Das bewährte...

2019Neues Kerncurriculum: Mathematik für Berufliche Gymnasien in Niedersachsen

www.westermann.de

KERNCURR

ICULUM

2018

Das bewährte Schilling-Konzept:Anschaulich und verständlich

Jetzt neu mit passenden Arbeitsheften!

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Das bewährte Schilling-Konzept – anschaulich und verständlich, angepasst an die Anforderungen des neuen LehrplansDie vierbändige Reihe ist exakt auf das neue Kerncurriculum für Berufliche Gymnasien (Bereiche Wirtschaft und Gesundheit und Soziales), welches zum Schuljahr 2018/2019 in Kraft getreten ist, zugeschnitten. Neben den inhaltsbezogenen werden auch die prozessbezogenen Kompetenzen der Schüler/-innen gefördert (sowohl für das grundlegende als auch das erhöhte Anforderungsniveau). Die neue Reihe bereitet optimal auf die Abiturprüfung vor.

SITUATIONEN MIT LÖSUNGS-

WEGEN

ZUSAMMEN-FASSUNG

ÜBUNGS- AUFGABEN

OFFENE LERN-

SITUATIONEN

ABITUR

KONZEPT2

Durch zahlreiche überwiegend handlungsorientierte Lernsituationen mit vollständig durch- gerechnetem Lösungsweg wird die Vorgehensweise detailliert und nachvollziehbar erklärt. Wo nötig, werden Zusammenfassungen geboten.

Es folgen Übungsaufgaben zur Vertiefung, die eng an die vorangegangenen Lernsituationen anknüpfen - so wird der selbstständige Erwerb der im Kerncurriculum geforderten Kompe- tenzen ermöglicht.

Am Ende der meisten Kapitel gibt es offene Lernsituationen, welche neben den mathemati-schen auch die prozessbezogenen Kompetenzen fördern und dadurch eine optimale Kompetenzförderung gewährleisten.

3

Überblick über die Zuordnung der Sachgebiete und Lernbereiche zu den einzelnen Bänden der Reihe:

AUSBILDUNGSPHASE SACHGEBIETE LERNBEREICHE

BAND 1 Einführungsphase Stochastik Analysis

1 Beschreibende Statistik2 Elementare Funktionenlehre3 Ableitungen

BAND 2 Qualifikationsphase Analysis 1 Kurvenanpassung2 Von der Änderung zum Bestand –

Integralrechnung3 Wachstumsmodelle mit Exponential- und

e-Funktionen

BAND 3 Qualifikationsphase Analytische Geometrie/ Lineare Algebra

Stochastik

1 Raumanschauung und Koordinatisierung 2 Mehrstufige Prozesse – Matrizenrechnung3 Daten und Zufall

BAND 4 Formelsammlung Alle Sachgebiete und Lernbereiche

NEU: Mit passenden Arbeitsheften zu jedem Band!

4 SCHÜLERBÄNDE

Die Schülerbände vermitteln die Lerninhalte anwendungs- und berufsbezogen

enthalten Situationen mit vollständig durchgerechneten Lösungswegen

bieten übersichtliche Zusammenfassungen

enthalten Übungsaufgaben, die eng an die vorangegangenen Lernsituationen anknüpfen

verknüpfen durch offene Lernsituationen die inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen

ISBN TITEL AUSGABEART AUFLAGE UMFANG PREIS ERSCHEINT

978-3-427-11652-3 Band 1: Beschreibende Statistik und Analysis I – Einführungsphase

Schülerband 1. Auflage 2018 352 Seiten 22,95 € lieferbar WEB-427-11755*

978-3-427-11655-4 Lösungen 1. Auflage 2018 195 Seiten 26,00 € lieferbar

978-3-427-11656-1 Band 2: Analysis II – Qualifikationsphase


978-3-427-11659-2 Lösungen 1. Auflage 2019 ca. 280 Seiten 26,00 € Q2/2019

978-3-427-11660-8 Band 3: Analytische Geometrie, Lineare Algebra und Stochastik – Qualifikationsphase


978-3-427-11663-9 Lösungen 1. Auflage 2018 ca. 170 Seiten 26,00 € Q2/2019

*Lehrer-Einzellizenz; weitere Lizenzformen, Laufzeiten und Preise finden Sie unter www.bibox.schule/berufsbildung

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Ihr Vorteil in der Lehrer BiBox: Hier sind alle Lösungen zu den Aufgaben im Buch enthalten!

Sie finden die Lösungen zu den Aufgaben direkt bei der jewei-ligen Buchseite. Weitere Informationen zu den Funktionen der BiBox finden Sie auf Seite 8 in dieser Broschüre.

5

33

1.2 Kenngrößen einer Stichprobe

Situation 5

Berechnen Sie mithilfe der Anweisung im GTR-Anhang das arithmetische Mittel und den Median für die vorangegangene Lernsituation 4 mit dem Taschenrechner.

Lösung

Alle Merkmalsausprägungen xi werden mit STAT , EDIT, 1:Edit in die Liste L1 und alle rela-tiven Häufigkeiten h (xi) in die Liste L2 eingegeben (Abb. 1)1).Mit 2ND , [QUIT] die Listen verlassen.Aufruf des Statistikmoduls des Taschenrechners:

STAT , CALC, 1:1-Var Stats (Abb. 2), dann die zu verwendenden Listen L1 und L2 bestim-men (Abb. 3) und mit Calculate abschließen.

Das Statistikmodul des Taschenrechners liefert dann zahlreiche Kennzahlen. Die erste dort aufgeführte Kennzahl ist das arithmetische Mittel

_ x = 3,2 (s. Abb. 4), die neunte Kenn-

zahl (Med) ist der Median: xMed = 3 (s. Abb. 5).

Situation 6

200 Haushalte eines Stadtteils wurden nach ihrem monatlichen Bruttoverdienst befragt. Die Daten, die sich aus der Umfrage erge-ben haben, sind klassiert in der Grafik dar-gestellt.

Ermitteln Sie a) den Modalwert,b) das arithmetisches Mittel undc) den Median.Interpretieren Sie die berechneten Werte.

1) Alternativ können in die Liste L2 auch die absoluten Häufigkeiten eingegeben werden.

2

0,1

0,15 0,15

0,2

0,05

0,30,3

0,35h (x

i)

xi

10000 2000 3000 4000 5000

Situationen mit vollständig durchgerechneten Lösungswegen

34

1 Lernbereich: Beschreibende Statistik

Lösung

a) Modalwert: Aus der Grafik ist ohne weitere Berechnungen erkennbar, dass die Klasse [1 000; 2 000) mit 35 % die größte Häufigkeit ausweist. Die Klasse [1 000; 2 000) heißt deshalb Modalklasse. Die Klassenmitte der Modalklasse wird bei klassierten Daten als Modalwert bezeichnet: x Mod * = 1 500

b) Arithmetisches Mittel: Damit die entsprechenden Formeln verwendet werden können, wird bei klassierten Daten die jeweilige Klassenmitte x

i * als Merkmalsausprägung

verwendet.

_

x = ∑ i = 1

k

x i * ⋅h ( x

i * ) = 500×0,15 + 1 500×0,35 + 2 500×0,3 + 3 500×0,15 + 4 500×0,05 = 2 100

Der durchschnittliche Bruttoverdienst beträgt 2 100 €.

c) Median: Bei klassierten Daten wird die Medianklasse bestimmt. In der Medianklasse erreicht bzw. überschreitet die Summe der Häufigkeiten den Wert 0,5.

Bei unserer Befragung wird dieser Wert (ungewöhnlicherweise) genau beim Übergang von der 2. in die 3. Klasse, also bei 2 000 erreicht. Wenn wir xMed = 2 000 festlegen, liegen 50 % der Merkmalsaus prägungen unter diesem Wert und 50 % darüber.

Zusammenfassung

Lagemaße

Modalwert Arithmetisches Mittel Median

■ Der Modalwert (Modus) xMod ist die Merkmalsausprägung einer Stichprobe mit der größten Häu�gkeit.

■ Das arithmetische Mittel _

x ist der Mittelwert oder Durchschnittswert aller Merkmals-aus prägungen.

Arithmetisches Mittel bei gegebener Urliste:

_

x = x1 + x2 + … + xn

__

n

= 1 _

n (x1 + x2 + … + xn) = 1 _

n

∑ i = 1

n

x i

Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten und absoluten Häufigkeiten:

_

x = x1×n1 + x2×n2 + … + xk×nk

__

n

= 1 _ n (x1×n1 + x2×n2 + … + xk×nk) = 1 _

n ∑ i = 1

k

xi×ni

Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten und relativen Häufigkeiten:

_

x = x 1 ⋅h ( x 1 ) + x 2 ⋅h ( x 2 ) + … + x k ⋅h ( x k ) = ∑ i = 1

k

x i ⋅h ( x i )

33


Situation 5

Berechnen Sie mithilfe der Anweisung im GTR-Anhang das arithmetische Mittel und den Median für die vorangegangene Lernsituation 4 mit dem Taschenrechner.

Lösung

Alle Merkmalsausprägungen xi werden mit STAT , EDIT, 1:Edit in die Liste L1 und alle rela-tiven Häufigkeiten h (xi) in die Liste L2 eingegeben (Abb. 1)1).Mit 2ND , [QUIT] die Listen verlassen.Aufruf des Statistikmoduls des Taschenrechners:

STAT , CALC, 1:1-Var Stats (Abb. 2), dann die zu verwendenden Listen L1 und L2 bestim-men (Abb. 3) und mit Calculate abschließen.

Das Statistikmodul des Taschenrechners liefert dann zahlreiche Kennzahlen. Die erste dort aufgeführte Kennzahl ist das arithmetische Mittel

_ x = 3,2 (s. Abb. 4), die neunte Kenn-

zahl (Med) ist der Median: xMed = 3 (s. Abb. 5).

Situation 6

200 Haushalte eines Stadtteils wurden nach ihrem monatlichen Bruttoverdienst befragt. Die Daten, die sich aus der Umfrage erge-ben haben, sind klassiert in der Grafik dar-gestellt.

Ermitteln Sie a) den Modalwert,b) das arithmetisches Mittel undc) den Median.Interpretieren Sie die berechneten Werte.

1) Alternativ können in die Liste L2 auch die absoluten Häufigkeiten eingegeben werden.

2

0,1

0,15 0,15

0,2

0,05

0,30,3

0,35h (x

i)

xi

10000 2000 3000 4000 5000

34


Lösung

a) Modalwert: Aus der Grafik ist ohne weitere Berechnungen erkennbar, dass die Klasse [1 000; 2 000) mit 35 % die größte Häufigkeit ausweist. Die Klasse [1 000; 2 000) heißt deshalb Modalklasse. Die Klassenmitte der Modalklasse wird bei klassierten Daten als Modalwert bezeichnet: x Mod * = 1 500

b) Arithmetisches Mittel: Damit die entsprechenden Formeln verwendet werden können, wird bei klassierten Daten die jeweilige Klassenmitte x

i * als Merkmalsausprägung

verwendet.

_

x = ∑ i = 1

k

x i * ⋅h ( x

i * ) = 500×0,15 + 1 500×0,35 + 2 500×0,3 + 3 500×0,15 + 4 500×0,05 = 2 100

Der durchschnittliche Bruttoverdienst beträgt 2 100 €.

c) Median: Bei klassierten Daten wird die Medianklasse bestimmt. In der Medianklasse erreicht bzw. überschreitet die Summe der Häufigkeiten den Wert 0,5.

Bei unserer Befragung wird dieser Wert (ungewöhnlicherweise) genau beim Übergang von der 2. in die 3. Klasse, also bei 2 000 erreicht. Wenn wir xMed = 2 000 festlegen, liegen 50 % der Merkmalsaus prägungen unter diesem Wert und 50 % darüber.

Zusammenfassung

Lagemaße

Modalwert Arithmetisches Mittel Median

■ Der Modalwert (Modus) xMod ist die Merkmalsausprägung einer Stichprobe mit der größten Häu�gkeit.

■ Das arithmetische Mittel _

x ist der Mittelwert oder Durchschnittswert aller Merkmals-aus prägungen.

Arithmetisches Mittel bei gegebener Urliste:

_

x = x1 + x2 + … + xn

__

n

= 1 _

n (x1 + x2 + … + xn) = 1 _

n

∑ i = 1

n

x i

Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten und absoluten Häufigkeiten:

_

x = x1×n1 + x2×n2 + … + xk×nk

__

n

= 1 _ n (x1×n1 + x2×n2 + … + xk×nk) = 1 _

n ∑ i = 1

k

xi×ni

Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten und relativen Häufigkeiten:

_

x = x 1 ⋅h ( x 1 ) + x 2 ⋅h ( x 2 ) + … + x k ⋅h ( x k ) = ∑ i = 1

k

x i ⋅h ( x i )

Durch die Situationen mit vollständig durchgerechneten Lösungswegen wird die mathematische Vorgehensweise detailliert und nachvollziehbar erklärt. So wird die Basis geschaffen, das Erlernte auch auf weitere Situationen und Aufgaben zu übertragen.

Die Taschenrechner-funktionen werden ausführlich erläutert und visualisiert.

25


c) Trends bestimmen• Absatzzahlen von Produkt A:

Ab 2000 fallen sie leicht abAb 2002 steigen sie stetig anAb 2012 fallen sie wieder leicht ab

• Absatzzahlen von Produkt B:Ab 2000 steigen sie stark anAb 2002 fallen sie stark abAb 2004 fallen sie deutlich langsamerAb 2012 steigen sie wieder leicht an

d) Trends vergleichen So lassen sich Unterschiede und Zusammenhänge feststellen. Wenn die Absatzzahlen von Produkt A hoch sind, sind die Absatzzahlen von Produkt B

gering und umgekehrt.

e) Trends deuten Da die Produkte in Konkurrenz zueinander stehen, sinken die Absatzzahlen des einen

Produktes, wenn die Absatzzahlen des anderen Produktes, z. B. durch Werbemaßnah-men, steigen.

f) Weiteren Verlauf vorhersagen In den folgenden Jahren könnte der Absatz des Produktes B weiter ansteigen und der

des Produktes A weiter fallen, sodass der Absatz des Produktes B den des Produktes A wieder übersteigt.

Zusammenfassung

Häufigkeiten

absolute Häufigkeiten

relative Häufigkeiten

■ Die absolute Häufigkeit ni gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung xi auftritt.

■ Die relative Häufigkeit h (xi) einer Merkmalsausprägung gibt an, wie groß der Anteil der Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang n ist.

relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit __ Stichprobenumfang

h ( x i ) = n i _ n

11652_Buch.indb 25 12.10.2017 15:12:43

Zusammenfassung

25


c) Trends bestimmen• Absatzzahlen von Produkt A:

Ab 2000 fallen sie leicht abAb 2002 steigen sie stetig anAb 2012 fallen sie wieder leicht ab

• Absatzzahlen von Produkt B:Ab 2000 steigen sie stark anAb 2002 fallen sie stark abAb 2004 fallen sie deutlich langsamerAb 2012 steigen sie wieder leicht an

d) Trends vergleichen So lassen sich Unterschiede und Zusammenhänge feststellen. Wenn die Absatzzahlen von Produkt A hoch sind, sind die Absatzzahlen von Produkt B

gering und umgekehrt.

e) Trends deuten Da die Produkte in Konkurrenz zueinander stehen, sinken die Absatzzahlen des einen

Produktes, wenn die Absatzzahlen des anderen Produktes, z. B. durch Werbemaßnah-men, steigen.

f) Weiteren Verlauf vorhersagen In den folgenden Jahren könnte der Absatz des Produktes B weiter ansteigen und der

des Produktes A weiter fallen, sodass der Absatz des Produktes B den des Produktes A wieder übersteigt.

Zusammenfassung

Häufigkeiten

absolute Häufigkeiten

relative Häufigkeiten

■ Die absolute Häufigkeit ni gibt an, wie oft eine Merkmalsausprägung xi auftritt.

■ Die relative Häufigkeit h (xi) einer Merkmalsausprägung gibt an, wie groß der Anteil der Merkmalsausprägung am Stichprobenumfang n ist.

relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit __ Stichprobenumfang

h ( x i ) = n i _ n

11652_Buch.indb 25 12.10.2017 15:12:43

Die wichtigsten Inhalte eines Kapitels werden nochmals zusammengefasst, bevor es für die Schüler/-innen an die selbstständig zu lösenden Übungsaufgaben geht. So können sie die Inhalte besser verstehen und im nächsten Schritt auch anwenden.

16


Übungsaufgaben

1 Beurteilen Sie, ob es sich um eine repräsentative Stichprobe handelt.a) Um herauszufinden, welche Automobilmarke die Deutschen für die zuverlässigste

halten, werden 5 000 Männer nach ihrer Meinung gefragt.b) Zur Ermittlung der durchschnittlichen Bearbeitungszeit für ein Werkstück werden

die acht Mitarbeiter in der Produktion jeweils eine halbe Stunde lang beobachtet.c) In einem Sägewerk werden mithilfe von drei baugleichen Sägen Bretter auf Maß gesägt.

Im Rahmen der Qualitätskontrolle wird eine umfangreiche Stichprobe von der ers-ten Säge genommen.

d) Um das durchschnittliche, monatliche Bruttoeinkommen in der Computerbranche zu bestimmen, werden 800 Programmierer und Programmiererinnen befragt. Das Geschlechterverhältnis der Stichprobe entspricht genau dem der Grundgesamtheit.

e) Die Mitarbeiter der Marketingabteilung eines Versandhauses rufen bei 75 % der Stammkunden an, um festzustellen, ob alle Kunden mit dem Service des Unterneh-mens zufrieden sind.

f) Mitarbeiter der Marketingabteilung eines Versandhauses rufen bei zufällig ausge-wählten 75 % der Stammkunden an, um festzustellen, ob die Stammkunden die Prei-se im Versandhaus im Vergleich zum Internet zu hoch, angemessen oder zu niedrig finden.

g) Bei einer Studie zur durchschnittlichen Hausaufgabenzeit der Schülerinnen und Schüler werden zufällig ausgewählte 50 % aller Schülerinnen und Schüler des 13. Jahrgangs eines beruflichen Gymnasiums befragt.

h) Bei der sogenannten Sonntagsfrage „Welche Partei würden Sie wählen, wenn Sonn-tag Bundestagswahl wäre?“ wurden 3 000 Wahlberechtigte eines Stadtteils befragt.

i) Zur Feststellung des durchschnittlichen Jahresbruttoeinkommens in Deutschland wird eine Stichprobe vom Umfang 3 000 so ausgewählt, dass der Frauenanteil, die geografische Lage der Befragten sowie die Berufsstruktur (in den Ausprägungen Arbeiter, Angestellter, Beamter, Selbstständiger, Studierender, Arbeitssuchender, Rentner/Pensionär) denen in der Grundgesamtheit entsprechen.

11652_Buch.indb 16 12.10.2017 15:12:41

Übungsaufgaben

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Übungsaufgaben

1 Beurteilen Sie, ob es sich um eine repräsentative Stichprobe handelt.a) Um herauszufinden, welche Automobilmarke die Deutschen für die zuverlässigste

halten, werden 5 000 Männer nach ihrer Meinung gefragt.b) Zur Ermittlung der durchschnittlichen Bearbeitungszeit für ein Werkstück werden

die acht Mitarbeiter in der Produktion jeweils eine halbe Stunde lang beobachtet.c) In einem Sägewerk werden mithilfe von drei baugleichen Sägen Bretter auf Maß gesägt.

Im Rahmen der Qualitätskontrolle wird eine umfangreiche Stichprobe von der ers-ten Säge genommen.

d) Um das durchschnittliche, monatliche Bruttoeinkommen in der Computerbranche zu bestimmen, werden 800 Programmierer und Programmiererinnen befragt. Das Geschlechterverhältnis der Stichprobe entspricht genau dem der Grundgesamtheit.

e) Die Mitarbeiter der Marketingabteilung eines Versandhauses rufen bei 75 % der Stammkunden an, um festzustellen, ob alle Kunden mit dem Service des Unterneh-mens zufrieden sind.

f) Mitarbeiter der Marketingabteilung eines Versandhauses rufen bei zufällig ausge-wählten 75 % der Stammkunden an, um festzustellen, ob die Stammkunden die Prei-se im Versandhaus im Vergleich zum Internet zu hoch, angemessen oder zu niedrig finden.

g) Bei einer Studie zur durchschnittlichen Hausaufgabenzeit der Schülerinnen und Schüler werden zufällig ausgewählte 50 % aller Schülerinnen und Schüler des 13. Jahrgangs eines beruflichen Gymnasiums befragt.

h) Bei der sogenannten Sonntagsfrage „Welche Partei würden Sie wählen, wenn Sonn-tag Bundestagswahl wäre?“ wurden 3 000 Wahlberechtigte eines Stadtteils befragt.

i) Zur Feststellung des durchschnittlichen Jahresbruttoeinkommens in Deutschland wird eine Stichprobe vom Umfang 3 000 so ausgewählt, dass der Frauenanteil, die geografische Lage der Befragten sowie die Berufsstruktur (in den Ausprägungen Arbeiter, Angestellter, Beamter, Selbstständiger, Studierender, Arbeitssuchender, Rentner/Pensionär) denen in der Grundgesamtheit entsprechen.

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Es folgen Übungsaufgaben, die eng an die vorangegangenen Situationen anknüpfen. So wird der selbstständige Erwerb der im Kerncurriculum geforderten Kompetenzen ermöglicht.

26


Die Neuanschaffung wurde noch abgewendet. Für die

Würste, die nicht in der Norm lagen, hat der Hersteller

aus der Not eine Tugend gemacht. Er verkauft mittler-

weile mit großem Erfolg Würste mit ungleichen Längen.

d) Beschreiben Sie die Veränderung der Lagemaße und der Streumaße, wenn die Wurstlängen

nicht mehr gleich sondern unterschiedlich sind.

3. Der Pressesprecher der Mühle KG ist bekannt, Verkaufszahlen seines Unternehmens zu schönen.

So legte er bei einem letzten Pressebericht das Schaubild vor und kommentierte es:

„Im Vergleich zum Jahr 2000 konnten wir 2009 die Verkaufszahlen verdoppeln, und auch 2012 konn-

ten wir uns nochmal kräftig steigern.“

Jahre

AbsoluteHäu�gkeiten

Verkaufszahlen

800

900

1 000

1 100

1 200

1 300

1 400

1 400

1 500

1 600

1 700

2000 2009 2012

Miller

6 ARBEITSHEFTE

NEU!

in Vorb.

in Vorb.

Die Arbeitshefte sind jeweils genau auf den zugehörigen Schülerband abgestimmt

unterstützen die Lehrer/-innen dabei, den Unterricht in Lernsituationen auszugestalten

fördern den Kompetenzerwerb der Schüler/-innen

führen die Schüler/-innen hin zu einem selbstständigen, reifen Lernen

ermöglichen interaktive Gruppenarbeit zur Erarbeitung der Lösungen

initiieren in Handlungssituationen komplexe Lern- und Arbeitsprozesse und unterstützen Schüler/-innen dabei, diese strukturiert anzugehen

regen die Schüler/-innen dazu an, sich zu bestimmten Themen aktiv und eigenständig im Schülerband zu informieren


978-3-427-02425-5 Band 1: Beschreibende Statistik und Analysis I – Einführungsphase

Arbeitsheft 1. Auflage 2019 ca. 140 Seiten In Vorb. Q3/2019

978-3-427-02427-9 Lösungen 1. Auflage 2019 ca. 140 Seiten In Vorb. Q3/2019

978-3-427-02439-2 Band 2: Analysis II – Qualifikationsphase

Arbeitsheft 1. Auflage 2020 In Vorb. In Vorb. 2020

978-3-427-02441-5 Lösungen 1. Auflage 2020 In Vorb. In Vorb. 2020

978-3-427-02453-8 Band 3: Analytische Geometrie, Lineare Algebra und Stochastik – Qualifikationsphase

Arbeitsheft 1. Auflage 2020 In Vorb. In Vorb. 2020

978-3-427-02455-2 Lösungen 1. Auflage 2020 In Vorb. In Vorb. 2020

7

5

Lernsituation: Statistiken beim Parfümhersteller

1.1 Datenerhebung

Handlungssituation: Um frage in Haßloch

Ein Parfümhersteller möchte sein Premiumprodukt durch eine moderne Flaschenform neu vermark-

ten. Nach einer längeren Entwicklungszeit schlägt die Abteilung für Produktdesign eine eingeschnürte

und eine bauchige Flaschenform vor.

Eine Marktuntersuchung soll zeigen, ob eine der beiden Flaschenformen dazu führt, dass das Produkt

wieder stärker gekauft wird.

Das Kaufverhalten der Kunden soll in Haßloch, einem rheinland-pfälzischen Ort mit 20 460 Einwoh-

nern getestet werden. Diese Ortschaft kommt infrage, da deren Strukturen wie das Alter der Bevölke-

rung oder soziale Schichten dem deutschen Durchschnitt sehr ähnlich sind.

Nach einer ersten Teilerhebung in Haßloch mit 5 000 befragten Einwohnern gaben 2 000 Personen

an, das Produkt mit einer neuen Flaschenform zu kaufen. Die restlichen Befragten hatten kein Kauf-

interesse. Im vorherigen Beobachtungszeitraum kauften 2 160 Kunden von insgesamt 6000 Drogerie-

kunden das Produkt in der alten Form.

Auf eine schriftliche Anfrage zum Kaufinteresse des Parfüms mit neuer Flasche, bei der 600 Haushalte

befragt wurden, antworteten 440. Die Teilergebnisse zeigt die Tabelle:

Merkmalsausprägung absolute Häu� gkeit relative Häu� gkeit

x1 0,55

x2 0,15

x3

Summe 1


Lernsituation

5

Lernsituation: Statistiken beim Parfümhersteller

1.1 Datenerhebung

Handlungssituation: Um frage in Haßloch

Ein Parfümhersteller möchte sein Premiumprodukt durch eine moderne Flaschenform neu vermark-

ten. Nach einer längeren Entwicklungszeit schlägt die Abteilung für Produktdesign eine eingeschnürte

und eine bauchige Flaschenform vor.

Eine Marktuntersuchung soll zeigen, ob eine der beiden Flaschenformen dazu führt, dass das Produkt

wieder stärker gekauft wird.

Das Kaufverhalten der Kunden soll in Haßloch, einem rheinland-pfälzischen Ort mit 20 460 Einwoh-

nern getestet werden. Diese Ortschaft kommt infrage, da deren Strukturen wie das Alter der Bevölke-

rung oder soziale Schichten dem deutschen Durchschnitt sehr ähnlich sind.

Nach einer ersten Teilerhebung in Haßloch mit 5 000 befragten Einwohnern gaben 2 000 Personen

an, das Produkt mit einer neuen Flaschenform zu kaufen. Die restlichen Befragten hatten kein Kauf-

interesse. Im vorherigen Beobachtungszeitraum kauften 2 160 Kunden von insgesamt 6000 Drogerie-

kunden das Produkt in der alten Form.

Auf eine schriftliche Anfrage zum Kaufinteresse des Parfüms mit neuer Flasche, bei der 600 Haushalte

befragt wurden, antworteten 440. Die Teilergebnisse zeigt die Tabelle:

Merkmalsausprägung absolute Häu� gkeit relative Häu� gkeit

x1 0,55

x2 0,15

x3

Summe 1


Zentrales Element bilden die Lernsituationen: Ausgehend von berufsbezogenen Problem-stellungen fordert ein jeweils eigens formu-lierter Auftrag die Lernenden dazu auf, Lern- und Arbeitsprozesse aktiv mitzugestalten.

12


Ihre Zusammenfassung

Begriffe

■ Merkmalsträger

■ Merkmal

■ Merkmalsausprägung

■ Vollerhebung

■ Teilerhebung

■ Stichprobenumfang n

■ Absolute Häu�gkeit n i

■ Relative Häu�gkeit h ( x i )

■ Repräsentative Umfrage

■ Säulendiagramm

Zusammenfassung

12


Ihre Zusammenfassung

Begriffe

■ Merkmalsträger

■ Merkmal

■ Merkmalsausprägung

■ Vollerhebung

■ Teilerhebung

■ Stichprobenumfang n

■ Absolute Häu�gkeit n i

■ Relative Häu�gkeit h ( x i )

■ Repräsentative Umfrage

■ Säulendiagramm

In ihrer eigenen Zusammenfassung haben die Lernenden die Möglichkeit, ihren Lernprozess noch einmal selbst- ständig zu überprüfen.

6


Erläuterung der Merkmalsausprägungen:

x1: Der Kunde wird das Produkt mit der neuen eingeschnürten Form kaufen (linke Abbildung).

x2: Der Kunde wird das Produkt mit der neuen bauchigen Form kaufen (rechte Abbildung).

x3: Der Kunde wird das Produkt mit der neuen Form nicht kaufen.

Auftrag

Beurteilen Sie auf der Grundlage der gegebenen Daten, ob eine neue Flaschenform dazu führt,

dass das Produkt wieder verstärkt gekauft wird. Entscheiden Sie sich für eine der beiden Flaschen-

formen.

Der Auftrag wird aufgeteilt und bearbeitet.

a) Beschreiben Sie für die Marktuntersuchung den Unterschied zwischen einer Teilerhebung und

einer Vollerhebung.

b) Nennen Sie zwei Merkmale, die man untersuchen könnte, und die jeweils möglichen Merk-

malsausprägungen.

Auftrag

6


Erläuterung der Merkmalsausprägungen:

x1: Der Kunde wird das Produkt mit der neuen eingeschnürten Form kaufen (linke Abbildung).

x2: Der Kunde wird das Produkt mit der neuen bauchigen Form kaufen (rechte Abbildung).

x3: Der Kunde wird das Produkt mit der neuen Form nicht kaufen.

Auftrag

Beurteilen Sie auf der Grundlage der gegebenen Daten, ob eine neue Flaschenform dazu führt,

dass das Produkt wieder verstärkt gekauft wird. Entscheiden Sie sich für eine der beiden Flaschen-

formen.

Der Auftrag wird aufgeteilt und bearbeitet.

a) Beschreiben Sie für die Marktuntersuchung den Unterschied zwischen einer Teilerhebung und

einer Vollerhebung.

b) Nennen Sie zwei Merkmale, die man untersuchen könnte, und die jeweils möglichen Merk-

malsausprägungen.

14


a) Ergänzen Sie die fehlenden absoluten und relativen Häufigkeiten in der Tabelle.

b) Bestimmen Sie den Modalwert zum Merkmal Höchstpreis.

c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel zum Merkmal Höchstpreis. Füllen Sie dazu die rechte

Spalte der Tabelle aus und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

d) Bestimmen Sie den Median zu den gegebenen Daten und interpretieren Sie das Ergebnis im

ökonomischen Sachzusammenhang.

Schlussfolgerung

Ihr Preisvorschlag zum Premiumprodukt:

Schlussfolgerung

14


a) Ergänzen Sie die fehlenden absoluten und relativen Häufigkeiten in der Tabelle.

b) Bestimmen Sie den Modalwert zum Merkmal Höchstpreis.

c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel zum Merkmal Höchstpreis. Füllen Sie dazu die rechte

Spalte der Tabelle aus und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

d) Bestimmen Sie den Median zu den gegebenen Daten und interpretieren Sie das Ergebnis im

ökonomischen Sachzusammenhang.

Schlussfolgerung

Ihr Preisvorschlag zum Premiumprodukt:

Die Schüler/-innen werden unterstützt, den Auftrag strukturiert zu bearbeiten und reflektierend zu ihrer eigenen Schlussfolgerung zu gelangen.

8 DIGITALE UNTERRICHTSMATERIALIEN

Nutzen Sie die Lehrbücher

auch digital in der BiBox!

BiBox – Die Bildungsbox für Lehrer und SchülerGeben Sie unter www.westermann.de einfach den Titel Ihres Lehrwerks und den Zusatz „BiBox“ ins Suchfeld ein – dort finden Sie die verfügbaren Lizenzen.

Lehrer-BiBox■ E-Book des Schulbuchs■ Schülerverwaltungssystem■ Bearbeitungswerkzeuge (Notizen, Markieren, Kopieren,

Ausschneiden usw.) auch für die Arbeit am Whiteboard (Abdeckfunktion, Zoomen)

■ Upload eigener Dateien■ Materialfreischaltung für die Schüler-BiBox

Material-freischaltung

in die Schüler- BiBox

1

4

9

BiBox – Die Bildungsbox für Lehrer und SchülerGeben Sie unter www.westermann.de einfach den Titel Ihres Lehrwerks und den Zusatz „BiBox“ ins Suchfeld ein – dort finden Sie die verfügbaren Lizenzen.

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23

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10 FORMELSAMMLUNG

70

Lineare Algebra

2 Matrizen2.1 Definitionen

Matrix Eine Matrix ist eine geordnete Menge von z · s Zahlen oder anderen mathe matischen Objekten, die in z Zeilen und s Spalten angegeben und von runden Klammern umschlossen werden. Die Zeilen und Spalten sind Tupel. Matrizen werden in der Regel mit einem Großbuchstaben benannt. Im Index wird häufi g die Dimension der Matrix angegeben.

Az ⨯ s =

a11

a21 ⋮ az1

a12

a22 ⋮ az2

⋯

⋯ ⋱

⋯

a1s

a2s ⋮ azs

z ⨯ s

Dimension (Format) einer Matrix

Eine (z ⨯ s)-Matrix hat z Zeilen und s Spalten.

Elemente (Kom po nen-ten) einer Matrix

Die in einer Matrix aufgeführten Zahlen oder mathematischen Objekte heißen Elemente. Sie werden in der Regel mit dem zur Bezeichnung der Matrix passenden Kleinbuchstaben benannt. Im Index wird die Position des Elements in der Matrix angegeben, z. B. a21. Eine (z ⨯ s)-Matrix hat z · s Elemente.

2.2 Besondere Matrizen

Quadratische Matrix

An ⨯ n =

a11

a12

⋯

a1n

a21

a22 ⋯

a2n

⁝

⁝ ⋱

⁝

an1

an2

⋯

ann

n ⨯ n

Ist bei einer Matrix die Anzahl der Zeilen z identisch mit der Anzahl der Spalten s und sind z und s nicht 1, so heißt die Matrix quadratische Matrix.

Einheitsmatrix

En ⨯ n =

1

0

⋯

0

0 1 ⋱ ⁝ ⁝

⋱

⋱ 0

0

⋯

0

1

n ⨯ n

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente auf der Haupt-diagonalen 1 und alle übrigen Elemente 0 sind, heißt Einheits-matrix. Sie wird in der Regel mit E bezeichnet.

Diagonal matrix

Dn ⨯ n =

d11

0

⋯

0

0 d22 ⋱ ⁝ ⁝

⋱

⋱

0

0

⋯

0

dnn

n ⨯ n

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen 0 sind, heißt Diagonalmatrix. Jede Einheits-matrix ist auch eine Diagonal-matrix.

90

Stochastik

Satz von Bayes Für die Ereignisse A und B mit P (A), P (B) ≠ 0 gilt:

PB (A) = P (A � B)

_______ P (B)

=

P (A) × P (A � B)

_______ P (A)

_____________ P (B)

= P (A) × PA (B)

___________ P (B)

.

Baum-diagramm P (A)

P (A � B) = P (A) · PA

(B) P (A � B) P (A � B) P (A � B)

P (A)

PA

(B) PA

(B) P A

(B) P A

(B)

B B B

A

B

A

Vier-Felder- Tafel B B �

A P (A � B) P (A � B ) P (A)

A P ( A � B) P ( A � B ) P ( A )

� P (B) P ( B ) 1

Inverses (umgekehrtes)Baum-diagramm

A

P B

(A) P B

(A)

A

P (B)

P (B � A) = P (B) · PB

(A) P (B � A) P (B � A) P (B � A)

P (B)

PB

(A) PB

(A)

A A

B B

Inverse (umgekehrte)Vier-Felder-Tafel

A A �

B P (B � A) P (B � A ) P (B)

B P ( B � A) P ( B � A ) P ( B )

� P (A) P ( A ) 1

Gesetz der totalen Wahr-scheinlichkeit

P (B) = P (A) × PA (B) + P ( A ) × P A (B)

90

Stochastik

Satz von Bayes Für die Ereignisse A und B mit P (A), P (B) ≠ 0 gilt:

PB (A) = P (A � B)

_______ P (B)

=

P (A) × P (A � B)

_______ P (A)

_____________ P (B)

= P (A) × PA (B)

___________ P (B)

.

Baum-diagramm P (A)

P (A � B) = P (A) · PA

(B) P (A � B) P (A � B) P (A � B)

P (A)

PA

(B) PA

(B) P A

(B) P A

(B)

B B B

A

B

A

Vier-Felder- Tafel B B �

A P (A � B) P (A � B ) P (A)

A P ( A � B) P ( A � B ) P ( A )

� P (B) P ( B ) 1

Inverses (umgekehrtes)Baum-diagramm

A

P B

(A) P B

(A)

A

P (B)

P (B � A) = P (B) · PB

(A) P (B � A) P (B � A) P (B � A)

P (B)

PB

(A) PB

(A)

A A

B B

Inverse (umgekehrte)Vier-Felder-Tafel

A A �

B P (B � A) P (B � A ) P (B)

B P ( B � A) P ( B � A ) P ( B )

� P (A) P ( A ) 1

Gesetz der totalen Wahr-scheinlichkeit

P (B) = P (A) × PA (B) + P ( A ) × P A (B)

Übersichtliche Darstellung aller relevanten Formeln und Begriffe

Die Formelsammlung beinhaltet die Formeln aller Sachgebiete und Lernbereiche

(sowohl aus der Einführungs- als auch der Qualifikationsphase)

enthält neben den Formeln auch eine übersichtliche Darstellung der mathematischen Zeichen und Symbole aller Sachgebiete

entspricht dem vom Kultusministerium Niedersachsen heraus- gegebenen Kriterienkatalog zur Zulassung von Formelsammlungen für die Abiturprüfung


978-3-427-11650-9 Band 4: Formelsammlung Formelsammlung 1. Auflage 2018 123 Seiten 14,95 € lieferbar WEB-427-11764*

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