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Brüche und Bruchrechnung

Annäherungen an ein schwieriges Thema

Matthias Römer UdS & LPM

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Matthias Römer -‐ Universität des Saarlandes & Landesinstitut für Pädagogik und Medien Brüche und Bruchrechnung – Berlin 2011

Wir sind uns einig:

!

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>14

3


Unsere Erfahrungen und die Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler mit Brüchen: • Probleme im Begreifen von Brüchen • Probleme mit dem Rechnen mit Brüchen • Probleme im Umwandeln von Brüchen • Probleme... • Probleme mit Brüchen!

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Für Schüler/innen sind Brüche unter anderem mit folgenden Assoziationen verknüpft:

• Erzählungen der Eltern, Bekannten mit Betonung der Schwierigkeiten.

• Ferne von der eigenen Lebenswelt und somit Uneinsichtigkeit über das Behandeln des Themas

• Unklar, weil es oft formelhaft in den Köpfen verankert wird. (Ein Bruch wird dividiert...)

• Unlogisch, weil andere Eigenschaften vorhanden sind als bei anderen Zahlen.

• Unfassbar, weil keine anschauliche Verknüpfung erfolgt.

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Was ist eigentlich ein Bruch? Wie stelle ich ihn mir vor, wie sieht er aus, was kann er und was tut er?

!

1759

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Was ist eigentlich ein Bruch? Arbeitsauftrag 1: Notieren Sie die Antwort, die sie einem Grundschüler der zweiten Klassenstufe geben würden und die Antwort, die sie einer Kollegin/einem Kollegen geben würden.

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Beispiele zum Bruch

!

34 :

(nach Heinrich Winter 2006)

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oder:

12


Es existieren zwei Ebenen der Behandlung: • Inhaltlich-‐anschauliche Phase • Formal-‐regelhafte Phase Die erste Phase ist die entscheidende Phase für das Verstehen der Brüche und der Bruchrechnung!

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Grundvorstellungen zu Bruchzahlen: (nach Malle 2004)

Teil (eines Ganzen):

!

34 (von 1)

Relativer Anteil:

!

34 von ...

Vergleichsoperator:

!

34 mal so viele wie ...

Resultat einer Division:

!

34

= 3 : 4

Verhältnis:

!

34

= 3 : 4 (3 zu 4)

Quasikardinalzahl:

!

34 = 3 Viertel

Absoluter Anteil:

!

34 ....... drei von vier

Quasiordinalzahl:

!

14 ... jeder Vierte

!

34

14


Beispiel: Die Pizzateilung (nach Heinrich Winter 2006) Arbeitsauftrag 2: Nennen Sie mindestens drei verschiedene Möglichkeiten, wie sie drei Pizzen an vier Kinder verteilen können.

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Die Herausforderung liegt darin, die verschiedenen Bedeutungen von Brüchen deutlich werden zu lassen. Der Anteilsbegriff darf nicht alleine stehen und er muss vielfältige Verwendung finden.

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Arbeitsauftrag 3:

Ein Stab wird im Verhältnis 2:5 zerschnitten. Was hat das mit 25

zu tun?

Hertha BSC gegen FC Kaiserslautern spielt 1:3. Wieso ist das 13?

Mischung und Verdünnung 1:10 -‐ ist das das Gleiche?

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Arbeitsauftrag 4:

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Anteile sind nicht immer gleichmäßig:

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Nicht nur in eine Richtung fragen:

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Arbeitsauftrag 5: Ideen mit dem Geobrett

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Bruchrechnung: Es ist zentral diejenigen Stellen, in denen die Bruchrechnung im direkten Widerspruch zu der bisherigen (mathematischen) Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler steht, zu thematisieren und auch auf einer Metaebene zu besprechen. Nur wer die Bruchstellen der Bruchrechnung zur ‚bisherigen Mathematik’ versteht, kann auch den Schülern helfen, diese Bruchstellen zu überwinden.

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Bruchstellen zur bisherigen Vorstellung (nach Prediger 2004): • Eine Zahl und eine Rechenaufgabe beantworten eine Frage

nach „wie viele?“. • Eineindeutigkeit zwischen Zahl und Zahlzeichen • Jede Zahl hat einen Nachfolger und einen Vorgänger. • Jede Rechenoperation liefert ein Ergebnis in der üblichen

Ziffernsprache. • Die Division ist nicht immer restlos möglich. Das Ergebnis ist

immer kleiner als die geteilte Zahl (wenn sie möglich ist). • Multipliziert man zwei Zahlen. miteinander, die größer als 1

sind, dann ist das Ergebnis größer als jede der beiden Zahlen.

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Ideen zum Umgang damit: • Brüche in der Vorstellung thematisieren und erklären. • Kinder die Vorstellungen verbalisieren lassen. • Kinder nach Erklärungen für die Brüche suchen lassen • Verwendung von Modellen ...

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Arbeitsauftrag 6:

Vergleichen Sie die folgenden Brüche mit dem Bruchteil 12.

Stellen Sie den Unterschied fest, indem Sie den Bruchteil zeichnen. 23; 18; 110

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Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen: (nach Malle 2004)

Erweitern und Kürzen

Zusammenfügen, Hinzufügen Wegnehmen

!

12

!

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Verfeinerung der Einteilung

Vergröberung der Einteilung

Addition und Subtraktion von Bruchzahlen

Vorwärtsbewegen, Vorwärtsschreiten (z.B. in Fünftelschritten)

Rückwärtsbewegen, Rückwärts-‐schreiten (z.B. in Fünftelschritten)

Addieren Subtrahieren

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Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen: (nach Malle 2004)

Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einer Bruchzahl

Abgekürzte Addition:

!

45

+45

+45

" 3 # 45

!

45" 3 # Von-‐Deutung:

!

45 von

!

3

Multiplikation von Bruchzahlen

Von-‐Deutung:

!

23"57

=23 von

!

57

Division von Bruchzahlen

!

49:2

!

72: 710

Teilen (Verteilen) Messen (Aufteilen)

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„von“ nach Hischer

Nimm

!

15 von 10 Äpfeln.

Nimm

!

25 von 10 Äpfeln.

Nimm

!

105 von 10 Äpfeln.

Nimm das Doppelte von 10 Äpfeln.

Nimm 2 von 10 Äpfeln.

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Arbeitsaufträge 6:

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Arbeitsauftrag 7:

Weinschorle In einem Weinglas ist Wein zu Sprudel im Verhältnis 1:4 gemischt. Es enthält 500 ml. In einem anderen Weinglas ist Wein zu Sprudel im Verhältnis 1:3 gemischt. Es enthält 400 ml. Sie schütten beide Gläser zusammen. Wie ist das Mischungsverhältnis im neuen, 900 ml fassenden, Glas? Warum?

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Arbeitsauftrag 8 (zu guter Letzt):

Ein Glas mit Wasser, ein Glas mit Sirup. Beide mit dem gleichen Fassungsvermögen. Aus dem einen nehmen Sie eine Menge Sirup heraus und machen ihn ins Wasser. Nun wird gemischt. Nun nehmen Sie aus der Mischung die gleiche Menge heraus und machen es wieder in den Sirup. Die Mischungsverhältnisse sind nun in beiden Gläsern gleich. Warum?

Tipp: Nutzen Sie konkrete Zahlen.

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