) − a0

σp(a)σp(d)

= Ep(d) − ∆d

|∆d |ϑaσp(d)

= Ep(d) − ∆d

|∆d |ϑm ρma σp(d) (10)

= Ep(d) − ϑm ρm(φa+ψ) σp(d) = Ep(d) − ϑm ρmd σp(d)

mit ∆d|∆d |ρad = ρ(φa+ψ)d = ρdd = 1.



Der Preis des Derivats als Erwartungswert

Der Preis des Derivats lasst sich weiter umschreiben

d0 = d − a − a0

∆a∆d

= d1

(1

2− a − a0

∆a

)

+ d2

(1

2+

a − a0

∆a

)

= d1

(a0 − a2

a1 − a2

)

︸︷︷︸

q

+d2

(a1 − a0

a1 − a2

)

︸︷︷︸

1−q

= qd1 + (1 − q)d2 = Eq(d) (11)

und erhalt so die Form eines Erwartungswert unter der sog.risikoneutralen (auch: risikoadjustierten) Wahrscheinlichkeit q. Dierisikoneutrale Wahrscheinlichkeit q enthalt also sozusagen bereitsdie Risikopramie, so dass sich mit ihr der Preis eines Derivatsformal als Erwartungswert schreiben lasst, d.h. so als ob keineRisikopramie berucksichtigt werden musste.Jorg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Binomialmodell fur Optionen


Der Preis des Derivats als Erwartungswert (Variante)

Der Preis des Derivats lasst sich ebenso schreiben als

d0 = d − a − a0

∆a∆d

= d1

(1

2− a − a0

∆a

)

+ d2

(1

2+

a − a0

∆a

)

=1

2d1

(

1 − 2a − a0

∆a

)

︸︷︷︸

2qd1=d1

+1

2d2

(

1 + 2a − a0

∆a

)

︸︷︷︸

2(1−q)d2=d2

=1

2d1 +

1

2d2 = E 1

2(d) (12)

und erhalt so die Form eines Erwartungswert unter derrisikoneutralen Wahrscheinlichkeit q = 1/2, aber geandertenAuszahlungswerten d .



Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten im Binomialmodell

Die Großen

q =a0 − a2

a1 − a2, 1 − q =

a1 − a0

a1 − a2(13)

sind keine”echten“ empirischen Wahrscheinlichkeiten, haben aber

die gleichen formalen Eigenschaften, d.h. sie addieren sich zu einsund es gilt auch 0 ≤ q ≤ 1, denn falls nicht 0 ≤ q ≤ 1, dann liegta0 außerhalb des Intervalls [a1, a2], d.h. die Anlage der Summe A0

in das Numeraire ware immer besser oder immer schlechter als dieAnlage in die risikobehaftete Anlage A. Dies sollte nach demNo–Arbitrage–Prinzip in einem hinreichend effizienten Markt nichtvorkommen. Von der

”echten“ empirischen Wahrscheinlichkeit p

eines Kursanstiegs hangt q nur indirekt uber a0 ab. Zudem seibetont, dass q nur von a, aber nicht von der Art des DerivatsD(A) abhangt, und dass fur das spezielle Derivat D = A gilta0 = Eq(a), d.h. a ist ein sog. Martingal.



Risikoneutrale und empirische Wahrscheinlichkeit

Wegen (8) folgt im einstufigen Binomialmodell fur dierisikoneutrale Wahrscheinlichkeit q

q =a0 − a2

a1 − a2

=1

2− a − a0

∆a

= p − Ep(a) − a0

∆a

= p − ϑa

√

p(1 − p) (14)

mit der Risikopramie (Sharpe–Ratio)

ϑa =Ep(a) − a0

σp(a)=

Ep(a) − a0√

p(1 − p)∆a. (15)



Markowitz, CAPM und No–Arbitrage–Prinzip

Die Risikopramie konnte alternativ zum No–Arbitrage–Prinzip1. entweder durch eine Portfoliooptimierung nach Markowitz ausReturn– und Kovarianzdaten berechnet werden, oder2. gemaß CAPM aus der Messung des ϑm eines existierendenapproximativen Marktportfolios und der Messung von ρma bzw. βa

bestimmt werden.Das No–Arbitrage–Prinzip erfordert jedoch wesentlich wenigerAnnahmen und benotigt hier z.B. nur die bekannte Große a0 undSchatzungen fur a1 und a2, und Abweichungen von Eq(d) solltenaktiv vom Markt korrigiert werden. Im allgemeinen Fall, in dem einrisikoneutrales q existiert, so dass d0 = Eq(d), ist die RisikopramieEp(d) − Eq(d) auch nicht notwendig von der CAPM–Form. InSituationen z.B., in denen das Risikomaß des CAPM E (a) − ϑaσa

nicht monoton ist, wird man erwarten, dass q eine andere Form derimpliziten Risikopramie zugrundeliegt.



Das Binomialmodell nach Cox, Ross, Rubinstein (CRR)

Wir betrachten nun ein mehrstufiges Binomialmodell, an dem anjedem Knoten (j , k), 0 ≤ j ≤ k , 0 ≤ k ≤ n, der abgezinste WertAj ,k des Basiswertes im Zustand j bei Schritt k um einen festenFaktor u steigen oder um den Faktor d fallen kann

up : Aj ,(k+1) = uAj ,k

down : A(j+1),(k+1) = dAj ,k , (16)

mit d = 1/u. Als Numeraire wahlen wir ein Geldkonto mit N0 = 1und festem Zinssatz r pro Zeitschritt, d.h. N1 = N2 =1 + r . Damitergibt sich fur die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit

q =a0 − a2

a1 − a2=

A0 − dA01+r

uA01+r

− dA01+r

=1 + r − d

u − d, 1 − q =

u − 1 − r

u − d. (17)



Risikoneutraler Erwartungswert im CRR

Wegen der k–Unabhangigkeit der u und d gilt udA0 = duA0, d.h.das CRR-Modell ist rekombinierend und die Reihenfolge der k

Up–Steps und n − k Down–Steps spielt fur den Endzustand keineRolle. Es gibt daher genau

(nk

)verschiedene Pfade zum Endzustand

Ak,n zu gelangen. Fur eine gekaufte Call–Option mit Wert

Cn(A) = max(An − K , 0) = [An − K ]+ (18)

zum Ausubungszeitpunkt n wird der risikoneutrale Erwartungswertfur deren abgezinsten Wert Eq(cn) = Eq(

Cn

(1+r)n ) daher

Eq(cn) =1

(1 + r)n

n∑

k=0

(n

k

)

qk(1 − q)n−k

︸︷︷︸

q(k|n)

[

ukdn−kA0 − K]

+︸︷︷︸

C(k|n)

(19)



Bestimmung der minimalen Anzahl Up–Steps

Wir konnen in der Summe die Nullterme mit An < K weglassen,

Eq(cn) =1

(1 + r)n

n∑

k=m

(n

k

)

qk(1 − q)n−k(

ukdn−kA0 − K)

(20)

und sind die nichtlineare Funktion [· · · ]+ losgeworden, dafur startetdie Summe jetzt bei m, der kleinsten ganzen Zahl fur die gilt

umdn−mA0 ≥ K ⇔(u

d

)m

≥ K

A0dn⇔ m ≥

ln KA0

− n ln d

ln u − ln d. (21)



Pseudowahrscheinlichkeiten

Aufteilen der Zinsfaktors im ersten Term liefert,

Eq(cn) = A0

n∑

k=m

(

n

k

)(qu

1 + r

)k ((1 − q)d

1 + r

)n−k

−K

(1 + r)n

n∑

k=m

(

n

k

)

qk(1−q)n−k

(22)

und wegen

qu

1 + r+

(1 − q)d

1 + r=

(1 + r − d)u + (u − 1 − r)d

(1 + r)(u − d)= 1 (23)

folgt mit der Pseudowahrscheinlichkeit

0 ≤ q∗ =uq

1 + r≤ 1, (24)

Eq(cn) = A0

n∑

k=m

(n

k

)

q∗k(1−q∗)n−k− K

(1 + r)n

n∑

k=m

(n

k

)

qk(1−q)n−k .

(25)Jorg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Binomialmodell fur Optionen


Binomialverteilungsfunktion

Mit der Verteilungsfunktion Ψnq(m) einer Summe Bn von n

binomialverteilten Zufallsvariablen, die jeweils mitWahrscheinlichkeit q den Wert 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1 − q

den Wert 1 annehmen

1 − P(Bn < m) = 1 − Ψn,q(m) = P(Bn ≥ m)

= Ψn,q(m) =n∑

k=m

(n

k

)

qk(1 − q)n−k (26)

konnen wir fur den Preis der Call–Option schreiben

Eq(cn) = A0Ψnq∗(m) − K

(1 + r)nΨnq(m). (27)



Grenzwertsatz

Nach dem Grenzwertsatz von De Moivre–Laplace

Ψn,q(m) = P(Bn < m) = P

(

Bn − nq√

nq(1 − q)<

m − nq√

nq(1 − q)

)

−−−→n→∞

Φ

(

m − nq√

nq(1 − q)

)

= 1 − Φ

(

nq − m√

nq(1 − q)

)

(28)

strebt die Verteilungsfunktion der standardisiertenBinomialverteilung gegen die Verteilungsfunktion derStandardnormalverteilung

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

z2

2 dz = P(z ≤ x) = 1 − Φ(−x), (29)

fur standardnormalverteiltes z . Wir werden den Satz benotigen ineiner verallgemeinerten Form fur von n-abhangige, aberkonvergente qn −−−→

n→∞q.



Definition des Grenzubergangs

Wir wollen fur feste Ausubungszeit T , festen (exponentiellen)Zinssatz rc und fester Volatilitat σ von lnA die Zahl derZwischenschritte n beliebig groß werden lassen. Um diese Großenfest zu lasssen, mussen der Zinssatz pro Schritt r und der Faktoru = 1/d von n abhangig gewahlt werden. Damit werden auch dievon r und u abhangigen Großen q(r , u) in (17), q∗(r , u) in (24),m(u) in (21) n–abhangig, d.h. wir schreiben nun rn, un, qn, q∗

n,mn. Sei σn die Varianz von lnA pro Binomialschritt, so fordern wir

fest n–abhangig Bedingung

Zeit T n → ∞ T/n = ∆t → 0

Zins rc rn = ercTn − 1 (1 + rn)

n = ercT

Volatilitat σ σn = σ√

Tn

√nσn =

√Tσ



Veranderung der logarithmischen Schrittweite un

Mit ∆ lnAn = ln unAn − ln(dnAn) = ln un − ln(1/un) = 2 ln un unddaher

√nσn = σ

√T =

√

nqn(1 − qn) 2 ln un folgt

un = eσ

2√

qn(1−qn)

√Tn . Um un unabhangig von qn zu wahlen,

versuchen wir stattdessen den Ansatz

un = eσ√

Tn = eσ

√∆t (30)

welches der geforderten Bedingung√

nσn =√

Tσ asymptotischgenugen wird, falls qn(rn, un) −−−→

n→∞12 . Wir erhalten

fest n–abhangig Bedingung

Zeit T n → ∞ T/n = ∆t → 0

Zins rc rn = ercTn − 1 (1 + rn)

n = ercT

Vola., log. Schrittw. σ un = eσ√

Tn

√n ln un =

√Tσ



Taylorentwicklung bis zur Ordnung 1n

Taylorentwicklung bis zur Ordnung 1n

ergibt

rn = rcT

n+ o(

1

n),

un = 1 + σ

√

T

n+σ2

2

T

n+ o(

1

n),

dn = 1 − σ

√

T

n+σ2

2

T

n+ o(

1

n),

un − dn = 2σ

√

T

n+ o(

1

n), (31)

mit den (trivialen) Grenzwerten rn → 0, un → 1, dn → 1.



Taylorentwicklung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit qn

Taylorentwicklung von qn bis zur Ordnung 1n

ergibt damit

qn =1 + rn − dn

un − dn

≈1 + rc

Tn− 1 + σ

√Tn− σ2

2Tn

2σ√

Tn

=σ√

Tn

+(

rc − σ2

2

)Tn

2σ√

Tn

=1

2+

√

T

n

(

rc − σ2

2

)

2σ, (32)

also wie gewunscht qn → 12 .



Taylorentwicklung der Pseudowahrscheinlichkeit q∗n

Taylorentwicklung von q∗n bis zur Ordnung 1

nergibt analog

q∗n =

qnun

1 + rn

≈

[

σ√

Tn

+(

rc − σ2

2

)Tn

] [

1 + σ√

Tn

+ σ2

2Tn

]

[

2σ√

Tn

][1 + rc

Tn

]

≈√

T

n

(

rc + σ2

2

)

σ√

Tn

2σ.

=1

2+

√

T

n

(

rc + σ2

2

)

2σ−−−→n→∞

1

2. (33)



Abhangigkeit der unteren Grenze m

Fur die jetzt n–abhangige untere Grenze m (21) in (25) erhaltenwir mit dn = 1/un, also ln dn = − ln un, und ln un = σ

√

T/n =σ√

∆t

mn =ln K

A0− n ln dn

ln un − ln dn

=ln K

A0+ n ln un

2 ln un

=n

2+

ln KA0

2 ln un

=n

2+

ln KA0

2σ√

Tn

=n

2+

√n

T

lnK − lnA0

2σ. (34)



Taylorentwicklung der unteren Grenze 1

Taylorentwicklung der bzgl. q∗ standardisierten unteren Grenze furden ersten Binomialterm in (25) bis zur Ordnung 1

nergibt mit (34)

und (33)

mn − nq∗n

√

nq∗n(1 − q∗

n)≈

n2 +

√nT

ln KA0

2σ − n

(

12 +

√Tn

rc+σ

2

22σ

)

√

n

(

12 +

√Tn

rc+σ2

22σ

)(

12 −

√Tn

rc+σ2

22σ

)

=

12

√nT

(

ln KA0σ −

(

rc+σ

2

2

)

T

σ

)

12

√n

√(

1 +√

Tn

rc+σ2

2σ

)√(

1 −√

Tn

rc+σ2

2σ

)



Taylorentwicklung der unteren Grenze 2

=ln K

A0−(

rc + σ2

2

)

T

σ√

T

√(

1 +√

Tn

rc+σ2

2σ

)√(

1 −√

Tn

rc+σ2

2σ

) (35)

und damit sehen wir

mn − nq∗n

√

nq∗n(1 − q∗

n)−−−→n→∞

ln KA0ercT − σ2

2 T

σ√

T. (36)

Analog erhalten wir fur die bzgl. q standardisierte untere Grenzeim zweiten Binomialterm in (25)

mn − nqn√

nqn(1 − qn)−−−→n→∞

ln KA0ercT + σ2

2 T

σ√

T. (37)



Parameterbestimmung unter dem realen Maß

Die vorgegebene Standardabweichung σ mit

σ√

T =√

nqn(1 − qn) 2 ln un (38)

bezieht sich auf die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten qn. ZurNutzung von historischen Zeitreihen ware es schon, dieStandardabweichung der Renditen in Bezug auf die realenWahrscheinlichkeiten pn vorzugeben. Zur Kalibrierung anhistorischen Daten betrachten wir Erwartungswert und Varianz derRenditen

lnAn

A0= ln(uk

ndn−kn ) = ln(u2k−n

n ) = (2k − n) ln(un). (39)

Wir bezeichnen nun mit µp die erwartete kontinuierliche Renditeund mit σ2

p die Varianz jeweils unter dem realen p und auf ein Jahrbezogen, also, mit Ep, Vp als Erwartung bzw. Varianz unter p,

Tµp = limn→∞ Ep

(

ln An

A0

)

Tσ2p = limn→∞ Vp

(

ln An

A0

)

.



Der Erwartungswert unter dem realen Maß

Fur den Erwartungswert erhalten wir unter der Binomialverteilungmit Up–Step–Wahrscheinlichkeit pn

Ep

(

lnAn

A0

)

= ln(u2k−nn )

= Ep (2k − n ln(un))

= (2Ep(k) − n) ln(un)

= n(2pn − 1) ln(un), (40)

also sollte pn so gewahlt werden, dass

Tµp = limn→∞

n(2pn − 1) ln(un). (41)

In den Optionspreis geht µp jedoch nicht ein.



Die Varianz unter dem realen Maß

Fur die Varianz erhalten wir unter der Binomialverteilung mitUp–Step–Wahrscheinlichkeit pn

Vp

(

lnAn

A0

)

= ln(u2k−nn )

= Vp (2k − n ln(un))

= 4Vp(k) ln2(un)

= 4npn(1 − pn) ln2(un), (42)

also sollte pn so gewahlt werden, dass

Tσ2p = lim

n→∞4npn(1 − pn) ln2(un). (43)



Die Binomialwahrscheinlichkeit fur das reale Maß

Wahlt man z.B. fur die reale Binomialubergangswahrscheinlichkeit

pn =e

(

µ+σ2

2

)Tn − dn

un − dn(44)

so folgt durch Taylorentwicklung fur großes n

pn ≈ 1

2+

1

2

µ

σ

√

T

n(45)

welches zusammen mit un = eσ√

Tn , also ln un = σ

√Tn, die

asymptotischen Bedingungen (41) und (43) mit σ = σp erfullt. Dierisikoneutrale Varianz ist also asymptotisch gleich der Varianzunter dem realen Maß (Satz von Girsonov).



Die Black–Scholes–Merton–Formel

Der Grenzwert des Binomialmodells (27) fur der Preis einereuropaischen Call–Option wird damit zurBlack–Scholes–Merton–Formel

C0 = Eq(cn) = A0 Φ(d+) − e−rcT K Φ(d−) (46)

mit

d+ =ln A0e

rcT

K+ σ2

2 T

σ√

T,

d− =ln A0e

rcT

K− σ2

2 T

σ√

T= d+ − σ

√T ,

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

z2

2 dz . (47)



Die Black–Scholes–Merton–Formel: Varianten

Analog findet man fur den Preis einer Put–Option

P0 = e−rcT K Φ(−d−) − A0 Φ(−d+). (48)

Falls die Aktie eine kontinuierliche Dividende rd zahlt,verallgemeinern sich die Formeln auf

C0 = e−rdTA0 Φ(d+) − e−rcT K Φ(d−),

P0 = e−rcT K Φ(−d−) − e−rdTA0 Φ(−d+). (49)



Preis einer Kaufoption (Call long)

–10

0

10

20

30

40

50

60 80 100 120 140A0

Preis einer Kaufoption in Abhangigkeit vom Aktienpreis A0.Parameter: K=110, r=10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.Call(blau), fur t = 0 < T , Forward (grun: t = 0; gelb: T )



Preis einer Verkaufsoption (Put long)

–10

0

10

20

30

40

50

60 80 100 120 140A0

Preis einer Verkaufsoption in Abhangigkeit vom Aktienpreis A0.Parameter: K=110, r=10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.Put(rot) fur t = 0 < T , Forward (grun: t = 0; gelb: T )



Optionspreise nach Black–Scholes–Merton

–40

–20

0

20

40

80 100 120 140A0

Parameter: K=110, r=10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.Call(blau), Put(rot) fur t = 0 < T , Forward (grun: t; gelb: T )Kauf(durchgez.), Verkauf(gestrichelt).



Schranken fur Optionspreise

Eine (europaische, aber auch eine amerikanische) Option kannauch vor Falligkeit quasi

”auf Pump“ ausgeubt werden. Denn die

Beziehungen zwischen den Preisen von Call CT ≥ 0 bzw. PutPT ≥ 0 und den alternativen Anlagemoglichkeiten Aktie AT ≥ 0sowie Geld KT = K ≥ 0, bzw. Forward FT = AT − K

AT − K = FT ≤ CT = [AT − K ]+ ≤ [AT ]+ = AT

K − AT = −FT ≤ PT = [K − AT ]+ ≤ [K ]+ = K (50)

zur Zeit T mussen, so weit Arbitragemoglichkeiten ausgeschlossensind, zu jeder Zeit gelten, also mit C0 ≥ 0 bzw. Put P0 ≥ 0

[A0 − e−rcTK ]+ = [A0 − K0]+ = [F0]+ ≤ C0 ≤ A0 (51)

[e−rcTK − A0]+ = [K0 − A0]+ = [−F0]+ ≤ P0 ≤ K0 = e−rcTK .



Aktien–, Geld–, Termin– und Optionspreise

–100

–50

0

50

100

150

200

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200A0

Parameter: K=110, r=10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.Aktie(cyan), Call(blau), Put(rot) fur t < T , Forward (grun: t; gelb: T ) Geld(violett: −K(t); dunkelviol.: −K(T ))Kauf(durchgezogene Linien), Verkauf(gestrichelte Linien).



Amerikanische Optionen

Amerikanische Optionen durfen zu jedem Zeitpunkt t ≤ T

ausgeubt werden. Und zwar zum vereinbarten Strikepreis K undnicht etwa zum entsprechend abgezinsten Ke−rc (T−t). Damit gilt

[At − K ]+ ≤ [At − Kt ]+ ≤ C am

t ≤ At (52)

[Kt − At ]+ ≤ [K − At ]+ ≤ Pam

t ≤ Kt ≤ K .

Fur fur positive Zinsen fuhrt dies also fur den amerikanischen Callzu keinen strengeren Schranken, aber der amerikanische Put istdurch K −At nach unten beschrankt. Da dies fur den europaischenPut nicht immer gilt, kann demzufolge (bei einem entsprechendniedrigen Aktienkurs) die vorzeitige Ausubung sinnvoll sein. DerWert einer amerikanischen (Put–)Option, kann z.B. durchRuckwartsiteration mit einem Binomialbaum berechnet werden.



Call–Put–Paritat zur Ausubungszeit

Wegen

AT − K = max(AT − K , 0) + min(AT − K , 0) (53)

gilt zur Ausubungszeit T

[AT − K ]+︸︷︷︸

long call

− [K − AT ]+︸︷︷︸

short put

= AT − K︸︷︷︸

long forward

(54)

Aus Gleichheit zur Zeit T folgt Gleichheit fur fruhere Zeitent ≤ T , da ansonsten Arbitrage moglich ware, also

Ct − Pt = Ft = At − Ke−rc (T−t). (55)

Diese Gleichheit gilt”modellunabhangig“, d.h. z.B. auch bei

fluktuierender Volatilitat.



Call–Put–Paritat zur Ausubungszeit T

–40

–20

0

20

40

80 90 100 110 120 130 140 150A0

long call(T )

short put(T )

Parameter: K=110. Call, long(blau,durchgezogen), Put, short(rot,gestrichelt).Bei t = T gilt definitionsgemaß Call(long) + Put(short) = Forward(long),wobei Put(short) = − Put(long).



Call–Put–Paritat vor Ausubungzeit

–40

–20

0

20

40

80 100 120 140A0

long call(t) forward(T )

short put(t)forward(t)

Parameter: K=110, r=10%(linear ⇒ rc ≈ 9,53%), σ=20% pro Jahr.Call(blau, durchg.), Put(rot, gestr.) fur t < T , Forward (grun: t = 0; gelb: T )Wie zur Zeit T gilt auch hier Call(long) + Put(short) = Forward(long).



Bull Spread

–100

–50

0

50

100

50 100 150 200A0

C0(A0,K1,T , rc , σ)

−C0(A0,K2,T , rc , σ)

Bull–Spread (vor Falligkeit): Kombination einer Long–Position in einer

Kaufoption mit Basispreis K1=60 mit einer Short–Position in einer Kaufoption

mit Basispreis K2 = 140 und gleicher Falligkeit T .



Kalender–Spread

–30

–20

–10

0

10

20

30

70 80 90 100 110 120 130 140A0

C0(A0,K ,T2, rc , σ)

−C0(A0,K ,T1, rc , σ)

Kalender–Spread (horizontaler Spread) bei Falligkeit der Short–Position

(T1 = 0): Kombination einer Short–Position in einer Kaufoption mit Falligkeit

T1 mit einer Long–Position in einer Kaufoption mit Falligkeit T2 (=1) und

gleichem Basispreis K = 110.



Delta-Hedge

Im Binomialmodell konnt eine Option nachgebildet werden, indemzu Beginn jeden Zeitschrittes genau die Anzahl

∆d

∆a=

∆D

∆A(56)

an Aktien gehalten werden. Das zum Kauf der Aktien erforderlicheGeld wird, abzuglich der Optionspramie, geliehen und am Endezuruckgezahlt.Im Grenzubergang zum Black–Scholes–Merton-Modell erfordertdies die kontinuierliche Anpassung des Aktienbestandes an den i.a.zeitlich veranderlichen Wert der Ableitung des Derivates nach demAktienkurs, also z.B. fur eine Call–Option

∆ =dC (At)

dAt. (57)

Der Wert der im replizierenden Portfolio gehaltenen Aktien betragtdamit zur Zeit t also At∆ = AtdC (At)/dAt .Jorg Lemm Vorlesung Finanzmathematik, WS 08/09 Binomialmodell fur Optionen


Delta

Fur die Ableitung ∆ = dC/dA0 ergibt sich nach der Kettenregel

dC (A0)

dA0= Φ(d+)+A0ϕ(d+)d ′

+ −Ke−rcTϕ(d−)d ′− = Φ(d+) (58)

mitdΦ(x)

dx= ϕ(x) =

1√2π

e−x2

2 (59)

und da

d

dxd+(x) =

d

dx[d+(x) − σ

√T ] =

d

dxd−(x) = d ′

+ = d ′− (60)

sowie, wegen e−(x−a)2/2 = e−x2/2eax−a2/2, mit x = d+, a = σ√

T ,

A0ϕ(d+) = Ke−rcTϕ(d−). (61)



Die”Griechen“ (Greeks)

Definition BezeichnungdCdA

Deltad2CdA2 GammadCdt

ThetadCdσ VegadCdr

Rho



Voraussetzungen Black–Scholes–Merton–Gleichung

1. Markt lasst keine Arbitragemoglichkeit zu

2. Derivat ist eine normale, pfadunabhangige Option

3. Lognormalverteilung des Underlyingkurses

4. Zinssatz r bekannt und fest

5. Volatilitat σ des Underlyings bekannt und fest

6. keine Transaktionskosten

7. zeitlich kontinuierliches Handeln moglich

8. beliebig kleine Stuckelung von Underlying und Geld moglich

9. Leerverkauf des Underlyings und Geldleihe moglich

10. keine Dividenden (in dieser Fassung)



Einige Internetquellen

Die Eurex (weltweit großte Terminborse)http://www.eurexchange.com/index.html

Chicago Board Options Exchangehttp://www.cboe.com/

Onvista (Kursdaten, einschließlich Optionskennzahlen)http://www.onvista.de/

Sal. Oppenheim (mit Optionsrechner)http://www.oppenheim-derivate.de/

Homepage J. Kremer (Materialien und Optionsrechner)http://www.rheinahrcampus.de/Home.1527.0.html

d-fine Consulting (Vorlesungen)http://www.d-fine.de/ids/default.asp?TopicID=112



Literatur 1

M. Adelmeyer und E. Warmuth.Finanzmathematik fur Einsteiger.Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2. Auflage, 2005.Einfuhrung in das Thema, aber mit mathematisch detaillierter Beschreibungdes Binomialmodells fur Optionen.

R. Beike und J. Schlutz.Finanznachrichten.Schaffer–Poeschel, Stuttgart, 4. Auflage, 2005.Ausfuhrliche, praxisorientierte und gut lesbare Einfuhrungin Finanzprodukte, Markte, Kennzahlen uvm.

H.–P. Deutsch.Derivate und Interne Modelle.Schaffer–Poeschel, Stuttgart, 2. Auflage, 2001.Buch eines Physikers und Beraters mit vielen Details.



Literatur 2

J. C. Hull.Optionen, Futures und andere Derivate.Pearson Studium, Munchen, 6. Auflage, 2006.Das Standardwerk zu Optionen, fur Einsteiger geeignet.

J. Kremer.Einfuhrung in die Diskrete Finanzmathematik.Springer Verlag, Berlin, 2006.Umfangreiche mathematische Einfuhrung u.a. in Binomialmodelle,Java–Programme im Internet erhaltlich.

K. Sandmann.Einfuhrung in die Stochastik der Finanzmarkte.Springer Verlag, Berlin, 2. Auflage, 2001.Umfangreiche mathematische Einfuhrung in finanzmathematische Modelle.



Literatur 3

S. E. Shreve.Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model.Springer Verlag, New York, 2005.Einfuhrung in die mathematische Begriffsbildung anhand des Binomialmodells.

S. E. Shreve.Stochastic Calculus for Finance II: Continuous–Time Models.Springer Verlag, New York, 2004.Empfehlenswerte, gut verstandliche mathematische Einfuhrung.

J. van der Hoek und R. J. Elliott.Binomial Models in Finance.Springer Verlag, New York, 2006.Recht teuer.



Sonstige Literatur

E. Derman.My Life as a Quant. Reflections on Physics and Finance.John Wiley & Sons, Inc., New York, 2004.Erfahrungsbericht eines Phyikers an der Wall–Street.

R. Lowenstein.When Genius Failed.Fourth Estate, London, 2001.Uber die Long Term Capital Management (LTCM) mit den NobelpreistragernScholes und Merton als Teilhabern und ihre enormen Verluste.

F. Partnoy.F.I.A.S.C.O.

Penguin Group, New York, 1999.Erfahrungsbericht eines Derivatehandlers.


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