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23.11.2011 | Kim Oliver Hofmann | Quantentrajektorien | 1
Quantentrajektorien:Dem Atom beim Zerfall zuschauenKim Oliver HofmannSeminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik
23.11.2011 | Kim Oliver Hofmann | Quantentrajektorien | 2
Gliederung
MotivationTheoretische BeschreibungMastergleichungMonte-Carlo-WellenfunktionssimulationÄquivalenz zur Mastergleichung
AnwendungsbeispieleZweiniveau-SystemQuantensprünge im Dreiniveau-SystemResonanzfluoreszenzspektrum
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Motivation
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Ensemble in der Quantenmechanik
„We never experiment with just one electron oratom or small molecule. In thought experiments wesometimes assume thate we do. ... In the first placeit is fair to state that we are not experimenting withsingle particles, any more than we can raiseIchthyosauria in the zoo.“
E. Schrödinger (1952)Ensemblebeschreibung mittels Dichteoperator:
!
ˆ " = pj # j # jj$
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Quantensprünge experimentell
Experiment miteinzelnen 24Mg+
Ionen (Thompson,1996)
Dreiniveau-Systemin V-Konfiguration
Beobachtespontane Emission
!
" # 10$8 s
!
" # 1s
Pumplaser Probenlaser
!
0"1
!
0" 2
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Quantensprünge experimentell
t
I(t)
Abb. aus [Plenio,Knight]
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Quantensprünge experimentell
Individuelle Beobachtung kann nicht mit Mastergleichungbeschrieben werden
Mastergleichung entwickelt Ensembles
Experimente als Motivation eines Quantensprung-Ansatzes
Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation (MCWF)
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Theoretische Beschreibung
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Mastergleichung
Partiell kohärenter Dynamik mit Mastergleichung:(Lindbladform)
Superoperator eines N-Niveausystem gekoppelt anReservoir
!
ˆ ˙ " (t) = #ih
ˆ H S , ˆ " (t)[ ] + ˆ $ ˆ " (t)[ ]
!
ˆ " ˆ # [ ] = $j n j +1( ) 2 ˆ s j ˆ # ̂ s j† % ˆ s j
† ˆ s j ˆ # % ˆ # ̂ s j† ˆ s j( )
j&
!
+"jn j 2 ˆ s j† ˆ # ̂ s j $ ˆ s j ˆ s j
† ˆ # $ ˆ # ̂ s j ˆ s j†( )
SystemReservior
!
ˆ s j : Sprungoperator des j-ten resonanten Übergangs
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Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation
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Monte-Carlo-Simulation
Stochastisches Verfahren für QuadraturSchätzer für Integral:
: gleichverteilte Zufallszahlen
Beispiel: Berechnung von
!
"!
f dV "V1N
f (xi )i=1
N
#$
!
xi ,K, xN
Abb. von http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation
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Ziel: stochastische Schrödingergleichung für Subensemble
Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation
!
ih d " = H # i$( )" dt + " dW
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Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation
Zeitentwicklung durch nicht hermitscher Hamiltonoperator
Oder Quantensprung mit Wahrscheinlichkeit
!
ˆ H e = ˆ H S " ih #j ˆ s j† ˆ s j
j$
!
"p = #t 2$j %(t) ˆ s j† ˆ s j %(t)
j&
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MCWF: Der Algorithmus
Quantensprung Kein Quantensprung
Erzeuge Zufallszahl
!
"
!
" <#p
Zeitentwicklung mitnicht hermiteschen
Auswahl eines Quantensprunges j
Solange bis ausreichend Zeitschritte durchlaufen
!
"(t +#t) = exp $ih
ˆ H e#t%
& '
(
) * "(t)
!
"(t +#t) =ˆ s j "(t)
"(t) ˆ s j† ˆ s j "(t)
!
ˆ H e
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MCWF: Auswahl des Quantensprunges
Weitere Zufallszahl 0 < ξ < 1
0 1δp1 δp2 δpk...
ξ
Quantensprung über Sprungoperator
!
ˆ s j
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MCWF: Beispielentwicklung
!
1"#p
!
"p1
!
"p2
!
1"#p
!
"p1
!
"p2
!
1"#p
!
"p1
!
"p2
!
1"#p
!
"p1
!
"p2!
"(0)
!
"(#t)
!
"(2#t)
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Äquivalenz zur Mastergleichung
!
˜ " (t +#t) = 1$%p( )exp $
ih
ˆ H e#t&
' (
)
* + ,(t)
1$%p( )
,(t) exp ih
ˆ H e†#t
&
' (
)
* +
1$%p( )
!
+"p 2#j
"pj
"pˆ s j $(t)"pj /%t
$(t) ˆ s j†
"pj /%tj&
Kein Quantensprung Quantensprung
!
˜ " (t +#t) = 1$%p( )&(t +#t)
1$%p( )&(t +#t)
1$%p( )+%p 2'j
%pj
%pˆ s j &(t)%pj /#t
&(t) ˆ s j†
%pj /#tj(
!
˜ " (t +#t) = 1$%p( ) "Kein Sprung +%p "Sprung
Betrachte Dichtematrix für eine Trajektorie
!
˜ " (t) = #(t) #(t)
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Äquivalenz zur Mastergleichung
!
exp "ih
ˆ H e#t$
% &
'
( ) * 1"
ih
ˆ H e#t
Zeitschritt klein und damit konstantes
!
ˆ H e
!
˜ " (t +#t) = 1$ ih
ˆ H e#t%
& '
(
) * +(t) +(t) 1+
ih
ˆ H e†#t
%
& '
(
) *
!
+"t 2#j ˆ s j $(t) $(t) ˆ s j†
j%
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Äquivalenz zur Mastergleichung
!
˜ " (t +#t) = $(t) $(t) +ih#t $(t) $(t) ˆ H e
† % ˆ H e $(t) $(t)[ ] +O(#t 2 )
!
+"t 2#j ˆ s j ˜ $ (t) ˆ s j†
j%
!
ˆ H e = ˆ H S " ih #j ˆ s j† ˆ s j
j$Verwende
!
˜ " (t +#t)$ ˜ " (t) =ih#t ˜ " (t), ˆ H S[ ]$#t %j ˜ " (t)ˆ s j
† ˆ s j + ˆ s j† ˆ s j ˜ " (t)[ ]
j&
!
+"t 2#j ˆ s j ˜ $ (t) ˆ s j†
j%
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Äquivalenz zur Mastergleichung
!
" ˜ # "t
= $ih
ˆ H S , ˜ # (t)[ ] + %j 2 ˆ s j ˜ # (t) ˆ s j† $ ˜ # (t)ˆ s j
† ˆ s j $ ˆ s j† ˆ s j ˜ # (t)[ ]
j&
Geht über in den Differenzenquotient:
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Berechnung von Erwartungswerten
Schätzer für Dichtematrix über N Trajektorien:
Erwartungswert einer Observablen A
!
"MC (t) =1N
# j (t) # j (t)j=1
N
$ =1N
˜ " (t)j=1
N
$
!
ˆ A (t) = Spur "MC (t) ˆ A ( )
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Anwendungsbeispiele
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Zweiniveau-System
Getriebenes Zweiniveau-System:
Hamiltonian:
Rabi-Oszillation mit Ω !
0!
1
!
r E L
!
H S = h"0 0 0 + h"1 1 1 #r d $
r E L
h%1 2 3
0 1 + 1 0( )
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Zweiniveau-System ohne Kopplung
Ω
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Zweiniveau-System
Ω
1 Trajektorie
3 Trajektorien
10 Trajektorien
1000 Trajektorien
Ω
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Quantensprünge simuliert
Dreiniveau-System, ein einziges Teilchen
!
0!
1
Detektor
!
r E Pump
!
2
!
r E P
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Quantensprünge simuliert
V-KonfigurationAufweisen von
hellen und dunklenPerioden
„Shelving“
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Quantensprünge simuliert
Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation:
Experiment:
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Resonanzfluoreszenzspektrum
Aufbau:
Intensität am Detektor:
!
0!
1
!
I(") =12#
d$ exp(%i"$ )r E (%) (r r D ,$ )
r E (+) (r r D,0)
%&
&
'
Detektor
!
r E L
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ResonanzfluoreszenzspektrumZweizeitenerwartungswerte
Zusammenhang mit Dipolmoment des Atoms:
Problem: Berechnung der Zweizeitenerwartungswerte:
!
ˆ A (t + " ) ˆ B (t)
!
I(") # d$ exp(%i"$ ) ˆ s † $( ) ˆ s (0)%&
&
'
!
r E dipol (
r r ,t) "
r d r r ,t( )
r r 3
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ZweizeitenerwartungswerteVorgehen mittels MCWF
Zeitentwicklung des Startvektors bis zur Zeit t
Erzeugung von 4 Zustandsvektoren und Entwicklung bis τ
!
"(0) MCWF# $ # # "(t)
!
x± (0) =1m±
(1± ˆ B )"(t) MCWF# $ # # x± (% )
!
y± (0) =1w±
(1± i ˆ B )"(t) MCWF# $ # # y± (% )
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ZweizeitenerwartungswerteVorgehen mittels MCWF
Bildung von Erwartungswerten
Linearkombination liefert Zweizeitenerwartungswert!
e± (" ) = x± (" ) ˆ A x± (" )
!
f± (" ) = y± (" ) ˆ A y± (" )
!
ˆ A (t + " ) ˆ B (t) =14
m+e+ (" )#m#(" )e# # iw+ f+ (" )+ iw# f# (" )[ ]
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ZweizeitenerwartungswerteVorgehen mittels MCWF
!
ˆ A (t + 0) ˆ B (t) =14
"(t) 1+ ˆ B †( ) ˆ A 1+ ˆ B ( )"(t)[
!
" #(t) 1" ˆ B †( ) ˆ A 1" ˆ B ( )#(t)
!
"i #(t) 1" i ˆ B †( ) ˆ A 1+ i ˆ B ( )#(t)
!
+i "(t) 1+ i ˆ B †( ) ˆ A 1# i ˆ B ( )"(t) ]
!
= "(t) ˆ A ̂ B "(t)
Für
!
" = 0 :
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Mollow-Triplett: Dressed States
Hamiltonian im quantisierten Strahlungsfeld
!
ˆ H = h "l ˆ a l† ˆ a l + Ej j j
j#
{l=(r k ,$)}#
!
+h ˆ s j†gjl
l" ˆ a l + h.c.
j"
!
+ " # " 1
!
" # $ # 0
Dressed States Bare States
Mit Atom-Feld-Wechselwirkung
Ohne Wechselwirkung
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Mollow-Triplett: Dressed States
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Mollow-Triplett
Mollow-Seitenbänder
Abb. aus [Sturm]
!
"#
=1
!
"#
=10
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Zusammenfassung
Experimente mit einzelnen Teilchen zeigen QuantensprüngeVerhalten nicht mit Mastergleichung beschreibbarMonte-Carlo-Wellenfunktionssimulation nutzt diesen Ansatzäquivalente Aussagen zu Mastergleichung im MittelKopenhagener Interpretation der QuantenmechanikAn Beispielen gezeigt:Getriebenes Zweiniveau-AtomDreiniveau-AtomResonanzfluoresenz-Spektrum
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Quellen
[Sturm] M. Sturm: Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation in der Quantenoptik, Bachelor Thesis, 2011
[Plenio, Knight] M. B. Plenio, P.L. Knight: The quantum-jumpapproach to dissipative dynamics in quantum optics, Reviewof Modern Physics, Vol. 70, S.101, 1998
[Dum, Zoller] R. Dum, P. Zoller, H. Ritsch: Monte Carlosimulation of the atomic master equation for spontaneousemission, Physcial Reviews A, Vol.45, S.4879, 1992
[Mølmer] K. Mølmer, Y. Castin, J. Dalibard: Monte Carlo wave-function method in quantum optics, Journal Optical Societyof America B, Vol.10, No.3, S.524, 1993
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Vielen Dank für IhreAufmerksamkeit!