GET SEMINAR 2010/12/10

Darcy, Forchheimer,M iそして Manning

登坂博行（東大）

（吉岡真弓（産総研） 佐々木憲二（crearia)）（吉岡真弓（産総研）、佐々木憲二（crearia)）

流れの場の概念（吉岡 2010 地下水学会を改変）流れの場の概念（吉岡、2010、地下水学会を改変）

地圏には様々な流れが起こる

岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ→ダルシー流れ岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ ダルシ 流れ

土壌パイプなどの発達した地下浅部の降下浸透、側方流／割れ目系岩盤中の降下浸透、トンネル湧水／石灰岩の溶食亀裂中の流れ／崖錐礫 扇状地扇頂付近の礫 礫質帯水層中の降下浸透／揚水井 注水礫、扇状地扇頂付近の礫、礫質帯水層中の降下浸透／揚水井、注水井周辺の流れ／浸透ますなど礫質材料中の降下浸透

＊より速い非ダルシー流れ（乱流）地表流、管内流

海地表流

海

流れの場の概念（吉岡 2010 地下水学会を改変）流れの場の概念（吉岡、2010、地下水学会を改変）

地圏には様々な流れが起こる

岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ→ダルシー流れ岩石間隙、土壌間隙中の流動：穏やかな流れ ダルシ 流れ

土壌パイプなどの発達した地下浅部の降下浸透、側方流／割れ目系岩盤中の降下浸透、トンネル湧水／石灰岩の溶食亀裂中の流れ／崖錐礫 扇状地扇頂付近の礫 礫質帯水層中の降下浸透／揚水井 注水礫、扇状地扇頂付近の礫、礫質帯水層中の降下浸透／揚水井、注水井周辺の流れ／浸透ますなど礫質材料中の降下浸透

＊より速い非ダルシー流れ（乱流）地表流、管内流土壌パイプ・降下浸透

降下浸透・側方流

トンネル湧水

海

揚水井 浸透桝地表流

海

割れ目系岩盤

礫質帯水層中の流れ

地下地層中の流れ

水の流れに関し、我々は大きく3つのレジームを水 流れに関し、我 は大きく を知っている。

乱流状態 2J bu=J bu

慣性流状態 2J au bu= +流路の拡縮によりエネルギ が失われる効果を伴う流れ

層流状態 J

流路の拡縮によりエネルギーが失われる効果を伴う流れ

層流状態 J au=

河川屋はM i の乱流世界に住む河川屋はManningの乱流世界に住む

（地表流 河川流 管内流など）

2 / 3R h∂ΨΨ

（地表流、河川流、管内流など）

,u z hn x

∂= Ψ = +

∂水路勾配＋水深勾配

( rectangular open channel)2

W hRW h

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎛ ⎞

水路勾配＋水深勾配

2

(tube)2 2

r rRr

ππ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

径深（hydraulic radius）

22 2

4 / 3

nJ u bux R

⎛ ⎞∂Ψ= = =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠x R∂ ⎝ ⎠

地下水屋はDarcyの世界に住む地下水屋はDarcyの世界に住む

（土壌や岩石などの多孔質体中の流体流動）

Ku P gzρ∂Ψ= − Ψ = +,u P gz

xρ

μΨ +

∂

Du ：Darcy流速[m/s] K：浸透率[m2]μ ：粘性係数[Pa・s]Ψ：ポテンシャル [Pa]

x ：位置 [m]J ux K

μ∂Ψ= =

∂ Ψ：ポテンシャル [Pa]x K∂

直列の法則直列の法則

・低透水部が律速する・低透水部が律速する。・直列媒体の平均浸透率は調和平均的となる

1 2l lKl l

+=⎛ ⎞

8 2 12 21 2

1 2

10 , 101 0 1 0

K m K ml m l m

− −= == =

1 2

1 2

l lK K

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

1 21 .0 , 1 .0l m l m

12 22 10K m−≈ ×

・一部に低透水媒体があると全体もDarcy流れと考えてよい。

2 10K m≈ ×

・地下深部の流れは、大亀裂があってもDarcy流れと考えてよい。

・高透水媒体中でも飽和流れは玉突き状態で、Darcyと考えてよい。

地下深部の流れは、大亀裂があってもDarcy流れと考えてよい。

中間的な流れはどこにあるのか？中間的な流れはどこにある か？

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

降下浸透実験（吉岡ら 2010)降下浸透実験（吉岡ら,2010)装置カラム長さ 1 0m 直径：0 1m直径:0.1m透明塩ビ

パイプ カラム長さ 1.0m 直径：0.1m試料長さ 0.5m初期状態 試料は水飽和、初期水位は0.9m追加注入量 300ml / 500ml

パイプ

追加注入量 300ml / 500ml

方法初期状態から下方を開放し

water0.4m初期状態から下方を開放し、飽和流れ→不飽和流れに至る累積流出量を電子天秤により測定する。測定開始から約60秒後に追加注水を行うS l 測定開始から約60秒後に追加注水を行う。Sample

初期状態=水飽和

0.5m 試料物性

C 材質 粒径 間隙率パンチングメタル

（開孔率50%）基準位置（水位0m）

Case 材質 粒径 間隙率B05 ガラスビーズ 5mm 0.42B10 ガラスビーズ 10mm 0 45

電子天秤

B10 ガラスビ ズ 10mm 0.45CR 砕石 5mm* 0.40

*砕石の粒径は平均等価体積粒径

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

降下浸透実験（吉岡ら 2010)降下浸透実験（吉岡ら,2010)装置カラム長さ 1 0m 直径：0 1m直径:0.1m透明塩ビ

パイプ カラム長さ 1.0m 直径：0.1m試料長さ 0.5m初期状態 試料は水飽和、初期水位は0.9m追加注入量 300ml / 500ml

パイプ

初期水位0 9m

3cm

追加注入量 300ml / 500ml

方法初期状態から下方を開放し

water0.4m

0.9m

初期状態から下方を開放し、飽和流れ→不飽和流れに至る累積流出量を電子天秤により測定する。測定開始から約60秒後に追加注水を行うS l 測定開始から約60秒後に追加注水を行う。Sample

初期状態=水飽和

0.5m 試料物性

C 材質 粒径 間隙率パンチングメタル

（開孔率50%）基準位置（水位0m）

Case 材質 粒径 間隙率B05 ガラスビーズ 5mm 0.42B10 ガラスビーズ 10mm 0 45

電子天秤

B10 ガラスビ ズ 10mm 0.45CR 砕石 5mm* 0.40

*砕石の粒径は平均等価体積粒径

降下浸透実験結果（吉岡 2010)

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

降下浸透実験結果（吉岡,2010)]

Stage 1 Stage 2飽和流れの区間におけるバルク流速

B05

4

流出量[kg] バルク流速

Case バルク流速[m/s]B05 0 056B05

B10CR

0

2

累積流 B05 0.056

B10 0.11CR 0.061

4

0 40 800

[s]

[kg] Injection

飽和流れの区間におけるレイノルズ数 R

5.5

2

積流出量

飽和流れCase Re

B05 332

レイノルズ数 Re

5

0 10 20 300累

積

Time[s] Time[s]

B10 1221CR 275

60 70 80 904.5

累積流出量の時間変化 Darcy領域Re＜1～10

非Darcy流れ

このような高透水媒体の飽和から不飽

和にわたる挙動を再現できるか？和にわたる挙動を再現できるか？

Darcy型 2相流れのモデルDarcy型 2相流れのモデル

2成分2相流体系の質量保存式 ,D pu ：p相のDarcy流速[m/s]pρ ：p相の密度[kg/m3]

( ) ( ), ,D w w r w w w w wu k q Sx t

ρ ρ ρ ϕ∂ ∂− − =∂ ∂∂ ∂

水相

p相 密度[ g ]

pS ：p相の飽和度[-]ϕ ：間隙率[-]

r fk ：相対浸透率[-]( ) ( ), ,D g g r g g g g gu k q S

x tρ ρ ρ ϕ∂ ∂

− − =∂ ∂

気相 p pqρ ：p相の質量生産速度[kg/(m3s)]p ：相（w：水相，g：気相）

,r fk ：相対浸透率[ ]

相対浸 率 毛管 力 デ相対浸透率(krw, krg)・毛管圧力(hc)：van Genuchtenモデル

( )( )21 2 1 mmk

111 1nmS⎛ ⎞− h( )( )1 2 11 1 m

rwk Se Se= − −

( ) ( )211 1mr m

rgk Se Se= − −

1

1 1 ec m

e

ShSα

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

対浸透率

毛管圧力

krwhc

ここで

, 1 1 , 1 31

w wrS SSe m n rS−

= = − =−

( ) ( )rg

相対

力

krg

1 wrSSe：有効飽和度 ,w wrS S ：飽和率，残留飽和率

水飽和率van Genuchtenモデルによる

相対浸透率・毛管圧ー水飽和率曲線

非Darcy型2相流れのモデル予想形（吉岡ら、2010)

2成分2相流体系 質量保存式

Darcy型とのアナロジーで予想されるもの→実験的に適切性の検討が必要

2成分2相流体系の質量保存式( ) ( ), ,F w w r w w w w wu k q S

x tρ ρ ρ ϕ∂ ∂

− − =∂ ∂水相 2' ' 4 'a a b xψ− + + ∂ ∂

Forchheimerの流速の式

x t∂ ∂

( ) ( ), ,F g g r g g g g gu k q Sx t

ρ ρ ρ ϕ∂ ∂− − =∂ ∂

気相

,4

2 'F p

a a b xu

bψ− + + ∂ ∂

=

Ergunらの係数で表わすと、x t∂ ∂' p

pp

a a gKμρ= = ' pb b gρ=

Ergunらの係数で表わすと、

相対浸透率(krw, krg) ：van Genuchtenモデル

krw

透率 吉岡他（2010）ではvan Genuchtenモデルを用い、

毛管圧力(hc)＝0n = -2krg相

対浸透

を与えることで、実験結果を良好に再現。

水飽和率

与 で、実験結果 良好 再現。

実験結果の再現性の検討(吉岡ら 2010)

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

実験結果の再現性の検討(吉岡ら,2010)

初期状態大気層には微小値

計算設定

0.1m 初期状態水飽和度：水飽和状態(=0.999)温度：一定（28℃）圧力 静水圧分布（大気 流出層

大気層 は微小値（1.0×10-5）を設定

大気層(1m)

圧力：静水圧分布（大気・流出層=1013.25hPa)注入設定

注入量：500ml／300ml at 62秒後＊本計算では毛管圧力=0として設定．

計算時間：240秒タイムステップ：最大1秒（収斂状況に合わせて可変）

試料(0.5m)

10層

タイムステップ：最大1秒（収斂状況に合わせて可変）

・・・ 浸透率 → 推定した浸透率を使用

流出層

相対浸透率 → van Genuchtenの係数nを変化

格子設定(1cm)

最下層の流出層への累積流出曲線と実験結果を比較する．

媒体の浸透率の推定媒体の浸透率の推定

変水位試験のDarcy型解析解変水位試験のDarcy型解析解hadh kA dtL

− =B05B10CR)

-0.2

B05B10CRL

( )h t KA leve

l (lo

g)

-0.4

CR

0

( )ln h t KA th aL

=

Wat

er l

-0.60.6

2 4 6実験値はほぼ直線的！ Time [s]実験値はほぼ直線的！

この実験はRe＞100だがDarcy 的？の実験は ＞ だが cy 的

B05B100 2

B05B10

CR

l (lo

g)

-0.2 B10CR

Wat

er le

ve -0.4W

-0.6

Time [s]2 4 6

Fig.5 Water level changes during the saturated flows

実は、詳しくみると、これは曲線となっている。実は、詳しくみると、 れは曲線となっている。

浸透率の推定 方法

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

浸透率の推定 方法

⎛ ⎞●飽和流れの数値計算●実験結果（飽和流れ）

F F FJ u bu ugKμ

ρ⎛ ⎞

= − +⎜ ⎟⎝ ⎠4

量[kg]

1Ergun(1952)の式より

流速[ / ] S 飽和度[ ] k 相対浸透率[ ]

2

累積流出量

飽和流れ12

30.0204 f

f

abg

ρμ φ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

agKμ

ρ=

,F wu ：流速[m/s] pS ：飽和度[-]p pqρ ：水相の質量生産速度[kg/(m3s)]

,r fk ：相対浸透率[-]

0 10 20 300

Time[s]

●目的関数, [ ]cal tQ K,obs tQ累積流出量

●目的関数

( ) 2n

cal obsJ Q K Q⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑ 目的関数Jが最小になるKを推定

( )1t=⎣ ⎦∑

t：時間, n：飽和流れの区間

最小になるKを推定

浸透率の推定結果（吉岡 2010）

室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

浸透率の推定結果（吉岡、2010）絶対浸透率とJ（目的関数）の関係

0 1 0 01

0.06

0.08

0.1 0.01

数J

数J

B05CR

B101 80×10 8 2

B05

0

0.02

0.04 0.005

目的

関数

目的

関数

1.35×10-7m21.80×10-8m2

00.0E+00 2.0E-08 4.0E-08

0 05

0.0 1.0×10-7 2.0×10-7

浸透率 K [m2]浸透率 K [m2]

2.16×10-8m2CR

目的関数Jを最小にする浸透率K：0.03

0.04

0.05 浸透率 K [m ]

関数

J B10

0.01

0.02

目的

関 K JB05 1.80×10-8 0.00352B10 1 35×10-7 0 002840

0.0E+00 2.0E-07 4.0E-07浸透率 K [m2]

B10 1.35×10 0.00284CR 2.16×10-8 0.00220

B05B10CR

-0.2

B05B10

CR

vel (

log)

-0 4

CR

Darcy流れとして逆解析

Wat

er le

v 0.4

0 6

y流れ 逆解析

K* ：慣性効果の入った値

Forchheimerとして逆解析 -0.6

2 4 6

Forchheimerとして逆解析

K：層流状態の本来の浸透率

倍程度

Fig 5 Water level changes during the saturated flows

Time [s]2 4 6で、K*の5～10倍程度

Fig.5 Water level changes during the saturated flows

再現計算結果（吉岡,2010)室内実験＞＞浸透率の推定＞＞再現計算

)

5 5

B05(ガラスビーズ5mm) B10(ガラスビーズ10mm) CR（砕石）

2

4

2.5 2.5

流出

量[k

g]

Stage 1 実験値 実験値 実験値

0 10 20 300

0 10 20 300

0 10 20 300

累積

流

K=1.80×10-8[m2] K=1.35×10-7[m2] K=2.16×10-8[m2]

Stage 1 実験値計算値

実験値計算値

実験値計算値

5.25.5

量[k

g]

経過時間[s] 経過時間[s] 経過時間[s]n=-2.0 n=-1.3 n=-1.5

4.4

4.8

4.8

5.25

累積

流出

量

Stage 2

60 70 80 90 60 70 80 90 60 70 80 904.5

経過時間[s] 経過時間[s] 経過時間[s]

本手法により推定した浸透率Kを用い、相対浸透率にかかる係数nに負の値を与えることで、媒体の異なる3種の実験結果を良好に再現することができた。

C

14

k y

C

14

erm

eabi

lity

Capillarity pr

2

krwkrg

P perm

eabi

lity

Capillarity pr

2

krwkrg

Rel

ativ

e p

ressure [m]

2Pc

Rel

ativ

e p ressure [m

]

2

Pc

Water saturation

010

0Water saturation

00

0

Pc

1

Fig.9 The relationships between water saturation and capillarity pressure (P ) l i bili f li id (k ) d (k ) b

(a) n = 5 (b) n = -2

(Pc), relative permeability of liquid (krw) and gas (krg) by van Genuchten model with n = 5 (a) and n=-2 (b).

4 4

outfl

ow [k

g]

outfl

ow [k

g]

0

2

0

2

Cum

ulat

ive

o

Cum

ulat

ive

o

10 20 3000 0

10 20 300Elapsed time [s] Elapsed time [s]

C]

C

4 Forchheimer model with aestimated by inversionDarcy model with a

Observation

outfl

ow [k

g

0

2 Darcy model with aestimated by inversion

Darcy model with Kestimated by FHP testC

umul

ativ

e

10 20 3000

Elapsed time [s]

Fig.10 Comparing results of Forchheimer model between Darcy model with the estimated coefficients a and b by inversion analysis and the falling head permeability (FHP) method.

得られた知見得られた知見

変水位試験からDarcy流れを仮定して回帰された浸透率変水位試験からDarcy流れを仮定して回帰された浸透率は、 はもはやDarcy浸透率ではなく、慣性流状態の浸透率である。

*K

変水位試験の結果からForchheimerモデルにより得られる浸透率は本来のDarcy 浸透率Kと考えられる。KはK*の数倍大きくなる。Forchheimer式とKを使って、実験結果は良好に再現される。Darcy式とKを使って実験結果は再現されないs。Darcy式とK*を使って、実験結果はある程度再現できる。高透水媒体中の不飽和流れの相対浸透率は通常の形から大 く 比較的直線的大きく異なり、比較的直線的になる。

まとめまとめ

陸域の水の流れには 大きく層流 慣性流 乱流がある。陸域の水の流れには、大きく層流、慣性流、乱流がある。地表流はManning型乱流、地下はDarcy 型層流、そして、地下浅部高透水性媒体中の不飽和浸透ではForchheimer型地下浅部高透水性媒体中の不飽和浸透ではForchheimer型慣性流が考えられる。不飽和慣性流は、通常と形の異なる相対浸透率形により再現可能であると考えられる。

不飽和慣性流の効果が水文解析結果に与える影響については、今後の検討が必要であるが、Forchheimer型により水文系全体をモデル化する とが望まし かもしれな水文系全体をモデル化することが望ましいかもしれない。