DEFORMIERTE - TUM · E in d ire k te sM a B fi.ird ie D e fo rm a tio nis t,w e il u n a b h iin g...

Kapitel 14

DEFORMIERTE und

ANGEREGTE KERNE

Kapitel 13

Deformierte und angeregte Kerne

L3.1 Deformierte Kerne

Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugel.rymmetrisch und nicht deformiert. Weit weg von

abgeschlossenen (d.h. bei halbgefiil lten) Schalen polarisieren jedoch die Nukleonen auBerhalb

einer Schale den Kernrumpf. Das mittlere Kernpotential ist in diesem Fall nicht mehr kugel-

symrnetrisch und die Kerne sind deformierl.

Ein MaB ftir die Deformation ist das elektrische Quadrupolmoment. Ftir eine gegebene La-

dungsverteilung p(D ist es definiert als:

I

Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /

t:lJil,:' -r:o(i)

Fiir einen Ellipsoid mit Halbachse a in z-Richtung, zwei gleichen Halbachsen b in x- und -y-

Richtung und konstanter Dichte ist es:

Wir definieren den mittleren Radius ft = (abz)t, die Differenz der Halbachsen M = a-b, sowie

den Deformationsparameter 6 = M/R. Das Quadrupolmoment ist dann in erster Niiherung:

A

Q = \zR t6

Ein direktes MaB fi.ir die Deformation ist, weil unabhiingig von der GroBe der Ladungsverter-

lung, das reduzierte Quadrupolmoment:

o4Qrea=fu=t6 (13.2)

2 - , , , ) r I tO a>b l angges t reck tQ=-Z \a - -b - )

1 .0 a<b abgep la r re r- (

485

14.1 Kerndeformationen

Kerne mit abgeschlossenen Schalen sind kugelsymmetrisch

Kerne weit weg von abgeschlossenen Schalen sind deformiert

Maß für Deformation: Quadrupolmoment

Beispiel: Homogenes Rotationsellipsoid

z

a

b

Kapitel 13









I

Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /

t:lJil,:' -r:o(i)





A

Q = \zR t6



o4Qrea=fu=t6 (13.2)



485

“prolat”

“oblat”

Kapitel 13









I

Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /

t:lJil,:' -r:o(i)





A

Q = \zR t6



o4Qrea=fu=t6 (13.2)



485

mittlerer Radius

Kapitel 13









I

Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /

t:lJil,:' -r:o(i)





A

Q = \zR t6



o4Qrea=fu=t6 (13.2)



485

Differenz der Halbachsen

Kapitel 13









I

Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /

t:lJil,:' -r:o(i)





A

Q = \zR t6



o4Qrea=fu=t6 (13.2)



485

Deformationsparameter

Kapitel 13









I

Q = | d 3 r p ( i ) ( : : 2 - r 2 ) ( 1 3 . 1 )J \ /

t:lJil,:' -r:o(i)





A

Q = \zR t6



o4Qrea=fu=t6 (13.2)



485

Quadrupolmoment

Teilchen und Kerne


Ein umlaufendes Proton erzeugt bauchiges Gebilde

Ein umlaufendes Protonloch erzeugt gestrecktes Gebilde

Abb. 13.1: Kern rnit einzelnem Proton(-Loch)

13.L.1 Deformationen im Schalenmodell

Wir betrachten nun einen Kern mit einem einzelnen Proton oder Proton-Loch auBerhalb einer

abgeschlossenen Schale (Abb. 1 3. l).

Fi.ir den Erwartungswert des Quadrupolmomentes gilt nun:

.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:

gtvt = -(rz\,Y - -g(p-Loch) (j = I + 1/2, sonst 0(p) = 0)\ ' 2 ( i + 1 )

Das reduzierte Quadrupolmoment ist dann, bei groBem Z, relativ klein:

e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:

. i3K, Z = 19, N = 20: doppeltmagisch plus ein Protonloch in 1d:rz-Schale. Hier stimmt das

Modell relativ gut:

ptexr)1:r6y = 5.5 fmZ B(r-Loch)13e6) = 5.0 fm2

. rllei, Z = 83, N = 126, doppeltmagisch plus ein Proton in the72-Schale.

p{exn)lzosgiy = _35 fmz O(e)(2oeBi) = _30 fm2

Empirische Befunde in Bezug auf Quadrupolmomente:

o Die Kerncleformation ist in der Niihe magischerZahlen sehr klein, Q,,7 = f 6...einige Prozent.

o Zwischen abgeschlossenen Schalen kann l6l bis zu 0.4 sein.

( 13 .4 )

O(r'n Loch) = +) = einige o/a

Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


Deformationen im Schalenmodell14.1.1

Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


betrachte: ein Teilchen (oder Loch) außerhalb abgeschlossener Schale

Erwartungswert des Quadrupolmoments:

2

!

4!

5

"

d3r "!

jj(#r ) r2 Y20(r̂) "jj(#r )

Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


Ergebnis:

Beispiele:

Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


Teilchen und Kerne









.f a'rYj,.,,,=i1r)r2Y2gQ)Vr,^=1 (13.3)

Es ergibt sich:



e, = Qt.,, - i 3:2 - /1,.,,, = i) = 2\f+

( r 3.s)

Beispiele:


Modell relativ gut:







( 13 .4 )


Quadrupolmomente: empirischer Befund

kleine Kerndeformationen in der Nähe von abgeschlossenen Schalen:

! =5

4

Q

ZR2einige %

zwischen abgeschlossenen Schalen: |!|bis 0.4

große (prolate) Deformationen bei seltenen Erden (Lanthaniden).Beispiele:

Teilchen und Kerne

13.1 Deformierte Kerne

Die meisten groBen Deformationen sind positiv, das bedeutet prolate bzw. zigarcenformige

Detormation. Besonders ausgeprrigt ist dies bei den seltenen Erden (sog. Lanthaniden):

tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32

In selteneren Fiil len gibt es auch groBe negative Deformation. Man spricht bei solchen lin-

senformigen Kernen auch von oblater Deformation. GroBe oblate Deformation gibt es be-

sonders unter den Transuranen und Actiniden. Beispiele:

ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04

Ursache der Kerndeformation ist die Restwechselwirkung der Nukleonen in einer Schale.

Im Mittel herrscht zwischen den Nukleonen eine anziehende Kraft lrSe-Streuphase bei niedri-

gen Energien), also genau umgekehrt wie in der Atomphysik. Dort stoBen sich die Elektronen

ab, woraus die Hundsche Regel folgt: Es werden zuerst alle Orbitale mit einem Spin geftllt,

wodurch wegen des dann nicht vorhandenen Uberlapps die AbstoBung minimal wird.

Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich in Paare mit JP = 0+ und /1 = /',

ntl = -t7r2, ir +jz = 0. Hierdurch wird der Uberlapp der Wellenfunktionen maximiert und die

Kerne gewinnen zusiitzliche Stabilitiit.

Nukleonpaare besetzen bevorzugt Orbitale mit benachbarten m, wodurch es zu der Deforma-

tion von Kernen mit halbsefiil lten Schalen kommt:

Abb. 13.2: Zustandekommen prolater und oblater Deforrnation

Drehimpuls und Paritiit der Kerne werden im allgemeinen durch einzelne i.iberztihlige Nu-

kleonen bestimmt:

- Doppelt gerade (gg) Kerne haben stets einen JP = 0" Grundzustand, da alle Nukleonen

gepaart s ind und die Paare JP =0* haben.

- Bei einfach ungeraden (ug, gu) Kernen wird JP durch das letzte ungepaarte Nukleon be-

stimmt.

- Bei doppelt ungeraden (uu) Kernen ist keine allgemeine Aussage moglich: JP ergibt sich

aus der Kopplung von ungepaartem Proton und ungepaartem Neutron.

oblat

14.1.2

große oblate Deformationen sind seltener und kommen z.B. bei Transuranen und Actiniden vor. Beispiele:

Teilchen und Kerne




tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32




ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04













kleonen bestimmt:




stimmt.



oblat

Qred =

Q

ZR2

reduzierte (dimensionslose) Quadrupolmomente

(PlQ

Deformierte Kerne IIIo

za (n)

0.30Q verschwindet in der Nlihe abgeschlossener

ZahIen. Abgeplattete Kerne (Q<0) sind

weniger htiufig als zigarrenformig

deformierte. Die teilweise besetzten

Protonen und Neutronenbahnen polarisieren

die Kernrtimpfe und verursachen groBe

Deformation.

Reduziertes Quadrupolmoment: QlZe <R>2

i l/ \ /l y'"." \ / \.'J'"0

Zahl der ungeraden Nukleonen

Nilsson Modell

S chalenmodell mit ax ialsymmetrischem deformierten Oszillatorpotential

*2

Hi = hvr

+ j' '[rt(^'* r')* ,,t"]+c(Ts)+ n(TT)

mit fO^ = 0u = CO AxialsYmmetrie

0r2 =r"t (1* _?6) ,,t =r.t(l-+)s

6 - (u - b)/ (n) netormationsparameter

Assymptotische Quanten zahlen des Nilsson Modells

N, Gesamte Zahl der Oszillatorquanten

L, Zahl der Oszillatorquanten in z-Richtung

A, Projektion des Bahndrehimpulses auf z-Achse

O : A + I, Projektion des Gesamtdrehimpulses auf z-Achse

Die Einteilchenzustdnde konnen durch die Angabe der Basisvektoren

[N,r'A,f)] und Angabe von Jnbezerchnet werden.

Notizen:

(Pl0

Deformierte Kerne VI

Deformationsp arameter

0.3

o

o.25

Gd ,or

tIIII

o(a

E

.q+oEL

o\F

oo

o,

0 15

o. I

o. 05

\

tkr

208I t | | | t | | t i 1 L l * ' - { f

t50 r55 160 165 t7C 175 IBO lB5 190 195 205210

Moss number A'--------+

"LL

t - o +zrz16 r | *

/ / zssPu

2359 237Np

225 ?30 235 240 245

Notizen:

Quadrupolmomente

Deformationsparameter

Mechanismen der Kerndeformation14.1.2

Teilchen und Kerne




tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32




ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04













kleonen bestimmt:




stimmt.



oblat

Restwechselwirkung (im Mittel attraktiv) zwischen Nukleonen in einer Schale

Regel: Nukleonen mit gleicher Ortswellenfunktion gruppieren sich bevorzugt in Paaren mit Gesamtdrehimpuls und Parität

Teilchen und Kerne




tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32




ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04













kleonen bestimmt:




stimmt.



oblat

Teilchen und Kerne




tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32




ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04













kleonen bestimmt:




stimmt.



oblat

Teilchen und Kerne




tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32




ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04













kleonen bestimmt:




stimmt.



oblat

Teilchen und Kerne




tllru : Q,ea = *0.24 r[]er : Q,"6 = *0.32




ll lSU : 0,.a = -0.09 2!!tc : Q,et = -0.04













kleonen bestimmt:




stimmt.



oblat

Nukleonenpaare in halbgefüllten Schalen besetzen bevorzugt Orbitalemit benachbarten Bahndrehimpuls-m-Quantenzahlen:

(Pt(l

Deformierte Kerne INur Kerne in der Niihe von abgeschlossenen doppelt-magischen Schalen sind

kugelsymmetrisch und konnen mit einem Schalenmodell mit sphzirischem

P-oient-ial plus Spin-Bahn-Kopplung gut beschrieben werden (2.B. 'uO, ttO,

t'O, ''N, ' 'F). Kerne rnit halbgefiillten Schalen sind deformiert. Dies ist eine

Konsequ,enz der anziehenden Restwechselwirkung zwischen Nukleonenpaare,

die in Multipole entwickelt werden kann. Der Monopolterm fiihrt zum

sphzirischen Potentierl, der Quadrupolterm zur Polarisationsenergie und damit

zur Deformation, die hoheren Multipolterme nrr Paarungsenergie .

Paarungsenergre

Kerne gewinnen zr-rsdtzliche

Ortswellenfunktion zu Paaren

Energie, wenn sich Nukleonen mit gleicher

mit Gesamtdrehimpuls Null gruppieren:

' / . \ r

f f i l = -m2 J l+JZ

=U=Jp( t : lz

Man spricht von der Paarkraft.

Polarisationsenergie

Die Nukleonen besetzen bevorzugt benachbarte Orbitale (benachbartes m), was

bei halbgefiillten Schalen zur Polarisation des Core und damrt zur Deformation

ftihrt.

KernnurrPf

------ -----.-

Notizen:

Teilchen und Kerne

488

13.2 Rotationszustende


(13 .6 )

Permanent deformierte Kerne, d. h. solche mit geniigend vielen Nukleonen auBerhalb abge-

schlossener Schalen, besitzen charakteristische Anregungsmuster: Es gibt Serien von Zustdnden

mit wachsendem Drehimpuls, deren energetischer Abstand linear zunimmt. In Analogie zur

Molektlphysik gibt es Rotationsbanden, welche durch kollektive Kernanregungen zustande

kommen, an denen alle Nukleonen beteiligt sind.

Betrachten wir zundchst deformierte gg-Kerne mit Grundzustand ,/P = 0* wie beispielsweiserfjrn, ,j!u,

3lpu, ';9Hf, '3?x., tlfivu, tllDy oder rflw. rtassisch entsprechen solche Kerne

symmetrischen Kreiseln mit den Haupttrdgheitsmomenten

@ r = @ z : @ + @ : .

Allerdings kann bei quantenmechanischen Systemen keine kollektive Rotation um eine Sym-

metrieachse aufireten. Heuristisch liiBt sich dies fblsendermaBen einsehen:

-I,o,.3 laxialsymmetrischer Zustand) = I , wobei /,ut..r = -ia

1

d E

Daraus folgt, dass die kollektive Rotation senkrecht zur Symmetrieachse erfblgt. Hamiltonope-

rator und Energieeigenwerte sind gegeben durch:

JU+ I \g t= t zg '

Die entsprechenden Eigenfunktionen sind die Kugelfliichenfunktionen Y1,p1. Aus Symmetrie-

griinden sind (bei 0+-Grundzustiinden) nur gerade "/ = 0, 2,4, . .. erlaubt. Nur fiir diese ist die

Wellenf'unktion Y1.6a invariant unter Spiegelungen an der 1-2-Ebene. Der Energieabstand zwi-

schen zwei aufeinanderfolsenden Rotationszustdnden nimmt linear mit dem Drehimpuls zu:

2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

14.2 Rotationszustände

Deformierte Kerne sind quantenmechanische Kreisel

charakteristische Rotations-Energiespektren

Betrachte zunächst deformierte gg-Kerne mit

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

im Grundzustand

Beispiele:

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Modell: Symmetrischer Kreiselmit Haupträgheitsmomenten

Quantenmechanik: keine kollektive Rotation um Symmetrieachse

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Kollektive Kernrotationen um Achsen senkrecht zur 3-Achse

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Hamiltonoperator der kollektiven Rotationsbewegung:

Energiespektrum des quantenmechanischen Rotators:

Eigenfunktionen: Kugelflächenfunktionen

Bei Kernen mit

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

im Grundzustand:

J = 0, 2, 4, . . .(wegen Symmetrie)

Abstand zwischen den Energien aufeinanderfolgender Rotationszustände:

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Hrot =

YJM

Teilchen und Kerne

13.2 Rotationszustdnde

Beispiel: 2lfrttr, Oeformiert mit 6 = 0.25

556.9 keV

333.2 keV

Die Energie wiichst nicht genau linear, da

das Triigheitsmoment nicht genau konstant

ist. Der Kern zeigt nicht das Verhalten des

klassischen, starren Rotators. Es gilt:

J(J + r)C _L.J -

2@(J)

162.0 keV

49.4keY

v -

Zwischen den einzelnen Zustrinden kann es Quadrupol-Ubergiinge (E2) geben, die sich mittels

1-Spektroskopie beobachten lassen. Erzeugen lassen sich die Kernrotationszustdnde durch Cou-

lombanregung. Dies hat den Vorteil, daB nur die elektromagnetische Wechselwirkung eine Rolle

spielt und es folglich keine inneren Kemanregungen geben kann. Experimentell erreicht man

dies durch BeschuB mit Schwerionen, wobei die Schwerpunktsenergie kleiner als die Coulomb-

Bariere sein muB:

Z t Z . aE c u s (

& . " .

Hyperbelbahn

\

0, , ) /

)

Durch die Anniiherung wird ein schnell verdnderli-

ches elektrisches Feld verursacht (<J'lj ' AU)), wo-

durch Einzelanregungen bis ca. 1 MeV moglich wer-

den (entsprichtJ = 60.

Um Rekorde in Hochspin-Anregungen zu bekommen, werden auch Fusionsreaktionen benutzt,

wie beispielsweise

l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .

Ab Er,in = 200 MeV kdnnen llCa-t<erne die Coulombbarriere iiberwinden.

Teilchen und Kerne



556.9 keV

333.2 keV





J(J + r)C _L.J -

2@(J)

162.0 keV

49.4keY

v -






Bariere sein muB:

Z t Z . aE c u s (

& . " .

Hyperbelbahn

\

0, , ) /

)






wie beispielsweise

l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .


Beispiel:

Teilchen und Kerne



556.9 keV

333.2 keV





J(J + r)C _L.J -

2@(J)

162.0 keV

49.4keY

v -






Bariere sein muB:

Z t Z . aE c u s (

& . " .

Hyperbelbahn

\

0, , ) /

)






wie beispielsweise

l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .


mit Deformationsparameter

Teilchen und Kerne



556.9 keV

333.2 keV





J(J + r)C _L.J -

2@(J)

162.0 keV

49.4keY

v -






Bariere sein muB:

Z t Z . aE c u s (

& . " .

Hyperbelbahn

\

0, , ) /

)






wie beispielsweise

l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .


Teilchen und Kerne



556.9 keV

333.2 keV





J(J + r)C _L.J -

2@(J)

162.0 keV

49.4keY

v -






Bariere sein muB:

Z t Z . aE c u s (

& . " .

Hyperbelbahn

\

0, , ) /

)






wie beispielsweise

l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .


Parametrisierung mit dynamischem Trägheitsmoment

ElektromagnetischeQuadrupol (E2) -Übergänge

Experimentelle Untersuchungder Rotationsspektren durchCoulomb-Anregung mit

Teilchen und Kerne



556.9 keV

333.2 keV





J(J + r)C _L.J -

2@(J)

162.0 keV

49.4keY

v -






Bariere sein muB:

Z t Z . aE c u s (

& . " .

Hyperbelbahn

\

0, , ) /

)






wie beispielsweise

l[Ca + '![eo * "u3Py -, 'llDy + 4n .


Zustände bis J ! 60

Teilchen und Kerne

490 Deformierte und angeregte Kerne

0/Ostarre Kuget

s I a r resE l t ipso id

, Exper iment

w i rbe t f re ieFtUss igke i t

Deformation $ r

Abb. 13.3: Triigheitsmoment defbrmierter Kerne

Abb. 13.4: Mit suprafluidem Helium gefi i l l tes Ei. Nur die Ausbeulung des Eies tr i igt zum Tri igheitsmoment bei

lRu Drehimpuls (klassisch)

R,1t

@

@ /"* = @r+n)t/ZlG*nr^= 180

Experimentell werden Jmax - 60 eneicht.

Trdgheitsmoment der Kerne: @ kann aus dem Abstand der Energreniveaus in der Rotati-

onsbande bestimmt werden.

Kerne verhalten sich wie Eierschalen. die mit einem Gemisch aus einer normalen und einer

superfluiden Komponente geftllt sind. Die superfluide Komponente der Kernmaterie wird durch

Nukleonpaare mit JP = 0* gebildet, welche nicht an der Rotation teilnehmen. Bei groBerer

Defbrmation sind mehr Nukleonen ungepaart.

@ ist innerhalb einer Rotationsbande nicht konstant sondern wiichst mit zunehmendem Dre-

himpuls (zunehmender Winkelgeschwindigkeit), da mehr und mehr Nukleonpaare mit JP = 0*

aufgebrochen werden. Bei groBen Drehimpulsen ndhert sich das Triigheitsmoment des Kerns

dem eines stanen Kdrpers.

Teilchen und Kerne

488



(13 .6 )









@ r = @ z : @ + @ : .




1

d E



JU+ I \g t= t zg '





2J+3D D -LJ+2

- LJ - (13 .1)

Teilchen und Kerne

490 Deformierte und angeregte Kerne

0/Ostarre Kuget

s I a r resE l t ipso id

, Exper iment

w i rbe t f re ieFtUss igke i t

Deformation $ r

Abb. 13.3: Triigheitsmoment defbrmierter Kerne

Abb. 13.4: Mit suprafluidem Helium gefi i l l tes Ei. Nur die Ausbeulung des Eies tr i igt zum Tri igheitsmoment bei

lRu Drehimpuls (klassisch)

R,1t

@

@ /"* = @r+n)t/ZlG*nr^= 180

Experimentell werden Jmax - 60 eneicht.

Trdgheitsmoment der Kerne: @ kann aus dem Abstand der Energreniveaus in der Rotati-

onsbande bestimmt werden.

Kerne verhalten sich wie Eierschalen. die mit einem Gemisch aus einer normalen und einer

superfluiden Komponente geftllt sind. Die superfluide Komponente der Kernmaterie wird durch

Nukleonpaare mit JP = 0* gebildet, welche nicht an der Rotation teilnehmen. Bei groBerer

Defbrmation sind mehr Nukleonen ungepaart.

@ ist innerhalb einer Rotationsbande nicht konstant sondern wiichst mit zunehmendem Dre-

himpuls (zunehmender Winkelgeschwindigkeit), da mehr und mehr Nukleonpaare mit JP = 0*

aufgebrochen werden. Bei groBen Drehimpulsen ndhert sich das Triigheitsmoment des Kerns

dem eines stanen Kdrpers.

Trägheitsmomente der Kerne

Systematik des Kern-Trägheitsmoments als Funktion des Deformationsparameters

deduziert aus gemessenen

Rotationsspektren

nicht alle Nukleonen im Kern nehmen an der Rotationsbewegung aktiv teil

Erklärung: Superfluidität im Kernrumpf

superfluideKomponente

Nukleonenpaare mit

normalbei großem Drehimpuls:

! = !(J)

Aufbruch von Paaren

14.2 Kollektive Dipolschwingungen

Angeregte Zustände werden im Schalenmodell durch Teilchen-Loch-Anregungen dargestellt.

Elektromagnetische Anregungen im Schalenmodell14.2.1

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H

Abb. 10.10: Im Kernpotential werden die Einteilchenzust6nde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt

Was haben wir nun aus dem Fermigasmodell gelernt? Nun, Volumen- und Asymmetrieterm

sind damit verstanden, ebenso die Favorisierung des Neutroneneinbaus bei schweren Kernen,

N > 2 .

10.4 Schalenmodell des Atomkerns

Empirische Hinweise deuten auf eine Schalenstruktur des Atomkerns hin, welche wir im Fol-

genclen niiher besprechen wollen. Eine Evidenz sind beispielsweise die sogenannten magischen

Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.

Kerne. bei denen die Neutronenzahl N oder die Protonenzahl Z eine magische Zahl ist, er-

weisen sich nlimlich als besonders stabil (Beispiel: o-Teilchen). Solche Kerne besitzen eine

besonders hohe Separationsenergie ftir ein einzelnes Nukleon, gleichzeitig ist die Separations-

energie fiir ein weiteres hinzugeftigtes Nukleon wesentlich kleiner. Kurzum, solche Phdnomene

sind uns aus der Physik der Elektronen in der Atomhtille bekannt: Wir wissen, daB Edelga-

se mit abgeschlossener Valenzschale sehr groBe Ionisationsenergien aufweisen, wdhrend man

bei Alkalimetallen, welche in ihrer Atomhiille gerade ein Elektron zuviel besitzen, sehr kleine

loni sationsenergien feststellt.

Ist nun Z oder N eine magische Zahl, so gibt es besonders viele stabile Kerne mit dieser

Protonen- bzw. Neutronenzahl. Beispielsweise finden wir 6 Kerne mit N = 50 bzw. 7 Kerne

mit N = 82. Von Sn (Z = 50) existieren 10 nati.irlich vorkommende Isotope.

AuBergewohnlich stabil sind cloppeltmagische Kerne, wie lHe, t[O,

]$Ca, lfiCa und 2!!lU. tn

Analogie zur Atomphysik ist man geneigt zu vermuten, magische Zahlen entsprdchen gerade

Schalenabschliissen im Kern.

Kernpotential: Die Nukleonen bewegen sich in einem mittleren (sphiirischen) Kernpotential,

in dem Einteilchenzustdnde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt werden (Abb. 10.10).

Allerdings liegt beim Kernpotential kein Analogon zum Coulombpotential einer zentralen La-

dung wie in der Atomphysik vor, das mittlere Kernpotenti al V (r) wird vielmehr selbstkonsistent

durch die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung erzeugt. Unter anderem erfuhren wir in Kap. 9

von der relativ kurzen Reichweite dieser Wechselwirkung: Wir konnen annehmen, das Kernpo-

tential ist proportional zur Nukleonendichte p(r):

v(r) x p(r) .

1s1/2

1p1/2

1p3/2

1d5/2

ProtonenNeutronen

1d3/22s1/2

Teilchen und Kerne

Kernmodelle

r ( ' )I

-'.\' - -

\i.a#

- H

Abb. 10.10: Im Kernpotential werden die Einteilchenzust6nde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt

Was haben wir nun aus dem Fermigasmodell gelernt? Nun, Volumen- und Asymmetrieterm

sind damit verstanden, ebenso die Favorisierung des Neutroneneinbaus bei schweren Kernen,

N > 2 .

10.4 Schalenmodell des Atomkerns

Empirische Hinweise deuten auf eine Schalenstruktur des Atomkerns hin, welche wir im Fol-

genclen niiher besprechen wollen. Eine Evidenz sind beispielsweise die sogenannten magischen

Zuhlen 2. 8. 20. 28. 50. 82. 126.

Kerne. bei denen die Neutronenzahl N oder die Protonenzahl Z eine magische Zahl ist, er-

weisen sich nlimlich als besonders stabil (Beispiel: o-Teilchen). Solche Kerne besitzen eine

besonders hohe Separationsenergie ftir ein einzelnes Nukleon, gleichzeitig ist die Separations-

energie fiir ein weiteres hinzugeftigtes Nukleon wesentlich kleiner. Kurzum, solche Phdnomene

sind uns aus der Physik der Elektronen in der Atomhtille bekannt: Wir wissen, daB Edelga-

se mit abgeschlossener Valenzschale sehr groBe Ionisationsenergien aufweisen, wdhrend man

bei Alkalimetallen, welche in ihrer Atomhiille gerade ein Elektron zuviel besitzen, sehr kleine

loni sationsenergien feststellt.

Ist nun Z oder N eine magische Zahl, so gibt es besonders viele stabile Kerne mit dieser

Protonen- bzw. Neutronenzahl. Beispielsweise finden wir 6 Kerne mit N = 50 bzw. 7 Kerne

mit N = 82. Von Sn (Z = 50) existieren 10 nati.irlich vorkommende Isotope.

AuBergewohnlich stabil sind cloppeltmagische Kerne, wie lHe, t[O,

]$Ca, lfiCa und 2!!lU. tn

Analogie zur Atomphysik ist man geneigt zu vermuten, magische Zahlen entsprdchen gerade

Schalenabschliissen im Kern.

Kernpotential: Die Nukleonen bewegen sich in einem mittleren (sphiirischen) Kernpotential,

in dem Einteilchenzustdnde gemiiB dem Pauli-Prinzip besetzt werden (Abb. 10.10).

Allerdings liegt beim Kernpotential kein Analogon zum Coulombpotential einer zentralen La-

dung wie in der Atomphysik vor, das mittlere Kernpotenti al V (r) wird vielmehr selbstkonsistent

durch die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung erzeugt. Unter anderem erfuhren wir in Kap. 9

von der relativ kurzen Reichweite dieser Wechselwirkung: Wir konnen annehmen, das Kernpo-

tential ist proportional zur Nukleonendichte p(r):

v(r) x p(r) .

1s1/2

1p1/2

1p3/2

1d5/2

ProtonenNeutronen

1d3/22s1/2

Teilchen

Loch

Beispiel O: 16

Grundzustand Teilchen-Loch-Anregungszustand

Anregung durch Photon-Absorption:

Wechselwirkungs-Hamiltonoperator

Teilchen und Kerne


Abb. 13.5: Tei lchen-Loch-Anregung im Atomkern


13.3.1 Elektrische Dipolanregungen im Schalenmodell

Fi-ir den Hamiltonoperator der elektromagnetischen Wechselwirkung bei der Photonen-Absotption

gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )

Fijr die Absorption oder Emission einer elektromagnetischen Welle gilt mit dem transversalen

Polarisationsvektor d des Photons:

AG.l - NrdeiA "nt't ' = Ao(he-t' '

Die Stromdichte fiir ein System von punktfbrmigen Nukleonen ist:

A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M

Hierbei ist e; die Ladung des i-ten Nukleons. Weiterhin gilt mit dem Kernhamiltonoperator rI

(= :u' im Schalenmodell):

d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -

Fijr das Matrixelement des Ubergangs gilt nun:

* ,0= (v, l r , , lvo) = (v, lnu1, = o) lYo).- ' '\ ' l " l " / \ ' l ' l " /

Dann besagt Fermis goldene Regel:

491

Grudzustild Tejlchsr l- och- i^tregmg

wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

mit dem el.mag. Vektorpotential

Teilchen und Kerne






gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )





A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M



d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -




491


wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

Stromdichte für System von punktförmigen Nukleonen:

Teilchen und Kerne






gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )





A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M



d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -




491


wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

!vi i

Teilchen und Kerne






gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )





A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M



d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -




491


wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

Geschwindigkeit:

Matrixelement des el.mag. Übergangs:

Teilchen und Kerne






gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )





A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M



d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -




491


wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

Teilchen und Kerne






gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )





A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M



d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -




491


wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

Übergangswahrscheinlichkeit / Zeit (Fermi’s Goldene Regel):

ff

!j(!r ) =A!

i=1

ei "3(!r ! !ri)!vi

Teilchen und Kerne


mit der Dichte der Endzusttinde p;. Berechnen wir nun das Matrixelement (mit h = 1).

- - / l - | \

M yo = i ) er(Wrl lu . r , ) . A( i , . r = 0) lYo/

In der Dipolniiherung gilt nun:

A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)

Mit einem typischen Kernradius R, der Wellenzahl eines Photos k = alc und typischen Energien

von hal j 20MeV ergibt sich:

Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F

Damit vereinfacht sich ff1s zu

l t sslNyl. ,(*, l , . r , . t - j vr) = iNr I ei(Er -e, l(wrl ' , t l*r) =i i

/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /

mit dem Dipoloperato, D = D,e,/, =Llorey'n, da nur Protonen Ladung tragen'

Prdzise Definition des Dipoloperators unter Berticksichtigung der Translations-

invarianz (und damit der Impulserhaltung). Mit dem Schwerpunkt R gilt:

z . l . , - i

D=!e(io-F; F=t #+=iTp=l i= I u t l=1

Insgesamt ergibt sich:

( r 3 .8 )

Man kann nun ,,eff'ektive" Ladungen fi.ir Neutronen und Protonen einfijhren:

r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e

Als Beispiel sind die Anregungen des Kerns 160 in Abb. 13.6 mit den zugehorigen Energien

abgebildet. Fiir die Ubergiinge gibt es folgende Auswahlregeln:

o Die Paritiiten von Anfangs- und Endzustand sind verschieden. (Der Dipoloperator hat nega-

tive Paritiit")

- l*J- A \u='[ ; f rr- frocZAIt"

J\

p = , n = r /

Dipolübergänge14.2.2

Teilchen und Kerne






gi l t :

f -: 4w=-

J O ' r j rO .A(7 . r )





A -

L * \ - a . 1 , ' + P ijO = >_e,d'{{F- 4) i i t r = v- = -

i=l M



d l i , - . l, = , l H ' r l

o I n -




491


wo-i =* | (*rlr"1r = o;lwo) I 'p,

Matrixelement des el.mag. Übergangs:

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Dipolnäherung:

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Abschätzung:

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

für typische Kernradien R und Photon-Energien

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Matrixelement:

mit dem Dipoloperator

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

= !i

Präzise Definition des Dipoloperators unter Berücksichtigung der Erhaltung des Schwerpunkts (Translationsinvarianz):

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Dipoloperator

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Z

A

Effektive Ladungen

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Proton: Neutron:

Kollektive Dipolanregungen in Kernen(Dipol-Riesenresonanzen)

14.2.3

Beispiel: Dipolanregungszustände im Kern O16

Drehimpulsauswahlregeln für Dipolübergänge:

Teilchen und Kerne

494

o Das Photon fagt DrehimpulsT = 1 weg.


Also l /1 - l r l=Al = 1 und [ ;

- i t =Ai = 0, 1.

Als Beispiel betrachten wir die Dipolanregungen von tlO, die in Abb. 13.6 dargestellt sind.

Man erwartet folglich, wie in Abb. 13.7 gezeigt, ein Spektrum mit fiinf scharfen Linien. Die

gemessene 1-Absorptionswahrscheinlichkeit fi ir 1!O konzentrien sich jedoch in einer (energe-

tisch hoherliegenden) Resonanz, der Dipolriesenresonaw,. Qualitativ li iBt sich diese dadurch

erkliiren, dass Protonen und Neutronen kollektive Schwingungen gegeneinander ausfijhren:

/ - /s cos trJ/

13.3.2 Kollektive Zustdnde im Schalenmodell

Zu einer genaueren Begr{indung gelangen wir, wenn wir den Kernrumpf von IlO tgefiil lte 1s 1 ,

1pr, 1pr -Schalen) und seine Dipolanregungsznstiinde (Teilchen-Loch-Zustiinde) betrachten:

lV r ) =

LU/') =

lv') =

lw) =

ly ' ) =

Dies sind die Eigenzusttinde des ungestoften-Teilchen-Schalenmodell-Hamiltonoperators

tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,

wobei hier Nz = 5 ist. Bei mittelschweren Kernen gibt es Nz = I0... 20 Teilchenlochzustdnde.

Wegen der Gruppierung der Energieniveaus in Schalen sind die Energieeigenwerte Eifast ent-

0rtet.

Die Restwechselwirkung der Nukleonen, d. h. die Konektur zum mittleren Potential, ftihrt zu

einer Teilchen-Loch-Wechselwirkung V. Diese verursacht eine Mischung der Einteilchenzu-

strlnde und es entstehen kollektive Anregungen. Dies wollen wir nun in einem schematischen

Model l verdeut l ichen.

und

Teilchen und Kerne

494




- i t =Ai = 0, 1.






/ - /s cos trJ/




lV r ) =

LU/') =

lv') =

lw) =

ly ' ) =


tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,



0rtet.





Teilchen und Kerne

13.3 KollektiveDipolschwingungen

1d:rr

L> 112

493

Anregungsenergien IMeV] :

lD ' - - - 2s '1

f o , - f d ,j

to , - ' - tO,' r 1

l D : - 2 s '^ 2 2

l p : - l d :' r 1

i n ' ! O

1 / - . J

15.7

r7 .6

18 .5

2 r . 8

E., [MeVl

bei 1610

I P lz

lp:,2

1 ^r ) l / 2

Abb. 13.6: Dipolanregungen

Oubs

experimentel les

Spektrum von ' lO

10 15 20

Abb. 13.7: 1-Absorptionsspektrum -

25 30

theoretisch und experimentel l

q

T

Teilchen und Kerne


1d:rr

L> 112

493


lD ' - - - 2s '1

f o , - f d ,j

to , - ' - tO,' r 1

l D : - 2 s '^ 2 2

l p : - l d :' r 1

i n ' ! O

1 / - . J

15.7

r7 .6

18 .5

2 r . 8

E., [MeVl

bei 1610

I P lz

lp:,2

1 ^r ) l / 2


Oubs

experimentel les

Spektrum von ' lO

10 15 20


25 30


q

T

Teilchen und Kerne

494




- i t =Ai = 0, 1.






/ - /s cos trJ/




lV r ) =

LU/') =

lv') =

lw) =

ly ' ) =


tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,



0rtet.





Photoabsorptionsspektrum von O :16

Schalenmodell

qualitative Diskrepanz zwischen Schalenmodell und Experiment

Dipol-“Riesenresonanz”

Kollektive Dipolschwingung aller Protonen gegen alle Neutronen

! = E!

!E

Teilchen und Kerne

494




- i t =Ai = 0, 1.






/ - /s cos trJ/




lV r ) =

LU/') =

lv') =

lw) =

ly ' ) =


tolrtt,) = Ei Vil i = 1 , . . . , N z ,



0rtet.





Schematisches Modell (Brown & Bolsterli)14.2.4

(Lineare Response-Theorie in der Tamm - Dancoff - Approximation)

Ausgangspunkt: Dipolanregungszustände im Schalenmodell

Beispiel O:16

H = H0 + Vrest

Schalenmodell

H0 |!i! = Ei |!i!

Teilchen und Kerne


1d:rr

L> 112

493


lD ' - - - 2s '1

f o , - f d ,j

to , - ' - tO,' r 1

l D : - 2 s '^ 2 2

l p : - l d :' r 1

i n ' ! O

1 / - . J

15.7

r7 .6

18 .5

2 r . 8

E., [MeVl

bei 1610

I P lz

lp:,2

1 ^r ) l / 2


Oubs

experimentel les

Spektrum von ' lO

10 15 20


25 30


q

T

Restwechselwirkung

Dipol-Anregungsenergien

Ei = (!p ! !h)i

hier: 5 Teilchen - Loch - Zustände mit

bei mittelschweren Kernen: 10 - 20 derartige Dipol - Zustände

JP

= 1!

JP

= 1!

Teilchen-Energien

Loch-Energien

!p

!h

Mischung der Teilchen-Loch-Zustände durch die Restwechselwirkung

H |!! = (H0 + Vrest) |!! = E |!!

Teilchen-Loch-WechselwirkungAnsatz: |!! =

!

i

ci |!i!

Säkulargleichung:

Teilchen und Kerne


#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*

_ , ) l0= EIV)

no'"',\?i,1l'J",o,o.

Im begrenzten Modellraum der ]qa) hat die Wellenfunktion lt4) die Form:

N7

V) = lc , y7 (13.9)l= l

Die S iikulargleichung lautet dann :

f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r

I V , ' Ez t -V11 | l c : l =U l r r l t l 3 . l 0 )r l\,/ \,/\ : :

" / \ : / \ . . /

Zur Vereinfachung machen wir die Annahme, dass die Restwechselwirkung fiir alle Teilchen-

Loch-Zustiinde gleich ist:

M,lV V) = Vij = Vo

Dann lautet die i - te Gleichung von (13.10):

E ic i+ Vs f . ' , = E ,

7Daraus erheilt man zundchst

r l N7

, ' - - - :o t c .' E-r , 7

und dann durch Summation iiber alle i und division durch !, c;:

t\ / . | |V ^

1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)

? E-r ,

Aus dieser Gleichung erhiilt man durch graphische Losung die neuen Energieeigenwerte Ej

(Abb. 13.S). Man sieht, daB diese benachbart zu den ungestdrten E; liegen, mit Ausnahme ei-

nes kollektiven Zustandes mit stark verschobener Energie .E.. Je nach Teilchen-Loch-Wechsel-

wirkung liegt dieser Zustand ober- oder unterhalb der Einteilchenzustbnde:

Teilchen-Loch-Wechselwirkung: kollektiver Zustand:

abstoBend Vo > 0 oberhalb der Einteilchenzustdnde

anziehend yn < 0 unterhalb der Einteilchenzustdnde

Annahme zur Vereinfachung: alle Matrixelemente der Teilchen-Loch-Wechselwirkung ungefähr gleich:

Vij = !!i|Vrest|!j" # V0

Teilchen und Kerne


#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*

_ , ) l0= EIV)

no'"',\?i,1l'J",o,o.


N7

V) = lc , y7 (13.9)l= l


f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r


" / \ : / \ . . /



M,lV V) = Vij = Vo


E ic i+ Vs f . ' , = E ,


r l N7

, ' - - - :o t c .' E-r , 7


t\ / . | |V ^

1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)

? E-r ,








dann folgt:

j

Teilchen und Kerne


#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*

_ , ) l0= EIV)

no'"',\?i,1l'J",o,o.


N7

V) = lc , y7 (13.9)l= l


f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r


" / \ : / \ . . /



M,lV V) = Vij = Vo


E ic i+ Vs f . ' , = E ,


r l N7

, ' - - - :o t c .' E-r , 7


t\ / . | |V ^

1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)

? E-r ,








j

bzw.

i - Summation:

Teilchen und Kerne


#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*

_ , ) l0= EIV)

no'"',\?i,1l'J",o,o.


N7

V) = lc , y7 (13.9)l= l


f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r


" / \ : / \ . . /



M,lV V) = Vij = Vo


E ic i+ Vs f . ' , = E ,


r l N7

, ' - - - :o t c .' E-r , 7


t\ / . | |V ^

1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)

? E-r ,








i

Graphische Lösung der Säkulargleichung:

Teilchen und Kerne


- 8 .

/,/

: : : . : - - - - . c - .

_ r . E 1 - - E t

Abb. 13.8: Graphische Lcisung von ( l3. l l ) und Veranschaulichung der Verschiebung der Energieniveaus (aus

lPo96 l ) .

Eine quantitative Abschiitzung mit Ei = Eo fijr alle i ergibt aus (13.11):

1 = !4+ + E, = Eo+ NTvsE,- Eo

(13.r2)

Die EnergieverschiebunE E, - Es des kollektiven Zustandes ist also proportional nr Zahl der

(fast) entarteten Zustainde. Experimentell findet man, daB die Energie der Riesenresonanz etwa

doppelt so groB wie der Schalenabstand Es ist. Zusammen mit (13.12) erhiilt man daraus:

NTVg = Es (13 .13)

Hin zu schwereren Kernen nimmt zwar die effektive Restwechselwirkung ab, dafiir nehmen

aber mehr Zustiinde an der kollektiven Bewegung teil.

Fiir den kollektiven Zustand sind die cr nahezu unabhlingig von i (wegen E1= po|.

r / ' \ t

.1., =;S, I,,'

l=1

Daraus fblgt fiir die Wellenfunktion (13.9):

l r1 l . )=* f tw>t/N. ?

"

Alle Einteilchenzustdnde tiberlagern sich also konstruktiv mit gleicher Amplitude. Bei den an-

deren Zustdnden mit Energien Ef ist ein c; groB, wrihrend die iibrigen klein sind und unter-

schiedliche Vorzeichen besitzen. Die Amplituden i.iberlagern sich destruktiv.

Abschdtzung der Dipoliibergangswahrscheinlichkeit" Die exakte Form des Dipoloperators

D haben wir schon in (13.8) bestimmt. Mit dem Konzept der effektiven Massen liisst sich die

Anregung nun so beschreiben, das die Protonen und Neutronen in verschiedene Richtungen

ausgelenkt werden, der Schwerpunkt aber in Ruhe bleibt.

Das Dipoli.ibergangsmatrixelement fiir den kollektiven Anregungszustand ist:

Teilchen und Kerne


#i'-$'i'u l r t r )= . ( ro*

_ , ) l0= EIV)

no'"',\?i,1l'J",o,o.


N7

V) = lc , y7 (13.9)l= l


f E, + v, , vr : \ / , ' , \ / . , \I I ' ' l I lI r r


" / \ : / \ . . /



M,lV V) = Vij = Vo


E ic i+ Vs f . ' , = E ,


r l N7

, ' - - - :o t c .' E-r , 7


t\ / . | |V ^

1 = ) =- i - (Pole bei E = E) (13.11)

? E-r ,








i

E

V0 > 0

kollektiver Zustand

Abschätzung: die N Teilchen-Loch-Energien sind näherungsweise entartet, d.h.

Ei = E0 für alle i = 1, . . . , N

für den kollektiven Zustand:

1 =n V0

Ec ! E0

Ec = E0 + n V0

Wellenfunktion des kollektiven Zustands:

|!c! =

!

i

c(c)i

|!i!

kohärente Überlagerung der Teilchen-Loch-Zustände

Im kollektiven Zustand wird die Summe der Dipol-Anregungsstärken aller Teilchen-Loch-Zustände konzentriert:

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Teilchen und Kerne



- - / l - | \



A(n = N.,Ee'r'= N/s-(l + t[ r+ ...)



Il R = l 1 m - ' . R < < l - A = N F



/v, lD.elw^\= l v l o , \ ' r |

- /




z . l . , - i



( r 3 .8 )


r t t N , t t Z.;-, =

,. ei," = --e




tive Paritiit")


J\

p = , n = r /

Z

A

|!!c|Dz|0"|2

=1

n

!

!

!

!

!

"

i

!!i|Dz|0"

!

!

!

!

!

2

kollektiveDipolstärke

c(c)i =

V0

Ec ! Ei

n!

j=1

cj

|!c! =1"n

n!

i=1

|!i!

Einteilchen-Dipolstärke

= n x

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 20 40 60 80 100 120 140

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

27Al(!, abs)

Ahrens(1975)LANL

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

27Al(!, xn)

Veyssiere(1974)Fultz(1966)

LANL

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

27Al(!, 1nx)

Fultz(1966)Veyssiere(1974)

LANL

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

27Al(!, 2nx)

Fultz(1966)Veyssiere(1974)

LANL

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120 140

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

40Ca(!, abs)

Ahrens(1975)LANL

0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

40Ca(!, 1nx)

Veyssiere(1974)Goryachev(1968)

LANL

0

2

4

6

8

10

12

14

16

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

40Ca(!, xn)

LANL

0

20

40

60

80

100

120

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

40Ca(!, xp)

LANL

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

91Zr(!, abs)

Berman(1967)CNDC

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

91Zr(!, xn)

Berman(1967)CNDC

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

91Zr(!, n)

Berman(1967)CNDC

0

5

10

15

20

25

30

35

15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

91Zr(!, 2n)

Berman(1967)CNDC

0

50

100

150

200

250

300

350

400

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

181Ta(!, abs)

Lee(1998)JENDL

0

5

10

15

20

25

30

35

40

20 40 60 80 100 120 140

Cro

ss s

ecti

on [

mb]

E! (MeV)

181Ta(!, abs)

JENDL(GDR+QDM)GDRQDM

Lepretre(1981)

0

100

200

300

400

500

600

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

181Ta(!, xn)

Bergere(1968)JENDL

0

50

100

150

200

250

300

350

400

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

181Ta(!, n)

Lee(1998) JENDL

0

50

100

150

200

250

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

181Ta(!, 2n)

Lee(1998)JENDL

0

5

10

15

20

25

20 25 30 35 40 45 50 55 60

Cro

ss S

ecti

on (

mb)

E! (MeV)

181Ta(!, 3n)

Bergere(1968)JENDL

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 20 40 60 80 100 120 140

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

208Pb(!, abs)

Harvey(1964)x1.22Veyssiere(1970) x 0.93

Young(1972)Lepretre

LANL

0

100

200

300

400

500

600

700

800

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

208Pb(!, xn)

Veyssiere(1970)x0.93Young(1972)

LANL

0

100

200

300

400

500

600

700

800

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

208Pb(!, n)

Veyssiere(1970)x0.93Young(1972)

LANL

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

5 10 15 20 25 30 35 40

Cro

ss S

ecti

on

(m

b)

E! (MeV)

208Pb(!, 2n)

Veyssiere(1970)LANL

Systematik der Dipol-Riesenresonanz in Kernen

Edip ! 77 · A!1/3

MeVResonanzenergie:

proportional zum inversen Kernradius: Edip ! R!1

491.41,FtDIPOLE MODES

*,*

20

F igu re6 -2 lPho toabso rp t i onc rosssec t i on - fo reven i so topeso fneodymium,Theexpe r t -mental data are from P' barlo'' H' Beil' R' Bergdre' A' Lepretre' an{ A" Veyssidre' \':'':::Phys.A|12,437( |g. | | ) , Ihesol idcurveslepresentLorentz ianf i tswi ththeparametersglvenin Table 6-6.

A direct test of the interpretation of the splitting of the photoresonance

line in terms of a deformation effect can be obtained by a measurement of

the dependence of the absorption cross section on the orientation of the

nuc leusw i th respec t to thed i f ec t i ono f the inc iden tpho tonbeam 'Sucha tes tof the expected photoanisotropy of r65Ho has been performed by Ambler et

at. (1965) and KellY et al' (1969)'

ra2Nd 144Nd r46Nd r48Nd l5oNd

Eo(MeV)oo(fm2)

r(MeV)

12.3 16t 1 ) )I I

. t < 1J . J J , L

14.9364.4

1 5 . 0

) . J

t4;726"7.2

14.83 l6

Toble 6_6 parameters for the dipore resonance in even neodymium lsotopes'

The table gives the parameters for the Lorentzian resonance curves drawn in

Fig. 6-21. The cross ,.ttio" for l5t"ld has been fitted to the sum of two

resonance functions.

1 R n' " " N d

1 t + 1 6

E , ( M e V )

Dipol-Riesenresonanz in deformierten Kernen

Beispiel: Wirkungsquerschnitte für Photoabsorption in Neodymium - Isotopen

deformiert

sphärisch

E>

dip ! E<

dip =

!R

R

Aufspaltung der Dipol-Resonanzmißt dieKerndeformation

T H E P H O T O N U C L E A R S U M R U L E

PHOTONUTLTAR TROSS SEIIION ]

313

{ -at a t a

{ -t l

. . o l

3

b

2 5

+ ++ + + +

t:Y+:6oMev *oY,

f" aro,o(r): (1+ R)>.

f arou,l t) : (1+ r)x.

TRK SUMRULE

Pb

0 50 100 150 200 250MASS NUI4BER

Frc. 8.13. Total photonuclear cross-sections integrated up to the pion production

threshold, in units of the Thomas-Reiche-Kuhn sum rule 2 :60 MeV ' mb

.\ZlA.The data are from Ahrens et al. (1975), Lepr!tre er a/. (1981), andAhrens (1985).

more detail. Integrated photonuclear cross-sections up to the pion

production threshold o) : mr have been experimentally determined for a

series of nuclei throughout the period table. They are displayed in Fig.

8.13 in units of the classical TRK sum

so that

(8 .123 )

(8 .124)

The empirical r ranges typically between about 0.5 and 1.2; it becomes

k:0.76 for heavy nuclei. We wish now to discuss the relation of r to the

theoretical dipole sum rule (8.118) and (8.120)

(8.12s)

In fact it is legitimate to identify the integrated total cross-section

approximately with the corresponding E1 integral in the long-wavelength

limit rmt tma

i darcro@t):

Jo da.ro6'(ro). (8.126)

This is so because the basic photoabsorption mechanism above the giant

Io

I e

tr'.

Empirisches zur Photonuklearen Dipol - Summenregel

!

1

Ladungsaustausch istwichtig ( ist groß)!

p

pn

n

!±. .

Mesonische(insbesondere pionische) Austauschströme

! = !0|[Dz, [V, Dz]]|0"Maß für Austauschströme undgeschwindigkeitsabhängige Kräfte

14.3 Weitere Typen kollektiver Anregungen

Monopolschwingungen14.3.1

Kompressionsschwingungen der Kerne:

(JP = 0+)

Periodische Änderung des Kernradius R(t) ohne Änderung der Form

Quadrupolvibrationen14.3.2

Kollektive Formschwingungen der Kerne

Operator: O2! ! r2Y2!(r̂)

(JP = 2+)

R(t) = R0 ei!t

Messung derKompressibilitätvon Kernen

im Schalenmodell: Teilchen-Loch-Anregungen über 2 Schalen

s ↔ d, p ↔ f , etc.

Oktupolvibrationen14.3.3

O3! ! r3Y3!(r̂)

(JP = 3!)

Kollektive Formschwingungenmit Oktupoldeformation

Operator:

Beispiele: niedrigliegende J

P= 3

! in 16O,

40Ca,

208Pb

Gamow-Teller - Resonanzen14.3.4

Kollektive Spin-Isospin - Anregungen(mit Spin-Flip und Ladungsaustausch)

OGT ! !" #±Operator:

sensitiv auf die spin-isospin-abhängige Teilchen-Loch-Wechselwirkung

n p

V!" =!

i<j

G(!rij)!"i · !"j !#i · !#j

G A M O W _ T E L L E R S T A T E S

Frc. 10.7. Schematic picture of particle-hole states excited by the operator oz*

in a heavy nucleus with ,I'":0'.

where H6 is a single-particle shell-model Hamiltonian and Vo' is a

schematic separable interaction of the form

V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)

The coupling strength tr scales inversely with the nuclear mass number A,

since the integral of Vo, over the nuclear volume should be constant.

Consider now the following unperturbed particle-hole states

with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)

where l0) is the Jn:0* ground state;af, creates a proton above the fil led

Fermi sea in an orbit with energy eo, while cn annihilates a neutron in an

occupied orbit with energy en. The angular momentum projection Mt:0

has been chosen for convenience, so that only the z-components of the

spin operators in eqn (10.23) contribute.

These states satisfv

H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with

with eigenvalues e* - tp e.. Let us now diagonalize the full Hamil-

tonian F1 in the basis of the particle-hole states {1")}.The relevant

matrix elements of the interaction Vo, have the form

<Bl V",(7,2) lu) :LLDyD:,

D* - (pl o,r * ln) .

The Schrodinger equation

(H - E) l \P) :0

is solved with the ansatz (the so-called Tamm-Dancoff approximation)

(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,

Gamow - Teller (GT) Zustände im Schalenmodell

OGT |0+! = |[pj! " n!1j!! ]J

P = 1+!

Proton-Teilchen

Neutron-Loch

Kollektive GT- Resonanz nach “Einschalten” der Wechselwirkung






V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)




with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)







H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with





D* - (pl o,r * ln) .


(H - E) l \P) :0


(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,






V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)




with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)







H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with





D* - (pl o,r * ln) .


(H - E) l \P) :0


(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,






V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)




with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)







H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with





D* - (pl o,r * ln) .


(H - E) l \P) :0


(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,

H = H0 + V!"

Schalenmodellzustände:

Spin-Isospin - abhängiger Teil der Restwechselwirkung:

3 8 2 S P I N - I S O S P I N E X C I T A T I O N S

so that one obtains the secular equation (neglecting exchange terms)

(E - e")c* :2) .Do2 ,uOE.B

This immediately leads to the following dispersion equation for the

eisenvalues E

(10.31)

It can be solved graphically as shown in Fig. 10.8. One sees that with

increasing repulsive coupling strength ,1, > 0, one state (the GT re-

sonance) has its energy E61 moved upwards, whereas all the other states

remain close to their unperturbed positions. The position of 861

compared to the unperturbed energies e. is then a measure of ,1. When ,t

is strong enough to separate Eot completely from the eo these energies

can be replaced by a single average energy eo. In this limit, eqn (10.31)

reduces to

1_ \2 lD .12

1-+E- t i l

(10.30)

( 10.32)

-l

Consider tou thc r

particle-hole states rrc

w i t h e n e r g i e s e - 7 \ l c \

resonance is locat. 'd u

interaction t1..ng1l r. tf

This schematic dct

problem. However. rn P

interaction is the onc t

5.9.4 wi th i ts sPin- t ro 'P

1 , , - t r . r

A similar but mtlre c,rn

1980) reproduces thc ( i

U

Wi th M* :0 .8 .11 rh rs c r .

In summary. the Ptrrtttrthe nuclear spin-r r .x1

(repuls ive) g ' oLr tarned

has a strong lmpact ()n

pion condensat i0n ln nt

10.5 A-isobar erciteti

At energl t ransfcr . , t f

to a spin-isospin .icg'cr

L(1232). This sub;cct

p ion- and photon-rndu

nucleonic spin-isttsprn t

correspondence in \--.

S*T*, as the\ app.ar

eqns (2 .2 .1 ) and (1 .5 - : t

An examplc' c'rf a u

charge exchangc' tcdCt l r

ana logous to t hc (P . n )

Gamow-Tel ler excr tat r

Ecr - es:2)"2 p"f :zL(N - Z)

where the last step parallels the one which leads to eqn (10.18). The

energy shift of the GT state is determined by the coherent action of all

the diagonal matrix elements of Vo,. In the same limit, this state is

coherently excited by the Gamow*Teller operator and exhausts the GT

sum rule.

Frc. 10.8. Graphic solution of the dispersion equation (10.31). Note that a

collective Gamow-Teller state develops at an energy Eot much larger than the

unperturbed energies tr,2.. as I becomes large.

GAIIOW_TELLER DISPIRSION EOUATION

I 1 / ^

I t., l

\i\ili

2F- -- l i



(E - e")c* :2) .Do2 ,uOE.B


eisenvalues E

(10.31)








reduces to

1_ \2 lD .12

1-+E- t i l

(10.30)

( 10.32)

-l

Consider tou thc r





This schematic dct




1 , , - t r . r



U

Wi th M* :0 .8 .11 rh rs c r .













eqns (2 .2 .1 ) and (1 .5 - : t





Ecr - es:2)"2 p"f :zL(N - Z)





sum rule.





I 1 / ^

I t., l

\i\ili

2F- -- l i

kollektiverGT - Zustand



(E - e")c* :2) .Do2 ,uOE.B


eisenvalues E

(10.31)








reduces to

1_ \2 lD .12

1-+E- t i l

(10.30)

( 10.32)

-l

Consider tou thc r





This schematic dct




1 , , - t r . r



U

Wi th M* :0 .8 .11 rh rs c r .













eqns (2 .2 .1 ) and (1 .5 - : t





Ecr - es:2)"2 p"f :zL(N - Z)





sum rule.





I 1 / ^

I t., l

\i\ili

2F- -- l i






V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)




with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)







H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with





D* - (pl o,r * ln) .


(H - E) l \P) :0


(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,






V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)




with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)







H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with





D* - (pl o,r * ln) .


(H - E) l \P) :0


(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,






V" , (1 , 2 ) : i 6 t . oz9 . ! 2 . (10.23)




with , / ' : L+

la) = l (pn- l)Jn :1+, Mt :0) : [a[a"] !7a:, !1110) (10,24)







H o l e ) : e * l a ) , (10.2s)

381

with





D* - (pl o,r * ln) .


(H - E) l \P) :0


(r0.26)

(r0.2'7)

( 10.28)

(r0.29)lv) :>c* ls) ,

Diagonalisierung der spin-isospin - abhängigen Restwechselwirkung:

mit nahezu entarteten Schalenmodell GT-Zuständen:

3 7 8 S P I N _ I S O S P I N E X C I T A T I O N S

We note that the distortions of the in- and outgoing waves are

mainly determined by the spin-isospin averaged NN-amplitude To.

It is of practical significance that this amplitude has a minimum in

the range Ep:200-qO0MeV as can be seen in Fig. 10.1. The distortion

effects are therefore minimized in this energy range. In addition the ratio

lZ,"(q: qll||@:0)12 is large as seen in Fig. 10'2, so that the Gamow-

Teller transitions dominate by far over the Fermi transitions.

10.4.2 Systematics of Gamow-Teller strength distributions

The giant Gamow-Teller resonance. Zero-degree neutron spectra from

(p, n) reactions on heavy nuclei shown in Fig. 10.5 reveal a prominent

resonance structure. This systematic feature corresponds to the excitation

of a highly collective spin-isospin mode referred to as the 'giant'

Gamow-Teller (GT) resonance.[t] Its properties are closely associated

with nuclear spin-isospin correlations: its position and strength provides

strong constraints on the effective spin-isospin interaction in nuclei. It is

this particular aspect and its consequences for nuclear pion physics that

will be emphasized now.

Consider the GT excitation strength

states, as measured for example in the

( ; .

At the same time. ctrn:

appears in the studr t ' f t

I

The difference I1;, = I

obtained using the clt'sur

sL ( I I

-

This derivation assumc.

tors are given in tcrm.

(10. 17) is model- indcp*-r

nuclear wave function

In heavy nuclc t * '

converting protons tntrr

principle. The quantrn I

the relation

applies directly' to thc .t

As a consequence. thc

integrated over u l l hn.r

neutrons par t ic ipat inu rn

N : Z nuc le i , as i l l us t ru t

Quenching of the arid

finds from Fig. 1{) 6 th

integrated up to 3(l \tc\

(10.18) . This resul t c . r :

effective axial vector c,,

9 .6 .4 we a re a l r c l d r f i

medium renormal izc thc

Gamow-Teller ope rat.,r

one-body ax ia l currcnt r

A ' ( q = l t ; ' - - l

Let us assume that thc n

The Gamow-Teller sum rule.(10.14) summed over all final

(p, n) reaction

x* : )B*(GT)=>f f

140 160 180 200 1/*0 160 180 200

t" ( l4ev)

Frc. 10.5. Neutron t ime-of-f l ight spectra at 0:0" for the (p, n) reaction on

various nuclear targets. A common scale is used for the dif ferent nuclei. (From

Gaarde et al. 1987.)

l<tr ! o7r-t i ) t i ) l . (ro.rs)

Ct ^

d

E )

d

Anregung von Gamow-Teller Resonanzen mit (p,n)Ladungsaustausch

.p n

n p

Gamow - Teller (GT) Summenregel

!± =!

f±

"

"

"

"

"

!f±|A

!

i=1

!"i #±(i)|0"

"

"

"

"

"

2

Summierte GT - Anregungsstärken

ΣGT = Σ+ ! Σ!

= "0|A!

i=1

!"2i [#

!(i), #+(i)] |0# = !3 "0|

A!

i=1

!3(i)|0#

!GT = 3 (N ! Z)

.1. Ahrens et al. f Photonuclear dispersion relatiott

101 102 10r 101

o il'4eVl

I - ig . . t . 5 , r . a . l ig . l . i ' o r deutc r ium.

Fig. 4. Same

l l

61a/Atmbl

1 0

0

as f ig. 2, for r2C

(a )- L

1\\I\ -t / \\ l \\ /

)fr{. ^ / ----i

100 200 300 400 500 600

u il'4eVl

(a ) ove rv i ew o fa l l da ta ; ( b ) t he l ( 1231 ) r esonance reg ion

in (b) corresponds to the fu l l l ine in f ig. l .

The fu l l l ine

14.4 Höhere Energien

Bei Anregungsenergien von mehreren 100 MeV beginnen dieinneren Freiheitsgrade der Nukleonen relevant zu werden

Beispiel: Wirkungsquerschnitte für Photoabsorption an KernenJ. Ahrens et al. f Photonuclear dispersion relation

3.0

0 . ^ / A

lmbl

2.0

(a ;

208 Pb

t t -

- rn1m1u IMeV ]

i

0 100 200 300 400 500 600

o [4eV]

Fig. 6. Same as f ig. .1, for t " tPb.

l-states in nuclei is reflected in the reduced slope of Re F".r as compared with

Re FyN ?t a - oro. The occurrence of the zero of Re {.r at c.l. : 321 + 5 Mev turns

out to be a universal feature for all nuclei. This supports the evidence that the ;1

mass does not change much in a nuclear environment: the average potential experien-

ced by a A in the nucleus is of a similar strength as the one felt by a nucleon.

5. Sum rule considerations

The previous statements about Re F""(r) are further sharpened by examining

the quantity

z1 ( ru ) : 2n2 lA e F, o(r.ru)l

N ( r o ) - a r x ( a )

a - - a c t

10

05

1.0

10s101102

ui

'lr

D{

a

of

c's

F

It

h

d

\

ri

Re F"n.(a.,s)

- l

, ; P I du,t- - S r

- R

Ao( 8 )

Dipol-Riesenresonanz

Delta(1232)

Dipol-Riesenresonanz

Delta(1232)

Dominante Resonanzen:

Elektrische Dipol-Riesenresonanz

Magnetische Anregung der (1232)-Resonanz im Kern

(E1)

(M1) !

!!

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