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Damit sind die Grenzwerte lim f x lim f x lim f x lim f...
36
Damit sind die Grenzwerte lim xց0 f (x), lim xր1 f (x), lim xց1 f (x), lim x→∞ f (x) zu untersuchen. Es ist lim xց0 ln(x) x 2 − 1 = ∞ da der Z ¨ ahler gegen −∞ und der Nenner gegen −1 konvergiert. Außerdem ist wegen lim x→1 ln(x) = 0 = lim x→1 (x 2 − 1) nach den Regeln von de l’Hospital lim x→1 ln(x) x 2 − 1 = lim x→1 1 x 2x = lim x→∞ 1 2x 2 = 1 2 . Die Funktion hat also an der Stelle x 0 = 1 eine hebbare Definitionsl ¨ ucke. Schließ- lich ist wegen lim x→∞ ln(x)= ∞ = lim x→∞ (x 2 − 1) ebenfalls nach den Regeln von de l’Hospital lim x→∞ ln(x) x 2 − 1 = lim x→∞ 1 x 2x = lim x→∞ 1 2x 2 =0. Der Graph best ¨ atigt diese Rechnungen: 291
Transcript of Damit sind die Grenzwerte lim f x lim f x lim f x lim f...
Damit sind die Grenzwerte
limxց0
f (x), limxր1
f (x), limxց1
f (x), limx→∞
f (x)
zu untersuchen. Es ist
limxց0
ln(x)
x2 − 1= ∞
da der Zahler gegen −∞ und der Nenner gegen −1 konvergiert. Außerdem ist
wegen limx→1
ln(x) = 0 = limx→1
(x2 − 1) nach den Regeln von de l’Hospital
limx→1
ln(x)
x2 − 1= lim
x→1
1x
2x= lim
x→∞1
2x2=
1
2.
Die Funktion hat also an der Stelle x0 = 1 eine hebbare Definitionslucke. Schließ-
lich ist wegen limx→∞
ln(x) = ∞ = limx→∞
(x2 − 1) ebenfalls nach den Regeln von de
l’Hospital
limx→∞
ln(x)
x2 − 1= lim
x→∞
1x
2x= lim
x→∞1
2x2= 0.
Der Graph bestatigt diese Rechnungen:
291
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x
292
6 Lineare Algebra
6.1 Einfuhrung
Die lineare Algebra ist fur die Wirtschaftswissenschaften von zentraler Bedeu-
tung. Einerseits liefert sie die theoretischen und praktischen Grundlagen fur das
Losen linearer Gleichungssysteme. Ferner lassen sich viele okonomische Phano-
mene durch sogenannte lineare Modelle beschreiben.
Beispiel 6.1 Wir nehmen an, auf einem Markt werden zwei Produkte angebo-
ten, z.B. Wein und Bier. Mit Dw bezeichnen wir die Nachfrage nach Wein, Db
ist die Nachfrage nach Bier (D: demand). Ferner sei Sw und Sb das Angebot an
Wein und Bier (S: supply). Wir wollen Dw = Sw sowie Db = Sb erreichen. Man
(besser gesagt, der Markt) erreicht dieses Gleichgewicht durch eine Anpassung der
Preise Pw und Pb. Wir nehmen an, dass sich Angebot und Nachfrage angesichts
der Preise Pw und Pb wie folgt verhalten:
Dw = a0 + awPw + abPb
Sw = b0 + bwPw + bbPb
Db = α0 + αwPw + αbPb
Sb = β0 + βwPw + βbPb.
293
Angebot und Nachfrage von Wein (bzw. Bier) wird also nicht nur uber den Preis
von Wein (bzw. Bier) gesteuert: Der Preis von Wein beeinflusst auch den Preis
von Bier: Stellen Sie sich vor, der Weinpreis steigt. Dann steigt die Nachfrage nach
Bier (sofern das Volk eine gewisse Menge Alkohol benotigt), was den Bierpreis
beeinflusst.
Ahnlich hat ein sinkender Bierpreis eine Verringerung des Angebots an Bier zur
Folge, deshalb auch eine erhohte Nachfrage nach Wein. Wir wollen nun die Preise
bestimmen, bei denen ein Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage herscht,
also
(a0 − b0) + (aw − bw)Pw + (ab − bb)Pb = 0
(α0 − β0) + (αw − βw)Pw + (αb − βb)Pb = 0
oder
(aw − bw)Pw + (ab − bb)Pb = b0 − a0
(αw − βw)Pw + (αb − βb)Pb = β0 − α0.
Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbe-
kannten (Pb und Pw).
294
Allgemein ist ein lineares Gleichungssystem mitm Gleichungen und n Unbekann-
ten (Variablen)a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = d1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = d2...
... =...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = dm
(6.1)
Die Information uber das Gleichungssystem ist in dem Rechteckschema
A =
a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
sowie
d =
d1...
dm
enthalten. Wir nennen A eine m × n-Matrix und d einen Vektor der Lange
m oder einen m-Vektor. Man schreibt manchmal auch
A = (aij)i=1,...,m;j=1,...,n.
Einen m-Vektor kann man auch als m× 1-Matrix auffassen.
295
Wir definieren den m-dimensionalen reellen Vektorraum wie folgt:
Rm = {
x1...
xm
: x1, . . . , xm ∈ R}
d.h. Rm besteht aus allen reellen m-Vektoren. Im Fall m = 3 konnen wir uns das
gut als den “normalen” dreidimensionalen Raum vorstellen. Wir fixieren einen
Ursprung, den wir mit dem Vektor
0
0
0
identifizieren. Ferner fixieren wir drei
orthogonale Richtungen (x, y und z-Richtung). Den Vektor
a
b
c
identifizieren
wir mit dem Pfeil, den wir erhalten, wenn wir vom Ursprung aus a Einheiten
in x-Richtung, dann b Einheiten in y-Richtung und schließlich c Einheiten in
z-Richtung gehen.
296
Wir definieren eine Addition von Vektoren wie folgt:
a1a2...
am
+
b1b2...
bm
=
a1 + b1a2 + b2
...
am + bm
Addition von Vektoren bedeutet dann einfach aneinandersetzen von Pfeilen.
Ahnlich erlauben wir, Vektoren mit reellen Zahlen zu multiplizieren:
λ ·
a1a2...
am
=
λa1λa2...
λam
Geometrisch bedeutet dies, den Vektor zu verlangern (wenn λ > 1) oder zu
stauchen (0 < λ < 1). Ist λ < 0, so andert der zugehorige Pfeil seine Richtung.
Der Abstand zwischen zwei Punkten im R3
x1y1z1
und
x2y2z2
297
ist √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2.
Entsprechend definieren wir auch den Abstand zwischen Punkten
x1...
xm
und
y1...
ym
in Rm als √√√√m∑
i=1
(xi − yi)2.
6.2 Operationen mit Vektoren und Matrizen
Die Menge allerm×n-Matrizen uberR wird stets mitR(m,n) bezeichnet. Zunachst
einmal halten wir fest, wann zwei Matrizen gleich sein sollen:
298
Seien A,B ∈ R(m,n), also beide Matrizen haben m Zeilen und n Spalten. Dann
heißen A und B gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind, d.h. A = B
genau dann, wenn aij = bij fur 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Entsprechend heißen zwei Vektoren a,b ∈ Rm gleich, wenn sie komponentenweise
gleich sind.
Wir haben bereits gesehen, dass Matrizen im Zusammenhang mit Gleichungs-
systemen auftreten. Bevor wir uns dem Losen von Gleichungssystemen widmen,
wollen wir uns die “Algebra” der Matrizen ein wenig anschauen.
Spezielle Matrizen
Ist A eine m × n-Matrix, so hat A m Zeilen und n Spalten. Eine Matrix mit
m = n heißt quadratisch. Ist A = (aij)i,j=1,...,n quadratisch, so heißen die
Eintrage a11, a22, . . . , ann die Diagonaleintrage von A.
Beispiel 6.2
A =
2 4 8
3 9 27
4 16 64
∈ R(3,3)
ist eine quadratische 3× 3-Matrix mit den Diagonalelementen 2, 9, 64.
299
(i) Eine m × n-Matrix, deren Komponenten samtlich Null sind, heißt Null-
matrix und wird mit 0 bezeichnet,also
0 =
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0... ... · · · ...
0 0 · · · 0
.
Ist n = 1, so heißt der entsprechende Vektor Nullvektor, also
0 =
0
0...
0
.
(ii) Eine n × n-Matrix A, deren samtliche Nicht-Diagonalelemente, also
die Eintrage aij mit i 6= j, gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Die
300
Matrix hat also die Form
A =
a1 1 0 0 · · · 0
0 a2 2 0 · · · 0... . . . . . . . . . ...
0 · · · 0 an−1n−1 0
0 0 · · · 0 ann
.
Zur Abkurzung schreiben wir auch A = diag(a1 1, a2 2, . . . , ann).
(iii) Die n× n-Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind, heißt
Einheitsmatrix (n-ter Ordnung) und wird mit In bezeichnet, also
In = diag(1, 1, . . . , 1) =
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0... . . . . . . . . . ...
0 · · · 0 1 0
0 0 · · · 0 1
.
Die Spalten der Einheitsmatrix sind die Einheitsvektoren in Rn. Der i-te
Einheitsvektor ei ist der Vektor, dessen i-te Komponente 1 ist und dessen
301
andere Komponenten alle 0 sind. Also
ei =
0...
0
1
0...
0
mit dem Eintrag 1 in der i-ten Zeile.
(iv) Eine quadratische Matrix, deren samtliche Komponenten oberhalb (bzw.
unterhalb) der Diagonalen gleich Null sind, heißt untere (bzw. obere)
Dreiecksmatrix. Also hat eine untere Dreiecksmatrix die Gestalt (L:
lower)
L =
l1 1 0 0 · · · 0
l2 1 l2 2 0 · · · 0... ... . . . . . . ...
ln−1 1 ln−1 2 · · · ln−1n−1 0
ln 1 ln 2 · · · lnn−1 lnn
302
bzw. eine obere Dreiecksmatrix die Gestalt (U: upper)
U =
u1 1 u1 2 · · · u1n−1 unn
0 u2 2 · · · u2n−1 u2n0 . . . . . . ... ...
0 · · · 0 un−1n−1 un−1n
0 0 · · · 0 unn
.
Eine nicht notwendig quadratische Matrix A = (aij) heißt obere Dreiecks-
matrix wenn aij = 0 fur alle i > j gilt.
Nachdem wir nun einige spezielle Matrizen eingefuhrt haben, wollen wir einige
Operationen auf der Menge der Matrizen erklaren.
Sei A eine m × n-Matrix. Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A
erhalten wir eine n×m-MatrixA⊺ (Sprechweise: A transponiert), die sogenannte
303
transponierte Matrix zu A.
Fur A =
a1 1 a1 2 · · · a1 j · · · a1na2 1 a2 2 · · · a2 j · · · a2n... ... · · · ... · · · ...
ai 1 ai 2 · · · ai j · · · ai n... ... · · · ... · · · ...
am 1 am 2 · · · amj · · · amn
ist A⊺ =
a1 1 a2 1 · · · ai 1 · · · am 1
a1 2 a2 2 · · · ai 2 · · · am 2... ... · · · ... · · · ...
a1 j a2 j · · · ai j · · · amj... ... · · · ... · · · ...
a1n a2n · · · ai n · · · amn
.
Es gilt stets (A⊺)⊺ = A.
Beispiel 6.3 Fur die 3× 4-Matrix
A =
1 2 3 4
−2 3 0 5
6 −2 12 −10
304
ist A⊺ die 4× 3-Matrix mit
A⊺ =
1 −2 6
2 3 −2
3 0 12
4 5 −10
.
Symmetrische Matrizen
Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, falls A = A⊺.
Fur eine symmetrische Matrix A gilt also ai j = aj i fur alle i, j.
Schiefsymmetrische Matrizen
Eine quadratische Matrix A heißt schiefsymmetrisch, falls A = −A⊺.
Fur eine schiefsymmetrische Matrix A gilt also ai j = −aj i fur alle i, j; insbeson-
dere ist ai i = 0 fur alle i.
Beispiel 6.4 Die Matrix A ist symmetrisch
A =
1 12 −3
12 −4 7
−3 7 0
.
305
Die Matrix B ist schiefsymmetrisch:
B =
0 1 3
−1 0 2
−3 −2 0
.
Wir kommen nun zur Addition von Matrizen. Weil Vektoren spezielle Matrizen
sind, gelten dieselben Regeln auch fur Vektoren.
Addition
Zwei Matrizen A,B ∈ R(m,n) werden addiert, indem komponentenweise addiert
wird, d.h. fur A = (ai j) und B = (bi j) ist
A +B =
a1 1 + b1 1 a1 2 + b1 2 · · · a1n + b1na2 1 + b2 1 a2 2 + b2 2 · · · a2n + b2n
...... · · · ...
am 1 + bm 1 am 2 + bm 2 · · · amn + bmn
.
Entsprechend ist die DifferenzmatrixA−B durch komponentenweise Subtraktion
definiert. Es werden nur Matrizen mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten
addiert oder subtrahiert.
306
Insbesondere werden zwei Vektoren x,y ∈ Rn addiert bzw. subtrahiert, indem
sie koordinatenweise addiert bzw. subtrahiert werden, d.h.
x± y =
x1x2...
xn
±
y1y2...
yn
=
x1 ± y1x2 ± y2
...
xn + yn
.
Multiplikation mit einem Skalar
Sei A eine m × n-Matrix, und sei λ ∈ R. Die Matrix A wird mit dem Skalar
λ multipliziert, indem jede Komponente von A mit λ multipliziert wird, d.h. fur
A = (ai j) ist
λ ·A =
λa1 1 λa1 2 · · · λa1nλa2 1 λa2 2 · · · λa2n... ... · · · ...
λam 1 λam 2 · · · λamn
.
307
Entsprechend wird ein Vektor x ∈ Rn mit einem Skalar λ ∈ R multipliziert,
indem jede Koordinate von x mit λ multipliziert wird, d.h.
λ · x = λ ·
x1x2...
xn
=
λ · x1λ · x2...
λ · xn
.
Im folgenden fassen wir einige Rechenregeln fur die Addition und skalare Multi-
plikation von Matrizen zusammen:
Seien A,B,C m× n-Matrizen und seien λ, µ ∈ R Skalare.
Kommutativgesetz: A +B = B +A
Assoziativgesetze: (A +B) +C = A + (B +C)
(λµ)A = λ(µA)
Distributivgesetze: λ(A +B) = λA + λB
(λ + µ)A = λA + µA
308
Spezialisierung auf Vektoren liefert dieselben Rechengesetze fur Vektoren, d.h. fur
x,y, z ∈ Rn und λ, µ ∈ R gilt:
Kommutativgesetz: x + y = y + x
Assoziativgesetze: (x + y) + z = x + (y + z)
(λµ)x = λ(µx)
Distributivgesetze: λ(x + y) = λx + λy
(λ + µ)x = λx + µx.
Jeder Vektor x ∈ Rn lasst sich mit Hilfe von Einheitsvektoren zerlegen:
x =
x1x2...
xn
= x1 · e1 + x2 · e2 + · · · + xn · en.
Wir sagen auch, dass x eine Linearkombination von e1, . . . , en ist. Dazu spater
mehr.
309
Die Operation des Transponierens ist mit den hier erklarten Rechenoperationen
(Addition und Multiplikation mit einem Skalar) vertraglich:
(A +B)⊺ = A⊺ +B⊺ und (λA)⊺ = λA⊺.
Es gibt kein Produkt von m-Vektoren, das wieder einen m-Vektor liefert. Man
kann aber sehr wohl ein Skalarprodukt von Vektoren definieren, d.h. das Pro-
dukt zweier reeller m-Vektoren ist eine reelle Zahl:
Skalarprodukt
Seien x,y ∈ Rn. Dann heißt die reelle Zahl
〈x,y〉 =n∑
i=1
xi · yi
das Skalarprodukt der Vektoren x und y.
Die Zahl√
〈x,x〉 =√∑n
i=1 x2i bezeichnen wir als ||x|| (Norm oder Lange des
Vektors x). Es ist der Abstand des Punktes x vom Ursprung.
Wir fassen im folgenden einige Eigenschaften des Skalarproduktes zusammen:
310
Seien x,y, z ∈ Rn und sei λ ∈ R. Dann gilt
[S1] 〈x,y〉 = 〈y,x〉.[S2] 〈λ · x,y〉 = 〈x, λ · y〉 = λ · 〈x,y〉.[S3] 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉.[S4] |〈x,y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.[S5] ‖λx‖ = |λ| · ‖x‖.[S6] ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0.
[S7] ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.[S8] ‖x + y‖ ≥ ‖x‖ − ‖y‖.
Im R3 hat das Skalarprodukt eine schone Interpretation. Wenn wir wieder drei
orthogonale Richtungen (x, y und z-Richtung) auszeichnen und der Vektor a =x1y1z1
den Pfeil vom Ursprung zum Punkt
x1y1z1
bezeichnet
311
(analog fur b =
x2y2z2
), so gilt
〈a,b〉 = cos(α) ·√
〈a, a〉 ·√〈b,b〉 = cos(α) · ||a|| · ||b||
wobei α der Winkel zwischen den Pfeilen ist, die zu a und b gehoren. Fur Vek-
toren der Lange 1 ist also das Skalarprodukt der Cosinus des Winkels zwischen
den Vektoren. Insbesondere bedeutet Skalarprodukt 0, dass die Pfeile senkrecht
aufeinander stehen.
312
Multiplikation von Matrizen
Sei A eine m × n-Matrix, und sei B eine n × k-Matrix (beachte: die Anzahl
der Spalten von A muss gleich der Anzahl der Zeilen von B sein!). Dann ist
das Produkt A ·B der beiden Matrizen definiert als die m× k-Matrix C, deren
Komponente ci j das Skalarprodukt aus i-ter Zeile von A und j-ter Spalte von B
ist, also
ci j =
n∑
p=1
ai p bp j = 〈
ai 1...
ai n
,
b1 j...
bn j
〉.
Wir konnen das Skalarprodukt als ein spezielles Matrixprodukt auffassen. Seien
a,b ∈ Rn zwei Vektoren. Dann ist a⊺ eine 1×n-Matrix und b eine n×1 Matrix.
Somit existiert das Matrixprodukt a⊺b, und es gilt
a⊺b =
n∑
j=1
ajbj = 〈a,b〉.
Ferner ist durch die Definition des Produktes zweier Matrizen auch ein Matrix-
Vektor-Produkt erklart, weil ein Vektor ja auch als eine Matrix aufgefasst werden
kann.
313
![Wissensentdeckung in Datenbanken · Maximum Entropie Prinzip: Aufgabe Gegeben: Daten X (Realisierungen einer ZV X) und beliebige Funktion f∶X →Rd Gesucht: P mit E P[f(X)]=E~ D[f(X)]=](https://static.fdokument.com/doc/165x107/5d5174db88c99328468ba618/wissensentdeckung-in-datenbanken-maximum-entropie-prinzip-aufgabe-gegeben.jpg)
![1 Die zweite Ableitung - Martin Meier2, d. h. Graph rechtsgekrümmt falls x * ] –1,5 ;1,5 [ . 7 a) f”(x) = 1 > 0, also Graph von f linksgekrümmt b) f”(x) = – _1 4](https://static.fdokument.com/doc/165x107/604644cc82c1e751180fddac/1-die-zweite-ableitung-martin-2-d-h-graph-rechtsgekrmmt-falls-x-a15.jpg)