Curso propedeutico 2016

1

DIRECCIÓN ACADÉMICA

DIVISIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO PROPEDÉUTICO

VERANO 2016

ING. Y E.T.I.A RODOLFO G. ALCÁNTARA ROSALES

Jilotepec, Mex. Agosto 2016

i

PRESENTACIÓN. Para las carreras de ingeniería, las herramientas de la matemática son importantes para

modelar y comprender el comportamiento de las variables que conforman un

determinado sistema físico o para el diseño de dispositivos industriales, procesos

productivos, diseño de estructuras y demás áreas de la ingeniería.

En el presente curso propedéutico se desarrollan temas básicos para aplicarlos en

el estudio de matemáticas superiores dividiéndose en cuatro unidades de estudio:

Aritmética, Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica.

La estructura comprende un resumen teórico con ejemplos, actividades en equipo

y posteriormente ejercicios que debe realizar el alumno para reafirmar el conocimiento

adquirido y ser parte de su evaluación del curso.

El presente material, también puede servir como apoyo para que el estudiante lo pueda

consultar cuando curse las asignaturas de: Cálculo Diferencial, Integral, Álgebra Lineal,

Cálculo Vectorial, Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad y Estadística.

ii

INDICE

TEMA I MATEMÁTICAS 1

1.1 Números reales 2

1.1.1 Propiedades de los números reales 3

1.1.2 Nomenclatura 3

1.1.3 Operaciones con números racionales 4

1.1.4 Otras operaciones con números reales 7

1.1.5 Notación científica 9

1.2 CONJUNTOS 9

1.2.1 Producto cartesiano 11

1.2.2 Operaciones con conjuntos 12

1.2 ALGEBRA 15

1.3.1 Grado y ordenación de un polinomio 15

1.3.2 Términos semejantes 16

1.3.3 Multiplicación de un monomio por un polinomio 17

1.3.5 Grado y ordenación de un polinomio 18

1.3.6 Multiplicación de un monomio por un polinomio 20

1.3.7 Multiplicación de polinomios 21

1.3.8 Teorema del residuo 23

1.3.9 División sintética 24

1.3.10 Productos notables 27

1.3.11 Factorización 29

1.3.12 Factorización de trinomios x2 + bx + c 31

1.3.13 Factorización de trinomios ax2 + bx + c 32

1.3.14 Factorización de trinomios ax2 + bx + c segundo método 32

iii

1.3.15 Factorización de expresiones compuestas x2 + 2xy + y2 – k2 33

1.3.16 Suma y resta de fracciones 33

1.4 ECUACIONES LINEALES 35

1.4.1 Solución de sistemas lineales con dos y tres incógnitas 37

1.4.2 Solución gráfica de ecuaciones cuadráticas 41

1.5 TRIGONOMETRÍA 43

1.5.1 Ángulos 43

1.5.2 Longitud de arco y Área de sector circular 45

1.5.3 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo 48

1.5.4 Relaciones entre funciones trigonométricas 49

1.5.5 Teorema del seno y coseno 50

1.6 GEOMETRÍA ANALÍTICA 51

1.6.1 Sistemas de cooerdenadas cartesianas 51

1.6.2 Distancia entre dos puntos 53

1.6.3 La línea recta 55

1.6.4 La ecuación de la línea recta 58

1.6.5 La circunferencia 60

1.6.6 Ecuación cartesiana de la circunferencia de centro en el origen y radio r 61

1.6.7 Ecuación cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un punto

cualquiera del plano

61

1.6.8 Cónicas 63

1.6.9 Parábola 64

1.6.10 Elipse 67

1.6.11 Hipérbola 71

iv

TEMA II FÍSICA 74

2.1 SISTEMA DE UNIDADES 75

2.1.1 Medición 75

2.1.2 Magnitudes fundamentales y derivadas 76

2.1.3 Unidades métricas 78

2.1.4 Sistema inglés 79

2.1.5 Conversión de unidades 79

2.1.6 Densidad o masa específica 81

2.2 CINEMÁTICA 85

2.2.1 Velocidad 85

2.2.2 Movimiento rectilineo uniforme 86

2.2.3 Velocidad media 88

2.2.4 Velocidad instantánea 88

2.2.5 Cambio de velocidad: aceleración media 89

2.2.6 Movimiento rectilíneo con aceleración constante 90

2.3 VECTORES 93

2.3.1 Suma de vectores 94

2.4 LEYES DE NEWTON 99

2.4.1 Primera Ley de Newton 99

2.4.2 Segunda Ley de Newton 100

2.4.3 Tercera Ley de Newton 101

2.4.4 Peso 101

2.4.5 Fuerza de fricción 102

2.4.6 Fuerzas en dos dimensiones 103

v

2.5 TRABAJO Y ENERGÍA MECÁNICA 106

2.5.1 Concepto de energía 106

2.5.2 Conservacide la energía 106

2.5.3 trabajo (Mecánico) 107

2.5.4 trabajo de la fuerza resultante 107

2.5.5 potencia y eficiencia (Rapidez de trabajo) 109

2.6 ENERGÍA CINÉTICA 111

2.6.1 Concepto de energía 111

2.6.2 ¿Qué es energía cinética? 112

2.6.3 relación entre el trabajo y la energía cinética 113

vi

INDICE DE FIGURAS

Fig. 1 La línea recta. 2

Fig. 2 Signos de una fracción 4

Fig. 3 Representación gráfica del producto A X B. 11

Fig. 4 Raíces de la función 3x2 – 25 = 0 42

Fig. 5 Ángulo entre dos rectas. 43

Fig. 6 Longitud de arco y áarea de sector circular 45

Fig. 7 Ángulo y area de sector circular calculados. 46

Fig. 8 Malacate actividad 23 47

Fig. 9 Triángulo rectángulo actividad 24 51

Fig. 10 Sistema coordenado cartesiano 52

Fig. 11 Distancia entre dos puntos 54

Fig. 12 Ángulo de una línea 56

Fig. 13 Pendiente de una línea recta. 56

Fig. 14 Obtención de la pendiente de una línea recta 57

Fig. 15 Diferentes pendientes de líaneas rectas 58

Fig. 16 Líneas ectas para actividad 25 59

Fig. 17 Circunferencia con centro en el origen y otras coordenadas 61

Fig. 18 Circunferencia con centro en C. 62

Fig. 19 Circunferencias para actividad 26 63

Fig. 20 Cónicas 64

Fig. 21 Parábola 64

Fig. 22 Parábolas horizontal y vertical 65

Fig. 23 Parábola vertical abriendo hacia abajo 66

Fig. 24 Parábola vertical abriendo hacia arriba con vértice en el origen 66

Fig. 25 Parábola horizontal abriendo hacia la izquierda 67

Fig. 26 Excentricidad de la elipse 68

Fig. 27 Ecuación de la elipse. 68

Fig. 28 Ecuación elipse vertical. 69

vii

Fig. 29 Hipérbola horizontal 71

Fig. 30 Hipérbola vertical 72

Fig. 31 Linea recta para ser medid 75

Fig. 32 Tanque de gasolina 82

Fig. 33 Velocímetros 84

Fig. 34 Horno de producción de pan 87

Fig. 35 Vector 93

Fig. 36 Método geométrico suma de vectores 94

Fig. 37 Componentes de un vector 95

Fig. 38 Vectores coplanares 97

Fig. 39 Vectores coplanares actividad 34 99

Fig. 40 Momento de partículas 100

Fig. 41 Anuncio colgante 104

Fig. 42 Diagraama de cuerpo libre 104

Fig. 43 Máquina de Atwood 106

viii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Propiedades de los números reales 3

Tabla 2. Símbolos de los números reales 3

Tabla 3. Operaciones más complejas con números reales. 7

Tabla 4. Notación científica 9

Tabla 5. Tipos de ángulos 43

Tabla 6. Factores de conversión entre unidades de grados 44

Tabla7. Expresiones para el ángulo α y β 48

Tabla 8. Valores significativos de ángulos 49

Tabla 9 Mediciones obtenidas de la línea 76

Tabla 10. Unidades fundamentales del SI 77

Tabla 11 Unidades derivadas 77

Tabla 12. Prefijos del SI. 78

Tabla 13. Equivalencia SI sistema inglés 79

Tabla 14 Datos actividad 33 92

Tabla 15 Coeficientes de fricción 103

Tabla 16 Datos actividad 36 105

ix

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CRITERIOS DE EVALUACION

No. INSTRUMENTOS

DE EVALUACION

TEMA

MATEMATICAS FISICA QUÍMICA

CONCEPTUALES Y

PROCEDIMENTALES

1 EXÁMEN ESCRITO

30% 30% 30%

9 TAREAS INDIVIDUALES

20% 20% 20%

10 TAREAS EN EQUIPO

20% 20% 20%

ACTITUDINALES

3 DISCIPLINA 10% 10% 10%

4 PUNTUALIDAD 10% 10% 10%

5 ATENCION EN

CLASE 10% 10% 10%

TOTAL = 100% 100% 100%

EXAMEN ESCRITO (EE). Consiste en la solución de problemas de aplicación y se realizará en el salón de clases al finalizar cada unidad.

TAREAS INDIVIDUALES (TI) . Son actividades que se asignarán al alumno(a) en clase o por internet y que deberá realizar después de clase para entregar al dia siguiente y ser evaluada.

TAREAS EN EQUIPO (TE) . Son actividades que realizarán los alumnos en equipos de tres integrantes y se asignarán en clase o por internet y que pueden ser evaluadas el mismo dia o en la fecha indicada por el profesor.

DISCIPLINA . El alumno(a) deberá respetar los reglamentos de la institución, así como las reglas establecidas por el profesor en clase. Además deberá tratar con respeto a sus compañeros, profesor y autoridades.

PUNTUALIDAD. El almno(a) deberá acudir puntualemente a su clase. Después de iniciada solo se tendra una tolerancia de 10 minutos y se considerará retardo. Tres retardos generan una falta. Solo se pueden tener dos faltas a lo largo del curso, en caso contrario se considerará como no acreditado el curso.

x

ATENCIÓN EN CLASE . Para garantizar el aprendizaje, los alumnos deberán atendar en todo tiempo las indicaciones del profesor así como las participaciones de sus compañeros. Está prohibido el uso de computadoras (salvo que lo indique el profesor para realizar alguna actividad), telefonos celulares o realizar alguna otra actividad diferente en el salón de clase. De no cumplir con este punto el alumno tendrá que abandonar el salón de clase y se le pondrá falta. En caso de reincidir en una segunda ocasión, causará baja del curso.

xi

INTRODUCCIÓN

El universo que nos rodea y los fenómenos que ocurren en el, solo puede ser explicado por el uso de modelos matemáticos y las leyes fundamentales de la física y química; asi tenemos las ecuaciones de Hamilton para la mecánica, las ecuaciones de Maxwell para electrodinámica, para la mecánica estadística las ecuaciones de Boltzman, en el caso de la física cuántica las ecuaciones de Schrondiger la pueden describir muy bien, y finalmente la teoría de la relatividad de Einsten quien establece su ecuación Gµυ = -8πTµυ

Por tal motivo, ninguna disciplina de la ingenería podría ser entendida sin el apoyo de estos modelos. Sí el estudiante de ingeniería debe empezar a familiarizarse con las Teorías y conceptos fundamentales de las ciencias básicas, que serán el soporte para sus asignaturas de especialidad y no solo pueda entenderlos sino sea capaz de generar nuevo conocimiento, como lo establece el modelo educativo basado en competencias profesionales.

A lo largo de este curso propedeutico no solamente se retomarán algunos conceptos ya conocidos, sino que se enfocarán a su uso en la solución de problemas de la realidad, donde el profesor solo será un facilitador y el alumno un participante activo en la adquisición y generación de conocimeinto a través de las actividades indicadas.

Deseamos el mayor de los éxitos a los estudiantes de nuevo ingreso al TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JILOTEPEC.

¡BIENVENIDOS!

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS .

1

TEMA I

MATEMÁTICAS

2

1.1 NÚMEROS REALES

Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros racionales e irracionales.

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: 1, 2, 3,… Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero. 0, 1, 2, 3, 4, 5… Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el cero. …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,… Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero. 1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445... Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero. -1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1, El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni negativo. Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido dividido en partes iguales. ⅛, 7.4, -2.35, 8, -25 Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. 0.789, 3.1456,

Los podemos representar el la recta numérica:

Fig. 1 La línea recta.

3

1.1.1 Propiedades de los números reales

Para poder realizar operaciones con los números reales se deben considerar sus propiedades. Sean a, b y c números reales:

Tabla 1. Propiedaes de los números reales.

1. Propiedad Conmutativa

a + b = b + a ab = ba Ej: 5 + 8 = 8 + 5 = 13 (5)(8) = (8)(5) = 40

2. Propiedad Asociativa a + ( b + c ) = (a + b ) + c a(bc) = (ab)c Ej: 5 + (8 + 7) = ( 5 + 8 ) + 7 = 20 5(8x7) = (5x8)7 = 280

3. Existencia del neutro a + 0 = 0 + a = a ax1 = 1xa = a Ej: 5 + 0 = 0 + 5 = 5 5x1 = 1x5 = 5

1.1.2 Nomenclatura

Para identificar a los Números Reales, se utiliza la siguiente nomenclatura:

Tabla 2. Símbolos de los números reales.

SÍMBOLO

NOMBRE

N Naturales

Z Enteros

Q Racionales

I Irracionales

R Reales

4

1.1.3 Operaciones con números racionales

A los números racionales también se les conoce como fracciones comunes y como quebrados. Dos fracciones son equivalentes si y solo si tanto al multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda y al denominador de la primera por el numerador de la segunda los dos productos son iguales.

si y solo si ad = bc

Ejemplo:

En una fracción hay que considerar tres signos: el de la fracción, el del numerador y el del denominador.

Fig. 2 Signos de una fracción

Un número racional es de la forma a/b, donde a,b so n números enteros y b ≠ 0: tanto a como b se le llaman términos.

5

Las operaciones básicas que se pueden realiza con los números racionales son:

i) Suma. Es una operación binaria, cerrada, con inverso aditivo, existe el elemento neutro, es asociativa y conmutativa.

ii) Resta. La resta de una fracción a/b menos c/d es igual a la suma de a/b y el inverso aditivo de c/d.

iii) Multiplicación. Es una operación binaria, cerrada, con inverso multiplicativo, existe elemento neutro, es asociativa, conmutativa y distributiva.

iv) División. Es una operación que utiliza el recíproco divisor.

6

ACTIVIDAD 1 (TI)

Obtenga el resultado de las siguientes operaciones de números racionales sin uso de

calculadora:

ACTIVIDAD 2 (TE)

PROBLEMA DE APLICACIÓN:

Un agricultor va a comprar cuatro parcelas del mismo número de terrenos. Si cada uno tiene un área total, determina cuanta superficie compró, si las secciones de cada terreno que adquirió se muestra a continiación:

1.1.4 Otras operaciones con números reales

RESULTADOS

1.

2.

3.

4.

5.

7

Tabla 3. Operaciones más complejas con números reales.

OPERACIÓN NOTACIÓN/EJEMPLO

EXPONENCIACIÓN

La potencia de un número es el producto

de varios factores iguales a el: en la

expresión bL = N, b es la base, L el

exponente y N la potencia.

I. aman = a(m+n)

Ejemplo: (3 2)(35) = 3(2+5) = 37

II. (am)n = amn

Ejemplo: (7 4)8 = 732

III. (ab)m = ambm

Ejemplo: (5 x 6) 9 = 59 x 69

IV. Si m > n a m / an = a(m-n)

Ejemplo: 5 4/52 = 5(4-2) = 52 ; 83/85 = 8(3-5) =

8(-2)

V. (a/b)n = (an/bn)

Ejemplo: (25/35) 90 = (2590/3590)

RADICACIÓN

La radicación es la extracción de una raíz

de un número. En general donde b es la raíz enésima de a.

I.

Ejemplo

II.

Ejemplo

III.

Ejemplo

ACTIVIDAD 3 (TI)

8

Con las reglas anteriores, obtenga el resultado de las siguientes operaciones:

ACTIVIDAD 4 (TE) PROBLEMAS DE APLICACIÓN Para cada enunciado, escribalo en lenguaje aritmético: El cubo de la raíz sexta de sesenta y cinco

La raíz cúbica de diez al cuadrado

La suma de cinco octavos mas tres cuartos elevados a la quinta potencia

La enésima raíz de a elevada a la emésima potencia

1.4.1 Notación científica

9

En el trabajo científico se utilizan magnitudes muy grandes o muy pequeñas, por lo que

es necesario expresarlas en notación científica, en la que el número real se cita con un

número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10.

Tabla 4. Notación científica

100 = 1 100 = 1

101 = 10 10-1 = 0.1

102 = 100 10-2 = 0.01

103 = 1000 10-3 = 0.001

Ejemplos:

474 000 = 4.74 x 105

0.000 000 534 = 5.34 x 10-7

ACTIVIDAD 5 (TI)

Desarrolle las siguientes notaciones científicas:

1.5 CONJUNTOS

Un conjunto es cualquier colección de objetos bien definidos, de tal manera que se puede decir siempre si un objeto pertenece al conjunto al que se refiere. El conjunto que no tiene elementos, se le denomina conjunto vacío 0

Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y los objetos que lo integran se llaman

elementos, los cuales se colocan dentro de llaves { } y separados por comas.

10

Ejemplo:

A = {1,2,3]

B= {Rosa. Carlos, Paula}

C= { x │x ϵ A y x ϵ B } (C es el conjunto de todas las x tal que x pertenece a A y x

pertenece a B)

En este último ejemplo, el símbolo ϵ indica la pertenencia de un elemento a un conjunto

determinado.

Muchas de las funciones que se utilizan en modelos matemáticos se refieren a la

pertenencia de la variable a un determinado conjunto. Por ejemplo: “Sea U el conjunto de

todas las x tal que x pertenece a los números Naturales y x es menor o igual a 9”. Para

describir este conjunto en la notación matemática se tiene:

U = { x │ x ϵ N, x ≤ 9}

Subconjuntos.

A ⊆⊆⊆⊆ B (A subconjunto de B).

ACTIVIDAD 5 (TI)

Construya el modelo matemático de los siguientes conjuntos:

a) “Sea A el conjunto de todas las x tal que x pertenece a los números Naturales y x

es menor o igual a 4”

b) Sea B el conjunto de todas las x tal que x pertenece a los números reales y x es

menor que 3”

c) Sea C el conjunto de todas las q, tal que q pertenece a los números Naturales y q

es mayor que 130 y menor que 1000”

Si todos los elementos de un conjunto A también son elementos de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B.

11

1.2.1 Producto cartesiano

Ejemplo:

Sean los conjuntos A = {a,b} y B = {1,9,15}

El producto cartesiano, está dado por:

A X B = { (x,y) │ x ϵ A, y ϵ B}

Desarrollando el conjunto, tenemos:

A X B = { (a,1), (a,9), (a,15), (b,1), (b,9), (b,15) }

Representando este conjunto en el eje coordenado, tenemos:

Fig. 3 Representación gráfica del producto A X B.

ACTIVIDAD 6 (TI)

Sean los conjuntos θ y ω; obtener el producto cartesiano y graficarlo.

12

θ= {1,2,3}

ω= {4,5}

Solución θ x ω

1.2.2 Operaciones con conjuntos

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjun to que forman los elementos que pertenecen a ambos conjuntos y se representa po r la notación A ∩∩∩∩ B, se lee “A intersección B”

A ∩∩∩∩ B = {x │ x ϵ A y x ϵ B}

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A = {a,b,c,d} B = {a,b,f,g}

A ∩ B = {a,b}

Unión

Es la reunión de los elementos de dos o más conjunt os para formar uno solo. Se representa por la notación A ∪∪∪∪ B.

A ∪∪∪∪ B = {x │ x ϵ A ó x ϵ b}


P = {a,b,c,d}

M = {c,d,f,g}

13

P ∪∪∪∪ M = {a,b,c,f,g}

Complemento de un conjunto

Si se tiene un conjunto universal U, a la diferenci a de U – A se le llama complemento de A y se indica A’

A’ = {x ϵ U │ x ∉∉∉∉ A}A}A}A}


U = {a,b,c,d,f,g}

A = {a,b,c}

A’ = {d,f,g}

A ∪∪∪∪ A’ = U

Diferencia entre conjuntos

La diferencia A – B, en este orden, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B.

A – B = {x ϵ U │ x ϵ A, x ∉∉∉∉ B}B}B}B}


A = {a,b,c,d,f}

B = {a,b}

A – B = {c,d,f}

ACTIVIDAD 7 (TI)

1. Dados los siguientes conjuntos:

A = {a.b.c.d}

14

B = {x ϵ N │ x < 4}

C = { x ϵ N │ x es divisible entre 3}

D = {1,2,3}

E = {a,b,d}

Escriba en el espacio correspondiente, el símbolo apropiado ϵ, ∉, ⊆,

a __ A

0 ___B 7 ___ D E __ A

g __ A

2 __ B 18 __ C B __ D

2 __ C

F __ E 10 __ C D __ C

2. Con los conjuntos:

A = {1,2,3,4}

B = {1,3,7}

C = {3,7,8,9}

A ∪ B =

A ∩ A’ =

A – A =

A x B =

15

Obtener

1.3 ALGEBRA

Con el álgebra se usan letras para representar cualquier número conocido o desconocido

o cualquier intervalo numérico. A estas letras se les llama literales. Por lo general, las

cantidades conocidas se expresan por las primeras l etras del abecedario ( a,b,c,..)

mientras que las desconocidas con las últimas letra s (u,v,w,x,y,z).

Con el uso de estas literales, es posible representar modelos que den solución a un

problema o representen la relación entre diferentes números. Por ejemplo, para

representar la diferencia entre dos números en forma general, se utiliza la expresión a-b.

1.3.1 Grado y ordenación de un polinomio

El grado particular de un monomio, está dado por el exponente de la literal de que se trate; si el monomio tiene más de una literal tendrá un gr ado por cada una de las literales y el grado absoluto del monomio estará dado por la suma de los exponentes de las literales .

Ejemplo: Sea el término 3x2y5z

Grado respecto a x es 2

Grado respecto a y es 5

Grado respecto a z es 1

Grado absoluto es 8

B x C =

C x B =

B x A =

16

Ordenar un polinomio implica escribir sus términos en tal forma que el exponente de una misma literal, disminuya o aumente de términ o a término; en el primer caso se dice que el polinomio se ordenó en forma decreci ente y en el segundo en forma creciente respecto a la literal que se trate .

1.3.2 Términos semejantes

Los términos que tienen los mismos factores literales afectados de iguales exponentes se llaman términos semejantes.

En la expresión 5xy + 3y – 2xy + 2xy2 los términos semejantes son 5xy & -2xy, por lo que la expresión se puede reducir y quedar de la siguiente forma: 3xy + 3y +2xy2

Reducir términos semejantes es una operación cuyo objetivo es convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

Uso de paréntesis

Cuando un grupo de términos en un expresión algebraica vayan a manejarse como un

solo número deben encerrarse en paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }; estos símbolos

se utilizan para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones y el orden en el cual

deben efectuarse.

Cuando una expresión contiene uno o más pares de símbolos de agrupación, encerrados

en otro par, siempre se eliminan primero el de más adentro.

Ejemplo:

Quitar los signos de agrupación y simplificar por reducción de términos semejantes:

4 – {3x + [2x – (5y +2)]} = 4 – {3x + [2x – 5y -2]}

= 4 – {3x + 2x -5y -2}

= 4 – 3x – 2x + 5y + 2

= 4 – 5x + 5y + 2

= 6 – 5x +5y

1.3.3 Multiplicación de un monomio por un polinomio

17

Para efectuar la operación de multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la

propiedad distributiva y realizar el producto del monomio por cada uno de los elementos

del binomio. El resultado final si es el caso se puede reducir agrupando términos

semejantes.

Ejemplo: Sea el producto

x2y(4x -5xy + 7y) = 4x3y – 5x3y + 7y

= -x3y + 7y

ACTIVIDAD 8 (TI)

Exprese mediante literales, los siguientes enunciados:

ENUNCIADO MODELO MATEMÁTICO

El producto de tres números disminuido

en 4 unidades.

La cuarta parte del cubo de un número.

El producto de un número por la

diferencia de otros dos

El cuadrado de la diferencia de dos

números.

El producto de la suma de dos números

por la diferenci de los mismos.

1.3.5 Grado y ordenación de un polinomio

18

Ejemplo: Sea el término 3x2y5z

Grado respecto a x es 2

Grado respecto a y es 5

Grado respecto a z es 1

Grado absoluto es 8

Términos semejantes.

Los términos que tienen los mismos factores literales afectados de iguales exponentes

se llaman términos semejantes.

En la expresión 5xy + 3y – 2xy + 2xy2 los términos semejantes son 5xy & -2xy, por lo que

la expresión se puede reducir y quedar de la siguiente forma: 3xy + 3y +2xy2

Reducir términos semejantes es una operación cuyo objetivo es convertir en un solo

término dos o más términos semejantes.

Uso de paréntesis.

El grado particular de un monomio, está dado por el exponente de la literal de que se trate; si el monomio tiene más de una literal tendrá un grado por cada una de las literales y el grado a bsoluto del monomio estará dado por la suma de los exponentes d e las literales.

Ordenar un polinomio implica escribir sus términos en tal forma que el exponente de una misma literal, dismi nuya o aumente de término a término; en el primer caso se dice que el polinomio se ordenó en forma decreciente y en el segundo en forma creciente respecto a la literal que se tra te.

19

Cuando un grupo de términos en un expresión algebraica vayan a manejarse como un

solo número deben encerrarse en paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }; estos símbolos

se utilizan para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones y el orden en el cual

deben efectuarse.

Cuando una expresión contiene uno o más pares de símbolos de agrupación, encerrados

en otro par, siempre se eliminan primero el de más adentro.

Ejemplo:

Quitar los signos de agrupación y simplificar por reducción de términos semejantes:

4 – {3x + [2x – (5y +2)]} = 4 – {3x + [2x – 5y -2]}

= 4 – {3x + 2x -5y -2}

= 4 – 3x – 2x + 5y + 2

= 4 – 5x + 5y + 2

= 6 – 5x +5y

ACTIVIDAD 9 (TI)

Dados los siguientes polinomios, reducir los términos semejantes y obtener una

expresión más simple.

Polinomio Resultado

20

ACTIVIDAD 10 (TE)

Relacione para cada agrupación de términos la reducción correspondiente.

1.3.6 Multiplicación de un monomio por un polinomio .

Para efectuar la operación de multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la

propiedad distributiva y realizar el producto del monomio por cada uno de los elementos

del binomio. El resultado final si es el caso se puede reducir agrupando términos

semejantes.

Ejemplo: Sea el producto

x2y(4x -5xy + 7y) = 4x3y – 5x3y + 7y

= -x3y + 7y

21

ACTIVIDAD 11 (TI)

Realice las siguientes multiplicaciones:

1.3.7 Multiplicación de polinomios

En este caso, se multiplican los términos de un polinomio con los términos del otro uno a

uno y el resultado, de ser posible, se simplifica.

Ejemplo: Desarrolle el producto de los siguientes polinomios:

(3x + 8y) (-6x – 6y) = -18x2 – 18xy – 48xy – 48y2

= -18x2 – 66xy – 48y2

ACTIVIDAD 12 (TI)

División.

22

Esta operación la podemos dividir en dos:

a) Polinomio entre monomio . El cociente es la suma de los cocientes que resultan

de dividir cada término del polinomio entre el monomio. De ser el caso, en cada

división se reducen los exponentes de cada término con la misma base.

Ejemplo:

b) Polinomio entre polinomio . Para efectuar la división, se aplican los siguientes

pasos:

i) Se ordena el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una

misma letra que aparezca en ambos.

ii) Para obtener el primer término del cociente se divide el primer término del

dividendo entre el primer término del divisor.

iii) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y se resta

algebraicamente del dividendo.

iv) El residuo obtenido se trata como un nuevo divisor y se repiten los

procedimientos (ii) y (iii).

v) Se continua con este proceso hasta obtener un residuo en el cual el mayor

exponente de la letra que se escogió en (i) como base de ordenación sea

menor que el mayor exponente de dicha letra en el divisor.

Ejemplo: Realice la siguiente división

Aplicando los pasos anteriores, se tiene la siguiente solución:

23

ACTIVIDAD 13 (TE)

Para cada una de las siguientes divisiones, obtenga el cociente y el residuo:

División Cociente Residuo

(32x2y3z4 – 24x4y3z2)/(-4x2y2z2)

(-45a4b8 + 81a6b4)/(-9a3b2)

(xy2z3 – x3y2z + x2y2z2)/(xy2z)

2m5-5m4+6m3+4m2-11m+4

2m2 – 3m +1

6 + 10m + 3m2 + m3 + m4 + m5

m2 + m + 2

1.3.8 Teorema del residuo

Si se tiene un polinomio de grado n y se divide entre un binomio de la forma x-a, es

posible determinar si la división es exacta o no calculando el residuo al igualar acero el

binomio, despejar el valor de la variable y sustituirlo en el polinomio. Si el resultado es

cero, la división es exacta, de lo contrario se tendrá el residuo respectivo.

24

Ejemplo: Sea la división

x2 – 7x + 3

x – 4

Igualando a cero el denominador y despejando x

x - 4 = 0 ; x = 4

Sustituyendo este valor en el polinomio:

(4)2 – 7(4) + 3 = - 9

El resultado es el valor del residuo, por lo que la división no es exacta.

1.3.9 División sintética

Una forma rápida de realizar Igualando a cero el denominador y despejando x

Ejemplo:

x3 + 2x2 – 4x + 1

x - 1

Igualando a cero el denominador y despejando x

x - 1 = 0 ; x = 1

Sustituyendo este valor en el polinomio:

(1)3 + 2(1)2 – 4(1) + 1 = 0

Como el resultado es cero, la división es exacta y x – 1 es factor del polinomio.

la división entre un polinomio de la forma a0xn + a1x

n-1 + …+ an entre un binomio x-r ,

consiste en aplicar la regla de la división sintética, la cual se determina mediante los

siguientes pasos:

25

1. En la primera línea se escriben los coeficientes a0, a1 , a2 …del polinomio; el

número r se coloca a la derecha en la misma fila con signo contrario. Si alguna

potencia de x no aparece su coeficiente se escribe como cero.

2. Se escribe el coeficiente principal de a0 como primer término de la tercera línea y

se multiplica por r. se escribe el producto a0r en la segunda línea debajo de a1.

3. Se suma a1 con el producto a0r y se escribe la suma en la tercera línea,

continuándose de esta manera; el último número de la tercer línea es el residuo.

4. Los números que se obtienen en la tercer línea, excepto el último, son los

coeficientes del cociente y corresponden a potencias descendentes de x.

Ejemplo: Obtenga la división por el método de división sintética.

x3 + 4x2 + 7x - 9

x + 2

1 4 7 -9 -2

-2 -4 -6

1 2 3 -15

x2 + 2 x + 3 -15 residuo

cociente

ACTIVIDAD 14 (TE)

En parejas resuelva cada uno de los siguientes ejercicios y compare los resultados con las parejas restantes:

1. Sin efectuar la división obténgase el residuo de dividir la primera expresión entre la segunda.

26

Expresión 1 Expresión 2 Residuo

3x2 – 4x – 6 x + 2

x4 – x2 + 5 x-2

a4 – 3 a3 + a2 – 4 a + 3

m3 + 2m m - 4

-3x4 + 4x2 + 2 x - 2

-2x3 - 9x2 + 1 x + 4

-3x3 + 5x2 – 4 x + 1/2

2. Determinar en cada caso, sin efectuar la división, si el binomio dado es factor o no del

dominio.

Polinomio Binomios ¿Es exacta?

X3 + 2x2 – 4x + 1 x + 1

x – 1

x + 2

a3 + 3 a2 + 3 a + 1

a + 3

a – 1

a + 1

x3 – 3x2 + 3x + 2 x + 1

x – 1

x + 2

x3 – 11x2 + 23x + 35 x – 5

27

x + 1

x - 7

3. Empleando la división sintética abreviada, obténgase el cociente y el residuo de dividir la

primera expresión entre la segunda.

Polinomio Binomio Cociente Residuo

3x3 + 10x2 + 5x + 2 x + 2

5y4 + 5y3 – y2 + 2 y + 1

2b4 + 2b3 + b + 2 b + 2

X5 + 5x4 + 3x3 + 2x2 + 8x + 8 x + 3

5x3 – 4x2 + 8x – 6 x - 3

3x4 – x2 + 5x – 7 x + 2

1.3.10 Productos notables

a) Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio es un trinomio y sus términos se

obtienen elevando al cuadrado el primer término del binomio, después el doble producto

de los dos términos del binomio y finalmente elevando al cuadrado el segundo término del

binomio.

(x + y ) 2 = x2 + 2xy + y 2

(x – y ) 2 = x2 – 2xy + y 2

b) Cuadrado de un polinomio. El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los

cuadrados de cada término por separado, más el doble producto de todos los términos

tomados de dos en dos.

(x + y + w + z) 2 = x2 + y2 + w2 + z2 + 2xy + 2xw + 2xz + 2yw + 2yz + 2wz

28

c) Binomio conjugado. El producto de un binomio conjugado es igual al cuadrado del

primer término menos el cuadrado del segundo.

(x + y) (x – y) = x 2 – y2

d) Cubo de un binomio . Se eleva al cubo el primer término del binomio, después obtiene el

triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, después el triple producto

del primer término por el cuadrado del segundo, finalmente al cubo el segundo término.

(x + y) 3 = x3 + 3x2y + 3xy 2 + y3

e) Cociente de la diferencia de los cuadrados de do s cantidades entre la suma o

diferencia de las mismas cantidades.

x2 – y2 = (x + y ) (x – y ) = x - y

x + y x + y

ACTIVIDAD 15 . (TE) Divida el grupo en tres secciones y cada una resuelva cada bloque de ejercicios aplicando los conceptos anteriores:

29

1.3.11 Factorización

Es el proceso contrario al de los productos notables, con lo cual se pueden reducir

expresiones algebraicas.

a) Por identidades . Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del

trinomio y se separan estas raíces con el signo del segundo término, por lo que el

binomio formado es la raíz cuadrada del trinomio.

a2 + 6ab + b2 = (a + b )2

√a2 = a, √b2 = b

b) Cubo perfecto de binomio . Para poder factorizar de la forma (x + y )3 , se deben

cumplir las siguientes características del polinomio.

30

i) El primero y último término son cubos perfectos.

ii) El segundo término es + o – y el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primero

por la raíz cúbica del segundo..

iii) El tercer término es + el triple de la raíz cúbica del primero por el cuadrado de la

raíz cúbica del segundo.

Sea el polinomio 8y3 + 12y2 + 6y + 1

i) Raíz cúbica de 8y3 es 2y. Raíz cúbica de 1 es 1

ii) El segundo término 12y2 es igual 3(2y)2(1).

iii) El tercer término 6y es 3(2y)(1).

Por lo tanto la factorización del trinomio es: (2y +1)3

c) Por agrupamientos . Para este caso, se tienen dos formas:

i) Factor común monomio . Si cada términode un polinomio tiene un factor

común, el polinomio puede escribirse como el producto de dos factores, uno de

los cuales es el factor común.

Sea el polinomio 2ay + 4by + 6cy

Se observa que los coeficientes constantes son múltiplos de 2 y cada término está

multiplicado por y, entonces se puede agrupar de la forma:

2(1)ay + (2)(2)by + (2)(3)cy = 2y(a + 2b + 3c)

ii) Factor común binomio . En los casos el factor común de cada término de una

expresión puede tener más de un término.

Factorizar x(a + b) + y(a + b)

En este caso el término común es (a + b), factorizando

(a + b)(x + y)

ACTIVIDAD 16 (TE). En pareja, cada integrante resuelva los siguientes ejercicios de

factorización y después comparen sus resultados. Corrijan donde exista error.

31

1.3.12 Factorización de trinomios x2 + bx + c

El primer detalle es que el coeficiente de x2 siempre es uno. Por otro lado, al tercer

término no siempre se le puede sacar la raíz cuadrada. Para encontrar las raíces de este

trinomio, se procede de la siguiente manera:

a) Se descompone en factores primos al tercer término.

b) Con estos factores, se buscan los números que sumados o restados den como

resultado el coeficiente del segundo término.

c) Se realiza la factorización con los números primos encontrados.

Ejemplo: Sea el trinomio x2 + 19x + 34

a) 34 │2 17 │17

1 │ Los factores primos son 2 y 17

b) La única opresión aritmética que permite obtener 19 es 2 + 17, por lo que estos

factores se utilizan.

c) (x + 2)(x + 17) = x 2 + 19 + 34

ACTIVIDAD 17 (TI).

Encuentre los factores y reduzca los siguientes trinomios:

1. x2 – 8x + 15

2. x2 – 6x + 8

3. c2 + 5c – 24

4. n2 – 6n – 40

5. m2 – 8m – 1008

32

1.3.13 Factorización de trinomios ax2 + bx + c

Para efectuar esta factorización, los pasos a seguir son:

a) Se multiplican todos los factores por el coeficiente del términos cuadrático,

indicando solo la multiplicación en los dos primeros y efectuando el producto con el

tercer término:

aax2 + abx +ac

b) Se divide todo el polinomio entre el coeficiente del término cuadrático:

aax2 + abx + ac

a

c) Se aplica el método de factorización anterior (2.6.5) y se obtienen los factores

buscados.

1.3.14 Factorización de trinomios ax2 + bx + c segundo método

Este segundo método consiste en encontrar los factores del primer y tercer término.

Posteriormente se escogen los factores cuyo producto cruzado sumen el valor del

segundo término.

Ejemplo: Factorizar 6x2 - 7x – 3

Factores de 6x2 son 6x y x, -6x y –x, 3x y 2x, -3x y -2x.

Factores de 3 son 3 y -1, -3 y 1.

La combinación de productos cruzados son 2x – 3 y 3x + 1, es decir (2x)(1) (3x)(-3) = 2x

– 9x = -7x, por lo tanto los factores son (2x – 3)(3x + 1).

33

1.3.15 Factorización de expresiones compuestas x 2 + 2xy + y 2 – k2

En este caso k es una constante numérica. Los pasos para encontrar los factores son:

a) Separar el término independiente de los otros té rminos del polinomio:

(x2 + 2xy + y 2) – k2

b) Factorizar (x 2 + 2xy + y 2)

(x + y) 2

c) Obtenido el binomio (x + y) 2 – k2, se procede a factorizarlo

(x + y + k) ( x + y – k)

Ejemplo: Factorizar x2 – b2 – 2bc – c2

a) ( b2 + 2bc + c2) - x2

b) (b + c)2 – x2

c) (b + c + x) (b + c – x)

1.3.16 Suma y resta de fracciones

Para resolver las fracciones algebraicas de suma o resta

i) Primeramente se obtiene el mínimo común divisor de los denominadores.

ii) Se coloca como denominador común para la fracción resultante.

iii) Se divide este denominador entre los denominadores restantes de los términos

fraccionario y el resultado de la división se multiplica por el numerador

respectivo.

iv) El resultado de cada operación, se coloca con su signo respectivo en el

numerador de la fracción resultante.

v) Se reduce de ser posible la fracción resultante.

34

EJEMPLO: Realizar la suma de las siguientes fracciones:

i) m.c.m = 6x 2

ii)

iii) 6x 2 / 2x = 3x, (3x)(3) = 9x; 6x 2/6x2 = 1, (1)(x-2) = x – 2

iv)

v)

ACTIVIDAD 18 (TI).

Obtenga los factores de los siguientes trinomios aplicando los métodos anteriores.

35

1.4ECUACIONES LINEALES

Es la relación entre dos cantidades que tienen el mismo valor:

3x – 4 = 8

Para encontrar el valor de la incógnita x que permita cumplir con esta relación o igualdad,

es necesario despejarla, para lo cual se efectúan los siguientes pasos:

i) Se separan los términos constantes que están del lado de la incógnita y se

colocan del lado derecho de la igualdad con signo contrario.

ii) Se efectúan las sumas algebraicas del lado derecho que contiene los términos

constantes.

iii) El coeficiente que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al resultado de la

operación de los términos constantes.

iv) Se reducen resultado y se obtiene el valor de la incógnita.

v) Para comprobar el resultado, basta con sustituir el valor obtenido en el lado

izquierdo de la ecuación original y al efectuar la operación debe dar como

resultado el mismo valor que el del lado derecho.

EJEMPLO: 3x – 4 = 8

i) 3x = 8 + 4

ii) 3x = 12

iii) x = 12/3

iv) x = 4

v) (3)(4) – 4 = 8 ∴ 8 ≡ 8∴ 8 ≡ 8∴ 8 ≡ 8∴ 8 ≡ 8

36

En caso de que la incógnita este elevado a una potencia, al resultado se le deberá

obtener la raíz correspondiente:

X3 = 27,

; Resultado

Para el caso en que la incógnita esté afectada po un radical, se eleva a la potencia adecuada

para despejarla:

. , Resultado

ACTIVIDAD 19 (TI)

En cada una de las siguientes ecuaciones, despeje la variable solicitada:

ECUACIÓN VARIABLE RESULTADO

h

f

T2

r

v

37

1.4.1 Solución de sistemas lineales con dos y tres incógnitas

Los métodos de solución son:

Dos o tres ecuaciones lineales cuyas dos o tres incógnitas sean iguales, constituyen un sistema de ecuaciones. Un par de valores x,y o tercia x,y,z qu e satisfaga a las ecuaciones se llama solución del sistema

41

ACTIVIDAD 20 (TE).

Organizados por parejas, resuelvan los siguientes problemas planteando el sistema de

ecuaciones:

1. La suma de la tercera y la quinta partes de un número es 34 ¿Cuál es el número?

2. Un alumno pagó $882.00 pesos por un libro de física y otro de matemáticas. ¿Cuál

es el precio del libro de matemáticas, si este costó $24.00 más que el de física?

3. Dos campesinos reúnen $ 1’ 950,000.00 para comprar un tractor. Si el primero

pone 5 veces más que el segundo ¿Con cuanto aportó cada uno?

4. Un avión jet vuela en condiciones atmosféricas desfavorables a una velocidad de

1250 Km/Hr. en la misma dirección que el viento; en dirección contraria al viento

su velocidad es de 1050 Km/Hr. Encuentre la velocidad del viento y la del avión en

condiciones normales.

5. Un depósito de petróleo crudo puede llenarse con un tubo en 7 horas y por otro en

21 horas y vaciarse por otro tubo de consumo en 14 horas ¿En qué tiempo se

llenará con los tres tubos abiertos?

1.4.2 Solución gráfica de ecuaciones cuadráticas

Otra forma de encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas es mediante el uso de

gráficas, donde la función representada muestra el o los puntos donde cruza el eje de las

abscisas, indicando así las raíces y solución de la ecuación.

42

EJEMPLO: Sea la función 3x2 – 25 = 0. Encontrar las raíces por el método gráfico.

Al graficar la función, se tiene:

Fig. 4 Raíces de la función 3x2 – 25 = 0

Se observa que la gráfica cruz el eje de las abscisas en 5/√3 y -5/√3, que son la solución de la ecuación.

ACTIVIDAD 21 (TI)

Por el método gráfico, encuentre las raices (utilice hoja cuadriculada o milimetrica)

43

1.5TRIGONOMETRÍA

Del griego trigonon ( triángulo) y metría (medición) fue inventada por los griegos para poder realizar mediciones de ángulo y triángulos.

1.5.4 Ángulos

Fig. 5 Ángulo entre dos rectas.

Tabla 5. Tipos de ángulos.

TEMINOLOGÍA DEFINICIÓN EJEMPLO

Ángulo rect o ΘΘΘΘ = 90º. 90º.

Ángulo agudo 0º.< θθθθ < 90º. 12º. , 57º.

Ángulo obtuso 90º. < θθθθ < 180º. 95º. , 157º.

Ángulos complementarios αααα, ββββ αααα + ββββ = 90º. 20º. 70º. 85º.

Ángulos suplementarios αααα + ββββ = 180º 115º. 162º.

44

Las unidades para medir los ángulos son los grados sexagesimales y los radianes. Para pasar de un sistema de unidades a otro, se utilizan las siguientes relaciones:

Tabla 6. Factores de conversión entre unidades de grados

Para cambiar Multiplicar por

Grados a radianes ππππ/180º.

Radianes a grados 180º./ππππ

Un ángulo que está en el sistema sexagesimal se expresa en grados, minutos, segundos:

EJEMPLO:

67º . 27’ 47’’

Grados minutos segundos

ACTIVIDAD 22 (TI)

2. Realice las siguientes conversiones:

Grados Radianes Radianes Grados

150 2ππππ/3

-60 11ππππ/6

225 3ππππ/4

120 5ππππ/6

45

1.5.2 Longitud de arco y Área de sector circular

Fig. 6 Longitud de arco y áarea de sector circular.

Si un arco de longitud s de una circunferencia da radio r subtiende un ángulo central q, entonces

s = rθθθθ

Si θ es la medida en radianes de un ángulo central de una circunferencia de radio r y si A es el área de un sector circular determinado por s, entonces

A = (1/2) r 2 θθθθ

46

EJEMPLO: Un ángulo central θ está subtendiso por un arco de 10 cm de largo en largo

en una circunferencia de 4 cm de radio.

a) Calcule la medida en θ en grados.

s = r θ, despejando θ se tiene θ = s/r = 10 cm/4 cm = 2.5 rad

haciendo la conversión: θ = (2.5)(180ο)/(3.1416) = 143.23 ο

b) Encuentre el área del sector circular determinado por θ.

A = (1/2) r2 θ = (1/2) (4 cm)2 (2.5 rad) = 20 cm2

c) Determine el área del sector circular restante.

Atotal = π r2 = (3.1416)(4 cm)2 = 50.26 cm2

Area restante = Atotal – A = 50.26 cm2 – 20 cm2 = 30.26 cm2

Fig. 7 Ángulo y area de sector circular calculados.

47

ACTIVIDAD 23 (TE)

En parejas, resuelva los siguientes problemas y compare los resultados con el grupo.

1. Se utiliza un gran malacate de 3 pies de diámetro para levantar cargas.

a) Hallar la distancia en la que la carga es levantada, si el malacate gira un ángulo de

7π/4 radianes.

b) Hallar el ángulo en radianes que el malacate debe girar para levantar la carga a la

mitad de la altura total h.

Fig. 8 Malacate actividad 23.

2. Una llanta común de un auto compacto mide 22 pulgadas de diámetro. Si el carro

viaja a 60 millas por hora, hallar el número de revoluciones que efectúa el

neumático en un minuto.

3. En una fiesta de cumpleaños se tiene un paste de 30 cms de diámetro. Si asisten

15 invitados:

a) ¿Cuál es la longitud de arco de cada rebanada?

b) ¿Qué volumen comprende cada una de ellas si la altura del pastel es de 3

pulgadas?

48

1.5.3 Razones trigonométricas de un triángulo rectá ngulo

Tabla7. Expresiones para el ángulo α y β

49

Para ciertos ángulos significativos, los valores de seno, coseno y tangente son:

Tabla 8. Valores significativos de ángulos.

1.5.4 Relaciones entre las funciones trigonométrica s

50

1.5.5 Teorema del seno y coseno

51

ACTIVIDAD 24 (TI)

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

Fig. 9 Triángulo rectángulo actividad 24

1.6 GEOMETRÍA ANALÍTICA

1.6.1 Sistemas de coordenadas cartesianas.

Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, par haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica.

Recordemos cómo se construye un sistema de coordenadas rectangulares: trazamos dos rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O, al cual se le llama origen.

La recta horizontal es el eje de las abscisas o eje de las x; la recta vertical es el eje de las ordenadas o eje de las y. Usando un segmento "unidad" conveniente, se divide cada eje de manera que los números enteros positivos queden a la derecha del origen sobre el eje

Geometría analítica Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.

52

x, y arriba del origen sobre el eje y. Los enteros negativos quedan a la izquierda del origen sobre el eje x, y abajo del origen sobre el eje y.

Tomando los ejes como elementos de referencia, se puede localizar cualquier punto situado en el plano que forman, procediendo en la forma siguiente: se indica la distancia del punto a la derecha o a la izquierda del eje horizontal, y la distancia hacia arriba o hacia abajo del eje vertical.

La abscisa es positiva o negativa según el punto P situado a la derecha o a la izquierda del eje horizontal; la ordenada es positiva o negativa según el punto este situado arriba o abajo del eje vertical.

A la abscisa y a la ordenada de un punto se les llaman coordenadas del punto y se escriben como un par de números dentro de un paréntesis separado por una coma; el primero de estos números representa siempre a la abscisa y el segundo a la ordenada.

Fig. 10 Sistema coordenado cartesiano.

53

En general, un punto cualquiera por ejemplo el punto A, cuya abscisa es x y la ordenada y se designa mediante la notación A(x, y).

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes, llamada cada una cuadrante; los cuadrantes se numeran con números romanos I, II, III, IV como se indica en la figura anterior.

En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plana, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y).

En el proceso graficador hay que tomar en cuenta loa signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes; para ello se emplea el papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localización y el marcado de puntos en el plano.

1.6.2 Distancia entre dos puntos

Para encontrar la distancia entre dos puntos P(x1,y1) y Q(x2, y2) que no estén en la misma recta vertical u horizontal, construimos un triángulo rectángulo que tenga al segmento PQ por hipotenusa, como se muestra en la figura, las longitudes de los lados de los catetos son x2 1 − x y y y 2 1 − . La distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos",

Entonces:

y por lo tanto:

54

Ejemplo: Sean los puntos A(-1,6) y B(3,5), encontrar la distancia que existe entre ellos.

Fig. 11 Distancia entre dos puntos.

Solución:

Sustituimos las coordenadas de P y Q en la fórmula y obtenemos:

observe que no importa el orden en el que se tomen los puntos,

55

ACTIVIDAD 25 . En parejas, resuelva el siguiente problema:

¿Que coordenadas tiene el punto del eje X que equidista de A (0,6) y B (5,1)? Ubique los

puntos en el plano y trace las lineas respectivas que unen a x con los puntos indicados.

1.6.3 La línea recta

Las características de una línea recta son:

1. Ángulo de inclinación.

Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.

La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo θ < 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (θ) se

denomina inclinación de la recta l

Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o son paralelas

56

Fig. 12 Ángulo de una línea.

2. La pendiente de una recta.

La pendiente de una recta no vertical es un numero que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde esta inclinada. La recta de la figura por cada 3 unidades que avanza hacia la derecha, sube 4 unidades, decimos que la pendiente de la recta es 4/3.

Fig. 13 Pendiente de una línea recta.

Usualmente se denota con la letra m a la pendiente. Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, tomamos dos puntos P(x1, y1) y 2 Q(x2 , y2 ) de la recta y calculamos el cociente:

Si tomamos otro par de puntos P' y Q' en la misma recta, como se muestra en la figura, se obtienen dos triángulos rectángulos semejantes, y por lo tanto, la razón de sus catetos

57

es la misma. Es decir, la pendiente de una recta puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.

Fig. 14 Obtención de la pendiente de una línea recta

Si la recta es vertical, todos los puntos de la recta tienen la misma primera coordenada, entonces el denominador de la expresión anterior vale cero y por lo tanto, no puede evaluarse m, así que las rectas verticales no tienen pendiente.

0bservaciones:

o La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha.

o La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.

o La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda.

o Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta mas inclinada.

o Una recta vertical no tiene pendiente.

58

Ejemplos:

Fig. 15 Diferentes pendientes de líaneas rectas.

1.6.4 La ecuación de la línea recta

Empezaremos nuestro estudio de lugares geométricos con las rectas, que son los más sencillos. Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto P(x1, y1) y tiene pendiente m. Si Q(x, y) es cualquier otro punto de la recta, se debe satisfacer:

puesto que Q ≠ P y la recta no es vertical, x1 ≠ x , multiplicando por x 1− x , obtenemos:

Esta forma de la ecuación de la recta se llama ecuación punto-pendiente de la recta, ya que la obtuvimos conociendo la pendiente y un punto de ella, y recíprocamente si vemos una ecuación de este tipo, podemos saber por que punto pasa la recta y que pendiente tiene.

59

EJEMPLOS:

ACTIVIDAD 25 (TE)

1. Encuentra la ecuación para las líneas rectas a, b, c que forman el triángulo mostrado en la figura:

Fig. 16 Líneas ectas para actividad 25

60

2. Dadas las siguientes ecuaciones de líneas rectas, tracelas en el sistema coordenado:

a) 7x + 5y = -24 b) -3x + 7y = 20 c) 2x – y = 3

1.6.5 La circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro. La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia es el radio ....

61

1.6.6 Ecuación cartesiana de la circunferencia de c entro en el origen y radio r

Fig. 17 Circunferencia con centro en el origen y otras coordenadas.

1.6.7 Ecuación cartesiana de la circunferencia, cua ndo el centro es un punto cualquiera del plano.

Forma orinaría de la ecuación de la circunferencia. Sea C (h , k) el centro, r el radio y P (x

, y) un punto cualquiera de la circunferencia indicada en la figura por definición:

62

Fig. 18 Circunferencia con centro en C.

EJEMPLOS:

ACTIVIDAD 26 (TE ). Junto con su compañero, encuentre las ecuaciones de las

circunferencias mostradas a continuación:

63

Fig. 19 Circunferencias para actividad 26

1.6.8 Cónicas

La ecuación cuadrática general en x y y se puede expresar en la forma:

La gráfica de una ecuación de segundo grado en las coordenadas x y y se llama sección

cónica o simplemente cónica. Esta denominación viene del hecho de que la curva se

puede obtener como la intersección de un cono circular recto y un plano.

64

Fig. 20 Cónicas

1.6.9 Parábola.

Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija en el plano. El punto fijo se llama foco y la recta fija, directriz.

En la figura el punto F es el foco y la recta D la directriz. El punto V, a la mitad entre el foco y la directriz, debe pertenecer a la parábola. Este punto se llama vértice. Otros puntos de la parábola se pueden localizar de la siguiente manera. Dibuje una recta L paralela a la directriz Con F como centro y radio igual a la distancia entre las rectas D y L, describa arcos que corten a L en P y P'. Cada uno de estos puntos, al ser equidistantes del foco y de la directriz, se encuentra sobre la parábola. La curva se puede esbozar determinando, de esta manera, unos cuantos puntos. La recta VF que pasa por el vértice y el foco es el bisector perpendicular de PP' y de todas las demás cuerdas dibujadas de manera similar. Por esta razón, a la recta se le llama eje de la parábola y se dice que la parábola es simétrica con respecto a su eje.

Fig. 21 Parábola

65

Se puede escribir la ecuación más sencilla de la parábola si los ejes coordenados se colocan en una posición especial con respecto a la directriz y al foco. El eje x se coloca sobre la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz,en tanto que el origen se coloca en el vértice. Entonces, si se escoge a> 0, las coordenadas del foco se representan con F(a, 0) y la ecuación de la directriz con x = -a. Como cualquier punto P(x, y) de la parábola dista lo mismo del foco que de la directriz, se tiene que:

Para las diferentes posiciones de la parábola, se tienen las siguientes figuras:

Fig. 22 Parábolas horizontal y vertical

66

La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, 0) es:

y2=4ax (1)

La parábola se abre hacia la derecha si a > 0 y se abre hacia la izquierda si a < O. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (0, a) es:

x2 = 4ay (2)

La parábola se abre hacia arriba si a> 0 y hacia abajo si a < 0.

Se pueden aplicar las ecuaciones (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de parábolas que satisfacen condiciones específicas.

EJEMPLOS:

Fig. 24 Parábola vertical abriendo hacia arriba con vértice en el origen.

Fig. 23 Parábola vertical abriendo hacia abajo

67

Fig. 25 Parábola horizontal abriendo hacia la izquierda.

1.6.10 Elipse Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos

puntos fijos F y F' (fig. 1) es una cantidad constante, que se representa por 2a. Así, para cualquier

punto M de la curva, se tiene MF + MF' = 2a.Los puntos fijos F y F' se llaman focos y la longitud

FF' distancia focal que se designa por 2c.El punto medio de FF' es el centro de 1a elipse.Para

que haya elipse es necesario que 2c < 2a o sea c < a (pues en el triángulo MFF' un lado FF' = 2c,

es menor que la suma de los otro dos MF' + MF = 2a).Los segmentos MF y MF' que unen un

punto cualquiera de la elipse con los focos se llaman radios vectores. Un segmento CC' que une

dos puntos cualesquiera de la elipse es una Cuerda. Una cuerda que pasa por el centro, tal como

DD', es un diámetro. El diámetro que pasa por los focos se llama eje mayor o eje focal y el

perpendicular a el es el eje menor, o normal, que se designa por 2b. En la figura, AA' es el eje

mayor y BB' el menor. Las intersecciones A , A', B y B' de los ejes con la curva son los vértices de

68

la elipse. Las cuerdas EE´ y GG´ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son

los lados rectos de la elipse.

Excentricidad de una elipse es la razón de la semidistancia focal al semieje (c/a) y se representa

por e.

Fig. 26 Excentricidad de la elipse.

A) Ecuación cartesiana de una elipse de centro en el o rigen y cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.

Eje focal sobre el eje x. sea una elipse de centro el origen de coordenadas, focos F y F´ sobre el

eje de las x, FF´ = 2c y eje mayor = 2a, siendo a y c, números positivos y a > c,

Eje focal sobre el eje Y. Si el eje focal coincide con el eje de las y.

Fig. 27 Ecuación de la elipse

69

Fig. 28 Ecuación elipse vertical.

EJEMPLO:

70

ACTIVIDAD 27 (TE) En parejas, resuelva cada uno de los siguientes problemas y comparelos con los demas equipos:

71

1.6.11 Hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de puntas del plano cuya distancia a dos puntos fijos tiene una diferencia constante. Con esto queremos decir q ue tomamos la diferencia de la distancia mayor menos la distancia menor. Los dos p untos fijos se llaman focos de la hipérbola. El punto medio entre los dos focos se ll ama centro de la hipérbola.

A) Hipérbola con centro en el origen.

Fig. 29 Hipérbola horizontal

72

Fig. 30 Hipérbola vertical

EJEMPLOS:

73

ACTIVIDAD 28 (TI)

74

TEMA II

FÍSICA

75

2.1 SISTEMA DE UNIDADES

2.1.1 Medición

Al medir siempre intervienen dos partes:

♦ El aparato o instrumento de medición y

♦ Lo que se va a medir (el sistema).

Las mediciones pueden realizarse:

a) Directamente. Se utilizan instrumentos de medición, como es el caso de una regla o cinta métrica para medir longitudes.

b) Indirecta. Mediante el uso de fórmulas se pueden determinar medidas de áreas, volúmenes, por citar algunos ejemplos.

También es importante considerar en las mediciones que éstas no son exactas por más que nos empeñemos en lograrlo; algunos factores que intervienen en ello son:

♦ El instrumento de medición y

♦ El objeto o sistema a medir.

Otro elemento que influye en los errores de las mediciones son los sentidos humanos, sus limitaciones y engaños influyen en ello. Actualmente sabemos que al momento de medir el objeto es alterado o deformado en sus dimensiones y también las dimensiones del instrumento de medición se ven modificadas.

ACTIVIDAD 29 (TI)

Con el uso de tu pulgar, una regla y una cinta métrica, mide la siguiente línea y anota los resultados en la tabla 9

Fig. 31 Linea recta para ser medida

Medir es comparar una magnitud con otra de su misma especie que se toma como unidad patrón.

76

Tabla 9 Mediciones obtenidas de la línea

INSTRUMENTO MEDIDA

Pulgar

Regla

Cinta métrica

Compare los resultados con los compañeros del grupo.

CONCLUSIONES.

2.1.2 Magnitudes fundamentales y derivadas

Las magnitudes fundamentales son aquellas que no se definen o expresan en base a otras como son: longitud, masa, tiempo.

Las magnitudes derivadas son las que se expresan, u obtienen, en términos de una o varias de las magnitudes fundamentales, ya sea mediante definiciones o fórmulas como son: velocidad, aceleración, trabajo.

77

En la tabla 10, se muestran las unidades fundamentales en el sistema internacional.

Tabla 10. Unidades fundamentales del SI

En la tabla 11, se muestran algunas unidades derivadas más comunes.

Tabla 11 Unidades derivadas.

2.1.3 Unidades métricas.

78

Además de las unidades básicas del SI (metro, kilogramo y segundo) también se pueden

utilizar otras unidades como kilómetro, milímetro, nanosegundo, etc., donde los prefijos

kilo, mili y nano denotan múltiplos o submúltiplos de veces la unidad patrón en potencias

de diez. Esto es, cuando una cantidad numérica es muy grande o muy pequeña, las

unidades que se utilizan para definir su tamaño pueden modificarse por medio de prefijos.

Algunos de los prefijos utilizados con mayor frecuencia en las diversas potencias de 10 y

sus abreviaturas se enlistan en la tabla 12. Así, 10-3 m equivale a un milímetro (mm), y

103 m es un kilómetro, o 4 000 000 N = 4 000 kN (kilo-newtons) = 4 MN (mega-newtons).

De manera similar, un Kg es 103 gramos, y un megavolt (MV) es igual a 106 volts (V), o

0.005 m = 5 mm (milímetros). Así tenemos que los múltiplos y submúltiplos de las

unidades se expresan en el sistema internacional como potencias de 10, de acuerdo con

lo que se muestra en la tabla 12.

Tabla 12. Prefijos del SI.

79

2.1.4 Sistema inglés

En el sistema inglés de unidades (FSP) la unidad de longitud se mide en pies (ft), la unidad de masa es llama el slug, se deriva de la expresión F = ma. De aquí que 1 slug sea igual a la cantidad de masa acelerada a 1 pie/s2 cuando sobre ésta actúa una fuerza de 1 libra (slug = libra.s2/pies). El tiempo se mide en segundos (s) y la fuerza se mide en libras (lb).

2.1.5 Conversión de unidades

En algunos casos puede ser necesario convertir de un sistema de unidades a otro. A este respecto la tabla 13 proporciona un conjunto de factores de conversión directa entre el Sistema Inglés (FPS) y SI para las magnitudes básicas. No perder de vista que para el Sistema Inglés 1 pie = 12 pulgadas, 5 280 pies = 1 milla terrestre (mi), 1 000 libras = 1 kip (kilo-libras) y 2 000 libras = 1 tonelada (ton).

Tabla 13. Equivalencia SI sistema inglés.

Otros factores de conversión de uso frecuente son:

LONGITUD:

1 pulgada = 2.54 cm = 25.4 mm

1 A0 (angstrom) = 10-8 cm = 10-4 µ m (micra)

1 mi (milla terrestre) = 5 280 pies = 1.609 km

MASA:

1 Kg = 1 000 g = 0.001 t (tonelada)

1 utm (unidad técnica de masa, geokilogramo) = 9.806 Kg

1 uma (unidad de masa atómica) = 1.660 x 10-27 Kg

80

FUERZA:

1 N (newton) = 0.102 kgf = 0.2248 lb

1 kgf = 9.807 N = 2.205 lb

1 lb = 4.448 N = 0.453 kgf

TIEMPO:

1 min = 60 s

1 h = 60 s = 3 600 s

1 día = 24 h = 1 440 min = 86 400 s

VOLUMEN:

1 m3 = 106 cm3 = 103 litros = 35.31 pie3 = 6 1023 plg3

1 pie3 = 1 728 plg3 = 28 316.85 cm3 = 28.32 lt

1 lt = 103 cm3 = 0.0353 pie3 = 61.02 plg3

1 gal (galón USA) = 231 plg3 = 3.785 lt

EJEMPLOS

1. Convierta 2 km/h a m/s. ¿A cuántos pies/seg equivalen?.

RESPUESTA:

Partiendo de que 1 km = 1 000m y que 1 h = 3 600 s, aplicando esta información a la

expresión que se busca convertir, tenemos:

81

Utilizando los datos de la tabla 4, vemos que 1 pie = 0. 3048 m, entonces

2. Si un corredor olímpico corre 100 m en 10 segundos, su velocidad media es de 10 m/s. ¿Cuál es su velocidad media en millas/horas y en pies/s?

RESPUESTA:

Considerando que 1 milla = 5 280 pies, que 1 pie = 0.3048 m, y que 3 600 s = 1 h, aplicamos esta información para convertir:

2.1.6 Densidad o masa específica

Consideremos un cuerpo de masa m y cuyo volumen es V. La densidad (también llamada masa específica) del cuerpo se representa por la letra griega ρ (ro) y se define como:

La densidad (o masa específica) de un cuerpo es la relación entre su masa y su volumen, y se calcula:

82

Por ejemplo, un bloque de aluminio cuyo volumen es de V = 10 cm3, tiene una masa de m = 27 g, tendrá una densidad de:

Este resultado significa que en cada cm3 de aluminio se tiene una masa de 2.7 gramos. Esto es, la densidad de un cuerpo corresponde a la masa contenida en la unidad de volumen del cuerpo, de ahí su denominación de “masa específica”.

La densidad de las sustancias varía con la temperatura y con la presión, ya que con ello varían las distancias intermoleculares. Esto es particularmente notable en el caso de los gases.

EJEMPLO

1. Un tanque de gasolina tiene en su base un área A = 0.75 m2, y su altura es de h = 2.0

m.

Fig. 32 Tanque de gasolina

83

b) Para calcular el peso de la gasolina contenida en el tanque, recordemos que el peso

de un cuerpo se calcula como:

Peso = (masa)(aceleración de la gravedad terrestre) = m g donde g = 9.81 m/s2

Entonces

P = (1 050 kg) (9.81 m/s2) = 10 300.5 kg m/s2 = 10 300.5 N donde

N = 1 Newton, es la unidad de fuerza en el SI y equivale a: 1 N = 1 (Kg.) (m/s2)

84

ACTIVIDAD 30 (TI)

En forma individual, resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:

1. Suponga que su cabello crece a una proporción de 1/32 pulgada por día.Encuentre la

proporción a la cual crece en:

a) milímetros por segundo.

b) nanómetros por segundo.

c) kilómetros por hora.

2. Un terreno para construcción rectangular mide 100.0 pies por 150.0 pies. Determine el área de este terreno en m2.

3. Un automovilista tiene dos velocímetros: uno en mi/hr y otro en km/hr. Indica la posición que tiene la manecilla del velocímetro en km/hr para obtener su equivalencia del velocímetro en mi/hr.

Fig. 33 Velocímetros

85

2.2 CINEMÁTICA

Vivimos en un mundo donde a simple vista observamos que todos los cuerpos están en movimiento: un hombre, un auto, un camión, las bandas de transporte en las industrias, un pájaro volando, un motor que gira, un avión en vuelo, la Luna, el Sol, una nube, etc. El movimiento es el fenómeno fundamental que encontraremos en el mundo que nos rodea.

Si por algún suceso el movimiento de los cuerpos dejara de existir en todo el universo, tendríamos un universo estático, en reposo, en el que nada ocurriría. De tal manera que las nociones de espacio y tiempo dejarían de tener sentido, no serían necesarias. Desde este punto de vista comprendemos que los conceptos de espacio y tiempo existen porque existe el movimiento.

Así que como la naturaleza está en movimiento, para entenderla, estudiarla y modificarla necesitamos entender y estudiar el movimiento. Para ello empecemos por entender ¿qué es movimiento y qué es reposo de un cuerpo?

El estudio del movimiento se simplifica separándolo en dos aspectos:

a) Sin considerar las causas que lo originan, solamente describiéndolo.A ello se le llama Cinemática.

b) Considerando las causas, las fuerzas que interviene en él y las propiedades de los cuerpos (su masa), a este enfoque se le llama Dinámica.

2.2.1 Velocidad

Para describir cuantitativamente qué tan rápido se mueve un cuerpo se usa el concepto de velocidad. Para fines prácticos de nuestro curso, la velocidad de un cuerpo la definiremos como el cociente que se obtiene al dividir la distancia recorrida por el cuerpo por el tiempo empleado en recorrerla; esto es:

v = � ………..(1)

Así, la velocidad de un cuerpo es igual a la distancia recorrida en la unidad de tiempo. Para el sistema internacional es m/s, km/h o m/min. En el sistema inglés pie/s.

2.2.2 Movimiento rectilíneo uniforme

86

Cuando un cuerpo se desplaza con velocidad constante a lo largo de una trayectoria rectilínea, decimos que su movimiento es rectilíneo uniforme (la palabra “uniforme” indica que el valor de la velocidad permanece constante en el tiempo).

Por ejemplo, si un automóvil se desplaza por una carretera recta y plana, y su velocímetro siempre indica un valor de 60 km/h. Esto nos lleva a que:

en 1.0 h el auto recorrerá 60 km



en 4.0 h el auto recorrerá 240 km, etc.

Conforme a los valores, a medida que el tiempo aumenta, la distancia cubierta también aumenta. Si el tiempo aumenta al doble, la distancia aumenta al doble; si el tiempo aumenta al triple, la distancia aumenta al triple. En este tipo de movimientos donde la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado, decimos que el movimiento es con velocidad constante, y si la trayectoria es rectilínea entonces le denominamos movimiento rectilíneo uniforme.

Cuando un auto se mueve con una velocidad constante de v = 120 km/h significa que recorre 120 kms en una hora o que por cada hora recorre 120 Km y de mantener esta velocidad estamos seguros que a las 2h habrá recorrido 240 Km, a las 3.5 h recorrerá 420 Km.

De mantener este “ritmo” de velocidad podemos predecir que al cabo de 7.5 h habrá recorrido 900 Km. o que cuando halla recorrido 300 Km habrán transcurrido 2.5 h.

En la industria automotriz, concretamente en la línea de producción, si la velocidad de producción resulta en 100 autos/min, esto lo interpretamos como que se fabrican 100 autos cada minuto. O también, si un brazo de robot solda 1 350 puntos cada hora, su velocidad sería v = 1 350/h puntos que transformados a minutos resultaría 22.5 puntos/min en segundos v = 0.375 puntos/ s .

EJEMPLOS:

1. En un horno se fabrican 8750 panqués en un tiempo de 5 horas, sin interrupciones (velocidad constante) calcular la velocidad de fabricación del horno en panqués min

.

87

RESPUESTA:

Es recomendable leer bien los datos para determinar el tipo de movimiento. En este caso tenemos un movimiento con velocidad constante, ya que la fabricación se realiza sin interrupciones (a un ritmo constante) entonces la expresión matemática que usaremos será la del movimiento con velocidad constante. [Ecuación (1) ] Después veamos los datos o cantidades conocidas y a qué parte de la expresión corresponden: 8 750 panques equivale a d o productos “recorridos”, fabricados 5 horas equivale a “tiempo empleado” t.

Como el resultado tiene una parte decimal, redondeamos y consideramos sólo el resultado entero, tenemos que la velocidad de fabricación o el ritmo de fabricación es de:

v = 29.0 panques/ min .

ACTIVIDAD 31 (TI)

Determinar el tiempo que necesitaría un horno para fabricar 18 750 barras de pan, si trabaja a un ritmo o velocidad constante de 23 barras min

Fig. 34 Horno de producción de pan

2.2.3 Velocidad media

88

Imaginemos un autobús que se traslada de Puebla a la ciudad de México. La distancia es de 140 Km y si el tiempo empleado es de 2.0 h, entonces la velocidad que obtenemos mediante la ecuación (1):

Es obvio que este valor de la velocidad no indica la velocidad real a la que el autobús se movió durante todo el trayecto, este resultado nos indica la velocidad a la que en término medio se movió el autobús para que en 2.0 horas recorriera 140 km. Cuando hemos viajado en un camión sabemos que su velocidad cambia frecuentemente, a veces se mueve a mayor velocidad de 70 km/h, a veces a mucho menos de 70 km/h , a veces se detiene, otras es de 70 km/h. Algo semejante pudo haber sido el movimiento del autobús y sin embargo recorrer en 2 h los 140 km.

2.2.4 Velocidad instantánea

Cuanto más pequeño sea ∆ t, más próximo es el resultado anterior al valor de la velocidad instantánea.

Es el cambio en la posición en un intervalo de tiempo dado dividido entre dicho intervalo de tiempo, es decir

∆ x / ∆ t

Es la velocidad que tiene un móvil en instantes pequeños de tiempo

89

ACTIVIDAD 32 (TE) En pareja, resuelva los siguentes problemas:

1. Thomas Burke, el primer campeón olímpico en la carrera de 100 m, realizó su recorrido en 12 s, halla su velocidad en Km/hr.

2. Un lanzador de grandes ligas realiza lanzamientos a una velocidad de 90 mi/hr.

Calcula la velocidad de lanzamiento en Km/hr.

3. Determina la distancia que recorre una lancha que se mueve con una rapidez de 90 km/h durante 20 minutos.

2.2.5 Cambio de velocidad: aceleración media

� = ��

(2)

Por ejemplo, un automóvil cuyo velocímetro señala, en cierto instante de tiempo, velocidad de 50 km/h. Si 1 segundo después, el velocímetro cambia a 55 km/h, podemos decir que su velocidad varió 5 km/h en 1 s. Esto es, el automóvil experimentó una aceleración. El concepto de aceleración se relaciona con el cambio en la velocidad.

Es el cambio de velocidad conforme transcurre el tiempo

90

EJEMPLO 1.

Este resultado significa que la velocidad del cuerpo aumentó 4m/s en cada 1 segundo. Se acostumbra expresar las unidades de la siguiente manera:

El movimiento en el cual la velocidad aumenta con el tiempo se denomina movimiento acelerado. Si la velocidad disminuyera en el tiempo, decimos que el movimiento es desacelerado o retardado. Por ejemplo, si vo =48m/s y 6 segundos después (∆t = 6s) , la velocidad es v= 24m/s , entonces la aceleración del movimiento será:

2.2.6 Movimiento rectilíneo con aceleración constan te

Supongamos que un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta y cada segundo se registra que su velocidad aumenta (o disminuye) en 10 m/s de manera que al segundo 1 su velocidad es de 10 m/s, al segundo 2 es de 20 m/s, al tercer es 30 m/s, al segundo 4 es 40 m/s y por último 5 s vale 50 m/s. Con estos valores advertimos que la velocidad está variando en 10 m/s cada 1 segundo.

91

Esto es:

a = 10 m/s2

Un movimiento como éste en el cual la variación de la velocidad es constante o proporcional al tiempo transcurrido y su trayectoria rectilínea, recibe el nombre de movimiento rectilíneo uniformemente variado o acelerado uniformemente. Dicho de otra forma, en el movimiento uniformemente rectilíneo variado la velocidad experimenta aumentos o disminuciones iguales en tiempos iguales.

Cuando un cuerpo se mueve en trayectoria rectilínea y con aceleración uniforme se demuestra que existen un conjunto de ecuaciones para describirlo y con las cuales se puede calcular:

La distancia recorrida

d

El tiempo empleado

T

La velocidad final

Vf

La aceleración A

Estas ecuaciones son:

� = ��

(3)

� = �� ∗ � + � ∗ �!

" (4)

�#" = ��" + 2 ∗ � ∗ � (5)

EJEMPLO

La velocidad de despegue de un avión es de v = 300km/h . Si la longitud de la pista es de 1500 m, ¿qué aceleración debe producir el motor para lograr el despegue? ¿Cuánto tiempo tardará el avión en despegar?

92

RESPUESTA

DATOS:

♦ Longitud de la pista, se considera como la distancia recorrida d=1500m

♦ Velocidad del despegue, se considera como velocidad al final del recorrido vf =300km/h

♦ Velocidad con la que inicia su movimiento de recorrido por la pista, se entiende como la velocidad inicial y aunque no la dan explícitamente, deducimos que vale vi = 0 km/h Conforme a los datos la ecuación que se utilizará es la (5) y de la cual se “despejará” a la aceleración (a).

� = �#" − ��"

2 ∗ �

Transforman la velocidad final a m/s se tiene que vf = 83.3 m/s

� =('( )/+)!� -.

/"(01-- ))

= 2.31 m/s2

Utilizando la ecuación (2) y despejando tf considerando que ti = 0, se tiene:

�# = 2��2�3

= (83 m/s) / (2.31 m/s2) = 36.06 s

Esto es, tarda 36.06 segundos en recorrer 1 500m con una aceleración de 2.31 m/s2 y despega con una velocidad de 83.3 m/s.

ACTIVIDAD 33 (TI) Un automóvil, al desplazarse en línea recta, adquiere una velocidad que cambia en el tiempo, según los datos de la tabla que se observa

Tabla 14 Datos actividad 33

a) ¿En qué intervalo de tiempo el movimiento del auto muestra una aceleración?

93

b) ¿En qué intervalo es nula la aceleración?

c) ¿En qué intervalo es negativa su aceleración?

d) ¿En cuál es uniformemente acelerado su movimiento? Compare sus resultados con sus compañeros de grupo. 2.3 VECTORES

Fig. 35 Vector

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio.

2.3.1 Suma de vectores

Un vector es una cantidad que tiene origen, magnitu d, dirección y sentido y se puede construir a partir de sus compon entes (x,y) o (x,y,z)

94

Existen dos métodos para sumar vectores:

a) Geométrico b) Analítico

Método geométrico.

Las reglas que se deben de seguir para efectuar la suma geométricamente de dos vectores A y B son las siguientes: en un diagrama dibujado a escala se traza el desplazamiento de A y dibuja una recta del origen de esta al extremo de B Obteniéndose a si el vector suma C. este es un desplazamiento equivalente en tamaño, dirección y sentido, a los desplazamientos consecutivos de A y B. este procedimiento se puede generalizar para obtener la suma de cualquier número de desplazamientos consecutivos

Fig. 36 Método geométrico suma de vectores

La operación de resta se puede incluir en nuestra álgebra vectorial estipulando que un vector con signo negativo quiere decir un vector de igual magnitud y dirección pero de signo contrario como se muestra en la siguiente figura

95

Método analítico

A menudo no es conveniente sumar vectores mediante construcciones geométricas, y nunca es el procedimiento mas exacto. Sin embargo hay un sencillo proceso analítico por el que se puede obtener la suma. Consiste en descomponer un vector en sus componentes ortogonales (perpendiculares entre si.

i) Se traza una normal a OX es decir se proyecta el vector sobre el eje OX y obtenemos así el vector Ax se denomina componente del vector A en la dirección X (o del eje OX).

ii) De la misma manera podemos obtener la componente del vector A según el eje OY. Observemos que el vector A es la resultante de Ax y Ay y por lo tanto el vector A se podrá sustituir por la suma de sus componentes rectangulares o sea “ cuando determinamos las componentes rectangulares de un vector A se obtienen dos vectores Ax y Ay cuya suma pueden sustituir al vector A.

Fig. 37 Componentes de un vector

96

Para evaluar matemáticamente estas componentes, volvamos a la Fig.4, recordando que para un triangulo rectángulo se tienen las siguientes relaciones:

Estas relaciones permiten calcular los valores de las componentes Ax y Ay cuando conocemos la magnitud del vector A y el ángulo que forma con el eje OX.

Por otra parte si se conocen los valores de las componentes Ax y Ay la magnitud del vector A se podrá obtener por el teorema de Pitágoras

La dirección del vector A la determina el ángulo θ que forma con el eje OX

La suma de dos vectores A y B con componentes AX , AY , Bx ,By se puede escribir como la suma de cuatro vectores componentes o sea:

A+ B = AX + AY + Bx + By =( AX + Bx) + (AY + By)=RX + Ry donde.

RX = AX + Bx y Ry = AY + By

97

Se puede generalizar este resultado para la suma de más de dos vectores, teniendo que:

“La componente del vector resultante en la dirección OX de la suma de dos o más vectores es igual a la suma de las componentes de cada vector en la dirección OX “, lo mismo para Ry”

La magnitud y dirección están dados por:

EJEMPLO

Umar analíticamente los vectores A y B

Fig. 38 Vectores coplanares

98

Las componentes para el vector A son:

Ax = 20

Ay = 20

Mientras que para el vector B:

Bx = -29

By = 110

El vector resultante será:

Rx= (Ax + Bx); Ry = (Ay + By)

Rx = -9 ; Ry = 130

La magnitud está dada por el teorema de pitagoras:

4 = 5(−6)7 + (89:)7 = 130.31

La dirección viene dada por:

Arctang (130)/(-9) = 125º.

ACTIVIDAD 34 (TI)

Dados los vectores A, B y C, realice las siguientes operaciones en forma gráfica y analítica:

a) A + B b) B – C c) A + C

99

Fig. 39 Vectores coplanares actividad 34

2.4 LEYES DE NEWTON 2.4.1 Primera Ley de Newton

Esta ley es conocida como la ley de inercia y explica que para modificar el estado de movimiento de un cuerpo es necesario actuar sobre él. Definimos una nueva magnitud vectorial llamada momento lineal (o cantidad de movimiento) p de una partícula:

Todo cuerpo que no está sometido a Ninguna interacción (cuerpo libre o aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad constante.

100

En la siguente gráfica se muestran partículas con masa y velocidad, que conservarán su momento hasta que una fuerza externa lo trate de cambiar.

Fig. 40 Momento de partículas

2.4.2 Segunda Ley de Newton

Al sustituir el valor del momento p:

; = < 2 �

= ma (6)

Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación instantánea de su momento lineal. Expresado matemáticamente:

101

2.4.3 Tercera Ley de Newton

2.4.4 Peso

Donde g es la aceleración de la gravedad cuyo valor en el SI es de 9.81 m/s2 y en el sistema inglés 32.2 pies/s2

La dirección del peso es vertical hacia el centro de la Tierra. Obsérvese que el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. Por ello, en el lenguaje cotidiano se usan muchas veces la palabra masa para expresar el peso de un cuerpo o viceversa. Esta práctica es incorrecta y no debe usarse en la Física.

EJEMPLO:

La fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuya masa m = 4 kg es

de FR = 20 N. ¿Cuál es el valor de la aceleración que posee dicho cuerpo?

Utilizando la ecuación (6), despejando la aceleración, se tiene:

Se llama peso de un cuerpo a la fuerza de atracción que la Tierra ejerce sobre el mismo. Como todos los cuerpos caen con la aceleración de la gravedad g, la cual se debe a esta fuerza terrestre, el peso P de un cuerpo cuya masa es m se obtiene mediante:

W = m g

102

� = =)

= 20 N/4 Kg = 5 m/s2 Analizando unidades (Kg m/s2)/(Kg)= m/s2

ACTIVIDAD 35 (TE)

En pareja, resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es la masa de un cuerpo si al aplicarle una fuerza de 420 N adquiere una

aceleración de 8.4 m/s?

2. Tres automóviles de juguete conectados mediante cuerdas, se encuentran sobre una superficie horizontal lisa. Los automóviles se mueven de izquierda a derecha debido a la acción de la fuerza. Considérese que el módulo de la fuerza es F = 30 N y que la masa de cada automóvil es de 5 Kg. Encuentre el valor de la aceleración común de los automóviles.

3. Determina el valor de la fuerza necesaria para que un automóvil de 800 Kg se desplace de O a 90 Km/hr en 12 s.

2.4.5 Fuerza de fricción

Existen dos fuerzas de fricción:

a) Estática. Es la que se ejerce sobre un cuerpo que está en reposo y que hay de superar para darle un movimiento. Está dad por fs = µs N, donde µs es el coeficiente de fricción estático y depende de la superficie.

b) Cinética. Es la que se ejerce sobre un cuerpo que está en movimiento y que obliga a aplicar una fuerza que lo pueda mantener en movimiento. Está dada por fk = µκ

N, donde µκ es el coeficiente de fricción cinético y depende de la superficie de contacto donde se ubique el cuerpo en movimiento.

Es la fuerza debida al contacto entre dos superficies y se opone a la fuerza que se le aplica a un cuerpo para que este se mueva o pierda su estado de reposo.

103

Tabla 15 Coeficientes de fricción

Coeficientes típicos de fricción estática y cinétic a entre materia l 1 y material 2

Material 1 Material 2 µs µκ Caucho Caucho seco 1 0.8 Caucho Concreto mojado 0.7 0.5 Acero Acero 0.7 0.6 Madera Madera 0.5 0.3 Ski encerado Nieve 0.1 0.05 Acero Acero aceitado 0.12 0.07 Teflón Acero 0.04 0.04 Pieda de curling Hielo 0.017

ACTIVIDAD 36 (TE)

Resuelva el problema (2) de la ACTIVIDAD 35 si las ruedas de los automóviles son:

a) De madera y está en superficie de madera b) De caucho y está en superficie del mismo material.

2.4.6 Fuerzas en dos dimensiones

Hasta el momento se ha analizado la acción de fuerzas en un plano, pero en el caso de dos dimensiones, se tiene que analizar las fuerzas mediante sus componentes rectangulares para conocer la fuerza resultante que se ejrec en un cuerpo. Para resolver este tipo de problemas, es importante hacer uso del diagrama de cuerpo libre, es decir, poner los vectores fuerza en forma coplanar.

EJEMPLO

Un anuncio comercial está sostenido por dor cuerdas de un techo. Si la masa del anuncio es de 20 kg, determine la tensión de las cuerdas para sostenerlo y mantenerlo en equilibrio.

104

Fig. 41 Anuncio colgante

Al realizar el diagrama de cuerpo libre, se tiene:

Fig. 42 Diagraama de cuerpo libre

Donde el peso w = mg = (20 kg)(-9.81 m/s2) = -196.2 N

Las componentes de las tensiones en el eje x son:

T1x = T1cos(45º.); T2x = T2 cos(135º.)

Las componentes de las tensiones en el eje y son:

T1y = T1 sen(45º.); T2y = T2 sen(135º.)

En este caso T1x = -T2x por lo que se anulan & T1y = T2y.por lo que:

105

T1y + T2y = mg; 2T1y = mg; 2T1y = │-196.2 N│; T1y = 98.1 N = T2y

Para el caso de las compoinentes en x, e aplica la identidad trigonométrica tangente:

Tan θ = T1y/T1x; T1x = T1y/Tan θ ; T1x = 98.1N/1 =98.1 N = T2x

Las magnitudes son T1 = T2, por lo tanto, aplicando el teorema de pitágoras:

>1 = 5>1@" + >1A" = √98.1" + 98.1" = 138.73 N = T2

Que son las tensiones en cada cuerda para mantener en anuncio en equilibrio.

ACTIVIDAD 36 (TE)

En pareja, resuelva los siguientes problemas y compare los resultados con sus compañeros.

1. En la tabla de este ejercicio, F, representa la fuerza que actúa en cierto cuerpo, y a

es la aceleración que adquiere al estar sometido a tal fuerza.

a) Complete la tabla

b) ¿Cómo sería la forma del diagrama F – a?

c) ¿Qué representa la pendiente de la gráfica?

Tabla 16 Datos actividad 36

a) Una máquina de Atwood consiste en una polea simple con masas suspendidas a ambos lados. Se trata de una versión simplificada de gran número de sistemas industriales en los cuales se utilizan contrapesos para equilibrar. Suponga que la masa del lado derecho es de 10 kg y que la masa del lado izquierdo es de 2 kg.¿Cuál es la aceleración del sistema?, y ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

106

Fig. 43 Máquina de Atwood

2.5 TRABAJO Y ENERGÍA MECÁNICA.

2.5.1 Concepto de energía

La energía es uno de los conceptos más importantes de la Física y tal vez el término “energía” es uno de los que más se utilizan ahora en nuestro lenguaje cotidiano. Así, a pesar de que es muy difícil definir lo que es energía, ya estamos acostumbrados a emplear esta palabra y ya se tiene, por tanto, cierta compresión de su significado.

En la Física el concepto suele introducirse diciendo que “la energía representa la capacidad de realizar trabajo”. Creemos que esto constituye, por lo menos, una manera sencilla de comenzar el estudio de la energía, como lo estamos haciendo ahora. Así, diremos que un cuerpo posee energía cuando es capaz de efectuar un trabajo. Por ejemplo, una persona es capaz de realizar el trabajo de levantar un cuerpo debido a la energía que le proporcionan los alimentos que ingiere. Del mismo modo, el vapor de agua de una caldera posee energía, puesto que es capaz de efectuar el trabajo de mover las turbinas de una planta de generación eléctrica.

2.5.2 Conservacion de la energía

De los problemas relacionados con la producción y consumo de la energía se ocupan a diario los programas de noticias de la televisión y la radio y los periódicos; constituyen una preocupación constante de los gobiernos y de la población de todas las naciones del mundo.

Por estos medios usted puede saber que un país tiene posibilidades de desarrollarse si tiene grandes reservas energéticas, además de poder exportar parte de esos recursos, también puede usar esa energía en la industria, alumbrado, la calefacción, propulsión de vehículos.

107

La energía desempeña un papel muy importante en el mundo actual, por ello debemos conocerla mejor, en este capítulo haremos una introducción al estudio de la energía; iniciamos este estudio presentando el concepto de trabajo, el cual se relaciona con la medición de la energía.

2.5.3 Trabajo (Mecánico)

Consideramos un cuerpo que es arrastrado sobre una mesa horizontal sometido a la acción de una fuerza F. Supongamos que F es constante y que el cuerpo se desplaza una distancia d. Siendo Ө el ángulo entre F y la dirección del desplazamiento del cuerpo, el trabajo T, realizado por la fuerza F, se define de la siguiente manera:

El trabajo que desarrolla una fuerza constante F, que forma con el desplazamiento d de un ángulo Ө, está dado por:

Por la ecuación de definición de trabajo, recordando que el coseno de Өes un simple número (adimensional, sin unidades), vemos que la unidad de medida de esa cantidad en el sistema internacional (SI), es: 1 newton x 1 metro = 1 N • m Esta unidad se denomina Joule (símbolo: J) en honor al físico inglés del siglo XIX, James P. Joule, quien elaboró diversos trabajos en el campo del estudio de la ingeniería.

Entonces: 1 N • m = 1 Joule = 1 J

2.5.4 Trabajo de la fuerza resultante

Un cuerpo se desplaza por la acción de varias fuerzas F1, F2, F3, etc. El trabajo que cada una de esas fuerzas realiza se calcula por la ecuación T=F • d • cos Ө. Podemos calcular el trabajo total de estas fuerzas de dos maneras: sumando los trabajos T1, T2, T3, etc., realizados por las fuerzas F1, F2, F3, etc., o bien determinando la resultante de dichas fuerzas y calculando el trabajo de la misma. El primer procedimiento es el más cómodo, porque en él se suman cantidades escalares, mientras que en el segundo, tendremos que manejar cantidades vectoriales.

El trabajo total, T, realizado por la resultante de un sistema de fuerzas F1, F2, F3, etc.,

es igual a la suma (algebraica) de los trabajos T1, T2, T3, etc., efectuados por cada una de estas fuerzas, o sea:

T = T1, + T2, + T3 +…

108

EJEMPLO:

Supóngase que las fuerzas ejercidas por las hormigas sobre la hoja de una planta tienen los siguientes valores y direcciones:

F1 = 2.0 x 10-4

N En la dirección del desplazamiento de la hoja (θ= 0°)

F2 = 4.0 x 10-4

N Formando un ángulo θ= 30° con el desplazamiento

F3 = 2.0 x 10-4

N Perpendicular al desplazamiento (θ= 90°)

F4 = 5.0 x 10-4

N En sentido contrario al desplazamiento (θ= 180°)

la hoja fuese atrasada una distancia d = 2.0 m se pide:

a) Calcular el trabajo realizado por cada hormiga.

Sabemos que el trabajo está dado por T=F • d • cos Ө. Entonces tendremos para cada animal los trabajos siguientes (calculados en el SI):

T1 = (2.0 x 10-4) x (2.0) x cos 0° O bien, T1 = 4.0 x 10 -4

T2 = (4.0 x 10-4) x (2.0) x cos 30° O bien, T2 = 6.9 x 10 -4

T3 = (2.0 x 10-4) x (2.0) x cos 90° O bien, T3 = 0

T4 = (5.0 x 10-4) x (2.0) x cos 180° O bien, T4 = -10 x 10 -4

b) Determinar le trabajo total realizado por las hormigas sobre la hoja. El trabajo total,

T, estará dado por la suma algebraica del trabajo realizado por cada una. Por lo

tanto,

T = T1, + T2, + T3 + T4

= 4.0 x 10-4+ 6.9 x 10-4– 10 x 10-4

de donde T = 0.9 x 10-4J

109

ACTIVIDAD 37

En pareja resuelva los siguientes problemas y compare resultados:

1. Un trabajador levanta un peso de 40 lb hasta una altura de 10 ft. ¿A cuántos metros se

puede levantar un bloque de 10 kg con la misma cantidad de trabajo?

2. Un motor de un automóvil transmite una fuerza de 3700 N, provocando un

desplazamiento de 50 m. ¿Cuál es el valor del trabajo mecánico?

3. Una grúa jala un auto de 1500 kg con una fuerza de 4 500 N a través de una distancia

de 500 m; la fuerza forma un ángulo de 30° sobre la horizontal. ¿Qué trabajo mecánico

desarrolla la grúa?

2.5.5 Potencia y eficiencia (Rapidez del Trabajo)

Para calcular el trabajo de una fuerza no es necesario conocer el tiempo transcurrido en su realización. En la vida práctica, sin embargo, el conocimiento de ese tiempo puede ser importante, pues en general, existe interés en que un determinado trabajo se realice en el menor tiempo posible. Entre dos máquinas que realizan el mismo trabajo con la misma perfección, siempre preferimos la más rápida.

Para medir la rapidez con que se realiza cierto trabajo, se define una cantidad denominada potencia:

Si una fuerza realiza un trabajo ∆T durante un intervalo de tiempo ∆t, la potencia P de esa fuerza se define como:

110

Vemos entonces, por la definición dada, que cuanto menor sea el tiempo empleado por una maquina en efectuar cierto trabajo, tanto mayor será su potencia.

La relación P = ∆T/∆t nos muestra que la unidad de potencia en el SI será J/s. Esta unidad se denomina watt (símbolo: W) en honor a James Watt, perfeccionador de la maquina de vapor. Así, la potencia de 1 W corresponde al trabajo de 1 J realizado en 1 s, o sea, 1 J/s = 1 watt = 1 W Un múltiplo muy usado de esta unidad es el kilowatt (kW), que corresponde a 103 W.

Cuando usted oye decir, por ejemplo, que la potencia de un motor es de 35 kW, debe entender que dicha máquina es capaz de realizar un trabajo de 35 000 joules en cada segundo.

EJEMPLO:

Un trabajador de una construcción sube, con velocidad constante, un cuerpo de masa m = 20 kg. Hasta una altura d = 3.0 m, empleando un tiempo ∆t = 10 s para efectuar la operación.

a) ¿Cuál es el valor de la fuerza F que el trabajador debe ejercer para que el cuerpo suba con velocidad constante (considere g = 10 m/s2)?

b) Si el movimiento de subida del cuerpo se efectúa con velocidad constante, la resultante de las fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Entonces la fuerza F ejercida por el trabajador, debe ser igual y contraria al peso del cuerpo. Por lo tanto debemos tener, en el SI:

F = mg = 20 x 10 de donde F = 200 N

c) ¿Cuál es el trabajo mecánico que el trabajador realiza en esta operación?

Ya sabemos que T = F • d cos θ. En este caso, F será la fuerza ejercida por el operario que se transmite a través de la cuerda hasta el cuerpo, actuando sobre él en dirección vertical hacia arriba. De modo que F = 200 N y θ= 0°. Como d = 3.0 m en el SI resulta:

T= F • d • cos θ= 200 x 3.0 x cos 0° de donde T = 600 J

c) ¿Cuál es la potencia P que desarrolla el trabajador?

Como vimos la potencia P está definida por la relación P = ∆T/∆t. En nuestro caso, ∆T representa el trabajo realizado por el trabajador (∆T = 600 J), en el intervalo de tiempo ∆t = 0 s. Luego,

111

ACTIVIDAD 38 (TI)

En forma individual, resuelva los siguientes problemas:

1. La correa transportadora de una estación automática levanta 500 toneladas de mineral hasta una altura de 90 ft en 1 h. ¿Qué potencia promedio se requiere para esto?

2. Un ascensor de 300 kg es izado hasta una distancia vertical de 100 m en 2 min. ¿Cuál es la potencia empleada?

3. Un motor de 90 Kw se utiliza para elevar una carga de 1200 kg. ¿Cuál es la velocidad promedio durante el ascenso?

2.6 ENERGÍA CINÉTICA

2.6.1 Concepto de energia

Ya debe haberse dado cuenta de que la energía se puede presentar en diversas formas: química, mecánica, térmica, eléctrica, atómica o nuclear, etc. En el caso de los alimentos que toda persona ingiere, éstos sufren reacciones químicas y liberan energía; es decir, podemos afirmar que los alimentos liberan energía química en el organismo humano.

En el caso del vapor de una caldera, decimos que posee energía térmica, y que al mover las turbinas, genera energía mecánica, que se transforma luego en energía eléctrica en los generadores.

En los reactores de las plantas atómicas, la energía nuclear liberada en los “combustibles atómicos”, origina la energía térmica que podrá ser utilizada para producir energía eléctrica, etc.

Como la energía se puede relacionar con el trabajo, también es una cantidad escalar. En consecuencia, la energía se mide con las mismas unidades que el trabajo, es decir, que en el SI la unidad de energía es el Joule.

2.6.2 ¿Qué es energía cinética?

112

Consideremos un bloque en movimiento acercándose a un resorte, al chocar con el muelle, la velocidad del bloque irá disminuyendo hasta anularse mientras el resorte se va comprimiendo. Por lo tanto, el bloque en movimiento fue capaz de realizar el trabajo de comprimir el resorte. De la misma manera, un automóvil en movimiento, al chocar con otro auto que esté parado, realizará un cierto trabajo al averiar y empujar el auto inmóvil. Vemos entonces que cualquier cuerpo en movimiento tiene capacidad de realizar trabajo y, por lo tanto, un cuerpo móvil posee energía. Esta se denomina energía cinética y se le representa por Ec. Es fácil notar que cuanto mayor sea la velocidad del bloque, mayor será también la comprensión del resorte; es decir, mayor será el trabajo realizado por el bloque, y por lo tanto, más alta será su energía cinética. No es difícil darnos cuenta, además, de que la compresión del resorte será mayor si la masa del bloque también lo fuera; es decir, la energía cinética del bloque depende, también de su masa. En realidad, se puede demostrar que siendo m la masa del bloque y v su velocidad, su energía cinética está dada por Ec = (1/2) mv2.

De manera general, tenemos que:

EJEMPLO:

Un bloque tiene una masa m = 4.0 kg y una velocidad v = 2.0 m/s.

a) ¿Cuál es la energía cinética que posee?

Sabemos que la energía cinética de un cuerpo es Ec = (1/2) mv2 .

Entonces para el bloque:

Ec = (1/2)mv2 = (1/2) X 4.0 X (2.0)2

De donde

Ec = 8.0 J

Obsérvese que la respuesta resulto en joules porque los valores de m y v estaban expresados en unidades del SI.

113

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el bloque al chocar contra el resorte hasta detenerse?

Aunque no se conozca la fuerza que el bloque ejerce sobre el muelle, ni la distancia que recorre hasta parase podremos calcular el trabajo que realiza, pues dicho trabajo es igual a la energía cinética que poseía el bloque antes del choque. Entonces el trabajo efectuado por el cuerpo al comprimir el resorte hasta detenerse es de 8.0 J.

2.6.3 Relación entre el trabajo y la energía cinéti ca

Un cuerpo de masa m, que pasa con velocidad vA por un punto A. Considere varias fuerzas que actúan sobre el cuerpo y sea R su resultante. Supongamos también que R es constante y que su sentido es el mismo del movimiento del cuerpo. Siendo así, el objeto adquirirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y luego de recorrer una distancia d, llegará a B con una velocidad vB mayor que vA.

Tratemos de calcular el trabajo total, TAB’ realizado sobre el cuerpo al ir de A a B. Como vimos, este trabajo es el de la fuerza resultante. Como la fuerza R actúa en el sentido del movimiento (θ= 0°) y hace desplazar el cuerpo una distancia d, t endremos

TAB = R d

Por la 2a. ley de Newton sabemos que R = m a, donde a representa la aceleración adquirida por el cuerpo. Además, como el movimiento es uniformemente acelerado, podemos relacionar vA’ vB’ a y d. Por consiguiente,

114

Podemos afirmar que si un cuerpo en movimiento pasa por un punto A con energía cinética EcA y llega a un punto B con energía cinética EcB, la variación de la energía cinética que este cuerpo experimenta será igual al trabajo total, TAB, realizado sobre él; es decir,

TAB = EcB – EcA

ACTIVIDAD 39 (TI)

En forma individual analice y resuelva los siguientes problemas:

1. Un cuerpo de masa m = 2.0 kg se desplaza con una velocidad v = 5.0 m/s. a) ¿Cuál es la Ec de este objeto (no se olvide de indicar la unidad en su respuesta)?

b) ¿Cuántas veces menor seria el valor de Ec si la masa del cuerpo hubiera sido tres veces menor?

c) ¿Cuántas veces mayor se volvería la Ec si la velocidad del cuerpo fuese duplicada?

d) ¿Qué sucedería con la Ec si sólo se cambiara la dirección de v? ¿Por qué?

2. Una bala de revólver, cuya masa es de 20 g, tiene una velocidad de 100 m/s. Dicha bala da en el tronco de un árbol y penetra en él cierta distancia, hasta que se detiene.

a) ¿Cuál era la Ec de la bala antes de chocar con el árbol?

115

b) Entonces, ¿qué trabajo realizó la bala al penetrar en el tronco?

3. Un cuerpo pasa por un punto A con una energía cinética EcA = 30 J. La fuerza F que actúa en el cuerpo efectúa sobre él, en el trayecto de A a B, un trabajo T = 15 J. Considerando despreciable la fuerza de fricción responda:

a) ¿Cuál es la cantidad de energía trasmitida al cuerpo por la fuerza F?

b) ¿Cuál será la energía cinética del cuerpo en B?

116

REFERENCIAS Lehmann Charles H. Geometría Analítica (1980). México. Editorial Limusa. Fuenlabrada Samuel. Aritmética y Álgebra (1994), México. Editorial Mc. Graw Hill. Fuenlabrada Samuel. Geometría Analítica (1994), México. Editorial Mc. Graw Hill. Mercado Roberto. Geometría Analítica Cuaderno de trabajo (2011). UAEM Burbano de Ercilla, Santiago, Gracía Muñoz, Carlos, Física general, 32° Edición, Editorial Tébar, Madrid, 2003.

Tipler, Paul A., Mosca, Gene, Física para la ciencia y tecnología, 5° Edición, Editorial Reverté, Barcelona, 2005

Freedman, R.A. et al, Sears e Zemansky: Física Universitaria, 12ª Edición, Ed. Addison-Wesley, México, 2009.

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