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Boole’sche Algebra

George Boole 1815 - 1864

1

© 2008, H. SchauerUniversity of Zurich

Ausgang yohne Spannung

Schalter a offen

+

a=0

y=0

2

2


Ausgang yunter Spannung

Schalter a geschlossen

+

a=1

y=1

3

3



Schalter a offen

Schalter b offen

+

b=0

y=0

a=0

4

4



Schalter a offen

Schalter b geschlossen

+

b=1

y=0

a=0

5

5




Schalter b offen

+

b=0

y=0

a=1

6

6


Ausgang yunter Spannung


Schalter b geschlossen

+

b=1

y=1

a=1

7

7


y = a ∧ b

+

b

y

a

a b y0 00 11 01 1

0001

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1

x ∧ 0 = 0x ∧ 1 = x (neutrales Element 1)

x ∧ x = x (Idempotenz)

8

Konjunktion (and)

8


+

b

y

a

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1



9

a b y0 00 11 01 1

0001

Konjunktion (and)

y = a ∧ b

9


+

b

y

a

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1



10

a b y0 00 11 01 1

0001

Konjunktion (and)

y = a ∧ b

10


+

b

y

a

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1



11

a b y0 00 11 01 1

0001

Konjunktion (and)

y = a ∧ b

11


+

y

x

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1



12

a b y0 00 11 01 1

0001

y = a ∧ b

Konjunktion (and)

12


+

y

x

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1



13

a b y0 00 11 01 1

0001

Konjunktion (and)

y = a ∧ b

13


+

y

x

Serienschaltung

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1



14

a b y0 00 11 01 1

0001

Konjunktion (and)

y = a ∧ b

14


+

b

y

a a b y0 00 11 01 1

0111

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1

x ∨ 0 = x (neutrales Element 0)x ∨ 1 = 1x ∨ x = x (Idempotenz)

15

Disjunktion (or)

y = a ∨ b

15


+

b

y

a

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1


16

Disjunktion (or)

a b y0 00 11 01 1

0111

y = a ∨ b

16


+

b

y

a

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1


17

Disjunktion (or)

a b y0 00 11 01 1

0111

y = a ∨ b

17


+

b

y

a

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1


18

Disjunktion (or)

a b y0 00 11 01 1

0111

y = a ∨ b

18


+

y

x

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1


19

Disjunktion (or)

a b y0 00 11 01 1

0111

y = a ∨ b

19


+

y

x

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1


20

Disjunktion (or)

a b y0 00 11 01 1

0111

y = a ∨ b

20


+

y

x

Parallelschaltung

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1


21

Disjunktion (or)

a b y0 00 11 01 1

0111

y = a ∨ b

21


y = ¬a

+

y

a

a y01

10

Ruhekontakt

¬0 = 1¬1 = 0

22

Negation (not)

22


a ∧ b = b ∧ a

23

Kommutatives Gesetz der Konjunktion

+

a

y

b

+

b

y

a

23


a ∨ b = b ∨ a

24

Kommutatives Gesetz der Disjunktion

+

b

y

a

+

a

y

b

24


a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c

25

Assoziatives Gesetz der Konjunktion

c

y

b

a

c

y

b

a

25

c

+

a

y

b

c

+

a

y

b


a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

26

Assoziatives Gesetz der Disjunktion

26


a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

27

Distributives Gesetz

27


a ∧ 1 = aa ∨ 0 = a

28

Identitätsgesetz

28


a ∧ 0 = 0a ∨ 1 = 1

29

Null-/Einsgesetz

29


a ∧ ¬a = 0a ∨ ¬a = 1

30

Komplementärgesetz

30


a ∧ a = aa ∨ a = a

31

Idempotenzgesetz

31


a ∧ (a ∨ b) = aa ∨ (a ∧ b) = a

32

Gesetz der Verschmelzung

32


¬(¬a) = a

33

Doppeltes Negationsgesetz

33


¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b

34

DeMorgan’sches Gesetz

34


a b a ∧ b ¬(a ∧ b) ¬a ¬b ¬a ∨ ¬b0 00 11 01 1

0001

1110

1100

1010

1110

35

DeMorgan’sches Gesetz ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b

35


a b a ∨ b ¬(a ∨ b) ¬a ¬b ¬a ∧ ¬b0 00 11 01 1

0111

1000

1100

1010

1000

36

DeMorgan’sches Gesetz ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b

36


37

Boole'sche Algebra

Eine Boole'sche Algebra ist ein abgeschlossenes System, in dem zwei Operationen definiert sind, für die

• kommutatives, • assoziatives, • distributives und • Verschmelzungsgesetz gelten und in dem ein

• Nullelement, ein • Einselement und zu jedem Element ein • Komplement

existiert.37


38

Beispiele für Boole'sche Algebren

• Mengenlehre• Aussagenlogik• Schaltalgebra

38


39

Mengenlehre

• Durchschnitt zweier Mengen a ⋂ b (entspricht a ∧ b)• Vereinigung zweier Mengen a ⋃ b (entspricht a ∨ b)• Komplement einer Menge a (entspricht ¬a)• Leere Menge (entspricht 0)• Gesamtmenge (entspricht 1)

39


40

Aussagenlogik

• Konjunktion zweier Aussagen (entspricht a ∧ b)• Disjunktion zweier Aussagen (entspricht a ∨ b)• Negation einer Aussage (entspricht ¬a)• Kontradiktion (entspricht 0)• Tautologie (entspricht 1)

40


41

Schaltalgebra

• Serienschaltung zweier Schalter (entspricht a ∧ b)• Parallelschaltung zweier Schalter (entspricht a ∨ b)• Schalter mit Ruhekontakt (entspricht ¬a)• Permanente Unterbrechung (entspricht 0)• Permanente Verbindung (entspricht 1)

41


y = a ≢ b

a b y0 00 11 01 1

0110

0 ≢ 0 = 00 ≢ 1 = 11 ≢ 0 = 11 ≢ 1 = 0

x ≢ 0 = xx ≢ 1 = ¬xx ≢ x = 0

42

Antivalenz

42


Alle Boole’schen Funktionen mit zwei Parametern

a 0011b 01010000 y0 = 0

0001 y1 = a∧b

0010 y2 = a∧¬b

0011 y3 = a

0100 y4 = ¬a∧b

0101 y5 = b

0110 y6 = a≢b

0111 y7 = a∨b

a 0011b 01011111 y15 = 1

1110 y14 = ¬a∨¬b

1101 y13 = ¬a∨b

1100 y12 = ¬a

1011 y11 = a∨¬b

1010 y10 = ¬b

1001 y9 = a≡b

1000 y8 = ¬a∧¬b

43

43


Spezielle Boole’sche Funktionen mit zwei Parametern

Peirce-Funktion Nor

y8 = ¬a∧¬b = ¬(a∨b)

44

44



Sheffer-Funktion Nand

y14 = ¬a∨¬b = ¬(a∧b)

45

45



Implikation

y11 = a∨¬b = b⇒ay13 = ¬a∨b = a⇒b

46

46


a⇒b“a impliziert b”“aus a folgt b”

“wenn a gilt dann gilt auch b”“a ist hinreichend für b”“b ist notwendig für a”

¬a∨b

a ... Prämisse b ... Conclusio

(a⇒b) ∧ (b⇒a) = (a ⇔ b) (0⇒x) = 1 "ex falso quodlibet''

47

Implikation

47



Kontradiktiony0 = 0

Tautologiey15 = 1

48

48


f(x,y) = ¬g(x,y)"f und g sind zueinaner komplementär"

Beispiele für komplementäre Funktionen:∧, nand ∨, nor≡, ≢0, 1

49

Komplementäre Funktionen

49


f(x,y) = ¬g(¬x,¬y)"f und g sind zueinaner dual"

Beispiele für duale Funktionen:∧,∨

nand, nor≡, ≢

50

Dualität

50


a b a ∧ b ¬a ¬b ¬a ∨ ¬b ¬(¬a ∨ ¬b)0 00 11 01 1

0001

1100

1010

1110

0001

51

Dualität a ∧ b = ¬(¬a ∨ ¬b)

51


Oder-Gatter

Und-Gatter

&

≥1

52

Gatter

52


Halbaddierwerk

≥1

& a b

s

& a b

c

& a b

a b c s0 00 11 01 1

0 00 10 11 0

s = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬b)c = (a ∧ b)

53

53


s = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬b) = = ((¬a ∧ b) ∨ a) ∧ ((¬a ∧ b) ∨ ¬b) = = (¬a ∨ a) ∧ (b ∨ a) ∧ (¬a ∨ ¬b) ∧ (b ∨ ¬b) = = (b ∨ a) ∧ (¬a ∨ ¬b) = = (a ∨ b) ∧ ¬ (a ∧ b)c = (a ∧ b)

54

Halbaddierwerk

54


&

≥1

&

a

a

b

b

s

c

a b c s0 00 11 01 1

0 00 10 11 0

s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)

55

Halbaddierwerk

55


&

≥1

&

a

a

b

b

s

c

a b c s0 00 11 01 1

0 00 10 11 0

s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)

56

Halbaddierwerk

56


&

≥1

&

a

a

b

b

s

c

a b c s0 00 11 01 1

0 00 10 11 0

s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)

57

Halbaddierwerk

57


&

≥1

&

a

a

b

b

s

c

a b c s0 00 11 01 1

0 00 10 11 0

s = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b)c = (a ∧ b)

58

Halbaddierwerk

58


≥1

≥1

≥1

a

a

b

b

s

c

a b c s0 00 11 01 1

0 00 10 11 0

s = ¬(¬(a ∨ b) ∨ ¬(¬a ∨ ¬b))c = ¬(¬a ∨ ¬b)

59

Halbaddierwerk

59


60

Prozessor

60

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