Der Einsatz von Computeralgebrasystemen in … · Übergangsmatrizen Stochastik. Greefrath...

Greefrath Bergische Universität WuppertalFriedensschule Münster

Soest 22. September 2006

Der Einsatz von Computeralgebrasystemen

in Abiturprüfungen

Dr. Gilbert Greefrath

Bergische Universität WuppertalFriedensschule Münster




Ausgangslage

Zentrale Prüfungenmit (und ohne) CAS

Verwendungverschiedener

Werkzeuge

Aufgabeninhalt und -kontext



Erfahrungen mit CAS an der Friedensschule Münster

• Erfahrungen in 3 „Sinus-Grundkursen“ mit CAS-Handhelds (Classpad) (Abitur 2005, 2006)

• Erfahrungen in 2 Leistungskursen mit CAS (Derive) (Abitur 2006)

• Einführung von CAS-Handhelds in allen Kursen des 11. und 12. Jahrgangs zum Schuljahr 2006/07.



Aufgabeninhalt und -kontext

Was ändert der Einsatz von Computeralgebrasystemen in Unterricht und Abiturprüfungen?

• Aus Sicht der Schülerinnen und Schüler

• Aus Sicht der Lehrerinnen und Lehrer



Aufgabeninhalt und -kontext aus Sicht der Schülerinnen und Schüler

• Komplexere Aufgaben• Weniger Theorie • Einfacher• andere Aufgabenstellungen• Lange Rechnungen entfallen• kein großer Unterschied• keine Rechnungen sondern

Lösungswege gefragt • Mehr Anwendungsaufgaben

• Schwerer• umständlicher• komplizierter• schwieriger

Befragt wurden drei Grundkurse nach 2 Jahren Arbeit mit einem CAS-Handheld.



Aufgabeninhalt und -kontext aus Sicht von Lehrern

• mehr Modellierungen, mehr Anwendungen (da z.B. Zahlwerte unrelevant werden)

• Realitätsbezug • stupide Berechungen werden durch Realitätsbezug

ersetzt• mehr Beschreibungen des Lösungsweges• mehr Verständnisaufgaben, Rechenweg untergeordnet

wichtig• offene Aufgaben (müssen dann anders bewertet

werden)• Erleichterung bei Rechnungen

Befragt wurden sechs Kollegen verschiedener Schulen, die Unterrichtserfahrung mit CAS haben.



Trends der Aussagen

• Schülerinnen und Schüler nennen den gestiegenen Realitätsbezug seltener als Lehrerinnen und Lehrer

• Vielen Schülerinnen und Schülern erscheinen die Aufgaben schwieriger

• Was ändert sich wirklich?



Aufgabenbeispiel: Anlegestelle für den Kanuclub

Ein Kanuclub möchte für ein neues Clubhaus mit Anlegestelle ein Grundstück an der Wupper erwerben. Der bisherige Eigentümer, ein Landwirt, bietet das Grundstück über einen Makler zu einem Preis von 12€ pro m2

an. Die Vermessung ergab eine Breite von 460m. Von der Mitte der geraden Gebietsgrenze beträgt die Distanz zum Wasser 50m.

Aus dem Sinus-Materialpool zur Vorbereitung der Vergleichsklausur NRW 2005.



Ohne CAS Mit CAS




Vergleich ohne CAS – mit CAS

a) Erläutern Sie, dass der Uferverlauf im ange-gebenen Koordinatensystem durch

beschrieben wird und berechnen Sie a. (Kontrollergebnis: )

b) Berechnen Sie den Kaufpreis für das Grund-stück.

a) Ermitteln Sie eine Funktion, die den Uferverlauf beschreibt bzgl. eines geeigneten Koordinatensystems und berechnen Sie die Höhe des Kaufpreises.

2( ) ( 460)f x ax x= −

1

243340a = −




Möglichkeiten von Aufgaben mit CAS

• weniger kleinschrittig

• keine Funktionsgleichung vorgeben

• kein Koordinatensystem vorgeben

• Aufgabe offener formulieren



CAS-spezifische Vorgaben Zentralabitur NRW 2007

• Zwei Gruppen: 1) mit WTR oder GTR2) mit CAS

• Im Grundkurs mit CAS: Zusätzlichganzrationale Funktionenscharen

• Sonst keine inhaltlichen Unterschiede!?



• Wie können die inhaltlichen Möglichkeiten bei CAS-Aufgaben ausgeschöpft werden?

• Problem: Kontexte für zentrale Prüfungen müssen allgemein verständlich sein.



Beispiele für verwendete Aufgabenkontexte

• Brücke• Tunneleingang• Dinosaurierrücken• Länge von Forellen• Verkehrsrate• Weg zwischen zwei Märkten• Kundenwanderungen• Krankheitsverlauf• Schwarzfahrer• Telefontarife• Lose

Analysis: Beschreibung einer „realen“ Kurve

Analysis: Auswertung von Messdaten

Übergangsmatrizen

Stochastik



• Schwierig und selten: (Außermathematische) Kontexte für Aufgaben aus dem Bereich Lineare Algebra / Analytische Geometrie (ohne Matrizen).

Häufig findet man innermathematische Aufgaben oder künstliche Anwendungskontexte.



Verschiedene CAS-Systemein zentralen Abiturprüfungen

Stärken und schwächen einzelner Systeme sollten nicht zu stark ins Gewicht fallen

• Handhabung

• Rechentechnische Möglichkeiten

• Rechengeschwindigkeit



Handhabung: Grafikqualität

Grafik PC-Version ClassPad Grafik von Derive 6



Handhabung: Übersichtlichkeit

PC-Version

Handheld-Version



Handhabung: Bedienung

•Stift-/Tastatur-Kombination

•PC-Tastatur

•Mini-Tastatur



Aufgabenbeispiel Die Brücke über den Großen Belt

Mitte 1998 wurde in Dänemark eine Verbindung über den Großen Belt eingeweiht. Hauptbestandteil ist die Ostbrücke – eine 6790 Meter lange Hängebrücke – mit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m. Die Durchfahrtshöhe für den Schiffverkehr beträgt 65m, die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Höhe über dem Meeresspiegel die größte Erhebung Dänemarks. Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca. 3m über der Fahrbahn.

Quelle: Mühlenfeld. Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW.



x

189

812

3

( ) ( )

(0) 3

(812) 189

bx bxg x a e e

g

g

−

= +

=

=

Das Kabel lässt sich annähernd auch durch den Graphen der Funktion g mit

( ) ( ); , 0b x b x

g x a e e a b⋅ − ⋅

= ⋅ + >

beschreiben. Bestimmen Sie a und b.

Quelle: Mühlenfeld. Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW.



Lösung mit Derive 6

Voyage 200 nach längerer Rechenzeit entsprechend.



Lösung mit Classpad (3.0)



Aufgabenbeispiel: Exponentielle Regression

Quelle: Pallack. Aufgabenbeispiel für Zentralabitur CAS 2007 NRW.

Modellieren Sie den verbleibenden Kopf- und Schwanzbereich jeweils durch geeigneteFunktionen und begründen Sie in beiden Fällen Ihre Wahl.

In der Lösung wird eine exponentielle Regression vorgeschlagen.



Exponentielle Regression mit Derive 6

ln( ) ln( )

bxy ae

y a bx

=

= +

Mit Derive 6 ist eine zusätzliche Überlegung nötig:

Mit dem Rechner wird nur eine lineare Regression durchgeführt.



Exponentielle Regression mit dem Classpad



Übersetzungsprozesse

MathematischeLösung

Mathematische Sprache

AlltagsspracheBefehlssprache

Rechner-Lösung

Aufgaben-Lösung



Standard-Techniken zur Lösung von CAS-Aufgaben im Abitur

Bereich Analysis• Gleichung lösen:

Exponentialgleichung (auch numerisch), Wurzelgleichung, Quadratische (Un-)gleichung, etc.

• Gleichungssystem lösen: Exponential-Gleichungssystem, LGS

• Regression bestimmen: Exponentielle, lineare, …

• Ableitung, Stammfunktion, Integral berechnen• Funktionswerte berechnen




Bereich Lineare Algebra• Eigenwerte, Eigenvektoren bestimmen

• Matrizen multiplizieren / potenzieren

• Matrizen und Vektoren multiplizieren

• Lineare Gleichungssysteme lösen

• Evtl: Länge, Winkel von Vektoren




Bereich Stochastik

• Binomialverteilung

• Evtl. andere Verteilungen

• Gleichungen lösen



Offene Fragen

• Welche Standard-Techniken mit CAS können / sollen von Schülerinnen und Schülern im Abitur verlangt werden?

• Ggf.: Welche Standard-Techniken sollen ohne CAS möglich sein?

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