Brückenkurs

• Brücke zwischen Schule und Universität

• Vorlesung mit vielen Übungen

• Gelegenheit für Fragen

• Äußern Sie Wünsche z.B. wenn Sie ein Thema ausführlicher behandelt haben möchten.

Literaturvorschläge:

• Physik, Tipler, Spektrum Verlag• Physik, Giancoli, Pearson Verlag• Oberstufenschulbuch: Physik, Höfling, Dümmler Verlag

Die Bücher enthalten auch viele Übungsaufgaben und Beispiele.

Inhalt:

Die Kinematik der Massenpunkte

• Geschwindigkeit

• Beschleunigung

• Bewegungsarten von Massenpunkten

- Freier Fall, schiefe Ebene, vertikaler Wurf

- Kreisbewegung

- Horizontaler und schiefer Wurf

• Newtonsche Axiome

- Gegenkraft und Kompensationskraft

• Bezugsysteme

• Arbeit

• Energie

- Formen der Energie

- Konservative Kräfte

- Gradient der potentiellen Energie

M1

M2

M3

M4

• Leistung

• Impulserhaltung und Schwerpunktsatz

- Kraftstoß

- Impuls, Impulserhaltung, elastische und unelastische Stöße

- Massenmittelpunkt/Schwerpunkt

• Drehbewegungen

- Drehmoment

- Kräftepaar

- Trägheitsmoment, Satz von Steiner

- Drehimpuls

• Schwingungen

- Harmonische ungedämpfte Schwingungen

- Vergleich: Kreisbewegung

- Synthese und Analyse von Schwingungen

M4

M5

M6

M7

Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine Grundgröße im SI-System?a) Masseb) Längec) Kraftd) Zeite) alle Größen sind physikalische Grundgrößen

Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/s im Zähler und m/s2 im Nenner. Wie lautet die endgültige Maßeinheit?a) m2/s3

b) 1/sc) s3/m2

d) se) m/s

Richtig oder falsch?

a) Zwei physikalische Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um addiert werden zu können.

b) Zwei physikalische Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um multipliziert werden zu können.

Es gibt physikalische Größen, die durch einen Zahlenwert und eine Einheit vollständig charakterisiert sind, Skalare, und solche die zusätzlich die Angabe einer Richtung benötigen, Vektoren.

Richtig oder Falsch?

• Masse – Skalar ?• Volumen – Vektor ?• Geschwindigkeit – Vektor ?• Wellenlänge – Vektor ?• Temperatur – Skalar ?• Beschleunigung – Skalar ?• Kraft – Vektor ?• Impuls – Vektor ?

Ein senkrecht nach oben geworfener Gegenstand fällt zurück auf den Boden. Seine Flugzeit beträgt t und die erreichte Maximalhöhe h. Seine mittlere Geschwindigkeit für den gesamten Flug beträgt:a) h/tb) 0c) h/(2t)d) 2h/t

Die Kinematik der Massenpunkte:

Bewegungen eines Körpers:• als Ganzes durch den Raum• Drehbewegungen• Formveränderungen• seine Teile können Schwingungen gegeneinander ausführen

Wir betrachten den Fall:• Es interessiert nur die fortschreitende Bewegung.• Der Körper legt Entfernungen zurück, die groß verglichen mit seiner

Ausdehnung sind.

� Ersetzen den Körper durch die Modellvorstellung eines Massenpunktes!Idealisierung, die es in der realen Welt nicht gibt.

Eigenschaften des Massenpunktes:• keine Ausdehnung• Masse des Körpers soll im Massenpunkt vereinigt sein.

Vorteile:• Massenpunkt ist in einem Koordinatensystem einfach zu lokalisieren• Bewegung ist einfach• es gibt nur einen Angriffspunkt für Kräfte

v

t

v1

v2

Geschwindigkeit:

Gleichförmige Bewegung: Eine auf einer Geraden erfolgte Bewegung, bei der in beliebig großen, gleichen Zeitintervallen stets gleich große Wege zurückgelegt werden.

Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung: Einheit: m/st

sv

∆

∆=

rr

Weg - Zeit Diagramm Geschwindigkeits - Zeit Diagramm

t

s = v1.t

s=v2.t

v1

> v2

tvs ∆⋅=∆2

t∆

s

Mittlere Geschwindigkeit

in einem Intervall:

t

s

Weg - Zeit Diagramm der ungleichförmigen Bewegung:

t∆

t∆1

s∆

2s∆

t

smv

∆

∆=

rr

Momentangeschwindigkeit:.

0lim)( s

dt

sd

t

s

ttv

rrr

r==

∆

∆

→∆=

Geometrische Bedeutung:

Der Betrag der Momentangeschwindigkeit einer beliebigen Bewegung ist zu jeder Zeit gleich der Steigung der Tangente, die man an den zugehörigen Punkt des Weg-Zeit Diagramms zeichnen kann.

Mathematischer Einschub: Ableiten einer Funktion

Steigung der Sekante:

x

y

xxx

xfxxf

∆

∆=

−∆+

−∆+

00

00

)(

)()(

Differenzenquotient

Steigung im Punkt : 0x )(')(

)()(lim 0

00

00

0xf

xxx

xfxxf

x=

−∆+

−∆+

→∆

Definition der Ableitung (Differentialquotient erster Ordnung)

)(' xfdx

dyVerwendete Symbole: oder

Beispiel:

Ableitung der Funktion an der Stelle entsprechend der Definition der Ableitung.

3xy = 0x

3)( xxfy ==

x

xxx

xxx

xfxxfxf

xx ∆

−∆+=

−∆+

−∆+=

→∆→∆

3

0

3

0

000

00

00

)(lim

)(

)()(lim)('

x

xxxxxxxxf

x ∆

−∆+∆+∆+=

→∆

3

00

2

0

2

0

00

))(2(lim)('

x

xxxxxxxxxxxxf

x ∆

−∆+∆+∆+∆+∆+=

→∆

3

0

32

0

2

0

2

0

2

0

3

0

00

22lim)('

)33(lim33

lim)('2

0

2

00

32

0

2

0

00 xxxx

x

xxxxxxf

xx∆+∆+=

∆

∆+∆+∆=

→∆→∆

2

00 3)(' xxf =⇒

Einfacher: Rechenregeln für das Differenzieren von Funktionen n

xxf =)( )( Rn ∈ 1)('

−⋅= nxnxf⇒

xWeg - Zeit Diagramm eines Massenpunktes: x(t)

A

B

C D

t

Übung:

Welche Aussage ist richtig?

••• Der Massenpunkt bewegt sich nur in eine Richtung.• ist negativ

BA vv <0≈Cv

Dv

t

v = a2.t

v = a1.t

t

Gleichmäßig, geradlinig beschleunigte Bewegung:Bewegung, bei der der Geschwindigkeitsvektor nur seinen Betrag ändert und der Quotient aus der Geschwindigkeits-änderung und der dazu benötigten Zeit für beliebige Zeitintervalle konstant ist.

Beschleunigung:

Beschleunigte Bewegungen:

• Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu (Alltagssprache)• Geschwindigkeitsbetrag nimmt ab• nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert sich

v∆ t∆

t

va

∆

∆=

rr

Einheit: m/s2

2

22

1tas = mv

v Fall: 0)0( ==tv

2

2

1

2

1

)(

tatvs

tav

tatv

m

m

⋅=⋅=⇒

⋅=⇒

⋅=⇒

2

0 0 0

2

1

''')'('

ats

dttadttvds

vdtds

s t t

=

⋅==

=

∫ ∫ ∫

oder:

t

v

t∆

t∆

v∆

v∆

Geradlinig, ungleichförmig beschleunigte Bewegung:

t

vma

∆

∆=

rr

..

2

2.

0lim)( s

dt

sd

dt

dt

sdd

vdt

vd

t

v

tta

rr

r

rrr

r=====

∆

∆

→∆=

Mittlere Beschleunigung pro Intervall:

Momentanbeschleunigung:

zez

yey

xex

ze

dt

zd

ye

dt

yd

xe

dt

xd

ze

dt

zdv

ye

dt

ydv

xe

dt

xdv

a

zez

yey

xex

ze

dt

dz

ye

dt

dy

xe

dt

dx

ze

zv

ye

yv

xe

xvv

zyxz

ezy

eyx

exs

rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrr

rrrr

......

2

2

2

2

2

2

...

),,(

++=++=++=

++=++=++=

=++=

Vektoren:

Differentiation erfolgt komponentenweise!

m/s3=Svr

m/s4=Bvr

Beispiel: Vektor Geschwindigkeit

Bvr

Svr

Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Boot vom Ufer aus betrachtet?

m/s5/sm25)m/s3()m/s4(2222 ==+=v

=

v

vBarcsinα

Bvr

Svr

1.

α

vr

2.

=+=

=

=

0m/s

m/s4

m/s3

,

0m/s

m/s4

m/s0

,

0m/s

m/s0

m/s3

BSBS vvvvvrrrrr

x

y

z

m/s5/sm25)m/s3()m/s4(2222 ==+=v

Übungen:

Kann der Betrag einer Ortsverschiebung eines Massenpunktes

• gleich der entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke sein?

• größer als die entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke sein?

• kleiner als die entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke sein?

Richtig oder Falsch?

• Der Betrag der Summe zweier Vektoren muss größer als der Betrag jedes einzelnen Vektors sein.

• Ein Nullvektor kann eine Komponente ungleich Null besitzen!

Verschiedene Bewegungsarten von Massenpunkten:

1. Gleichförmige BewegungDer Geschwindigkeitsvektor ist unveränderlich, Betrag und Richtung sind konstant, es tritt keine Beschleunigung auf.

2.Ungleichförmige oder beschleunigte Bewegung

Fall A: Der Geschwindigkeitsvektor ändert nur seinen Betrag. Es treten nur Bahnbeschleunigungen auf. Beispiel: Freier Fall, schiefe Ebene, vertikaler Wurf

Fall B: Der Geschwindigkeitsvektor ändert nur seine Richtung. Es treten nur Radialbeschleunigungen auf.Beispiel: Kreisbewegung

Fall C: Der Geschwindigkeitsvektor ändert seinen Betrag und seine Richtung. Es treten Bahnbeschleunigungen und Radialbeschleunigungen auf. Beispiele: horizontaler und schiefer Wurf

Beispiele für geradlinig beschleunigte Bewegungen: 1. Freier Fall

Alltagserfahrungen:• Alle Körper fallen zu Boden.• Ein Apfel fällt schneller vom Baum als ein Blatt.• Im Wasser fallen Körper langsamer als in Luft, wenn überhaupt.

Galileo Galilei (1562 – 1642):

Werden störende Einflüsse ausgeschaltet hängt die Beschleunigung, die ein Körper erfährt nicht von seiner Größe, Masse oder Form ab.

Die Fallbeschleunigung g ist für alle Körper dieselbe!

Näherungswert für g nahe der Erdoberfläche: 2m/s81,9≈g

h

s

g

2. Reibungsfreies Gleiten auf einer geneigten Ebene:

αα

αsing

αcosg

Konstante Beschleunigung:

Es gilt:

αsinga =

sgv

tgs

tgtav

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

α

α

α

sin2

2sin2

1

sin Sonderfall: °=90α

sh =⇒=⇒ 1sinα

ghv 2=Endgeschwindigkeit:

3. Der vertikale Wurf

Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit vertikal nach unten oder nach oben geworfen.

Beschreibung als Überlagerung von zwei unabhängigen Teilbewegungen:

• Einer auf- oder abwärts gerichteten gleichförmigen Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit .

• Einer abwärts gerichteten, gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung mit der Beschleunigung g.

0v

2

2

1

0)(,

0)( gttvtsgtvtv +=+=

2

2

1

0)(

0)(

gttvts

gtvtv

−=

−=

Wurf nach unten:

Wurf nach oben: Steigzeit : st

g

v

st

sgtvtv

0

00)(

=⇒

−==

g

v

g

vg

g

vH

sts

2

20

2

20

2

120)( =−==

Maximale Steighöhe:

Übung:

Ein Porsche beschleunigt gleichförmig von 80,5 km/h bei t=0 auf 113 km/h bei t = 9s. Welches Diagramm in der Abbildung beschreibt die Bewegung des Autos am besten?

v

t

v

t

v

t

v

t

v

t

v

t

a b c

d e f

mit folgt:

Betrag der Bahngeschwindigkeit:

Bewegung auf einem Kreis, bei der in beliebig großen, gleichen Zeitintervallen stets gleich lange Wege auf dem Kreis zurückgelegt werden.

Beispiel bei dem nur eine Radialbeschleunigung auftritt: Die gleichmäßige Kreisbewegung

t∆s∆

r

M

A2

A1

1vr

2vr

ϕ∆

s∆ ϕ∆⋅=∆ rs ωϕ

rt

rv =

∆

∆⋅=

Allgemein gilt: rvrrr

×=ω

t

sv

∆

∆=

Der Beschleunigungsvektor ist bei der gleichmäßigen Kreisbewegung stets zum Kreismittelpunkt gerichtet.

Normal- oder Zentripetalbeschleunigung: rar

vr

rar

M

:ωr

Winkelgeschwindigkeit

Einheit: rad/s

A B

CD

Betrag von : rar

tv ∆⋅Überlagerung von zwei Teilbewegungen:

AB =

AC =

Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke:

CD2 = AC . CE

einsetzen ergibt:

2

2

1tra ∆

tv ∆⋅

2

2

1tra ∆

( )

∆−⋅∆=∆⋅ 2

2

122

2

12 tr

artratv

22

4

12t

rar

rav ∆−=⇒

Dies gilt umso genauer, je kleiner ist. Für gilt: t∆ 0→∆t rr

av =2

rr

var

22

ω==

Weitere wichtige Größen zur Beschreibung einer Drehbewegung:

t

n=υ

n: Anzahl der Umdrehungen

t: Zeit für n Umdrehungen

Einheit: 1/s = 1 HzFrequenz:

Periodendauer:υ

1=T

Zusammenhang zwischen und :υ ω

Betrag der Bahngeschwindigkeit: rrT

r

t

sv ωυπ

π===

∆

∆= 2

2

πυω 2=⇒ „Kreisfrequenz“

Weitere Beispiele für beschleunigte Bewegungen:

1. Der horizontale Wurf0vr

Beschreibung als zwei unabhängige Teilbewegungen:• Eine entlang der x-Achse verlaufende gleichförmige Bewegung mit

konstanter Geschwindigkeit

• Eine entlang der y-Achse verlaufende gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung mit der konstanten Beschleunigung g.

0v

x

y

Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit t : vr

tgvvvv yx

rrrrr+=+= 0

222

0 tgvv +=

In der Zeit t zurückgelegte Wege: 2

02

1, gtytvx ==

Zeit t eliminieren: 2

2

0

2

0 22

1)( x

v

g

v

xgxy =

=

x

y

Parabel

2. Der schiefe Wurf

x

y

0vr

α

xv0

yv0

yx

yyxxyx

egtvevtv

egtvevtvvtvrrr

rrrrr

⋅−⋅+⋅⋅=

⋅−+⋅=+=

)sin(cos)(

)()()(

00

00

αα

2

0

2

0 )sin()cos()( gtvvtv −⋅+⋅= αα

)2

1sin()(

cos)(

2

0

0

gttvty

tvtx

−⋅⋅=

⋅⋅=

α

α

2

22

0

2

00

0

cos2tan)(

cos2

1

cossin)(

xv

gxxy

v

xg

v

xvxy

αα

ααα

−⋅=

−⋅⋅=

Bahnkurve:

α

y

x

Wurfweite:

g

v

g

vx

xy

ααα 2sinsincos2

0)(

2

0

2

0 ==⇒

=

g

vtgtvv ssy

αα

sin0sin0 0

0

⋅=⇒=−⋅⇒=

Steigzeit:

Wurfhöhe: g

v

g

vg

g

vvhty S

αααα

22

0

22

0

2

00max

sin

2

1)

sin

2

1sinsin()( =

−⋅⋅==

Übung

Ein Geschoss wird unter einem Winkel von 35°gegenüber der Horizontalenabgefeuert. Im höchsten Punkt seiner Bahn beträgt seine Geschwindigkeit200 m/s. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.

Die horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit betrug:

• 0 m/s

• 200 m/s cos35°

• 200 m/s sin35°

• 200 m/s

• 200 m/s / (cos35°)