Über die Verwendung von Copula-Funktionen im quantitativen

Uber die Verwendung von Copula-Funktionen im quantitativen

Risikomanagement und in der Untersuchung von Bankenkrisen

INAUGURALDISSERTATION

zur

Erlangung der Wurde

eines Doktors der

Wirtschaftswissenschaft

der

Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft

der

Ruhr-Universitat Bochum

vorgelegt von

Diplom-KaufmannGregor Nikolaus Felix Weiß

aus Kamen2010

i

Dekan: Prof. Dr. Stephan PaulReferent: Prof. Dr. Stephan PaulKoreferent: Prof. Dr. Manfred LoschTag der mundlichen Prufung: 10. Februar 2010

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

1 Einleitung 1

1.1 Einfuhrung in die Thematik und Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Zusammenfassung und Publikationsdetails . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Copula-Funktionen 10

2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Charakteristika von Copula-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Anwendungsmoglichkeiten von Copula-Funktionen im Risikomanagement 17

3 Uber die Vorteilhaftigkeit von Copula-GARCH-Modellen im finanzwirtschaft-

lichen Risikomanagement 19

3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Literaturuberblick und Hypothesenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Univariate VaR-Schatzung mithilfe von GARCH-Prozessen . . . . . . . . 26

3.4 Multivariate VaR-Schatzung mithilfe von Korrelationen und Copula-Funk-

tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.1 Aggregation des Value-at-Risks auf Portfolioebene mithilfe von

Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.2 Copula-Modelle zur Ermittlung des Gesamtrisikos . . . . . . . . 29

3.4.2.1 Grundlagen der Copula-Theorie . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.2.2 Parametrische Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.2.3 Parameterschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.2.4 Anpassungstests zur Prufung der Gute einer Copula-

Schatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

INHALTSVERZEICHNIS iii

3.4.2.5 Bestimmung des Portfolio-Value-at-Risks . . . . . . . 36

3.5 Empirische Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Datenbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2 Univariate Schatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.3 Multivariate Schatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Copula Parameter Estimation - Numerical Considerations And Implications

For Risk Management 56

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Copula parameter estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1 Parametric copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2 Parameter estimation via maximum-likelihood . . . . . . . . . . 61

4.2.3 Minimum-distance estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.3.1 Minimum-distance estimators based on the empirical

copula process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.3.2 Minimum-distance estimators based on Kendall’s de-

pendence function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.3.3 Minimum-distance estimators based on Rosenblatt’s trans-

form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.4 Numerical properties of the copula parameter estimators . . . . . 65

4.3 Simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1 Design of the simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2.1 Comparison of the mean bias and MSE . . . . . . . . . 75

4.3.2.2 Results concerning the sample size and dimensionality . 76

4.3.2.3 Results concerning the computational complexity . . . 76

4.4 Empirical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.1 Data and model description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

INHALTSVERZEICHNIS iv

4.4.2 Results and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Bank Contagion 85

5.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Definition des Begriffes bank contagion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3 Ubertragungskanale und Ursachen finanzwirtschaftlicher Krisen . . . . . 88

6 Analysing Bank Contagion with Copulæ - Evidence from the Subprime and

Japan’s banking crises 91

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Bank contagion and lenders of last resort . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3 Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3.1 GARCH-filtering and abnormal returns . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3.2 Some preliminary copula theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3.3 Detecting contagion effects with copulae . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 Data and empirical findings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4.1 Panel A: Germany 2006-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4.1.1 Sample description and ARMA-GARCH-modelling . . 105

6.4.1.2 Abnormal returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.1.3 Detecting contagion effects by the use of copulae . . . 109

6.4.1.4 Robustness checks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.4.2 Panel B: Japan 1994-1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4.2.1 Sample description and ARMA-GARCH-modelling . . 117

6.4.2.2 Events and abnormal returns . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4.2.3 Copula Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

A Literatur 126

INHALTSVERZEICHNIS v

B Empirical observators for the MD-estimators based on Kendall’s dependence

function 137

C Outline of the L-BFGS-B algorithm 139

Tabellenverzeichnis

3.1 Deskriptive Statistiken und Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Uberprufung von Hypothese 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44



3.5 Uberprufung der generellen Vorteilhaftigkeit parametrischer Copulas . . . 49


3.7 Ergebnisse der Anpassungstests fur die VaR-Schatzung. . . . . . . . . . . 52

3.8 Ergebnisse der Anpassungstests fur die Conditional-VaR-Schatzung. . . . 53

4.1 Bias, MSE, efficiency and mean computation time of the PML- and MD-

estimators (Gaussian copula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


estimators (Student’s t copula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


estimators (Clayton copula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


estimators (Frank copula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


estimators (Gumbel copula) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Summary statistics for the log return series of the aggregated asset classes. 78

4.7 Results for the VaR and ES-estimations averaged over all 100 bivariate

portfolios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1 Panel A: Summary statistics, hypothesis tests and Bravais-Pearson corre-

lation coefficients for the unfiltered return series . . . . . . . . . . . . . . 106

vi

TABELLENVERZEICHNIS vii

6.2 Panel A: Model specifications, estimated ARMA(p1,q1)-GARCH(p2,q2)

parameters, LM test and Ljung-Box test statistics (p-values) for the filte-

red returns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3 Panel A: Cumulative abnormal returns (CAR) in per cent and parameter

estimates for the market models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4 Panel A: AIC for the different copula mixture models and time windows. 110

6.5 Panel A: Results of the bivariate Clayton-Frank-Gumbel models. . . . . . 111

6.6 Panel A: Multivariate lower tail dependence in the German banking sector. 113

6.7 Panel A: Results of the robustness check for the bivariate Clayton-Frank-

Gumbel models excluding confounding events. . . . . . . . . . . . . . . 114

6.8 Panel A: Results of the robustness check for the multivariate lower tail

dependence in the German banking sector excluding confounding events. 115

6.9 Panel A: Results of the robustness check on the bivariate Clayton-Frank-

Gumbel models with time-varying GARCH- and market models. . . . . . 116

6.10 Panel B: Summary statistics for the unfiltered return series . . . . . . . . 118

6.11 Panel B: Summary statistics for the hypothesis tests. . . . . . . . . . . . . 119

6.12 Panel B: Model specifications and LM test statistics for the filtered returns. 120

6.13 Panel B: Average results of the bivariate Clayton-Frank-Gumbel models. . 122

6.14 Panel B: Average results of the robustness check on the bivariate Clayton-

Frank-Gumbel models with time-varying GARCH- and market models. . 124

Abbildungsverzeichnis

2.1 Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der W-, Produkt- und M-Co-

pula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der Gauß- und t-Copula. . . . 14

2.3 Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der Clayton- und Gumbel-

Copula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Geschatzte Dichten der VaR-Uberschreitungen . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Geschatzte Dichten der durchschnittlichen korrigierten CVaRs . . . . . . 42

5.1 Ursachen und Ubertragungskanale von Schaltersturmen und Bankenpaniken 90

viii

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Einfuhrung in die Thematik und Motivation

Im Zentrum des Interesses zahlreicher Fragestellungen der Finanzmarkttheorie sowie der

angewandten Statistik stehen die Modellierung und Analyse der einem Zufallsvektor zu-

geordneten gemeinsamen Verteilung. Diese fasst sowohl das Randverhalten als auch die

zwischen den Zufallsvariablen bestehenden Abhangigkeiten in einer Funktion in mehre-

ren Variablen zusammen. Die ubliche Herangehensweise fur die Modellierung der ge-

meinsamen Verteilung eines Zufallsvektors bestand dabei klassischerweise darin, Vertei-

lungsannahmen fur die Rander zu treffen, fur die die gemeinsame Verteilung leicht analy-

tisch bestimmt werden konnte. So fanden (und finden) insbesondere multivariate Normal-,

Log-Normal-, Gamma- und Extremwertverteilungen haufig Anwendung in den Modellen

der Finanz- und Versicherungsmathematik. Der großte Nachteil dieser Herangehensweise

ist jedoch, dass die Annahme einer bestimmten, leicht modellierbaren gemeinsamen Ver-

teilung die Verteilung der univariaten Rander des Zufallsvektors vorgibt. Im Endeffekt

konnen somit das univariate Randverhalten und die Abhangigkeitsstruktur eines Zufalls-

vektors nicht separat voneinander modelliert werden.

Trotz dieser Einschrankung basieren zahlreiche Modelle der klassischen Kapitalmarkt-

theorie aber auch des zeitgenossischen quantitativen Risikomanagements auf diesem An-

satz und unterstellen bspw. fur die gemeinsame Verteilung von Risikoportfeuilles ei-

ne multivariate Normalverteilung.1 Die Annahme normalverteilter Risiken und der da-

mit verbundenen Gleichsetzung von stochastischer Abhangigkeit und linearer Korrela-

tion kann jedoch in praxisrelevanten Fallen zur Fehlspezifikation statistischer Modelle

fuhren. Embrechts et al. schlugen daher bereits 2002 einen alternativen Weg zur Model-

lierung multivariater Verteilungen vor, in dem die eigentliche Modellierung in zwei Teile

aufgespaltet wird: die Modellierung der univariaten Randverteilungen und der separaten

1Vgl. z.B. Markowitz (1952) und Jorion (2006).

1

1.1. EINFUHRUNG IN DIE THEMATIK UND MOTIVATION 2

Modellierung der Abhangigkeitsstruktur zwischen den Randverteilungen.2 Wahrend fur

die Modellierung der Randverteilungen klassische univariate parametrische und nicht-

parametrische Verteilungen herangezogen werden konnen, kann die Modellierung der

Abhangigkeitsstruktur durch spezielle Verteilungsfunktionen, den sogenannten Copulas,

erfolgen.

Copulas stellen vereinfacht gesprochen Verteilungsfunktionen dar, die die in einer ge-

meinsamen Verteilung inharente Abhangigkeitsstruktur vollstandig erfassen. Mit ihrer

Hilfe kann die Modellierung einer multivariaten Verteilung so erfolgen, dass zunachst

beliebige parametrische Verteilungen fur die univariaten Rander unterstellt und angepasst

werden, bevor fur die Abhangigkeitsstruktur des Zufallsvektors eine parametrische Co-

pula ausgewahlt wird.3 Der entscheidende Vorteil dieser Vorgehensweise besteht offen-

sichtlich darin, dass die Randverteilungen auf Grund der Aufspaltung des Problems der

Modellierung der gemeinsamen Verteilung nicht mehr aus der gleichen parametrischen

Verteilungsfamilie kommen mussen wie die gemeinsame Verteilung. So konnen bspw.

eine Normal- und eine Gamma-Verteilung mit einer beliebigen parametrischen Copula

kombiniert werden, um so eine multivariate gemeinsame Verteilung zu generieren. Zu-

gleich stellt der zentrale Satz von Sklar sicher, dass aus stetigen Randverteilungen und

einer Copula stets eine eindeutig bestimmte multivariate Verteilung resultiert. Umgekehrt

lasst sich somit aus multivariaten Verteilungen mit bekannten stetigen Randern stets ei-

ne eindeutige Copula extrahieren, die ihrerseits auf andere Randverteilungen angewen-

det werden kann. Die uberaus hohe Flexibilitat dieses Modellierungsansatzes hat dazu

gefuhrt, dass Copula-Modelle gerade im Bereich der Finanz- und Versicherungsmathe-

matik aber auch in anderen Bereichen der angewandten Mathematik sehr an Beliebtheit

gewonnen haben. 4

Wahrend die mathematischen Grundlagen von Copulas vergleichsweise gut erforscht sind,

existieren in der inferentiell-statistischen Analyse der Copulas noch zahlreiche ungeloste

Probleme, die ebenfalls eine hohe Praxisrelevanz aufweisen.5 So erfordert die Anwen-

dung eines Copula-Modells auf eine finanzwirtschaftliche Fragestellung grundsatzlich

die Auswahl einer parametrischen Copula aus einer Menge an bekannten Copulas so-

2Vgl. z.B. Embrechts et al. (2002).

3Fur eine grundlegende Einfuhrung in die Copula-Theorie vgl. insb. Nelsen (2006).

4Eine Zusammenfassung unterschiedlicher Anwendungsgebiete im Risikomanagement und der Finan-zierungslehre findet sich z.B. bei Cherubini et al. (2004); eine Vorstellung von Copula-Modellen in derHydrologie findet sich bei Genest und Favre (2007).

5Vgl. hierzu Genest und Favre (2007). Eine Auflistung zahlreicher mathematischer Kritikpunkte findetsich bei Mikosch (2006).


wie die anschließende Schatzung der Copula-Parameter auf der Basis historischer Daten.

Die erste Aufgabe hinsichtlich der Auswahl einer geeigneten parametrischen Copula stellt

zugleich das großte ungeloste Problem dieses Forschungszweiges dar.6 Ohne realistische

Aussicht auf eine analytische Losung dieser Frage sind in der Literatur zwei Ansatze be-

obachtbar, die auf empirischem Weg eine Losung dieser Frage bezwecken: Zum einen

kann die parametrische Copula allein auf Basis von Vermutungen hinsichtlich der ei-

nem Datensatz inharenten Abhangigkeitsstruktur gewahlt werden.7 Zum anderen kann

die Auswahl der Copula auf inferentiell-statistischem Wege uber die Verwendung von

Anpassungstests erfolgen. Gerade zu dem letztgenannten Ansatz sind in den letzten Jah-

ren vermehrt theoretische Abhandlungen8 und Simulationsstudien9 veroffentlicht worden,

in denen spezielle Anpassungstests fur Copulas vorgeschlagen und ihre Teststarke uber-

pruft wurden. Eine empirische Uberprufung der Starke verschiedener Anpassungstests fur

Copulas im Hinblick auf ihre Eignung fur das quantitative Risikomanagement ist indes

bislang noch nicht erfolgt.

Der erste Teil der vorliegenden Dissertation widmet sich daher der Frage, inwiefern spe-

zielle Anpassungstests fur Copulas geeignet sind, die Modellspezifikation mit Blick auf

die Schatzung von Risikomaßen wie dem Value-at-Risk fur ein Risikoportfolio zu ver-

bessern. Genauer gesagt soll auf Basis einer empirischen Untersuchung von 100 Port-

folios bestehend aus Werten des DAX-Indexes die Frage geklart werden, ob mit Hilfe

eines Copula spezifischen Anpassungstests die optimale parametrische Copula ex ante

identifiziert werden kann. Nachdem hierfur in Kapitel 2 eine kurze Einfuhrung in die

Theorie der Copulas gegeben wurde, folgt im auf dem Artikel Uber die Vorteilhaftigkeit

von Copula-GARCH-Modellen im finanzwirtschaftlichen Risikomanagement basierenden

Kapitel 3 die empirische Untersuchung dieser Frage.

Neben der Frage der optimalen Wahl der parametrischen Copula ist jedoch auch die

Frage, welcher Schatzer fur die Copula-Parameter optimal (also unverzerrt und effizi-

ent) ist, von großer praktischer Bedeutung. Aus theoretischer Sicht besitzt der klassi-

sche Maximum-Likelihood-Schatzer (ML) bestimmte Optimalitatseigenschaften, die je-

doch an die Annahme gebunden sind, dass die parametrische Form der Randverteilungen

6Zur herausgehobenen Bedeutung der Frage nach der Auswahl einer parametrischen Copula vgl. Em-brechts (2009) und Genest et al. (2009).

7Ein ahnliches Vorgehen skizziert bspw. Embrechts (2009). Ausschlaggebend fur die Wahl einer be-stimmten parametrischen Copula ist hierbei vor allem die durch die Copula ausgedruckte Randabhangig-keit.

8Vgl. z.B. Fermanian (2005) oder Savu und Trede (2008).

9Vgl. bspw. die Arbeiten von Kole et al. (2007), Genest et al. (2009) und Berg (2009).


richtig gewahlt wurde. Werden die Randverteilungen durch parametrische Verteilungs-

funktionen modelliert, so werden samtliche Parameter der Copula und der Randvertei-

lungen entweder gleichzeitig oder aber nacheinander jeweils uber die Maximierung der

logarithmierten Likelihood der gemeinsamen Verteilung geschatzt. Fur den (praxisnaher-

en) Fall, dass die parametrische Form der Randverteilungen unbekannt ist und damit

moglicherweise im Modell falsch spezifiziert wurde, empfiehlt sich stattdessen eine se-

miparametrische Vorgehensweise, bei der die Rander nichtparametrisch uber die empiri-

schen Verteilungsfunktionen modelliert und anschließend die Copula-Parameter geschatzt

werden.10 Fur diese Vorgehensweise haben Kim et al. gezeigt, dass die semiparametri-

sche Maximum-Likelihood-Schatzung der Copula-Parameter eine bessere Schatzung lie-

fert als der herkommliche ML-Schatzer.11 Gleichzeitig argumentieren die Autoren, dass

Minimum-Distance-Schatzer, die ebenfalls die Parameter auf Basis von Pseudobeobach-

tungswerten schatzen, vergleichbar gute Ergebnisse erzielen sollten. Eine Uberprufung

der statistischen Eigenschaften dieser Schatzer bei endlicher Stichprobengroße sowie ein

Vergleich unterschiedlicher Minimum-Distance-Schatzer fur Copulas findet sich indes

noch nicht in der Literatur.

Im zweiten Teil der Arbeit (Kapitel 4) soll diese Forschungslucke durch die Durchfuhrung

einer umfangreichen Simulationsstudie zum statistischen Verhalten unterschiedlicher Mi-

nimum-Distance-Schatzer fur Copulas geschlossen werden. Genauer gesagt, werden neun

verschiedene Minimum-Distance-Schatzer mit dem semiparametrischen Pseudo-Maxi-

mum-Likelihood-Schatzer fur zwei unterschiedliche Stichprobengroßen hinsichtlich ih-

rer Erwartungstreue, ihrer mittleren Fehlerquadratsumme sowie der von den Schatzern

benotigten Rechenzeit miteinander verglichen. Um die praktische Relevanz der festge-

stellten Unterschiede zu verdeutlichen, werden mit den zehn dargestellten Parameter-

schatzern anschließend der Value-at-Risk sowie der Expected Shortfall fur insgesamt 100

Portfolios unterschiedlicher Anlageklassen berechnet.

Wahrend die ersten Abschnitte der Dissertation die Anwendung von Copula-Funktionen

im quantitativen Risikomanagement betrafen, werden im weiteren Verlauf der Arbeit die

Anwendungsmoglichkeiten dieser Funktionen in der Untersuchung von Ansteckungsef-

fekten und Bankenkrisen untersucht. Hierbei wird die Tatsache genutzt, dass die verschie-

denen parametrischen Copula-Funktionen jeweils eine unterschiedliche Form der Rand-

abhangigkeit aufweisen. Werden nun unterschiedliche parametrische Copula-Funktionen

10Die nichtparametrische Schatzung der Rander ist aquivalent zur Berechnung sogenannter Pseudobeob-achtungswerte mittels Rangtransformation. Vgl. McNeil et al. (2005), S.232.

11Vgl. Kim et al. (2007).


an einen bivariaten Datensatz angepasst, und die parametrische Form identifiziert, die

die beste Anpassung an den Datensatz aufweist, so kann die zwischen zwei Variablen

bestehende Randabhangigkeit bestimmt werden. Im Zeitablauf konnen dann Veranderun-

gen der Randabhangigkeiten in einem Datensatz gemessen werden. Rodriguez wendet als

erster dieses Vorgehen an, um Ansteckungseffekte zwischen Volkswirtschaften (operatio-

nalisiert in Form eines Anstiegs der unteren Randabhangigkeit) in der Mexiko- und der

Asienkrise zu messen.12

Aufbauend auf der Arbeit von Rodriguez widmen sich die letzten beiden Teile der Arbeit

der Messung von Ansteckungseffekten zwischen Banken mithilfe von Copula-Funktio-

nen. Zunachst werden hierfur in Kapitel 5 die fur die folgende Untersuchung elementa-

ren Begriffe des Schaltersturms, der Bankenpanik sowie der finanzwirtschaftlichen An-

steckungseffekte voneinander abgegrenzt. Im letzten Teil der Arbeit (Kapitel 6) wird die

methodische Herangehensweise von Rodriguez entscheidend erweitert. Wahrend Rodri-

guez die Copula-Modellierung auf Basis ungefilterter Daten vornimmt, wird in Kapitel 6

der Copula-Schatzung eine Filterung der Daten mithilfe eines GARCH-Prozesses sowie

mithilfe eines Marktmodells vorgeschaltet. Im Stile einer Ereignisstudie werden schließ-

lich die Ankundigungseffekte wahrend der Anfange der Subprime-Krise in Deutschland

sowie wahrend der japanischen Bankenkrise mithilfe des erweiterten Copula-Modells von

Rodriguez untersucht. Im Gegensatz zu vergleichbaren Studien uber Ansteckungseffek-

te bei Banken werden in dieser Arbeit jedoch nicht nur Ankundigungen im Zusammen-

hang mit den Krisen, sondern auch Ankundigungen von Rettungs- und Stutzungsaktionen

berucksichtigt. Somit stellt der Kapitel 6 zu Grunde liegende Artikel die erste Studie dar,

in der simultan die Veranderungen der Randabhangigkeiten in einem Bankensektor auf

Grund von Ansteckungseffekten und Stutzungsmaßnahmen des Staates untersucht wer-

den.

Nachfolgend werden die einzelnen Beitrage zur vorliegenden kumulativen Dissertation

kurz skizziert.

12Vgl. Rodriguez (2007).

1.2. ZUSAMMENFASSUNG UND PUBLIKATIONSDETAILS 6

1.2 Zusammenfassung und Publikationsdetails

Die vorliegende kumulative Dissertation besteht aus dieser Einleitung und insgesamt funf

in sich abgeschlossenen Beitragen zum Einsatz von Copula-Funktionen im quantitativen

Risikomanagement und in der Untersuchung von Bankenkrisen. Nachfolgend werden die

Inhalte der einzelnen Beitrage zusammengefasst sowie die Details der Veroffentlichung

und Prasentation auf internationalen Konferenzen erlautert.

Beitrag I: Copula-Funktionen.

Autoren: Gregor Weiß und Philipp Sczesny

Zusammenfassung: Im ersten Kurzbeitrag werden die Grundlagen der Copula-Theorie so-

wie die wichtigsten parametrischen Copula-Funktionen vorgestellt. Der Schwerpunkt des

Beitrags liegt dabei auf der Erlauterung elementarer Copulas sowie der grafischen Dar-

stellung elliptischer und archimedischer Copulas. Im Anschluss an die formale Erlaute-

rung der wichtigsten Copula-Funktionen sowie ihrer Eigenschaften werden die prinzi-

piell moglichen Anwendungsgebiete im quantitativen Risikomanagement skizziert. Der

Beitrag wurde zu gleichen Teilen von beiden Autoren verfasst.

Stichworter: Copula-Funktionen; Einfuhrung; mathematische Grundlagen; Elementar-Co-

pulas.

Publikationsdetails: Veroffentlicht in: Die Betriebswirtschaft, 68. Jg. (2008), S. 621-626.

Beitrag II: Uber die Vorteilhaftigkeit von Copula-GARCH-Modellen im finanzwirt-

schaftlichen Risikomanagement.

Autor: Gregor Weiß

Zusammenfassung: Im Rahmen des vorliegenden Beitrags wird zunachst der Aufbau ei-

nes Copula-GARCH-Modells zur Schatzung des Gesamtrisikos eines Aktienportfolios

erlautert. In der empirischen Studie wird der Value-at-Risk und Conditional-Value-at-

Risk fur insgesamt 800 bivariate Portfolios, bestehend aus verschiedenen im DAX no-

tierten Aktien, berechnet. Die durchgefuhrten Simulationen zeigen, dass das vorgestellte

Copula-GARCH-Modell in fast jeder zweiten Simulation bessere VaR-Schatzungen und

in fast 80% aller Simulationen bessere CVaR-Schatzungen erzielen kann als ein traditio-

nelles korrelationsbasiertes Modell, falls die parametrische Funktionalform der Copula


richtig gewahlt wird. Dieses erste zentrale Ergebnis ist zudem relativ robust gegenuber

einer Veranderung des Schatzzeitraumes. Wahrend fur die VaR-Berechnungen die Wahl

der parametrischen Copula nicht pauschal getroffen werden konnte, lieferte die Frank-

Copula fur uber 80% der betrachteten Portfolios signifikant bessere CVaR-Schatzungen

als das Korrelationsmodell. Der in diesem Beitrag verwendete, auf der empirischen Co-

pula basierende Anpassungstest erwies sich jedoch sowohl fur die VaR- als auch CVaR-

Schatzung als vergleichsweise schwach in seiner Fahigkeit zur Wahl des optimalen Mo-

dells. In fast allen Fallen lieferte der GoF-Test entweder eine mehrdeutige oder sogar eine

falsche Empfehlung.

Stichworter: Abhangigkeitsstrukturen; Risikomanagement; Copulas; Anpassungstests.

Publikationsdetails: Zur Veroffentlichung eingereicht in: Kredit und Kapital. Eine engli-

sche Fassung des Artikels wurde auf den folgenden Konferenzen mit verdecktem Begut-

achtungsverfahren angenommen bzw. bereits prasentiert:

• 13th International Congress on Insurance: Mathematics and Economics 2009, Istan-

bul, 27.-29. Mai.

• 6th International Congress on Computational Management Science 2009, Genf, 1.-

3. Mai.

• 22nd Australasian Banking and Finance Conference 2009, University of New South

Wales (Sydney) und Journal of Banking & Finance, 16.-18. Dezember.

Beitrag III: Copula Parameter Estimation - Numerical Considerations And Impli-

cations For Risk Management.

Autor: Gregor Weiß

Zusammenfassung: Ziel dieses Beitrages ist es, die Ergebnisse einer umfangreichen Si-

mulationsstudie zu den statischen Eigenschaften unterschiedlicher Minimum-Distance-

und Maximum-Likelihood-Schatzer fur bi- und multivariate Copula-Funktionen bei Ver-

wendung endlicher Stichproben zu prasentieren. Der klassische Pseudo-Maximum-Like-

lihood-Schatzer wird dabei mit neun verschiedenen Minimum-Distance-Schatzern fur

funf verschiedene parametrische Copulas verglichen. Die Minimum-Distance-Schatzer

basieren auf gangigen Anpassungstests fur Copula-Funktionen, die wiederum auf der

empirischen Copula-Funktion, Kendalls bzw. Rosenblatts Wahrscheinlichkeits-Integral-

transformation aufsetzen.


Außerdem werden die Ergebnisse der ersten Simulationsstudie um die Diskussion eines

empirischen Anwendungsfalls erweitert. Die Ergebnisse beider Studien zeigen, dass der

Pseudo-Maximum-Likelihood-Schatzer in fast allen Simulationslaufen erheblich weni-

ger verzerrte Schatzwerte fur die Copula-Parameter liefert als jeder andere Minimum-

Distance-Schatzer. Gleichzeitig benotigt der ML-Schatzer weniger Rechenzeit als die

ubrigen Schatzer, so dass dieser eindeutig vorzuziehen ist. In wenigen Ausnahmefallen

(insbesondere wenn die Stichprobengroße ansteigt) konnten die Minimum-Distance-Schat-

zer auf Basis der empirischen Copula-Funktion die Schatzwerte des ML-Schatzers ver-

bessern. Hingegen sollten die auf Kendalls Integraltransformation basierenden Minimum-

Distance-Schatzer nicht verwendet werden, da sie stark verzerrte Schatzungen liefern und

erheblich mehr Rechenzeit benotigen als die ubrigen Schatzer. Diese zentralen Befunde

werden im empirischen Anwendungsfall bestatigt. Zudem zeigt sich, dass die festgestell-

ten Schatzfehler der einzelnen Schatzer erheblichen Einfluss auf die Berechnung unter-

schiedlicher Risikomaße mithilfe von Copula-Funktionen haben konnen.

Stichworter: Copulas; Minimum-Distance-Schatzmethode; Simulationsstudie; L1-Vari-

ante; Maximum Likelihood.

Publikationsdetails: Zur Veroffentlichung eingereicht in: Journal of Risk. Dort Aufforde-

rung zur Uberarbeitung des Manuskripts und Wiedereinreichung (revise and resubmit).

Der Artikel wurde auf den folgenden Konferenzen mit verdecktem Begutachtungsverfah-

ren prasentiert:

• Workshop Finance and Insurance 2009, FSU Jena, 15.-20. Marz.

• 13th International Congress on Insurance: Mathematics and Economics 2009, Istan-

bul, 27.-29. Mai.

Beitrag IV: Bank-Contagion.

Autor: Gregor Weiß

Zusammenfassung: Ziel dieses Beitrages ist es, zunachst den Begriff der bank contagion

zu definieren und die Unterschiede zum verwandten Begriff der financial contagion auf-

zuzeigen. Zudem sollen konkrete Unterformen der bank contagion wie z.B. dem Schal-

tersturm oder der Bankenpanik erlautert werden. Anschließend sollen die verschiedenen

Ubertragungskanale einer finanzwirtschaftlichen Ansteckung skizziert sowie die Auswir-

kungen der bank contagion dargestellt werden.


Stichworter: Bank contagion; Schaltersturm; Ansteckungseffekte; Bankenpanik.

Publikationsdetails: Veroffentlicht in: Die Betriebswirtschaft, 69. Jg. (2009), S. 521-524.

Beitrag V: Analysing Bank Contagion with Copulæ - Evidence from the Subprime

and Japan’s banking crises.

Autor: Gregor Weiß

Zusammenfassung: Im Rahmen dieses Beitrages wird eine neue methodische Herange-

hensweise zur Untersuchung von Ansteckungseffekten zwischen Banken vorgeschlagen.

Diese neue Methodik vereint Elemente einer Ereignisstudie mit Elementen der Copula-

Theorie, um Ansteckungseffekte als Veranderungen der unteren Randabhangigkeit zwi-

schen den Aktienrenditen zweier Institute eines Bankensektors messen zu konnen. Zudem

stellt dieser Beitrag die erste Studie dar, in der Veranderungen der Randabhangigkeit von

Banken um Ankundigungen von Stutzungsmaßnahmen des Staates herum gemessen wer-

den.

Die Ergebnisse der beiden empirischen Untersuchungen zeigen, dass signifikante An-

steckungseffekte sowohl im deutschen Bankensektor wahrend der Subprime-Krise, als

auch im japanischen Bankensektor wahrend der 90er Jahre feststellbar waren. Insbeson-

dere kann gezeigt werden, dass negative Ankundigungen von Banken (z.B. einer bevorste-

henden Insolvenz) zu signifikanten Anstiegen der unteren Randabhangigkeit in den Ban-

kensektoren fuhren. Gleichzeitig fuhren Rettungs- und Stutzungsmaßnahmen des Staates

zu einer Verringerung der unteren Randabhangigkeit bei einer gleichzeitigen Erhohung

der Randunabhangigkeit. Dies zeigt, dass die Rettungsmaßnahmen des Staates geeignet

waren, Ansteckungseffekte zu verringern ohne dabei gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit

eines simultanen Booms der Aktienkurse zu erhohen.

Stichworter: Contagion Effects; Bailout; Tail Dependence; Copula.

Publikationsdetails: Zur Veroffentlichung angenommen in: Journal of Economics and Fi-

nance. Der Artikel wurde auf den folgenden Konferenzen mit verdecktem Begutachtungs-

verfahren prasentiert:

• Campus for Finance Research Conference 2009, WHU Koblenz, 14./15. Januar.

• European Financial Management Symposium on Risk Management in Financial

Institutions 2009, Audencia School of Management Nantes, 23.-25. April.

Kapitel 2

Copula-Funktionen

Veroffentlicht in:

Die Betriebswirtschaft, 68. Jg. (2008), S. 621-626 (zusammen mit Philipp Sczesny).

2.1 Einleitung

In vielen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften besteht ein Interesse an der Bestim-

mung einer gemeinsamen multivariaten Zufallsverteilung auf der Basis einer gegebenen

Menge von eindimensionalen Randverteilungen. Ein Beispiel hierfur ist die Quantifizie-

rung des Gesamtbankrisikos im Rahmen eines ganzheitlichen Risikomanagements einer

Bank. Dieses Gesamtrisiko setzt sich zusammen aus den einzelnen Risikopositionen einer

Bank unter Berucksichtigung von Abhangigkeiten zwischen den eingegangenen Positio-

nen. Erst eine Quantifizierung der Einzelrisiken ermoglicht es, die Hohe des Gesamt-

bankrisikos (bspw. durch die Berechnung eines quantil-basierten Risikomaßes wie dem

Value-at-Risk bzw. dem wegen seiner Koharenz vorzuziehenden Conditional-Value-at-

Risk) naherungsweise zu messen und somit zu steuern.

Im Zusammenhang mit der Bestimmung der gemeinsamen Verteilung eines Zufallsvek-

tors wird in der Literatur verstarkt der Einsatz sogenannter Copula-Funktionen diskutiert.

Mithilfe dieser Funktionen kann die, einer multivariaten Verteilung inharente, Abhangig-

keitsstruktur getrennt von der Bestimmung der Randverteilungen modelliert werden. Da-

neben weisen Copula-Funktionen den Vorteil auf, dass mit ihnen die komplette Abhangig-

keitsstruktur einer multivariaten Verteilung beschrieben werden kann. Somit erweitern sie

die bisher im Risikomanagement vorherrschenden korrelationsbasierten Abhangigkeits-

modelle, die ausschließlich beim Vorliegen elliptischer Verteilungen (z.B. der Normal-

verteilung) adaquat sind (vgl. McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 201).

10

2.2. CHARAKTERISTIKA VON COPULA-FUNKTIONEN 11

2.2 Charakteristika von Copula-Funktionen

Auf Grund der zuvor beschriebenen Moglichkeit zur Modellierung der gesamten stocha-

stischen Abhangigkeitsstruktur zwischen Zufallsvariablen sind Copula-Funktionen (kurz:

Copula bzw. Copulae) verstarkt in den Fokus der Wissenschaft geraten: Im Gegensatz

zu klassischen Abhangigkeitsmaßen wie dem Bravais-Pearson’schen Korrelationskoeffi-

zienten, dem Spearman-Pearson’schen Rangkorrelationskoeffizienten oder Kendalls Tau

konnen mit einer Copula somit auch nichtlineare Abhangigkeiten zwischen zwei oder

mehreren Variablen erfasst werden.

Im Folgenden werden Copulae definiert und wichtige Eigenschaften beschrieben. Der

formal-mathematischen Einleitung folgt eine visuelle Veranschaulichung, die den Zu-

gang zu den Formeln unterstutzen soll. Eine d-dimensionale Copula ist definiert als ei-

ne d-variate Verteilungsfunktion mit gleichverteilten Randverteilungen. Die Bedeutung

von Copula-Funktionen fur die anwendungsorientierte Mathematik wird in dem Satz von

Sklar deutlich, der die besondere Eignung von Copula-Funktionen fur die Modellierung

von Abhangigkeitsstrukturen aufzeigt und gleichzeitig die Existenz einer eindeutigen Co-

pula unter relativ schwachen Bedingungen sichert.

Satz 2.2.1 (Sklar):

Sei F (x1, x2, . . . , xd) die gemeinsame Verteilungsfunktion eines d-variaten Zufallsvektors

(X1, X2, . . . , Xd) mit den Randverteilungen F1(x1), F2(x2), . . . , Fd(xd). Dann gibt es ei-

ne d-dimensionale Copula C, sodass fur alle x ∈ Rd

gilt:

F (x1, x2, . . . , xd) = C(F1(x1), F2(x2), . . . , Fd(xd)). (2.1)

Sind die Randverteilungen F1(x1), F2(x2), . . . , Fd(xd) zudem stetig, so ist die Copula C

eindeutig.

Copulae konnen als funktionale Vorschrift verstanden werden, die zwei oder mehrere ein-

dimensionale Randverteilungen (also bspw. eine Normal- und eine Student-t-Verteilung)

zu einer beliebigen gemeinsamen Verteilung miteinander verknupfen. Sie beschreiben

somit eine eindeutige Form der stochastischen (Un-)Abhangigkeit zwischen mehreren

Zufallsvariablen. Aus der formalen Definition einer Copula als Verteilungsfunktion auf

dem d-dimensionalen Einheitskubus ergeben sich sofort entsprechende analoge Eigen-

schaften. Neben diesen Eigenschaften als Verteilungsfunktion kann jede Copula durch die

sogenannten Frechet-Hoeffding-Schranken nach oben und nach unten abgeschatzt wer-

den, wobei die untere (obere) Schranke als W -Copula (M-Copula) bezeichnet wird:


W (u1, u2, . . . , ud) ≤ C (u1, u2, . . . , ud) ≤M (u1, u2, . . . , ud)

mit

W (u1, u2, . . . , ud) := max

{1 − d+

d∑i=1

ui; 0

}und

M (u1, u2, . . . , ud) := mini∈{1;...;d}

ui,

wobei ∀i ∈ {i; . . . ; d} : ui ∈ [0; 1] gilt. Diese Schranken stellen außerdem selber Copula-

Funktionen dar (M ist grundsatzlich eine Copula, W nur fur d < 3).

Die einfachste und bekannteste Copula ist die Produkt-Copula Π, mit der die stocha-

stische Unabhangigkeit zwischen Zufallsvariablen modelliert werden kann. Sind die Zu-

fallsvariablenX1, X2, . . . , Xd stochastisch unabhangig mit VerteilungsfunktionenF1(x1),

F2(x2), . . ., Fd(xd), so gilt fur die gemeinsame Verteilung

F (x1, x2, . . . , xd) = Π(F1(x1), F2(x2), . . . , Fd(xd)) = F1(x1) · F2(x2) · . . . · Fd(xd).

Zum besseren intuitiven Zugriff auf die formal-mathematische Charakterisierung soll an

dieser Stelle die visuelle Darstellung der drei bisher vorgestellten Copula-Funktionen

ermoglicht werden. Die folgende Abbildung 2.1 zeigt die Funktionsgraphen und die dazu-

gehorigen Contour-Diagramme derW -Copula, der Produkt-Copula Π und derM-Copula.

Hierbei sind in den Contour-Diagrammen die Hohenlinien des jeweiligen Funktionsgra-

phen eingezeichnet.


W−Copula

u1

u2

0.1

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.4

0.4

0.5

0.5

0.5

0.6 0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Produkt−Copula

u1

u2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

M−Copula

u1

u2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

C(u1,u2)

W−Copula

u1u2

C(u1,u2)

Produkt−Copula

u1

u2

C(u1,u2)

M−Copula

Abbildung 2.1: Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der W-, Produkt- und M-Co-pula.

Neben diesen drei Copula-Funktionen existieren zahlreiche weitere Copula-Funktionen,

die teilweise von bekannten mehrdimensionalen Verteilungen wie z.B. der Normal- oder

der Student-t-Verteilung abgeleitet werden. Die aus einer bivariaten Normalverteilung ex-

trahierte Gauß-Copula kann implizit als Doppelintegral angegeben werden:

CGaußρ (u1, u2) :=

∫ Φ−1(u1)

−∞

∫ Φ−1(u2)

−∞

1

2π(1 − ρ2)1/2exp

{−(s2

1 − 2ρs1s2 + s22)

2(1 − ρ)2

}ds1ds2,

mit |ρ| < 1.

Dabei bezeichnet Φ−1 die Inverse der Verteilungsfunktion einer eindimensionalen Stan-

dardnormalverteilung. Parametrisiert wird die Gauß-Copula durch den Parameter ρ, der

dem Korrelationskoeffizienten der ursprunglichen bivariaten Normalverteilung entspricht

(beim Einsetzen von zwei Standardnormalverteilungen in CGaußρ (u1, u2) ist ρ gerade der

Korrelationskoeffizient der gemeinsamen zweidimensionalen Normalverteilung). Ahnlich

wie bei der Normalverteilung kann mit dem Satz von Sklar aus jeder multivariaten Vertei-


lung mit stetigen Randverteilungen eine Copula extrahiert werden, so bspw. die t-Copula:

Ctν,P (u1, u2, . . . , ud) := tν,P

[t−1ν (u1), . . . , t

−1ν (ud)

].

Hierbei bezeichnet P eine Korrelationsmatrix, tν die Verteilungsfunktion einer t-Ver-

teilung mit ν Freiheitsgraden und tν,P die gemeinsame Verteilungsfunktion des d-dimen-

sional t-verteilten Zufallsvektors X ∼ td(ν, 0, P ). Da sowohl Gauß- als auch t-Copula

aus sogenannten elliptischen Verteilungen generiert werden, bezeichnet man diese als el-

liptische Copulae (eine Beschreibung der Eigenschaften von elliptischen Verteilungen fin-

det sich bei McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 93). Die Funktionsgraphen und Contour-

Diagramme fur zwei mogliche Parametrisierungen der bivariaten Gauß- bzw. t-Copula

werden in Abbildung 2.2 gezeigt (der Parameter ρ betragt jeweils 0,4, der Parameter ν

wurde auf 3 gesetzt).

Gauss−Copula

u1

u2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t−Copula

u1

u2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

C(u1,u2)

Gauss−Copula

u1

u2

C(u1,u2)

t−Copula

Abbildung 2.2: Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der Gauß- und t-Copula.


Als Beispiele fur Copulae, fur die explizite Definitionsgleichungen existieren, sollen nach-

folgend die Gumbel- und Clayton-Copula definiert werden. Diese gehoren zur Familie der

sogenannten Archimedischen Copula-Funktionen, die sich insbesondere auf Grund der

Moglichkeit der Ineinanderschachtelung mehrerer bivariater archimedischer Copulae fur

den Einsatz in hoheren Dimensionen auszeichnen. Die bivariate Gumbel- und Clayton-

Copula sind definiert als:

CGumbelθ (u1, u2) := exp

{−((− ln u1)

θ + (− ln u2)θ)1/θ},

mit 1 ≤ θ <∞ und

CClaytonθ (u1, u2) :=

(u−θ

1 + u−θ2 − 1

)−1/θ,

mit 0 < θ < ∞. Abbildung 2.3 zeigt die Funktionsgraphen und Contour-Diagramme fur

die Clayton- bzw. Gumbel-Copula (θ = 2).


Clayton−Copula

u1

u2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gumbel−Copula

u1

u2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

C(u1,u2)

Clayton−Copula

u1

u2

C(u1,u2)

Gumbel−Copula

Abbildung 2.3: Funktionsgraphen und Contour-Diagramme der Clayton- und Gumbel-Copula.

Ein analytisches Verfahren fur die Bestimmung einer optimalen Parametrisierung, und

damit der eindeutigen, wahren Copula im Falle, dass die univariaten Randverteilungen

und die gemeinsame Verteilung vorgegeben sind, ist hingegen nicht bekannt.

Eine wichtige Erkenntnis aus dem Satz von Sklar ist die Moglichkeit, beliebige multi-

variate Verteilungen zu konstruieren. Sind die stetigen Randverteilungen F1(x1), F2(x2),

. . ., Fd(xd) und eine Copula C bekannt, so kann die eindeutig bestimmte gemeinsame

Verteilungsfunktion F (x1, x2, . . . , xd) durch einfaches Einsetzen der Randverteilungen in

C bestimmt werden. Die so konstruierten multivariaten Verteilungsfunktionen werden als

Meta-Copula-Verteilungen bezeichnet (z.B. Meta-Normal- oder Meta-t-Verteilung; An-

leitungen zur Erzeugung von Meta-Copula-Verteilungen und zur Simulation von Copula-

Funktionen finden sich u.a. in McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 193ff.).

2.3. ANWENDUNGSMOGLICHKEITEN VON COPULA-FUNKTIONEN IM

RISIKOMANAGEMENT17

2.3 Anwendungsmoglichkeiten von Copula-Funktionen im

Risikomanagement

Copula-Funktionen konnen grundsatzlich auf zwei Weisen sinnvoll im Risikomanage-

ment verwendet werden. Die erste Moglichkeit besteht darin, bei Kenntnis der Vertei-

lungen der Einzelrisiken diese mit Hilfe einer bekannten oder aus Vergangenheitswerten

geschatzten Copula zur gemeinsamen (Meta-Copula-)Verteilung zu verknupfen. Hierbei

wird die Copula so gewahlt, dass sie die vermutete Abhangigkeitsstruktur zwischen den

einzelnen Risikopositionen moglichst gut annahert.

Die besondere Bedeutung dieser Modelle fur das Risikomanagement liegt in der Fahig-

keit dieser Modelle, sowohl lineare als auch nichtlineare Abhangigkeiten zwischen den

Risikopositionen abbilden zu konnen. Hierdurch konnen Diversifikationseffekte in der

Bestimmung des Gesamtbankrisikos viel starker berucksichtigt werden, als es bspw. mit

anderen Verfahren wie der Annahme normalverteilter Risiken moglich ware. Mit der so

bestimmten gemeinsamen Verteilung der Gewinne und Verluste kann eine Bank anschlie-

ßend ein (koharentes) quantil-basiertes Risikomaß fur die (diversifizierte) Gesamtbank

bestimmen.

Die zweite Moglichkeit des Einsatzes von Copula-Funktionen im Risikomanagement be-

steht in der Analyse von Abhangigkeitsstrukturen in einem gegebenen Datensatz (vgl.

z.B. Junker/May, 2005). In diesem Fall besteht die Vorgehensweise in der Wahl einer

parametrisierten Copula, deren Parameter aus dem Datensatz heraus geschatzt werden

sollen. Die resultierenden Parameter und die funktionale Form der vollstandig parame-

trisierten Copula konnen dann anschließend hinsichtlich der Frage untersucht werden,

welche Art von Abhangigkeit zwischen den Randverteilungen besteht. Im Risikomanage-

ment werden daher Copula-Funktionen verstarkt eingesetzt, um wiederkehrende Muster

in der Abhangigkeitsstruktur verschiedener Risikoarten (z.B. Marktpreis- oder Kreditrisi-

ken) untereinander zu identifizieren.

Offensichtlich besteht die großte Schwierigkeit bei beiden Vorgehensweisen in der Wahl

der wahren Copula (nach dem Satz von Sklar ist sie unter schwachen Voraussetzungen

eindeutig). Obwohl zahlreiche Klassen von Copula-Funktionen bereits identifiziert wor-

den sind, kann die Mehrzahl dieser Funktionen nicht in geschlossener analytischer Form

angegeben werden. Ebenso kann die Wahl der Parameter der Copula in der Praxis Proble-

me bereiten (bspw. sollte die Gauß-Copula nicht mit der empirischen Korrelationsmatrix,

sondern dem paarweisen Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman kalibriert werden,

2.3. ANWENDUNGSMOGLICHKEITEN VON COPULA-FUNKTIONEN IM

RISIKOMANAGEMENT18

vgl. McNeil/Frey/Embrechts, 2005, S. 230). Empirische Ergebnisse deuten zudem darauf

hin, dass die Wahl einer falschen parametrischen Form der Copula zu erheblichen Feh-

lern bei der anschließenden Berechnung von Quantilen fuhren kann (vgl. Ane/Kharoubi

(2003)). Aus diesem Grund sind in der jungsten Vergangenheit von zahlreichen Autoren

Goodness-of-fit-Tests vorgeschlagen worden, die die Anpassungsgute einer geschatzten

parametrischen Copula durch einen Vergleich mit dem Copula-Analogon zur empirischen

Verteilungsfunktion (der sogenannten Empirischen Copula nach Deheuvels) zu beurteilen

versuchen (vgl. z.B. Kole/Koedijk/Verbeek, 2007; Scaillet, 2007 und Fermanian, 2005).

Kapitel 3

Uber die Vorteilhaftigkeit von

Copula-GARCH-Modellen im

finanzwirtschaftlichen

Risikomanagement

Zur Veroffentlichung eingereicht in:

Kredit und Kapital.

3.1 Einleitung

Das zentrale Anliegen des finanzwirtschaftlichen Risikomanagements besteht in der in-

tegrierten Messung samtlicher Risiken, denen sich ein Finanzinstitut oder Industrieun-

ternehmen ausgesetzt sieht. Eine ganzheitliche Betrachtung unterschiedlicher Risikoarten

bezweckt insbesondere die Berucksichtigung von Diversifikationseffekten zwischen den

verschiedenen Risiken. Im Resultat kann eine Bank durch die adaquate Berucksichtigung

von Diversifikationseffekten das von ihr vorzuhaltende regulatorische Eigenkapital opti-

mieren und somit ihre Eigenkapitalkosten senken.1

In der Vergangenheit basierte diese ganzheitliche, multivariate Modellierung von finanz-

wirtschaftlichen Risiken haufig auf der Berechnung von linearen Korrelationen unter der

Annahme normalverteilter Einzelrisiken. Sowohl fur Marktpreisrisiken als auch insbe-

sondere fur Kreditrisiken ist die Annahme normalverteilter Renditen und Ausfalle jedoch

empirisch nicht haltbar.

1Unter dem”regulatorischen Eigenkapital“ (andere synonyme Bezeichnungen sind

”aufsichtsrechtli-

ches“ oder”haftendes Eigenkapital“) versteht man die Zusammenfassung unterschiedlicher Bilanzpositio-

nen zur Ermittlung der im Insolvenzfall zur Verfugung stehenden Haftmasse. Es setzt sich gemaß §10 KWGund SolvV, ausgehend vom bilanziellen Eigenkapital, aus verschiedenen Kapitalien unterschiedlicher Wer-tigkeit im Insolvenzfall zusammen. Vgl. Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2007), S. 391-399.

19

3.1. EINLEITUNG 20

In den vergangenen Jahren sind daher verstarkt Copula-Modelle in den Fokus der For-

schung geraten, die eine Modellierung der gesamten (linearen und nichtlinearen) Ab-

hangigkeitsstruktur eines Zufallsvektors ermoglichen.2 Eine Copula liefert in bestechend

einfacher Form eine Funktionsvorschrift, die hochst unterschiedliche Randverteilungen

miteinander zur zugehorigen gemeinsamen Verteilung verknupft. Somit kann eine Co-

pula fur die Generierung einer multivariaten Verteilung verwendet werden, deren Rand-

verteilungen nicht notwendigerweise identisch sind. Erste Anwendungen haben Copula-

Funktionen aufgrund dieser Eigenschaft insbesondere im Risikomanagement und in der

Versicherungsmathematik gefunden, wo sie zur Generierung der gemeinsamen Verteilung

eines Risikoportfolios verwendet wurden.3 Wichtige Fragestellungen der Implementie-

rung eines auf Copula-Funktionen basierenden Gesamtrisikomodells sind jedoch in der

Wissenschaft noch nicht hinreichend beantwortet. So sind insb. auf die Fragen, welche

parametrische Familie von Copula-Funktionen am besten zur Modellierung bestimmter

Risiken geeignet ist und wie ein hochdimensionales Modell mit 20 oder mehr Risikofak-

toren effizient geschatzt werden kann, bisher keine zufriedenstellenden Antworten gefun-

den worden.4

Der vorliegende Beitrag verfolgt zwei Ziele: Zum einen soll anhand einer umfangreichen

Simulationsstudie die Vorteilhaftigkeit von Copula-GARCH-Modellen zur Bestimmung

des Value-at-Risks (VaR) bzw. Conditional-Value-at-Risks (CVaR) eines Aktienportfoli-

os gezeigt werden. Zum anderen soll die Frage geklart werden, inwieweit das jeweilige

durch ein Backtesting als optimal identifizierte Copula-GARCH-Modell mithilfe eines

speziellen Anpassungstests im Vorfeld der Value-at-Risk-Prognose hatte ermittelt werden

konnen.

Zu diesem Zweck wird zunachst das notige mathematische Fundament der Theorie der

Copula-Funktionen gelegt. Hierauf aufbauend wird ein Copula-GARCH-Modell zur Be-

stimmung einer gemeinsamen Verlustverteilung erortert, weiterhin werden einige aus

praktischer Sicht besonders relevante Fragen hinsichtlich der Gute und der Stabilitat der

Verfahren zur Schatzung von Copula-Funktionen diskutiert. Durch die Analyse von ins-

gesamt 100 aus im DAX vertretenen Aktien bestehenden Portfolios uber acht verschie-

dene Zeitfenster stellt dieser Beitrag mit 800 Simulationen die bislang umfangreichste

2Vgl. z. B. Embrechts/McNeil/Straumann (2002) fur ein fruhes Beispiel der anwendungsorientiertenBetrachtung von Copula-Funktionen und eine Kritik an korrelationsbasierten Modellen.

3Beispiele hierfur finden sich u. a. bei Junker/May (2005) und Kole/Koedijk/Verbeek (2007).

4Eine”einfache“ Losung dieser Fragen wird aller Voraussicht nach auch nie gefunden werden, vgl. Em-

brechts (2009). Losungsansatze insb. zum erstgenannten Problem finden sich in den Arbeiten von Genest,vgl. z. B. Genest/Remillard/Beaudoin (2009).

3.2. LITERATURUBERBLICK UND HYPOTHESENBILDUNG 21

Untersuchung zur Vorteilhaftigkeit von Copula-Risikomodellen dar.

Der Beitrag untergliedert sich in funf Abschnitte. Abschnitt 3.2 beinhaltet einen kurzen

Literaturuberblick und leitet die zu uberprufenden Hypothesen ab. Abschnitt 3.3 erlautert

die univariate Schatzung des Value-at-Risks mithilfe von GARCH-Prozessen. In Ab-

schnitt 3.4 werden Methoden zur Bestimmung des Portfolio-Value-at-Risks vorgestellt.

Abschnitt 3.5 prasentiert die empirische Untersuchung sowie die Ergebnisse. Eine kurze

Zusammenfassung des Beitrags wird in Abschnitt 3.6 gegeben.

3.2 Literaturuberblick und Hypothesenbildung

Seit dem Erscheinen der ersten Arbeiten von Embrechts/McNeil/Straumann5 uber die Ein-

satzmoglichkeiten von Copula-Funktionen im finanzwirtschaftlichen Risikomanagement

sind mehrere Studien erschienen, die die Vorteilhaftigkeit dieser Modelle empirisch uber-

pruft haben.

Eine der ersten empirischen Studien uber die Vorteilhaftigkeit von Copula-Modellen fur

die Modellierung von Abhangigkeitsstrukturen zwischen verschiedenen Anlageformen

stammt von Malevergne/Sornette.6 Die Autoren zeigen fur einen Datensatz, bestehend

aus sechs Wahrungskursen, sechs Commodity-Preisen und 22 an der NYSE notierten Ak-

tienkursen, dass fur die Mehrzahl der innerhalb einer Anlageklasse gebildeten bivariaten

Portfolios die Abhangigkeitsstruktur am besten durch eine Gauß-Copula modelliert wer-

den kann. Gleichzeitig betonen sie, dass die Student’s t-Copula falschlicherweise fur eine

Gauß-Copula gehalten werden kann. Kritisch ist an der Studie von Malevergne/Sornette

jedoch zu sehen, dass diese keine Schatzung von Risikomaßen fur die Portfolios enthalt,

archimedische Copulas nicht berucksichtigt und keine Copula spezifischen Anpassungs-

tests verwendet. Die vermutete pauschale Vorteilhaftigkeit einer einzigen parametrischen

Copula ist jedoch beispielhaft fur die Ergebnisse zahlreicher Arbeiten in den Folgejah-

ren.7 Beispielsweise zeigen Kole/Koedijk/Verbeek fur ein trivariates Portfolio aus Aktien-,

Anleihe- und REITS-Indizes, dass die Abhangigkeitsstruktur dieses Portfolios am besten

durch eine Student’s t-Copula modelliert werden kann.8

Ein ahnliches Resultat hinsichtlich der Wahl der parametrischen Copula finden Di Cle-

5Vgl. Embrechts/McNeil/Straumann (2002).

6Vgl. Malevergne/Sornette (2003).

7Vgl. bspw. die Arbeiten von Fantazzini (2006) und Kole/Koedijk/Verbeek (2007).

8Vgl. Kole/Koedijk/Verbeek (2007).


mente/Romano.9 Ihre empirische Untersuchung eines 20-dimensionalen Portfolios ita-

lienischer Aktien zeigt, dass ein kombiniertes Modell aus extremwertverteilten Rand-

verteilungen und einer Gauß- oder Student’s t-Copula erheblich bessere Value-at-Risk-

Schatzungen liefern kann als das klassische korrelationsbasierte Modell. Wiederum wer-

den weder archimedische Copulas noch Anpassungstests oder andere Risikomaße sowie

weitere Portfolios betrachtet.

Junker/May zeigen in ihrer Studie, dass ein Modell mit GARCH-Prozessen als Rand-

verteilungen und einer speziell transformierten Frank-Copula marginal bessere Value-at-

Risk- und Conditional-Value-at-Risk-Schatzungen liefern kann als die Gauß- oder Stu-

dent’s t-Copula.10 Abermals stutzen die Autoren dieses Ergebnis jedoch auf die Un-

tersuchung eines einzelnen bivariaten Portfolios aus Hoechst- und Volkswagen-Aktien

in einem einzigen Betrachtungszeitraum und verwenden ausschließlich allgemeine (Co-

pula unspezifische) Anpassungstests. Ein fast identisches Ergebnis unter ahnlichen Ein-

schrankungen finden Palaro/Hotta, wobei sie fur ein bivariates Portfolio, bestehend aus

dem S&P 500- und dem NASDAQ-Index, die Vorteilhaftigkeit eines Copula-GARCH-

Modells mit symmetrisierter Joe-Clayton-Copula und GARCH-Randverteilungen finden.11

Ebenso zeigt Fantazzini mithilfe einer empirischen Untersuchung von drei bivariaten

Portfolios aus Aktienindizes, dass eine konstante bzw. dynamische Gauß-Copula aus-

reicht, um im Backtesting akzeptable VaR-Schatzungen zu liefern.12

Den genannten Studien ist somit gemein, dass alle Autoren auf Basis weniger Portfolios

eine klare Vorteilhaftigkeit von Copula-Modellen im Vergleich zu korrelationsbasierten

Modellen aufzeigen. Diese unterstellte Vorteilhaftigkeit soll daher auch in dieser Arbeit

zunachst untersucht werden. Bevor jedoch die erste Hypothese formuliert werden kann,

verstandigen wir uns uber die Frage, wann ein Modell als vorteilhaft angesehen werden

kann. Ein Modell X soll in dieser Arbeit als vorteilhafter gegenuber einem zweiten Mo-

dell Y angesehen werden, wenn die hiermit ermittelte Anzahl an VaR-Uberschreitungen

(ExceedModellX) naher an der erwarteten Anzahl an Uberschreitungen (ExceedEmp) liegt

als die des zweiten Modells (ExceedModellY ), ohne die erwartete Anzahl zu uberschreiten.

Die so definierte Vorteilhaftigkeit eines Modells bedeutet, dass das Modell X das Risiko

adaquater darstellt, als dies Modell Y tut, ohne jedoch das vom Investor eingegangene

Risiko zu unterschatzen.

9Vgl. Di Clemente/Romano (2005).

10Vgl. Junker/May (2005).

11Vgl. Palaro/Hotta (2006).

12Vgl. Fantazzini (2006).


Aquivalent hierzu betrachten wir ein Modell als optimal fur die Berechnung des CVaRs,

falls der mit diesem Modell berechnete durchschnittliche CVaR im Testzeitraum die Schat-

zungen samtlicher ubriger Modelle verbessert, ohne den tatsachlichen durchschnittlichen

CVaR zu uberschreiten.

Die genannten Studien suggerieren, dass das Rahmenwerk eines Copula-Modells stets

bessere Risikoschatzungen liefert als ein korrelationsbasiertes Modell, solange nur die (ex

ante unbekannte) parametrische Copula-Form richtig gewahlt wird. Die erste Hypothese

lautet somit:

H1: Fur jedes bivariate Portfolio lasst sich in jedem Beobachtungszeitraum stets eine

parametrische Copula-Form finden, sodass das hier vorgeschlagene Copula-GARCH-

Modell eine bessere VaR- und CVaR-Schatzung liefert als das korrelationsbasierte Mo-

dell, also:

ExceedCorr ≤ ExceedCop ≤ ExceedEmp

bzw. fur den Conditional-Value-at-Risk:

CV aRCorr ≤ CV aRCop ≤ CV aREmp.

Betrachtet man insbesondere die Arbeiten von Malevergne/Sornette, Kole/Koedijk/Ver-

beek und Di Clemente/Romano, so erkennt man, dass samtliche Autoren dieser Studien

eine klare Vorteilhaftigkeit elliptischer Copulas als Ergebnis festhalten. Diese auf Basis

kleinerer Datensatze gefundene Optimalitat elliptischer Copulas soll daher im zweiten

Schritt dieser Arbeit untersucht werden, wobei zur Verallgemeinerung der anekdotischen

Evidenz der genannten Studien in dieser Arbeit eine im Vergleich zu bisherigen Arbei-

ten stark erhohte Anzahl an Portfolios verwendet werden soll. Um eine Vergleichbarkeit

mit den genannten Studien erzielen zu konnen, soll zudem zunachst der Einfluss der Wahl

des Risikomaßes sowie des Schatzzeitraumes auf die Risikoschatzungen unberucksichtigt

bleiben.

Die zweite Hypothese lautet dann:

H2: Die Gauß- und/oder Student’s t-Copula liefern/liefert unabhangig vom betrachteten

Schatz- und Testzeitraum und unabhangig vom verwendeten Risikomaß sowie von den

interessierenden Risikopositionen stets bessere Schatzwerte fur das gewahlte Risikomaß

als ein vergleichbares korrelationsbasiertes oder ein auf einer archimedischen Copula


basierendes Modell.

Im dritten Schritt soll die Frage geklart werden, welche elliptische Copula gegebenenfalls

die besseren Risikoschatzungen liefert. Sollten die Ergebnisse von Malevergne/Sornette

verallgemeinerbar sein, so musste dies die Gauß-Copula sein. Laut Kole/Koedijk/Verbeek

musste dagegen die Student’s t-Copula bessere Ergebnisse liefern als die Gauß-Copula.

Beide Studien unterstellen ebenfalls implizit, dass die Ergebnisse unabhangig von der

Wahl des Risikomaßes und des Schatzzeitraumes sind.

Die dritte Hypothese lautet somit:

H3: Liefert eine elliptische Copula den besten Schatzwert fur das gewahlte Risikomaß fur

ein bivariates Portfolio, so ist dies die Gauß-Copula (Student’s t-Copula). Die unterstellte

Optimalitat der Gauß-Copula (Student’s t-Copula) innerhalb der elliptischen Copulas

ist zudem unabhangig vom betrachteten Schatz- und Testzeitraum und unabhangig vom

verwendeten Risikomaß sowie von den interessierenden Risikopositionen.

Sollte hingegen ein elliptisches Modell nicht die besten Risikoschatzungen liefern (wie

dies die Arbeiten von Junker/May und Palaro/Hotta zeigen), so ist offensichtlich die Frage

zu klaren, welche parametrische Copula-Form ggf. optimal ist.

Offene Frage: Welche parametrische (elliptische oder archimedische) Copula-Form muss

fur das Copula-GARCH-Modell gewahlt werden, sodass im Durchschnitt aller simulier-

ten Portfolios unabhangig vom betrachteten Schatz- und Testzeitraum und unabhangig

vom verwendeten Risikomaß sowie von den interessierenden Risikopositionen die besten

Risikoschatzungen erzielt werden?

Aus der Tatsache, dass die bisherigen Studien fast ganzlich den Einfluss unterschiedlicher

Datenerhebungszeitraume auf die Schatzergebnisse vernachlassigen, leitet sich die vierte

zu uberprufende Hypothese ab:

H4: Die in H1 bestatigte oder widerlegte Vorteilhaftigkeit der Copula-GARCH-Modelle

und die jeweils optimale parametrische Form der Copula fur ein festgehaltenes bivariates

Portfolio sind invariant gegenuber einer Veranderung des Betrachtungszeitraumes.

Hypothese H4 uberpruft somit die in samtlichen Studien implizit getroffene Behauptung,


dass fur ein beliebiges Portfolio die optimale parametrische Copula-Form im Zeitablauf

konstant bleibt.

Fur praktische Zwecke besonders relevant ist die Frage, wie die optimale parametrische

Copula-Form im Vorfeld der Schatzung identifiziert werden kann. Da samtliche bishe-

rigen Studien (wenn uberhaupt) nur Copula unspezifische (d. h. fur allgemeine Vertei-

lungsfunktionen gultige) Anpassungstests verwendet haben, soll im Rahmen dieser Un-

tersuchung ein spezieller Anpassungstest fur Copula-Funktionen verwendet werden, des-

sen Gute in Simulationsstudien bestatigt wurde. Zudem ist bemerkenswert, dass bislang

keine Studie Copula-Modelle sowohl durch ein VaR- bzw. CVaR-Backtesting als auch

gleichzeitig durchgefuhrte Anpassungstests beurteilt hat. Falls die Ergebnisse bisheriger

Simulationsstudien unter Laborbedingungen Bestand haben, sollte der Anpassungstest

auch mit Blick auf optimale VaR- und CVaR-Schatzungen stets die optimale parametri-

sche Copula-Form ermitteln konnen.13 Die funfte Hypothese lautet dann:

H5: Die im Backtesting als optimal ermittelte parametrische Copula-Form wird im Vor-

feld der Schatzung des jeweilig gewahlten Risikomaßes als einziges Modell vom Anpas-

sungstest nicht abgelehnt.

Schließlich ist der Einfluss der Wahl des Risikomaßes auf die Vorteilhaftigkeit von Copula-

Modellen zur Risikomessung bislang nur von Junker/May fur ein einzelnes bivariates

Portfolio untersucht worden. Um zu allgemeingultigen Ergebnissen gelangen zu konnen,

ist jedoch die umfassende Untersuchung eines großeren Datensatzes notig. Wir erhalten

somit die letzte Hypothese:

H6: Die Ergebnisse der Hypothesen H1 bis H5 sind invariant gegenuber einer alternati-

ven Verwendung des Conditional-Value-at-Risks anstelle des Value-at-Risks.

Im Folgenden werden nun die verschiedenen univariaten und multivariaten Modelle zur

Messung des Risikos eines Portfolios besprochen.

13Die beiden einzigen umfassenden Simulationsstudien von Berg (2009) und Genest/Remillard/Beaudoin(2009) simulieren ausschließlich aus vorgegebenen parametrischen Copula-Funktionen und analysieren kei-ne komplexeren Abhangigkeitsstrukturen sowie Realdaten.

3.3. UNIVARIATE VAR-SCHATZUNG MITHILFE VON GARCH-PROZESSEN 26

3.3 Univariate VaR-Schatzung mithilfe von GARCH-Pro-

zessen

Die quantitative Messung von Marktpreisrisiken wird in der Praxis regelmaßig mithilfe

des Value-at-Risks vorgenommen. Als Ausgangspunkt der VaR-Methodik kann die Fra-

ge nach dem maximalen Verlust einer Position dienen. Gegeben sei ein risikobehaftetes

Portfolio mit einer gemeinsamen Verlust-Verteilungsfunktion

FL(l) = P (L ≤ l) (3.1)

fur einen bestimmten Zeithorizont Δ. Bei der Bestimmung des Value-at-Risks steht die

Frage nach dem maximal moglichen Verlust im Vordergrund, der zu einem bestimmten

Konfidenzniveau α nicht uberschritten wird. Somit bezeichnet der V aRα den kleinsten

Wert l ∈ R, sodass die Wahrscheinlichkeit dafur, dass der Verlust L den Wert l innerhalb

des Zeithorizonts Δ uberschreitet, nicht großer als (1−α) ist. Formal lasst sich der V aRα

schreiben als:14

V aRα = inf {l ∈ R|FL(l) ≥ α} . (3.2)

Somit stellt der VaR das α-Quantil der Verlustfunktion der betrachteten Position dar. Da

der Value-at-Risk kein koharentes Risikomaß darstellt,15 soll in der empirischen Unter-

suchung zudem der Conditional-Value-at-Risk als Erwartungswert der den VaR ubertref-

fenden Verluste berechnet werden.

Fur die empirische Berechnung des Value-at-Risks bzw. Conditional-Value-at-Risks aus

Realdaten sollten in einem ersten Schritt die Daten univariat mithilfe eines parametri-

schen Verteilungsmodells angepasst werden. Kann in einer vorgelagerten Datenanalyse

die Nullhypothese einer bestimmten Verteilungsform (z. B. normal- oder t-verteilte sta-

tionare Daten) nicht abgelehnt werden, so erfolgt die univariate Modellierung mithilfe

der jeweils identifizierten Verteilung. Deutet die Datenanalyse jedoch auf bedingt hete-

roskedastische und autokorrelierte Daten hin, so werden die Verteilungen der einzelnen

Risikopositionen mithilfe eines GARCH-Prozesses modelliert. Wir beschranken uns im

Folgenden auf die Betrachtung der MarktpreisveranderungXt zum Zeitpunkt t der jewei-

ligen Position, ausgedruckt als Logrendite, als einzigen Risikofaktor. Wird als univariates

14Vgl. McNeil/Frey/Embrechts (2005), S. 38.

15Vgl. Artzner/Delbaen/Eber/Heath (1999).

3.3. UNIVARIATE VAR-SCHATZUNG MITHILFE VON GARCH-PROZESSEN 27

Modell ein GARCH(1,1)-Prozess gewahlt, so ist man auf die Bestimmungsgleichungen

Xt = B + εt (3.3)

σ2t = α0 + α1ε

2t−1 + βσ2

t−1 (3.4)

gefuhrt. Hierbei stelltXt die Logrendite zum Zeitpunkt t dar, B ist eine Konstante, εt das

Residuum zum Zeitpunkt t und σ2t die Varianz zum Zeitpunkt t, wobei die Residuen z. B.

als normal- oder t-verteilt angenommen werden.16 Eine Uberprufung der Anpassungsgute

der univariaten Modelle kann z. B. mithilfe des Ljung-Box-, des Jarque-Bera- sowie des

Kolmogorow-Smirnow-Tests vorgenommen werden.17

Auf Basis der fur einen Schatzzeitraum [s; t] geschatzten univariaten parametrischen Ver-

teilungen bzw. der GARCH-Modelle erfolgt im zweiten Schritt eine Monte-Carlo-Simu-

lation. Fur jede Aktie werden 10.000 Prognosewerte fur die Logrendite uber samtliche

Zeitpunkte des zu betrachtenden Testzeitraums [t + 1; t′] aus den univariaten Modellen

simuliert. Das Ergebnis ist eine Simulationsmatrix der Form

X =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝X

(1)t+1 X

(2)t+1 . . . X

(10.000)t+1

X(1)t+2

... . . ....

...... . . .

...

X(1)t′ X

(2)t′ . . . X

(10.000)t′

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ . (3.5)

Ein Eintrag X(Ψ)t∗ in der t∗-ten Zeile und Ψ-ten Spalte der Matrix (3.5) beschreibt dabei

die Ψ-te fur einen Tag t∗ ∈ [t+ 1; t′] im Testzeitraum simulierte Logrendite einer Aktie.

Aus den simulierten Logrenditen fur einen Tag t∗ ∈ [t+ 1; t′] konnen im nachsten Schritt

die empirischen Verteilungsfunktionen Fi(xi) und der entsprechende Einzel-VaR jeder

Risikoposition i bestimmt werden. Hierfur werden die simulierten Logrenditen fur jeden

Zeitpunkt der Große nach aufsteigend sortiert und der Wert an der Stelle 10.000 · (1− α)

bestimmt.18 Die Verknupfung dieser Einzel-VaRs kann im nachsten Schritt entweder uber

die Verwendung von Korrelationen oder Copula-Funktionen erfolgen.

16Vgl. Bollerslev/Wooldridge (1992).

17Vgl. Ljung/Box (1978) und Kolmogorow (1933) sowie Smirnow (1939).

18Da in der Praxis stets ein Konfidenzniveau von 5%, 1% oder 0,5% gewahlt wird, ist der Index 10.000 ·(1 − α) des zu bestimmenden Value-at-Risks stets eine naturliche Zahl.

3.4. MULTIVARIATE VAR-SCHATZUNG MITHILFE VON KORRELATIONEN

UND COPULA-FUNKTIONEN28

3.4 Multivariate VaR-Schatzung mithilfe von Korrelatio-

nen und Copula-Funktionen

3.4.1 Aggregation des Value-at-Risks auf Portfolioebene mithilfe von

Korrelationen

Wurde fur jede Vermogensposition der univariate VaR ermittelt, so stellt sich die Frage,

wie die Einzel-VaRs aggregiert werden konnen, um so den VaR auf Portfolioebene zu

bestimmen. Hierfur kann der lineare Gleich- bzw. Gegenlauf der Vermogenspositionen

genutzt werden. Der VaR im Zwei-Wertpapier-Fall lasst sich unter der Annahme nor-

malverteilter Renditen mithilfe des linearen Korrelationskoeffizienten ρ12 der Verluste

bestimmen:19

V aRPortfolio =√V aR2

1 + V aR22 + ρ12V aR1V aR2. (3.6)

Diese Uberlegung ist grundsatzlich ubertragbar auf die Aggregation vieler Einzel-VaRs:20

V aRPortfolio =√

VaR · R ·VaRT . (3.7)

Dabei bezeichnet VaR den Vektor aller Einzel-VaRs und R die Korrelationsmatrix. Das

dargestellte korrelationsbasierte Varianz-Kovarianz-Verfahren besitzt zwei fundamenta-

le Schwachen, die zu erheblichen Fehlern in der Schatzung des Value-at-Risks fuhren

konnen. Zum einen stellt die Verknupfung der Einzel-VaRs mithilfe von Korrelationen

nur im Falle univariat normalverteilter Risikofaktoren eine geeignete Modellierung der

Abhangigkeitsstruktur dar. Eine solche Vereinfachung ist jedoch empirisch nicht haltbar.21

Zum anderen ist die rein korrelationsbasierte Aggregation der univariaten Verteilungen fur

die Modellierung nichtlinearer Abhangigkeiten ganzlich ungeeignet. Im Folgenden soll

daher ein Modell vorgestellt werden, das beide Schwachstellen in Ansatzen behebt. In die-

sem erfolgt die multivariate Modellierung der Zeitreihen mithilfe von Copula-Funktionen,

die die Abbildung der gesamten Abhangigkeitsstruktur ermoglichen.

19Vgl. Dowd (1998), S. 45.

20Vgl. Dowd (1998), S. 47.

21So sind Kapitalmarktdaten in der Regel leptokurtisch und nicht normalverteilt. Zudem weisen Kapital-marktdaten haufig Heteroskedastie auf, vgl. McNeil/Frey/Embrechts (2005), S. 117ff.



3.4.2 Copula-Modelle zur Ermittlung des Gesamtrisikos

Ziel dieses Kapitels ist die kompakte Darstellung der Grundlagen der Copula-Theorie

sowie des Copula-GARCH-Modells zur Bestimmung der multivariaten Verlustverteilung

eines Portfolios.

3.4.2.1 Grundlagen der Copula-Theorie

Sei F (x1, . . . , xd) die gemeinsame Verteilungsfunktion einer Menge von Zufallsvariablen

(X1, . . . , Xd) definiert durch:

F (x1, . . . , xd) = P (Xi ≤ xi; i = 1, · · · , d) . (3.8)

Eine d-dimensionale Copula-Funktion, verkurzt auch als Copula bezeichnet, ist eine Funk-

tion C auf dem d-dimensionalen Einheitskubus [0; 1]d in das Einheitsintervall [0; 1], die

eine d-dimensionale Verteilungsfunktion mit d univariaten und auf dem Intervall [0; 1]

gleichverteilten Randverteilungen darstellt.22 Die zentrale Bedeutung von Copula-Funk-

tionen fur die Modellierung von stochastischen Abhangigkeiten wird im Satz von Sklar

deutlich:23

Sei F eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Randverteilungen F1, . . . , Fd, dann exi-

stiert eine Copula-Funktion C : [0; 1]d → [0; 1], sodass fur alle x1, . . . , xd ∈ R gilt:

F (x1, . . . , xd) = C (F1(x1), . . . , Fd(xd)) . (3.9)

Sind die Randverteilungen stetig, so istC eindeutig, ansonsten istC eindeutig bestimmbar

auf dem kartesischen Produkt der Wertebereiche der Randverteilungen.24

Beschreibt F←i (ui) := inf {xi|Fi(xi) ≥ ui} die verallgemeinerte inverse Verteilungs-

funktion und wertet man die linke Seite von Gleichung (3.9) an den Stellen xi = F←i (ui)

mit 0 ≤ ui ≤ 1 fur i = 1, . . . , d aus, so ergibt sich:25

C(u1, . . . , ud) = F (F←1 (u1), . . . , F←d (ud)) . (3.10)

22Vgl. Nelsen (2006), S. 10f. und McNeil/Frey/Embrechts (2005), S. 185.

23Vgl. Sklar (1959).

24Fur einen Beweis vgl. Schweizer/Sklar (2005) oder Nelsen (2006), S 18.

25Vgl. Trivedi/Zimmer (2005), S. 10 oder McNeil/Frey/Embrechts (2005), S. 187.



Eine Copula ermoglicht somit eine im Vergleich zu herkommlichen, haufig auf Normal-

verteilungsannahmen beruhenden Modellen flexiblere Modellierung multivariater Ver-

teilungen. Hierfur werden zuerst die univariaten Randverteilungen parametrisch (bspw.

mithilfe einer Verteilungsannahme) oder aber nichtparametrisch geschatzt. Anschließend

werden die geschatzten Randverteilungen mithilfe einer unterstellten oder aber aus Ver-

gangenheitsdaten geschatzten Copula miteinander verknupft. Die Tatsache, dass die Rand-

verteilungen dabei aus verschiedenen Verteilungsfamilien stammen konnen, ist ein be-

achtlicher Vorteil fur die Modellflexibilitat.

Die verschiedenen, fur die Modellierung infrage kommenden Copulas werden nachfol-

gend dargestellt.

3.4.2.2 Parametrische Copulas

Die Kalibrierung eines Copula-GARCH-Modells zur Schatzung des Value-at-Risks erfor-

dert insbesondere die Auswahl einer parametrischen Funktionalform fur die (unbekannte)

wahre Copula. Im Folgenden sollen nun explizit zwei wichtige Familien von parametri-

schen Copulas vorgestellt werden: die elliptischen und archimedischen Copulas.26

Die Familie der elliptischen Copulas umfasst solche Funktionen, die aus multivariaten el-

liptischen Verteilungen, wie z. B. der multivariaten Normal- oder Student’s-t-Verteilung,

resultieren. Die Normal-Copula27 oder auch Gauß-Copula ist die Copula der multivariaten

Normalverteilung. Stellt F die Verteilungsfunktion ΦR der multivariaten Normalvertei-

lung mit Korrelationsmatrix R dar und F1, . . . , Fd jeweils die Verteilungsfunktion Φ der

univariaten Normalverteilung, so folgt aus der allgemeinen Form des Satzes von Sklar die

Normal-Copula als:28

CNR (u1, . . . , ud) = ΦR

(Φ−1(u1), . . . ,Φ

−1(ud)). (3.11)

Implizit ausformuliert mittels der Dichtefunktion der Normalverteilung fuhrt dies zu:

CNR =

1

(2π)d/2|R|1/2 ·

∫ Φ−1(u1)

−∞. . .

∫ Φ−1(ud)

−∞exp

(−1

2xT R−1x

)dx1 . . . dxd. (3.12)

Die Normal-Copula CNR ist durch die Matrix R parametrisiert. Im Falle normalverteil-

26Wir beschranken uns auf Copulas, die beliebig in hohere Dimensionen verallgemeinert werden konnen.

27Die Normal-Copula wurde schon fruh von z. B. Lee (1983) vorgestellt.




ter Randverteilungen (und nur in diesem Fall) ist R identisch zur Korrelationsmatrix

der aus der Verknupfung der Normal-Copula und der Randverteilungen resultierenden

d-dimensionalen Normalverteilung.29

Wie zur Herleitung der Normal-Copula kann abermals der Satz von Sklar verwendet wer-

den, um die univariaten t-verteilten Randverteilungen zu einer gemeinsamen multivaria-

ten t-Verteilung mit der Korrelationsmatrix R und der Anzahl an Freiheitsgraden ν zu

verbinden.30 Die t-Copula kann implizit notiert werden als:31

CtR,ν =

Γ(

ν+d2

)(νπ)d/2Γ

(ν2

)|R|1/2

·∫ t−1

ν (u1)

−∞. . .

∫ t−1ν (ud)

−∞

(1 +

1

νxT R−1x

)−( ν+d2 )

dx1 . . . dxd,

(3.13)

wobei tν die Verteilungsfunktion der univariaten t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden be-

zeichnet. Fur ν → ∞ konvergiert die t-Copula gegen die Normal-Copula.

Die vorgestellten elliptischen Copula-Funktionen zeichnen sich unter anderem durch ihre

Symmetrie in den oberen und unteren Randbereichen der gemeinsamen Verteilung aus.

Im Finanzbereich tritt jedoch haufig das Phanomen auf, dass große Verluste haufig ei-

ne großere Abhangigkeit aufweisen als Gewinne.32 Im statistischen Sinne liegt in diesen

Fallen eine Form der Randabhangigkeit des Zufallsvektors vor. So eignet sich bspw. ei-

ne Copula mit unterer Randabhangigkeit (engl.: lower tail dependence) besonders fur die

Modellierung von Realdaten, fur die extreme gleichzeitig auftretende Kursverluste wahr-

scheinlicher sind als entsprechende extreme Kursgewinne.

Die bisher erlauterten Copula-Funktionen konnen jedoch ausschließlich symmetrische

Formen der Randabhangigkeit abbilden (die Normal-Copula ist randunabhangig, die Stu-

dent’s t-Copula ist symmetrisch randabhangig). Daher sollen nun drei Funktionen aus der

Familie der archimedischen Copulas erortert werden, die auch das Modellieren von asym-

metrischen Abhangigkeiten in den Randbereichen der gemeinsamen Verteilung ermogli-

chen. Dabei verfugen samtliche hier vorgestellten archimedischen Copulas im Gegensatz

zu den elliptischen Copulas uber eine explizite Darstellung.

Die im oberen Bereich der gemeinsamen Verteilung randabhangige (upper tail dependent)

29Vgl. Kinnebrock (2005), Theorem 16 auf S. 21. Offensichtlich kann auch nur in diesem Fall die MatrixR mit der Korrelationsmatrix kalibriert werden.


31Vgl. Glauser (2003), S. 110.

32Vgl. Aschinger (1995).



Gumbel-Copula ist explizit gegeben durch:

CGuθ (u1, . . . , ud) = exp

⎡⎣−( d∑i=1

−(ln ui)θ

) 1θ

⎤⎦ . (3.14)

Fur θ = 1 ergibt sich die sogenannte Produkt-Copula, die stochastische Unabhangigkeit

der Randverteilungen impliziert.33

Die im unteren Bereich der gemeinsamen Verteilung randabhangige (lower tail depen-

dent) und somit insbesondere fur die Modellierung von Kapitalmarktdaten geeignete Clay-

ton-Copula34 hat die folgende explizite Form:35

CClθ (u1, . . . , ud) = (u−θ

1 + · · · + u−θd − d+ 1)−1/θ. (3.15)

Die Clayton-Copula ist lediglich fur θ > 0 definiert und ergibt fur θ → 0 wiederum die

Produkt-Copula.

Die randunabhangige Frank-Copula besitzt die explizite Form:36

CClθ (u1, . . . , ud) = −1

θln

(1 +

∏di=1(exp(−θui) − 1)

(exp(−θ) − 1)d−1

)(3.16)

mit θ > 0 fur d ≥ 2.

3.4.2.3 Parameterschatzung

Die dargestellten Copula-Funktionen sind samtlich durch einen endlich-dimensionalen

Vektor θ parametrisiert. Fur die Schatzung des Value-at-Risks mithilfe eines Copula-

GARCH-Modells ist somit die Schatzung der Copula-Parameter mithilfe vorliegender

Vergangenheitsdaten notwendig. Die bekanntesten Verfahren hierfur bauen auf dem Ma-

ximum-Likelihood-Prinzip auf.

Sollen die Parameter der Randverteilungen sowie der Copula in einem Schritt geschatzt

33Vgl. Nelsen (2006), S. 94 f.

34Vgl. Clayton (1973). Die Clayton-Copula wird auch als Cook-Johnson-Copula bezeichnet und wurdeursprunglich von Kimeldorf und Sampson untersucht, vgl. hierzu Cook/Johnson (1981) und Kimeldorf/-Sampson (1975).


36Vgl. Cherubini/Luciano/Vecchiato (2004), S. 186.



werden, so ist man auf die Exakte-Maximum-Likelihood-Schatzung (EML) gefuhrt. Sei

x = (x1, . . . , xd) eine Realisation des Zufallsvektors X = (X1, . . . , Xd). Ausgangspunkt

ist die Zerlegung

F (x1, . . . , xd|(ν1, . . . , νd), ξ) = Cξ (F1(x1|ν1), . . . , Fd(xd|νd)|ξ) (3.17)

der d-dimensionalen Verteilungsfunktion F von X in die Copula C mit dem Parame-

tervektor ξ und die univariaten Randverteilungen F1, . . . , Fd parametrisiert durch die

Parametervektoren ν1, . . . , νd. Sei dann cξ die Dichtefunktion der Copula Cξ. Die par-

tielle Ableitung der Zerlegung (3.17) nach samtlichen x1, . . . , xd fuhrt zu folgender d-

dimensionaler Dichtefunktion f des Zufallsvektors X:37

f(x1, . . . , xd|(ν1, . . . , νd), ξ) = cξ (F1(x1|ν1), . . . , Fd(xd|νd)|ξ) ·d∏

i=1

fi (xi|νi) . (3.18)

Die Parametervektoren ν1, . . . , νd sowie ξ konnen nun unter Ruckgriff auf T unabhangig

und identisch verteilte Realisierungen x11, . . . , xT1, x12, . . . , xT2, . . . , xTd des Zufallsvek-

tors X geschatzt werden. Dazu ist die Likelihoodfunktion

L ((ν1, . . . , νd), ξ|xti) = f (xti|(ν1, . . . , νd), ξ) (3.19)

zu maximieren. Die Log-Likelihoodfunktion ergibt sich dann zu:38

ln L ((ν1, . . . , νd), ξ|xti) =T∑

t=1

f (xt1, . . . , xtd|(ν1, . . . , νd), ξ) (3.20)

=T∑

t=1

ln cξ (F1(x1|ν1), . . . , Fd(xd|νd)|ξ) (3.21)

+T∑

t=1

d∑i=1

ln fi(xti|νi) (3.22)

Da die Exakte-Maximum-Likelihood-Methode die simultane numerische Optimierung al-

ler Parametervektoren durchfuhrt, ist sie sehr rechenintensiv.39 Um dieses Problem zu

beheben, wird in der nachfolgenden empirischen Untersuchung eine Abwandlung, die

37Vgl. Kinnebrock (2005), S. 47.

38Vgl. ebd.

39Vgl. Joe/Xu (1996), S. 4.



sogenannte Kanonische -Maximum-Likelihood-40 oder Pseudo-Maximum-Likelihood-Me-

thode41 verwendet.

Diese ersetzt in einem ersten Schritt die parametrische Modellierung der Randverteilun-

gen durch eine nichtparametrische mithilfe der empirischen Verteilungsfunktion. In einem

zweiten Schritt wird die Log-Likelihoodfunktion

ln L (ξ|xti) =

T∑t=1

ln cξ

(F1(xt1), . . . , Fd(xtd)|ξ

)(3.23)

maximiert, wobei mit F1, . . . , Fd die empirischen Randverteilungen der Beobachtungs-

werte bezeichnet werden. Da bei dieser Methode keinerlei Annahmen uber die parame-

trische Form der Randverteilungen zu treffen sind, kann dieses Schatzverfahren gerade

dann wertvolle Ergebnisse liefern, wenn das Hauptaugenmerk auf der Untersuchung der

Abhangigkeitsstruktur von Zufallsvariablen liegt.

3.4.2.4 Anpassungstests zur Prufung der Gute einer Copula-Schatzung

Sind die Parameter der Copula-Funktionen geschatzt, stellt sich das Problem, die Gute

der Schatzung zu beurteilen. Sei C die tatsachliche Copula-Funktion, so liegen folgende

Hypothese und Alternative im Mittelpunkt des Interesses:

H0 : C ∈ Λ = {Cθ|θ ∈ Θ} gegen H1 : C /∈ Λ = {Cθ|θ ∈ Θ} , (3.24)

mit Λ als Familie von Copula-Funktionen und Θ als moglichem Parameterraum. Wahrend

fur den univariaten Fall einfacher Verteilungsannahmen Anpassungstests, oder auch Good-

ness-of-fit-Tests gut erforscht sind,42 wird die Thematik fur Copula-Funktionen zurzeit

recht kontrovers diskutiert.43

In dieser Arbeit beschranken wir uns auf die Darstellung eines einfachen Anpassungs-

tests, der jedoch trotz seines simplen Aufbaus in Simulationsstudien sehr gute Ergebnisse

geliefert hat.44

40Vgl. Bouye/Durrleman/Nikeghbali/Riboulet/Roncalli (2000), S. 26 ff.

41Vgl. Genest/Rivest (1993).

42Vgl. bspw. Anderson/Darling (1954) oder Anderson (1962).

43Vgl. Genest/Rivest (1993), Breymann/Dias/Embrechts (2003), Fermanian (2005), Scaillet (2005), Ge-nest/Quessy/Remillard (2006), Genest/Remillard (2008).

44Vgl. Berg (2009). Dort findet sich ebenso eine Ubersicht weiterer Copula-Anpassungstests.



Typischerweise soll in den Anpassungstests keine Uberprufung der Randverteilungen

erfolgen. Das Interesse liegt allein auf der Anpassungsgute der Copula. Anstelle der

tatsachlichen Beobachtungswerte werden daher fur die Schatzung der Teststatistik Rang-

daten verwendet, die haufig als Pseudobeobachtungen der wahren Copula aufgefasst wer-

den.45 Sei X eine T × d-dimensionale Matrix von T Beobachtungswerten eines d-dimen-

sionalen Zufallsvektors, so wird diese in die ebenfalls T × d-dimensionale Matrix Y der

Pseudobeobachtungswerte mithilfe folgender Formel uberfuhrt:

Yj = (Yj1, . . . , Yjd) =

(Rj1

T + 1. . . ,

Rjd

T + 1

), (3.25)

wobei Rji den Rang von Xji unter (X1i, . . . , XT i) bezeichnet. Die Pseudobeobachtungs-

werte stimmen gleichzeitig mit den Eingangsdaten fur die Kanonische-Maximum-Likeli-

hood-Methode uberein.

Der hier vorzustellende Anpassungstest basiert auf einem Vergleich der empirischen Co-

pula nach Deheuvels mit der in der Hypothese unterstellten Copula-Funktion.46 Dabei sei

Deheuvels empirische Copula-Funktion gegeben durch:47

C(u) =1

T + 1

T∑j=1

1 {Yj1 ≤ u1, . . . , Yjd ≤ ud} , (3.26)

wobei Yj (Yj1 ≤ u1, . . . , Yjd) gegeben ist durch Gleichung (3.25), u = (u1, . . . , ud) ∈[0; 1]d und 1 die Indikatorfunktion bezeichne. Die empirische Copula-Funktion kann so-

mit als nichtparametrische Approximation der wahren Copula auf Basis einer i.i.d.-Stich-

probe angesehen werden.

Eine Cramer-von Mises-Teststatistik ist dann gegeben durch:48

CvM = T

∫[0;1]d

{C(Y ) − Cθ(Y )

}2

dC(Y ) =T∑

j=1

{C(Yj) − Cθ(Yj)

}2

, (3.27)

mit Y = (Y1, . . . , YT ) wobei C(Y ) die Funktionswerte der empirischen Copula und

Cθ(Y ) die Funktionswerte der in der Hypothese unterstellten und geschatzten Copula an

45Vgl. Genest/Remillard/Beaudoin (2009), S. 3.

46Vgl. Genest/Remillard (2008).

47Vgl. Deheuvels (1979).

48Vgl. Genest/Remillard/Beaudoin (2009). Ebenso denkbar sind Kolmogorow-Smirnow-Teststatistiken.



den rangtransformierten Daten Y darstellen. Da die Verteilung der Teststatistik unbekannt

ist, muss eine Testentscheidung mithilfe einer approximativen Bootstrap-Testverteilung

erfolgen. Auf die Darstellung der Verfahren zur Ermittlung approximativer p-Werte fur

die Testentscheidung soll an dieser Stelle verzichtet werden.49

3.4.2.5 Bestimmung des Portfolio-Value-at-Risks

Die Bestimmung des Portfolio-VaRs erfordert im nachsten Schritt zunachst die Schatzung

einer parametrischen Copula aus historischen Daten. Die Auswahl der parametrischen

Form der Copula sollte mithilfe des dargestellten Anpassungstests uberpruft werden. Aus

der geschatzten d-dimensionalen Copula-Funktion wird anschließend fur jeden Zeitpunkt

im Testzeitraum [t+ 1; t′] eine Realisationsmatrix

u =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝u

(1)1 u

(1)2 . . . u

(1)d

u(2)1

. . . . . ....

.... . . . . .

...

u(10.000)1 u

(10.000)2 . . . u

(10.000)d

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (3.28)

mit 10.000 Auspragungen der Copula simuliert.

Unter Ausnutzung des Zusammenhangs xi = F←i (ui) werden diese simulierten Realisa-

tionen der jeweiligen Copula-Funktion durch Einsetzen in die aus den simulierten Logren-

diten geschatzten empirischen Randverteilungen in simulierte Logrenditen der einzelnen

Anlageformen transformiert.

Die simulierten Logrenditen im Portfolio unter der durch die Copula dargestellten Ab-

hangigkeitsstruktur ergeben sich dann zu x(m)i = F←i (u

(m)i ) fur jedes i = 1, . . . , d und

m = 1, . . . , 10.000.50 Durch die Summenbildung∑d

i=1 x(m)i fur jedesm = 1, . . . , 10.000,

erhalt man 10 000 simulierte Logrenditen des gleichgewichteten Portfolios zum Zeitpunkt

t im jeweiligen Testzeitraum. Der Portfolio-VaR entspricht dem α-Quantil dieser simu-

lierten Verteilung. Die spezifische Abhangigkeit zwischen den Logrenditen wird hier-

bei bereits im ersten Schritt, bei der Simulation der Matrix aus der geschatzten Copula

berucksichtigt. Erst in einem zweiten Schritt werden diese Copula-Auspragungen mithilfe

der Randverteilungen in Logrenditen transformiert. Dies verdeutlicht die Eigenschaft von

49Eine umfangreiche Beschreibung dieser Verfahren findet sich in Genest/Remillard/Beaudoin (2009).

50Vgl. hierzu auch Rosenberg/Schuermann (2004), S. 13-15 und Franke/Hardle/Hafner (2007), S. 354-357.

3.5. EMPIRISCHE UNTERSUCHUNG 37

Copula-Funktionen, eine getrennte Betrachtung von Abhangigkeitsstruktur und Randver-

teilungen zu ermoglichen.

3.5 Empirische Untersuchung

Im Rahmen der empirischen Untersuchung soll uberpruft werden, inwiefern sich die theo-

retischen Vorzuge der Copula-GARCH-Modelle empirisch bestatigen lassen. Die Vorge-

hensweise gliedert sich dabei in eine Erlauterung und deskriptive Auswertung der Daten-

basis, gefolgt von einer Uberprufung auf Stationaritat und Normalverteilung der Zeitrei-

hen. Anschließend wird eine Quantifizierung des Risikos auf Einzelebene durchgefuhrt.

Das Portfoliorisiko wird daraufhin sowohl auf Basis der Korrelationen als auch unter An-

wendung des Copula-GARCH-Modells geschatzt.51

3.5.1 Datenbasis

Bisherige Studien uber die Vorteilhaftigkeit von Copula-Modellen zur Berechnung des

Portfolio-VaRs betrachten allesamt kleine Portfolios ausgewahlter Anlageformen. So zei-

gen bspw. Kole/Koedijk/Verbeek, dass die Abhangigkeitsstruktur zwischen einem Aktien-,

einem Anleihen- sowie einem REITS-Index adaquat durch die Student’s t-Copula mo-

delliert werden kann.52 Vergleichbare Studien von Junker/May betrachten neun bivariate

Portfolios deutscher Aktien und Euro Swap Rates, Malevergne/Sornette passen elliptische

Copulas an insgesamt 18 Wechselkurse, amerikanische Aktien und Rohstoffpreise an.53

Die genannten Studien finden ebenfalls eine Vorteilhaftigkeit der t-Copula.

Die nachfolgende empirische Untersuchung bezweckt, die Ergebnisse der genannten Stu-

dien an verschiedenen Stellen entscheidend zu erweitern. Zum einen soll sich die vorlie-

gende Untersuchung nicht auf die Darstellung von Fallen anekdotischer Evidenz stutzen,

sondern im Stile einer Simulationsstudie verallgemeinerbare Ergebnisse liefern. Zu die-

sem Zweck werden insgesamt 100 zufallig zusammengestellte Aktienportfolios uber acht

Zeitfenster betrachtet. Somit ergeben sich insgesamt 800 Schatzungen des Value-at-Risks

mithilfe des Copula-GARCH-Modells. Der vorliegende Beitrag stellt somit die bisher

umfangreichste Untersuchung der VaR-Berechnung mithilfe von Copulas dar.

51Samtliche Berechnungen wurden mithilfe der freien Statistiksoftware R Version 2.6.0 durchgefuhrt.

52Vgl. Kole/Koedijk/Verbeek (2007).

53Vgl. Junker/May (2005) und Malevergne/Sornette (2003).


Zum anderen legt der vorliegende Beitrag einen besonderen Schwerpunkt auf die Fra-

ge, inwiefern sich die Wahl des zu verwendenden Risikomaßes und die Wahl des Be-

obachtungszeitraumes auf die Ergebnisse der Risikomodelle sowie des Anpassungstests

auswirken. Im Rahmen dieser Untersuchung werden die taglichen Schlusskurse von 18

Werten des DAX30 fur die Schatzung des Value-at-Risk verwendet.54 Aus diesen 18 Wer-

ten werden zufallig 100 bivariate nichtidentische Portfolios zusammengestellt, fur die das

Portfoliorisiko im Zeitablauf bestimmt werden soll. Die zufallige Auswahl der Portfo-

lios wurde bewusst gewahlt, um so eine mogliche Verzerrung der Ergebnisse durch die

bewusste Auswahl bestimmter Aktien zu vermeiden.

Der Betrachtungszeitraum erstreckt sich vom 3. Januar 1995 bis einschließlich zum 2.

Juni 2008 und umfasst somit insgesamt 3500 Handelstage. Zur Untersuchung der Fra-

ge, wie sich die Gute der VaR-Schatzungen im Zeitablauf verandert, werden die VaR-

Schatzungen fur insgesamt acht verschiedene, jeweils um 250 Tage rollierende Zeitfenster

im Beobachtungszeitraum durchgefuhrt. Dabei besteht jedes Zeitfenster aus einem 1000

Handelstage umfassenden Schatz- und einem 750 Handelstage umfassenden Prognose-

zeitraum. Insgesamt ergeben sich somit 800 Simulationen, in denen das Portfoliorisiko

gemessen wird.

Aus den Tageskursen der Aktien werden in einem ersten Schritt Logrenditen auf Tagesba-

sis berechnet. Die Logrenditen werden im nachsten Schritt mithilfe des Jarque-Bera- und

des Ljung-Box-Tests zu den Lags 1 und 10 auf Normalverteilung bzw. Autokorrelation

getestet. Zudem wird mit Engles LM-Test die Hypothese uberpruft, dass die vorliegen-

den Zeitreihen einem ARCH-Prozess folgen. Tabelle 3.1 zeigt die deskriptiven Statistiken

sowie die Ergebnisse der genannten Tests.

Die deskriptiven Daten weisen die ublichen bei Kapitalmarktdaten beobachtbaren stili-

sierten Fakten auf. Neben einer vernachlassigbaren mittleren Rendite weisen samtliche

Kursreihen eine starke Wolbung und Schiefe der Verteilung auf. Folglich verwirft auch

der Jarque-Bera-Test fur jede Zeitreihe die Hypothese normalverteilter Logrenditen. Au-

ßerdem zeigt der LM-Test fur jeden Kurs das Vorhandensein bedingter Heteroskedasti-

zitat der Daten an, sodass fur jeden Kurs im nachsten Schritt ein GARCH(1,1)-Prozess

als univariates Prognosemodell verwendet werden soll.

54Die Auswahl der Werte erfolgte aufgrund der Unvollstandigkeit einiger Kurse innerhalb des langenZeitfensters.


Des

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Stat

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0,00

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0,02

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489

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0,00

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000

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000

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000

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0,00

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3.5.2 Univariate Schatzung

Aufgrund der Testergebnisse des vorherigen Abschnitts werden fur die Anpassung der

Logrenditen jeder Anlageform GARCH(1,1)-Prozesse mit t-verteilten Residuen verwen-

det.5556 Auf Basis dieser univariaten Modellierung erfolgt die beschriebene Monte-Carlo-

Simulation: Fur jede Aktie werden 10.000 Prognosewerte fur die 750 Zeitpunkte des Test-

zeitraums simuliert.

Aus den empirischen Verteilungen dieser simulierten Logrenditen wird im nachsten Schritt

der jeweilige Einzel-VaR bzw. Einzel-CVaR zum Signifikanzniveau von einem Prozent

fur jeden Zeitpunkt t+ i mit i = 1, . . . , 750 wie zuvor beschrieben berechnet.

3.5.3 Multivariate Schatzung

Als Benchmark der Untersuchung sollen die mittels Varianz-Kovarianz-Ansatz ermittel-

ten Portfolio-VaRs und Portfolio-CVaRs dienen.

Im nachsten Schritt werden die Gauß-, Student’s t-, Clayton-, Frank- und Gumbel-Copula

mithilfe des Kanonischen-Maximum-Likelihood-Schatzers an die Daten des Schatzzeit-

raumes angepasst. Mithilfe jeder dieser angepassten Copulas wird dann fur jeden Zeit-

punkt des Testzeitraumes ein Portfolio-VaR und Portfolio-CVaR berechnet.

Die so bestimmten Schatzungen fur den Value-at-Risk bzw. Conditional-Value-at-Risk

des Portfolios zum Signifikanzniveau von einem Prozent werden anschließend im Back-

testing mit der tatsachlichen Logrendite des Portfolios verglichen. Im Falle des Value-

at-Risks werden uber den gesamten Testzeitraum die tatsachlichen Uberschreitungen des

Value-at-Risks gezahlt, die im Falle einer korrekten Schatzung genau acht betragen. Fur

die Beurteilung der Schatzgute des Conditional-Value-at-Risks wird jeweils das uber den

gesamten Testzeitraum bestimmte arithmetische Mittel der tatsachlichen CVaRs mit dem

analog berechneten Mittel der geschatzten CVaRs verglichen. Im Falle einer korrekten

Schatzung sollten sich diese beiden Mittel entsprechen.

Zunachst sollen die VaR- und CVaR-Schatzungen samtlicher Modelle uber alle 800 Si-

mulationen hinweg zum Zwecke einer vereinfachten Interpretationsmoglichkeit grafisch

55Vgl. auch Bollerslev/Wooldridge (1992) zur GARCH-Modellierung mit t-verteilten Residuen.

56Man beachte, dass das korrelationsbasierte VaR-Modell streng genommen nicht auf t-verteilte Logren-diten angewendet werden darf. Gangigen Verfahren in der Praxis folgend werden die univariaten VaRs dert-verteilten Aktienkurse jedoch trotzdem uber die linearen Korrelationskoeffizienten miteinander verbun-den, vgl. Dowd (1998).


dargestellt werden. Hierfur werden in den Abbildungen 3.1 und 3.2 die Dichten der je-

weils um den tatsachlichen Wert korrigierten aus den Modellen resultierenden VaR-Uber-

schreitungen (Abbildung 3.1) und durchschnittlichen CVaRs gezeigt. Im Falle, dass ein

Modell optimale Schatzergebnisse liefert, sollten die korrigierten Risikoschatzungen nahe

um null streuen, wobei positive Werte (z. B. eine aus dem korrelationsbasierten Modell re-

sultierende Anzahl von 12 VaR-Uberschreitungen) eine Unterschatzung des tatsachlichen

Risikos (8 VaR-Uberschreitungen) anzeigen.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.5

1.0

1.5

Korrelationsmodell

VaR−Überschreitungen−8

Dic

hte

0 20 40 60

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

Gauß−Copula


Dic

hte

0 20 40 60

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

Student’s t−Copula


Dic

hte

0 20 40 60

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Clayton−Copula


Dic

hte

0 20 40 60

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Frank−Copula


Dic

hte

−8.0 −7.5 −7.0 −6.5 −6.0

05

1015

Gumbel−Copula


Dic

hte

Abbildung 3.1: Geschatzte Dichten (Gauß-Kern) der mit den vorgestellten Modellengeschatzten VaR-Uberschreitungen korrigiert um die erwartete Anzahl an VaR-Uber-schreitungen.


−0.30 −0.20 −0.10 0.00

02

46

810

12

Korrelationsmodell

CVaR−tatsächlicher CVaR

Dic

hte

−0.10 −0.05 0.00 0.05

05

1015

20

Gauß−Copula


Dic

hte

−0.10 −0.05 0.00 0.05

05

1015

Student’s t−Copula


Dic

hte

−1.0 −0.6 −0.2 0.0

02

46

Clayton−Copula


Dic

hte

−0.10 −0.05 0.00 0.05

05

1015

20Frank−Copula


Dic

hte

−1.5 −1.0 −0.5 0.00.

00.

51.

01.

52.

02.

53.

03.

5

Gumbel−Copula


Dic

hte

Abbildung 3.2: Geschatzte Dichten (Gauß-Kern) der mit den vorgestellten Modellengeschatzten durchschnittlichen CVaRs korrigiert um den tatsachlichen durchschnittlichenCVaR im Betrachtungszeitraum.

In Abbildung 3.1 ist zu erkennen, dass das korrelationsbasierte Modell sowie die Gumbel-

Copula das Risiko extrem uberschatzen und regelmaßig zu konservative VaRs ermitteln.

Die vier ubrigen parametrischen Copula-Modelle hingegen sind weniger konservativ in

ihrer Risikoschatzung. Die geschatzten Dichten zeigen jedoch auch, dass die pauscha-

le Verwendung einer einzelnen parametrischen Copula zwar in der Erwartung zu besse-

ren Ergebnissen fuhren kann als dies mit dem korrelationsbasierten Modell der Fall ist,

die große Streuung der Schatzungen jedoch fur einzelne Portfolios zu erheblichen Un-


terschatzungen des tatsachlichen Risikos fuhren kann (bspw. bis zu 60 VaR-Uberschrei-

tungen bei einer zugelassenen Anzahl von 8). Ein ahnliches Bild zeigt sich in Abbildung

3.2 fur die geschatzten CVaRs: Wahrend das Korrelationsmodell und die Gumbel-Copula

das Risiko viel zu konservativ schatzen, streuen die Schatzwerte der ubrigen Modelle sehr

stark um den optimalen Wert 0, bei dem der tatsachliche und der geschatzte durchschnitt-

liche CVaR ubereinstimmen.

Fur die Uberprufung der ersten Hypothese H1 (es existiert stets ein Copula-GARCH-

Modell, das bessere Risikoschatzwerte liefert als das korrelationsbasierte Modell) wer-

den fur alle 800 simulierten Portfolios die VaR-Uberschreitungen bzw. durchschnittlichen

CVaR-Schatzungen samtlicher Modelle miteinander verglichen und das jeweilig optimale

Modell ermittelt. In der folgenden Tabelle 3.2 wird die Anzahl der Falle, in denen eines

der funf parametrischen Copula-GARCH-Modelle bessere Risikoschatzungen liefert, in

Relation zur Gesamtzahl an Simulationen (800) gesetzt. Wir unterscheiden zudem zwi-

schen den Fallen, in denen das Copula-Modell eindeutig besser ist, und den Fallen, in

denen das Copula-Modell ggf. genauso gute Ergebnisse liefert wie das korrelationsba-

sierte Modell.

Die in Tabelle 3.2 angegebenen Anteile zeigen, dass in uber 88% aller Simulationen

eine parametrische Copula-Form existiert, sodass das Copula-GARCH-Modell im Ver-

gleich zum korrelationsbasierten Modell eine bessere oder zumindest eine genauso gu-

te VaR-Schatzung ermoglicht. In der Mehrzahl der simulierten Portfolios (58, 25%) lie-

fert eines der Copula-GARCH-Modelle zudem eine eindeutig bessere VaR-Schatzung als

das klassische Korrelationsmodell. Ein noch deutlicheres Bild zeigt sich fur die Bestim-

mung des CVaR: In uber 92% aller Simulationen verbessert das Copula-GARCH-Modell

(mit der optimal gewahlten, aber ex ante unbekannten parametrischen Copula-Form) die

CVaR-Schatzung des korrelationsbasierten Modells, ohne das tatsachliche Risiko zu un-

terschatzen. Die in Hypothese H1 formulierte Vorteilhaftigkeit des Copula-GARCH-Mo-

dells kann somit unter der Bedingung bestatigt werden, dass jeweils die optimale parame-

trische Copula-Form gewahlt wurde.

Im Folgenden betrachten wir nun die Frage, in wie viel Prozent aller 800 Simulationen

eine elliptische Copula bessere VaR- oder CVaR-Schatzung liefert als das korrelations-

basierte sowie samtliche archimedischen Modelle (Hypothese H2). Die Ergebnisse der

Uberprufung der Hypothese werden in Tabelle 3.3 gezeigt.

Die Ergebnisse zeigen, dass in ca. 41% aller Simulationen ein elliptisches Modell exi-

stiert, das zumindest gleich gute Ergebnisse bzgl. des Value-at-Risks liefert wie die ubri-

gen Modelle. In gerade einmal einem Viertel aller Simulationen kann ein elliptisches


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(Hyp

othe

se2)

.


Modell die VaR-Schatzung des korrelationsbasierten Modells verbessern, obwohl ein ar-

chimedisches Modell unter Umstanden eine gleichermaßen gute Schatzung liefert. Ver-

langen wir stattdessen, dass die elliptischen Modelle bessere VaR-Schatzungen als archi-

medische und korrelationsbasierte Modelle berechnen sollen, so erfolgt dies nur noch in

vernachlassigbaren 3% aller simulierten Portfolios. Betrachten wir die gleiche Fragestel-

lung vor dem Hintergrund der CVaR-Schatzungen, so sehen wir ein noch deutlicheres

Bild: Fur gerade einmal zwei der 800 simulierten Portfolios (0, 25%) kann mit einem

elliptischen Modell eine bessere oder gleich gute CVaR-Schatzung erfolgen als mit ei-

nem der ubrigen Modelle. Die unterstellte Vorteilhaftigkeit der elliptischen Copulas muss

daher abgelehnt werden. Zudem stellt sich heraus, dass die elliptischen Copulas nur im

Falle der VaR-Schatzung zumindest in fast jeder zweiten Simulation mit den ubrigen Mo-

dellen vergleichbare Ergebnisse erzielen. Fur die Bestimmung des CVaR erscheinen sie

hingegen als vollig ungeeignet.

Sollte ein elliptisches Modell vorteilhaft sein, so schließt sich die Frage an, welche der

beiden vorgestellten Copulas (Gauß- oder Student’s t-) fur die Risikoschatzung besser

geeignet ist.

Zur Klarung dieser Frage wurden die Simulationen, in denen ein elliptisches Copula-

GARCH-Modell eine wenigstens gleich gute Risikoschatzung wie die ubrigen Modelle

lieferte, weiter unterteilt. Tabelle 3.4 zeigt den Anteil der Falle, in denen entweder die

Gauß-, Student’s t- oder beide Copulas gleichzeitig die optimale VaR-Schatzung ergeben

haben (Hypothese H3).57

Die in Tabelle 3.4 gezeigten Ergebnisse zeigen wiederum ein deutliches Bild: In der Mehr-

zahl der Falle (73, 5%), in denen, neben anderen Modellen, auch ein elliptisches Modell

die beste VaR-Schatzung liefert, resultieren aus beiden Modellen dieselben Schatzergeb-

nisse. In den verbleibenden Fallen waren die Gauß- und Student’s t-Copula zu gleichen

Teilen optimal. Eine Vorteilhaftigkeit der Gauß- bzw. Student’s t-Copula kann somit nicht

festgestellt werden.

Die Ergebnisse in Tabelle 3.3 haben gezeigt, dass von einer generellen Vorteilhaftigkeit

der elliptischen Copulas nicht ausgegangen werden kann. Somit soll im nachsten Schritt

untersucht werden, welche parametrische Copula-Form uber alle 800 Simulationen gese-

hen die besten Risikoschatzungen leistet. Hierfur werden in Tabelle 3.5 die Anteile der

Falle, in denen ein vorgegebenes parametrisches Copula-GARCH-Modell das Risiko op-

57In beiden Simulationen, in denen eine elliptische Copula eine bessere oder gleich gute CVaR-Schatzungwie die ubrigen Modelle lieferte, war jeweils die Student’s t-Copula optimal. Aus diesem Grund wurde aufeine tabellarische Darstellung verzichtet.


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Cop

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(Hyp

othe

se3)


timal bzw. ggf. gleich gut wie weitere Modelle schatzt, ohne das Risiko zu unterschatzen,

an der Gesamtzahl an Simulationen berechnet.

Im Falle der VaR-Berechnung zeigt sich ein differenziertes Bild: Wahrend in der Mehr-

zahl aller Simulationen (56%) eine Frank-Copula die beste Schatzung der VaR-Uber-

schreitungen vornimmt, liefern ebenfalls die elliptischen und die Clayton-Copulas in im-

merhin noch jeder dritten bzw. vierten Simulation akzeptable Ergebnisse. Die Gumbel-

Copula schneidet hingegen vergleichsweise schlecht ab, kann mit ihr doch in gerade

einmal 15, 25% aller Simulationen eine VaR-Schatzung vorgenommen werden, die ein

besseres oder gleich gutes Ergebnis wie die ubrigen Modelle liefert.

Im Falle der CVaR-Berechnung zeigt sich, dass die Frank-Copula in der Mehrzahl al-

ler Simulationen (80, 25%) den CVaR im Vergleich zu allen anderen Modellen am be-

sten schatzt. Insbesondere liegt in all diesen Fallen der mithilfe des Copula-GARCH-

Modells geschatzte CVaR durchschnittlich um absolut 2, 6897% naher am tatsachlichen

CVaR als der mit dem korrelationsbasierten Modell geschatzte Wert. Dies bedeutet ins-

besondere, dass die Verwendung der Frank-Copula in diesen Fallen die zu konservative

CVaR-Schatzung des korrelationsbasierten Modells signifikant verbessern kann.

Nach der Analyse der Frage nach der optimalen parametrischen Copula-Form soll nun

die Hypothese uberpruft werden, dass die zuvor festgestellte bzgl. der VaR-Schatzung

optimale Copula-Form fur ein festgehaltenes Portfolio im Zeitablauf konstant bleibt (Hy-

pothese H4). Ware dies der Fall, wurde dies insbesondere bedeuten, dass die Wahl der

zu verwendenden Copula-Form rein auf Basis der Ergebnisse des Backtestings der Vor-

periode geschehen konnte. Die aus den Simulationen ermittelten Wahrscheinlichkeiten

einer Veranderung der optimalen parametrischen Copula-Form von einem Beobachtungs-

zeitraum auf den nachfolgenden werden in Tabelle 3.6 dargestellt. Wurde Hypothese H4

Bestand haben, so musste die Hauptdiagonale der Migrationsmatrix die großten Wahr-

scheinlichkeiten enthalten.

Wie aus Tabelle 3.6 zu entnehmen ist, sind die Migrationswahrscheinlichkeiten uber al-

le Kombinationsmoglichkeiten der optimalen parametrischen Copulas in den Beobach-

tungszeitraumen T und T +1 annahernd gleich groß. Eine zeitliche Invarianz der optima-

len parametrischen Copula-Form ist nicht feststellbar. Vielmehr scheint sich die optimale

Copula-Form zufallig im Zeitablauf zu entwickeln, sodass Hypothese H4 abzulehnen ist.

Im nachsten Schritt soll nun die Frage geklart werden, wie das jeweilig optimale Copula-

Modell im Vorfeld der Schatzung allein auf Basis der Daten des Schatzzeitraumes er-

mittelt werden kann (Hypothese H5). Zu diesem Zweck wird die Anpassungsgute jedes


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a-Fo

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n.


Copula-Modells mithilfe des zuvor beschriebenen, auf der empirischen Copula basieren-

den GoF-Tests beurteilt. Die fur alle Simulationen zusammengefassten Ergebnisse wer-

den in den Tabellen 3.7 und 3.8 gezeigt.

Die Ergebnisse zeigen ein erstaunlich schlechtes Bild: In lediglich 4, 48% (VaR-Schat-

zung) bzw. 0, 15% (CVaR-Schatzung) aller Simulationen, in denen mind. ein Copula-

Modell optimal ist, wird die optimale parametrische Copula-Familie als einzige vom

GoF-Test nicht abgelehnt. In weiteren 36, 47% (VaR-Schatzung) bzw. 10, 23% (CVaR-

Schatzung) werden weitere (suboptimale) Copula-Modelle ebenfalls nicht abgelehnt, so-

dass eine eindeutige Entscheidung nicht mehr moglich ist. Viel schwerwiegender ist je-

doch, dass das bzgl. der VaR-Schatzung optimale Copula-Modell in mehr als jedem zwei-

ten Fall, in dem mind. ein Copula-Modell optimal ist, vom GoF-Test abgelehnt wird und

somit eine falsche Wahl der parametrischen Copula-Familie empfohlen wird.

Zudem zeigt sich, dass der GoF-Test ausschließlich im Falle, dass eine elliptische Co-

pula das optimale Modell liefert, die richtige Entscheidung trifft. Wird die optimale VaR-

Schatzung dagegen durch die Frank- oder Clayton-Copula geliefert, so lehnt der GoF-Test

dieses Modell in fast allen Fallen falschlicherweise ab. Fur die Schatzung des CVaRs zeigt

sich ein noch deutlicheres Bild: Die in der Mehrzahl der Simulationen optimale Frank-

Copula wird fast jedes Mal zugunsten eines elliptischen Modells abgelehnt.

Somit kann in dieser Arbeit zum ersten Mal verlasslich gezeigt werden, dass ein Vertrauen

auf einen Copula-Anpassungstest in zahlreichen Fallen zu einer falschen Wahl der para-

metrischen Copula-Form und somit zu erheblichen Fehleinschatzungen des tatsachlichen

Risikos fuhren kann.

Die festgestellte Unzulanglichkeit des verwendeten Anpassungstests soll daher an die-

ser Stelle ausfuhrlicher diskutiert werden, stellt sie doch ein vollstandig kontrares Er-

gebnis zu den Befunden der bislang veroffentlichten Simulationsstudien von Genest/Re-

millard/Beaudoin und Berg zu Copula-GoF-Tests dar. In diesen wurde insbesondere fur

den in dieser Arbeit verwendeten Anpassungstest eine hohe Teststarke festgestellt, die

sich jedoch nicht in den VaR- bzw- CVaR-Schatzungen widerspiegelte. Ein Grund hierfur

mag sein, dass bisherige Arbeiten die Teststarke der Copula-Anpassungstests ausschließ-

lich auf Basis von Daten, die aus einer eindeutig vorgegebenen parametrischen Copu-

la simuliert wurden, getestet haben. Diese Laborbedingungen ungestorter Daten unter

einer klar definierten Abhangigkeitsstruktur konnten daher die Ergebnisse der Simula-

tionsstudien verzerrt haben. Ein weiterer Grund fur die gefundene Schwache der Test-

verfahren mag sein, dass samtliche bislang vorgeschlagenen Copula-GoF-Tests die Gute

der Anpassung auf Basis samtlicher Beobachtungswerte und somit auf Basis der ge-


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.

3.6. ZUSAMMENFASSUNG 54

samten gemeinsamen Verteilung beurteilen, die Risikoschatzung mithilfe des VaRs bzw.

CVaRs jedoch lediglich die Randbereiche der Verteilung betreffen. Somit sollten zukunf-

tige Arbeiten sich mit der Frage beschaftigen, wie insbesondere die Anpassungsgute ei-

nes Copula-Modells im fur die VaR-Bestimmung interessierenden Randbereich der ge-

meinsamen Verteilung beurteilt werden kann und wie ggf. existierende Anpassungstests

hierfur angepasst werden mussten. Im Zusammenhang mit den schlechten Ergebnissen

des Anpassungstests sei zusatzlich darauf hingewiesen, dass ein heuristisches Vorge-

hen zur Auswahl der parametrischen Copula (Verwendung einer einzigen parametrischen

Copula fur samtliche Portfolios oder aber Auswahl der parametrischen Form auf Basis

der Backtesting-Ergebnisse) aufgrund der Ergebnisse dieser Studie keinesfalls empfohlen

werden kann.

Schließlich soll die Hypothese untersucht werden, ob die zu den Hypothesen H1 bis H5

getroffenen Aussagen invariant gegenuber einer Veranderung des verwendeten Risikoma-

ßes sind (Hypothese H6). Die bisherigen Ergebnisse zeigen eindeutig, dass die Optima-

litat einzelner parametrischer Copulas stark vom gewahlten Risikomaß abhangt: Wahrend

bei der VaR-Schatzung sowohl mit elliptischen als auch archimedischen Copula-GARCH-

Modellen in jeder zweiten durchgefuhrten Simulation eine Verbesserung der Risikoschat-

zung erreicht werden konnte, fuhrte bei der CVaR-Bestimmung ausschließlich die Frank-

Copula in uber 80% aller Simulationen zu einer solchen Verbesserung. Die angesprochene

Tendenz des Anpassungstests, die archimedischen zugunsten der elliptischen Modelle ab-

zulehnen, fuhrte zudem zu einem besonders schlechten Abschneiden des Anpassungstests

beim CVaR-Backtesting. Zusammengefasst lasst sich somit sagen, dass die Vorteilhaftig-

keit bestimmter parametrischer Copulas und die Ergebnisse des Anpassungstests stark

von der Wahl des Risikomaßes abhangen und Hypothese H6 somit abzulehnen ist.

3.6 Zusammenfassung

Im Rahmen des vorliegenden Beitrags wurde zunachst der Aufbau eines Copula-GARCH-

Modells zur Schatzung des Gesamtrisikos eines Aktienportfolios erlautert. Anschließend

wurde der Value-at-Risk und Conditional-Value-at-Risk fur insgesamt 800 Portfolios, be-

stehend verschiedenen im DAX notierter Aktien, berechnet.

Die durchgefuhrten Simulationen zeigen, dass das vorgestellte Copula-GARCH-Modell

in fast jeder zweiten Simulation bessere VaR-Schatzungen und in fast 80% aller Simu-

lationen bessere CVaR-Schatzungen erzielen kann als ein traditionelles korrelationsba-

3.6. ZUSAMMENFASSUNG 55

siertes Modell, falls die parametrische Funktionalform der Copula richtig gewahlt wird.

Dieses erste zentrale Ergebnis ist zudem relativ robust gegenuber einer Veranderung des

Schatzzeitraumes. Im Gegensatz zu bisherigen Studien, in denen vergleichsweise wenige

Portfolios von Marktpreisrisiken betrachtet wurden, bestatigt die vorliegende Untersu-

chung die oftmals behauptete generell gultige Vorteilhaftigkeit elliptischer Copulas nicht.

Vielmehr erwies sich die archimedische Frank-Copula insbesondere fur die Schatzung

des CVaRs als bestes Modell. Die Vorteilhaftigkeit der verschiedenen Copula-Modelle

schwankte jedoch mit der Wahl des Risikomaßes und des Schatzzeitraumes, ein Phano-

men, das in keiner der genannten bisherigen Studien untersucht worden ist.

Neben der generellen Vorteilhaftigkeit des Copula-GARCH-Modells stand insbesondere

die Modellwahl im Fokus der empirischen Untersuchung. Der in diesem Beitrag verwen-

dete, auf der empirischen Copula basierende Anpassungstest erwies sich jedoch als ver-

gleichsweise schwach in seiner Fahigkeit zur Wahl des optimalen Modells. In fast allen

Fallen lieferte der GoF-Test entweder eine mehrdeutige oder eine falsche Empfehlung.

Dieses Ergebnis ist umso verbluffender, wenn man bedenkt, dass gerade dieser Teststatis-

tik in Simulationsstudien eine besondere Gute bescheinigt wurde. Fur praktische Zwecke

bedeutet dies, dass die Auswahl einer parametrischen Copula mit außerster Sorgfalt vor-

genommen werden sollte und das gewahlte Modell genauestens durch ein entsprechendes

Backtesting auf seine Tauglichkeit uberpruft werden sollte.

Insgesamt zeigt sich, dass das vorgestellte Copula-GARCH-Modell eine erhebliche Ver-

besserung gegenuber korrelationsbasierten Modellen zur Schatzung des Value-at-Risks

darstellt, sofern die parametrische Copula-Form ex ante richtig gewahlt wurde. Obwohl

pauschalisierte Aussagen uber die Optimalitat einzelner parametrischer Copulas fur die

VaR-Schatzung zu erheblichen Fehlern fuhren konnen, ist zumindest fur die Schatzung

des CVaRs die Verwendung der Frank-Copula nicht generell abzulehnen. Erheblicher For-

schungsbedarf besteht jedoch weiterhin hinsichtlich der Frage, wie das optimale Copula-

GARCH-Modell ex ante bestimmt werden kann und wie die bis dato vorgeschlagenen

Anpassungstests weiter verbessert werden konnen.

Kapitel 4

Copula Parameter Estimation -

Numerical Considerations And

Implications For Risk Management

Revise and resubmit:

Journal of Risk.

4.1 Introduction

Copula models have become a major tool in statistics for modeling and analysing depen-

dence structures between random variables due to fact that in contrast to linear correlation

a copula captures the complete dependence structure inherent in a set of random variables

(see Embrechts et al., 2002). Particularly in finance, copulas have attracted much attention

in the analysis of contagion between financial markets (see Rodriguez, 2007; Chen and

Poon, 2007), the analysis of risky portfolios of stocks (see e.g. Malevergne and Sornette,

2003; Junker and May, 2005) or the modeling of credit default (see Li, 2000). Copu-

la Parameter estimation in these studies is usually performed by a fully parametric (ML),

stepwise parametric (the so called inference function for margins or IFM method) or semi-

parametric maximum-likelihood approach depending on the information on the marginal

distributions. Kim et al. (2007) show in a recent simulation study that the semiparame-

tric pseudo-maximum-likelihood (PML) approach in which the marginal distributions are

substituted by their empirical counterparts with the copula parameters being subsequent-

ly estimated via maximum-likelihood is much better suited for parameter estimation than

the fully or stepwise parametric approach.

In contrast to the different ML-estimators, minimum-distance (MD) estimators for copu-

las have attracted only little attention. In one of the few papers, Biau and Wegkamp (2005)

derive an upper bound for the minimumL1-distance estimate for parametric copula densi-

56

4.1. INTRODUCTION 57

ties. Tsukahara (2005) explores the empirical asymptotic behaviour of Cramer-von-Mises

(CvM) and Kolmogorov-Smirnov (KS) distances between the hypothesised and empirical

copula in a simulation study. He finds that the PML-estimator should be preferred to the

MD-Kolmogorov-Smirnov estimator. His analysis, however, is only based on a sample si-

ze of 100 and three choices of parameters and does not include the Gaussian and Student’s

t copula which are of particular interest in finance. In a related paper, Mendes et al. (2007)

derive weighted minimum-distance estimators based on the empirical copula process. In

their simulation study they show that these MD-estimators are robust against contamina-

tions of the data. A common feature of these studies is, however, that they all consider

only MD-estimators based on the empirical copula process. Even more interestingly, the

question whether the use of a particular estimation method has any implications on the

computation of the Value-at-Risk (VaR) of a portfolio by the use of copulas has not been

addressed in literature.

The purpose of this paper is to present a comprehensive simulation study on the finite sam-

ple properties of minimum-distance and the pseudo-maximum-likelihood estimators for

bivariate and multivariate parametric copulas. For five popular parametric copulas, classi-

cal maximum-likelihood is compared to a total of nine different minimum-distance esti-

mators. In particular, I consider CvM-, KS- and L1-variants of the CvM-statistic based on

the empirical copula process, Kendall’s dependence function and Rosenblatt’s probability

integral transform. While the importance of copula selection and misspecification of the

copula (see e.g. Durrleman et al., 2000; Ane and Kharoubi, 2003) as well as goodness-of-

fit tests have been intensely discussed (see e.g. Fermanian, 2005; and Genest et al., 2009),

the finite sample properties especially of MD-estimators for copula parameters have not

been considered in detail in the literature.

Furthermore, the results on the finite sample properties of the ten different estimators are

extended by a second simulation study using real data. In this second simulation study, I

estimate the VaR and Expected Shortfall (ES) of 100 different portfolios using each of the

ten estimators. By comparing the resulting VaR- and ES-estimate, this paper is the first to

assess the practical relevance of the estimators’ numerical properties for the measurement

of portfolio risk with copulas. This analysis extends previous results from Gatfaoui (2005)

where an MD-estimator is applied to credit and market risks without any further analysis

of the numerical properties and applicability in high dimensions of the optimisation.

This paper is closely related to the works of Tsukahara (2005) and Mendes et al. (2007),

though I extend their simulation studies in a number of important ways: Firstly, the para-

metric copulas considered in this study include both elliptical and archimedean copulas in

4.2. COPULA PARAMETER ESTIMATION 58

order to cover a broader range of dependence structures. Secondly, I compare the estima-

tors’ performance for different sample sizes in order to assess their asymptotic empirical

properties. Thirdly and most importantly, in addition to the minimum-distance estimator

based on the empirical copula process which is used in Tsukahara (2005) and Genest et

al. (2009), I include further minimum-distance estimators based on Rosenblatt’s trans-

form and Kendall’s dependence function in my analysis. Furthermore, not only do I con-

sider Cramer-von-Mises- and Kolmogorov-Smirnov distances but also L1-variants of the

Cramer-von-Mises statistic (see Schmid and Trede, 1996, for a general description of this

L1-variant and Biau and Wegkamp, 2005).

The results presented in this paper show that in most settings pseudo-maximum-likelihood

yields smaller estimation biases at less computational effort than any of the MD-estimators.

There exist, however, some cases (especially when the sample size increases) where

minimum-distance estimators based on the empirical copula process are superior to the

PML-estimator. MD-estimators based on Kendall’s transform on the other hand yield only

suboptimal results in all configurations of the simulation study. The results of the simu-

lation study are confirmed by the empirical examples where the VaR as well as the ES

of 100 bivariate portfolios are computed. Interestingly, the estimates for these risk mea-

sures differed considerably depending on the choice of parameter estimator. This result

stresses the need for carefully choosing the parameter estimator in contrast to focusing all

attention on choosing the parametric copula model.

The remainder of this article is structured as follows. Section 2 discusses the different

parametric and nonparametric copulas, the parameter estimation procedures as well as the

numerical properties of these estimation techniques. A comprehensive simulation study

on the finite sample properties of the ten parameter estimators is given in section 3. Section

4 presents the results of the empirical application to 100 bivariate portfolios. Concluding

remarks are given in Section 5.

4.2 Copula parameter estimation

The purpose of this section is to shortly restate the basic definitions of the parametric

copulas used later on and to outline the different parameter estimation techniques. In

short, copulas allow for the coupling of marginal distributions to their joint distribution

by estimating the marginals and the dependence structure separately.


4.2.1 Parametric copulas

The mathematical basis for the analysis of copulas was founded by Sklar (1959) and

Hoeffding (1940). In the following, a basic definition of a copula and Sklar’s theorem are

described (for a more detailed description of copulas see Nelsen, 2006 or Joe, 1997).

Consider a random vector X ≡ (X1, . . . , Xd) of dimension d with a joint cumulative

distribution function (cdf) G and marginal cdfs F1, . . . , Fd. A d-dimensional copula is a

d-variate cumulative distribution function C : [0; 1]d → [0; 1] with uniformly distribu-

ted marginals (hereafter called d-copula). The central result in copula theory is Sklar’s

theorem which ensures the existence of a unique copula under relatively weak conditions:

Theorem 1 (Sklar):

Let G be a joint cumulative distribution function with d marginals F i. Then there exists a

d-dimensional Copula C such that for all x ∈ Rd,

G(x1, x2, ..., xd) = C(F1(x1), F2(x2), ..., Fd(xd)). (4.1)

If all marginals Fi are continuous, then the Copula C is unique.

Vice versa, if a d-Copula C and d cumulative distribution fuctions Fi are given then (4.1)

yields a d-variate cumulative distribution function with marginals F i.

Prominent examples of copulas are the ones inherent in multivariate Gaussian and Stu-

dent’s t-distributions. The Gaussian copula is given by the cdf

CΦd (u; Σ) = Φ

(d)Σ (Φ−1(u1), ...,Φ

−1(ud)) (4.2)

with u ≡ t(u1, u2, ..., ud) ∈ [0; 1]d. It can be obtained by applying the inversion me-

thod on a d-variate standard Gaussian distribution Φ(d) with correlation matrix Σ and d

univariate standard Gaussian distributions as marginals (see Nelsen, 2006). The Gaussian

copula is tail independent for imperfectly correlated marginals (see e.g. Sibuya, 1959; and

Resnick, 1987).

Similarly as the Gaussian copula can be derived from a multivariate Gaussian distribution,

the t-copula can be obtained from a (non-singular) n-dimensional Student’s t-distribution

Td(µ; Ω; ν) with density

f(x) =Γ(ν+d

2)

Γ(ν2)√

(πν)d|Ω|

(1 +

(x − µ)′Ω−1(x − µ)

ν

)−ν+d2

, (4.3)


ν degrees of freedom, mean vector µ and dispersion matrix Ω (note that the dispersion

matrix does not equal the covariance matrix in this case, see Demarta and McNeil, 2005).

As copulas are invariant under strictly increasing transformations of the marginals, we can

obtain the t-copula from the standardised d-dimensional t-distribution Td(0; Σ; ν) yielding

CTd (u; ν; Σ) =

∫ t−1ν (u1)

−∞...

∫ t−1ν (ud)

−∞

Γ(ν+d2

)

Γ(ν2)√

(πν)d|Σ|

(1 +

x′Σ−1x′

ν

)− ν+d2

dx, (4.4)

with t−1ν being the inverted cdf of a standard univariate Student’s t-distribution with ν

degrees of freedom. The t-copula is symmetrically tail dependent and converges to the

Gaussian copula for ν → ∞. This characteristic will be of particular interest in the simu-

lation study, where the different estimation techniques’ ability to distinguish between a

(true) Gaussian and a (hypothesised) Student’s t-copula will be analysed.

Another symmetrically tail independent copula that will be implemented in the simulation

study is the Frank copula given by

CFn (u; δ) = −1

δlog

(1 +

∏ni=1(exp(−δui) − 1)

(exp(−δ) − 1)n−1

), (4.5)

with parameter δ ∈ R+ (for some properties of the bivariate Frank copula see Genest,

1987).

The aforementioned copulas exhibit tail independence (Gaussian and Frank) and sym-

metric tail dependence (Student’s t), respectively. For the purpose of capturing different

patterns of tail dependence, the Gumbel copula which is asymmetrically tail dependent

(upper tail dependence and lower tail independence) shall be considered in the simulation

study as well. Its cdf is given by

CGd (u;λ) = exp

⎡⎣−( d∑i=1

−(log ui)λ

) 1λ

⎤⎦ , (4.6)

where the parameter λ satisfies λ ≥ 1.

The last parametric copula exhibiting lower tail dependence that will be considered in the

simulation study is the Clayton copula (sometimes also called the Cook-Johnson or Pareto

copula, see Genest and MacKay, 1986; and Balakrishnan and Lai, 1990). The Clayton

copula is given by

CCd (u; θ) = (u−θ1 + · · ·+ u−θ

d − d+ 1)−1/θ, (4.7)


with θ > 0 with the independence copula being the limiting case for θ → 0.

In the following, the ten different estimators for the copula parameters are discussed.

4.2.2 Parameter estimation via maximum-likelihood

The fully or stepwise parametric parameter estimations via maximum-likelihood require

a parametric approximation of the marginal distributions of X . As Kim et al. (2007) have

shown, these parametric estimation techniques are regularly outperformed by the pseudo-

maximum-likelihood estimator. The rest of the paper will thus concentrate on comparing

different estimators based on rank-transformed pseudo-observations obtained from the

original data sample.

Pseudo-maximum-likelihood (PML in the following) consists of transforming the origi-

nal data into pseudo-observations followed by classical maximum-likelihood estimation.

Consider a sample (Xij) of size n and dimension d (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , d). Using

the empirical cdfs Fj of the margins, the observations in the pseudo-sample U ≡ (Uij)

are given by (see McNeil et al., 2005)

Uij =n

n + 1Fj (Xij) (4.8)

The PML-estimate of the parameter vector θPMLn is then computed from the pseudo-

sample U of size n by numerically maximising

LU(θ) =n∑

i=1

log c(Ui,1, . . . , Ui,d|θ) (4.9)

with θ ∈ Θ ⊂ Rp (p ≥ 1) being the parameter vector of the respective multivariate

parametric copula C and c being the copula’s density parameterised by θ given by

c(u1, . . . , ud|θ) =∂C(u1, . . . , ud|θ)∂u1 · . . . · ∂ud

, u1, . . . , ud ∈ [0; 1]. (4.10)

The PML-estimator thus is given by

θPMLn (U) ≡ argmax

θ∈ΘLU(θ) (4.11)

Note that all parametric copulas discussed so far have densities and the densities of the

copulas which are given only implicitly (like e.g. the Gaussian copula) can be derived by


differentiating the joint cdf with the inverse marginal cdfs as its arguments.

The PML-estimator is consistent and asymptotically normal under some regularity con-

ditions (see Genest et al., 1995).

4.2.3 Minimum-distance estimators

In the following, the different minimum-distance estimators (and the closely related good-

ness-of-fit test statistics) will be presented. For ease of simplicity, I concentrate on the

bivariate case. The multivariate extensions are straightforward.

4.2.3.1 Minimum-distance estimators based on the empirical copula process

Most of the goodness-of-fit tests related to copulas that have been proposed recently are

based on a comparison between Deheuvels’ empirical and the hypothesised parametric

copula. The bivariate empirical copula estimated from an i.i.d. sample of size n is defined

on the lattice

L =

{(i1n,i2n

)∈ [0; 1]2

∣∣∣∣i1, i2 = 0, ..., n;

}. (4.12)

as

Cn(u) ≡ 1

n

n∑i=1

1(Ui,1 ≤ u1, Ui,2 ≤ u2, ), u ≡t (u1, u2) ∈ [0; 1]2 (4.13)

with 1(·) being a logical indicator function (see Genest et al., 2009).

Analogous to a histogram approximating a cdf, the empirical copula constitutes a discon-

tinuous approximation to the true underlying copula to which it converges uniformly (see

Deheuvels, 1978 and 1981). As pointed out by Genest et al. (2009), Deheuvels’ empirical

copula is arguably the most objective approximation to the true underlying copula as it is

completely nonparametric. Not surprisingly, goodness-of-fit tests that are based on com-

puting a distance between the empirical and the hypothesised copula have been shown

empirically to perform well in power studies (see Genest et al., 2009).

The first type of minimum-distance estimators that will be considered in this work is based

on the empirical process

Cn ≡√n(Cn − Cθ) (4.14)

where Cn is Deheuvels’ empirical copula and Cθ is the hypothesised copula from a pa-

rametric family parameterised by the parameter estimate θ obtained from the pseudo-

sample U. The process Cn is briefly mentioned in Fermanian (2005) and used in detail


by Tsukahara (2005), Mendes et al. (2007), Berg (2009) and Genest et al. (2009). Simple

Cramer-von-Mises and Kolmogorov-Smirnov statistics based on Cn are given by

ρCvMemp ≡

∫[0;1]2

Cn(u)2dCn(u) and ρKSemp ≡ sup

u∈[0;1]2|Cn(u)| . (4.15)

The empirical version of ρCvMemp is e.g. given by (see Genest et al., 2009)

ρCvMemp (U; θ) ≡

n∑i=1

{Cn(Ui) − Cθ(Ui)}2 (4.16)

with Ui being the i-th sample (similarly, an empirical approximation to ρKSemp can be deri-

ved).

In addition to the usual Cramer-von-Mises statistic ρCvMemp and the Kolmogorov-Smirnov

statistic ρKSemp, I consider the following L1-variant of the Cramer-von-Mises statistic

ρL1emp ≡

√n

∫[0;1]2

|Cn(u)|dCn(u). (4.17)

A general version of this statistic was proposed by Schmid and Trede (1996) for arbitrary

continuous cdfs. Note that similarly to the Cramer-von-Mises and Kolmogorov-Smirnov

statistic, the L1-variant ρL1emp is a continuous functional of the empirical process Cn. In the

simulation study, I consider the empirical approximation

ρL1emp(U; θ) =

n∑i=1

|Cn(Ui) − Cθ(Ui)| . (4.18)

The minimum distance estimators are then given by

θemp,L1n (U) ≡ argmin

θ∈ΘρL1

emp(U; θ), (4.19)

θemp,CvMn (U) ≡ argmin

θ∈ΘρCvM

emp (U; θ) and (4.20)

θemp,KSn (U) ≡ argmin

θ∈ΘρKS

emp(U; θ). (4.21)

The convergence of Cn under appropriate regularity conditions is established in Genest

and Remillard (2008).


4.2.3.2 Minimum-distance estimators based on Kendall’s dependence function

The second type of MD-estimators used in the simulation study was proposed in Savu

and Trede (2008) and Genest et al. (2006) and is based on Kendall’s probability integral

transform. The specific transform for an arbitrary random vector X with joint cdf G and

margins Fi (i ∈ Nd) is given by (see Genest et al., 2009)

X �→ V = G(X) = C(U1, . . . ,Ud), (4.22)

where the joint cdf of U = (U1, . . . ,Ud) is C and Ui = Fi(Xi). Let K be the cdf of

the probability integral transform V . Then a nonparametric estimation of K based on the

transformed sample Vi ≡ Cn(Ui) of size n is given by (see Genest and Rivest, 1993)

Kn(ω) ≡ 1

n

n∑i=1

1(Vi ≤ ω), ω ∈ [0; 1]. (4.23)

If U is distributed as Cθ, a parametric estimation of K is given by the distribution K θ of

the Kendall transform Cθ(U). Goodness-of-fit tests can then be based on the empirical

process

Kn ≡√n(Kn −Kθ). (4.24)

The specific test statistics are given by

ρL1K ≡

√n

∫ 1

0

|Kn(ω)| dKθ(ω), (4.25)

ρCvMK ≡

∫ 1

0

Kn(ω)2dKθ(ω) and (4.26)

ρKSK ≡ sup

ω∈[0;1]

|Kn(ω)| . (4.27)

Empirical versions of these statistics are given in Appendix B. The convergence of the

empirical process Kn underlying these estimators is established in Genest et al. (2006)

under appropriate regularity conditions.

4.2.3.3 Minimum-distance estimators based on Rosenblatt’s transform

The third type of MD-estimators is based on Rosenblatt’s probability integral transform

proposed by Rosenblatt (1952) which transforms a set of dependent variables into a set of

independent U([0; 1]) variables, given the multivariate distribution. For a given random


vector X ≡ (X1, X2) with marginal cdfs Fj(xj) (j ∈ {1; 2}) and conditional cdf F2|1,

Rosenblatt’s transform of X is defined by (see Berg, 2009) R(X) ≡ (R1(X1),R2(X2))

where

R1(X1) ≡ F1(x1),R2(X2) ≡ F2|1(x2|x1). (4.28)

As stated in Berg (2009), Rosenblatt’s transform can be used for multivariate GoF-tests

by applying it to a random sample assuming a parametric null hypothesis copula. As

the transformed sample V ≡ R(X) is i.i.d. U([0; 1])2, Genest et al. (2009) propose to

measure the distance between the empirical copula and the independence copula at each

element of the transformed matrix V which is dependent on the null hypothesis copula

Cθ. A Cramer-von-Mises statistic for this approach is then given by

ρCvMRos ≡ n

∫[0;1]2

{Cn(V) − C⊥(V)}2 dCn(V) (4.29)

with Vi being the i-th transformed sample from the copula. The specific test statistics are

given by

ρL1Ros ≡

√n

∫[0;1]2

|Cn(V) − C⊥(V)| dCn(V), (4.30)

ρCvMRos ≡ n

∫[0;1]2

{Cn(V) − C⊥(V)}2 dCn(V) and (4.31)

ρKSRos ≡ sup

u∈[0;1]2|Cn(V) − C⊥(V)| . (4.32)

An empirical version for the Cramer-von-Mises statistic is e.g. given by

ρCvMRos (V) =

n∑i=1

{Cn(Vi) − C⊥(Vi)}2 . (4.33)

Note that the distances depend indirectly on the parameter θ through Rosenblatt’s trans-

form. The asymptotic null behaviour of the underlying empirical process and the conver-

gence of the test statistics are established in Ghoudi and Remillard (2004) and Genest et

al. (2009).

4.2.4 Numerical properties of the copula parameter estimators

In the following, the numerical properties of both the PML- and the MD-estimators will

be analysed in more detail using the L-BFGS-B algorithm (see Byrd et al., 1995). The


BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) algorithm, of which the L-BFGS-B method

is a variant for bounded parameters, is a quasi-Newton method which is particularly useful

for solving minimisation tasks for which the Hessian matrix of the objective function

cannot be efficiently computed. For convenience, a short description of the algorithm is

given in Appendix C.

The following analysis of the numerical complexity of both the PML- as well as the

MD-estimators will concentrate on the first step of the L-BFGS-B algorithm, i.e. the re-

presentation of the objective function f at the iterate Λk by the quadratic model

mk(θ) = f(θk) + gTk (θ − θk) +

1

2(θ − θk)

TBk(θ − θk) (4.34)

where either f(θ) := −LU(θ) or f(θ) being one of the nine error distances respectively.

The minimisation thus requires evaluations of the function itself as well as of the gradient

and Hessian of f . If numerical differentiation is used for approximating gk andBk, as it is

regularly the case in standard tools such as R or MATLAB, the speed of the optimisation

is controlled by the complexity of evaluating the objective function f . Consequently, we

will give a short comparison of the computational complexity of evaluating both the log-

likelihood- as well as the nine distance-functions described earlier.

From equation (4.9) we can see that evaluating the log-likelihood involves evaluating the

copula density at each pseudo-observation Ui, taking the logarithm and adding the n re-

sults. For the analysis of the minimum-distance estimators, we will concentrate on the

Cramer-von-Mises test statistic. Evaluating the CvM-distance based on the empirical co-

pula process first requires the evaluation of the copula itself and the empirical copula at

the pseudo-observations. In the second step, the distances are squared and summed up for

all n pseudo-observations. The evaluation of the distances based on the empirical copula

process in contrast to the log-likelihood function thus requires the additional evaluation

of the empirical copula (requiring 3n logical operations and n additions) for each of the

n pseudo-observations. As the remaining computations (squaring the distance and taking

the logarithm of either the copula distance or copula density) require approximately the

same computation time, the evaluation of the function ρCvMemp will take considerably lon-

ger than evaluating the log-likelihood function. We must therefore expect the minimum-

distance estimators based on the empirical copula process to require considerably more

computation time than the PML-estimator.

Next, we turn to the CvM-estimator based on Rosenblatt’s transform. In contrast to both

the PML-estimator and the MD-estimator based on the empirical copula process, the esti-


mators based on Rosenblatt’s transform first require the probability integral transform of

the pseudo-sample according to (4.28). This transform is specific to the chosen parame-

tric copula and general conclusions on its computational complexity are difficult. It can,

however, require a considerable number of additional computations like in the case of the

Gaussian copula e.g. where one first needs to evaluate the quantile function of the nor-

mal distribution at each pseudo-observation, find and invert the Cholesky decomposition

of the covariance matrix and finally compute a matrix product. After the pseudo-sample

has been transformed, the evaluation of ρCvMRos requires multiplying the observations in the

pseudo-sample (product copula) and evaluating the empirical copula at the transformed

pseudo-observations, followed by squaring and summing up the distances. In contrast to

the estimators based on the empirical copula process, evaluating ρCvMRos thus requires a pre-

vious transformation of the pseudo-sample but does not require the computationally more

demanding evaluation of a parametric copula but rather the evaluation of the simple pro-

duct copula. The computational complexity of the CvM-estimator based on Rosenblatt’s

transform thus depends on the question, how fast the copula-specific probability integral

transform can be achieved.

Finally, we turn to a brief analysis of the CvM-estimator based on Kendall’s transform.

From Appendix B we can see that just like for the MD-estimators based on Rosenblatt’s

transform, the evaluation of ρCvMK first requires the transformation of the original pseudo-

sample. This transformation includes samplingm times from the hypothesised parametric

copula Cθ,m2 logical operations,m2 additions andm divisions. The transformed pseudo-

observations are in turn used as inputs for evaluating the functionsKn andBm from (4.23)

and Appendix B in order to evaluate ρCvMK . In contrast to the two other minimum-distance

approaches, the n evaluations of the parametric copula are substituted by n evaluations of

the function Bm which require m logical operations. As m will usually be chosen to be

much larger than n, this computation will indubitably be more complex than the simple

computation of the copula itself. We can thus conclude that the evaluation of the function

ρCvMK will be the most computationally complex one.

In summary, one can expect the minimum-distance estimators to require more compu-

tation time than the pseudo-maximum-likelihood estimator. The use of one of the MD-

estimators could thus only be justified if their finite sample bias and MSE were lower

than those of the PML-estimator. The following simulation study aims at answering this

question.

4.3. SIMULATION STUDY 68

4.3 Simulation study

A large-scale simulation study was conducted to compare the PML-estimator to the nine

minimum-distance estimators described in the previous section and to assess the bias and

efficiency of the three approaches. The aim of this simulation study is to compute and

compare the bias, mean squared error (MSE) and relative efficiency of the ten estimators.

This goal is achieved by comparing the true parameter with the parameters estimated with

the above mentioned strategies under the premise that the parametric form of the copula

is chosen correctly.

4.3.1 Design of the simulation study

In the following, the design of the simulation study is outlined in detail. After the descrip-

tion of the simulation steps, the different choices of parameters are given.

We will consider bivariate and five-dimensional joint distributions which are build from

the same marginal models but with different copulas. More precisely, the marginals follow

a normal and a Student’s t distribution in the bivariate case. In the five-dimensional case,

four marginals follow a normal and one marginal follows a Student’s t distribution. The

data used in the simulations are drawn from the joint distribution of these marginals with

the copula being one of the five parametric copulas presented earlier.

For each bivariate and five-dimensional parametric copula family parameterised by the

randomly chosen (true) parameter vector θ repeat the following steps K times where K

is some large integer:

(1) Simulate a sample (Xij) of size n from the joint distribtuion with copula Cθ.

(2) Transform the sample (Xij) into a sample of n pseudo-observations (Uij).

(3) Compute the parameter estimates with the pseudo-maximum-likelihood and each of

the nine minimum-distance estimators.

(4) Compare the parameter estimates θ with the true parameter vector θ by computing the

bias and MSE for all estimators θl with l ∈ {1; . . . ; 10} and the efficiency r of each

MD-estimator θMDl′ with l′ ∈ {1; . . . ; 9} relative to the PML-estimator θPML given

by

(a) BIAS(θl) ≡ η − E(θl)


(b) MSE(θl) ≡ E(θ − θl)2

(c) r ≡√

MSE(θMDl′ )√

MSE(θPML).

In case the copula possesses more than one parameter, the bias, MSE and efficiency

are averaged over all parameters.

In the simulation study, the number of simulated samples K was chosen to be 1000. The

procedure outlined above was repeated for different sample sizes n with n ∈ {50, 500} to

assess the improvement in the bias and efficiency of the estimators with increasing sam-

ple size. Furthermore, the copula parameters were chosen randomly from the parameter

domain to cover a broad range of possible dependence strengths.

The choice of n and K are comparable to similar studies like Nikoloulopoulos and Karlis

(2008) and Kim et al. (2007). The inclusion of the (for practical problems in finance more

important) Gaussian and Student’s t copula as well as the more closely meshed coverages

of the parameter spaces, however, are distinctive features of this study making it more

comprehensive than the aforementioned studies.

All computations were performed in R version 2.9.1 on the HPC Compute Cluster of the

RWTH Aachen University using the procedure optim.

4.3.2 Results

The results of the simulation study are presented in Tables 4.1-4.5. Each table corresponds

to one of the parametric copulas and consists of four quadrants, highlighting the results

for the two sample sizes (n = 50 or n = 500) and the two copula dimensions (d = 2

or d = 5). For each sample size and dimension, the bias, MSE, the efficiency relative

to the PML-estimator and mean time needed for estimating the parameter(s) with the

ten different estimators are given for all 1000 simulations of the respective copula and

sample size. Note that the numerical results are given without distinguishing the different

locations of the parameter(s). In case the copula possesses more than one parameter, the

bias, MSE and efficiency are averaged over all parameters. The complete results as well

as the R workspaces are available from the author upon request.

In the following, a discussion of the results of the simulation study is given.


Gau

ssia

nco

pula

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aria

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n=

50n

=50

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MSE

RM

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0.01

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10.

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n-0

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1263

10.

27θe

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1n

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60.

0244

151.

3572

4.18

θem

p,L

1n

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0080

30.

1266

3710

.011

635

.32

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n-0

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0.01

9249

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510.

82θe

mp,C

vM

n-0

.007

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1.12

0612

.14

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7700

60.

0307

351.

5228

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θem

p,K

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1164

60.

0094

142.

7297

40.6

6θK

,L1

n-0

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614

0.02

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1.34

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.32

θK,L

1n

-0.0

0079

40.

0042

221.

8280

70.3

9θK

,CvM

n-0

.058

685

0.02

3027

1.31

8110

.26

θK,C

vM

n0.

0028

150.

0068

702.

3319

70.5

4θK

,KS

n-0

.067

172

0.02

7209

1.43

2810

.32

θK,K

Sn

0.00

2991

0.00

6577

2.28

1772

.43

θRos,

L1

n-0

.053

779

0.13

2998

3.16

780.

23θR

os,

L1

n0.

0301

920.

1565

2811

.130

62.

05θR

os,

CvM

n-0

.048

646

0.06

4551

2.20

690.

22θR

os,

CvM

n0.

0116

250.

0366

555.

3863

2.00

θRos,

KS

n-0

.051

696

0.05

1221

1.96

590.

23θR

os,

KS

n0.

0024

510.

0148

573.

4292

2.18

Gau

ssia

nco

pula

(five

-dim

ensi

onal

)n

=50

n=

500

Bia

sM

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MSE

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sec.

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RM

SEtim

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c.)

θPM

Ln

-0.0

0041

70.

0174

631

0.82

θPM

Ln

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0076

30.

0014

181

4.01

θem

p,L

1n

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2400

40.

0197

841.

0643

15.3

4θe

mp,L

1n

-0.0

0547

70.

0017

461.

1095

151.

28θe

mp,C

vM

n-0

.023

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0.02

0059

1.07

1715

.87

θem

p,C

vM

n-0

.004

593

0.00

1610

1.06

5415

4.71

θem

p,K

Sn

-0.0

1672

60.

0176

111.

0042

20.9

7θe

mp,K

Sn

-0.0

0361

90.

0017

061.

0968

208.

86θK

,L1

n-0

.022

580

0.02

1324

1.10

5048

.44

θK,L

1n

0.00

3886

0.00

2996

1.45

3544

7.56

θK,C

vM

n-0

.023

572

0.02

1850

1.11

8549

.67

θK,C

vM

n0.

0034

960.

0031

551.

4916

453.

98θK

,KS

n-0

.024

412

0.02

1930

1.12

0649

.32

θK,K

Sn

0.00

2343

0.00

2534

1.33

6845

4.45

θRos,

L1

n-0

.013

907

0.02

6484

1.23

1513

.04

θRos,

L1

n-0

.001

916

0.00

1595

1.06

0555

.48

θRos,

CvM

n-0

.010

382

0.02

2191

1.12

7212

.73

θRos,

CvM

n-0

.001

166

0.00

1429

1.00

4055

.31

θRos,

KS

n-0

.004

984

0.02

2525

1.13

5713

.07

θRos,

KS

n-0

.000

726

0.00

1595

1.06

0556

.15

Tabe

lle4.

1:B

ias,

mea

nsq

uare

der

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mea

nsq

uare

der

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oran

dm

ean

com

puta

tion

time

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do-m

axim

um-l

ikel

ihoo

dan

dm

inim

um-d

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copu

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aged

over

allp

aram

eter

s.


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copu

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iate

)n

=50

n=

500

Bia

sM

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time(

sec.

)B

ias

MSE

RM

SEtim

e(se

c.)

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Ln

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0199

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0174

511

0.38

θPM

Ln

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0273

30.

0053

661

2.06

θem

p,L

1n

-0.0

5308

40.

0224

061.

1331

9.69

θem

p,L

1n

-0.0

0168

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0026

320.

7004

52.7

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mp,C

vM

n-0

.054

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0.02

1456

1.10

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mp,C

vM

n0.

0001

490.

0021

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6398

41.2

2θe

mp,K

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5854

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0236

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1639

10.8

6θe

mp,K

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0440

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6122

54.5

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,L1

n-0

.029

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2714

1.89

5747

.16

θK,L

1n

0.00

1249

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2363

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3.17

θK,C

vM

n-0

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θK,C

vM

n0.

0008

830.

0466

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9491

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,KS

n-0

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4974

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5346

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0325

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0253

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314.

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L1

n-0

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4.00

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L1

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CvM

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KS

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copu

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1595

361

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1θe

mp,L

1n

-0.2

6341

00.

3663

291.

0490

37.2

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mp,L

1n

-0.1

2767

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0262

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mp,C

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5670

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,L1

n-0

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,CvM

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over

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eter

s.


4.3.2.1 Comparison of the mean bias and MSE

Interestingly, the results given in Tables 4.1-4.5 show a rather diverse picture of the diffe-

rent estimators’ finite sample properties. From Table 4.1 we can see that for the Gaussian

copula, the PML-estimator θPMLn yields the best results regardless of the sample size

or parametric copula. Even for the smallest sample size of n = 50, pseudo-maximum-

likelihood estimation produces estimates whose bias is smaller by a factor of 10 to 100

than the bias of the best minimum-distance estimator. Especially in the five-dimensional

case, however, the MD-estimators based on the empirical copula process seem to be able

to nearly match the PML-estimator’s results.

For the Student’s t copula, we can find similar results concerning the PML-estimator’s

empirical optimality over the MD-estimators with one exception: the results from Table

4.2 show that in the bivariate case for a sample size of n = 500, all three estimators based

on the empirical copula process yield better results than the remaining estimators.

The results for the Clayton copula also show an optimality of the estimators based on the

empirical copula process in the five-dimensional case with n = 500. In all other settings,

again the PML-estimator yields better results than any of the MD-estimators. However, in

contrast to the elliptical copulas where only small differences between the MD-estimators

existed, we can see from Table 4.3 that the estimators based on Kendall’s and Rosenblatt’s

transform yield extremely inaccurate results for the five-dimensional Clayton copula.

For the Frank copula, the results given in Table 4.4 show that all estimators yield extre-

mely inaccurate results in the five-dimensional case. In the bivariate case, results remain

extremely inaccurate for the small sample size (n = 50) and considerably improve for

n = 500. Though suboptimal in comparison to the PML-estimator in these cases, again

the estimators based on the empirical copula process but also the estimators based on

Rosenblatt’s transform yield the best results among MD-estimators.

Concerning the effect of the type of statistic on the estimation bias, one can see from

Tables 4.1-4.5 that on average there are no significant differences between the CvM-,

the KS and L1-statistic. Besides some minor differences, the selection of the empirical

process underlying the MD-estimator rather than the choice of statistic seems to be of

importance for an unbiased parameter estimation.

In summary, we can conclude that in general, pseudo-maximum-likelihood estimation

yields considerably more accurate parameter estimates than minimum-distance estimati-

on. There exist, however, some cases (especially when the sample size increases) where

minimum-distance estimators based on the empirical copula process are able to improve


the parameter estimates given by the PML-estimator. MD-estimators based on Kendall’s

transform on the other hand yielded suboptimal results in all configurations of the si-

mulation study. In addition to these results, biases seem to be considerably higher for

archimedean copulas than for elliptical copulas.

4.3.2.2 Results concerning the sample size and dimensionality

The results given in Tables 4.1-4.5 show that, as predicted and required by the asymptotic

convergence of the different copula processes, parameter estimates in almost all settings

improve with increasing sample size. In addition to this, the decrease in bias is approxi-

mately linear. Moreover, while biases and MSE are relatively the same for the two- and

five-dimensional elliptical copulas, the parameter estimates for the archimedean copulas

become extremely inaccurate when the copula dimension increases. Another interesting

result is that with the exception of the Clayton copula, the differences in biases and MSE

between the ten estimators are reduced if the copula dimension is increased. The choice of

the estimator thus seems to be relatively unimportant when dealing with high-dimensional

copulas. As described earlier, however, overall accuracy of all estimators can only be re-

garded as poor in case the parameter of high-dimensional archimedean copulas needs to

be estimated.

One explanation for these poor results could be the fact that especially in the multivariate

setting, the optimisation algorithm is more likely to stop at a local optimum. The question

whether local optima can be improved was not addressed in the simulation study, as it

would have impaired the comparability of the results to previous studies in the literature.

4.3.2.3 Results concerning the computational complexity

Concerning the computational complexity of the ten estimators, the results from the si-

mulations given in Tables 4.1-4.5 confirm the theoretical analysis. In all configurations of

the simulation study, PML-estimation requires the least computation time while the esti-

mators based on Kendall’s transform are by far the slowest. Therefore it seems that the

estimators based on Kendall’s transform should not be used at all as they regularly yield

inaccurate estimates at the highest computational cost. Results for the MD-estimators ba-

sed on Rosenblatt’s transform and the empirical copula process are essentially the same

with the estimators based on Rosenblatt’s transform requiring less computation time espe-

cially for elliptical copulas. The optimality of these two minimum-distance approaches

thus is complemented by a much faster computation of the parameter estimates. At the

4.4. EMPIRICAL EXAMPLES 77

same time, even the fastest MD-estimators are still much slower than the PML-estimator.

Furthermore, computation times increases expectedly with increasing sample size and

dimensionality.

The simulation study has shown that the ten described estimators differ considerably in

their finite sample properties and though pseudo-maximum-likelihood seems to be the

best choice, in several settings a MD-estimator based on the empirical copula process

might yield lower biases and MSE at the cost of an increased computation time. To answer

the question, whether these differences in the estimators’ finite sample properties can have

significant influences on the estimation of portfolio risks, I illustrate the results by means

of an empirical example comprising 100 bivariate portfolios.

4.4 Empirical Examples

4.4.1 Data and model description

In the empirical example, I use daily returns on stocks, stock indices, exchange rates and

commodities to achieve relatively heterogenous portfolios with ample opportunities for

diversification. The data includes the stocks of all companies listed in any of the major

EU stock indices, the NYSE U.S. 100 index and the TOPIX 100 index as well as the

Dow Jones Stoxx 50, the Hang Seng, the FTSE 100, the NASDAX 100 and NASDAQ

composite indices themselves. In addition to the stock returns, I use the exchange rates of

the U.S. dollar to the Japanese yen, Swiss franc and British pound, the British pound to

the Swiss franc as well as commodities such as crude oil, cotton or gold bullion. The data

I use is collected from Thomson Financial Datastream over the period November 2, 1998

to July 18, 2005. Excluding all companies that were not listed in the respective index at

the beginning of the sample period and exluding non-trading days, the sample consists of

n = 1750 observations coming from 24 commodities, five stock indices, four exchange

rates, 235 European stocks and 167 Japanese and U.S. stocks.

Table 4.6 presents summary statistics on the returns of the aggregated asset classes in the

sample.

As can be seen from Table 4.6, all asset classes exhibited the classical stylised facts on

financial market data over the whole sample period. Whereas all asset classes yielded

negligible mean log returns on average, the hypothesis of normally distributed log re-

turns can be rejected for almost all assets as indicated by the skewness and fat-tails of


Com

mod

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alla

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sin

the

resp

ectiv

eca

tego

ry.


the return series. The average correlation coefficients of the asset classes show that the

interdependencies between the different types of assets are rather diverse stressing the

need for flexible models for the dependence structures. Furthermore, in unreported dia-

gnostic tests, the return series were tested for ARCH effects, normality and a Student’s t

distribution with Engle’s LM-Test, the Jarque-Bera test and an Anderson-Darling test for

a Student’s t distribution. As expected, all return series showed strong evidence of serial

correlation and ARCH effects while unconditional elliptical distributions were rejected.

From all available assets, 100 non-identical bivariate portfolios were randomly composed

for which both the Value-at-Risk and the Expected Shortfall were estimated by the use

of five different Copula-GARCH models. For each model, the copula parameterisation

was done by each of the ten described estimators to answer the question if the estimators’

different finite sample properties have any influence on risk estimation and if so, which

estimator performs best. After estimating the Value-at-Risk and Expected Shortfall with

each model and for each of the 100 portfolios, the out-of-sample validity of the models

was assessed. Thereby, the first 1000 observations of the sample were used for estimating

the models while the subsequent 750 observations were used for backtesting.

Due to the presence of conditional heteroscedasticity in the stock returns, I fitted GARCH-

(1,1)-models to each of the univariate marginals to account for time-varying volatility

(obviously, other more complex specifications for the marginals are possible irrespective

of the modeling of the dependence structure). Therefore, let (rit)t∈Z denote the univariate

time series of the log returns of asset i. The stochastic process (rit)t∈Z is then modelled as

rit = μi + εit

εit = σitεit (4.35)

σ2it = α0,i + α1,iε

2i,t−1 + α2,iσ

2i,t−1

and α0,i > 0, α1,i, α2,i ≥ 0 and εit being a standard white noise-(0,1)-process (see Bollers-

lev, 1986). Following Bollerslev and Wooldridge (1992), the innovations εit were assumed

to come from a Student’s t distribution.

After the GARCH-models were estimated for all assets from an estimation time window

compirising the first thousand observations, the estimated GARCH models’ parameters

were used for generating 10, 000 simulated log returns r(k)it′ (k ∈ 1, . . . , 10.000) for each

asset i and each day t′ in the time window [1001; 1750] used for backtesting. The result


was the following matrix

ri =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝r

(1)i,1001 r

(2)i,1001 . . . r

(10,000)i,1001

r(1)i,1002

. . . . . ....

.... . . . . .

...

r(1)i,1750 r

(2)i,1750 . . . r

(10,000)i,1750

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (4.36)

of 10, 000 simulated log returns for each day in the backtesting period.

In the next step, I fitted the five bivariate parametric copulas to the log returns rit (i =

1, . . . , 2; t = 1, . . . , 1000) in the estimation period with each of the ten estimators using

the procedures described above.

Next, for each day t′ ∈ [1001; 1750] I simulated 10, 000 observations

ut′ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝u

(1)1t′ u

(1)2t′

u(2)1t′ u

(2)2t′

......

u(10,000)1t′ u

(10,000)2t′

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ (4.37)

from each of the five described parametric copula. Using the simulated observations from

the fitted copula and the inverse of the empirical cdf F−1it′ computed from the 10, 000

simulated log returns r(k)it′ , we can obtain the simulated log returns of each asset under the

dependence structure expressed by the copula via

r(k)it′ ≡ F−1

it′ (u(k)it′ ), i = 1, . . . , 2; t′ = 1, . . . , 750; k = 1, . . . , 10, 000. (4.38)

Assuming an equally weighted portfolio, the sum∑2

i=1 r(k)it′ yielded 10, 000 simulated log

returns of the portfolio for day t′. The simulated log returns were then used to estimate the

portfolio VaR and ES at the 1%-level for each day t′ ∈ [1001; 1750] by an unconditional

empirical approach (we therefore expected 8 VaR-exceedances in the backtesting period).

Following Alexander and Sheedy (2008) I furthermore first smoothed the simulated log

returns by kernel density estimation using the Epanechnikov kernel.

Finally, the VaR- and ES-estimates were evaluated by comparing the numbers of fore-

casted and actual VaR-exceedances, by comparing the forecasted and actual Expected

Shortfall and by performing a test of conditional coverage (i.e. a joint test of a correct

number and independence of VaR-exceedances) of the VaR-model as proposed by Chri-

stoffersen (1998) and Christoffersen and Pelletier (2004).


4.4.2 Results and discussion

Results for the backtesting of the different models are reported in aggregated form for

all 100 portfolios in Table 4.7. The table shows the average results for the VaR- and ES-

estimates as well as the p-values for Christoffersen’s test of conditional coverage and

the time needed for computing the parameter estimates. The best results among the ten

different estimators are highlighted in bold type.

The results given in Table 4.7 show that the different approaches to copula parameter esti-

mation can have significant influences on the VaR- and ES-estimates. For the Gaussian

copula we can see that while all estimates are too conservative, the best results are given

by the estimator θRos,KSn which yields an average number of VaR exceedances (6.6516)

which is considerably less conservative than e.g. the estimator θK,KSn (5.4546) or the

PML-estimator (5.9849) when compared to the expected number of 8 VaR-exceedances.

Similarly, the estimator θRos,KSn also yields the best ES-estimate for all Gaussian copula

models.

For the Student’s t copula, we can see that again all models are quite conservative and

yield slightly worse results than the Gaussian copula. Among the ten different parame-

ter estimators, the PML-estimator yields the best result regarding the number of VaR-

exceedances while the best ES-estimate is given by the L1-estimator based on Rosen-

blatt’s transform. For both elliptical copulas, we can observe that the estimators based on

Kendall’s transform are woefully suboptimal compared to the remaining estimators.

For all three archimedean copulas, we find unequivocal results indicating that the best

VaR- and ES-estimates are given by both the PML-estimator and the MD-estimators ba-

sed on the empirical copula process. In this case, both the estimators based on Kendall’s

and Rosenblatt’s transform yield too conservative estimates which sometimes differ from

the PML-estimator by 3 VaR-exceedances (compared to the actual 8 exceedances). Con-

cerning the question which statistic is best suited for estimating VaR and ES accurately,

we can see that for the Gumbel copula, the CvM-statistic yields better results than the

remaining two statistics while for the Frank and Clayton copula, the L1-statistic yields

less conservative estimates.

Concerning the results for Christoffersen’s test of conditional coverage, which includes

a test of the independence of the VaR-exceedances, we can see that for all copulas ex-

cluding the Gaussian copula, the best results are given by the PML-estimator. For both

elliptical copulas, the MD-estimators based on the empirical copula process and Rosen-

blatt’s transform yield comparably good results while for the archimedean copulas, only


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nces

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.006

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.006

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1-0

.009

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7-0

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0.00

0341

0.00

0342

0.00

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0.00

0804

0.00

0780

0.00

0826

0.00

0359

0.00

0318

0.00

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d.co

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4351

0.47

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21.1

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606

1360

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alE

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1-0

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0.00

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0.00

0452

0.00

0811

0.00

0747

0.00

0362

0.00

0529

0.00

0412

0.00

0418

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(con

d.co

v.)

0.47

090.

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740.

4375

0.40

850.

4312

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840.

4446

0.44

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4501

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(VaR

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0476

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0.00

1320

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0.00

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717

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941

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0448

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0521

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0.00

1741

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0.00

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0426

0.00

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0.00

1813

0.00

1746

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4587

0.28

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3880

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0618

0.06

040.

0607

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5.91

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6.16

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5.63

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0495

2.72

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cond

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ral

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amet

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and

estim

ator

s.


the former estimators should be used. Note that the extreme differences in the number of

VaR-exceedances between the ten estimators are also reflected in the large differences in

the average p-values e.g. for the Gumbel copula (0.4718 for the PML-estimator compared

to just 0.0604 for the estimator θRos,KSn ).

Finally, we can see from the average computation time that the PML-estimator again

requires only a negligible amount of time to estimate the parameters while the MD-

estimators based on Kendall’s transform are by far the computationally most demanding.

For the archimedean copulas, the MD-estimators based on the empirical copula process

and Rosenblatt’s transform are comparable to the PML-estimator concerning the compu-

tation time required for estimating the parameters.

In summary, we can see that most of the results obtained in the previous simulation study

also hold in our empirical examples: While the MD-estimators based on the empirical

copula process and Rosenblatt’s transform are usually able to match the PML-estimator’s

good results, they require much more time to compute the parameter estimates. The MD-

estimators based on Kendall’s transform should not be used as they require more time

than any other estimator and yield estimates that are woefully inaccurate. In case one we-

re inclined to use an achimedean copula model, the MD-estimator based on the empirical

copula process will yield slightly better VaR- and ES-estimates than the PML-estimator

but at the expense of an increasing computation time. Finally, it it interesting to note that

VaR- and ES-estimates can vary considerably ceteris paribus for the ten different estima-

tors which are all based on the use of pseudo-observations. This stresses the importance

of selecting the right parameter estimator for copulas regardless of how the parametric

form of the copula model is chosen.

A road not explored in this paper concerns the question whether the different MD-es-

timators are more robust to contaminations of the data sample than the PML-estimator.

Mendes et al. (2007) show that estimators based on the empirical copula process as well

as weighted maximum-likelihood estimators are more robust to contaminations of the da-

ta which are determined by an unknown distribution. Though not explicitly tested in this

paper, it remains questionable whether the MD-estimators’ robustness to data contamina-

tions would be able to change the general optimality of the PML-estimator found in this

paper. The main argument for this is that the data used in the empirical examples most

likely included data contaminations which are regularly found in financial market data.

Still, the MD-estimators’ finite sample properties did not change significantly compared

to the previous simulation study.

4.5. CONCLUSIONS 84

4.5 Conclusions

The purpose of this paper was to present a comprehensive simulation study on the fini-

te sample properties of minimum-distance and maximum-likelihood estimators for biva-

riate and multivariate parametric copulas. For five popular parametric copulas, pseudo-

maximum-likelihood was compared to a total of nine different minimum-distance estima-

tors based on GoF-tests used frequently in literature.

The central finding is that in general maximum-likelihood yields the best results concer-

ning bias, efficiency and computational complexity. Even for the smallest sample size of

n = 50 pseudo-maximum-likelihood estimation regularly produced estimates whose bias

was smaller by a factor of 10 to 100 than the bias of the best minimum-distance esti-

mator. There existed, however, some cases (especially when the sample size increases)

where minimum-distance estimators based on the empirical copula process were able to

improve the parameter estimates given by the PML-estimator. MD-estimators based on

Kendall’s transform on the other hand yielded suboptimal results in all configurations of

the simulation study.

Moreover, while the choice of the underlying distance is of high importance, the choice

of test statistic (L1, Cramer-von-Mises or Kolmogorov-Smirnov) seems to be more or less

irrelevant. Furthermore, results for the different kinds of parametric copula families were

mixed. Minimum-distance estimators seemed to produce better results for elliptical copu-

las in contrast to the appalling performance when used for estimating the parameters of

archimedean copulas. Additionally, while biases and MSE were relatively the same for the

two- and five-dimensional elliptical copulas, the parameter estimates for the archimedean

copulas became extremely inaccurate when the copula dimension increases.

The empirical examples presented in this paper showed that while the MD-estimators ba-

sed on the empirical copula process and Rosenblatt’s transform are usually able to match

the PML-estimator’s good results, they require much more time to compute the parameter

estimates. The MD-estimators based on Kendall’s transform should not be used as they

require more time than any other estimator and yield estimates that are woefully inaccu-

rate. For achimedean copulas the MD-estimator based on the empirical copula process

yielded slightly better VaR- and ES-estimates than the PML-estimator but at the expense

of an increasing computation time.

Kapitel 5

Bank Contagion

Veroffentlicht in:

Die Betriebswirtschaft, 69. Jg. (2009), S. 525-528.

5.1 Einfuhrung

Schaltersturme (bank runs), Bankenpaniken und die Risiken, die von diesen ausgehen,

spielen spatestens seit den zahlreichen Insolvenzen US-amerikanischer Banken in den

30er Jahren des vergangenen Jahrhunderts eine bedeutende Rolle in der Regulierung

und dem Risikomanagement von Banken. Schaltersturme bzw. Bankpaniken lassen sich

als Auspragungen einer besonderen Form sektoraler finanzwirtschaftlicher Ansteckungs-

effekte (bank contagion) auffassen, bei denen die Auswirkungen eines negativen Schocks

auf eine Bank uber verschiedene Ubertragungskanale auf andere Banken ubertragen wer-

den. Auf Grund der vielfaltigen Verflechtungen von Banken mit Industrieunternehmen

konnen Bankinsolvenzen und mogliche Ansteckungseffekte gravierende makrookono-

mische Folgen haben. Die Moglichkeit einer Bankenpanik wird daher oftmals als Be-

grundung fur ein rettendes Einschreiten der Zentralbank bzw. des Staates als lender of

last resort im Falle einer moglichen Insolvenz einer Bank gegeben.1 Ein aktuelles Bei-

spiel hierfur ist der Fall der auf Immobilienfinanzierung spezialisierten englischen Nor-

thern Rock sowie der US-amerikanischen Fannie Mae und Freddy Mac, die im Zuge der

aktuellen Finanzmarktkrise durch die britische bzw. US-amerikanische Regierung ver-

staatlicht wurden.

Ziel dieses Beitrages ist es, zunachst den Begriff der bank contagion zu definieren und die

Unterschiede zum verwandten Begriff der financial contagion aufzuzeigen. Zudem sollen

konkrete Unterformen der bank contagion wie z.B. dem Schaltersturm oder der Banken-

panik erlautert werden. Anschließend sollen die verschiedenen Ubertragungskanale einer

finanzwirtschaftlichen Ansteckung skizziert sowie die Auswirkungen der bank contagion

1Vgl. Corrigan (1991), S. 3.

85

5.2. DEFINITION DES BEGRIFFES BANK CONTAGION 86

dargestellt werden.

5.2 Definition des Begriffes bank contagion

Ausgangspunkt fur die Definition der bank contagion ist der Begriff der financial con-

tagion. Hierunter verstehen z.B. Forbes/Rigobon (2001) einen signifikanten Anstieg der

Abhangigkeit mehrerer Finanzmarkte untereinander, der durch einen Schock in einem

Markt ausgelost wurde, und der auf die ubrigen Markte uberspringt.2 Durch das Ab-

stellen auf Abhangigkeiten zwischen Finanzmarkten erreichen Forbes/Rigobon (2001),

dass Ansteckungseffekte mit Abhangigkeitskonzepten wie bspw. der linearen Korrelation

oder auch der sog. tail dependence operationalisiert werden konnen.3 Ahnlich wie For-

bes/Rigobon (2001) definiert Kaufman (1994) den Begriff der contagion, unter dem er

das Uberspringen von adversen Effekten, hervorgerufen durch einen Schock, von einem

Unternehmen auf andere Unternehmen versteht.4 Im speziellen Fall des Bankensystems

ist der auslosende Schock der bank contagion haufig die drohende Insolvenz einer ein-

zelnen Bank, durch die weitere Institute betroffen sein konnen. Ebenso konnen massive

Abschreibungen auf gehaltene Wertpapiere und Anlagen eines Instituts bzw. Gegenpar-

teirisiken wie z.B. im Falle der aktuellen Finanzmarktkrise einen Initialschock auslosen.

Schließlich konnen auch makrookonomische Schocks wie bspw. ein Konjunktur- bzw.

Zinsschock die Insolvenz eines Einzelinstituts verursachen. Bessler/Nohel (2000) defi-

nieren den Begriff der bank contagion dagegen noch allgemeiner, indem sie bereits die

Ausbreitung von Informationen von einer Bank zu anderen Banken als finanzwirtschaft-

liche Ansteckung auffassen.5

Uber verschiedene Kanale konnen die genannten adversen Effekte an weitere Kreditin-

stitute ubertragen werden. Der Oberbegriff der bank contagion, verstanden als ein Uber-

springen von adversen Effekten zwischen Banken, kann dahingehend differenziert wer-

den, ob es sich um ein rationales oder irrationales Verhalten der Marktteilnehmer handelt.

Im Falle der rationalen Ansteckung konnen die Marktteilnehmer die Auswirkungen des

2Vgl. Forbes/Rigobon (2001), S. 44.

3Unter der tail dependence versteht man die Abhangigkeit zweier oder mehrerer Zufallsvariablen inden extremen Bereichen ihrer Verteilung. Die tail dependence wird meistens mit dem Konzept der Copula-Funktion operationalisiert. Eine Untersuchung von Ansteckungseffekten mit dieser Methodik findet sichbei Rodriguez (2007).

4Vgl. Kaufman (1994), S. 123.

5Vgl. Bessler/Nohel (2000), S. 1832.

5.2. DEFINITION DES BEGRIFFES BANK CONTAGION 87

Schocks auf die originar betroffene Bank und die ubrigen Unternehmen korrekt beurteilen

und auf okonomisch gerechtfertigte Art und Weise reagieren. Die Reaktion der Marktteil-

nehmer auf einen solchen Schock, die auch als Informationseffekt bezeichnet wird, kann

verschiedene Formen annehmen. So erwahnen z.B. Bessler/Nohel (2000) die Neubewer-

tung der Aktien der betroffenen Bank als eine mogliche Reaktion.6 Außerdem kann ein

Schock in einem Bankensystem mit einer massiven Einlagenentnahme bei den betroffe-

nen Banken durch ihre Kunden einhergehen. Eine solche durch Fundamentaldaten einer

Bank begrundete Einlagenentnahme als Auspragungsform der bank contagion wird als

Schaltersturm bezeichnet.7

Im Gegensatz hierzu wird ein Ubergreifen der adversen Effekte auf samtliche Banken

ungeachtet der Frage, ob ein Institut auch tatsachlich von den adversen Effekten beruhrt

wird, als pure contagion bzw. Bankenpanik bezeichnet. Synonym kann eine Bankenpanik

als irrationaler Schaltersturm verstanden werden.8 Die Gefahr einer solchen Form der ir-

rationalen Ansteckung innerhalb eines Bankensystems wird auch als systemisches Risiko

bezeichnet.

In beiden Fallen kann die Entscheidung des einzelnen Anlegers zur Einlagenentnahme

jedoch individuell rational sein. Furchtet ein einzelner Anleger einen Schaltersturm, so

ware es fur ihn individuell rational, moglichst schnell seine Einlage zu entnehmen, bevor

die Bank zahlungsunfahig wird.9 Kollektiv ist eine solche Entscheidung jedoch irrational,

da die Anleger die externen Kosten ihrer Einlagenentnahme bspw. in Form von Fire Sale-

Verlusten und einer ggf. resultierenden Illiquiditat der Bank nicht berucksichtigen.

6Vgl. Ebd.

7Ein Schaltersturm kann offensichtlich bei einer einzelnen Bank oder aber gleichzeitig bei mehrerenBanken stattfinden. Die Zuordnung zum Oberbegriff der bank contagion kann daher durchaus kritisch gese-hen werden, da im ersten Fall keine Ansteckung zwischen Banken stattfindet. In weiten Teilen der Literaturwerden Schaltersturme nichtsdestotrotz als Form der bank contagion aufgefasst. Vgl. Diamond/Dybvig(1983) fur einen entsprechenden Gebrauch der beiden Begriffe.

8Vgl. Bhattacharya/Thakor (1993), S. 26.

9Die Frage, ob es rationale Grunde fur den Schaltersturm gibt, ist demnach fur die individuelle Ent-scheidung des Anlegers irrelevant.

5.3. UBERTRAGUNGSKANALE UND URSACHEN

FINANZWIRTSCHAFTLICHER KRISEN88

5.3 Ubertragungskanale und Ursachen finanzwirtschaft-

licher Krisen

Die in der Literatur genannten Theorien zur Erklarung der Existenz von Schaltersturmen

und Bankenpaniken stellen in der Regel auf den Interbankenmarkt als Ubertragungskanal

ab. Auf diesem konnen sowohl Liquiditats- als auch Kreditrisiken im engeren Sinne zu

Ansteckungseffekten zwischen den Banken fuhren.

Im ersten Fall ziehen Banken ihre Interbankenforderungen in Folge eines adversen Ef-

fekts bei anderen Banken ab und verursachen somit einen Liquiditatsschock. Auf Grund

einer asymmetrischen Informationsverteilung zwischen den einzelnen Banken kann die-

ses Zuruckfordern der (vergleichsweise liquiden) Forderungen auf dem Interbankenmarkt

rationaler oder irrationaler Natur sein. Im aktuellen Fall der Finanzmarktkrise stellt gerade

die Illiquiditat des Interbankenmarktes auf Grund des gegenseitigen Vertrauensverlustes

zwischen den Banken einen erheblichen Krisenverstarker dar.

Zur Vermeidung einer solchen Liquiditatskrise wird in der Literatur ein moglichst voll-

standiger Interbankenmarkt gefordert. Im Modell nach Allen/Gale (2000) sind die Aus-

wirkungen der adversen Effekte (und somit die Anfalligkeit des Bankenmarktes fur sy-

stemische Risiken) umso kleiner, je vollstandiger der Interbankenmarkt in dem Sinne ist,

dass eine Bank moglichst mit allen ubrigen Marktteilnehmern Transaktionen auf dem

Interbankenmarkt tatigt.10 Umgekehrt zeigen Freixas/Parigi/Rochet (2000), dass ein zen-

tralisierter Aufbau des Interbankenmarkts, in dem die Banken uberwiegend mit einer Zen-

tralbank, aber kaum untereinander Transaktionen durchfuhren, zu einer großeren Anfallig-

keit des Bankenmarktes fur systemische Risiken fuhren kann.11 Der intuitive Grund hierfur

ist der, dass ein Liquiditatsschock auf ein einzelnes Institut in einem solchen zentralisier-

ten Bankensystem nicht durch Transaktionen mit anderen Banken kompensiert werden

kann. Im Falle eines vollstandigen Interbankenmarktes konnte ein solcher Liquiditats-

schock hingegen auf die ubrigen Marktteilnehmer verteilt und somit abgeschwacht wer-

den.12

Stellt sich eine akute Illiquiditat des Interbankenmarktes ein, so konnen Zentralbank und

Regierung (wie zuletzt in der Finanzmarktkrise geschehen) versuchen, durch die Bereit-

stellung zusatzlicher Liquiditat einer Kreditklemme vorzubeugen.

10Vgl. Allen/Gale (2000).

11Vgl. Freixas/Parigi/Rochet (2000).

12Vgl. Gropp/Lo Duca/Vesala (2006), S. 8.



Ein Ansteckungseffekt kann daruber hinaus ebenso durch Kreditrisiken im engeren Sinne

verursacht werden. Ist eine Bank bereits zahlungsunfahig, so konnen die hieraus resultie-

renden Ausfalle von Interbankenkrediten ebenfalls zu einem Uberspringen der adversen

Effekte auf andere Banken fuhren.13 Eine asymmetrische Verteilung der Informationen

uber die Ausfallwahrscheinlichkeit kann zusatzlich zu einer (wiederum rationalen oder

irrationalen) Einforderung von Interbankenkrediten fuhren, falls die Glaubiger einen Aus-

fall der Schuldnerbank furchten.

Unabhangig von den Verflechtungen auf dem Interbankenmarkt kann eine Liquiditats-

krise des Bankensektors zudem durch die bereits beschriebene Einlagenentnahme durch

die Einleger einer Bank entstehen. Hierbei kann eine asymmetrische Informationsvertei-

lung unter den Einlegern zu einer unterschiedslosen Einlagenentnahme bei allen Banken

fuhren.

Eine weitere mogliche Ursache fur eine Ansteckung im Bankensektor sehen Bessler/No-

hel (2000) in der Syndizierung großer Unternehmenskredite, durch die einzelne Unterneh-

men Schuldner mehrerer Banken werden.14 Ein (moglicher) Ausfall dieser Forderungen

kann sowohl den syndizierenden als auch den nicht beteiligten Banken schaden. Im letzt-

genannten Fall kann wiederum eine asymmetrische Verteilung der Informationen uber

die (tatsachlich nicht existierenden) Geschaftsverbindungen zu anderen Banken auf Sei-

ten der Einleger ausreichen, um eine Bankenpanik zu verursachen.

Eine Ubersicht der verschiedenen Ursachen von Bankenpaniken und Schaltersturmen so-

wie den moglichen Ubertragungskanalen zeigt Abbildung 5.1.

13Beide auf den Verflechtungen des Interbankenmarktes beruhenden Ubertragungskanale sind jedochmiteinander verwoben. So kann bspw. bereits die (rationale oder irrationale) Furcht von einem moglichenAusfall einer Interbankenforderung eine Ruckforderung und somit einen Liquiditatsschock verursachen.Vgl. Iyer/Peydro (2005).

14Vgl. Bessler/Nohel (2000), S. 1833.



Kreditschocksz.B. Ausfall eines

Großkreditnehmers

Preisänderungsschocks z.B. Zinsänderungsschock

Konjunkturschock Liquiditätsschock

Einzelbank

Mögliche Insolvenz dieser Einzelbank

Übrige, realiter betroffene Banken Übrige, realiter nicht betroffene Banken

InterbankenmarktKreditsyndizierungAktienmärkteEinlageentnahme

InterbankenmarktKreditsyndizierungAktienmärkteEinlageentnahme

Schaltersturm / Informationseffekt Bankenpanik

Abbildung 5.1: Ursachen und Ubertragungskanale von Schaltersturmen und Bankenpani-ken (Quelle: Eigene Darstellung).

Kapitel 6

Analysing Bank Contagion with

Copulæ - Evidence from the Subprime

and Japan’s banking crises

Zur Veroffentlichung angenommen in:

Journal of Economics and Finance.

Die veroffentlichte Fassung ist auf der folgenden Internetseite verfugbar:

http : //www.springerlink.com/content/97v5348722200553/

The original publication is available at www.springerlink.com.

6.1 Introduction

Contagion effects between banks have been a field of research since the 1930s when bank

failures occured in a domino-like fashion (see e.g. Calomiris and Mason, 1997, for a

study of bank failures during the Great Depression). In the context of bank contagion, one

usually distinguishes between bank runs and bank panics with the former being confined

to one specific bank and the latter being an irrational and indiscriminate withdrawal of

deposits from all banks (Bhattacharya and Thakor, 1993; Kaufman (1994) describes this

irrational form of a bank panic as pure contagion). More generally, bank contagion can

also be defined as a transmission of information within the banking industry (see e.g.

Gorton, 1985; Bessler and Nohel, 2000; Akhigbe and Madura, 2001). Aharony and Swary

(1983) define noisy (or firm-specific) bank contagion as an adverse effect of a bank failure

on banks due to correlations between banks whereas pure contagion is caused by problems

which are uncorrelated across banks.

The existence of these contagion effects in banking is often explained by the presence of

information asymmetries between banks and its stakeholders. As a single bank usually

shares certain characteristics with it’s competitors (e.g. a similar customer base, credit

91


portfolio or syndicated corporate loans), adverse effects on the bank could also implicate

adverse effects on other banks and possibly other industries. Due to information asym-

metries between banks and stakeholders, however, the latter might not be able to distin-

guish between affected and unaffected banks withdrawing deposits and repricing stocks

indiscriminantly (Bessler and Nohel, 2000). It is this danger of an irrational bank panic

(possibly leading to a systemic risk) causing considerable costs to the financial sector that

is often named as a justification for a state’s involvement as a lender of last resort and

the necessity for regulation in banking (see e.g. James, 1991; and Goodhart and Huang,

2005).

Methodically, contagion effects in banking have often been studied by computing abnor-

mal stock returns (see e.g. Akhigbe and Madura, 2001; Gropp and Moerman, 2004; Kabir

and Hassan, 2005). In these studies, contagion is presumed to be present if negative abnor-

mal returns or increased volatility can be detected in the post-crisis period after the event

that is supposed to be causing the bank panic. In addition to this, some authors have tried

to use extreme value theory to estimate the number of co-exceedances (i.e. the number of

joint occurrences of extreme events in the left tail of a bivariate series) in order to isolate

contagion effects across banks (Gropp and Moerman, 2004; and Gropp and Vesala, 2004).

Simultaneously to the analysis of bank contagion, a different branch of research has con-

centrated on analysing contagion effects between financial markets in times of crisis (like

e.g. in the Asian crisis of 1997). In this branch of research, early works concentrated on

studying correlations between stock market indices (see e.g. Forbes and Rigobon, 2002)

whereas recent work has focused on substituting a correlation-based analysis by a more

general copula-based approach (see e.g. Rodriguez, 2007 and Chen and Poon, 2007).

The aim of this paper is to propose a new methodical framework for the analysis of bank

contagion. By combining a market model from classical event studies and copula metho-

dology, the framework proposed in this paper allows for an analysis of bank contagion

that directly assesses the changes of dependencies between banks instead of proxying

contagion via abnormal returns. Furthermore, in the empirical part of this paper, I focus

on detecting contagion effects and effects by bailout announcements for the near-collapse

of German Deutsche Industriebank IKB AG (IKB) as a result of the subprime crisis and

several announcements during Japan’s banking crisis in the 1990s. Although several pre-

vious studies have focused on contagion effects in banking (see e.g. De Bandt and Hart-

mann, 2001, for a comprehensive overview of empirical studies), the effects of a state’s

involvement as a lender of last resort on banking contagion have only scarcely been analy-

sed in empirical studies. To the best knowledge of the author, this paper is the first one to


analyse changes in the dependence structure of banks around bailout announcements. Mo-

re precisely, the empirical study given in this paper tries to answer two questions: Firstly,

did announcements of isolated crises at certain banks lead to contagion effects across the

respective banking sector? Secondly, did the rescue efforts of the state of central banks as

a lender of last resort limit or reverse these contagion effects?

To answer these questions, abnormal stock returns are computed in a first step from a

market model for all listed German and Japanese banks available from Thomson Financial

Datastream. In a second step, contagion between banks is parameterised by two concepts

based on copulae: Firstly, a convex combination of parametric copulae with different tail

dependence characteristics is fitted to the abnormal returns with contagion being indicated

by an increase in the coefficient of the lower tail dependent Clayton copula. Secondly, the

extension of the well-known bivariate tail dependence coefficient to multivariate copulae

proposed by Schmid and Schmidt (2007) is computed for the data to examine changes

directly in the coefficient between announcements dates.

The contributions of this article are numerous. Firstly, this paper extends the ongoing

work on the empirical analysis of bank contagion by examining the success of bailouts

in reversing contagion effects. By combining a market model and state-of-the-art copu-

la methodology, this paper presents a new framework for directly assessing the impact

of contagion and bailouts on the dependencies between banks. Furthermore, the results

in the empirical study show that contagion could be observed in both samples after ne-

gative announcements of selected banks. In addition to this, the state’s announcements

of a bailout did not simply reverse the changes in the dependence structure but led to a

persistent shift from lower tail dependence to tail independence in the respective banking

sector indicating that bailout announcements are successful in decreasing the probability

of extreme joint downward movements of returns while leaving the probability of extreme

joint upward movements unchanged.

The remainder of this article is structured as follows. Section 2 discusses the theory on

contagion effects and bailouts. In section 3, the methodology and model specifications

are described. Section 4 exhibits the data and presents the empirical findings. Concluding

remarks are given in Section 5.

6.2. BANK CONTAGION AND LENDERS OF LAST RESORT 94

6.2 Bank contagion and lenders of last resort

Announcements of adverse effects on a bank (be they illiquidity, insolvency or impending

failure) can cause both a rational information effect as well as irrational pure contagi-

on. The former is presumed to be caused by a correct measurement of the direction and

strength of the correlation between the asset and loan portfolios of the failed bank and its

competitors (Diamond, 1984, 1991; and Bessler and Nohel, 2000). If this measurement

by the economic agents is not correct, an indiscriminate repricing of the bank’s shares and

bank panics jointly known as the phenomenon of pure contagion will ensue.

Contagion effects following bank failures have been discussed at great length in litera-

ture (see Kaufman, 1994, for a summary). Moreover, there exists a vast literature on the

theory of the propagation channels for contagion effects with interbank lending, common

customer bases and payments/settlements systems being considered to be the prime cau-

ses of (rational) contagion (see Allen and Gale, 2000; Freixas et al., 1998; Bessler and

Nohel, 2000; and Goodhart and Huang, 2005). Concerning the economic consequences,

pure contagion is widely regarded to be more dangerous to the stability of the financial

system as all banks are affected by the adverse effect irrespective of their specific port-

folio. Consequently, the possibility of a market failure manifested in a bank panic, i.e.

pure contagion, is often stated as the fundamental justification for a state’s intervention as

a lender of last resort (see Bagehot, 1873; Lerrick and Meltzer, 2003; and Goodhart and

Huang, 2005). In the view of some authors, systemic risks can even be considered to be

one of the fundamental reasons for the existence of central banking (Gorton and Huang,

2006).

Most of the empirical work on banking contagion finds that rational contagion effects

seem to prevail while pure contagion seems to be the exception. One explanation for the

little empirical evidence for the existence of pure contagion after bank failures is the no-

tion that contagion effects were limited by the actions undertaken by states as lenders of

last resort (Hasman and Samartın, 2008). From this, one could hypothesise that rescue

measures made by lenders of last resort have been successful in preventing or reversing

pure contagion. Until now, however, only little empirical work has focused on analysing

the success of rescue measures by the state acting as a lender of last resort. One of the

few examples can be found in Butkiewicz (1995), where an initial reversion of contagion

effects is observed for the time of the Great Depression. Similar results, namely positive

abnormal returns of banks, are found by Yorulmazer (2008) where the effects of the bank

run at Northern Rock and the subsequent bailout announcement by the Bank of England

6.3. METHODOLOGY 95

are analysed. The empirical analysis there, however, is based purely on comparing ab-

normal returns of British banks. As bank contagion is regularly interpreted as a change

of dependencies between banks, an empirical analysis of contagion and bailout announ-

cements should ideally be based on some operationalisation of stochastic dependence.

This analysis of the dependence structure, however, should only be based on filtered re-

turns estimated from a market model in order to eliminate a possible bias induced by the

market return or conditional heteroscedasticity. Moreover, conventional event studies like

Yorulmazer (2008) usually only consider small time windows around events. In case mar-

ket reaction to the event is lagged or information on the event was available beforehand,

small time windows can thus lead to biased results especially when analysing the depen-

dence structures of (abnormal) returns thus requiring the analysis of longer time periods

around events.

Though interesting in its own, this paper will concentrate neither on the mechanisms of

propagation nor on a separation of rational and irrational contagion effects. Instead, the

empirical analysis will focus on the success of rescue actions undertaken by the state as

a lender of last resort with respect to reversing overall banking contagion parameterised

by dependence in the lower tails of the banks’ return distributions. The reason for this

approach is that the decision by a state to act as a lender of last resort will often be influ-

enced by political considerations. In a situation of a heated public discussion and panicky

investors, the state’s decision will thus often be made regardless of the type of contagion

effects the banking industry is experiencing. Nevertheless, pure contagion effects will be

presumed to be present due to the state’s role as both a lender of last resort and a regula-

ting authority. If the state is in possession of near-complete information on the correlations

between the banks’ portfolios due to its regulating function, the state will act as a lender

of last resort only in the presence of the more dangerous pure contagion.

6.3 Methodology

6.3.1 GARCH-filtering and abnormal returns

The analysis of the contagion effects in this paper will be based on the daily stock re-

turns of German and Japanese banks. This approach follows several other studies like e.g.

Bessler and Nohel (2000), Akhigbe and Madura (2001), Lau and McInish (2003), Kab-

ir and Hassan (2005) and Yorulmazer (2008) in which different market models of stock

returns are estimated. Different approaches like e.g. computing metrics like distances to

6.3. METHODOLOGY 96

default as it is done in Gropp and Moerman (2004) are not considered due to two rea-

sons: First, transmitted adverse effects will always result in a devaluation of a bank, and

thus, the adverse effect should be reflected in a repricing of the bank’s stock. Second,

the use of additional data from the banks’ financial statements would require breaking

down quarterly into diurnal data. Such methods (like e.g. cubic spline interpolation, see

Gropp and Moerman, 2004) can only be seen as coarse approximations thus introducing

an unnecessary bias in the data.

In contrast to the aforementioned papers, this paper proposes a new framework for detec-

ting contagion effects and market reactions to bailout announcements. Instead of simply

comparing abnormal returns, copula functions are fitted to abnormal returns in order to

analyse the dependence structure of a struggling bank’s competitors. To minimise the

effects of the market return on the banks’ stock returns, abnormal returns rather than ob-

servable returns (like it is done e.g. in Rodriguez, 2007) are used. Abnormal returns are

estimated from a market model that includes the German DAX and the Japanese NIKKEI

225 stock indeces as proxies of the market return. In addition to the market return, I fur-

ther include the daily Euribor-1-month reference rate in the model for the German data

sample.

A stylised fact about financial data is the presence of conditional heteroscedasticity in

stock returns. As the presence of conditional heteroscedasticity could bias the results and

as the copula models described below require the input of i.i.d. data, I fit ARMA-GARCH

models to the univariate marginals to account for time-varying volatility. In particular,

following Dias and Embrechts (2009), I model the stochastic process (rt)t∈Z of the log-

returns for each bank as an ARMA(p1,q1)-GARCH(p2,q2) process with

rt = μt + εt

μt = μ+

p1∑i=1

φi(rt−i − μ) +

q1∑j=1

θjεt−j

εt = σtεt (6.1)

σ2t = α0 +

p2∑i=1

αi(|εt−i| + γiεt−i)2 +

q2∑j=1

βjσ2t−j

and α0 > 0, αi, βj ≥ 0 for all i = 1, 2, ..., p2 and j = 1, 2, ..., q2 and εt being a SWN(0,1)-

process (see Bollerslev, 1986, and Bollerslev et al., 1992). The choice of distribution for

the innovations εt as well as the exact specifications for the volatility models and the ML-

estimates for the parameters are given later in the presentation of the results. After the

models have been estimated, the log return ri,t of the ith univariate return series at time t

6.3. METHODOLOGY 97

is filtered according to

ri,t :=ri,t − μi,t

σi,t, i ∈ N, t = 1, 2, ..., T (6.2)

After the filtered returns have been computed, we need to exclude shocks common to all

market participants that might bias the results. Therefore, it is assumed that the filtered

log returns are generated by the following market model:

ri,t = ψi + τirM,t + χiIt + ζi,t, (6.3)

with i = 1, 2..., n representing n banks whose dependence structure will be analysed, t =

1, 2, ..., T being a time index, rM,t being the (GARCH-filtered) return on the respective

market portfolio on day t, It being the daily Euribor-1-month reference rate (only included

in the German data sample) and ζi,t being a random disturbance term for bank i at time t.

6.3.2 Some preliminary copula theory

In order to detect contagion effects and possible remedies induced by the lender of last

resort, the dependence structure inherent in the abnormal filtered returns ri,t of a set of

banks is modelled by the use of copula functions. In the following, some basic results on

copulae will be reviewed.

Consider the marginal distributions of a random vector X ≡ (X1, · · · , Xn) of length

n to be previously specified, the process of aggregating these distributions to their joint

distribution is reduced to choosing or estimating a copula that reflects the dependence

structure between the marginals. The mathematical basis for the analysis of copulae was

founded by Sklar (1959) and Hoeffding (1940). In the following, a basic definition of a

copula and Sklar’s theorem are described (for a more detailed description of copulae see

Nelsen, 2006 or Joe, 1997).

Let Fi be the ith marginal cumulative distribution function (cdf) of the random vector X .

An n-dimensional copula is a n-variate cumulative distribution function C : [0; 1]n →[0; 1] with uniformly distributed marginals (hereafter called n-copula). The central result

in copula theory is Sklar’s theorem which ensures the existence of a unique copula under

relatively weak conditions:

Theorem 2 (Sklar):

Let G be a joint cumulative distribution function with n marginals F i. Then there exists

6.3. METHODOLOGY 98

an n-dimensional Copula C such that for all x ∈ Rn,

G(x1, x2, ..., xn) = C(F1(x1), F2(x2), ..., Fn(xn)). (6.4)

If all marginals Fi are continuous, then the Copula C is unique.

Vice versa, if an n-Copula C and n cumulative distribution fuctions F i are given then

(6.4) yields an n-variate cumulative distribution function with marginals F i.

In contrast to traditional concepts of dependence like Kendall’s Tau or Spearman’s Rho,

a copula captures the whole dependence between the marginals (Chen and Huang, 2007)

thus further explaining the surge in interest in copulae.

As the copula directly describes the dependence structure inherent in a random vector,

it is not surprising that certain measures of dependence and concordance are closely lin-

ked with the copula concept. The most important dependence measure with respect to the

analysis of financial contagion is the concept of asymptotic tail dependence which will

be described in detail in the following. Tail dependence can synonymously be described

as the extremal dependence of two random variables, i.e. the dependence in the tails of a

bivariate distribution (McNeil et al., 2005). For our purposes, asymptotic tail dependence

is especially well suited for the analysis of financial contagion because it allows a dif-

ferentiated analysis of the symmetric or asymmetric extremal dependence between two

markets, or, as described by Rodriguez (2007), their propensity to crash (and/or to boom)

together.

Definition 6.3.1 (Upper tail dependence):

Let X1 and X2 be two random variables with cdfs F1 and F2. Then the upper tail depen-

dence coefficient of the random vector (X1, X2) is defined as (McNeil et al., 2005)

λU := λU(X1, X2) = limu↑1

P{X2 > F−1

2 (u)|X1 > F−11 (u)}

(6.5)

provided that a limit of λU exists in [0; 1] with F−1i being the quantile function of the cdf Fi

for i ∈ {1; 2}. For λU ∈ (0; 1] the random variables are said to be upper tail dependent.

For λU = 0, X1 and X2 are said to be asymptotically upper tail independent.

As said earlier, the notion of tail dependence is strongly linked with the concept of co-

pulae. To be precise, for a bivariate random vector with continuous marginal cdfs F1 and

F2, the coefficient of upper tail dependence (if it exists) can be expressed in terms of the

6.3. METHODOLOGY 99

underlying (unique) copula C:

λU = limu↑1

1 − 2u+ C(u, u)

1 − u(6.6)

Analogously, the coefficient of lower tail dependence is defined as

Definition 6.3.2 (Lower tail dependence):

λL := λL(X1, X2) = limu↓0

P{X2 ≤ F−1

2 (u)|X1 ≤ F−11 (u)}

(6.7)

again provided that a limit of λU exists in [0; 1]. For λU ∈ (0; 1] and λU = 0 we have lower

tail dependent and asymptotically lower tail independent random variables respectively.

If the limit exists and F1 and F2 are continuous, we can express the coefficient in terms of

the copula:

λL = limu↓0

C(u, u)

u(6.8)

The definition of lower tail dependence given above only allows a bivariate comparison of

random variables. In addition to the bivariate models explained later I make further use of

a generalisation of the notion of lower tail dependence to multivariate random variables

that has been proposed recently by Schmid and Schmidt (2007). A multivariate measure

for lower tail dependence is given by

Definition 6.3.3 (Multivariate lower tail dependence, Schmidt and Schmid):

λML := lim

p↓0ρ(p) = lim

p↓0

n+ 1

pn+1

∫[0,p]n

C(u)du (6.9)

with

ρ(p) :=

∫[0,p]n

C(u)du −(

p2

2

)npn+1

n+1−(

p2

2

)n (6.10)

being an n-dimensional conditional version of Spearman’s rho for 0 < p ≤ 1.

Empirical estimators for λML and ρ(p) based on a sample of size T are given by

ρT (p) :=

{1

T

T∑t=1

n∏i=1

(p− Ui,t,T )+ −(p2

2

)n}/

{pn+1

n+ 1−(p2

2

)n}(6.11)

and

λML,T (p) := ρT (k/T ) (6.12)

6.3. METHODOLOGY 100

respectively, where Ui,t,T are the pseudo-observations from the copula (see Schmid and

Schmidt, 2007; or McNeil et al., 2005) given by

Ui,t,T :=1

T(rank(Xit) in Xi1, · · · , XiT ) (6.13)

and k ∈ {1, 2, ..., T} is a prespecified parameter.

In the following, the different copulae that are to be used in the empirical study shall be

briefly discussed. One of the most basic copulae is the Gaussian copula given by the cdf

CΦn (u; Σ) = Φ

(n)Σ (Φ−1(u1), ...,Φ

−1(un)) (6.14)

with u =t (u1, u2, ..., un) ∈ [0; 1]n. It can be obtained by applying the inversion me-

thod on an n-variate standard Gaussian distribution Φ(n) with correlation matrix Σ and n

univariate standard Gaussian distributions as marginals (Nelsen, 2006). For imperfectly

correlated marginals the Gaussian copula CΦn is tail independent (see e.g. Sibuya, 1960;

and Resnick, 1987).

Similarly as the Gaussian copula can be derived from a multivariate Gaussian distribution,

the t-copula can be obtained from a (non-singular) n-dimensional Student’s t-distribution

Td(µ; Ω; ν) with density

f(x) =Γ(ν+n

2)

Γ(ν2)√

(πν)n|Ω|

(1 +

(x − µ)′Ω−1(x − µ)

ν

)−ν+n2

, (6.15)

ν degrees of freedom, mean vector µ and dispersion matrix Ω (note that the dispersion

matrix does not equal the covariance matrix in this case, see Demarta and McNeil, 2005).

As copulae are invariant under strictly increasing transformations of the marginals, we

can obtain the t-copula from the standardised n-dimensional t-distribution Tn(0; Σ; ν)

yielding

CTn (u; ν; Σ) =

∫ t−1ν (u1)

−∞...

∫ t−1ν (un)

−∞

Γ(ν+n2

)

Γ(ν2)√

(πν)n|Σ|

(1 +

x′Σ−1x′

ν

)− ν+n2

dx, (6.16)

with t−1ν being the inverted cdf of a standard univariate Student’s t-distribution with ν

degrees of freedom. The t-copula is symmetrically tail dependent and converges to the

Gaussian copula for ν → ∞.

Another symmetrically tail independent copula that will be implemented in the empirical


study is the Frank copula given by

CFn (u; δ) = −1

δlog

(1 +

∏ni=1(exp(−δui) − 1)

(exp(−δ) − 1)n−1

), (6.17)

with parameter δ ∈ R+ (for some properties of the bivariate Frank copula see Genest,

1987).

The aforementioned copulae exhibit tail independence (Gaussian and Frank) and sym-

metric tail dependence (Student’s t), respectively. For the purpose of capturing different

patterns of tail dependence, the Gumbel copula which is asymmetrically tail dependent

(upper tail dependence and lower tail independence) shall be considered in the empirical

analysis as well. Its cdf is given by

CGn (u;λ) = exp

⎡⎣−( n∑i=1

−(log ui)λ

) 1λ

⎤⎦ , (6.18)

where the parameter λ satisfies λ ≥ 1. Here, I use the standard definition of the Gumbel

copula (for a recursively defined definition that simplifies the computation see Bouye,

2003).

The last parametric copula exhibiting lower tail dependence that will be considered in the

empirical study is the Clayton copula (sometimes also called the Cook-Johnson or Pare-

to copula, see Genest and MacKay, 1986; and Hutchinson and Lai, 1990). The Clayton

copula is given by

CCn(u; θ) = (u−θ1 + · · ·+ u−θ

n − n + 1)−1/θ, (6.19)

with θ ≥ 0 with the independence copula being the limiting case for θ → 0.

Parameter estimation for these copula functions is usually achieved by Maximum-Likeli-

hood with the marginals being specified either parametrically or nonparametrically yiel-

ding the so-called Inference-for-margins (IFM) method and canonical Maximum-Like-

lihood respectively. The ML-estimators are consistent and asymptotically normal under

some regularity conditions (Genest et al., 1995). The asymptotic behaviour of these esti-

mators, however, only holds for i.i.d. data used for estimating the copula parameters thus

emphasising the need to apply GARCH-filters before modelling the dependence structure.

As described above, the presented parametric copulae all imply different forms of tail de-

pendence or independence of the underlying data. As a single parametric copula would


be too inflexible to model the variety of changes in tail dependence we are interested in,

a convex combination including all mentioned parametric copulae will be fitted to each

time window of interest. If the weights of a particular parametric copula in the fitted con-

vex combination changes over time, we will interpret this as a change in tail dependence

expressed by this particular copula. The details of this approach are described in the fol-

lowing section.

6.3.3 Detecting contagion effects with copulae

Following Patton (2002), Jondeau and Rockinger (2006), Rodriguez (2007) and Chen and

Poon (2007) I try to capture any change in the dependence structure of abnormal bank

returns by analysing the changes in the parametric form and the parameters of various co-

pulae. Unlike these studies, however, I apply their methodology using abnormal returns to

analyse changes in the dependence structure between announcements of struggling banks

and the state acting as a lender of last resort. To be precise, I analyse the time-variation of

the fitted copulae conditional on the set of given past information represented by the sub-

σ-algebra G. For a given date t and an information set Gt := σ({ri,j|j = 1, 2, ..., t− 1})for the ith bank, Sklar’s theorem becomes

Ft(x1, x2, ..., xn|Gt) = Cn,t(F1,t(x1|Gt), F2,t(x2|Gt), ..., Fn,t(xn|Gt)|Gt) (6.20)

with Cn,t(u|Gt) being the n-dimensional conditional copula, Fi,t(xi|Gt) being the condi-

tional cdf of the ith univariate marginal and Ft(x1, ..., xn|Gt) being the joint conditional

cdf of the random vector (see Patton, 2002 for an introduction into the theory of con-

ditional copulae and the respective parameter estimation). The merit of using abnormal

returns rather than observed returns is that the analysis of the dependence structure will

not be biased by the influence of the market return proxied by a stock index on the banks’

returns.

In the event study framework of this paper, I assume that the sub-σ-algebra Gt ≡ Gpq =

σ (Ω) is generated by the subset Ω := {ri,j|j = e1, e1 + 1, · · · , e2 − 1, e2} containing

all available information of the time window pq between two events e1 and e2 where

q = 1, 2, ... is the index of the time window.

The model for capturing changes in the dependence structure extends the ideas of Rodri-

guez (2007) to detect changes in the parametric form of the copula by estimating mixtures

of different parametric copulae. It is common knowledge that a convex linear combina-


tion of a finite set of copulae is again a copula (Nelsen, 2006). The analysis of the time-

variance in the dependence structure (restricted to a change in the parametric form) can

thus be observed in the changes in the weights of the convex combination over time. For

each time window pq, a convex combination

Cmixn,pq

(u; ν, ρ, δ, θ, λ|Gpq) ≡ πTpqCTn,pq

(u; ν, ρ|Gpq) + πFpqCFn,pq

(u; δ|Gpq) (6.21)

+ πCpqCCn,pq

(u; θ|Gpq) + (1 − πTpq− πFpq

− πCpq)CGn,pq

(u;λ|Gpq)

πTpq, πFpq

, πCpq∈ (0; 1) and πTpq

+ πFpq+ πCpq

≤ 1

with πTpq, πFpq

and πCpqbeing the weights of the Student’s t, Frank and Clayton copula will

be estimated by canonical Maximum-Likelihood. To detect any changes in the tail depen-

dence, we will compare the changes in the weigths of the convex combination in time

window pq with those fitted from time window pq+1. If a weight changes significantly

between the two time windows, the type of tail dependence implied by the parametric co-

pula included in the convex combination via this particular weight is said to have changed

due to the event separating the two time windows. If we can e.g. observe a significant

increase from πCpqto πCpq+1

, a larger portion of the dependence structure between the two

underlying stocks is represented by the lower tail dependent Clayton copula. As a result,

we will deduce an increase in lower tail dependence. A similar reasoning applies to the

Student’s t, Frank and Gumbel copula. Following Rodriguez (2007), the significance of a

change in all weights will be tested by a likelihood ratio test conducted on the two fitted

models’ log-likelihood.

The parametric copula were chosen to cover a maximal variety of tail dependence struc-

tures. In contrast to Rodriguez (2007), I include the Student’s t copula at first in all convex

combinations not only because the Student’s t copula has been regularly identified in em-

pirical studies as the most flexible copula (see e.g. Kole et al., 2007 for a recent example),

but also because the Student’s t copula can capture both symmetric tail dependence and

tail independence as a special case (when it converges to the Gaussian copula) so that we

do not need to include a further summand in (6.21).

In the next step, the goodness-of-fit of each configuration of the copula mixture is as-

sessed in order to prevent the models from overfitting the data and to check the model

specification. The first metric that will be used is Akaike’s Information Criterion which is

given by

AIC := 2k − 2L(η), (6.22)

where k is the number of model parameters and L(η) is the maximised Loglikelihood


at the estimate of the parameter vector η. Furthermore, goodness-of-fit test procedures

specially adapted to copula models can be employed for choosing the optimal copula

model. An example for such a metric is given by the Cramer-von-Mises statistic

ξ = T

∫[0;1]n

{Cemp

n;T (u) − Cn(u, η)}2dCemp

n;T (u). (6.23)

which measures the distance between the parametric copula and Deheuvels’ empirical

copulaCempn;T estimated from a sample of size T (Fermanian, 2005, for an early mentioning

and Genest et al., 2008, for an extensive analysis). The empirical version of ξ is given by

(Genest et al., 2008)

ξ =

T∑t=1

{Cemp

n;T (ut) − Cn(ut, η)}2

(6.24)

with ut being the t-th sample from the copula. For both metrics, the copula configuration

yielding the lowest value will be considered to be optimal. However, one has to be careful

when using the GoF-metric in (6.24) as it does not account for the number of parameters

estimated thus possibly leading to overfitting of the data.

After an optimal copula model has been found, I fit the optimal convex combination of

copulae to the abnormal filtered returns of each pair of the initial distressed bank’s com-

petitors before the initial and between subsequent events. The null hypothesis then is that

πCpqwill increase for all pairs of competitors after negative announcements while positive

announcements concerning a bailout by the lender of last resort will result in a decrease

of the parameters πCpq.

Furthermore, I estimate the measure for multivariate lower tail dependence given by (6.12)

in order both to extend the empirical study to a multivariate analysis of possible contagion

effects as well as to check the robustness of the (bivariate) results. A summary of the

complete framework is given below:

1. Choose the events e1, e2, · · · on which bank failures (or impending failures) and

bailouts became publicised. Identify the first (critical) event as t0.

2. Estimate the filtered returns ri,t from ARMA-GARCH-models to control for hete-

roscedasticity and serial correlation.

3. Estimate the market model ri,t = ψi + τirM,t +χiIt + ζi,t based on stock returns ri,t

observed in the time window [t−400; t−100] with OLS and compute abnormal returns

by the identity ARi,t := ri,t − ψi − τirM,t − χiIt.

6.4. DATA AND EMPIRICAL FINDINGS 105

4. Identify the optimal configuration of the copula model in each time window by the

use of AIC and additional copula-GoF metrics.

5. Fit the optimal convex combination of copulae to all pairs of banks excluding the

initial contagious bank for the time window [t−100; t0], to which I will refer to as the

pre-crisis period, and any other time window with length≥ 50 between two events.

6. Conduct significance tests on the null hypothesis of constant parameters between

two events.

7. Compute the multivariate lower tail dependence coefficient given by (6.12) for the

pre-crisis and subsequent time windows.

In the following section, the data and chosen events are presented.

6.4 Data and empirical findings

6.4.1 Panel A: Germany 2006-2008

6.4.1.1 Sample description and ARMA-GARCH-modelling

The data sample used in the first analysis consists of 638 daily observations of the lo-

garithmic stock returns of the IKB and the three largest publicly traded German banks

listed in the German DAX stock index, i.e. Deutsche Bank AG, Commerzbank AG and

Deutsche Postbank AG, covering the period from January 3, 2006 to July 3, 2008. For all

banks, returns are defined as the percentage logarithmic difference of the stock price, i.e.

ri,t ≡ ln(Pi,t/Pi,t−1) with Pi,t being the stock price of bank i at time t. All daily observa-

tions of the stock prices were obtained from Thomson Financial Datastream. Following

Jondeau and Rockinger (2006) and Bartram et al. (2007) holidays are excluded from the

data sample in order to eliminate spurious correlation. Table 6.1 gives some descriptive

statistics for the unfiltered return series.

Over the whole sample period, all bank stocks yielded negligible mean daily log-returns.

We can observe from the summary statistics that all returns series are skewed with IKB

and Deutsche Postbank being leptokurtic and the log-returns of the remaining banks being

platykurtic. From this we can conclude that all return series are not normally distributed.

The Jarque-Bera test confirms this conjecture by rejecting the hypothesis of a normal


IKB Dt. Bank Commerzbank Dt. PostbankSummary statisticsMean -0.003287 -0.000602 -0.000462 0.000187Std. dev. 0.037023 0.016032 0.022360 0.019930Minimum -0.2727 -0.0659 -0.1039 -0.0899Maximum 0.2643 0.0761 0.0863 0.1231Kurtosis 16.0614 2.0366 2.2399 4.5749Skewness -0.9401 0.0116 -0.2196 0.4733Hypothesis testsJarque-Bera 7003.37 (0.00) 112.00 (0.00) 140.50 (0.00) 586.13 (0.00)LM-Test 116.73 (0.00) 69.48 (0.00) 55.92 (0.00) 78.13 (0.00)Ljung-Box 0.8306 (0.36) 0.7553 (0.38) 0.3017 (0.58) 1.3951 (0.23)Corr. coeff.IKB 1 0.2895 0.3597 0.2852Deutsche Bank 1 0.7526 0.5903Commerzbank 1 0.5848Deutsche Postbank 1

Tabelle 6.1: Panel A: Summary statistics, hypothesis tests and Bravais-Pearson correlationcoefficients for the unfiltered return series (for the hypothesis tests, p-values are given inparentheses)

distribution for all five series. Note the very high extrema (-27% and +26%) of the returns

of IKB. Furthermore, the return series are tested for ARCH effects with Engle’s LM test

and serial correlation with the Ljung-Box test. The LM test of no ARCH effects is rejected

for all five series indicating the presence of conditional heteroscedasticity in the data. The

Ljung-Box test could not be rejected for all banks. Finally, the Bravais-Pearson correlation

coefficients for the return series indicate strong linear dependence between all five banks.

As the LM-test was rejected for all bank return series, the univariate marginal distributions

are modelled according to the ARMA(p1,q1)-GARCH(p2,q2)-model described in (6.1) and

fitted by Maximum-Likelihood. For the innovations εt several different distributions have

been proposed in the literature. For example Rodriguez assumes the innovations to be

normally distributed, whereas Patton (2002) and Chen and Poon (2007) use a skewed

Student’s t distribution. In this study, the normal, skewed normal, Student’s t and skewed

Student’s t distribution were considered as the conditional distribution of the innovations.

Among these different models, the one yielding the best overall diagnostic test statistics

was chose for filtering the data. The lags and distributions of the innovations of the best

fitting model as well as the parameter estimates and results of the LM, Ljung-Box and

Jarque-Bera tests on the filtered returns are given in Table 6.2 (the results for the remaining


model specifications are omitted for brevity).

Deutsche Bank Commerzbank Deutsche PostbankAutoregressive modelsp1 1 0 1q1 1 0 0Constant μ 0.000666 (0.000) 0.000034 (0.000) 0.000642 (0.000)φ1 -0.8691 (0.323)** - 0.0151 (0.041)θ1 0.8631 (0.330)** - -GARCH modelsp2 1 1 1q2 1 1 1εt ∼ skewed Student’s t normal Student’s tα0 0.000 (0.000) 0.000 (0.000)** 0.000 (0.000)*α1 0.139 (0.043)** 0.106 (0.029)*** 0.191 (0.047)***β1 0.854 (0.043)*** 0.810 (0.050)*** 0.800 (0.045)***Skewness par. 0.949 (0.051)*** - -Shape par. 5.512 (1.214)*** - 6.204 (1.490)Hypothesis testsLM-test 0.843 0.997 0.991Ljung-Box 0.590 0.963 0.533Jarque-Bera 0.000 0.000 0.000

Tabelle 6.2: Panel A: Model specifications, estimated ARMA(p1,q1)-GARCH(p2,q2) pa-rameters, LM test and Ljung-Box test statistics (p-values) for the filtered returns. For theparameter estimates, standard errors are given in parentheses. For the DAX return series,both the LM and the Ljung-Box test could not be rejected.*** Significant at the 0.1% level.** Significant at the 1% level.* Significant at the 5% level.

The test statistics show that serial correlation and the observed ARCH effects could be

removed from all filtered return series with all test results being significant at the 1%

significance level.

6.4.1.2 Abnormal returns

For the analysis of the first sample, I concentrate on three major events on which an-

nouncements concerning the financial stability of IKB were made by either IKB (the first

German bank to face default due to the subprime crisis) or KfW as its lender of last resort:

• Initial crisis and immediate bailout (July 30, 2007): IKB announces that funding of


the conduit “Rhineland Funding” is endangered and issues a profit warning. State-

owned KfW, IKB’s main stakeholder, provides an 8.1 billion Euro liquidity line for

IKB.

• Second crisis (November 28, 2007): KfW announces that IKB requires another 2.3

billion Euro to cover its risks. The German government refuses to issue a debt gua-

rantee that would have supported IKB and KfW.

• Final Bailout (March 28, 2008): KfW and IKB’s remaining stockholders agree on

a recapitalisation amounting to 1.5 billion Euro.

To estimate abnormal returns, the parameters of the market model given by (6.3) are esti-

mated by OLS using 300 observations from the time window [t−400; t−101] with t0 being

July 30, 2007. The parameter estimates are then used to compute abnormal daily returns

for all banks for the time windows [t−100; t−1] (refered to as the pre-crisis period), [t0; t86]

(being the period after first news on IKB’s losses were publicised and KfW announced its

initial bailout), [t87; t168] (refered to as the crisis period) and finally [t169; t237] (refered to

as the post-crisis period).

In a first step, cumulative abnormal returns are estimated in the usual fashion over a 3-

day time window centered around each announcement date for all banks excluding IKB.

Significance of the obtained results is tested using standardised residual t-tests (see e.g.

Fee and Thomas, 2004, for a similar approach and McWilliams and McWilliams, 2000,

for a description of the test procedure). The results as well as the parameter estimates for

the market model are reported in Table 6.3.

For the first announcement date (the advent of the crisis), all banks with the exception of

Deutsche Bank earn (insignificant) negative abnormal returns. As all banks earn positive

or insignificant negative abnormal returns, one can argue that KfW’s initial announcement

of a bailout was partly successful in preventing contagion. Inconsistent with the hypothe-

sis of increased contagion, however, significant positive abnormal returns can be found

for Deutsche Bank and Commerzbank on the second announcement day while Deutsche

Postbank earned insignificant positive abnormal returns. Consistent with the hypothesis

of a reversion of contagion effects, significant (insignificant) positive abnormal returns

could be observed for Commerzbank (Deutsche Postbank) after the third announcement

day while Deutsche Bank earned an insignificant negative abnormal return. Overall, one

can see that these results are no indication for significant sector-wide contagion effects

while the hypothesis of positive abnormal returns after the bailout cannot be rejected. As

stated earlier, an analysis of contagion effects that is solely based on abnormal returns on


Dt. Bank Commerzbank Dt. PostbankCAR (%)July 30, 2007 3.31 (2.726)*** -1.03 (-0.416) -0.90 (-0.427)November 28, 2007 3.76 (3.111)*** 6.90 (2.807)*** 0.70 (0.331)March 28, 2008 -0.16 (-0.130) 4.67 (1.898)** 2.59 (1.231)Parameter estimatesψi (intercept) 0.0038 (1.345) 0.0011 (0.198) 0.0046 (0.942)τi (market return) 1.0794 (25.581)*** 1.2475 (14.544)*** 0.9382 (12.804)***χi (Euribor) -0.0011 (-1.237) -0.0001 (-0.089) -0.0015 (-0.935)

Tabelle 6.3: Panel A: Cumulative abnormal returns (CAR) in per cent and parameter esti-mates for the market models. t-statistics are given in parantheses.*** Significant at the 1% level.** Significant at the 5% level.* Significant at the 10% level.

selected trading days can yield only evidence on short-term market comovements rather

than on changes in the sector’s dependence structure. Moreover, a simple comparison of

abnormal returns suffers from the problem that we need to (arbitrarily) decide which ab-

normal returns should be considered extremal (and thus resulting from contagion). The-

refore, to assess the question whether the announcements by IKB and KfW resulted in

persistent changes of the extremal dependence inherent in the German banking sector, the

copula models described above are fitted to the abnormal returns.

6.4.1.3 Detecting contagion effects by the use of copulae

Following Rodriguez (2007), I model contagion effects as a change in lower tail depen-

dence between IKB’s rivals. In order to decide which convex mixture of parametric copu-

lae is best suited for modelling the dependence structure, I first estimated each possible

mixture of three or four parametric copulae and computed the corresponding Akaike’s

Information Criterion.

The results given in Table 6.4 show that the Clayton-Frank-Gumbel mixture is the best

choice in almost all cases according to Akaike’s criterion while the more flexible full mix-

ture model which includes the Student’s t copula seems to overfit the data (see e.g. Rodri-

guez, 2007, or Dias and Embrechts, 2008, for a similar use of AIC). Additional Goodness-

of-Fit tests using a Cramer-von-Mises criterion proposed by Genest et al. (2008) which is

based on a comparison between the null hypothesis and the empirical copula only yielded

inconclusive results. As the metric proposed by Genest et al. (2008) does not account for


T+C+F+G C+F+G T+C+F T+F+G T+C+GDt. Bank and Com.-bankPre-crisis -27.559 -34.078 -32.612 -30.825 -31.883Crisis and initial bailout -14.794 -20.588 -17.605 -20.130 -19.938Second crisis -16.812 -19.175 -23.433 -23.255 -22.215Final bailout -4.919 -11.679 -8.533 -9.283 -6.526Dt. Bank and Dt. PostbankPre-crisis 0.255 -4.961 -3.564 -3.729 -3.735Crisis and initial bailout -9.575 -15.417 -13.992 -11.879 -9.839Second crisis 2.424 -1.847 -3.319 -2.950 -3.371Final bailout 15.569 7.685 9.714 9.836 14.523Com.-bank and Dt. PostbankPre-crisis -4.535 -10.574 -7.862 -9.380 -9.069Crisis and initial bailout -10.293 -15.550 -15.678 -15.328 -12.251Second crisis 8.073 -1.773 -0.485 -1.024 0.621Final bailout 7.097 -0.291 1.781 1.850 3.245

Tabelle 6.4: Panel A: AIC for the different copula mixture models and time windows.T is the Student’s t copula, C the Clayton copula, F the Frank copula and G is the Gumbelcopula. The best model according to AIC is written in bold.The time windows are defined as follows:Pre-crisis=[t−100; t−1].Crisis and initial bailout=[t0; t86].Second crisis=[t87; t269].Final bailout=[t270; t338].


the number of parameters, however, and as overfitting is a severe problem in this setting

considering the dynamic range of the number of parameters used in the models, AIC is

much more favorable than GoF-metrics for model selection. Therefore, only the Clayton-

Frank-Gumbel mixture will be considered in the following.

In the next step, I fitted the Clayton-Frank-Gumbel mixture to each time frame and each

pair of return series to identify any change in the bivariate dependence structure of Ger-

man banks. Results for the Clayton-Frank-Gumbel models are presented in Table 6.5.

[t−100; t−1] [t0; t86] [t87; t269] [t270; t338]DB+CBπG 0.7137 0.9579 0.4149 0.0965πF 0.0005 0.0005 0.2326 0.7185πC 0.2858 0.0416 0.3525 0.1850p-value 0.000* 0.000* 0.000*DB+PBπG 0.5725 0.2373 0.0009 0.0066πF 0.4266 0.3887 0.4047 0.9925πC 0.0009 0.3740 0.5944 0.0009p-value 0.000* 0.000* 0.000*CB+PBπG 0.9926 0.0524 0.0106 0.0009πF 0.0073 0.9474 0.8421 0.9316πC 0.0001 0.0002 0.1573 0.0675p-value 0.999 0.000* 0.000*

Tabelle 6.5: Panel A: Results of the bivariate Clayton-Frank-Gumbel models.The table gives estimates of the coefficients πG, πF and πC of the convex combination.p-values are estimated by a Likelihood ratio test for the null hypothesis of constantweights between two time windows. A p-value lower than 0.05 indicates that the changeof weights is significant at the 5%-level (indicated by * in the table).

The bivariate results show that between the pre-crisis period and the time after the initial

crisis and bailout, no clear sign of sector-wide contagion can be found. While lower tail

dependence (as indicated by the coefficient πC of the Clayton copula) between Deutsche

Bank and Deutsche Postbank increases significantly, the coefficient decreases for Deut-

sche Bank and Commerzbank. These nonuniform changes in lower tail dependence could

be a result of the fact that the initial announcement of financial crisis at IKB was im-

mediately accompanied by the bailout announcement by KfW thus averting sector-wide

contagion.

Between the second and third time window, i.e. the time before and after the second an-


nouncement of severe financial crisis at IKB, results show an unequivocal picture: For all

combinations of Deutsche Bank, Deutsche Postbank and Commerzbank, lower tail depen-

dence rises significantly at the 5%-level. Consequently, the bailout by state-owned KfW

was economically justified as the probability of a joint crash of German banks had incre-

ased sharply after the announcement by IKB (which in this case was not accompanied by

an immediate bailout announcement). Moreover, the increases in lower tail dependence

all coincide with decreases in upper tail dependence as indicated by the coefficient πG of

the Gumbel copula. This result clearly underlines the dramatic change in the dependence

structure that took place in the German banking sector after the second announcement of

crisis.

After the final bailout, the results given in Table 6.5 show that for all banks lower tail

dependence, i.e. the propensity of German banks to crash together, decreases. This is

consistent with the hypothesis of contagion being successfully reversed as a result of

KfW’s bailout of IKB. In addition to this, in all bivariate models the decrease in lower tail

dependence is accompanied by a significant increase in the coefficient πF signalling tail

independence. Economically, this means that after the final bailout announcement, joint

extreme upward movements of German banks’ abnormal returns became less likely than

before the advent of the crisis. In other words, the instrument of a bailout does not seem

to be suitable for completely reversing contagion but rather seems to transform lower tail

dependence into tail independence. This finding is consistent with the economic intention

of a bailout as it should not increase the sector’s propensity to boom together but should

rather be limited to decreasing the probability of a joint crash.

6.4.1.4 Robustness checks

As the number of listed banks in the German banking sector is relatively small, I estimate

a number of alternate models in order to check the robustness of the previous findings.

More precisely, I estimate the coefficient of multivariate lower tail dependence given by

(6.9) based on the abnormal returns of Deutsche Bank, Commerzbank and Deutsche Post-

bank in order to extend the described bivariate comparisons to a multivariate analysis of

the changes in the dependence structure of the German banking sector. The parameter k in

(6.9) is chosen to be 40. Unreported results with different parameter choices only resulted

in marginal shifts in the level of the estimates thus leading to the assumption that this par-

ticular choice of the parameter did not alter the estimates of the coefficient of multivariate

lower tail dependence. Results are given in Table 6.6.


Model [t−100; t−1] [t0; t86] [t87; t269] [t270; t338]Multivariate lower tail dependence 0.0805 0.4432 0.2972 0.2205

Tabelle 6.6: Panel A: Multivariate lower tail dependence in the German banking sector.The table gives estimates of the coefficient of multivariate lower tail dependence for theportfolio consisting of Deutsche Bank, Commerzbank and Deutsche Postbank as definedby Schmidt and Schmid (2007). The parameter k was chosen to be 40 (see text for anexplanation of this choice).

From Table 6.6 one can see that the main results from the previous analysis also hold

in the multivariate setting using a different methodology. After a first sharp increase in

lower tail dependence after the crisis announcement, contagion effects slowly decrease

until the final bailout announcement after which lower tail dependence is slightly reduced.

Again the empirical results are consistent with both the hypothesis of contagion effects

increasing after the announcement of crisis at IKB and the hypothesis that the bailout by

KfW was (partly) successful in reducing contagion effects.

As event studies are often biased by confounding events (especially when using large

time windows around events) and as the number of banks in the first sample is small, we

need to check the robustness of the previous results with respect to a sub-sample exluding

confounding events that occured during the four time windows. I therefore identified 16

confounding events of the three banks from the internet archive of the Financial Times

comprising e.g. interim reports, announcements of mergers and profit warnings that were

related to the subprime crisis. Following Foster (1980) I build a sub-sample excluding

symmetric three-day intervals around each confounding events from the initial sample

(if a confounding event occured at any one of the three banks, the interval around the

event was eliminated from all banks’ return series). In total, 44 trading days are excluded

from the initial sample of filtered abnormal returns. In the next step, the bivariate copula

models as well as the coefficient of multivariate lower tail dependence are estimated from

the sub-sample. Results for the bivariate models are given in Table 6.7.

The given results show that the analysis of lower tail dependence is robust even when

confounding events that were not related to IKB’s announcement are excluded from the

sample. This finding supports the notion that indeed the announcements by IKB and KfW

were responsible for the changes in the dependence structure of the German banking

sector. Additionally, the exclusion of confounding events did not change the results with

respect to upper tail dependence. Thus, the finding of a persistent change from upper tail

dependence to symmetric tail independence after the bailout holds for the sub-sample as


[t−100; t−1]** [t0; t86]** [t87; t269]** [t270; t338]**DB+CBπG 0.6687 0.7547 0.3574 0.4552πF 0.0003 0.2448 0.3244 0.5443πC 0.3310 0.0005 0.3182 0.0005p-value 0.000* 0.000* 0.000*DB+PBπG 0.4625 0.6682 0.0008 0.1606πF 0.5370 0.0008 0.8008 0.8411πC 0.0005 0.3310 0.1984 0.0013p-value 0.000* 0.000* 0.000*CB+PBπG 0.9982 0.1111 0.0890 0.0284πF 0.0009 0.8879 0.7679 0.8075πC 0.0009 0.0010 0.1431 0.1641p-value 0.999 0.000* 0.000*

Tabelle 6.7: Panel A: Results of the robustness check for the bivariate Clayton-Frank-Gumbel models excluding confounding events.The table gives estimates of the coefficients πG, πF and πC of the convex combination.p-values are estimated by a Likelihood ratio test for the null hypothesis of constantweights between two time windows. A p-value lower than 0.05 indicates that the changeof weights is significant at the 5%-level (indicated by * in the table).** Exluding three-day-windows symmetrically set around confounding events (see text).


well. In addition to the bivariate models, I also estimate the coefficients of multivariate

lower tail dependence for the sub-sample. Results are given in Table 6.8. In addition to

Model [t−100; t−1]** [t0; t86]** [t87; t269]** [t270; t338]**Multivariate lower tail dependence 0.1046 0.4762 0.3206 0.0274

Tabelle 6.8: Panel A: Results of the robustness check for the multivariate lower tail de-pendence in the German banking sector excluding confounding events.The table gives estimates of the coefficient of multivariate lower tail dependence for theportfolio consisting of Deutsche Bank, Commerzbank and Deutsche Postbank as definedby Schmidt and Schmid (2007). The parameter k again was chosen to be 40 (see text foran explanation of this choice).** Exluding three-day-windows symmetrically set around confounding events (see text).

the previous results, the analysis of the coefficients of multivariate tail dependence given

in Table 6.8 shows that the previous results remain almost unchanged by the exlusion

of confounding events. Moreover, the reduction of contagion effects after the bailout is

even more pronounced than in the previous analysis thus underlining the robustness of the

given results.

Finally, one cannot rule out the possibility that the results for the copula models are biased

by time-variations in the estimated parameters of the GARCH- and market models. Up

to this point, the models used for computing the GARCH-filtered abnormal returns were

estimated with pre-announcement data and were held constant over the rest of the sample.

To check the robustness of the findings against changes in the GARCH- and market mo-

dels over time, I reestimated the models for both the German and Japanese sample in the

following way: Instead of estimating a single GARCH-model over the complete sample,

I estimated separate GARCH-models for each time window. Moreover, instead of estima-

ting a single market model using pre-announcement data, separate market models were

estimated for each time window using 300 observations preceding the time window of in-

terest. In this way, the parameters of both the GARCH- and market models were allowed

to change when switching from one time window to the next one. By the use of both the

new GARCH- and market models, I computed the filtered abnormal returns. In the final

step, the copula models that were previously identified as optimal were fitted to the new

set of filtered abnormal returns. The results for this robustness check are given in Table

6.9. The results clearly show that all previous findings are also robust to time-variations

in the used GARCH- and market models.


[t−100; t−1] [t0; t86] [t87; t269] [t270; t338]DB+CBπG 0.7136 0.9581 0.4149 0.0963πF 0.0006 0.0004 0.2327 0.7185πC 0.2858 0.0415 0.3524 0.1852p-value 0.000* 0.000* 0.000*DB+PBπG 0.5725 0.2373 0.0008 0.0008πF 0.4266 0.3887 0.4048 0.9980πC 0.0009 0.3740 0.5944 0.0012p-value 0.000* 0.000* 0.000*CB+PBπG 0.9982 0.0523 0.0005 0.0008πF 0.0009 0.9475 0.8422 0.9317πC 0.0009 0.0002 0.1573 0.0675p-value 0.999 0.000* 0.000*

Tabelle 6.9: Panel A: Results of the robustness check on the bivariate Clayton-Frank-Gumbel models with time-varying GARCH- and market models.The table gives estimates of the coefficients πG , πF and πC of the convex combination. Foreach time window, a separate GARCH model was fitted to the univariate data in the timewindow. After the GARCH-modelling, a separate market model was fitted to each timewindow using the 300 observations preceding the first day of the respective time window.p-values are estimated by a Likelihood ratio test for the null hypothesis of constantweights between two time windows. A p-value lower than 0.05 indicates that the changeof weights is significant at the 5%-level (indicated by * in the table).


6.4.2 Panel B: Japan 1994-1999

6.4.2.1 Sample description and ARMA-GARCH-modelling

To illustrate the general applicability of the proposed framework, I analyse possible con-

tagion and bailout effects around important announcements during Japan’s bank crisis

in the 1990s. The sample used in the analysis consists of 1409 daily observations of the

logarithmic stock returns of 66 Japanese banks available from the Thomson Financial Da-

tastream database, covering the period from June 3, 1994 to November 4, 1999. Returns

are again defined as the percentage logarithmic difference of the stock prices with holi-

days being excluded from the data sample. Table 6.10 gives some descriptive statistics for

the unfiltered return series.

As for the first sample, all 66 Japanese bank stocks yielded negligible mean daily log-

returns. From the skewness and kurtosis we can again conclude that most of the return

series are not normally distributed. The results of the Jarque-Bera, Ljung-Box and Engle’s

LM test are reported in Table 6.11.

As the LM-test was rejected for almost all bank return series, the univariate marginal

distributions are again modelled with ARMA(p1,q1)-GARCH(p2,q2)-models described in

(6.1) and fitted by Maximum-Likelihood. Again I chose the specifications yielding the

best reduction of serial correlation and ARCH effects for filtering the data. The optimal

model specifications as well as the results of Engle’s LM test performed on the filtered

data are given in Table 6.12.

The test statistics show that the observed ARCH effects could be removed from all filtered

return series with all test results being significant at the 1% significance level.

6.4.2.2 Events and abnormal returns

For the computation of the abnormal returns of the Japanese bank stocks in the second

sample, I consider downgrading announcements of major Japanese banks by S&P as well

as capital injections by the Japanese government (the announcements were taken from

Miyajima and Yafeh, 2007). In contrast to the first sample, all announcements are unequi-

vocally positively or negatively connotated:

• First major downgrading (December 25, 1995): Downgrading of Mitsubishi, Saku-

ra, Sumitomo, and DKB by S & P.


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Ban

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red

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• Second major downgrading (March 3, 1998): Downgrading of LTCB, Tokyo-Mi-

tsubishi, Asahi and Daiwa by S & P.

• First major capital injection (October 12, 1998): The Upper House passes bills to

inject funds to the banking industry.

• Second major capital injection (March 5, 1999): Banks request a government in-

fection of funds.

The abnormal returns are estimated by OLS using 300 observations from the time win-

dow [t−400; t−101] with t0 being December 25, 1995. In contrast to the first sample, I only

include the NIKKEI 225 stock index in the market model as the interest rate had only

an insignificant influence on banks’ stocks in the first sample. The parameter estimates

are then used to compute abnormal daily returns for each of the 66 banks for the time

windows [t−100; t−1] (pre-crisis period), [t0; t590] (first crisis period), [t591; t730] (second

crisis period), [t731; t834] (first bailout period) and finally [t835; t1009] (second bailout peri-

od). Note that the periods between the announcements are sufficiently long in order for

the copula parameter estimators to yield reliable results (see e.g. Gunky et al., 2007; for

an analysis of copula parameter estimators).

6.4.2.3 Copula Analysis

Similarly to the analysis of the first sample, contagion and bailout effects are modeled as

a change in the dependence structure of Japanese banks. More precisely, I fit the Clayton-

Frank-Gumbel mixture model (in order to compare the results of the two samples, I use

the same model in both samples) to each pair of the 66 banks in the sample. In total, I

estimate the parameters of the Clayton-Frank-Gumbel mixture for 2145 pairs of filtered

abnormal bank stocks. To test whether the changes in the estimated parameters between

two periods are significantly different from zero, t-tests are performed on the differences

πCpq− πCpq−1, πFpq

− πFpq−1 and πGpq− πGpq−1 for all pairs of bank stocks.

The parameter estimates aggregated over all 2145 bivariate models as well as the t-test

statistics are given in Table 6.13.

The results show that after both announcements of downgradings by S & P, average lower

tail dependence in the Japanese banking sector rose significantly. At the same time, upper

tail dependence expressing the probability of a joint market boom diminished. Converse-

ly, the periods after the intervention of the Bank of Japan and the Japanese government

are characterised by a sharp decrease in lower tail dependence. Both results are again


Pre-

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isFi

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sSe

cond

cris

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51t-

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6.23

20.3

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0.02

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*23

0.38

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730].

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731;t

834].

Seco

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ilout

=[t

835;t

1109].

6.5. CONCLUSION 123

consistent with the hypothesis of the probability of contagion increasing after negative

announcements concerning the stability of the Japanese financial sector and decreasing

after announcements of rescue measures by the state. Also, we can see that the decrease

in lower tail dependence was again substituted by tail independence. Just like in the first

sample the state’s rescue measures seem to be both effective and efficient in battling the

risk of contagion.

Again, we are interested to rule out the possibility of a bias in the copula models’ results

due to time-variations in the GARCH and market models’ parameters. Therefore, the

same robustness check as in the case of the German sample was applied to the Japanese

sample: instead of estimating the filtered abnormal returns by the use of just one constant

GARCH- and one market model, separate models were fitted to each of the time windows

in order to allow the GARCH- and market models to change between time windows.

The results of this robustness check are given in Table 6.14. Just like in the analysis

of the first data sample, the findings of the copula models remain true even with time-

varying GARCH- and market models. Furthermore, in unreported robustness checks the

results also proved to be robust to an exclusion of confounding events and also hold in a

multivariate analysis.

6.5 Conclusion

In this paper a new framework for detecting effects of bank contagion and bailouts by the

use of conventional event study and copula methodology was proposed. By estimating

GARCH-filtered abnormal returns instead of observed returns, the dependence structure

inherent in a banking sector is not biased by conditional heteroscedasticity in the variances

or the influences of common factors like e.g. the market return. By using copula metho-

dology instead of simply comparing abnormal returns, the contagion and bailout effects

can be analysed directly as a change of the dependence structure.

The empirical study in this paper analysed the changes in the dependence structure of bank

stocks around announcements of financial crisis in Germany during the Subprime crisis

as well as during Japan’s banking crisis in the nineties. The results for both samples show

that significant contagion effects could be detected in both banking sectors after clear

announcements of crisis (i.e. announcements that were not accompanied by immediate

bailout announcements). After the announcements of the state acting as a lender of last

resort to troubled banks, lower tail dependence was effectively reduced while at the same

6.5. CONCLUSION 124

Pre-

cris

isFi

rstc

risi

sSe

cond

cris

isFi

rstb

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cond

bailo

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0.29

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834].

Seco

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=[t

835;t

1109].

6.5. CONCLUSION 125

time tail independence increased significantly. All given results also hold in a multivariate

setting and are robust to an exclusion of confounding events as well as to time-variations

in the univariate models.

The described shift in tail dependence indicates that the bailout announcements did not

simply restore the pre-crisis dependence structure, but rather only decreased the likelihood

of a joint crash of bank stocks. This finding is consistent with the wish of policy makers

to decrease the probability of contagion without giving away free lunches to banks. One

topic not addressed in this paper is the question which factors of the banking system

determine the likelihood of contagion effects and the success of bailouts. To answer this

question, more examples of bank contagion and bailouts need to be analysed in future

research complemented by cross-sectional analyses.

Kapitel A

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Anhang B

Empirical observators for the

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dependence function

Goal:

To compute an approximation to the distances ρL1

k , ρCvMK and ρKS

K dependent on a given

sample U, a hypothesised parametric copula family C and a parameter θ.

Algorithm:

(1) Choose m ≥ n.

(2) Generate a random sample U∗1, . . . ,U∗m of size m from the copula Cθ.

(3) Compute the transformed data

V ∗i ≡ 1

m

m∑j=1

1(U∗j ≤ U∗i ), i ∈ {1, . . . , m} .

(4) Approximate Kθ by

Bm(t) ≡ 1

m

m∑i=1

1(V ∗i ≤ t), t ∈ [0; 1].

(5) Approximate ρL1k , ρCvM

K and ρKSK by

ρL1k ≡ n

m

m∑i=1

|Kn(V ∗i ) − Bm(V ∗i )|

ρCvMk ≡ n

m

m∑i=1

{Kn(V ∗i ) − Bm(V ∗i )}2

137

ANHANG B. EMPIRICAL OBSERVATORS FOR THE MD-ESTIMATORS BASED

ON KENDALL’S DEPENDENCE FUNCTION138

ρKSk ≡ max

i∈Nm

|Kn(V ∗i ) − Bm(V ∗i )|

Anhang C

Outline of the L-BFGS-B algorithm

In the following the L-BFGS-B algorithm is described (see Byrd et al., 1995). Consider

a nonlinear objective function f : Rn → R whose gradient g is given. The approximate

solution for

min f(Λ)

subject to l ≤ Λ ≤ u, where l and u are lower and upper bounds on the parameter vector

is computed iteratively by the following rule:

Assume that the current iterate Λk, the function value at fk, the gradient gk and a positive

definite limited memory Hessian approximation Bk have already been computed. This

allows us to form a quadratic model of f at Λk:

mk(Λ) = f(Λk) + gTk (Λ − Λk) +

1

2(Λ − Λk)

TBk(Λ − Λk).

The aim of the algorithm is to approximately minimise mk(Λ) subject to l ≤ Λ ≤ u.

Therefore consider the piecewise linear path

λ(t) = P (Λk − tgk, l, u)

which is obtained by projecting the direction of the steepest descent onto the feasible

region, where

P (Λ, l, u)i =

⎧⎪⎨⎪⎩li, if Λi < li

Λi, if Λi ∈ [li; ui]

ui, if Λi > ui.

In the next step the generalised Cauchy point Λc defined as the first local minimiser of

the univariate, piecewise quadratic qk(t) = mk(Λ(t)) is computed. The variables whose

value at Λc is at lower or upper bound, comprising the active set A(Λc), are held ficex.

Consider the following quadratic problem over the subspace of free variables:

min {mk(Λ) : xi = xci ∀i ∈ A(Λc)}

139

ANHANG C. OUTLINE OF THE L-BFGS-B ALGORITHM 140

subject to li ≤ Λi ≤ ui ∀i /∈ A(Λc). This minimisation task is (approximately) solved,

ignoring the bounds on the free variables, which can be accomplished either by the use

of direct or iterative methods on the subspace of free variables, or by a dual approach,

handling the active bounds by Lagrange multipliers. When an iterative method is used we

employ Λc as the starting point for this iteration. We then truncate the path toward the

solution so as to satisfy the bounds.

After an approximate solution Λk+1 has been found, one computes the new iterate Λk+1

by a line search along dk := Λk+1 − Λk that satisfies the sufficient decrease condition

f(Λk+1) ≤ f(Λk) + αγkgTk dk,

and that also attempts to enforce the curvature condition∣∣gTk+1dk

∣∣ ≤ β∣∣gT

k dk

∣∣where γk is the steplength and α, β are parameters that in the work by Byrd et al. (1995)

have the values 10−4 and 0.9, respectively. The exact specifications of the line search can

also be found in Byrd et al. (1995). Finally, the gradient at iterate Λk+1 is evaluated, a new

limited memory Hessian approximation Bk+1 in order to begin a new iteration.

Gregor Nikolaus Felix Weiß

Lehrstuhl fur Finanzierung und Kreditwirtschaft Tel.: +49 (234) 32-23427Universitatsstraße 150, GC 4/136. Fax: +49 (234) 32-14699Ruhr-Universitat Bochum [email protected] Bochum http://www.rub.de/fin-kred/weiss.htm

Personliche Daten

Geburtsdatum und -ort 9. Marz 1981, UnnaFamilienstand ledigStaatsangehrigkeit deutsch

Schulische und akademische Ausbildung

1991-2000 Geschwister-Scholl Gymnasium Unna(Abiturnote: 1,4 )

2000-2001 Zivildienst im Westf. Schulerinternat fur Gehorlose, Dortmund2001-2006 Studium der Betriebswirtschaftslehre an der Universitat Passau

(Diplomnote: 1,56 )2003-2004 Auslandsstudium an der Kyoto Sangyo University, Japanseit 2005 Studium der Mathematik an der FernUniversitat Hagen

(Vordiplomsnote: sehr gut)2004-2009 Studium der Wirtschaftsinformatik an der Universitat Passau

und der FernUniversitat Hagen,Abschluss als Bachelor of Science(Gesamtnote: 1,7 )

2006-2010 Promotionsstudium der Wirtschaftswissenschaftan der Ruhr-Universitat Bochum(Gesamtnote: summa cum laude)

Berufserfahrung

Mai–Oktober 2006 Accenture GmbHAnalyst im Bereich Financial Services

seit November 2006 Ruhr-Universitat BochumLehrstuhl fur Finanzierung und KreditwirtschaftWissenschaftlicher Mitarbeiter

Bochum, den 12. Februar 2010

Über die Verwendung von Copula-Funktionen im quantitativen

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