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A L I

Jahrgang 43 Heft 1-8

Jan.-Dez. 1990

Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht

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TÜMMLER

FÖRDERVEREIN M N U Deutscher V e r e i n z u r Förderung des mathemati ­schen u n d naturwissenschaft l ichen Unterr ichts e .V.

Der Vere in ist durch Verfügung des Finanzamtes für Körperschaften i n H a m b u r g als gemeinnützig aner­kannt. D ie Beiträge werden nur für satzungsgemäße Zwecke verwendet.

F E R D . D Ü M M L E R 8 V E R L A G D Ü M M L E R h a u s Kaiserstraße 31 -37 Postfach 14 80 5300 B o n n 1 Telefon 0 2 2 8 / 2 2 3 0 3 1 Telefax 02 2 8 / 2 1 3 0 40

Vorstand

Ehrenvorsitzender O S t D Prof. D r . Fr. M U T S C H E L L E R , Wohnstift Augustinum, Jaspersstr. 2, 6900 Heidelberg. T e l . 062 21/38 86 68

Ehrenvorsitzender O S t D i. R. A . K L E I N , Stachelsweg 28, 5000 Köln 91. Te l . 02 21/ 86 22 61

1. Vorsitzender O S t D H . L O C H H A A S , Heinrich-Delp-Str. 264, 6100 Darmstadt. Te l . 061 51/519 20

2. Vorsitzender O S t D Dr . H . W A M B A C H , Preußenstr. 20, 4040 Neuss 1. T e l . 02101/83681

Geschäftsführer StD Friedr. B E C K E R , Bielfeldtstr. 14, 2000 Hamburg 50. Te l . 0 40/8 806781

Postgirokonto: Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts. Hamburg 43919-202. Bankleitzahl 200100 20 Beisitzer Mathematik StD G . S T E I N B E R G , Mutzenbecherstr. 3,

2900 Oldenburg. Te l . 0441/507080 Physik O S t D P. W E S S E L S , Arensburgstr. 28,

2800 Bremen. T e l . 04 21/44 3703 Chemie StD W. A S S E L B O R N , Konrad-Adenauer-Allee 26,

6630 Saarlouis. T e l . 0 6831/83604 Biologie Prof. D r . M . K E I L , Kurt-Lindemann-Str. 29,

6903 Neckargemünd. Te l . 0 62 23/7 23 53 Informatik StD D . P O H L M A N N ,

und Heidmühlenweg 59d, Information 2200 Elmshorn. T e l . 0 4121/94030 M N U - H a u p t - Prof. D r . H . S C H M I D T , A m Pleisbach 28, Schriftleiter 5205 St. Augustin 1

Die Mitgliedschaft i m Förderverein M N U

Uber den Förderverein M N U , seine Ziele, Arbeitsweisen, Erfolge usw., informieren wir Sie gerne. Bitte Fö-Info-Blatt beim M N U -Geschäftsführer anfordern. Geschäftsjahr ist das Kalenderjahr. Der Eintritt von natürlichen Per­sonen kann jederzeit erfolgen. Der Beginn der Mitgliedschaft rechnet je nach Wunsch des Eintretenden vom 1 .Januar oder 1 .Juli an. Der Austritt ist nur zum 31. Dezember möglich und muß bis zum 1. Okto­ber dem Geschäftsführer gemeldet werden. Schulen, Institutionen aller Art , Wirtschaftsunternehmen und Verbände können nicht Mit­gliedwerden. Ihnen steht das Verlags-Abonnement offen, vgl. rechte Spalte. Der Jahresbeitrag beträgt D M 62,- (für Pensionäre D M 52,-); in ihm ist die Belieferung mit der Zeitschrift »Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht« eingeschlossen. Studenten und Studienreferendare, Assessoren, Hochschulassistenten und Jungleh­rer, die noch nicht die volle tarifliche Besoldung erhalten, bezahlen nur D M 36,-Jahresbeitrag, wenn sie darüber eine mit dem Stempel der Schulleitung oder der Hochschule versehene Bescheinigung dem Geschäftsführer einreichen. Der Jahresbeitrag ist bis zum 1. Juni im ganzen zu zahlen. Später noch ausstehende Beträge werden zuzüglich der Kosten der Einzie­hung durch Postnachnahme erhoben. A n - und Abmeldungen sind nur an den Geschäftsführer zu richten. Adressenänderungen müssen spätestens 4 Wochen vor Erscheinen beim Dümmler Verlag vorliegen (alte und neue Adresse). D a die Post Zeitschriften nicht nachsendet, sondern vernichtet, kann verlagsseits Ersatz nur gegen Berechnung geleistet werden.

MNU-Erscheinungsweise

8 mal jährlich (alle sechs Wochen); je 64 Seiten Umfang

Heft-Nr. Erscheinungstermin Anzeigenschluß

15.Januar 1. März

15. April 1 . J u n i

15. Juli 1. September

15. Oktober 1. Dezember

15. Dezember 1. Februar

15. März 1. M a i

15. Juni 1. August

15. September 1. November

MNU-Bezugsbedingungen

Pro Jahrgang 8 Hefte = 512 Seiten plus 8 Seiten Jahresinhaltsver­zeichnis: D M 8 2 , - , Einzelheft D M 12,-, zuzüglich Versandspesen. Hefte früherer Jahrgänge zu gleichem Preis teilweise noch lieferbar. Vorzugspreis für Studenten gegen Studienbescheinigung D M 65,60 (nur direkt vom Verlag).

Für Mitglieder des Fördervereins ist der Bezugspreis im Vereinsbei­trag enthalten (vgl. linke Spalte). Einbanddecken: auch früherer Jahrgänge jeweils D M 10,80. Eine Kündigung des Jahresabonnements kann nur anerkannt wer­den, wenn die schriftliche Kündigung für das folgende Jahr am 1. Oktober des laufenden Jahres beim Verlag vorliegt.

Anschriftenänderungen

bitte rechtzeitig dem Dümmler Verlag (nicht dem Geschäftsführer des Fördervereins und nicht der Post) mitteilen. Bei Anschriften­änderungen, die nicht mindestens 4 Wochen vor Erscheinen des nächsten Heftes Dümmler gemeldet sind, kann bei Verlust Ersatz nur gegen Berechnung gestellt werden, da die Post Zeitschriften weder nachsendet noch an den Verlag zurückgibt.

Verlag, Anzeigen- und Beilagenverwaltung

Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung, Bonn, Anschrift wie oben. Anzeigen- und Beilagenpreise gemäß Tarif N r . 21 vom 1.1. 1987. Für Stellengesuche und Behördenanzeigen gilt ein ermäßigter Tarif. Anzeigenschluß jeweils 4 Wochen vor Erscheinen (siehe obige Ter­mine). Satz, Druck, Bindearbeiten: Boss-Druck und Verlag, Geefacker 63, 4190 Kleve, Te l . 0 28 21/90 76

Copyright /Fotokopien

Sämtliche Rechte liegen beim Verlag Dümmler, Bonn. Die Zeit­schrift und ihre Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Verwer­tung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf deshalb der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.

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Inhaltsverzeichnis

Abhandlungen - Beiträge zur Schulpraxis - Zur Diskussion gestellt

Mathematik

B A C H M A N N , H . : E ine semikonvergente Re ihe i m Z u ­sammenhang mit der harmonischen Re ihe 3

B E R G , G . : D i e Keplerschen Gesetze - ein Zugang über Computers imula t i on 19

B L E C K , H . : Didaktisch-methodische Veränderungen i m Analys isunterr icht durch Computere insatz . . . . 161

BREUNINGER , J . : Z u r Einführung irrat ionaler Zahlen 395

F R A N Z , M . : Kegelschnitte - e inmal anders 11

F R I T S C H , K . - H . : Teilbarkeitseigenschaften als G r u n d ­lage der Berechnung pythagoreischer Zahlen 152

F R I T S C H , R . : W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen? 80

G E R L I N G , R . W . : Zel lulare A u t o m a t e n auf dem P C . . 451

H E N N , H . - W . : Einkommensbesteuerung i m Analys i s ­unterricht 271

H E N N I N G , H . U . a . : s. unter Fächerübergreifendes

H E R Z B E R G E R , J . : N u m e r i k a m Beispiel der Effektiv­z insberechnung 95

H O F , W . : Potenzsummen 16

K I R S C H , A . : Überraschungen be im A u s k l a p p e n nicht­konvexer V ierecke 485

M Ü H L E , D . : s O T T E , A .

M Ü L L E R , R . : Formate oder »Begegnungen mit dem Unendlichen« 397

O T T E , A . - M Ü H L E , D . : Logische A n a l y s e n mit H i l f e von V e n n - D i a g r a m m e n 481

P A P E , B . V . : E i n Z u g a n g z u r Normalver te i lung aus der Integralrechnung 340

S C H Ö N W A L D , H . G . : A n f a n g u n d Ende der größten z. Z t . bekannten P r i m z a h l 207

S C H U L T E , H . A . : D i e B e r n o u l l i - U n g l e i c h u n g u n d die vollständige Indukt ion - die B e r n o u l l i - U n g l e i c h u n g (noch) e inmal anders 17

S C H W A R T Z E , H . : Z u r Ste l lung der K o n g r u e n z a b b i l ­dungen i m Lehrgang der Kongruenzgeometr ie . . . 387

STEINBERG, G . : Was besagt »Grund« i n mathemat i ­schen Grundkursen? 155

T Y S I A K , W . : M e h r über Splines 282

U F F R E C H T , U . : H i m m e l s m e c h a n i k u n d Raumfahr t i m mathematischen Leistungskurs 345

W I L L S , J . M . : Reguläre Polyeder mit verborgenen Symmetr ien 141

Z L O F , D . : E i n e Näherungskonstruktion z u m Delischen Problem 396

Physik

B A C K H A U S , U . - S C H L I C H T I N G , H . - J . : A u f der Suche

nach der O r d n u n g i m Chaos 456

B E R G , G . : D i e Keplerschen Gesetze - ein Zugang über Computers imula t i on 19

D E N G L E R , R . - L U C H N E R , K . : Bewegungsabläufe -aufgenommen, dargestellt u n d analysiert durch Videocamera u n d C o m p u t e r 285

FRIKER , J . : U b e r die Käfighaltung von Ionen - z u m Nobelpreis Phys ik 1989 71

H E I N L O T H , K . : Bedrohl iche Klimaveränderungen er­fordern weltweit eine vernünftigere Energ ienutzung 323

H E R R M A N N , F . : E i n K o n z e p t für die Informationstech­nische G r u n d b i l d u n g des Physikunterr ichts 406

H O N I G , V . : E i n e relativistische H e r l e i t u n g der F lucht ­geschwindigkeit u n d der G r e n z f a l l des schwarzen Loches 200

J Ä K E L , C H R . : Neues von der Wur fparabe l 349

L I N C K E , R . : Physikal ische Projekte mit M i k r o c o m ­putern - Schwebung und A m p l i t u d e n m o d u l a t i o n 23

L I N C K E , R . : S. auch Experimentiervorschläge

L U C H N E R , K . : S. D E N G L E R , R .

PFEIFFER , W . - S C H M I D T , H . : Z u m 150. Geburtstag

von Ernst A b b e 131

S C H M I D T , E . : E i n Spielzeug mit hydrostatischem H i n ­tergrund 402

S C H M I D T , H . : S. P F E I F F E R , W .

SCHMIDT , O . : Energieänderung beim Einschieben eines Die lektr ikums in das homogene Fe ld eines Plat ten­kondensators 347

III

S C H Ö N W A L D , H . G . : W a r u m m a n in einer Hänge­matte i m m e r schaukelt 208

S T O R K , H . : S. unter »Fächerübergreifendes«

T I R A S P O L S K Y , I . : D i e Großkreise der H i m m e l s k u g e l 75

T R Ä N K L E , E . : D e r wandernde Schatten von Sonnen­uhren - eine C o m p u t e r s i m u l a t i o n 209

U F F R E C H T , U . : H i m m e l s m e c h a n i k u n d R a u m f a h r t i m mathematischen Leistungskurs 345

W Ö R L E N , F . : Das Var ioob jekt iv mit zwei S a m m e l ­l insen 28

Chemie

S T Ä U D E L , L . : Mode l lversuch zur photochemischen A k t i v i e r u n g von Chlorf luorkohlenwasserstof f durch harte U V - S t r a h l u n g 166

STEINORT, R . : s. J U S T , E .

S T O R K , H . : S. unter »Fächerübergreifendes«

S T R U B E , W . : W i l h e l m O s t w a l d , der Begründer der Physikal ischen C h e m i e , als H i s t o r i k e r 88

S U M F L E T H , E . - B E R G M A N N , D . : E i n Unter r i ch t svor ­schlag z u m T h e m a Elektrochemie für die Sekun­darstufe II 31

T R O L L , T H . : Elektrochemie als W e r k z e u g in der O r ­ganischen C h e m i e - G r u n d l a g e n , A n a l y t i k , A n w e n ­d u n g 6

B A R K E , H . - D . : p H - n e u t r a l oder elektrisch neutral? -U b e r Schülervorstellungen zur S t ruktur von Salzen 415

B E C H T O L D T , H . W . : s. H U F , K .

B E R G M A N N , D . : s. S U M F L E T H , E .

D Ä M M G E N , U . - F R Ü H A U F , D . - G R Ü N H A G E , L . -J Ä G E R , H . J . : O z o n in der unteren Atmosphäre. . . 490

F R Ü H A U F , D . : s. D Ä M M G E N , U .

G E I S E R , H . : Leit fahigkeitsmessung in Schülerver­suchen 98

G R Ü N H A G E , L . : S. D Ä M M G E N , U .

H U F , K . - K R U G , H . : Entropiebegr i f f und G i b b s -H e l m h o l t z - G l e i c h u n g - eine schülergemäße E i n ­führung auf experimenteller G r u n d l a g e 213

H U F , K . - K R U G , H . - B E C H T O L D T , H . W . : E i n ­

fache Schulversuche zur G i b b s - H e l m h o l t z - G l e i -c h u n g 411

J Ä G E R , H . J . : s. D Ä M M G E N , U .

J U S T , E . - STEINORT , R . : E i n neues Gerät z u r Erfas­sung kle iner Wärmemengen i m Schulmaßstab . . . . 355

K O B E R , F . : Stärkste Säure u n d stärkste Base - ein P r o b l e m der C h e m i e wässriger Lösungen 337

K R E M E R , M . : Demonstrat i on des A b b a u s von O z o n d u r c h Chlorfluorkohlenwasserstoffe 291

K R E M E R , M . : Demonstrat ion der A b s o r p t i o n von U V -S t r a h l u n g d u r c h O z o n mit H i l f e photographischer A u f n a h m e n 352

K R I X , U . : D e r W e n d e p u n k t , der i n O r d n u n g ist - ein V e r f a h r e n zur direkten E r m i t t l u n g der Reakt ions ­o r d n u n g 467

K R U G , H . : s. H U F , K .

L E M K E , R . : W i e l a n g sind rc-Elektronenpaare i n A r o -maten? 266

R E I C H , R . : Osz i l l i erende chemische Reakt ionen . . . . 145

R E I N E R S , C H R . : Cis - trans-Isomerie i n der g y m n a ­sialen Oberstufe - G r u n d l e g u n g oder Weiterent ­w i c k l u n g räumlicher Strukturvorstel lungen? 358

Biologie

B E R C K , K . - H . : Bestimmungsschlüssel für die R u f e e in ­heimischer A m p h i b i e n 420

B E R C K , K . - H . : S. auch L Ü P K E S , G .

D I E R S C H K E , P . : s. J A N K E , S.

H E S S E , M . : D ie T h e r m i k i m See - M o d e l l e x p e r i ­mente für den Biologieunterricht 40

H A G E M A I E R , H . E . : D i e Isopept idbindung 92

H Ö G E R M A N N , C H R . : Schülergerechte Lernh i l f en zur Stoffwechselphysiologie 47

H Ö G E R M A N N , C H R . : Populat ionsdynamik u n d G e n ­drift - Mode l lexper iment im Bio logieunterr icht . . . 295

J A N K E , S. - K U N Z E , C H R . : Möglichkeiten z u r C h a r a k ­terisierung der biologischen Aktivität i m Boden . . . 175

J A N K E , S. - S C H A M B E R , H . - D I E R S C H K E , P. - K U N Z E ,

C H R . : B e s t i m m u n g der Protease, Ce l lu lase u n d Xy lanase in verschiedenen Bodenproben 495

K A M P , H . : Enzymkinet ische M e s s u n g e n i m Bio logie ­unterricht der Sekundarstufe II 105

K U N Z E , C H R . : s. J A N K E

L Ü P K E S , G . - B E R C K , K . - H . : Beobachtung e i n h e i m i ­scher Zitterspinnen 424

M I R A M , W . : E i n Gedächtnismodell - C o m p u t e r s i m u ­lation neuronaler Netzwerke 218

P E U K E R T , D . E . : s. W E B E R - P E U K E R T

REISS, J . : D i e Sojabohne - eine vielseitige N u t z ­pflanze 170

S C H A E F E R , G . : D i e E n t w i c k l u n g von Lehrplänen für den Biologieunterricht auf der G r u n d l a g e un iver ­seller Lebenspr inz ip ien 471

S C H A M B E R , H . : s. J A N K E , S.

W E B E R - P E U K E R T , G . - P E U K E R T , D . E . : Bedeutung

des optischen Differenzierungsvermögens für die E n t w i c k l u n g von P r i m a t e n 363

I V

Fächerübergreifendes - Allgemeines

F R E D E N H A G E N , U . : Bericht über die 81. H a u p t v e r ­s a m m l u n g in München 262

H E N N I N G , H . - J A N K A , R . - W O H L A N , U . : M o d e l l ­bi lden und Exper iment ieren mi t dem C o m p u t e r i m mathematisch-naturwissenschaftl ichen U n t e r r i c h t . . 331

J A N K A , R . : s. H E N N I N G , H .

L O C H H A A S , H . : Begrüßungsansprache auf der Fest­s i tzung (81. H a u p t v e r s a m m l u n g in München) . . . . 259

R O S S A , E . : D ie Balance von wissenschaftlichem A n ­spruch und Faßlichkeit für j edermann - Prob lem des naturwissenschaftlichen Unterr i chts in einer Einheitsschule 67

S T O R K , H . : Z u r Förderung des Wertbewußtseins i m P h y s i k - und Chemieunterr icht - T e i l I 135

T e i l II 195

W O H L A N , U . : S. H E N N I N G , H .

Experimentiervorschläge

L A B A H N - L U C I U S , C H R . - PLAINER , H . : Enzymtechn ik

i m Schulversuch - Laktosespaltung in M i l c h und M o l k e durch immobil is ierte Laktase 108

L E N G G E N H A G E R , K . : E i n lehrreiches Barometerpro ­blem 432

L I N C K E , R . : Physikal ische Projekte mit M i k r o c o m ­putern - Pendeldämpfung u n d Pendelperiode 499

PLAINER, H . : S. L A B A H N - L U C I U S

R E I M A N N , A . : E i n e kleine Indikatorenschau 431

Z u r Diskussion gestellt

B R O C K M E Y E R , H . : D i e Strahlenbelastung des M e n ­schen durch R a d o n 222 302

H E R R M A N N , F . : Fe lder als physikalische Systeme . . . . 114

R I E D E R , W . : E i n e F o r m e l für die kinetische Energ ie als Brücke zwischen Newtonscher M e c h a n i k u n d Relativitätstheorie 370

R Ö T T E L , K . : Fehler v o n M a t h e m a t i k l e h r e r n - aus Schülersicht 240

R Ü H E N B E C K , C H R . : Energ ieerhal tung - a p r i o r i oder durch Er fahrung? 433

S C H U M A N N , H . : Neue Möglichkeiten des Geometr i e ­lernens d u r c h interaktives K o n s t r u i e r e n in der Planimetr ie 230

Aufgaben, Lehrmittel, Diskussion und Kritik

Aufgaben für Mathematikzirkel mit Mittelstufenschülern

Heft 2 ( G . STARKE ) 113

Hef t 3 ( G . W A L T H E R ) 180

Hef t 4 229

Heft 5 (J- ELSNER ) 301

Hef t 6 ( G . STARKE ) 367

He f t 7 ( G . STARKE ) 429

He f t 8 ( G . STARKE ) 499

Andere Mathematik-Aufgaben

S P R E N G E L , H . J . : A n m e r k u n g e n zu den O l y m p i a d e n J u n g e r Mathemat iker in der D D R 368

Physik-Aufgaben

H U H N , B . : W i e schnell dreht sich die Sonne? 430

K A S A N , D . : Stern und Stecknadelkopf 180

Diskussion und K r i t i k

A R N D T , U . : ZU »Ein mechanisches Gerät z u r W i n k e l -trisektion« 182

D E S C H A U E R , S. - W A L D I , R . - D . - W I R S C H I N G , G . : Eine B e m e r k u n g über die Gle i chver te i lung v o n dezimalen Endz i f f e rn bei Zweierpotenzen 52

F R I K E R , J . : Ergänzung zu »Über die Käfighaltung von Ionen« 244

H E L L E R , B . : ZU »Gibt es nach der Relativitätstheorie Vergangenheit u n d Zukunft?« (mit Ste l lungnahme von K . P H I L B E R T H ) 304

O L M E S D A H L , W . : ZU »Eine Aufgabe der I M O 1988« 182

R E I N , H . - J . : ZU »Kritische Überlegungen z u r T e i l ­

chenzahl« 305

S C H R E N K , H . : z u »Umkehrung des Satzes von P y t h a -goras« 183

V

S U M F L E T H , E . : L e h r - und Lernprozesse i m C h e m i e ­unterricht (V. Scharf) 192

W E N C K , H . - K R U S K A , G . : Experimentel le Chemie der Nucleinsäuren (K. Freytag) 448

Biologie

B R O H M E R , P . : F a u n a von Deutschland (H. P. Ziemek) 64

G O E R K E , H . : C a r l von L i n n e (D. Erber) 384

G R A F , D . : Begriffslernen i m Biologieunterricht der Sekundarstufe I (H. R Ziemek) 382

H E D E W I G , R . - S T I C H M A N N , W . ( H g . ) : Biologieunter­

richt u n d E t h i k (D. Rodt) 382

J E S S B E R G E R , J . : Kreat ion ismus - K r i t i k des modernen Ant ievo lut ion ismus (K.-H. Berck) 384

J O G E R , U . (Hg . ) u . a . : Praktische Ökologie (D. Erber) 383

J Ü D E S , U . - K L O E H N , E . - N O L O F , G . - ZIESEMER , F. ( H g . ) : Naturschutz i n Schleswig-Holste in (M. Korn) 512

K L E B E R , H . - P . - S C H L E E , D . : Biochemie II (W. Wollen) 383

K U N S C H , K . : Autotrophie der O r g a n i s m e n (R. Klee) 128

M E Y E R , H . : Experimentelles Arbe i ten i m Bio log ie ­unterricht (D. Graf) 256

M Ü L L E R , K . - L Ö H S , K . - H . : Toxikologie (W. Wol­len) 64

R U M P , H . H . : Laborhandbuch für die U n t e r s u c h u n g von Wasser (H. P. Ziemek) 256

S C H M I D T , H . : D i e Wiese als Ökosystem (H. R Ziemek) 192

W U K E T I T S , F. M . : Gene , K u l t u r und M o r a l - Soz io -biologie pro und contra (D. Graf) 448

Allgemeines

G L E I C K , J . : Chaos - die O r d n u n g des U n i v e r s u m s (M. Sienknecht) 510

M A O R , E . : D e m Unendl i chen auf der Spur (G. Starke) 127

Meyers kleines L e x i k o n Meteorologie (H. Schmidt). . . 255

M I C K A Y , A . : Das Atomzeitalter - von den A n f a n g e n zur Gegenwart (H. Schmidt) 254

Hinweise für Autoren III nach S. 128 u . S. 384

Schriftleitung der Zeitschrift M N U

Hauptschr i f t l e i tung Prof . D r . rer. nat. H E L M U T SCHMIDT A m Pleisbach 28, 5205 St. A u g u s t i n 1, 0 2 2 4 1 / 3 3 4 2 7 3

Fachschri f t le i tung M a t h e m a t i k O S t D G E R T S T A R K E

Wittenbrook 14 a, 2300 K i e l 17, 0 4 3 1 / 3 6 23 12

Phys ik M i n R H E R W I G K R Ü G E R Untereisseiner Str . 33, 2305 Heikendor f , 0 4 3 1 / 2 4 1 5 3 8

Chemie S t D O T T H E I N R I C H D Ü L L Breidenbornerstr. 8, 6750 Kaisers lautern, 0 6 3 1 / 9 2 8 8 3

Biologie Prof. D r . K A R L - H E I N Z B E R C K Institut für Bio logiedidakt ik der Universität, Karl-Glöckner-Str. 2 1 C , 6300 Gießen, 0 6 4 1 / 8 1 4 6 2

Redaktionelle Zuschriften an den zuständigen Fachschri ft ­leiter erbeten. Für die Gestal tung der Beiträge gelten die Manuskriptabfassungsricht l inien in ihrer jeweils jüngsten Fassung, wie sie in Abständen i n dieser Zeitschrift veröffent­licht werden.

V I I I

Der Mathematische und Naturwissenschaftliche Unterricht Organ des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts e.V.

43. Jahrgang , Heft 1 I S S N 0025-5866 15 .Januar 1990

H E I N Z B A C H M A N N : E i n e semikonvergente R e i h e i m Z u s a m m e n h a n g mit der harmonischen Re ihe 1

T H E O D O R T R O L L : Elektrochemie als W e r k z e u g i n der Organischen C h e ­mie - G r u n d l a g e n , A n a l y t i k , A n w e n d u n g . . ' 6

Schulpraxis

M A T T I A S F R A N Z : Kegelschnitte e inmal anders 11

W A L T E R H O F : Potenzsummen 16

H E R M A N N A . S C H U L T E : D i e B e r n o u l l i - U n g l e i c h u n g u n d die vollständige I n ­dukt ion - D i e B e r n o u l l i - U n g l e i c h u n g (noch) e inmal anders 17

G R E G O R B E R G : D i e Keplerschen Gesetze - E i n Z u g a n g über C o m p u ­tersimulation 19

R E I M E R L I N C K E : Physikal ische Projekte mit M i k r o c o m p u t e r n - E x p e r i ­ment u n d T h e o r i e , Messen u n d Auswerten - Schwe­bung u n d A m p l i t u d e n m o d u l a t i o n 23

FRIEDRICH W Ö R L E N : Das Var ioob jekt iv mit zwei Sammel l insen 28

E L K E S U M F L E T H , D I R K B E R G M A N N , P E T E R D A N N A T : E i n Unterr i chtsvorschlag z u m T h e m a Elektrochemie für die Sekundarstufe II 31

M A N F R E D H E S S E : D i e T h e r m i k i m See - Mode l lexper imente für den Bio logieunterr icht 40 C H R I S T I N E H Ö G E R M A N N :

Schülergerechte Lernhi l f en z u r Stoffwechselphysiologie 47

Diskussion und K r i t i k 52

Mitteilungen des Fördervereins M N U

Vors tands i t zung in München, 14. u n d 15. Oktober 1989 53 Re ises t ipendium z u m Deutschen M u s e u m 1990 54 D P G - P h y s i k s c h u l e n für L e h r e r 1990 55 Technische Rege ln »Umgang mit Gefahrstoffen i m Schulbereich« 55 D P G - P h y s i k s c h u l e n i m S o m m e r 1989 (Bericht) 55

Informationen 57

Besprechungen

Zeitschriften Biologie 58 Bücher 61

In der Mitte dieses Heftes befinden sich Einladung und Programm zur 81. Hauptversammlung in München und die Anmeldekarten.

Beilagen: D iesem Heft ist ein Prospekt des Gustav Fischer Ver lages , Stuttgart, beigelegt.

Herausgeber der Zeitschrift M N U

Prof . D r . H E L M U T S C H M I D T (Hauptschriftleiter) A m Ple isbach 28, 5205 St . A u g u s t i n 1, 0 2 2 4 1 / 3 3 4273

O S t D G E R T S T A R K E (Fachschriftleiter Mathematik) W i t t e n b r o o k 14 a, 2300 K i e l 17, 0 4 3 1 / 3 6 2312

S t D O T T H E I N R I C H D Ü L L (Fachschriftleiter Chemie) Breidenbornerstr . 8, 6750 Kaisers lautern , 0 6 3 1 / 9 2 8 83

Prof . D r . K A R L - H E I N Z B E R C K (Fachschriftleiter Biologie) Institut für Bio log iedidakt ik der Universität, Karl-Glöckner-Str. 2 1 C , 6300 Gießen, 0 6 4 1 / 8 1 4 6 2

M i n R H E R W I G K R Ü G E R (Fachschrift leiter Physik) Untereisseiner Str . 33, 2305 He ikendor f , 0 4 3 1 / 2 4 1 5 3 8

Adressenänderungen bitte nur dem Dümmler-Verlag mitteilen. Redaktionelle Zuschriften an den zuständigen Fach­schriftleiter erbeten.

F O R D E R V E R E I N M N U Deutscher V e r e i n z u r Förderung des m a t h e m a t i ­schen u n d naturwissenschaft l ichen U n t e r r i c h t s e . V .

D e r Vere in ist durch Verfügung des Finanzamtes für Körperschaften in H a m b u r g als gemeinnützig aner­kannt. D i e Beiträge werden nur für satzungsgemäße Zwecke verwendet.

F E R D . D U M M L E R 8 V E R L A G D U M M L E R h a u s Kaiserstraße 31 -37 Postfach 14 80 5300 B o n n 1 T e l . 0 2 2 8 / 2 2 3 0 3 1

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Ehrenvorsitzender O S t D Prof. Dr . Fr . M U T S C H E L L E R , Wohnstift Augustinum, Jasperstr. 2, 6900 Heidelberg. T e l . 0 62 21/3886 68

Ehrenvorsitzender O S t D i. R. A . K L E I N , Stachelsweg 28, 5000 Köln 91. T e l . 0221/ 86 2261

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2. Vorsitzender O S t D Dr . H . W A M B A C H , Preußenstr. 20, 4040 Neuss 1. T e l . 02101/83681

Geschäftsführer StD Friedr. B E C K E R , Bielfeldtstr. 14, 2000 Hamburg 50. T e l . 0 40/8 80 67 81

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6630 Saarlouis. T e l . 0 6831/83604 Biologie Prof. Dr . M . K E I L , Kurt-Lindemann-Str. 29, Biologie

6903 Neckargemünd. T e l . 062 23/7 23 53 Informatik StD D . P O H L M A N N , und Heidmühlenweg 59 d, Information 2200 Elmshorn. T e l . 0 4121/9 40 30 M N U - H a u p t - Prof. D r . H . S C H M I D T , A m Pleisbach 28, Schriftleiter 5205 St. Augustin 1

Die Mitgliedschaft i m Förderverein M N U

Uber den Förderverein M N U , seine Ziele, Arbeitsweisen, Erfolge usw., informieren wir Sie gerne. Bitte Fö-Info-Blatt beim M N U -Geschäftsführer anfordern. Geschäftsjahr ist das Kalenderjahr. Der Eintritt von natürlichen Per­sonen kann jederzeit erfolgen. Der Beginn der Mitgliedschaft rechnet je nach Wunsch des Eintretenden vom 1 .Januar oder 1 .Juli an. Der Austritt ist nur zum 31. Dezember möglich und muß bis zum 1. Okto­ber dem Geschäftsführer gemeldet werden. Schulen, Institutionen aller Art, Wirtschaftsunternehmen und Verbände können nicht M i t ­glied werden. Ihnen steht das Verlags-Abonnement offen, vgl. rechte Spalte. Der Jahresbeitrag beträgt D M 62,- (für Pensionäre D M 52,-); in ihm ist die Belieferung mit der Zeitschrift »Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht« eingeschlossen. Studenten und Studienreferendare, Assessoren, Hochschulassistenten und Jungleh­rer, die noch nicht die volle tarifliche Besoldung erhalten, bezahlen nur D M 36,-Jahresbeitrag, wenn sie darüber eine mit dem Stempel der Schulleitung oder der Hochschule versehene Bescheinigung dem Geschäftsführer einreichen. Der Jahresbeitrag ist bis zum 1. J u n i im ganzen zu zahlen. Später noch ausstehende Beträge werden zuzüglich der Kosten der Einzie­hung durch Postnachnahme erhoben. A n - und Abmeldungen sind nur an den Geschäftsführer zu richten. Adressenänderungen müssen spätestens 4 Wochen vor Erscheinen beim Dümmler Verlag vorliegen (alte und neue Adresse). D a die Post Zeitschriften nicht nachsendet, sondern vernichtet, kann verlagsseits Ersatz nur gegen Berechnung geleistet werden.

MNU-Erscheinungsweise

8 mal jährlich (alle sechs Wochen); je 64 Seiten Umfang

Heft-Nr. Erscheinungstermin Anzeigenschluß

1 15. Januar 15. Dezember 2 1. März 1. Februar 3 15. April 15. März 4 l . J u n i l . M a i 5 15.Juli 15.Juni 6 1. September 1. August 7 15. Oktober 15. September 8 1. Dezember 1. November

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Pro Jahrgang 8 Hefte = 512 Seiten plus 8 Seiten Jahresinhaltsver­zeichnis: D M 82,- , Einzelheft D M 12,-, zuzüglich Versandspesen. Hefte früherer Jahrgänge zu gleichem Preis teilweise noch lieferbar. Vorzugspreis für Studenten gegen Studienbescheinigung D M 65,60 (nur direkt vom Verlag). Für Mitglieder des Fördervereins ist der Bezugspreis im Vereinsbei­trag enthalten (vgl. linke Spalte). Einbanddecken: auch früherer Jahrgänge jeweils D M 10,80. Eine Kündigung des Jahresabonnements kann nur anerkannt wer­den, wenn die schriftliche Kündigung für das folgende Jahr am 1. Oktober des laufenden Jahres beim Verlag vorliegt.

Anschriftenänderungen

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Ferd. Dümmlers Verlagsbuchhandlung, Bonn, Anschrift wie oben. Anzeigen- und Beilagenpreise gemäß Tari f N r . 21 vom 1.1. 1987. Für Stellengesuche und Behördenanzeigen gilt ein ermäßigter Tarif. Anzeigenschluß jeweils 4 Wochen vor Erscheinen (siehe obige Ter ­mine). Satz, Druck, Bindearbeiten: Boss-Druck und Verlag, Geefacker 63, 4190 Kleve, T e l . 0 28 21/90 76

Copyright /Fotokopien

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Wie wird der Vierfarbensatz bewiesen?

Verfasser: Prof. Dr. Rudolf Fritsch, Mathem. Institut der Lud-wig-Maximilians-Universität, Theresienstraße 39, 8000 Mün­chen 2

FRANCIS G U T H R I E (* L o n d o n 1831, | C laremont / Südafrika 1899, ab 1876 Professor für M a t h e m a t i k i n Kapstadt) hatte gerade sein juristisches E x a m e n ge­macht , da konfrontierte er seinen noch studierenden B r u d e r F R E D E R I C K (* L o n d o n 1833, f L o n d o n 1886, 1860-66 Professor für C h e m i e u n d Phys ik a m R o y a l Col lege auf der Insel M a u r i t i u s , ab 1881 Professor für Phys ik in L o n d o n ) mit einer mathematischen Aussage ([9]), die dieser am 23. Oktober 1852 dem gemein­samen Mathemat ik l ehrer an der Universität L o n d o n A U G U S T U S D E M O R G A N (* M a d u r a / I n d i e n 1806, | L o n ­don 1871, der erste Professor für M a t h e m a t i k an der

1 Geringfügig erweiterte Fassung des Vortrages auf der 80. Hauptver­sammlung des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts in Darmstadt 1989.

1836 gegründeten Londoner Universität) vorlegte. D E M O R G A N war so beeindruckt, daß er den Sachver­halt sofort einem der führenden englischen M a t h e m a ­tiker der Zeit , SIR W I L L I A M R O W A N H A M I L T O N (* D u b ­l i n 1805, t D u n s i n k 1865, Professor für Astronomie in D u b l i n ) , briefl ich mitteilte ([8, B a n d 3. S. 423]). D e r i m T r i n i t y College i n D u b l i n aufbewahrte Br ie f ent­hält die früheste schriftliche F i x i e r u n g des Vier farben­satzes 2, DE M O R G A N schrieb:

Ifafigure be anyhow divided, and the compartments diffe-rently coloured, so thatfigures with any portion of common boundary line are differently coloured -four colours may be wanted, but no more.

2 M a n c h m a l wird das Problem auch dem deutschen Geometer A U G U S T F E R ­D I N A N D M Ö B I U S (* Schulpforta 1790, t Leipzig 1868) zugeschrieben, aber dieser beschäftigte sich nur mit der entfernt verwandten Frage, ob sich ein Fünfeck mit allen seinen Diagonalen kreuzungsfrei i n die Ebene einbetten läßt.

M N U 43/2 ( 1 . 3 . 1990) Seiten 80 -87 I S S N 0025 -5866 © F E R D . D Ü M M L E R 8 V E R L A G • B O N N

Im deutschen Sprachgebrauch formuliert m a n üblicherweise das Vier farbenprob lem in folgender Weise:

Kann man jede politische Landkarte so mit vier Farben fär­ben, daß Länder mit einer gemeinsamen Grenzlinie immer verschieden gefärbt sind? W i c h t i g ist dabei natürlich die Bedingung der ge­

meinsamen Grenz l in i e ; Länder, die nur einzelne Grenzpunkte gemeinsam haben, dürfen durchaus gleich gefärbt sein. Andernfal ls käme m a n schon i m Falle eines Fünfländerecks nicht mehr mit vier Farben aus. Es kommt nicht darauf an , ob m a n sich die K a r t e auf dem Globus oder eben vorstellt; da m a n j a einen inneren Punkt eines Landes r u h i g weglassen k a n n , kann m a n mittels stereographischer Projektion von einem z u m andern übergehen. D i e Geschichte dieses Problems ist in der Li teratur ausführlich dargestellt ([4], [1]). Es k a m auch i m R a h m e n unserer Hauptver ­sammlungen schon mehrfach zur Sprache, z u m B e i ­spiel: 1970 i n Ber l in G E R H A R D R I N G E L : Das Heawoodsche

Kartenfärbungsproblem. Das war noch vor der allgemeinen Lösung des Problems durch A P ­P E L , H A K E N u n d K O C H i m Jahre 1976 ([2], [3]).

1988 in K i e l R A I N E R BODENDIEK: Bemerkungen zum Vierfarbensatz.

1979 in Hannover der Meis ter H E I N R I C H H E E S C H persönlich: Zum Vierfarbenproblem. Sein nahezu tragisches R i n g e n mit dem Vier farbenproblem hat H A N S - G Ü N T H E R B I G A L K E i n einer B iogra ­phie ausführlich dargestellt ([6]). M i t seinen Methoden ([11]) erreichten A P P E L u n d H A K E N das Z i e l . H E E S C H selbst scheiterte an mathema­tischen Ko l l egen , die als Gutachter der Deut ­schen Forschungsgemeinschaft der M e i n u n g waren, der für die Durchführung des Beweises notwendige maschinelle A u f w a n d lohne sich nicht. Be i seinem V o r t r a g auf der Hauptver ­sammlung 1979 stellte er einen alternativen Lö­sungsansatz vor, dessen Durchführung wesent­l i ch weniger aufwendig wäre; aber auch dafür wurde i h m die Unterstützung verweigert.

H i e r versucht ein Mathemat iker , aber Außensei­ter in bezug auf die spezielle Fragestellung, den durch­geführten Lösungsweg zu erläutern. Es handelt sich j a u m eines der seltenen allgemeinverständlichen mathe­matischen Probleme, nach dem man deshalb auch immer wieder von Nichtmathematikern gefragt w i r d . Für solche Diskussionen sind die folgenden Ausfüh­rungen gedacht; sie enthalten nichts Neues für Fach ­leute, also etwa für Ko l legen , die das schöne B u c h von M A R T I N AIGNER ([1]) gelesen, über das Vier farbenpro­blem ihre Zulassungsarbeit geschrieben oder promo­viert haben. D i e wesentliche Grundlage bildet die D a r ­stellung der Beweisidee, die A P P E L u n d H A K E N 1986 i m Mathemat i ca l Intelligencer gegeben haben ([5]).

M N U 43/2 Fr i t s ch , W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen?

Zunächst w i r d das P r o b l e m umformul ier t , i n die von H E I N R I C H H E E S C H (* K i e l 1906, Professor für M a t h e m a t i k i n Hannover ) angegebene duale Fas­sung, die etwas bequemer z u handhaben ist als die ursprüngliche. E s sei eine ebene K a r t e gegeben, aufge­tragen im IR 2 ( A b b . 1). D i e einzelnen, endlich vielen Länder werden als wegweise zusammenhängende Te i lmengen des I R 2 mit inneren P u n k t e n angenom­men ; zwei Länder heißen benachbart , wenn sie eine gemeinsame G r e n z l i n i e besitzen. I n jedem L a n d wählt m a n einen P u n k t (die Hauptstadt ) u n d verb in ­det die Hauptstädte benachbarter Länder durch eine L i n i e (Eisenbahnl inie ) , die ganz i n den beiden Län­dern verläuft u n d sich selbst nicht überschneidet; ver­schiedene von einer Hauptstadt ausgehenden E i s e n ­bahnlinien dürfen sich auch nicht überkreuzen (Abb . 2, l inks) . Das so erhaltene Gebi lde ( A b b . 2, rechts) ist ein ebener G r a p h , d . h . ein P a a r G = (E, K) von endlichen M e n g e n K, deren Elemente E c k e n oder K n o t e n , be­ziehungsweise K a n t e n des G r a p h e n heißen, mi t fol­genden Eigenschaften ([13, § 1, De f in i t i on 3, S. 15]): 1. Jede Ecke ist ein P u n k t i m IR 2 , jede K a n t e ist B i l d

einer in jekt iven, stetigen A b b i l d u n g w: [0, 1] -*

2. D i e R a n d p u n k t e der K a n t e n sind E c k e n ; Ecken sind nie innere Punkte von K a n t e n .

3. D e r Durchschni t t von zwei verschiedenen K a n t e n ist entweder leer oder besteht aus genau einer Ecke .

Abb. 2

81

I m Sinne der allgemeinen Graphentheorie liefert diese Def ini t ion einen schlichten oder einfachen G r a ­phen, das heißt einen G r a p h e n ohne Schlingen u n d Mehrfachkanten ([13, S. 10], [1, S. 9]).

Ausgehend von der Kartenvorstel lung nennt m a n zwei Ecken eines ebenen Graphen benachbart, wenn sie durch eine K a n t e verbunden sind. D e r Färbung einer Landkarte entspricht n u n eine Färbung der Eckenmenge des dualen ebenen Graphen . D i e R e l a ­t ion »gleichgefarbt« ist dann eine Aquivalenzrelat ion auf der Eckenmenge; die Aquivalenzklassen können durch die zugehörigen Farben gekennzeichnet wer­den. I m H i n b l i c k auf das Vierfarbenproblem definiert m a n n u n abstrakt: Eine Einte i lung der Eckenmenge eines ebenen Graphen in Aquivalenzklassen heißt Fär­b u n g , wenn benachbarte Ecken i m m e r verschiedenen Klassen angehören; die Klassen selbst heißen dann Farben . In dieser Sprache lautet der zu beweisende S a t z 1 ( V i e r f a r b e n s a t z ) : Jeder ebene Graph besitzt

eine Färbung mit vier oder weniger Farben. Daß dieses Ergebnis bestmöglich ist, das heißt, daß

es G r a p h e n gibt, die mindestens vier Farben benöti­gen, zeigt der G r a p h in A b b i l d u n g 2 (rechts).

Das Problem läßt sich durch einige zusätzliche A n ­nahmen vereinfachen, die die Allgemeinheit nicht e in ­schränken. Offensichtlich lassen sich verschiedene Z u ­sammenhangskomponenten eines ebenen Graphen ge­trennt färben. Es genügt also zusammenhängende G r a p h e n zu betrachten. - E i n ebener G r a p h heißt m a x i m a l , wenn er nicht durch H i n z u n a h m e von K a n ­ten allein erweitert werden kann ([13, S. 106]); jeder ebene G r a p h läßt sich offenbar (in mannigfacher Weise) zu einem maximalen ebenen Graphen erweitern. N u n verliert aber eine Färbung ihre definierende Eigen­schaft nicht, wenn man K a n t e n wegläßt; also kann m a n sich, wenn passend, auf die Betrachtung m a x i m a ­ler ebener Graphen zurückziehen. Für diese gilt der S a t z 2 ( WAGNER 3 1936 [13, S. 108]): Jeder maximale

ebene Graph (mit mindestens 3 Ecken) ist isomorph zu einem Dreiecksgraphen. D a b e i versteht man unter einem Dreiecksgraphen

einen maximalen ebenen Graphen mit mindestens drei Ecken , dessen K a n t e n Strecken sind. E i n D r e i ­ecksgraph zerlegt die Ebene in lauter Dreiecke, auch das Außengebiet w i rd von einem Dreieck berandet. M a n kann sich also auf die Betrachtung von D r e i ­ecksgraphen beschränken.

N u n geht es weiter mit den Ideen des Londoner »Barristers« A L F R E D BRAY K E M P E (* Kensington 1849, t L o n d o n 1922, die Berufsangabe bezeichnet einen Rechtsanwalt der gehobenen Klasse) , der als H o b b y ­mathematiker und M i t g l i e d der L o n d o n Mathemat i ca l Society 1879 einen Beweis des Vierfarbensatzes veröf­fentlichte ([12]); zu seinem eignenen großen Bedauern

3 K L A U S W A G N E R , * Köln 1910, Professor für Mathematik in Duisburg.

entdeckte der Mathemat iker P E R C Y J O H N H E A W O O D (* Newport 1861, | D u r h a m 1955, Professor der M a t h e m a t i k i n D u r h a m ) in K E M P E S Argumentat i on eine Lücke, aber erst elf Jahre später ([10]). A P P E L u n d H A K E N würdigen die Le is tung des Amateurs mit fol ­genden W o r t e n . »Kempes Argument war außerordentlich clever und, obwohl sich herausstellte, daß sein Beweis nicht vollständig war, so enthielt er doch die meisten grundlegenden Ideen, die schließlich - ein Jahrhundert später - zum korrekten Beweis führten.«

K E M P E arbeitete zwar nicht mit Dreiecksgraphen; aber seine Überlegungen lassen sich leicht übersetzen. Es sei G ein Dreiecksgraph u n d F sei die M e n g e der G e ­biete, i n die er die Ebene IR 2 zerlegt; das Außengebiet gehört natürlich mit dazu. D a n n kann m a n das Ganze auch vermöge der stereographischen Projektion als eine Zerlegung der Kugeloberfläche ansehen u n d den Eulerschen Polyedersatz anwenden: Bezeichnen e, k,f die A n z a h l e n der Elemente der M e n g e n E, K, F, so gilt

« - A + / - 2 . (1)

D a jedes Dreieck genau drei Seiten hat u n d jede K a n t e zu genau zwei Dreiecken gehört, hat m a n fer­ner die Beziehung

3-f=2k. (2)

D i e A n z a h l der K a n t e n , die eine gegebene Ecke zum R a n d p u n k t haben, nennt m a n den G r a d dieser Ecke . Statt Ecke vom G r a d n sagt man auch rc-Ecke; dabei muß man n u r aufpassen, daß m a n die Begriffe »Dreieck« u n d »3-Ecke« nicht verwechselt. M i t v2, v3, . . ., vni . . . seien die A n z a h l e n der Ecken v o m G r a d 2, 3, . . ., rc,. . . bezeichnet. D a n n erhält m a n durch A b ­zahlung die folgenden Beziehungen:

lvn = e (3) n = 2

(Gesamtzahl der Ecken) und

I n • vn = 2 • k (4) n = 2

(zweimal Gesamtzahl der K a n t e n , da jede K a n t e zwei Ecken als Randpunkte hat); aus (4) u n d (2) erhält man noch ^

E*-o B = 3 - / . (5)

D i e Gleichungen (3), (4), (5) erlauben, die Zahlen e, k, f durch die Zahlen v2, . . . auszudrücken. Setzt m a n die erhaltenen Werte i n die Eulersche Gle ichung (1) ein u n d mult ipl iz iert mit dem Hauptnenner durch, so erhält m a n ^

E (6 - « ) • « , . = 12. (6) n = 2

A u f der l inken Seite dieser G l e i c h u n g kann es posi­tive u n d negative Summanden geben, da aber die Ge -

82 M N U 43/2 Fr i t s ch , W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen?

samtsumme rechts positiv ist, müssen links positive Summanden vorkommen. Solche gibt es aber nur bei den Indizes n = 2, 3, 4, 5, das heißt S a t z 3 ( K E M P E 1879): In jedem Dreiecksgraphen gibt es

Ecken vom Grad 2, 3, 4 oder 5. V o n dieser Stelle an arbeitet K E M P E mit der M e ­

thode des »kleinsten Verbrechers«, einer A b w a n d l u n g des Induktionsbeweises. D e r Vierfarbensatz gilt j a offensichtlich für G r a p h e n mit höchstens vier Ecken. G ib t es Gegenbeispiele, so kann m a n diejenigen be­trachten, die unter allen eine min imale Eckenanzahl besitzen; solche muß es auf G r u n d der W o h l o r d n u n g der natürlichen Zahlen geben, die z u m Induktions­axiom äquivalent ist, u n d das sind die kleinsten V e r ­brecher. D ie Aufgabe besteht n u n dar in die Existenz von kleinsten Verbrechern auszuschließen.

D a z u sei ein kleinster Verbrecher G als gegeben an­genommen. Es k a n n vorausgesetzt werden, daß G ein Dreiecksgraph ist u n d daß jeder ebene G r a p h mit kle i ­nerer Eckenzahl eine Färbung mit höchstens vier F a r ­ben besitzt. Zunächst kann m a n die Existenz von 2- und 3-Ecken ausschließen: Gäbe es eine solche Ecke A, so bilde man den Te i lgraphen, der durch Heraus­nahme von A u n d der K a n t e n mit A als Randpunkt ent­steht. Für diesen wähle m a n eine Färbung mit vier Far ­ben. D a A i m ganzen G r a p h e n höchstens drei N a c h ­barn hat, ist eine geeignete Farbe für die Färbung von A frei. M a n hätte also i m Widerspruch zur Annahme eine Färbung mit vier Farben (Abb . 3 zeigt die U b e r -legung für eine 3-Ecke).

U m den F a l l der Existenz einer 4-Ecke darzustel­len, ist ein auch weiterhin nützlicher Begriff bequem: S ind B und C verschiedene Ecken eines gefärbten G r a ­phen, so heißt eine endliche Folge K = (F0, . . ., Fr) von Ecken Kempe -Ket te von B nach C} wenn die folgen­den Eigenschaften erfüllt s ind: 1. F0 = B, Fr=C. 2. J e zwei aufeinanderfolgende Gl ieder sind benach­

bart. 3. D ie Gl ieder sind paarweise verschieden. 4. A l le Gl ieder mit geradem Index haben die gleiche

Farbe wie B. 5. A l l e Gl ieder mit ungeradem Index haben die glei­

che Farbe. A u s der Def in i t ion folgt unmittelbar , daß die

Endpunkte der K e m p e - K e t t e bei geradem r gleich und bei ungeradem r verschieden gefärbt sind (Abb . 4).

N u n sei A eine 4-Ecke ( in einem kleinsten V e r ­brecher G), u n d es seien B, C, D, E die Nachbarn von A} in dieser Reihenfolge gegen den Uhrze igers inn an­geordnet. M a n wähle wieder eine Färbung des Te i lgra ­phen G' von G, der durch Herausnahme von A u n d der K a n t e n mit R a n d p u n k t A entsteht (C ist zwar kein Dreiecksgraph mehr, da er offensichtlich nicht max i ­mal ist, aber das stört die Argumentat ion nicht). Sind die Nachbarecken von A dabei nicht alle verschieden

M N U 43/2 Fr i t s ch , W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen?

3-Ecke entfernt, Rest g e f ä r b t g e f ä r b t e r Graph

Abb. 3

weiß blau weiß weiß blau weiß o o o o o o

^0 1̂ ^2 ^r-\ ^>=2s

weiß blau weiß blau weiß blau o o o o o o ^0 F \ Fi Fr-2 ^ - i £ = 2 s + 1

Abb. 4

gefärbt, so hat man noch eine Farbe für die Färbung von A frei. Andernfalls hat man zwei Fälle zu unter­scheiden:

a) Es gibt keine Kempe-Ket te von B nach D (Abb . 5 a). D a n n betrachte m a n alle Ecken auf von B ausgehenden Kempe -Ket ten , die nur Ecken in den Farben von B und D enthalten. Diese Ecken färbe m a n u m , i n dem man die Farben von B und D vertauscht. D a D dabei seine Farbe behält und B nunmehr wie D gefärbt ist, steht die ursprüngliche Farbe von B für die Färbung von A zur Verfügung.

b) Es sei eine Kempe-Ket te K von B nach D ge­geben (Abb. 5b). D a n n bilden die K a n t e n , die die be­nachbarten Ecken dieser Kempe -Ket te verbinden, z u ­sammen mit den K a n t e n , die A mit B und D verb in ­den, eine geschlossene J o r d a n - K u r v e , die die Ebene in zwei disjunkte Gebiete zerlegt und insbesondere die Ecken C} E trennt. E i n e Kempe -Ket te K' i n G' von C nach E müßte deshalb die Kempe-Ket te K treffen u n d damit Ecken in drei verschiedenen Farben , nämlich i n den Farben von C, E und B oder D, enthalten. A l so gibt es keine solche Kempe-Ket te K\ u n d deshalb kann man - wie unter a) beschrieben - so umfärben,

83

blau weiß weiß blau

daß C die Farbe von E erhält und die ursprüngliche Farbe von C für die Färbung von A zur Verfügung steht.

D a m i t ist n u n gezeigt, daß kleinste Verbrecher auch keine 4-Ecken enthalten können. D i e hierfür an ­gewandte Technik , Kempe-Austausch , K e m p e - V e r -fahren ([1]) oder Kempe-Ket ten -Sp ie l ([6, S. 173]) ge­nannt , erweist sich auch für den weiteren Fortgang als sehr fruchtbar. Dafür kann m a n sich jetzt auf kleinste Verbrecher konzentrieren, die keine Ecken der Grade 2, 3, 4, aber mindestens eine 5-Ecke besitzen. Be i der A n w e n d u n g seiner Methode auf diesen F a l l beach­tete K E M P E nicht, daß sich bei der U m f a r b u n g auch K e m p e - K e t t e n ändern können, die Ecken in einer der z u vertauschenden Farben enthalten. H E A W O O D be­merkte jedoch in seiner - wie er selbst sagte - destruk­t iven A r b e i t , daß das Kempe-Kettenspie l ohne weite­res liefert: S a t z 4 ( F ü n f f a r b e n s a t z , H E A W O O D 1890): Jeder

ebene Graph besitzt eine Färbung mit fünf oder weniger Farben.

B e w e i s : D e r Dreiecksgraph G sei ein kleinster Verbrecher (gegen den Fünffarbensatz). D i e Existenz von rc-Ecken mit « = 2 , 3 , 4 kann mit dem schon ver­wendeten Argument ausgeschlossen werden: M a n n immt eine solche Ecke u n d die mit ihr inzidierenden K a n t e n zunächst heraus und erhält einen kleineren G r a p h e n , den m a n nach Voraussetzung mit fünf Far ­ben färben kann. Ist das geschehen, so hat m a n für die herausgenommene Ecke , die j a höchstens vier N a c h ­barn hat, eine Farbe frei. - N u n wähle m a n eine 5-Ecke A; eine solche muß es j a nach den vorigen Überlegun­gen geben. Ferner seien B, C} D, E, F die Nachbarn von A} i n dieser Reihenfolge gegen den Uhrzeigers inn angeordnet (Abb . 6). M a n wähle wieder eine Färbung des Tei lgraphen G' von G, der durch Herausnahme von.4 und der K a n t e n mit Randpunkt A entsteht. Sind die Nachbarecken von A dabei nicht alle verschieden gefärbt, so hat m a n noch eine Farbe für die Färbung von A frei. Andernfal ls hat m a n wieder zwei Fälle zu unterscheiden:

84 M N U 43/2 Fr i t s ch , W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen?

Abb. 6

a) Es gibt keine K e m p e - K e t t e von B nach D. D a n n schließt m a n wie unter a) be im Ausschluß der 4-Ecke i m Beweis des Vierfarbensatzes.

b) Es gibt eine K e m p e - K e t t e von B nach D. D a n n l ie­fert der Jordansche Kurvensatz wieder, daß es keine Kempe -Ket te von C nach E gibt. Also kann m a n auch hier so umfärben, daß C die Farbe von E erhält u n d die ursprüngliche Farbe von C für die Färbung von A zur Verfügung steht.

D a m i t kann ein kleinster Verbrecher auch keine 5-Ecke enthalten, was aber nicht möglich ist. A

Für das weitere sind noch einige Begriffe zu klä­ren. I m R a h m e n dieser Theorie versteht man unter einer Konf igurat ion zusammenhängende ebene G r a p h e n , die einen Randkre is besitzen, das heißt derart, daß gewisse K a n t e n eine geschlossene J o r ­d a n - K u r v e bi lden und alle anderen K a n t e n und mindestens eine Ecke i m Innengebiet dieser K u r v e liegen (Abb . 7). D i e einfachsten Beispiele für K o n ­figurationen sind die Sterne von inneren Ecken i n einem Dreiecksgraphen. E ine Konf igurat ion ist S u m m a n d eines ebenen G r a p h e n , wenn sie so als Te i lgraph eingebettet werden kann , daß alle Ecken innerhalb des eingebetteten Randkreises zur K o n f i ­guration gehören. E ine Konf igurat i on heißt reduzi -bel , wenn kein Dreiecksgraph mit ihr als S u m ­m a n d ein kleinster Verbrecher sein kann . Dieser Begriff wurde 1913 von G E O R G E D A V I D BIRKHOFF (* O v e r i s e l / M i c h i g a n 1884, | C a m b r i d g e / M a s s a -chussetts 1944, Professor für Mathemat ik an der H a r v a r d Univers i ty ) eingeführt [7]. K E M P E S Be ­weis zeigt die Reduzibilität der Sterne von 3- und 4-Ecken. E ine Menge von Konf igurat ionen heißt unvermeidbar, wenn jeder Dreiecksgraph minde­stens ein Element dieser M e n g e als Summanden enthält. Satz 3 besagt in dieser Terminologie ge­rade, daß die Menge bestehend aus den Sternen einer 3-Ecke, einer 4-Ecke u n d einer 5-Ecke, unver­meidbar ist. N a c h den Resultaten K E M P E S liegt die

Abb. 7. Beispiele für Konfigurationen

Hauptschwierigkeit des Vierfarbensatzes i m N a c h ­weis der Reduzibilität des Sternes einer Ecke mit der O r d n u n g 5. D i e folgenden Beweisversuche u n d der endgültige Beweis bestanden in der Suche nach einer unvermeidbaren M e n g e reduzibler K o n f i g u ­rationen. H E E S C H entwickelte A lgor i thmen für den N a c h ­

weis der Reduzibilität. Dabe i muß man sich allerdings erst e inmal sorgfaltig klarmachen, was e in solcher Algor i thmus überhaupt leisten kann . N a c h dem B e ­weis des Vierfarbensatzes ist j a jede K o n f i g u r a t i o n reduzibel . Das bedeutet, man sucht A l g o r i t h m e n , die die Reduzibilität einer bestimmten Kon f igura t i on schon ohne Bezug auf den Vierfarbensatz feststellen können. D e r einfachste A lgor i thmus , den m a n sich vorstellen k a n n , ist folgender: M a n schreibe alle mög­lichen Färbungen der ganzen Konf igurat i on auf u n d sehe nach, ob dabei auf dem Randkre is alle möglichen Färbungen induziert werden. Ist das der F a l l , so liegt Reduzibilität vor: M a n färbe bei einem kleinsten V e r ­brecher alles bis auf das Innere der K o n f i g u r a t i o n ; damit hat m a n eine Färbung des Randes , die m a n nach Voraussetzung ins Innere fortsetzen k a n n . A l so war 's doch kein kleinster Verbrecher! Dieser p r i m i -

M N U 43/2 Fr i t s ch , W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen? 85

Abb. 8

tive A lgor i thmus zeigt aber schon, daß für R e c h n u n ­gen solcher A r t ein großer A u f w a n d erforderlich ist. Das ist natürlich noch mehr der F a l l bei A lgor i thmen, die mit diesem Ver fahren starten u n d bei negativem A u s g a n g mit Kempe-Ketten-Spie len fortsetzen. D e r A u f w a n d hängt wesentlich von der Ringgröße, das heißt, der Z a h l der Ecken i m Randkre is der Kon f igura ­t i on , ab. A u c h maschineller Behandlung sind R i n g ­größen über 18 heute noch schwer zugänglich. A l l e r ­dings hat H E E S C H festgestellt und wahrscheinlich­keitstheoretisch begründet, daß - über den D a u m e n gepeilt - Konf igurat ionen mit

A n z a h l der Ecken i m Innern > 3 • Ringgröße

•6 (7)

i m allgemeinen algorithmisch als reduzibel erkannt werden können. Außerdem hat er auch leicht erkenn­bare Hindernisse für solche Nachweise gefunden, so daß m a n weiß, welchen Konf igurat ionen man bei der Suche nach einer unvermeidbaren Menge reduzibler Konf igurat ionen möglichst aus dem W e g gehen sollte.

N u n zur Suche nach einer geeigneten unvermeid­baren M e n g e . Hierfür erfand H E E S C H die Entladungs­prozeduren. D ie Terminologie lehnt an den physikal i ­schen V o r g a n g der Kondensatorentladung an ; die Ver fahren selbst bestehen in einer geschickten Auswer­tung der Gle i chung (6), die man in den noch zu be­trachtenden Fällen auch folgendermaßen schreiben k a n n :

v5 - v7 - 2 vs - . . . - (s - 6) vs = 12 , wobei s das M a x i m u m der vorkommenden Grade von E c k e n bezeichnet. Z u Beginn w i r d jeder Ecke die L a ­d u n g 60 • (6 - G r a d der Ecke) zugeordnet; der Faktor 60 w i r d gewählt, u m Brüche möglichst zu vermeiden. A u s (6) folgt, daß die Gesamtladung des Systems 720 beträgt; diese w i r d i m Laufe des Verfahrens nicht ver­

ändert. Deshalb sollte m a n eigentlich besser von » U m ­ladung« statt von »Entladung« sprechen; dieser A u s ­druck wi rd allerdings dadurch gerechtfertigt, daß m a n L a d u n g von den positiv geladenen 5-Ecken weg­schiebt. E i n einfaches Beispiel für eine E n t l a d u n g ist das folgende: Jede 5-Ecke gebe an jede benachbarte schwere Ecke - darunter verstehe man eine Ecke mit einem G r a d größer-gleich 7 - die Ladungsmenge 12 ab. D a n n kann m a n folgendes erschließen: 5-Ecke mit lauter schweren Ecken als Nachbarn haben keine L a ­dung mehr. Ecken mit einem G r a d d > 8 haben höch­stens die L a d u n g 12 • d aufgenommen; aus ihrer A n ­fangsladung 60 (6 - d) errechnet man

60 (6 - d) + 12d= 360 - 48af< 360 - 384 = - 2 4 ,

also negative End ladung . D a die Gesamtladung aber positiv ist, muß es deshalb entweder mindestens eine 7-Ecke geben, die positiv aufgeladen wurde, oder eine 5-Ecke, die nicht vollständig entladen wurde. I m zweiten Fa l l hat m a n entweder zwei benachbarte 5-Ecken (Abb . 7, rechts oben) oder eine zu einer 6-Ecke benachbarte 5-Ecke (Abb . 7, rechts unten). D e r erste F a l l kann nur eintreten, wenn eine 7-Ecke mindestens sechs benachbarte 5-Ecken hat; dann sind aber unter diesen auch mindestens zwei benachbart ( A b b . 8). Also hat man auf jeden F a l l zwei benachbarte 5-Ecken A und B oder eine zu einer 6-Ecke B benachbarte 5-Ecke A. N i m m t man für beide Situationen die zu A und B benachbarten Ecken sowie die verbindenden K a n t e n h i n z u , so erhält man zwei Konf igurat ionen, und das ganze Vorgehen zeigt, daß die M e n g e , die aus diesen beiden Konf igurat ionen und den Sternen einer 3-Ecke und einer 4-Ecke besteht, das heißt die in A b ­b i ldung 7 gezeigte M e n g e von Konf igurat ionen, un ­vermeidbar ist. Dies ist ein einfaches Beispiel für eine Entladungsprozedur, aber ke in sehr hilfreiches; die erhaltenen Konf igurat ionen trotzen Reduktionsver­suchen. Das kann man auch an der Faustformel (7) sehen: M a n hat zwei innere Punkte , aber Ringgrößen 6 und 7 u n d damit für die rechte Seite von (7) die Werte 3 beziehungsweise 4Vi , also in jedem Fal l größer als 2. Jedoch das P r i n z i p ist k lar ; man k a n n die Hemdsärmel hochkrempeln und mit der Arbe i t begin­nen. Das haben K E N N E T H A P P E L (* 1932) u n d W O L F ­GANG H A K E N (* Ber l in 1928) in der Zeit vom Herbst 1972 an getan; Ende 1974 stieß der graduierte Student

J O H N K O C H ZU ihnen, der sich vor allem u m die R e d u -zibilitätsrechnungen kümmerte. M i t genialen Ent ­ladungsmethoden erreichten sie das ersehnte Z i e l und legten Ende J u n i 1976 den in der skizzierten Weise ge­führten Beweis des Vierfarbensatzes vor ([2], [3]).

Häufig w i rd die Frage gestellt: H a b e n A P P E L , H A K E N u n d K O C H denn auf diese Weise wi rk l i ch einen Beweis geliefert, und wie ist er nachprüfbar? Ihre V e r ­öffentlichung umfaßt 50 Druckseiten Text u n d Zeich­nungen von Figuren , rund 85 Druckseiten mit fast

86 M N U 43/2 Fr i tsch , W i e w i r d der Vier farbensatz bewiesen?

25000 weiteren Zeichnungen und 400 Micro f i che-Seiten mit weiteren Zeichnungen u n d Tausenden von Veri f ikat ionen kleinerer Zwischenbehauptungen. D e r Computereinsatz erfolgte hauptsächlich zum N a c h ­weis der Reduzibilität der i m Laufe des E n t l a ­dungsprozesses erhaltenen F iguren . Daß sich R e d u z i ­bilität mit Hi l f e eines Computers nachweisen läßt, das unterliegt keinem Zweife l ; auch der Korrektheit sol­cher Ergebnise, wenn sie von erfahrenen M a t h e m a t i ­kern erzielt wurden , kann m a n vertrauen. D e r H a k e n liegt eigentlich woanders. D i e Buchführung der F i g u ­ren, der Nachweis , daß die erhaltene Menge von 1825 reduziblen Figuren unvermeidbar ist, das ist i m wesent­l ichen Handarbe i t . Daß hierbei Schreibfehler und Rechenfehler auftreten, ist selbstverständlich. E i n Stu­dent der Elektrotechnik der Technischen Hochschule A a c h e n , U L R I C H S C H M I D T , listete 1980/81 eine Reihe von solchen Fehlern auf. Bis auf einen waren sie leicht zu beheben, der übrigbleibende erforderte aber eine gewisse Änderung der verwendeten Entladungsproze­dur . A P P E L und H A K E N sind der M e i n u n g , daß ihr V e r ­fahren genügend vie l Freiheit läßt, u m alle diese schon gefundenen und noch zu entdeckenden Irrtümer aus­zumerzen. E i n Unbehagen bleibt, da es eben keine a priori-Begründung dafür gibt, daß eine endliche u n ­vermeidbare M e n g e existiert. A P P E L und H A K E N argu­mentieren hierfür wahrscheinlichkeitstheoretisch, sehr plausibel , aber überzeugend? Das ist j a hier anders als bei der sensationellen Nachricht i n der Februarnum­mer 1989 der Communicat i ons of the Association for C o m p u t i n g M a c h i n e r y , daß C R A Y , e in amerikani ­scher Großrechner, die Nichtexistenz von endlichen Ebenen der O r d n u n g 10 bewiesen hat. H i e r geht es i m P r i n z i p nur d a r u m , alle möglichen 0-1-Einträge in eine 100 x 110 -Matr ix auf gewisse Eigenschaften zu überprüfen; aber die M e n g e dieser Möglichkeiten ist eben endlich, wenn auch mit 2 1 1 0 0 0 Elementen riesen­groß. Sehr viel tiefe M a t h e m a t i k mußte eingesetzt wer­den , die Z a h l der notwendigen Rechenoperationen so z u reduzieren, daß C R A Y das P r o g r a m m in endlicher Zeit - man spricht von drei bis vier J a h r e n , viel mehr als bisher für das Vier farbenproblem aufgewandt wurde - bewältigen konnte.

A P P E L und H A K E N selbst beschäftigen sich intensiv m i t der Uberprüfung ihrer Arbe i t . Sie konnten i n z w i ­

schen die Größe ihrer unausweichlichen M e n g e auf 1478 F iguren reduzieren. A u c h bitten sie u m M i t t e i ­l u n g jedweden entdeckten Fehlers »we . . . would be grateful for any Information on further bookkeeping (or other) errors whenever such arefound.« Schließlich p lanen sie eine revidierte Fassung zu veröffentlichen, die dann -vollständig gedruckt - allgemein zugänglich sein w i r d . Daneben wartet der seinerzeit von H E E S C H skizzierte andere Zugang auf V e r w i r k l i c h u n g u n d - vielleicht hat j emand noch eine ganz andere Idee? So hat das Vierfarbenproblem, obwohl als gelöst anzusehen, doch noch nicht seinen R e i z verloren.

Literatur

[1] M . A I G N E R : Graphentheor ie - E i n e E n t w i c k l u n g aus dem 4-Farbenproblem (Teubner-Studienbücher M a ­thematik) . Stuttgart: T e u b n e r 1984.

[2] K . A P P E L - W . H A K E N : E v e r y p lanar map is four color-able, Part I : D i s charg ing . - I l l inois J o u r n a l o f Mathemat i cs 21 (1977) 429-490.

[3] K . A P P E L - W . H A K E N - J . K O C H : E v e r y p lanar m a p is four colorable, Par t I I : R e d u c i b i l i t y . - I l l ino is J o u r n a l of Mathemat i c s 21 (1977) 491-567.

[4] K . A P P E L - W . H A K E N : T h e F o u r - C o l o r - P r o b l e m . I n : Mathematics Today , herausgegeben von L . A . S T E E N , 153-180. - N e w Y o r k / H e i d e l b e r g / B e r l i n : S p r i n g e r -V e r l a g 1978.

[5] K . A P P E L - W. H A K E N : T h e four color proof suffices. -T h e M a t h e m a t i c a l Intelligencer 8 (1986) 10 -20 .

[6] H . - G . B I G A L K E : H e i n r i c h Heesch ( V i t a M a t h e m a t i c a 3). - Base l /Bos ton /Ber l in : Birkhäuser V e r l a g 1988.

[7] G . D . B I R K H O F F : T h e reduc ib i l i ty of maps. - A m e r i c a n J o u r n a l of Mathemat i c s 35 (1913) 115-128.

[8] R . P. GRAVES : L i f e of S i r W i l l i a m R o w a n H a m i l t o n . -D u b l i n 1889.

[9] F. G U T H R I E : Note on the co lour ing of maps . - Proceed-ings of the R o y a l Society of E d i n b u r g h 10 (1880) 727-728.

[10] P. J . H E A W O O D : M a p - c o l o u r theorems. - T h e Q u a r t e r l y J o u r n a l of Mathemat i c s 24 (1890) 332 -338 .

[11] H . H E E S C H : Untersuchungen z u m V i e r f a r b e n p r o b l e m (B . I -Hochschulskr ip ten 810 /810a/810b) . - M a n n ­heim/Wien/Zürich: Bibl iographisches Institut 1969.

[12] A . B . K E M P E : O n the geographical prob lem of the four colors. - A m e r i c a n J o u r n a l of M a t h e m a t i c s 2 (1879) 193-200.

[13] K . WAGNER : Graphentheor ie (B . I -Hochschu l tas chen ­bücher 248/248*). - Mannheim/Wien/Zürich : B i ­bliographisches Institut 1970. •

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