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Energiemethoden der Me hanik - Prof. Popov - WiSe 2013/14 Seite 1

20. September 2013

Aufgabenkatalog Energiemethoden der Me hanik

Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog für die Energiemethoden der Me hanik abge-

dru kt, aus dem jede Wo he Aufgaben für die Groÿe Übung, die Tutorien und das eigenständige

Arbeiten ausgewählt werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine

Wo he na h Bearbeitung veröentli ht. Leider s hlei hen si h man hmal in die veröentli hten Lö-

sungen Fehler ein. Wir bemühen uns, diese mögli hst zügig zu beseitigen. Jede Studentin und jeder

Student ist aber in erster Linie selbst verantwortli h. Darum selbständig re hnen! Wer gerne no h

mehr Aufgaben (mit Musterlösungen) re hnen mö hte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenbü-

hern verwiesen.

Die Aufgaben werden ni ht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.

Inhaltsverzei hnis

1 Prinzip der virtuellen Verrü kungen 2

2 Lagranges he Glei hungen 8

3 Verfahren von Ritz 21

4 Sätze von Castigliano 27

5 Prinzip der kleinsten Wirkung 31


20. September 2013


1 Prinzip der virtuellen Verrü kungen

1. Ein Träger der Länge l, der an sei-

nem Ende A zweiwertig und an seinem

Ende B einwertig gelagert ist, werde

in Stabri htung in B dur h die Kraft

F2 und senkre ht dazu im Abstand azu A dur h die Kraft F1 belastet. Mit

dem Prinzip der virtuellen Arbeit be-

stimme man den im Träger wirkenden

(a) Normalkraftverlauf N(x),

(b) den Querkraftverlauf Q(x) und

( ) den Momentenverlauf M(x)

Geg.: F1, F2, l, a

PSfrag repla ements

x

z+

A BF1

F2

la

2. Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit für den

skizzierten Balken die Lagerreaktionen.

Geg.: q0, l, a, α

PSfrag repla ements q0

l a

α

3. Ein Gelenkviere k besteht aus drei starren Balken der Länge

l. In der Mitte des Balkens AB ist eine Feder der Steigkeit

k angebra ht. Die Feder ist stets senkre ht und sei entspannt,

wenn α = 0 (horizontale Lage der Balken AB und CD).

Bestimmen Sie die Glei hgewi htslage (Winkel αG).

Geg.: F , l, α

PSfrag repla ements

A

B

C

D

F

α

k


20. September 2013


4. Ein unter dem Winkel α = 30 zur Horizontalen geneigter Träger der Länge a + b ist in Aeinwertig und in B zweiwertig gelagert. Der Träger wird dur h eine im Trägerteil B − Cangreifende konstante Stre kenlast q0 sowie dur h eine horizontale wirkende Kraft F an der

Stelle C belastet.

S

PSfrag repla ements

x

y +

A

B

C F

q0

a

bα

Man bere hne mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit:

(a) für q0 = 0 die Lagerreaktion A

(b) für q0 = 0 die im Berei h a ≤ s ≤ a+ b des Trägers auftretende

(a) Normalkraft N(s),

(b) Querkraft Q(s) und

( ) das Biegemoment M(s).

( ) für eine vorgegebene Stre kenlast q0 die im Berei h a ≤ s ≤ a+b des Trägers auftretendeQuerkraft Q(s).

Dazu skizziere man jeweils das virtuell vers hobene bzw. verdrehte System , stelle die kine-

matis hen Beziehungen auf und werte das Prinzip der virtuellen Arbeit aus.

Geg.: a, b, α, F , q0


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5. Das abgebildete Fa hwerk aus starren Stäben wird mit der

Kraft F belastet.

(a) Bere hnen Sie mit den Basisvektoren e1 und e2 sowie mitSkizze a) die Ortsvektoren ~rA und ~rF zu den Angris-

punkten der Kräfte A und F . Bere hnen Sie die Variatio-

nen δ~rA und δ~rF . Bere hnen Sie die Lagerkraft A mithilfe

des PdvV.

(b) Notieren Sie mit Skizze b) den Ortsvektor ~rF = ~rS zum

gemeinsamen Angrispunkt der Kräfte F und S. Bere h-nen Sie die Variationen δ~rF und δ~rS . Bere hnen Sie die

Stabkraft S mithilfe des PdvV, indem Sie S als äuÿere

Last ansehen.

Hinweis:

ar tan

√3

3= 30

os 30 =√3

2

sin 30 = 1

2Geg.: F , a

PSfrag repla ements

1

3a

1√3a

1√3aA

S

A

SS

F F

F

a

ϕ

ϕ

ϕ

e1

e2

Skizze a)Skizze b)

6. Das skizzierte Balkensystem ist dur h ein Einzelmoment M0, zwei Einzelkräfte H und V und

eine sinusförmige Stre kenlast mit dem Maximum q0 belastet. Alle Balken sind starr und

masselos.

Es sind die Auagerkraft im Lager A und das S hnittmoment im Berei h zwis hen dem Lager B

und dem Gelenk C mit der Methode der virtuellen Leistungen zu bestimmen.

Verwenden Sie dabei jeweils eine virtuelle Bewegung, bei der keine andere Auagerkraft bzw.

keine andere S hnittlast als die gesu hte einen Beitrag zur virtuellen Leistung liefert.

Skizzieren und/oder bes hreiben sie jeweils zuerst die virtuelle Bewegung, deren Leistungsbi-

lanz sie dana h aufstellen.

(a) Bestimmen Sie die Ersatzkraft der Stre ken-

last q(x) und deren Kraftangrispunkt.

(b) Bere hnen Sie die Auagerkraft im Lager A.

( ) Bere hnen Sie das Biegemoment im Berei h

zwis hen dem Lager B und dem Gelenk C.

Verwenden Sie das in die Skizze eingetragene

Koordinatensystem!

Geg.: a, H, V , M0, q0

PSfrag repla ements

V

H

M0

q(x)

aa a a

x

z

A B C


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7. Das skizzierte Balkensystem ist dur h ein Einzelmo-

ment M0 und eine Einzelkraft K belastet. Alle Balken

sind starr und masselos.

(a) Bere hnen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Ver-

rü kungen das S hnittmoment M an der Stelle C

(x = a).

(b) Bestimmen Sie ebenfalls mit Hilfe des Prinzip der

virtuellen Verrü kungen die Lagerkraft in B.

Geg.: a, b, c, K, M0

PSfrag repla ements

K

M0

aa bb

cx

z

A C B

8. Die abgebildete Konstruktion aus starren

Stäben wird mit der Kraft F belastet und

bendet si h im statis hen Glei hgewi ht.

Bere hnen Sie mit dem Prinzip der virtu-

ellen Arbeit die Haltekraft Fk als Funktion

des Winkels ϕ .

Geg.: F, l

PSfrag repla ements

l2l

B

A

C

ϕ ψ Fk(ϕ )

F

x

y

9. Die Massen m1 (S hwer-

punkt A) und m2

(S hwerpunkt F) sind

über zwei Stäbe und

ein Seil miteinander

verbunden. Der Stab AC

ist im Punkt B dreh-

bar gelagert. Der Stab

CD kann im Punkt D

horizontal vers hoben

werden. Auÿerdem ist

dort ein Seil befestigt,

wel hes die Masse m2

trägt. Die Punkte B und

D liegen auf der selben

Höhe.

PSfrag repla ements

ex

eyA

B

C

D

E

F

a

bb g

ϕ

m1

m2

Es gelten folgende Annahmen: Stäbe und Seil sind masselos und starr bzw. undehnbar. Rei-

bung kann verna hlässigt werden.

Geg.: g,m1,m2, a, b, sinπ4= cos π

4= 1√

2

(a) Die Ortsvektoren zu den Punkten A und F seien mit rA

bzw. rF

bezei hnet. Bestimmen

Sie die virtuellen Verrü kungen δrA

und δrF

in Abhängigkeit von ϕ bzw. δϕ.

(b) Untersu hen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit, bei wel hen Winkeln ϕ, 0 ≤ϕ < 2π, das System im Glei hgewi ht ist. Bes hränken Sie si h dabei auf den Sonderfall

m2 = 2m1 und a = 4b.


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10. Bei einem Kolbenkompressor wirke in der skizzierten

Stellung auf die Kolbenä he die Gaskraft FG. Auf die

re hte Stange wirkt das Antriebsmoment MA. Bestim-

men Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrü kungen

die Glei hgewi htslage (Winkel α), wenn die Reibungs-

kräfte verna hlässigt werden.

Geg.: FG, l, MA

PSfrag repla ements

A

MA

FG

α

l

11. Bestimmen Sie mit der Methode der virtuellen Verrü kungen für fol-

genden Kragbalken die Lagerreaktionen.

Geg.: q0, l

PSfrag repla ements

q0

l

12. Bestimmen Sie für das skizzierte System mit Hil-

fe der Methode der virtuellen Arbeit / Leistung /

Verrü kungen

(a) die Lagerkraft im Punkt B

(b) alle S hnittlasten.

Geg.: F , H, a, b

PSfrag repla ements

ab

F

HA

B

13. Für den dur h eine Einzelkraft P belasteten skizzierten Bal-

ken ist die Lagerkraft im Punkt C sowie das S hnittmoment

im Punkt B mit dem Prinzip der virtuellen Verrü kungen zu

bestimmen.

Geg.: P , l, a, b

PSfrag repla ements

bl

a

A B C

P

14. Die abgebildete Konstruktion besteht aus drei starren Bal-

ken (AB, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mitte

des Balkens AB angebra ht ist.

Zur Dimensionierung der Stütze soll die Kraft in der Stütze

bestimmt werden.

Führen Sie die Bere hnungen auf zwei vers hiedenen Wegen

dur h:

(a) S hneiden Sie frei und bere hnen Sie die gesu hte

Kraft mittels Kräfte- und Momentenglei hgewi hten.

(b) Nutzen Sie das Prinzip der virtuellen Verü kungen zur

Bestimmung der gesu hten Kraft.

Geg.: F , l

PSfrag repla ements

A

B

CD

E

F

l

l

1

2l


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15. Für das aus starren Stäben bestehende

skizzierte Fa hwerk unter der BelastungWsind folgende Gröÿen mit dem Prinzip der

virtuellen Verrü kungen zu bestimmen:

(a) Die Auagerkraft im Punkt B,

(b) die Stabkraft SBC .

Geg.: W, l, β

PSfrag repla ements

l l

A

B

C

D

W

β

16. Das skizzierte System besteht aus

drei starren Körpern, wird be-

lastet dur h die Kraft F und

ist statis h bestimmt gelagert.

Bestimmen Sie mit Hilfe des

Prinzips der virtuellen Arbeit die

Lagerreaktionen in A und in B.Skizzieren Sie dazu jeweils das vir-

tuell vers hobene bzw. verdrehte

System.

Geg.: l1, l2, l3, F

PSfrag repla ements

A

B

C

D

F

l1

l2

l3/2l3/2

ey

ex


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2 Lagranges he Glei hungen

17. Zwei masselose Stangen (Längen l1 und l2) und zwei Punktmassenm1 und m2 bilden ein Doppelpendel.

(a) Bestimme für die Bewegung des skizzierten Doppelpendels

in einer vertikalen Ebene (Erdbes hleunigung g) mit Hilfeder Lagranges hen Glei hungen 2. Art die Bewegungsglei-

hungen. Nutze die generalisierten Koordinaten ϕ1 und ϕ2.

(b) Wie lauten die Glei hgewi htslagen?

Geg.: m1, m2, l1, l2, g

18. Auf einer s hiefen Ebene bewegt si h reibungsfrei ein

Körper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infol-ge der S hwerkraft abwärts. In einer radialen Bohrung

ist ein Zylinder der MasseM , der Relativkoordinate x,elastis h angeordnet, der si h ebenfalls reibungsfrei be-

wegen kann. Ausgehend von der Ruhelage des Systems

sind mit den Lagranges hen Glei hungen 2. Art die

Bewegungsdierentialglei hungen für die generalisier-

ten Koordinaten s und x aufzustellen.

Geg.: m, M , c, α, g

PSfrag repla ements

2c

c

y

x

s

m

M g

α

19. Ein Massenpunkt m ist am unteren Ende einer Feder k angebra ht. Am

oberen Ende ist die Feder drehbar gelagert. In spannungloser Ruhelage

hat die Feder die Länge r0.

Stellen Sie die Bewegungsdierentialglei hungen des Systems mit Hilfe

der Lagranges hen Glei hungen 2.Art auf.

Geg.: k, m, r0, g

PSfrag repla ements

g

k

m

rϕ

y

20.

PSfrag repla ements

m1

m2

x

y

l(t)

Die Aufhängevorri htung eines ebenen

Pendels mit der zeitli h veränderli hen

Länge l(t) und der Pendelmasse m2 gleitet

reibungsfrei auf einer horizontalen Füh-

rung und hat die Masse m1.

Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagranges hen

Glei hungen 2. Art die Bewegungsdie-

rentialglei hungen für das System.

Geg.: m1, m2, l(t), g


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21.

(a) Für das skizzierte System stelle man

das Bewegungsdierentialglei hungssy-

stem auf und s hreibe es auf Matrizen-

form um. Es sollen von vornherein klei-

ne Auslenkungen angenommen werden.

(b) Man bere hne die Eigenkreisfrequenzen

und die dazugehörigen Eigenformen des

Systems.

Geg.: c1 =1

4c , c2 = c3 = c , m1 =

2

3m, m2 = m, ΘS = 1

2m1r

2, r

22. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika-

ler Ri htung und ist über eine masselose Stange (Länge l) miteiner Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Die Punktmasse ist

über eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an die Umgebung

gekoppelt.

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?

(b) Bestimme mit den Lagranges hen Glei hungen 2. Art

die Bewegungsdierentialglei hung für das System?

Geg.: l, g, m1, m2

PSfrag repla ements

ϕ

m1

m2

l

l

g

x

y

glatt

23. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im

Abstand l ist eine Punktmasse m1 befestigt. Auf der Stange glei-

tet auÿerdem eine zweite Punktmasse m2 reibungslos unter der

Wirkung der Federkraft und der Erdanziehungskraft auf und ab.

Der Abstand der zweiten Punktmasse vom Aufhängungspunkt

P sei mit r(t) bezei hnet. Die Feder hat die Federsteigkeit kund die unverformte Länge l0.

(a) Wie lauten die Bewegungsdierentialglei hungen für das

System in den generalisierten Koordinaten r(t) und ϕ(t)?

(b) Prüfe dur h Betra htung von Grenzfällen die Plausibilität

der hergeleiteten Dierentialglei hungen.

PSfrag repla ements

ϕ

m1

m2

kP

g

Geg.: m1, m2, l, l0, k

24. Für eine übers hlägige Dimensionierung einer

Werkzeugmas hine sollen die Eigenfrequenzen des

abgebildeten Ersatzsystems bere hnet werden.

Bei der Untersu hung des s hwingungsfähigen Sy-

stems soll die Reibung verna hlässigt werden. Für

q1 = q2 = 0 sind alle Federn entspannt.

PSfrag repla ements

1

2c

1

2c

cc

m

m

q1 q2


(b) Stellen Sie die kinetis he Energie T und potentielle Energie U des Systems auf.

( ) Bestimmen Sie nun die Lagrangefunktion L.

(d) Wie lauten die Bewegungsdierentialglei hungen?

Geg.: m, c


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25. Dargestellt ist ein System aus einer Rol-

le (m1, ΘS), einem Klotz (m2), einer Fe-

der (Steigkeit c) und einem Dämpfer

(Dämpfungskonstante d). Am S hwer-

punkt S der Rolle greift ein konstantes

Moment M an. In der dargestellten La-

ge seien x1 = 0, x2 = 0 und die Feder

entspannt.

Geg.: g, c, d, r,m1,m2,ΘS = 1

2m1r

2,M

reines Rollen

PSfrag repla ements

m1,ΘS

m2

x1

x2

c d

µ = 0

r

g

M

S

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion für das System in den Koordinaten x1 und x2 auf.

(b) Bes hreiben Sie den Einuss des Dämpfers und des Moments M mittels Dissipations-

funktion oder generalisierter Kraft.

( ) Bestimmen Sie die Bewegungsglei hungen des Systems.

26. Das dargestellte System besteht aus einem dünnen,

homogenen Stab (Länge l, Massem, Massenträgheits-

moment ΘS) und einem Klotz (Masse M), der rei-

bungsfrei auf der Unterlage gleitet. Er wird bei sei-

ner Bewegung entlang der Unterlage (Koordinate x)dur h eine vorgegebene Kraft F (t) in horizontaler

Ri htung angetrieben und ist andererseits mit einer

immer horizontal geri hteten Feder verbunden. De-

ren linker Fuÿpunkt wird dur h die vorgegebene Aus-

lenkung u(t) bewegt. Für x = u(t) = 0 ist die Fe-

der spannungslos. Zwis hen Klotz und Stange wirkt

ein winkelges hwindigkeitsproportionaler Drehdämp-

fer mit der Dämpferkonstante kd.

PSfrag repla ements

M

x

ϕ

c

kd

F (t)

m, l,ΘS

u(t)

g

~ex

~ey

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems bzgl. der generalisierten Koordinaten

x und ϕ auf.

(b) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems auf.

( ) Geben Sie die generalisierte (Rest-)Krafte Qx an.

(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hungen für das System.

Geg.: M , ΘS, m, l, c, g, F (t), kd


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27. Das skizzierte System wird dur h das Moment M(t) zum S hwingen angeregt. In der einge-

zei hneten Position (x = 0) sind beide Federn gespannt. Die obere Feder ist um die Länge

l0 gespannt; die untere Feder ist so gespannt, daÿ x = 0 die Glei hgewi htslage ist. Die Seile

seien undehnbar. Es werden auss hlieÿli h kleine S hwingungen um die Glei hgewi htslage

betra htet.

(a) Stellen Sie die kinetis he Energie

T und potentielle Energie U für

das System auf.

(b) Bestimmen Sie die Dissipations-

funktion D oder die generalisier-

te Kraft Q.

( ) Bestimmen Sie nun die

Bewegungsdierentialglei hung

in der S hwerpunktskoordinate

x. Um wel he Länge muÿ die un-

tere Feder gespannt sein, damit

x = 0 die Glei hgewi htslage

ist?

(d) Bestimmen sie die Amplitude

der stationären S hwingung!

PSfrag repla ements

m, ΘS

M(t)

xS

c

c

d

r

R

reines Rollen

Geg.: m, ΘS, M(t) =M0 cos Ωt, M0, Ω, c, d

28. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittel-

punkt S angreifenden Moment angetrieben. Na h einer

Eins hwingphase stellt si h ein stationärer Zustand mit

kleinen Auss hlägen ein. (Gravitation spielt keine Rolle.)

(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdierentialglei-

hung!

(b) Wie groÿ ist die Kreisfrequenz der freien gedämpften

S hwingung?

( ) Bestimmen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel

der stationären S hwingung!

Geg.: a, r, c, m, ΘS = 2ma2, M(t) =M0 cos Ωt

PSfrag repla ements

c

S

E

D

M(t)

r

m,ΘS

a

a


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29. Das skizzierte System (homogene Kreiss heibe M ,

ΘS, masselose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m,

lineare Feder c, linearer Dämpfer k) erfährt eine

Fuÿpunkterregung u(t) = u cos Ωt.

(a) Wie viele Freiheitsgrade hat das System?

(b) Stellen Sie die Bewegungsglei hung für die Be-

wegung des S heibens hwerpunktes mit Hilfe

der Lagranges hen Glei hungen 2. Art auf.

Geg.: M , m, ΘS = 1

2Mr2, c, k, r, u, Ω, g

M, Js

m

r

c

k

u( )t

g

PSfrag repla ements

reines Rollen

30. Das skizzierte System besteht aus einem starren

Körper der Masse m, der auf einer Ebene reibungs-

frei gleitet und mit zwei Federn und zwei Dämp-

fern an die Umgebung gebunden ist. Im Körper-

s hwerpunkt ist ein mathematis hes Pendel (Län-

ge l, Masse m) angebra ht, das von einem Wind

der Ges hwindigkeit vw von unten angeblasen wird

(Luftwiderstandsbeiwert k). Die Pendelmasse wirddur h die Kraft P (t) = P0 cos Ωtex erregt. Die Be-

wegung verläuft im Erds hwerefeld.

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Sy-

stems bzgl. der generalisierten Koordinaten

x und ϕ auf.

(b) Bere hnen Sie den Betrag der Relativge-

s hwindigkeit |vrel| zwis hen Pendelmasse

und Wind.

( ) Stellen Sie die DissipationsfunktionD des Sy-

stems auf.

PSfrag repla ements

m

m

bb

ccx

ex

ey

ϕ l

g

vw

P (t)

(d) Geben Sie die generalisierten Ni ht-Potentialkräfte Qx und Qϕ an, die ni ht dur h Dmodellierbar sind.

(e) Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hungen für das System.

Hinweis: vrel = vm − vw; vm: Ges hw. der Pendelmasse, vw Windges hwindigkeit

Geg.: m, b, c, k, l, g, vw, P0, Ω


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31. Ein starrer Körper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertika-

ler Ri htung und ist über eine masselose Stange (Länge l) miteiner Punktmasse m2 gelenkig verbunden. Der starre Körper

ist auÿerdem über ein lineares Feder-Dämpfer-Element (Feder-

steigkeit k, Dämpferkonstante d) an den Boden gekoppelt. Dieentspannte Länge der Feder sei 2l. Die Punktmasse m2 ist über

eine weitere Stange (Länge l) gelenkig an den Boden gekoppelt.

PSfrag repla ements

ϕ

m1

m2

l

l

g

d k

x

yglatt


(b) Stellen Sie die kinetis he Energie T , die potentielle Energie U und die Dissipationsfunk-

tion D als Funktion von ϕ und ϕ auf. Wie ist die Lagrangefunktion L deniert?

( ) Arbeiten Sie im folgenden mit der Lagrangefunktion

L = (2m1 sin2 ϕ+

1

2m2)l

2ϕ2 − (2m1 +m2)gl cosϕ− 2kl2(1− cosϕ)2

weiter. Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hung für das System.

(d) Wie groÿ muÿ die Federsteigkeit k sein, damit das System für ϕS = π3eine Glei hge-

wi htslage hat?

(e) Wel he weiteren Glei hgewi htslagen sind im Berei h −π2< ϕ < π

2vorhanden, wenn die

Federsteigkeit k den in Teil (d) bestimmten Wert hat?

Geg: k, d, m1, m2, l, g

32. Das skizziere System besteht aus einem Zahnrad 1 (Masse m1, Radius R), einer Zahnstange3 und einem Gleitkörper 2 (Masse m2). Die Masse der Zahnstange soll verna hlässigt werden.

Zudem soll für eine erste Untersu hung des S hwingungsverhaltens auf eine Berü ksi htigung

der Reibung verzi htet werden.

Dur h eine periodis he

Kraft P (t) wird das Sy-

stem zu S hwingungen

angeregt. Bestimme mit

Hilfe der Lagranges hen

Glei hungen die Bewe-

gungsglei hungen des

Systems!

Geg.: m1, m2, R, P (t), c

PSfrag repla ements

c

P (t)

1

2

3

reibungsfreies Gleiten

reibungsfreies Gleiten


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33. Ein homogener Balken (Länge b, Masse M) ist in A

und B gelenkig mit masselosen S hiebehülsen verbun-

den, die reibungsfrei auf den beiden Linearführungen

gleiten können. Die S hiebehülse A ist dur h ein Feder-

Dämpfer-Element (Federsteigkeit k, entspannte Lage

bei α = α0, lineare Dämpferkonstante d) an die Umge-

bung gekoppelt. Zusätzli h ist im Punkt A ein Punkt-

massependel (Länge l, Masse m) angebra ht, an des-

sen Ende die ni htkonservative Kraft F wirkt. Der Be-

trag der Kraft F ist konstant, die Wirkungslinie ist stets

senkre ht zu der Pendelstange.

(a) Stellen Sie die Lagrangefunktion L des Systems

bzgl. der generalisierten Koordinaten α und ϕ auf.

(b) Stellen Sie die Dissipationsfunktion D des Systems

auf.

PSfrag repla ements

M,ΘS

b

α

ϕ

k

d

Fm

l

g

x

y

A

B

C

S

( ) Geben Sie die generalisierten Ni ht-Potentialkräfte Qα und Qϕ an, die ni ht dur h Dmodellierbar sind.

(d) Bestimmen Sie die Bewegungsdierentialglei hung für das System ohne Pendel und Kraft

F .Hinweis: Nutzen Sie dazu die bereits dur hgeführten Re hnungen und setzen Sie m = 0und F = 0 ein.

Geg.: M , b, ΘS = Mb2

12, m, l, d, k, g, F , α0

34. Ein starrer Körper führt S hwingungen in einer vertikalen Ebene unter dem Einuÿ der

S hwerkraft aus. Der Zapfen (Radius r) rollt ohne zu gleiten auf der starren Unterlage. Der

Zapfenmittelpunkt P wird über eine Feder mit der Steigkeit k gehalten. Die Reibung des

Systems sei verna hlässigbar bis auf ein Rollreibmoment M mit konstantem Betrag.

Die Lage des Systems ist bestimmt dur h den Drehwinkel ϕ. Bei ϕ = 0 sei die Feder entspanntund der Massenmittelpunkt C stehe genau senkre ht über dem Zapfenmittelpunkt P.

Der Massenmittelpunkt C des Gesamtsystems hat den Abstand a vom Zapfenmittelpunkt P.

Der Körper hat die Masse m und das Massenträgheitsmoment JC um den Massenmittelpunkt.

(a) Bestimmen Sie die Lagrange-Glei hung(en)

2. Art (Bewegungsdierentialglei hung/en)

des Systems.

(b) Leiten Sie nun für den Fall des glatten Roll-

kontaktes (M = 0) aus den/der Bewegungs-dierentialglei hung(en) eine Bestimmungs-

glei hung für die statis he(n) Ruhelage(n) her.

Geg.: a, r, g, k, M , m, JC

PSfrag repla ements ϕ

C

P

g

r

a

k


20. September 2013


35. Ermittle für das skizzierte System die Be-

s hleunigung der Masse 1, die reibungsfrei auf

der s hiefen Ebene gleitet. Die Rolle 2 wird

dur h ein konstantes Moment M angetrieben,

und die Walze 3 rollt ohne zu gleiten.

Geg.: M , m, a, α, Θ1, Θ2, g

36. Ein starrer Körper (Masse M) gleitet reibungsfrei in einer

Führung und ist über ein Feder-Dämpfer-Element (Kon-

stanten k, d) an die Umgebung gekoppelt. Auÿerdem trägt

der starre Körper eine mit der Winkelges hwindigkeit Ωrotierende masselose Stange, die im Abstand e vom Dreh-

punkt eine Punktmasse m trägt. Zum Zeitpunkt t = 0 sei

die Stange horizontal und die Punktmasse re hts vom Dreh-

punkt. Für x = 0 sei die Feder entspannt.

PSfrag repla ements

Ω

m

M

k

d

x

e

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System, wenn die Winkelges hwindigkeit Ω vorgegeben

ist?

(b) Wie lautet die Bewegungsdierentialglei hung für das System?

( ) Bestimme die Lösung im einges hwungenen Zustand.

(d) Wie groÿ sind die Kräfte im Feder-Dämpfer-Element im einges hwungenen Zustand?

37. Das skizzierte s hwingungsfähige Sy-

stem besteht aus der reibungsfrei

drehbar gelagerten homogenen S heibe

(Masse M , Radius r) und dem rei-

bungsfrei horizontal bewegli hen Körper

(Masse m). S heibe und Körper sind

untereinander über eine Dehnfeder

(Steigkeit c) und der Körper über

Dehnfeder und Dämpfer (Konstanten

c, d) mit der Umgebung gekoppelt. Die

Federn seien für ϕ, x = 0 entspannt.

Leiten Sie mit Hilfe der Lagranges hen

Glei hungen 2. Art die linearisierten

Bewegungsglei hungen für kleine x und

ϕ her.

Geg.: m,M, r, c, d

PSfrag repla ements

x

ϕ

m

cc

d

Mr


20. September 2013


38. Gegeben ist das skizzierte s hwingungsfähige System mit 2 Freiheitsgraden bestehend aus

einem Körper der Masse m1 der si h reibungsfrei in horizontaler Ri htung bewegen kann,

sowie einer homogenen S heibe (Masse m2, Radius r), die auf der Unterlage abrollt. S heibeund Körper sind in der skizzierten Weise untereinander und mit der Umgebung dur h Feder

und Dämpfer gekoppelt. Die Federn seien für x1 = x2 = 0 entspannt. Das System wird dur h

die Kraft F (t) angeregt.

(a) Geben Sie die kinetis he Energie T und

die potentielle Energie U an.

(b) Leiten Sie mit Hilfe der Lagran-

ges hen Glei hungen 2. Art die Bewe-

gungsglei hungen in x1 und x2 her.

PSfrag repla ements

x1 x2

c1 c2m1

m2

ϕ

Abrollen

F (t)d

r

Geg.: m1, m2, r, c1, c2, d, F (t)

39. Auf einer unendli h langen starren mas-

selosen Stange gleitet reibungsfrei die

Punktmasse m. Die Drehung der Stan-

ge ist vorgegeben als ϕ(t) = ωt (Rota-

tion mit konstanter Winkelges hwindig-

keit). Bestimmen Sie die Kraft der Stange

auf die Masse. Benutzen Sie r und ϕ als

generalisierte Koordinaten. Und gehen Sie

wie folgt vor:

PSfrag repla ements

D

r

er

eϕ

ex

ey

ϕ

m

(a) Bestimmen Sie den Ortsvektor r mit Ursprung D. Bestimmen Sie die Ges hwindigkeit

v(r, ϕ, r, ϕ) = vrer + vϕeϕ und |v| =√v2r + v2ϕ.

(b) Bestimmen Sie die kinetis he Energie E und damit die Lagrange-Funktion L(r, r, ϕ).

( ) Geben Sie die (holonome, rheonome) Zwangsbedingung in der Form f(ϕ, t) = 0 an.

Bere hnen Sie

∂f∂r

sowie

∂f∂ϕ.

(d) Stellen Sie die Glei hungen

ddt

∂L∂qj

− ∂L∂qj

− λ ∂f∂qj

= 0 auf. Setzen Sie darin die Zwangsbe-

dingung ein. Und geben Sie die beiden resultierenden Dgln. für r und λ an.

(e) Geben Sie die generalisierten Zwangskräfte Qr und Qϕ an. Bere hnen Sie daraus die

Zwangskraft Z in der Basis 〈er,eϕ〉, also Z = Zrer + Zϕeϕ. Kontrollieren Sie die Di-

mension von Z.

Geg.: m, ω = onst.


20. September 2013


40. Der skizzierte Vertikals hwinger, der si h unter dem Einuÿ des Erds hwerefeldes g bendet,wird dur h eine vorgegebene Vers hiebung u(t) = u sinΩt erregt.

(a) Formuliere für die Koordinatenwahl q1 := x1, q2 := x2 die

Zwangsbedingung, und gib die zugehörigen Zwangskräfte an!

(Die ho hgestellten Zahlen sind hier ho hgestellte Indizes, kei-

ne Exponenten.)

Wel he Bedeutung hat der Zwangskraftparameter λ in diesem

Fall? Begründung!

(b) Stelle die Lagrange-Glei hungen 1. Art auf!

( ) Bestimme dur h Auswertung der Zwangsbedingung aus den

Lagrange-Glei hungen 1. Art die vertikale Lagerkraft bei A

und die Bewegugsglei hung des Systems!

Geg.: m, g, k, u(t) = u sinΩt

PSfrag repla ements

gA

m

m

k

k

x1

x2

u(t)

Hinweis: Betra hte auss hlieÿli h die Bewegung in Vertikalri htung!

41. Zwis hen der Masse m1 und der horizontalen Ebene besteht

Gleitreibung. Der Betrag der Gleitreibungskraft wird über die

Zwangskraft des Pendelfadens von der S hwingung der Masse

m2 beeinuÿt.

Ermitteln Sie mit Hilfe der Lagranges hen Glei hungen 1.Art

sowohl die Normalkraft zwis hen m1 und der Ebene als au h die

Bewegungsdierentialglei hungen des Systems (Die Zwangskraft

des Pendelfadens ist ni ht gesu ht!).

Geg.: m1, m2, l, g, µ

PSfrag repla ements

m1

m2

x

y

ϕ l

g

42. Eine masselose starre Stange ist am Punkt P aufgehängt. Im Abstand

r1 = l ist eine Punktmasse m1 befestigt. Auf der Stange gleitet auÿer-

dem eine zweite Punktmasse m2 reibungslos. Der Abstand der zweiten

Punktmasse vom Aufhängungspunkt P sei mit r2 bezei hnet. Die Federhat die Federsteigkeit k und die unverformte Länge l0.

Gesu ht sind die Bewegungsdierentialglei hungen und die Längskraft

in der Stange.

PSfrag repla ements

ϕ

m1

m2

kP

g


(b) Wel he generalisierten Koordinaten sind zu wählen? Wie lauten die Zwangsbedingungen?

( ) Formuliere die kinetis he und potentielle Energie in den gewählten Koordinaten.

(d) Wie lauten die Lagranges hen Glei hungen 1. Art?

(e) Leite nun die Bewegungsdierentialglei hungen und die Kraft in der Stange her.

(f) Wie lauten die Glei hgewi htslagen? Wel he Lagerkraft wirkt dann im Lager P?


20. September 2013


43. Auf einem ruhenden, parabelförmig gebogenen Draht ruts ht eine Perle

mit Reibung. Die S hwerkraft wirkt in negative y-Ri htung.

Stellen Sie die Bewegungsdierentialglei hung auf und bere hnen Sie

die Zwangskraft mit Hilfe der Lagrangeglei hungen 1.Art.

Geg.: m, g, y(x) = ax2, a = const., µ

PSfrag repla ements

m

x

y

g

44. Bei dem skizzierten Pendel tritt am Gelenk ein linear viskoses Reibmoment

der Gröÿe Mr = −rϕϕ auf (rϕ: Drehviskosität).

Stelle für folgende Koordinatensysteme die Lagrange-Glei hungen 1. Art

auf, werte diese aus, bestimme die Zwangskraftparameter, werte diese aus

und führe eine verglei hende Diskussion dur h.

(a) kartesis he Koordinaten (x, y) des Massenmittelpunktes C und Dreh-

winkel ϕ

(b) ebene Polarkoordinaten (r, ϕ) des Massenmittelpunktes C

Geg.: m, ΘC

, R, g, Mr = −rϕϕ

PSfrag repla ements

x

y

Mr

C

R

ϕg

m,ΘC

45. Mit Hilfe der Lagranges hen Glei hungen 1. Art bere hne man alle

Kontaktkräfte und die Bewegungsglei hung des skizzierten Systems.

g

r

m , ΘC

αϕ

46. An einer vertikalen A hse, die si h mit der Winkelges hwin-

digkeit ω dreht, ist unter dem Winkel α ein gerader Draht

befestigt, auf dem eine Perle der Masse m reibungsfrei glei-

tet.

(a) Stellen Sie die Lagrangeglei hungen 1.Art für die Zy-

linderkoordinaten r, ϕ, z auf.

(b) Lösen Sie die Bewegungsdierentialglei hung für

z(t) unter Berü ksi htigung der Anfangsbedingungen

z(0) = z(0) = 0.

( ) Ermitteln Sie die Zwangskräfte in Abhängigkeit der

Zeit.

(d) Bere hnen Sie die Energie der Perle und zeigen Sie,

daÿ der Energiegewinn dur h rheonome Zwangsarbeit

verursa ht wird.

Geg.: m, g, α, ω

PSfrag repla ements

m

z

x yα

ω

g

r


20. September 2013


47. Ein starrer Körper (Massenmittelpunkt C) hat die

Masse m und das Massenträgheitsmoment bezügli h

des Massenmittelpunktes ΘC. Er ist wie abgebildet am

unteren Ende über ein Loslager an die Umgebung ge-

koppelt und am oberen Ende über eine vorgespann-

te Feder. Die Feder hat die Federsteigkeit k und die

entspannte Länge 0. Im Punkt C greift zusätzli h eine

äuÿere Einzelkraft an. Das Loslager verursa ht viskose

Reibung (Dämpfungskoezient γ).

Es soll die ebene Bewegung des Pendels im S hwerefeld

der Erde mit Hilfe der Lagrange-Glei hungen 1. Art

untersu ht werden. Dazu werden als generalisierte Ko-

ordinaten die kartesis hen Koordinaten u := xB , v :=yB des Punktes B am Körper und der Drehwinkel ϕbenutzt.

Gegeben: g, a, h, m, ΘC, k, F , γ

PSfrag repla ements

Ausgangslage

(ϕ = 0)Ausgelenkte Lage

(ϕ > 0)

A

A

B

B

C

C

D=O

D

Oxx

yy

a

a

h

k

g

ϕ

m,ΘC

γ

FF

(a) Wieviele Koordinatenfreiheitsgrade hat das System? Wieviele Lagrange-Glei hungen

werden mit dem oben angegebenen Koordinatensatz entstehen? Wievielen Zwangsbedin-

gungen müssen diese Koordinaten genügen.

(b) Stellen Sie die kinetis he und die potentielle Energie des Systems als Funktionen der

generalisierten Koordinaten und Ges hwindigkeiten auf.

( ) Stellen Sie die Zwangsbedingungen und die Leistung der Restkräfte auf.

(d) S hreiben Sie die Lagrange-Glei hungen 1. Art zunä hst in allgemeiner Form und an-

s hlieÿend speziell für dieses System hin.

48. Ein viere kiger Klotz bewegt si h ohne abzu-

heben auf einem dreie kigen Prisma im Erd-

s hwerefeld. Zwis hen beiden besteht auÿer-

dem eine linear elastis he und eine linear vis-

kose We hselwirkung. Am S hwerpunkt des

Klotzes greift eine horizontale zeitli h ver-

änderli he Kraft F (t) an. Zwis hen Prisma

und Unterlage sei die Reibung zu verna h-

lässigen.

PSfrag repla ements

F (t)

m1

m2

α

ξ

g

x

y k

r

Stellen Sie die Lagrange-Glei hungen für folgende Koordinaten auf: x und y sind die kartesi-

s hen Koordinaten des Prismas, ξ ist die relative Vers hiebung des Klotzes gegen das Prisma,

bei ξ = 0 sei die Feder entspannt.

Geben Sie den Satz von Dierential- und algebrais hen Glei hungen an, mit denen si h die

Bewegung und die Zwangskraftparameter bestimmen lassen.

Geg.: k, r, α, m1, m2, F (t), g


20. September 2013


49. Auf einer s hiefen Ebene (Neigungswinkel α)bendet si h ein System aus einem Klotz (Mas-

se m1) und einem Vollzylinder (Masse m2, Ra-

dius r), die dur h eine starre Stange (Länge l,Masse verna hlässigbar) miteinander verbun-

den sind.

Der Klotz gleitet reibungsfrei über den Bo-

den und ist mittels einer Feder (Federsteig-

keit c, entspannt bei x1 = a) und eines linea-

ren Dämpfers (Dämpfungskonstante b) an die

Umgebung gekoppelt. Die Rolle führt eine rei-

ne Rollbewegung aus. An ihr greift auÿerdem

das Moment M an.

Mittels des Lagrange-Formalismus sollen die

Bewegungsglei hung des Systems und die

Kraft in der Stange bere hnet werden. Geg.:

g,m1,m2, r, l, a, α, b, c,M

PSfrag repla ements

x1b

c

g

lm1

m2, r

M

α

(a) Wählen Sie eine geeignete generalisierte Koordinate x2 zusätzli h zu x1, so dass mit

dem Lagrange-Formalismus die Stangenkraft bestimmt werden kann. Erklären Sie die

Bedeutung dieser Koordinate und geben Sie die Zwangsbedingung(en) an.

(b) Stellen Sie die Lagrange-Funktion in den beiden generalisierten Koordinaten x1 und x2auf.

( ) Bes hreiben Sie den Einuss des Dämpfers und des Momentes M mittels Dissipations-

funktion bzw. generalisierter Kraft.

(d) Stellen Sie die Lagrange-Glei hungen 1. Art auf.

(e) Bestimmen Sie die Bewegungsglei hung(en) und die Kraft in der Stange.


20. September 2013


3 Verfahren von Ritz

50. Für das aus zwei Stäben und einer linearen Feder bestehende

System ist näherungsweise die Horizontalvers hiebung des

Punktes A zu bestimmen, wenn an diesem wie skizziert mit

der Kraft F gezogen wird. Zur Lösung dieser Aufgabe sind

folgende Teils hritte zu bearbeiten:

(a) Für die Biegelinie beider Berei he ist jeweils ein Po-

lynom 3.Grades als Ansatzfunktion zu wählen. Passen

Sie diese Ansatzpolynome den geometris hen Randbe-

dingungen an; fordern Sie zudem, daÿ die das Moment

betreenden Randbedingungen erfüllt sind.

(b) Stellen Sie das Energiefunktional Π = A−W auf.

( ) Bere hnen Sie dur h Extremalisierung dieses Funktio-

nals (δΠ = 0) die no h unbestimmten Koezienten

und geben Sie die Näherungslösung für die Horizon-

talvers hiebung im Punkte A an.

Gegeben: l, EI, cf = 2EIl3

, F

APSfrag repla ements

l

x1 x2

w1 w2

EI 3EI

cf

F

51. Dargestellt ist ein Balken unter der Last q0.Am re hten Ende ist eine Drehfeder (Feder-

steigkeit cM ) angebra ht. Bestimmen Sie eine

Näherungslösung für die Dur hsenkung w(x).

Verwenden Sie den Ansatz

w(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3. Gehen Sie wie

folgt vor:

PSfrag repla ements

l

x

wEI

cM

q0

ϕ

(a) Passen Sie den Ansatz an die 3 geometris hen Randbedingungen an. Eliminieren Sie a0,a1 und a2, und geben Sie die angepasste Ansatzfunktion an.

(b) Bere hnen Sie die Formänderungsenergie W und die äuÿere Arbeit A. Die Formände-

rungsenergie einer Drehfeder bere hnet si h aus WF = 1

2cMϕ

2.

Hinweis: Es gilt ϕ(x = l) = −w′(x = l).

( ) Bere hnen Sie den Freiwert a3 aus der Bedingung δ(W − A) = 0, und geben Sie damit

die Näherungslösung an.

52. Bestimmen Sie für den skizzierten Balken mit Hilfe des

Ritzs hen Verfahrens eine Näherungslösung für die Bie-

gelinie w(x). Passen Sie zunä hst die Ansatzfunktion

den geometris hen Randbedingungen an.

Ansatz: w(x) = a0 + a1 cos(π xl) + a2 sin(π x

l)

Geg.: l , EI, c, F

PSfrag repla ements

c

F

ll

x

z, w

EI


20. September 2013


53. Mit Hilfe des Ritzs hen Verfahrens bere hne

man die Dur hsenkung des skizzierten Balkens

an der Stelle x = 2l. Als Ritzansatz soll folgen-de Funktion verwendet werden:

w(x) = a0 + a1x+ a2 cosh(xl)

Gegeben: M0, EI, c, l

PSfrag repla ements

ll

x

w

EI

c

M0

54. Im folgenden soll die Längsvers hiebung eines einsei-

tig eingespannten Stabes mit linear veränderli hem

Quers hnittsradius r im S hwerefeld der Erde (Erd-

bes hleunigung g) untersu ht werden. Es seien linear-

elastis hes Material, ein eindimensionaler Spannungs-

zustand, über die Stablänge l konstante Di hte ρ und

E-Modul E vorausgesetzt. Für die Radien r0 = r(x =0) und r1 = r(x = l) gelte die Beziehung r1 = 2

3r0.

Zudem gilt r ≪ l.

(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion, die den geo-

metris hen Randbedingungen genügt. Bere hnen

Sie nun näherungsweise die Absenkung des freien

Endes.

(b) Verglei hen Sie das Ergebnis mit dem exakten

Ergebnis.

PSfrag repla ements

x

l r(x)

55. Ermitteln Sie mit dem Ritzs hen Verfahren für das

skizzierte System die Dur hbiegung an der Stelle x =ℓ/2. Verwenden Sie dazu den folgenden Ansatz, na h-

dem Sie ihn an die geometris hen Randbedingungen

angepaÿt haben.

Ansatz: w(x) = a2x2 + a1x+ a0

Geg.: EI, c, qo, ℓ

PSfrag repla ements

cc

z

xEI

1

6ℓ1

6ℓ 2

3ℓ

q0

56. Ein Kragbalken der Länge L mit konstanter Biegesteig-

keit EI ist mit einer wie skizziert linear verteilten Stre ken-

last q und einer in der Mitte angreifenden Kraft F belastet.

Die Vers hiebung des freien Balkenendes soll mit dem Ver-

fahren von Ritz näherungsweise bestimmt werden.

Geg.: EI, L, F , q0

PSfrag repla ements

F

q0

L2

L2

(a) Passen Sie die Ansatzfunktion w(x) = ax3 + bx2 + cx + d für die Biegelinie an die

geometris hen Randbedingungen an und berü ksi htigen Sie zusätzli h, dass am freien

Balkenende das Biegemoment vers hwindet, M(x = L) = 0.

(b) Bestimmen Sie die Vers hiebung des freien Balkenendes mit dem Verfahren von Ritz.

Benutzen Sie dabei die angepasste Ansatzfunktion.


20. September 2013


57. Bestimmen Sie eine Näherung für die Biegelinie w(x). Ver-wenden und diskutieren Sie den Ritz-Ansatz

w(x) =

n∑

k=1

Ck sin

(kπx

l

)

Verglei hen Sie das Ergebnis mit der analytis hen Lösung.

Geg.: EI, P , q0, l

PSfrag repla ements

x

z

q0

P

EI

ll

58. Bere hnen Sie mit einem eingliedrigen Po-

lynomansatz die kritis he Kni klast für das

dargestellte System.

Geg.: l, cT , cf , EI

PSfrag repla ements

1

2l1

2l1

2l

EI

cf

cTx

z

P

59. Ein massebehafteter Balken (Länge l, Biegestei-gkeit EI, Massebelegung µ) ist bei A gelen-

kig gelagert und bei B in eine Hülse geste kt,

die dem Balken dort eine horizontale Tangente

aufzwingt. Die Hülse (Masse m) kann auf einer

starren Stange in vertikaler Ri htung reibungs-

frei gleiten. Der Balken s hwingt auss hlieÿli h

in Querri htung.

PSfrag repla ements

x

wEI, µ

l

m

glatt, starr

A

B

(a) Wählen Sie eine Ansatzfunktion (z.B. eine harmonis he Funktion), die den geometris hen

Randbedingungen genügt.

(b) Bestimmen Sie nun die bezogene kinetis he und maximale potentielle Energie des Sy-

stems.

( ) Bere hnen Sie s hlieÿli h eine Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz ω1?

Geg.: EI, l, m, µ

Hinweis:

∫sin2 ax dx = x

2− 1

4asin 2ax

60. Für den skizzierten Balken mit federnder Lagerung er-

mittle man mit Hilfe des Energiequotienten die erste

Eigenkreisfrequenz der Tranversals hwingung.

Man verwende den Polynomansatz niedrigster Ord-

nung, der alle Randbedingungen bis zur zweiten Ab-

leitung der Biegelinie erfüllt.

PSfrag repla ements

k

EI, ,A

ℓ

x

Geg.: EI, ,A, k, ℓ


20. September 2013


61. Für den skizzierten einseitig fest eingespannten und am an-

deren Ende gelenkig gelagerten Balken ermittle man na h

Ritz die erste Eigenkreisfrequenz und verglei he sie mit dem

exakten Wert:

ω1, exakt = 15, 421

l2

√EI

ρA

Warum ist die Näherungslösung zu groÿ?

Ansatzfunktion:

w(x, t) = x2(l − x)2q(t)

Geg.: ρ, A, EI, l

PSfrag repla ements

l

ρ, EI, A

62. Bere hnen Sie die beiden ersten Eigenkreisfrequenzen des skiz-

zierten Balkens näherungsweise mit einem zweigliedrigen An-

satz na h Ritz:

w(x, t) = ϕ1(x)q1(t) + ϕ2(x)q2(t) .

Verwenden Sie die Ansatzfunktionen

ϕ1(x) =x

l; ϕ2(x) = sin

πx

l.

Geg.: l, EI, c, ρA, c = π4EI2l3

, EI = onst.

l

EI r, A

x c

63. Der dargestellte Stab führt infolge einer einmaligen Anregung Longitudinals hwingungen aus.

Mit dem Verfahren von Rayleigh-Ritz soll eine Näherungslösung für die erste Eigenkreisfre-

quenz bestimmt werden. Verwenden sie den Ritz-Ansatz

u(x, t) = x2(3l − 2x)q(t)

PSfrag repla ements

x, u(x, t)

ρ, A, E, l

und gehen Sie wie folgt vor:

(a) Prüfen Sie, ob die Ansatzfunktion u(x, t) die geometris hen Randbedingungen erfüllt.

(b) Stellen Sie unter Verwendung der Ansatzfunktion die Lagrange-Funktion für den Stab

auf.

( ) Bestimmen Sie daraus eine Näherungslösung für die erste Eigenkreisfrequenz.

Geg.: ρ, A, E, l


20. September 2013


64. Der skizzierte Betons hornstein konstanter Wandstärke führt Biege-

s hwingungen aus.

(a) Überprüfe die angegebene Funktion ϕ(x) auf ihre Brau hbar-keit als Ansatz für eine näherungsweise Bestimmung der ersten

Eigenkreisfrequenz (na h Ritz).

(b) Bestimme näherungsweise die niedrigste Eigenfrequenz des Sy-

stems!

ϕ(x) = l4[6(xl

)2

− 4(xl

)3

+(xl

)4]

Geg.: l, E, ρ, ra, Ra = 2ra , Ra −Ri =1

2ra R i

R a

l

ra

x

y

65. Das abgebildete System besteht aus einem elastis hen, massebehaf-

teten Stab (Di hte ρ, Länge l, Quers hnittsä he A, E-Modul E)und einer Endmasse m.

Mit Hilfe eines eingliedrigen Ansatzes na h Ritz soll näherungsweise

die erste Eigenkreisfrequenz bere hnet werden, wobei die Längsver-

s hiebung der Punktmasse den Freiheitsgrad q(t) beinhaltet. Als

Formfunktion ist ein linearer Ansatz zu wählen.

Geg.: l, E, A, ρ, m, g,

PSfrag repla ements

E, A, ρ, l

m

g

66. Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigen-

frequenz des gegebenen Systems.

Passen Sie zunä hst die Ansatzfunktion den

geometris hen Randbedingungen an!

Ansatz:

W1(x) = a0 + a1x+ a2 cosh(xl)

Geg.: EI, c, l, µ

Hinweis:

∫cosh2 ax dx = x

2+ 1

4asinh 2ax

PSfrag repla ements

ll

x

w

EI, µ

c


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67. Betra htet wird ein Stabwerk aus zwei iden-

tis hen Stäben (Länge l, Dehnsteigkeit EA,Massebelegung µ). Am oberen Ende sind die

Stäbe gelenkig an die Umgebung angebunden.

Am unteren Ende sind beide Stäbe gelenkig

mit einer Punktmasse m verbunden. Betra h-

tet werden auss hlieÿli h kleine Vertikalbewe-

gungen der Punktmasse. Vereinfa hend sei an-

genommen, daÿ beide Stäbe stets glei h s hwin-

gen.

PSfrag repla ements

1

2

√2l

√2l

EA, µ

m

Im folgenden soll mit vers hiedenen Verfahren die niedrigste Eigenkreisfrequenz bzw. eine

Näherung für die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems bestimmt werden.

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das abgebildete System?

(b) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen?

( ) Leite die Bewegungsdierentialglei hungen und die dynamis hen Randbedingungen für

das untersu hte System her.

(d) Wie lautet die Frequenzglei hung des untersu hten Systems? Bestimme nun für µ = m10l

die niedrigste Eigenkreisfrequenz des Systems.

Hinweis: Die kleinste positive Lösung der Glei hung 10χ tanχ = 1 ist χ1 ≈ 0, 3111.

(e) Wel he Eigenkreisfrequenz erhält man für µ = m10l

, wenn man einen linearen Ritz-Ansatz

für die Längsvers hiebung der Stäbe wählt?

(f) Verna hlässigt man die Stabmasse gegenüber der Punktmasse, erhält man einen Ein-

massens hwinger. Bestimme die zugehörige Eigenkreisfrequenz mit dem zweiten Satz

von Castigliano. Verglei he die drei Ergebnisse miteinander.

68. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreis-

förmigem Quers hnitt trägt an seinem Ende eine

Einzelmasse m. Geeignete Anfangsbedingungen las-

sen den Stab um seine Längsa hse s hwingen.

Bestimmen Sie näherungsweise die erste Eigenkreis-

frequenz.

Geg.: l, r, m, G, Ip, A,

PSfrag repla ements

G, Ip, A,

m

r

ϑ

x

yz

l


20. September 2013


4 Sätze von Castigliano

69. Gegeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion.

Bere hnen Sie unter Verwendung des ersten Satzes von

Castigliano die Dur hsenkung an der Stelle A.

Gegeben: l, q0, E, I, der Balken sei s hubstarr

PSfrag repla ements

q0

l 2lA BE, I

70. Für den skizzierten s hubstarren Träger mit der kon-

stanten Biegesteigkeit EI ist mittels des ersten Sat-zes von Castigliano die Lagerkraft an der Stelle B zu

bestimmen.

Gegeben seien die Gröÿen: l, EI, q0

PSfrag repla ements

q0

l

B

EI

71. Ein Balken (Länge 2l, Biegesteigkeit EI) ist

mit drei Stäben (Dehnsteigkeit EA) statis h be-

stimmt gestützt. Bere hnen Sie mit Hilfe des Sat-

zes von CASTIGLIANO die Vers hiebung des

Punktes B in Ri htung der Kraft F .

Geg.: l, EI, EA

PSfrag repla ements

F

ll

3030A B

C

x

y

12

3

72. Alle Stäbe des Fa hwerks haben die glei he Quers hnittsä-

he A und den glei hen E-Modul E. Bere hne die vertikaleVers hiebung des Lasteinleitungspunktes C unter der Ein-

wirkung der äuÿeren Last P .

Geg.: P , l, E, A

PSfrag repla ements

P

l

l

1

2

3

4

5

AB

C

D

73. Bere hnen Sie für den skizzierten s hubstar-

ren Balken(Länge 2l, Biegesteigkeit EI) un-ter Verwendung des Satzes von Castigliano

die Dur hsenkung an der Stelle C (x = l).

PSfrag repla ements

EI

q0

A

B

C

x

z,w

ll

Geg.: q0, EI, l


20. September 2013


74. Das abgebildete Fa hwerk aus 7 Stäben mit der

Dehnsteigkeit EA ist innerli h statis h bestimmt.

Aufgrund der Lagerung in den Punkten B, C, D

ist das Fa hwerk äuÿerli h einfa h statis h überbe-

stimmt.

Die (komplementäre) Formänderungsenergie eines

longitudinal gedehnten Stabes beträgt:

UStab

=1

2

∫ x1

x0

N2

EAdx

17

4

53

6

2

PSfrag repla ements

A

B

C

D

E

l

ll

FA

(a) Ma hen Sie die Lagerung des Fa hwerks statis h bestimmt, indem Sie das Lager bei B

entfernen und dort die Lagerkraft FB einführen. Bestimmen Sie dann die Kräfte in den

Stäben, z.B. indem Sie die Knoten A, B und E freis hneiden.

(b) Bere hnen Sie nun die (komplementäre) Formänderungsenergie U des Fa hwerkes als

Funktion der Kräfte FA und FB .

( ) Nutzen Sie im folgenden die (komplementäre) Formänderungsenergie

U =l

EA

[aF 2

A + bFAFB + cF 2

B

],

mit den bekannten Konstanten a, b und c. Bere hnen Sie die Lagerkraft FB .

(d) Wie groÿ ist die statis he Dur hsenkung in vertikaler Ri htung uA am Punkt A?

(e) An der Stelle A sei nun statt der Kraft FA eine Punktmasse m angebra ht. Die Masse

der Stäbe soll gegenüber dieser Punktmasse verna hlässigt werden.

Betra htet werden auss hlieÿli h vertikale S hwingungen der Punktmasse m. Das Fa h-

werk verhält si h dann wie eine lineare Feder. Wie groÿ ist die Ersatzfedersteigkeit?

Wel he Eigenkreisfrequenz hat das System?

Geg.: FA, l, EA, m

75. Ein Fa hwerk aus 9 Stäben ist in A und D gelagert. Im Punkt B wirkt eine vertikale Kraft P .Die Stäbe haben alle die glei he Quers hnittsä he A und den glei hen E-Modul E.

PSfrag repla ements

P Pl

l

lll

l

ll

Variante 1 Variante 2

11 2 23 3

4 45 56

6

77 88

99

AA

B BC C

DD

EE FF

Es werden zwei vers hiedene Varianten vorges hlagen (siehe Bild). Wel he Variante ist zu

wählen, wenn die vertikale Dur hsenkung in B mögli hst klein sein soll? Wie groÿ ist die

Dur hsenkung im besseren Fall?

Geg.: P , l, E, A


20. September 2013


76. Der dargestellte Balken ist mit einer linearen Stre ken-

last beaufs hlagt. Es ist die Verdrehung an der Stelle

x = l unter Verwendung des Satzes von Castigliano zu

bestimmen.

Geg.: EI, l, qo

PSfrag repla ements

ex

ez 3l

q0

EI

A

B

(a) Überführen Sie das System in ein äquivalentes, statis h bestimmtes Ersatzsystem indem

Sie das Lager bei A dur h eine Kraft ersetzen. Bestimmen Sie diese.

(b) Bestimmen Sie nun den Verdrehwinkel ϕl des Balkens an der Stelle x = l. Gehen Sie

dabei davon aus, dass A = − 3

10q0lez die Ersatzkraft an der Stelle A ist.

77. Bere hne mit Hilfe des Satzes von Castigliano die Biegelinie w(x) desskizzierten Kragarms mit der Biegesteigkeit EI unter Einwirkung der

Einzellast F am freien Ende.

Geg.: F , l, EI

PSfrag repla ements

F

l

EIx

78. Am Ende des skizzierten s hubstarren Balkens mit der Biegesteigkeit EI greifen ein Mo-

ment M0 und eine Einzellast F an.

(a) Bere hne die das elastis he Potential Uel des Systems. Bestim-

me nun mit dem ersten Satz von Castigliano die Dur hsen-

kung w1(l) und den Biegewinkel ϕ1(l) am re hten Ende des

Balkens (x = l).

(b) Bere hne den Biegewinkel ϕ2(l) am re hten Balkenende für

den Fall M0 = 0.

PSfrag repla ements

F M0

l

EIx

Geg.: M0, F , EI, l

79. Der skizzierte dehn- und s hubstarre Träger mit der konstanten Biegesteigkeit EI ist einfa hstatis h unbestimmt.

(a) Ma hen Sie das System statis h bestimmt, indem Sie

das Lager an der Stelle B dur h eine no h zu bestim-

mende Kraft ersetzen.

(b) Unterteilen Sie den Balken in zwei Berei he, und er-

mitteln Sie den Momentenverlauf analytis h.

( ) Ermitteln Sie die Ableitung der Formänderungsener-

gie, und bestimmen Sie die eingeführte unbekannte

Kraft.

(d) Geben Sie alle Lagerkräfte bzw. -momente an.

Gegeben seien die Gröÿen: l, E, I, q0

PSfrag repla ements

x

z

A

B C

l2l

q0


20. September 2013


80. Ein re htwinkliger, einhüftiger Tragrahmen wird wie skizziert

dur h die Stre kenlast q(x) belastet. Der Rahmen wird als

s hubstarr angesehen.

Bere hnen Sie mit den Sätzen von CASTIGLIANO die Lager-

reaktionen an den Orten A und B.

Gegeben seien die Gröÿen: h, l, E, I, c, q0

PSfrag repla ements

A

B

EI

h

l

c

q0

81. Ein Fa hwerk aus 5 Stäben ist in A und C gelagert. Im Punkt C wirkt eine vertikale Kraft F .Die Stäbe haben alle die glei he Quers hnittsä he A und den glei hen E-Modul E.

PSfrag repla ements

FF

l

l

l

l

Variante 1 Variante 2

11

22

3 3

4 4

5 5

AAB B

C

C

D D

Es werden zwei vers hiedene Varianten vorges hlagen (siehe Bild).

(a) Wel he Variante ist zu wählen, wenn die vertikale Dur hsenkung in C mögli hst klein

sein soll? Begründen Sie Ihre Ents heidung dur h geeignete Bere hnungen. Wie groÿ ist

die Dur hsenkung im besseren Fall?

(b) Wel he Gesi htspunkte könnten bei der Auswahl auÿerdem eine Rolle spielen.

Geg.: P , l, E, A

82. Bere hnen Sie die vertikale Vers hiebung bei C und die

Verdrehung in B mit dem ersten Satz von Castigliano.

Geg.: F , a, b, EI

PSfrag repla ements

F

l

a b

A B C

83. Bere hnen Sie die Auagerreaktionen mit dem er-

sten Satz von Castigliano.

Geg.: q, l, EI

PSfrag repla ements

q

llA B C


20. September 2013


5 Prinzip der kleinsten Wirkung

84. Ein Balken (Länge l, Massebelegung µ, Biege-steigkeit EI) ist bei A gelenkig gelagert und

bei B in eine Hülse geste kt, die dem Balken

dort eine horizontale Tangente aufzwingt. Die

Hülse (Masse m) kann auf einer starren Stange

in vertikaler Ri htung reibungsfrei gleiten. Der

Balken s hwingt auss hlieÿli h in Querri htung.

Leite die Bewegungsdierentialglei hungen und

die dynamis hen Randbedingungen mit dem

Prinzip der kleinsten Wirkung her.

Geg.: EI, µ, l, m

PSfrag repla ements

x

wEI, µ

l

m

glatt, starr

A

B

85. Ein bei x = 0 eingespannter Balken (Länge l, Biegestei-gkeit EI = konst., Massenverteilung µ = konst.) mit der

Endmasse m an der Stelle x = l soll Eigens hwingungendur hführen. Mit Hilfe des Hamilton Prinzips sind die dy-

namis hen Randbedingungen und die Bewegungsdieren-

tialglei hung zu ermitteln.

PSfrag repla ements

EI, µ

x

w(x, t)

l

m

Geg.: EI, l, µ, m.

Hinweis: Die Formänderungsenergie des Biegebalkens beträgt UBalken

= 1

2

∫ x2

x1EIw′′(x)2dx.

86. Zwei Stäbe (Längen l1, l2 Quers hnittsä hen A1, A2, E-

Moduln E1, E2 und Di hten ρ1, ρ2) sind wie skizziert mit-

einander verbunden und links fest eingespannt. Das System

s hwingt auss hlieÿli h in Längsri htung.

Benutze zur Formulierung der Bewegungsdierentialglei-

hungen und Randbedingungen die eingezei hneten raum-

festen Koordinaten x1 und x2.

PSfrag repla ements

x1 x2

E1, A1, ρ1, l1 E2, A2, ρ2, l2

(a) Wie lauten die geometris hen Rand- und Übergangsbedingungen für das dargestellte

System?

(b) Formuliere die kinetis he und potentielle Energie für das Gesamtsystem.

( ) Leite nun die Bewegungsdierentialglei hungen und die dynamis hen Randbedingungen

mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung her!

(d) Mit wel hem Ansatz kann man die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen? Wieviele

Eigenfrequenzen hat das System?

Geg.: E1, E2, A1, A2, ρ1, ρ2, l1, l2


20. September 2013


87. Gegeben ist der skizzierte homogene Dehnstab.

(a) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen für das System?

(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T und die potentielle Energie U für

das Gesamtsystem.

( ) Formulieren Sie das Prinzip von Hamilton für das untersu hte System.

(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis hen

Randbedingungen her.

Geg.: µ, A, E, l

PSfrag repla ements

l

x, u

88. Ein Kragbalken wird wie abgebildet dur h ein Moment

am re hten Rand belastet.

(a) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen

für das System?

(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T , die po-tentielle Energie U sowie die virtuelle Arbeit δWfür das Gesamtsystem.

PSfrag repla ements

x

z,w(x, t)

ME(ℓ, t)

EI, µ, l


(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis hen Randbedingun-

gen her.

Geg.: EI, µ := ρA, l,ME =M(t)

89. Ein elastis her, massebehafteter Balken

(Biegesteigkeit EI, Länge L, Quer-

s hnittsä he A und Di hte ρ) ist linksund re hts gelenkig gelagert. An beiden

Enden greift ein periodis hes Moment

M(t) =M0 cos Ωt an.

PSfrag repla ements

EI, µ

L

x

A B

M(t) M(t)

(a) Wie lauten die geometris hen Randbedingungen für das System?

(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T , die potentielle Energie U sowie die virtuelle

Arbeit δW für das Gesamtsystem.


(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis hen Randbedingun-

gen her.

Geg.: M0, Ω, L, EI, A, µ


20. September 2013


90. Ein massebehafteter elastis her Stab (Dehnsteigkeit EA,Massebelegung µ, Länge l) ist am linken Rand (x = 0)fest eingespannt und trägt am re hten Rand (x = l) einePunktmasse m. Die Punktmasse ist auÿerdem über eine

Feder (Steigkeit k) an die Umgebung gekoppelt.

PSfrag repla ements x

m

k

EA, µ, l

Die Feder sei entspannt, wenn der Stab unverformt ist. Es werden auss hlieÿli h Längss hwin-

gungen u (x, t) betra htet.

(a) Wie lautet die geometris he Randbedingung für das System?

(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T und die potentielle Energie U des Gesamtsystems.


(d) Leiten Sie die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis he Randbedingung her.

Geg.: m, k, l, EA = konst., µ := ρA = konst.,

91. Gegeben ist ein einfa hes Modell für S hwingungen

eines Gleisbetts unter Einwirkung eines mit der Ge-

s hwindigkeit v in x-Ri htung bewegten Eisenbahn-

radsatzes. Die S hiene wird dur h einen s hlanken

Euler-Bernoulli-Balken (µ,EI = konst.) und

das S hotterbett und die S hwellen dur h die kon-

stante elastis he Bettung c0 abgebildet.

PSfrag repla ements

v · tF

x

w(x, t) l

µ,EI

c0

Der Balken ist auÿerdem in der skizzierten Weise gelagert. Die S hwerkraft des Balkens wird

verna hlässigt. Der bewegte Radsatz wird dur h eine Einzelkraft F abgebildet, die si h zum

Zeitpunkt t an der Stelle x = v · t bendet.

(a) Geben Sie mit Hilfe der Deltafunktion δ(ξ) die wirkende Einzelkraft F als Stre kenlast

q(x, t) an.

(b) Ermitteln Sie die kinetis he Energie T , die potentielle Energie U und die virtuelle Arbeit

δW der potentiallosen Kräfte und Momente für 0 ≤ t ≤ lv.

( ) Geben Sie die geometris hen Randbedingungen an.

(d) Ermitteln Sie über das Prinzip von Hamilton die Bewegungsdierentialglei hung und

die dynamis hen Randbedingungen für 0 ≤ t ≤ lv.

Geg.: F , v, µ := ρA, EI, l, c0

92. Eine (dehnstarre) Saite der Länge l wird mit Fs vorge-

spannt und trägt die Masse pro Länge µ := ρA. LeitenSie die Bewegungs-Dierentialglei hung mit dem Prin-

zip der kleinsten Wirkung (Prinzip von Hamilton) her.

Geg.: Fs, µ, l

PSfrag repla ements

Fs

z, w(x, t)

ρA

x

l


20. September 2013


93. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisför-

migem Quers hnitt trägt an seinem Ende eine Einzel-

masse.

(a) Wie lautet die geometris he Randbedingung für

das System?

(b) Bere hnen Sie die kinetis he Energie T und die

potentielle Energie U für das Gesamtsystem.

PSfrag repla ements

G, Ip, A, ρ

m

rϑ(l)

x

yz

l


(d) Leiten Sie nun die Bewegungsdierentialglei hung und die dynamis he Randbedingung

her.

Geg.: l, m, G, Ip, A, ρ, r

der · 2013-09-20 · Arb eiten ählt ausgew erden. w Lösungen zu den utoriums- T und Hausaufgab...

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