Copula s

D. Pfeifer: Einführung in Copulas TELIS-Seminar, 25. Mai 2011

Einführung in

Copulas

– Teil 1: Modellierung –

Einführung in Copulas: − Teil 1: Modellierung −

Stochastische Abhängigkeiten entstehen im Versicherungsgeschäft z.B.

• zwischen ähnlichen Sparten (z.B. Hausrat- und Gebäudeversicherung),

• aufgrund räumlicher Kohärenz (z.B. bei großräumigen Stürmen oder

Erdbeben)

• aufgrund gemeinsamer klimatischer Trigger (z.B. in der Gebäudeversiche-

rung bei Sturm- und Hochwasserschäden). Beschreibung von Abhängigkeiten:

• Korrelationen (?)

• Copulas (!)

D. Pfeifer: Einführung in Copulas TELIS-Seminar, 25. Mai 2011 1


Beispiel: Zufallsvariablen und Z mit identischen (uniformen) Randverteilungen und glei-chen (linearen) Korrelationen

, X Y

( ) ( ),X Z= = 7 5, / 1L LYXρ ρ

aber verschiedener gemein-samer Verteilungsstruktur




[0,1]n mit

1. Der Wertebereich von C ist das Ein ll [0,1]; 2. 0= für alle in[0,1] ,n für die mindestens eine Komponente 0 ist; 3. k falls alle Koordinaten von u gleich 1 sind außer der k-ten;

4. C ist Δ -monoton in dem Sinne, d ≤a b in [0,1]n das Maß ba , das C dem ×, [ , ]n na b a ba b beimisst, nicht-

negativ ist, d.h.

ε+ − ≥(1 ) 0.n n n na b

In anderen Worten: Eine Copula C ist die Verteilungsfunktion eines n-dimensionalen Zufallsvektors mit uniformen Randverteilungen.

Eine Copula ist eine Funktion C von n Variablen auf dem Würfel folgenden Eigenschaften:

heitsinterva ( )C u u ( )C u=u

ass für alleCΔ Intervall = ×1 1[ , ] [ ]

( )( ) { }

ε

ε ε

ε ε ε=

∈

∑Δ = − + −∑ 1

1

1 1 1 1, , 0,1

: ( 1) (1 ) , ,

n

ii

nn

C C a bba

3



1, , nFSklar’s Theorem: Es sei H eine n-dimensionale Verteilungsfunktion mit Rand-verteilungsfunktionen .F Dann existiert eine n-Copula C, so dass

( )11 1( , , ) ( ), ,n nx x FC x F= 1, , nx x ∈

n1 1

1 , , nF F−

( , , ) ( ),nC u uFu H u−= [

( )n xH für alle . Wenn alle Randverteilungsfunktionen stetig sind, ist die Copula eindeutig bestimmt, anderenfalls ist sie nur eindeutig auf den Wertebereichen der

F bestimmt. Umgekehrt gilt bei Stetigkeit: bezeichnen − die (Pseudo-)Inversen der Randverteilungsfunktionen, dann ist

1, ,F

( )1111

1( )n nF − für ]1, , 0,nu u ∈ 1

eine Repräsentation der Copula.

{1Pseudo Inverse einer Verteilungsfun ( ) iktion : F uF − = ∈⎡ −⎢⎣ }nf | ( )x F x u ⎤⎥≥ ⎦

1

4


Fréchet-Hoeffding-Schranken:


{ }: min , , nu u=

2n>

( ) ( ) ( )1 11

max 1 ,0 : , ,n

n ni n

i

u n C u u=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ − = ≤ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∑ u uW M… …

keine Copula für stets Copula

Repräsenta ,1− (nten: ( )X X oder )1 ,X X− ( ), , ,X X X

5


Vorteile des Copula-Ansatzes: • Die Copula hängt nicht von den Randverteilungen der Einzelrisiken ab.

• Die Copula charakterisiert bei Stetigkeit der Randverteilungen die ge-

meinsame Abhängigkeitsstruktur der Einzelrisiken eindeutig.

• Die Copula ist invariant gegen alle gleichsinnig monotonen Transforma-

tionen der Einzelrisiken, insbesondere nichtlineare.

• Paarweise Korrelationen zwischen den Einzelrisiken können über die Co-

pula ausgedrückt werden, aber nicht umgekehrt.

• Mischungen von Copulas sind wieder Copulas.



Man kann grob drei Typen von Copulas unterscheiden:

1. Copulas, die nur implizit angegeben, aber explizit stochastisch kon-

struiert werden können und damit auch einfach simulierbar sind (dazu

gehören die Gauß-, t- und allgemeiner die elliptischen Copulas)

2. Copulas, die explizit angegeben werden können, aber nur aufwändig

stochastisch konstruierbar sind (dazu gehören in der Regel die so ge-

nannten Archimedischen Copulas)

3. Copulas, die explizit angegeben werden und explizit stochastisch kon-

struiert werden können (z.B. Bernstein-Copulas, Gitter-Gopulas).




Σ=

:GCΣ

Beispiele für Copulas vom Typ 1 ( positiv-definite symmetrische Matrix):

Gauß-Copula

1 11( ) ( )

1

1 1( , , ) exp

(2 ) det( )

nu uG

n nC u u

π

− −Φ Φ

Σ

−∞ −∞

⎛ ⎞⎜= −⎜⎜⎝ ⎠Σ∫ ∫ tr 1

12 ndv dv− ⎟Σ ⎟⎟v v

tCΣ ν ∈ Freiheitsgraden:

t-Copula ν mit

1 11( ) ( )

tr1

12( , , ) 1( ) det( )

2

nt u t ut

nn

n

C u uν ν

ν

ν

ν νπν

− −

Σ

−∞ −∞

⎛ ⎞+ ⎟⎜Γ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎜= +⎜⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎟⎜Γ Σ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∫ ∫ v v21

1

n

ndv dv

ν⎛ ⎞+ ⎟⎜− ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠− ⎟Σ ⎟⎟

8



( )1, , trnX X sämtlich Normalverteilungen

sind (ansonsten arbeitet man mit dem Satz von Sklar). In diesem Fall genügt

X einer multivariaten Normalverteilung ( ),ΣN μ mit Erwartungswertvektor

n und nicht-negativ-definiter Varianz-Kovarianz-Matrix .Σ Unter Ver-

wendung der linearen Struktur normalverteilter Zufallsvektoren bietet sich

dann folgendes Konstruktionsverfahren an:

Gauß-Copula: Wir betrachten zunächst den Fall, dass die zugehörigen Rand-

verteilungen des Zufallsvektors X =

∈μ

9


• Zerlege die vorgegebene Matrix Σ in ein Matrixprodukt ,trAAΣ= z.B.

mittels Spektralzerlegung [über Eigenwerte und Eigenvektoren] oder mittels der Cholesky-Zerlegung.


1, , n

• Ist Z ein Zufallsvektor aus n unabhängigen standard-normalverteilten Komponenten ,Z Z dann kann X dargestellt werden als .= +X Zμ A

Σ

1 trT T− = Δ

mit der Diagonalmatrix 2

0 0

n

λ

λ

Bei der Spektralzerlegung kann man darstellen als

T TΣ= Δ

1

0 0

0 0

λ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

der (nicht-negativen) Eigenwer-

te von Σ und einer Orthonormalmatrix T aus den zugehörigen Eigenvekto-ren.

10


Die benötigte Transformationsmatrix A ergibt sich dann zu


= Δ1/2A T mit

1

1/2 2

0 0

0 0.

0 0 n

λ

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥Δ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Dieses Verfahren ist auch als symmetrische Quadratwurzelzerlegung von

bekannt. Σ

11



4

2

5

Σ= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

Beispiel: Für ⎥⎥ erhält man mit der Einheitsmatrix I das charakte-

ristische Polynom

5 2

2 1

4 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢

( ) 3 2( ) det 11 11ϕ λ λ λ λ λ= Σ− =− + −I 1+

mit den drei Nullstellen

1 21,λ λ= =,3 5 2 6±

39 0,2142

029 0,9530

39 0,2142

und der zugehörigen Orthonormalmatrix

0,7071 0,67

0 0,3

0,7071 0,67

T

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

12


Hiermit ergibt sich


02 0,0681

530 0,3029

0,7072 2,1202 0,0681

A T 1/2

0,7071 2,12

0 0,9 .

⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎦

22

0 0

0

nna

⎣

Die Spektralzerlegung ist insbesondere in höheren Dimensionen sehr auf-wändig. Demgegenüber ist die Methode der Cholesky-Zerlegung, die rekursiv arbei-tet, effizienter. Die gesuchte Matrix A wird dabei als untere Dreiecksmatrix angenommen:

11

21

1 2n n

a

a aA

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

13


Hiermit ergibt sich


11 1

21 1 22 2

2

1

.

n

n n

n

nkk

a a

a a a a

a=

211 11 21

2 221 11 21 22

1 11 1 21 2 22

trij

n n n

a a a

a a a aAA

a a a a a a

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤Σ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

Diese Gleichung kann rekursiv aufgelöst werden zu

1

1

j

kj ki ji

jj

a a−

=

−∑12 1

11 11 11 11

, , ,ik

kkk kk ki k kj

i

a a a a aa a

σσ

σ σ−

=

= = − = =∑ , 1 .j k n≤ ≤ ≤

14



5 2 4

2 1 2

4 2 5

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Σ =Für das obige Beispiel ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

ergibt dies

⎣

5 0 02,2361

2 15 5 0 0,894

5 51,78894 2

5 5 15 5

A

0 0

4 0,4472 0

0,8944 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Bemerkung: Die Gleichung kann im Allgemeinen noch weitere Lösungen besitzen, hier z.B.

trAAΣ=

1 2 0

0 1 0 .

0 2 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=A ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

⎣

15


Für die Dimension 2 lassen sich abhängige standard-normalverteilte Zufalls-vektoren X direkt auch folgendermaßen erzeugen:

( )

( )

cos 2

cos 2 ,

V

V

π

π α+

[

1

2

: 2ln( )

: 2ln( )

X U

X U

= − ⋅

= − ⋅

]wobei U und V über 0,1

[ stetig gleichverteilte, stochastisch unabhängige

Zufallsvariablen sind und ]0,2α∈ π ein beliebiger Winkel ist. Es folgt dann

nämlich mit : ln( ) (R U= − 2R ist (1)E -exponentialverteilt):

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2

cos cos2

α α=

mit

( ) [

12

1 2

0

, cos 2 cos 2E R

Cov X X E R v v dvπ π α= ⋅ + =∫

( ) ]1 2, cKorr X X = ∈os 1,1 .α −



Für 2π

ist ( )cos 2 sin ,V Vπ α+ = d.h. 1 2,X X sind dann unkorreliert

(Box-Muller-Transformation).

Die Gauß-Copula kommt natürlicherweise bei der Brown’schen Bewegung

(Aktienmärkte, Zinsstrukturkurven) vor. Die oben vorgestellten Methoden

können damit insbesondere zur alternativen Simulation der Brown’schen

Bewegung zu diskreten Zeitpunkten verwendet werden.

α = ( )2π



t-Copula: Durch eine so genannte Varianz-Mischung erhält man aus der

multivariaten Normalverteilung ( ),ΣN μ eine multivariate t-Verteilung

( ),tν μ Σ ν

(

mit Freiheitsgraden. Zur Simulation eines entsprechenden Zufalls-

vektors X erzeugt man einen ),Σ0 -verteilten Zufallsvektor Z sowie unab-

hängig davon eine χ W und setzt

N2ν -verteilte Zufallsvariable

: .Wν

= +μ

X Z



Auf ähnliche Weise lassen sich allgemeiner Zufallsvektoren mit Verteilungen aus der Klasse der so genannten elliptisch konturierten Verteilungen erzeu-gen, indem man


: AR= +μ

setzt, wobei wieder A eine geeignete Transformationsmatrix bezeichnet. Die nicht-negative Zufallsvariable R und der auf der n-dimensionalen Einheits-

Sphäre

X S

{ }: | 1r =x gleichverteilte Zufallsvektor S sind dabei sto-

chastisch unabhängig. Die multivariate Normal- und t-Verteilung sind hiervon Spezialfälle.

[Eine Gleichverteilung auf der Sphäre S erhält man z.B. durch Normierung

von unabhängigen standard-normalverteilten Zufallsvektoren.]

n t= ∈x xS

19


Beispiele für Copulas vom Typ 2: Archimedische Copulas:

Diese sind charakterisiert durch ihren so genannten Erzeuger ϕ vermöge


1( , , )n

n ni

C u u uϕ ϕ−

=

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ [

]11

( )i für 1, , 0,1 .nu u ∈

Wichtigster Spezialfall:

( ) lnx x=− mit

1

lnn

i ii

u u=

⎛ ⎞=

⎝ ⎠ ∏

(Unabhängigkeitscopula Π )

ϕ

11

1 1

( , , ) ( ) expn n

n n ii i

C u u uϕ ϕ−

= =

⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠∑ ∑

20


Charakterisierung “geeigneter” (so genannter strikter) Erzeuger: Sei ( ]: 0,1ϕ → (1) 0ϕ =

zzϕ

↓=∞ 1ϕ− bezeichne die zugehörige Inverse auf dem Intervall

stetig, streng monoton fallend und konvex mit and

0lim ( ) ; [ )0, .∞

Dann ist die durch

1( , , )n

n ni

C u u ϕ ϕ−

=

⎛ ⎞⎜= ⎜⎜⎝ ⎠∑ [11

( )iu ⎟⎟⎟⎟ für ]1, , 0,1nu u ∈

gegebene Abbildung nC eine Copula für 2.n = Sie ist eine Copula für alle

2 genau dann, wenn 1ϕ− total monoton ist, d.h. wenn gilt n≥

1( )k

kk

ds

dsϕ−− ≥ und 0.∈ >

( 1) 0 für alle k s



Nach einem klassischen Satz von Bernstein können die Inversen solcher Er-

zeuger als Laplace-Transformierte nicht-negativer Zufallsvariablen Z darge-

stellt werden vermöge


( ), 0,sZe s

denn:

1( )s Eϕ− −= ≥

( )) 0sZE Z e−= ≥

für alle 0.

1 1 1(0) 1, lim ( ) 0, und ( 1) (k

k kks

ds s

dsϕ ϕ ϕ− − −

→∞= = −

∈ > und k s

22


Für die spezielle Wahl 1Z ≡ ist ,≥ und die resultierende Copula ist die Unabhängigkeitscopula wie bereits oben gezeigt wurde.

1( ) , 0ss e sϕ− −=Π,

( ]0,1 , 0n θ

Clayton-Copula: 1/

11

( , , ) 1 ,n

n ii

C u u u nθ

θθ

−−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥

∈ >⎣ ⎦∑ u

für ZP α α= Γ


( , ) mit 1

0θ

= > und Dichte α

1

( ) ,( )

zZ

zf z e z

αα αα

α

−−= >

Γ0,

also ( )1( ) sZs E eϕ− −= = , 0,s

s

ααα

⎛ ⎞⎟⎜ ≥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ d.h.

1,

t θ

θ

− −= ( ]0,1 .t ∈ ( )tϕ

23


Frank-Copula:

( ) ( ], 0,1 , 0n θ⎟⎟ ∈ >⎟⎟⎟u

( θ−= LS )

11

1 1( , , ) ln 1 1

1

iun

ni

eC u u e

e

θθ

θ θθ

−−

−=

⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪−⎜ ⎪ ⎪=− + −⎜ ⎨ ⎬⎜ ⎪ ⎪⎜ −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭∏

für )e (Log-Series-Verteilung über wegen ZP

( )( )( ) ( )( )1

1

1 ln 11( )

ks s

sZ

k

e es E e

k

θ θ

ϕθ θ

− −∞− −

=

− −= =− =∑

1, 0,

e es

− −−≥

und damit

( ], 0,1 .te

e

θ

θ

−

− ∈

1( ) ln

1t tϕ

−=−

−



Gumbel-Copula:


( ], 0,1 , 1n θ∈ ≥u( )1/

11

( , , ) exp ln( )n

n ii

C u u uθ

θθ

=

⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎜= − − ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠∑

Die Zufallsvariable Z besitzt hier eine spezielle positiv-stabile Verteilung mit

Laplace-Transformierter

( ) 1/

, 0.se sθ− ≥

Die zugehörige Verteilung besitzt keine explizite Darstellung der Dichte oder

Verteilungsfunktion.

1( ) sZs E eϕ− −= =

25


Die Erzeugung von Zufallsvektoren U mit einer Copula von diesem Typ er-

folgt in drei Schritten:

• Erzeuge eine Zufallszahl Z mit der Misch-Verteilungsfunktion G.


1, , nW W• Erzeuge (auch von Z) unabhängige Standardzufallszahlen .

• Setze ( )( ) ( )( )1

ˆ ˆln: , ,

G W G W

Z Z

⎛ ⎞− −⎜⎜= ⎜⎜⎜⎝ ⎠U

ln n ⎟⎟⎟⎟⎟

mit der zugehörigen Laplace-Transformierte0

( ), 0.txe dG x t∞

−∫ Die

zu G gehörige Verteilung kann also auch als eine Mischverteilung für den

Verteilungs-Parameter in der Familie der Exponentialverteilungen aufgefasst

werden.

n ˆ ( )G t = ≥

26


Zusammenfassung:


Cθθ

Name Copula Erzeuger ϕ

Mischver-teilung

Clay-ton

1/

1

1 ,n

ii

u nθ

θ θ−

−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥− + >⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 0 ( )1

tθ

1θ− − 1 1

,θ θ⎛ ⎞⎟⎜Γ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Gum-bel

( )1/

1

exp ln( ) ,n

ii

uθ

θ

=

⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎜− − ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠∑ ( lnt θ−1θ ≥ ) positiv stabil

Frank ( )1

1 1ln 1 1 0

1

n

i

ee

eθ

θ

−−

=

⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪−⎜ ⎪ ⎪− − −⎜ ⎨ ⎬⎜ ⎪ ⎪⎜ −⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭∏ ,

iuθ

θ θ−⎟⎟ >⎟⎟⎟

1ln

1

t

θ

−−

− ( )e θ−LS auf e

e

θ−

−

27


Zufallsvektoren U mit beliebigen Archimedischen Copulas in 2 Dimensionen lassen sich allgemein leichter direkt erzeugen, und zwar auf folgende Weise:


1 2,W W• Erzeuge zwei unabhängige Standardzufallszahlen • Setze

( ) ( ) ( )( )11 1U Wϕ ϕ−

1 11 2

2

'( ): ' , :

WU U

Wϕ

ϕ ϕ− −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

28


Beispiele für Copulas vom Typ 3: Bernstein-Copulas: Bernstein-Polynom vom Grad m:


, 0, ,k m=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠( , , ) (1 ) , 0 1k m km

B m k z z z zk

−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − ≤ ≤ ∈

Für d ∈ sei ( )1U U=U , , d ein Zufallsvektor, dessen Komponenten iU einer

diskreten Gleichverteilung { },1i iT m= − mit , 1, ,im i d∈ = folgen. Ferner bezeichne

{ }1i

p k k P U=

⎛ ⎞⎜= =⎜⎜⎝ ⎠∩ ( )1 1, , .

d

d iik k T

=∈×

über : 0 , , 1

( )1, , :d

d i ik ⎟⎟⎟⎟ für alle

29


Dann definiert


( ) [ ]1, , , 0,1 ddu u ∈

die Dichte einer d-dimensional Copula, genannt Bernstein-Copula. c heißt die durch U induzierte Bernstein-Copula-Dichte.

( ) ( ) ( )1

1

11

1 10 0 1

, , : , , 1, ,d

d

mm d

d d i i i ik k i

c u u p k k m B m k u−−

= = =

= −∑ ∑ ∏

30


Gitter-Copula: Es bezeichne 1, , :

dk kI =×1

1,

dj j

jj j

k k

m m=

⎛ ⎤+⎜ ⎥⎜⎜ ⎥⎜⎝ ⎥⎦( )1 1

, , .d

d iik k T

=∈× Dann

ist mit den obigen Bezeichnungen die Funktion

, ,11 ,k kdIk k 1

Die Dichte einer d-dimensionalen Copula, genannt Schachbrett-Copula oder Gitter-Copula, induziert durch U.

für

( )1

1

11*

0 01

: ,d

d

mmd

i dk ki

c m p−−

= ==

= ∑ ∑∏

A1 bezeichnet hier wie üblich die Indika-

torfunktion des Ereignisses A. D. Pfeifer: Einführung in Copulas TELIS-Seminar, 25. Mai 2011 31


Veranschaulichung: Ein Zufallsvektor ) besitzt eine Gitter-Copula genau dann, wenn für die folgende bedingte Verteilung gilt:

( 1, , dW W=W

( )1

( )( )1 ,| , ,dd kP k k I= =W U Ui ( )1 1

, ,d

d iik k

=∈×

( )B

,k für alle ,T

(wobei U die stetige Gleichverteilung über der d-dimensionalen Borel-

B mit positivem Lebesgue-Maß bezeichnet) und

Menge

( )1 , dkI∈

(d.h. U bezeichnet in einem gewissen Sinn die “Koordinaten” von W bezgl.

des durch d1, , dk kI induzierten Gitters).

1 ,, , d kk k= ⇔U W

ie



Die durch U induzierte Bernstein-Copula kann also als eine geglättete Versi-

on der durch U induzierten Gitter-Copula angesehen werden, wobei die säu-

lenartigen Indikatorfunktionen der Gitterung durch Bernstein-Polynome er-

setzt werden.




1:d =Beispiel 1: Glättungseffekt für

5m = 10m =

34



4;m =Beispiel 2: Glättungseffekt für und Verteilung von

2d =

( )1 2, :U U=U

i ( ), j=( )P iU

0 1 2 3

0 0,02 0 0,08 0,15

1 0 0,03 0,12 0,10

2 0,13 0,07 0,05 0 j

3 0,10 0,15 0 0

Die folgenden Graphiken zeigen gemeinsam die Dichten der Gitter- und der

Bernstein-Copula aus verschiedenen Blickwinkeln:

35



36


Verallgemeinerung der Bernstein-Copula: Zerlegung der Eins:

Familie positiver Funktionen { }( , , )|0m k kφ ≤ ≤i 1,m m− ∈ mit den Eigen-

schaften

1

0

( , , )m k uφ∫1

dum

= für 0, , 1k m= −

,m

k

m kφ−

=∑ .m∈

Hier ist eine d-dimensionale Copula-Dichte cφ induziert durch U gegeben

durch

( ) [ ]1, , , 0,1 .ddu u ∈

1

0

( , ) 1=i für

( ) { } ( )1

1

11

110 0 1

, , : , ,d

d

mm dd

d i i i i i iik k i

c u u P U k m m k uφ φ−−

== = =

⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑ ∏∩D. Pfeifer: Einführung in Copulas TELIS-Seminar, 25. Mai 2011 37


Bemerkung: Jede Zerlegung der Eins { }( , , )|0m kφ ≤ ≤i 1,k m m− ∈

K ∈ durch

,K

Kj

m k K m K kφ φ−

=

= ⋅∑i i 0, , 1k m= −

eine weitere Zerlegung der Eins 1,k m m− ∈ wegen

erzeugt

für beliebiges, festes

1

0

( , , ) : ( , )j⋅ + für

{ }( , , )|0K m kφ ≤ ≤i

1 11 1

0 00 0

1 1( , , ) ( , , )

K K

Kj j

m k u du K m K k j u duK m

φ φ− −

= =

= ⋅ ⋅ + =⋅∑ ∑∫ ∫ , 0, , 1k m

m= = −

( , , ) ( , , ) , , ) 1,m K m K

Kk j k i

m k K m K k j m iφ φ− − −

= = =

= ⋅ ⋅ + = ⋅ =∑ ∑∑ ∑i i i .m∈

1 1 1

0 0 0 0

(m

Kφ⋅

=



Bemerkung: Bernstein-Copulas entstehen aus Zerlegungen der Eins als Spe-

zialfall über


1, 0, , .k m= ∈

Durch Übergang zu ( , , )m k z ergibt sich eine steuerbare Glättung einer

Gitter-Copula. Die fol enden beiden Graphiken zeigen diesen Effekt für

3 und = bei 5.m = 1K = ist als dünne Linie zum Ver-

gleich mit ausgegeben.

( , , ) ( , , ) (1 ) , 0k m kmm k z B m k z z z z

kφ −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = − ≤ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Kφ

g

K = 10K Der Fall

39


3 15K Km= == 0



Spezielle Erweiterungen:


,kα≤ ≤ 1, ,k n= ist auch

1, 0 , , 1nu u≤ ≤

eine Copula. Diese ist für ungleiche kα unsymmetrisch, auch wenn die originäre Copula symmetrisch ist (z.B. bei Archimedischen Copulas).

• Für jede n-dimensionale Copula C und beliebige k ∈ ist auch

1, 0 , , 1nu u ≤

eine Copula. Existiert der Grenzwert

1, 0 , , 1nu u ≤

als Copula, so heißt ( )C ∞ Extremwert-Copula.

• Für jede n-dimensionale Copula C und beliebige 0 1

( ) ( )111 1

1

( , , ) , ,k n

n

n k nk

C u u u C u uα α α−∗

=

= ⋅∏

( )1/ 1/( ) 1 1( , , ) , ,k k kk n nC u u C u u= ≤

( )( ) 1 ( ) 1( , , ) lim , ,n k nkC u u C u u∞ →∞

= ≤

41


Zum ersten Fall gehört folgende explizite Konstruktion:

Sei ( )1, ,X n=X ( )1, , nY Y=Y

[X ein Zufallsvektor mit der Copula C und ein

Zufallsvektor mit unabhängigen über ]0,1 mpo-nenten, unabhängig von X. Setze

1/ 11/ , kkkY αα − für 1, , .k n=

Dann hat n die Copula ,C ∗ denn:

stetig gleichverteilten Ko

( ){ }: maxk kZ X=

( )1, ,Z Z=Z

{ } { } { }( )

{ } { } (

1

1 1

11

1 1

k k

k k

n n

k k k k k kk k

n n

k k k kk k

P Z u P X u Y u

P X u P Y u C u

α α

α α

−

= =

−

= =

⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜≤ = ≤ ∩ ≤⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ ⋅ ≤ =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∩ ∩

∩ ∩ ) ( )1 1

1

, , kn

n

n kk

u u αα α −

=

⎞

⎠

⋅∏

mit ,k k k k k k kP Z u P X u P Y uα α− −≤ = ≤ ⋅ ≤ = 10 , , 1.nu u≤ ≤ ( ) ( ) ( )1 1k k k k

k ku u uα α⋅ =D. Pfeifer: Einführung in Copulas TELIS-Seminar, 25. Mai 2011 42


Zum zweiten Fall gehört folgende explizite Konstruktion: Seien ( )1, ,j jX X=X 1jn für j k≤ ≤

1ax k

j k

unabhängige Zufallsvektoren je mit der

Copula C. Setze

{ }: mi jiZ X≤ ≤

= 1, , .i n=

1, , n

für

Dann hat )(Z Z=Z ( ) ,kC denn:

die Copula

{ } { }{ } { }{ } { }

}

1/

1 1

1/

= =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

⎞=

⎠

∩∩n k

kji i

i j

k kn

P X u

C u( )1/ 1/1 , ,k k

nu

mit

{ } {

1/

1 11 1 1

1/ 1/1 1

1 1 1

max max

, ,

≤ ≤ ≤ ≤= = =

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜≤ = ≤ = ≤⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ≤ = ≤ ≤⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∩ ∩ ∩

∩∩ ∩

n n nk k

i i ji i ji ij k j k

i i i

k n kk k

ji i j jnj i j

P Z u P X u P X u

P X u P X u X u

( ) { }( ) ( )1/

1max k k

i i ji ij kP Z u P X u

≤ ≤≤ = ≤ 10 , , 1.nu u≤ ≤ 1/ ,

k

i iu u= =



Bemerkung: die Gumbel-Copula ist eine spezielle Extremwert-Copula, denn mit


1/

( ) , 1uθ

θ θ⎟⎟ ≥⎟⎟⎟

k ∈

( )11

( , , ) exp lnn

n ii

C u u=

⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪⎜ ⎪ ⎪⎜= − −⎨ ⎬⎜ ⎪ ⎪⎜⎜ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠∑

folgt für jedes

( ) ( )( )

( )( )

1/1/ 1/ 1/1

1 1

1/1/

11

, , exp ln exp

1exp ln ( ,

n nk k k k

n ii i

nk

i ni

C u u k u k

k u C uk

θθ

θθ

θ

= =

=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎜⎪ ⎪ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎜⎟⎜= − − = −⎟⎨ ⎬ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎜⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎟⎜ ⎪ ⎪ ⎟⎜= − − =⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎝ ⎠

∑ ∑

∑

1/1

ln( )

, ), 1

iuk

u

θθ

θ

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎟⎛ ⎞ ⎟⎪ ⎪⎟⎜ ⎟− ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎟⎪ ⎪⎩ ⎭

≥

und somit

( )k C ∞ für alle k ∈

(man sagt auch, die Gumbel-Copula ist max-stabil).

( )C C= =

44


Vernestung von Copulas (sog. Kompatibilitätsproblem): Frage: Seien 2 bivariate Copulas. Ist dann auch 1,C C

3 2 1 2( , , ) ( , ), bzw. C u v w C C u v w C= mit 0 , , 1u v w≤ ≤

wieder eine Copula (analog für höhere Dimensionen)? Antwort:

( ) ( )1, ( , )u C v w

Im Allgemeinen nein! Gegenbeispiel: 21 2C C= =W (untere Fréchet-

Hoeffding-Schranke) ergibt

( ) 3( , , ),u v wW und dies ist keine Copula.

3 2 1( , , ) ( , ),C u v w C C u v w= =



Vernestungen bei Archimedischen Copulas:


1ϕ 2ϕ zwei strikte Erzeuger Archimedisch 1C und 2C mit

total monotonen Inversen 1 und 12 ,ϕ− die zusätzlich die Bedingung erfül-

len: 1− ist tota

Sind und er Copulas

1ϕ−

( )2 1ϕ ϕ− l monoton, d.h.

( )(k

kk

dt

dtϕ ϕ− −− ≥ für alle ,k ∈

so ist auch

2( ) ,0 , , 1w u v w≤ ≤

eine Copula. Dieses Konstruktionsprinzip kann für geeignete Copula-Familien auf beliebi-ge Dimensionen erweitert werden ( Hierarchische Archimedische Copulas).

1 12 1( 1) ) 0

( ) ( )( )1 12 1 2 2 1 1 2( , , ) ( , ), ( ) ( )C u v w C C u v w u vϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −= = + +

46


Beispiel:


( ) )a bt t t tϕ ϕ= − 1:a b≥ ≥

( )1/ /pb

a b at t− = und

Gumbel-Copula: mit 1 2( ) ( ln ) , ( ln= −

( ) ( )( ) ( )( )1 12 1 1( ) ln ( ) ln ex

bt tϕ ϕ ϕ− −= − = −

( )1 1 12 1( 1) ( ) ( 1)

kk k

k

dt c

dtϕ ϕ− − −− = − / 0b a k

kt− ≥ mit

1

0

.k

kj

bc j

a

−

=

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∏

Damit ergibt sich als hierarchische Gumbel-Copula

( )( ) ( ){ }( )

( ) ( ){ } ( )

2 1 1

/

( , , ) ( , ), exp ln ( , )

exp ln ln ln

b

b aa a b

C u v w C C u v w C u v

u v w

⎛ ⎞⎜= = − − +⎜⎜⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜= − − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎜⎝ ⎠

1/

1/

ln

, 0 , , 1.

bb

b

w

u v w

⎟− ⎟⎟

⎟⎟ ≤ ≤⎟⎟

47


Einführung in

Copulas

– Teil 2: statistische Methoden –

Einführung in Copulas: − Teil 2: statistische Methoden −

Nach dem Satz von Sklar: Trennung der Randverteilungen von der Copula:


( , , ) ( ),nC u uFu H u−= [( )1111

1( )n nF − für ]1, , 0,nu u ∈

1, ,j jkx x je Dimension j

1. Ansatz (Transformationsmethode bei stetiger Verteilung):

• Schätze die (stetigen) Randverteilungsfunktionen 1

1

Gegeben: k unabhängige Beobachtungen

ˆ ˆ, , nF F (parametrisch

oder nicht-parametrisch)

• Transformiere dimensionsweise di auf ( )1 1ˆe Daten 1, ,j jkx x , ,j j jv F x=

( )ˆ ; setze =jk j jkv F x= ( )i iv vv für 1, ,i k=

• Verwende 1, , k als Stichprobe aus der zu Grunde liegenden Copula.

1 , , ni

v v

1


Hintergrund: Für die zu Grunde liegenden Zufallsvariablen jX gilt bei Ste-

tigkeit: ( )j j ist F X [ ]0,1U -verteilt, so dass

( ){ }1

1

1( , , )

n

j j jj

n

X F u

C u u

−

=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∩

für [

( ){ } ( ){ }

( )

1 1

1 11 1

ˆ

( ), ( )

n n

j j j j j jj j

n n

P F X u P F X u P

H F u F u

= =

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟≤ ≈ ≤ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

∩ ∩

]1, , nu u ∈ 0,1 folgt.



2. Ansatz (sog. empirische Copula):


1, ,jx• Transformiere dimensionsweise die Daten jkx auf ihre relativen

Ränge 1

1, , , ,

1 1j jkr rn n

⎛ ⎞⎜∈⎜⎜⎝ ⎠+ +;

n ⎟⎟⎟ setze ( )= 1 , ,i ir rr ni für 1, ,i k=

• Verwende 1, , k als Stichprobe aus der zu Grunde liegenden Copula.

r r

3


Beispieldatensatz:

Nr. Schäden X Schäden Y 1 0,468 0,966 2 9,951 2,679 3 0,866 0,897 4 6,731 2,249 5 1,421 0,956 6 2,040 1,141 7 2,967 1,707 8 1,200 1,008 9 0,426 1,065

10 1,946 1,162 11 0,676 0,918 12 1,184 1,336 13 0,960 0,933 14 1,972 1,077 15 1,549 1,041 16 0,819 0,899 17 0,063 0,710 18 1,280 1,118 19 0,824 0,894 20 0,227 0,837



Schätzung der Randverteilungen mit Q-Q-Plots:

Schäden X Log-Daten vs. Normalquantile



Schätzung der Randverteilungen mit Q-Q-Plots:

Schäden YLog-Daten vs. Gumbelquantile



Ergebnis: X ∼ lognormalverteilt, Y ∼ Fréchet-verteilt

Geschätzte Parameter:

Log X Log Y

Verteilung Normal Gumbel 0,0950μ = 0,0438μ =−

Parameter 1,1916σ = 0,2857σ =

Zu Grunde liegende Parameter:

Log X Log Y

Verteilung Normal Gumbel 0μ = 0μ =

Parameter 1 0,2σ = σ =




1̂( )

2̂(F YNr. F X )

1 0,23684 0,38019 2 0,96773 0,97313 3 0,42038 0,28503 4 0,93579 0,95096 5 0,58508 0,36626 6 0,69799 0,58277 7 0,79755 0,87629 8 0,52919 0,43371 9 0,21321 0,50225 10 0,68410 0,60220 11 0,34145 0,31389 12 0,52469 0,73261 13 0,45446 0,33532 14 0,68793 0,51640 15 0,61316 0,47402 16 0,40229 0,28764 17 0,00806 0,05815 18 0,55071 0,55967 19 0,40451 0,28041 20 0,09278 0,20233

8



1̂( )

2̂(F YNr. F X )

1 0,23684 0,38019 2 0,96773 0,97313 3 0,42038 0,28503 4 0,93579 0,95096 5 0,58508 0,36626 6 0,69799 0,58277 7 0,79755 0,87629 8 0,52919 0,43371 9 0,21321 0,50225 10 0,68410 0,60220 11 0,34145 0,31389 12 0,52469 0,73261 13 0,45446 0,33532 14 0,68793 0,51640 15 0,61316 0,47402 16 0,40229 0,28764 17 0,00806 0,05815 18 0,55071 0,55967 19 0,40451 0,28041 20 0,09278 0,20233

9


Nr. Rang X Rang Y 1 0,18967 0,42852 2 0,95238 0,95238 3 0,38057 0,18967 4 0,90443 0,90443 5 0,61852 0,38057 6 0,80943 0,71352 7 0,85648 0,85648 8 0,52352 0,47557 9 0,14262 0,57057 10 0,71352 0,76148 11 0,23762 0,28557 12 0,47557 0,80943 13 0,42852 0,33262 14 0,76148 0,61852 15 0,66648 0,52352 16 0,28557 0,23762 17 0,04762 0,04762 18 0,57057 0,66648 19 0,33262 0,14262 20 0,09467 0,09467



Vergleich Transformationsmethode vs. Empirische Copula



Diskussion beider Methoden: • Bei der Transformationsmethode geht die Schätzung der Randverteilun-

gen explizit in die Schätzung der Copula ein; → sensibel bzgl. Modellfeh-ler in den Randverteilungen; „echte“ Stichprobe der Copula

• Bei der empirischen Copula geht die Schätzung der Randverteilungen

nicht explizit in die Schätzung der Copula ein; → unsensibel bzgl. Modell-fehler in den Randverteilungen; aber: nur „Pseudo-Stichprobe“ der Copu-la (tendenziell zu gleichmäßig, keine Punkthäufungen)

• Bei sehr großen Stichprobenumfängen nähern sich beide Methoden an



Vergleich Transformationsmethode vs. Empirische Copula

für Stichprobengröße 1000



Statistische Auswertung I: Signifikanztest auf Vorliegen einer Copula mit

positiver Abhängigkeit, z.B. Diagonalband-Test (spezieller Binomial-Test):

1D

2D




1 2

der Antidiagonalen). Die Fläche von = =20,7 0,49.p Bei sto-chastischer Unabhängigkeit folgt ( , )B n p -Binomialverteilung, Die

Nullhypothese der stochastischen Unabhängigkeit wird zu Gunsten der Alternative (positive Abhängigk t einer Irrtumswahrscheinlichkeit (1. Art) von α verworfen, wenn

α≤ ist mit ma α−⎟⎟ − ≤⎟⎟ (1 ) .k n knp p

k

Im obigen Beispiel (realer Datensatz) gilt = bei = 24n mit =0,05 7,c

d.h. die Nullhypothese wird verworfen.

Durchführung: Gegeben seien n Realisierungen aus einer transformier-ten oder empirischen Copula. Teststatistik T ist die Anzahl der Datenpunk-te in der Menge = ∪D D D (Vereinigung der beiden Rand-Dreiecke auf

D beträgt T einer

eit) mi

T c ximalem α ,c so dass α

=

⎛ ⎞⎜⎜⎜⎝ ⎠∑

0

c

k

5T

16


Statistische Auswertung II: Schätzung der Copula anhand der erhaltenen

Stichprobe, z.B. mit der Maximum-Likelihood-Methode (in der Regel nur

numerisch möglich) oder mit speziellen Methoden auf Grund der angenom-

menen Struktur ( → Gauß-, t-Copula).


( )Zusammenhang Copula 1, , nu ( )1, , :nc u u

C u ↔ Copula-Dichte

( ) ( )1 11

, , , ,n

n nn

c u u C u uu u

∂= <

∂ ∂ 1, 0 , , 1nu u <

17



0 :θ≥

{ }1/( , ) exp ( ln )C u v u v

θθ θθ = − − + − 0 , ,u v< ≤

Beispiel: zweidimensionale Gumbel-Copula mit

( )( ln ) , 1

mit zugehöriger Dichte

2 1 1( ln ) ( ln )( , ) ( , ) ( , ) ( ,

u vc u v C u v C u v k u v

u v uv

θ θ

θ θ θ

− −∂ − − 1/ 2 1/) 1 ( , )k u vθ θθ− ⎡ ⎤− += = ⎢ ⎥⎣ ⎦

für 0 , 1.u v< <

∂ ∂

( , ) ( ln ) ( ln ) ,k u v u vθ θ= − + −

18


Für das obige Beispiel erhält man etwa:

Log-Likelihood-Funktionen für die Copula-Stichprobe

(Transformationsmethode und empirische Copula)

θ̂ = ˆ 3,3818θ = 3,6755 bzw. ML-Schätzer: D. Pfeifer: Einführung in Copulas TELIS-Seminar, 25. Mai 2011 19


Alternative:

Beruht auf einem funktionalen Zusammenhang zwischen der Korrelation nach logarithmischer Transformation der Koordinaten und .θ Diese Vorge-hensweise geht zurück auf die Tatsache, dass für Zufallsvariablen X,Y mit Gumbel-Copula und Randverteilungen vom negativen Exponentialtyp, d.h. mit den Randverteilungsfunktionen


1, 0

xe x

x

⎧⎪ ≤⎪⎨⎪ >⎪⎩ für x ∈

die Korrelation ( )ρ θ zwischen X und Y gegeben ist durch

, 0( ) ( )X YF x F x= =

2

12

1

θ

θ

⎛ ⎞⎟⎜Γ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜Γ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

für 1.θ≥

11

( ) 2ρ θ = −

20


θ

θ

1,θ≥

( )ln ,lnKorr U Vρ θ =

( )ρ θ

Diesen Umstand kann man benutzen, um aus der extrahierten Copula (ent-weder nach Transformationsmethode oder auf Basis der empirischen Copula) den Parameter zu schätzen oder zu Plausibilitätsbetrachtungen mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer zu vergleichen. Ist nämlich ( , )U V ein Zufalls-vektor mit einer Gumbel-Copula mir Parameter so gilt gerade

( ) .




1(rρ−

4 35 75,675214

für 0 r 0,9.

r r−

≤ ≤

Approximativ kann die Umkehrfunktion ) wie folgt dargestellt werden:

6

2

1 598,864215 220,497093 190,13971

14,855833 0,027608 1,015763

( ) r r

r r

rρ− − +

+ − +

=

Für das obige Beispiel ergibt sich vergleichend (nach numerischer Lösung):

Schätzverfahren Transformation Empirische Copula ML ˆ ˆ 3,3818θ =3θ = ,6755

Alternative exakt ˆ 4θ = 3,4924θ = ,6141 ˆ

Approximativ ˆ 4,6156θ = ˆ 3,4985θ =

Für die empirische Copula liegen die Schätzungen dichter beieinander.

22


Für die Gauß-Copula (auch höherdimensional) kann man folgenden Sachver-halt ausnutzen:


1, , nU U=U GCΣ

Φ

1, , n

Ist ) ein Zufallsvektor mit Gauß-Copula und bezeichnet wie

üblich die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung, so ist der Zufallsvektor ( )

(

Z Z

, 1

=Z mit

( )1i iZ U i n≤ (kurz: −= Φ ≤ ( )1−= ΦZ U )

multivariat normalverteilt mit Varianz-Kovarianz-Matrix .Σ Die Einträge von können also über die paarweisen Korrelationen der iΣ Z geschätzt werden.

Beachte: ist , , n

( )1X X der Zufallsvektor der originären Zufallsvariablen

und der Vektor der zugehörigen Verteilungsfunktionen, so gilt entsprechend (bei koordinatenweiser Anwendung)

− X ist (

=X

( )1, , nF F=F

( )1 ( )=ΦZ F ),Σ0N -verteilt.

Für das obige Beispiel ergibt sich

Statistische Auswertung: Gauß-Copula

23



1

ˆ ( )2

ˆ (F YNr. F X ) 1 Z

2Z

1 0,23684 0,38019 -0,71650 -0,30499 2 0,96773 0,97313 1,84849 1,92887 3 0,42038 0,28503 -0,20093 -0,56795 4 0,93579 0,95096 1,52036 1,65427 5 0,58508 0,36626 0,21491 -0,34178 6 0,69799 0,58277 0,51863 0,20899 7 0,79755 0,87629 0,83291 1,15664 8 0,52919 0,43371 0,07323 -0,16694 9 0,21321 0,50225 -0,79534 0,00564

10 0,68410 0,60220 0,47919 0,25904 11 0,34145 0,31389 -0,40852 -0,48486 12 0,52469 0,73261 0,06193 0,62073 13 0,45446 0,33532 -0,11441 -0,42526 14 0,68793 0,51640 0,48999 0,04112 15 0,61316 0,47402 0,28756 -0,06516 16 0,40229 0,28764 -0,24741 -0,56028 17 0,00806 0,05815 -2,40606 -1,57047 18 0,55071 0,55967 0,12745 0,15013 19 0,40451 0,28041 -0,24169 -0,58162 20 0,09278 0,20233 -1,3238 -0,83334

1 0,8872ˆ 0,8872 1

mit Transformationsmethode

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Σ=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

24


Nr. Rang X Rang Y 1 Z

2Z

1 0,18967 0,42852 -0,8791 -0,1801 2 0,95238 0,95238 1,6684 1,6684 3 0,38057 0,18967 -0,3040 -0,8791 4 0,90443 0,90443 1,3072 1,3072 5 0,61852 0,38057 0,3016 -0,3040 6 0,80943 0,71352 0,8758 0,5637 7 0,85648 0,85648 1,0646 1,0646 8 0,52352 0,47557 0,0590 -0,0613 9 0,14262 0,57057 -1,0686 0,1778

10 0,71352 0,76148 0,5637 0,7111 11 0,23762 0,28557 -0,7140 -0,5664 12 0,47557 0,80943 -0,0613 0,8758 13 0,42852 0,33262 -0,1801 -0,4327 14 0,76148 0,61852 0,7111 0,3016 15 0,66648 0,52352 0,4302 0,0590 16 0,28557 0,23762 -0,5664 -0,7140 17 0,04762 0,04762 -1,6684 -1,6684 18 0,57057 0,66648 0,1778 0,4302 19 0,33262 0,14262 -0,4327 -1,0686 20 0,09467 0,09467 -1,3125 -1,3125

1 0,8466ˆ 0,8466 1

mit empirischer Copula

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟Σ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



Alternative:


:Sρ

j i j i ju u u du du−

Spearman’s spezielle Rang-Korrelation (bei stetigen Randverteilungen)

( ) ( )( ) ( ){ }1 1

0 0

, 12 ,Sij i i j j iKorr F X F X C uρ = = ∫ ∫

Für die Gauß-Copula gilt insbesondere:

6arcsinS

ijρ π=

2ijσ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

bzw. 2sin6

Sij ij

πσ ρ

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

und für obiges Beispiel:

86ˆ0,8669

mit Transformationsm

⎛ ⎞⎜Σ =⎜⎜⎝ ⎠

1 0,8276

,8276 1

pirischer Copula

⎟⎟⎟⎟1 0, 69

1

ethode

⎟⎟⎟⎟ ˆ

0

mit em

⎛ ⎞⎜Σ =⎜⎜⎝ ⎠

26


Bernstein-Copula: Wesentlicher Schritt: Bestimmung der diskreten Gewichte in der Dichte:


( ) [ ]1, , , 0,1 ddu u ∈

Berechnung nach Transformationsmethode oder empirischer Copula über Kontingenztafel, hier z.B. mit 10 10× -Gitterung:

( ) ( ) ( )1

1

11

10 0 1

1, , 1, ,, ,d

d

mm d

dd i i i ik k i

c u u m B m k up k k−−

= = =

= −∑ ∑ ∏

27


Kontingenztafel aus empirischer Copula:

ob. Zell- Grenze

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Summe

1,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10 0,1

0,9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,1

0,8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,05 0,00 0,1

0,7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,05 0,00 0,00 0,1

0,6 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,1

0,5 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1

0,4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,05 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,1

0,3 0,00 0,00 0,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1

0,2 0,00 0,00 0,00 0,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1

0,1 0,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1

Summe 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1



Die Einträge der Kontingenztafel können also als Gewichte ) ver-wendet werden; es ergibt sich dann als Bernstein-Copula-Dichte:

( 1 2,p k k


9 9 3 6 8 2 7 2 7

4 5 3 6 6 3 3 6 8 4 5

5 4 4 5 8 5 4 6 3 5 4

6

( , ) 10(1 ) (1 ) 7560 (1 ) (1 ) 12960 (1 ) (1 )

52920 (1 ) (1 ) 35280 (1 ) (1 ) 5670 (1 ) (1 )

79380 (1 ) (1 ) 5670 (1 ) (1 ) 52920 (1 ) (1 )

52920 (

c x y x y x x y y x x y y

x x y y x x y y x x y y

x x y y x x y y x x y y

y

= − − + − − + − −

+ − − + − − + − −

− − + − − + −

+

−+

3 5 6 3 7 2 7 2 7 2

8 7 2 4 5 8 8 8 9 9

1 ) 15120 (1 ) (1 ) 6480 (1 ) (1 )

1620 (1 ) (1 ) 5670 (1 ) (1 ) 405 (1 ) (1 ) 10

y x y y x x y y x x

x x y y x x y y x x y y x y

− − + − − + − −

− − − ++ + − − + −

( , )c x y

4(1 )x

29


Höhenlinien der Bernstein-Copula-Dichte

Punkte der empirischen Copula überlagert



Simulationsstudie: Schätzung des Value at Risk (PML) für das Summenportfolio im Beispiel unter verschiedenen Modell-Annahmen; M: obere Fréchet-Hoeffding-

Schranke; Summe LN: Anpassung der Summendaten an eine Lognormalverteilung mittels Q-Q-Plot




m× ija

Problem: Im Allgemeinen werden die Randsummen einer solchen empirisch

gewonnenen m -Kontingenztafel ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ nicht den erforderlichen Wert 1

ergeben. Wir betrachten daher das folgende Optimierungsproblem zur Ap-proximation durch eine “zulässige” Kontingenztafel

m

x :ij⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2

ij ijx a− unter den Nebenbedingungen ( )1 1

min!m m

i j= =∑∑

1 1

m m

iki j

x x= =

= =∑ ∑ 1j m

und , 1, , .k m=

Eine explizite Lösung solcher Aufgaben ist allerdings rechnerisch nicht sehr

einfach zu finden, obwohl Lösungen gemäß des Karush-Kuhn-Tucker-

Theorems aus der Optimierungstheorie existieren.

, 0kx ≥ für

32


Suboptimale Lösung: Das äquivalente Lagrange-Problem ohne die Nichtne-gativitätsbedingung besitzt im zweidimensionalen Fall die Lösung

2

2m

• +j iij ij

a ax a

m m•= − − , 1, , ,i j m=

i

für

wobei der Punkt wie in der Statistik üblich die Summation über den betref-fenden Index bezeichnet. Diese “Lösung” kann jedoch ggf. negative Werte enthalten. Korrekturterm:

Setze { }: min |1ija x ,i j=− ≤ ≤m und gehe über zu der zulässigen (sub-

optimalen) Kontingenztafel


2 .1

ijij

x a

m ay

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥+ ⋅⎣ ⎦

33


Allgemeine suboptimale Lösung:


{: 1dI =Für eine beliebige Dimension sei }m und, für 2d > , , d { }1, ,i m∈

k d= } { } { }1, , 1, , .k d kdkI i m i m− −× Das entsprechende

Lagrange-Problem ohne Nichtnegativitätsbedingung

2

d di i− unter der Nebenbedingung

und 1, , , ( ) {: 1= ×

( )( )

1 1

1

min!d

d

i ii i I

x a∈

∑

( )( ) ( )

1

1

[ ] :d

d k k

k k ii i I i

x i x•∈

= =∑ , , 1, ,k d

hat die Lösung

1di m

für { }1,ki m∈ =

( )1 1 [ ]1

1

1d d

d

i i i i kd dk

x a am m•−

=

= − ∑ k

di + für ( ) { }1, ,i i 1, , .d

d m∈

Auch diese “Lösung” kann ggf. negative Werte enthalten.

34


Korrekturterm:

Setze { }

1 1: min |1 , ,di i da x i i=− ≤ ≤ .m und gehe über zu der zulässigen

(suboptimalen) Kontingenztafel


1 .1

d

d

i id

x a

m a

+=

+

Das gesamte Verfahren kann leicht insbesondere in höheren Dimensionen

algorithmisch umgesetzt werden.

Bemerkung: Es ist keine Optimierungsprozedur nötig, falls die Daten-zahl die Gitterkonstante teilt (hier z.B. ein Vielfaches von 10 ist).

1i iy

35


Simulation von Bernstein-Copulas: Bernstein-Copula-Dichten sind als Polynome in d Variablen über dem kom-

pakten Hyperwürfel [ ]0,1d0.M >

1d + unabhängige Standard-Zufallszahlen 1 1, , .du u +

• Schritt 2: Teste, ob

beschränkt, etwa durch eine Konstante Eine schnelle Simulation kann daher mittels der Verwerfungsmethode durchgeführt werden: • Schritt 1: Erzeuge

( )1 1, ,c u u .d dMu +> Falls ja, gehe zu Schritt 3, ande-renfalls wiederhole Schritt 1.

• Schritt 3: Verwende 1, , du u als “Stichprobe” der Bernstein-Copula.

Die mit dieser Methode erhaltene durchschnittliche Stichprobenrate beträgt – wie bei der Verwerfungsmethode üblich – gerade 1/ .M Grundsätzlich kann

( )

{ }1

max |1d

di iM m y= ≤ 1, , di i m≤ gewählt werden.



Literaturauswahl:

• U. Cherubini, E. Luciano, W. Vecchiato (2004): Copula Methods in Finan-ce. Wiley, N.Y.

• A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts (2005): Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques, Tools. Princeton Univ. Press, Princeton.

• R.B. Nelsen (2006): An Introduction to Copulas. 2nd ed., Springer, Berlin.

• J. Rank (Ed.) (2007): Copulas. From Theory to Application in Finance. RISK Books, London.


Copula s

Documents

Transcript of Copula s